Прецессионные движения в задаче о движении двух связанных твердых тел в поле силы тяжести тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

рГ Б ОД

о и «Д Г ~

- о I" Московский государственный авиационный институт

На правах рукописи

Бирман Инна Ефимовна

Прецессионные движения в задаче о движении двух связанных твердых тел в поле силы тяжести.

01.02.01. - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученной степени кандидата физико-математических наук

Москва-1995

Работа выполнена в Институте прикладной математики и механики HAH Украины

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Г.В.Горр.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.П.Маркеев, доктор физико-математических наук, профессор А.П.Иванов

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов им. ПЛумумбы.

Защита состоится " Я- " МЛОиЛ- 1995 г. в \ {'"час. на заседании диссертационного совета К 053.18.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Московском государственном авиационном институте . по адресу :

Волоколамское ш., д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного авиационного института.

Автореферат разослан " 3J)" CUvhäML 1995г.

Ученый секретарь диссертационного совета л

кандидат физико-математических наук // /О Л.Ф.Лобанова

Общая характеристика работы.

Диссертационная работа посвящена исследованию условий существования прецессионных движений системы двух связанных твердых тел. Рассмотрены вырожденные классы прецессионных движений, когда одно тело из связки равномерно вращается относительно вертикали. Изучены прецессии системы двух связанных твердых тел в поле силы тяжести в предположении, что одно из тел совершает регулярную прецессию типа Гриоли, а другое полурегулярную прецессию типа Гесса. Рассмотрены маятниковые и асимптотически равномерные движения системы двух тел, соединенных универсальным шарниром, уравнения движения которой выведены А.Я.Савченко.

Актуальность темы. Поставленная более двух столетий назад, задача о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой до сих пор привлекает внимание исследователей, особенно в рамках различных приложений. Это объясняется не только широким применением абсолютно твердого тела (гиростата) в моделировании движений реальных объектов современной техники, но и большими аналитическими трудностями, требующими применения новых подходов в решении задач динамики твердого тела. Общую постановку задачи о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой дал Л.Эйлер. Он ввел основные динамические и кинематические характеристики, получил дифференциальные уравнения движения. Многочисленные результаты в динамике твердого тела найдены Ж.Л. Лахранжем, С.Пуассоном, Л.Пуансо, А-Пуанкаре, В.Гессом, Д.Гриоли и многими другими. Большой вклад внесли отечественные ученые -С.В.Ковалсвская, Н.Е.Жуковский, А.М.Ляпунов, С.А. Чаплыгин, Д.Н.Горячев, Г.Г.Аплелърот и другие.

В настоящее время сформировались направления и школы по изучению задач динамики и их приложений. В России эти школы связаны с именами А.Ю.Ицшшского, В.В.Румянцева, Д.Е.Охоцимского, В.И.Козлова, А.П.Маркеева, В.М.Матросова, А.С.Галиуллина, А.Г.Сокольского, на Украине - П.В.Харламова, А.А.Мартынюка, А.Я .Савченко и других.

Развитие динамики твердого тела в последние несколько десятилетий связаны с исследованиями П.В.Харламова и его школы. Принципиальными результатами П.В.Харламова являются: развитие метода инвариантных соотношений для отыскания частных решений уравнений динамики, разработка метода годографов прямого кинематического истолкования, получение новых (|юрм уравнений движения системы связанных твердых тел.

Начало систематическому изучению условий существования прецессий в различных задачах динамики положили Г.Г.Аппельрот , Д.Гриоли и другие. Г.Г.Аппельрот показал, что прецессия относительно вертикали гироскопов, эллипсоид инерции которых является эллипсоидом вращения, а центр тяжести находится в экваториальной плоскости эллипсоида, динамически невозможны, если угол прецессии отличен от прямого. Наиболее существенные результаты Д.Гриоли относятся к построению нового решения и кинематическим условиям существования различных типов прецессий, в том числе и обобщенных.

В настоящее время разработкой данной тематики широко занимался Г.В.Горр и его ученики. Им предложен новый подход в отыскании решений, в основе которого лежит не аналитическая структура (или вид инвариантных соотношений), а тип движений.

Исследование движения систем связанных твердых тел является более сложной задачей. В 1966 году О.Фишером были выписаны уравнения движения системы связанных твердых тел в скалярной форме . Следует отметить работы А. И Лурье, П.В.Харламова, в которых построены уравнения движения связанных твердых тел, удобные для построения точных решений .

Используя эти уравнения и их первые интегралы А.Я.Савченко методом Четаева установил достаточные условия устойчивости равномерных вращений двух гироскопов Лагранжа.

Частным случаем движения системы двух связанных абсолютно твердых тел является движение твердого тела, подвешенного на струне, которую в режиме растяжения можно рассматривать как невесомый, абсолютно твердый стержень. Здесь необходимо отметить цикл работ группы авторов, возглавляемой А.Ю.Ишлинским. Полурегулярные относительно вертикали и регулярные относительно наклонной оси

прецессии в задаче о теле, подвешенном на струне, изучены Г.В.Горром и Г.А.Кононыхнным.

Существенные результаты достигнуты в изучении асимптотических движений. А.Кнезер установил наличие траекторий, асимптотически стремящихся к положению равновесия. Е.Меттлер рассматривал асимптотически равномерные движения в классической задаче о движении тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку. Г.В.Горр, основываясь на первом методе Ляпунова, развил методику изучения окрестности известных частных решений и построения асимптотических движений.

Результаты А.Кнезера были обобщены С.В.Болотнным, В.В.Козловым, В.П.Паламодовым.

А.П.Маркеев изучал асимптотические траектории и устойчивость периодических движений автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы.

Интенсивность изучения динамических свойств систем связанных твердых тел и асимптотических движений свидетельствует об актуальности тематики диссертации. Широкий спектр результатов, полученных в динамике твердого тела, открывает перспективы дальнейших исследований динамики систем связанных твердых тел.

Цель работы заключается в исследовании прецессионных, маятниковых и асимптотически равномерных движений (широко изученных в задаче одного тела) для системы двух связанных твердых тел, получении условий их существования или доказательстве их динамической невозможности.

Метод исследования . Для решения поставленных задач применены метод инвариантных соотношений обыкновенных дифференциальных уравнений и первый метод Ляпунова.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты:

- методика исследования прецессий, разработанная Г.В. Горром для одного твердого тела, перенесена на случай системы двух связанных твердых тел;

-получены условия существования прецессионных движений для вырожденных режимов движения связки, когда одно из тел совершает прецессию, а другое равномерное вращение;

- показано, что регулярная прецессия связки дпух тяжелых твердых тел относительно вертикали возможна лишь в случае, когда оба тела гироскопы Лагранжа, получены условия существования такого движения;

- доказана динамическая невозможность регулярной прецессии гироскопа Лагранжа и регулярной прецессии второго тела относительно наклонной оси;

- исследованы случаи полурегулярной прецессии в сочетании с регулярной прецессией, найдены условия их существования;

- получены уравнения маятниковых движений системы двух твердых тел в поле силы тяжести и проведен их анализ;

- установлены условия существования маятниковых движений в случае системы тел, связанных универсальным шарниром;

- найдены условия существования асимптотически равномерных движений для системы тел, связанных универсальным шарниром.

Практическая Ценность. Полученные в работе результаты имеют теоретическое значение. На практике они могут быть использованы в классификации возможных типов движения системы связанных твердых тел. Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах отдела прикладной механики Института прикладной математики и механики HAH Украины, Донецкого госуниверситета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ. Структура И объем работы. Диссертация состоит из четырех глав, заключения, списка литературы (77 наименований) и содержит 125 страниц машинописного текста. Количество рисунков - 2.

Содержание диссертации.

В первой, вводной, главе обоснована актуальность темы, дан краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации, кратко изложено содержание диссертации и приведены основные результаты, выносимые автором на защиту.

Вторая глава диссертации посвящена вырожденным режимам движения системы двух тяжелых твердых тел, когда одно из тел

совершает прецессию относительно вертикали, а другое равномерное вращение относительно вертикали.

В пункте 2.1. дана постановка общей задачи движения связки двух тяжелых твердых тел. Рассмотрено движение системы двух твердых тел .V,, связанных идеальным сферическим шарниром. Тело ■V, имеет неподвижную точку . Точка 02- общая точка тел Л',, Л',. Движение связки описывается уравнениями, где центральные тензоры инерции заменены на тензоры инерции в точках подвеса:

/4|<у, + о), х х[—- + ~(а>, х ё,)- др]-т|£ё, х Т>= 0, (1)

Л Л

— — — _ (¡V —

A1a)1+a)1xA1a)г+mгe1x(-jj—gv)f=0, (2)

•

"Р=Т'хй51 , "И='Рх52 (3).

В формулах (1)-(3) введены следующие обозначения : су, - вектор абсолютной угловой скорости тела 5, , /=1,2; "^-единичный вектор, указывающий направление силы тяжести; у0- скорость точки подвеса второго тела; Щ -вектор, соединяющий точку подвеса ¡-того тела с его центром масс; 5- вектор, соединяющий неподвижную точку первого тела с точкой подвеса второго тела. В работе предполагается, что центр масс первого тела лежит на оси, соединяющей точку подвеса второго тела с неподвижной точкой первого тела.

Далее, вводятся определения прецессионного движения, регулярных, полурегулярных прецессий и прецессий общего вида. Одним из характерных свойств прецесии в классической задаче является то, что единичный вектор неизменный в теле направлен по барицентрической оси. В динамике систем последнее свойство также присуще многим прецессиям, поэтому в работе рассмотрены прецессии такого вида. На основе (1)-(3) получены уравнения прецессионных движений связки.

В пункте 2.2. подробно изучен случай, когда одно из тел совершает равномерное вращение, а другое регулярную прецессию. Показано, что регулярная прецессия первого тела относительно вертикали и равномерное вращение второго тела относительно вертикали возможно только при условии, что первое тело гироскоп Лагранжа . Угловые скорости тел при этом имеют вид:

, Ъг (4).

Получены условия существования указанного типа движения в случае, когда ось равномерного вращения второго тела небарицентрическая они имеют вид:

«Ч+гХ,-/>1»'оЧ|Ч1)=о (5);

а в случае барицентрической оси таковы:

+ = (6). Аналогичные результаты получены и для случая, когда регулярную прецессию совершает второе тело, а равномерное вращение первое.

В пункте 2.3. показано, что полурегулярная прецессия первого тела относительно вертикали и равномерное вращение второго тела относительно наклонной оси возможно только при условии, что первое тело - гироскоп Гесса. Угловые скорости тел при этом определяются соотношениями ;

Щ=п1(1)Т3+гц>~у , Т-,где

■^33

Условия существования указанного типа движения в случае небарицентрической оси вращения второго тела имеют вид (5) и

(7),

а в случае барицентрической оси вращения второго тела - (6) и т1а<0*)Агг + Р^а^-Г,соответственно. Аналогичные результаты

получены и для случая, когда первое тело совершает равномерное вращение, а второе полурегулярную прецессию.

В пункте 2.4. и 2.5. проведено доказательство динамической невозможности следующих типов движения: полурегулярной прецессии второго типа первого тела и равномерного вращения второго тела относительно вертикали, равномерного вращения первого тела и регулярной прецессии второго тела относительно наклонной оси.

Третья глава диссертационной работы посвящена исследованию невырожденных прецессионных и маятниковых движений связки двух тяжелых твердых тел, соединенных идеальным сферическим шарниром.

В пункте 3.1. на основе (1)-(3) получены уравнении рсчулнрных прецессий, анализ которых позволяет выделить четыре режима, . требующих отдельного рассмотрении.

В пункте 3.2 рассматриваются раулярные прецессии связки двух тяжелых твердых тел относительно вертикали. Угловые скорости при этом имеют вид : Щ =»„', +ЩУ, То2 =/),;/, +т'„ у.

Показано, что такое движение возможно только в случае, когда оба тела - гироскопы Лагранжа, и обладает следующими свойствами:

Л„'Ло'г</'<'1)! + Апп02а(0ц +пца10> >«<{ »(Л - /!„)+■

4<г,+г3 - /^¡"КГ2 - /НЭД^Х2'+<,«<")=0 ,

+(Г,-- Л./^КЧ3 +«>=0. ' .

В пункте 3.3. показана динамическая невозможность регулярной прецессии первого тела относительно вертикали и равномерного вращения второго тела относительно наклонной оси.

В пункте 3.4. доказано, что регулярная прецессия гироскопа Лагранжа относительно вертикали и равномерное вращение второго тела относительно наклонной оси возможны лишь в случае вырождения движения второго тела в равномерное вращение относительно вертикали.

В пункте 3.5. показано, что полурегулярная прецессия первого типа относительно вертикали первого тела в сочетании с регулярной прецессией второго тела при условии, что барицентрическая ось второго тела не лежит в горизонтальной плоскости, возможны, только если первое тело гироскоп Гесса, а второе - гироскоп Лагранжа. Получены условия существования указанного типа движения : (7) и Ътл +п$е£>1е£(вв -д,жг2 - РМ^К'-Р^'Ж^ -«>0.

Угловые скорости тел при этом определяются соотношениями <У,=И,(Оь+щу , о2=п^+т0у , где л,(0=——--1-

■^ЗЗ

Доказано, что полурегулярная прецессия первого типа гороскопа Гесса относительно вертикали и равномерное вращение второго тела относительно наклонной оси возможны лишь в случае , когда

движения второго тела вырождаются в равномерное вращение относительно вертикали.

Пункт 3.6. посвящен получению и анализу уравнений маятниковых движений связки двух тяжелых твердых тел.

В четвертой главе исследованы две задачи динамики системы тел связанных универсальным шарниром. Рассмотрены два одинаковых тяжелых гироскопа с осями симметрии I, и Л. Точка О, е/, -неподвижна, Л^- прямая, проходящая через точку 01 коллинеарно вектору единичному вектору силы тяжести. 03=/[П/^ , 02=/1о/,. В точках ОьО} - идеальный сферические шарниры, а в точке 02-универсальный шарнир.

В пункте 4.1. приведены уравнения, описывающие движение системы :

/4 Й = (Л <и + Л) х + 5 х Т-- ("ух <у) хВ(ух <а) (8),

Т>=1'ха (9),

и их первые интегралы: Асо-а-2(1Т)=2Е, Т>Т>= 1, (А А)-Р=Л:.

На основе (8),(9) получены уравнения маятниковых движений с угловой скоростью а)= (¡м, где а- вектор, неподвижный в

пространстве.

В пункте 4.2. рассмотрен случай, когда тензоры инерции тел в связке являются диагональными матрицами. Показано, что имеют место маятниковые движения связки. Получены условия существования маятниковых движений в случае диагональности матрицы В,:

В пункте 4.3. показано, что в условиях рассматриваемой модели маятниковые движения возможны, только если тензоры инерции тел в связке являются диагональными матрицами.

В пункте 4.4. и 4.5. поставлена задача об асимптотически равномерных движениях связки двух тяжелых твердых тел , изложен кратко первый метод Ляпунова и теоремы использованные для решения поставленной задачи.

(а-у)=0, (а-3)=(5, (Ахй)=0, и

1

В пункте 4.6. получены условии существования раиномерного вращения тел системы относительно наклонной оси с угловой скоростью (о~ о>„<1:

а = 1^и„(о1а, = А, - - /!,/<),„( - 1,2 (10).

В пункте 4.7. предполагается, что выполняются условия (10) и Я = б. Найдены уравнения в вариациях и показано соответствующая им скалярная система линейных дифференциальных уравнений шестого порядка с периодическими коэффициентами. Поскольку она является правильной, к ней применим первый метод Ляпунова. На основе теоремы Пуанкаре доказано, что указанная скалярная система имеет четыре нулевых характеристичных числа. Выделены два случая, требующие различных подходов к задаче определения знаков двух оставшихся характеристичных чисел. ,

В пункте 4.8. рассмотрен случай, когда оба; тёла в связке гироскопы Лагранжа. В этом случае с помощью преобразования Ляпунова удается свести систему линейных дифференциальных уравнений шестого порядка с периодическими коэффициентами к системе с постоянными коэффициентами. Доказано, что если выполняется условие

А}(В,д'-- А,)[(В, + ДзК2 - ЛЛ+ЛДЧУ - АВ^Ж^'о +

[ЛА"1+Ша'0г - 4)Р.- ЯзО

то в условиях рассматриваемой модели существует

однопараметрическое семейство движений, которые при /—>оо стремятся к равномерному вращению относительно наклонной оси.

В пункте 4.9. рассмотрен случай , когда тела в связке не являются гироскопами Лагранжа. Система линейных дифференциальных уравнений шестого порядка с периодическими коэффициентами сведена к уравнению типа Хилла. Доказано , что если А1+ц=Аг (А,,А2 - компоненты тензора инерции) , //-мало (то есть тела в связке мало отличаются от гироскопов Лагранжа) и выполняется условие

(А - Я,«о - Я3аЛ{(ад2-Л,)[Лз(Д1+ЛзК2 - - А№2]-

-Л3Я,ЧЧ2 - А,)А, + А3В,аП<0 ,

то в условиях рассматриваемой модели существует

однопараметрическое семейство движений, которые при (—юо стремятся к равномерному вращению относительно наклонной оси.

В пункте 4.10. рассмотрены два частных случая. В случае, когда параметры тел удовлетворяют условию А, = В1 а'„г, значительные

упрощения позволили не о1раничиваться случаями малого р и получить следующее достаточное условие существования однопараметрического семейства движений, которые при /—»<» стремятся к равномерному вращению относительно наклонной оси: -4 В,а?(Ах - В,аг0 - В«;- + |//)+3/г +2я(4(й,а02 + В^'2 - А,)-2ц+ Вр?|<0.

Кроме того, изучен случай вращения относительно горизонтальной оси. Доказано, что , если р-мало, А1+р=А1 и А1*В1, то при выполнении условия

4ЧЛ - ДзЖЛ - - А)+Ш - В3)]< о,

существует однопараметрическое семейство движений, которые при /-»оо стремятся к равномерному вращению относительно горизонтальной оси.

В заключении сформулированы основные научные результаты проведенных в диссертации исследований.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Найдены условия существования регулярной (полурегулярной) прецессии относительно вертикали одного тела в сочетании с равномерным вращением относительно вертикали другого тела в связке.

2. Доказана динамическая невозможность следующих классов движений: полурегулярной прецессии второго типа относительно вертикали первого тела в сочетании с равномерным вращением отндсигельНо вертикали второго тела, равномерного вращения

I

относительно вертикали первого тела в сочетании с регулярной прецессией второго тела относительно наклонной оси.

3. Найдены условия прецессионных движений относительно вертикали связки двух гироскопов Лагракжа.

4. Доказана динамическая невозможность регулярной прецессии гироскопа Лагранжа относительно вертикали и регулярной прецессии второго тела относительно наклонной оси.

5. Получены уравнения маятниковых движений связки двух тяжелых твердых тел и проведен их анализ.

6. Найдены условия существования маятниковых движений для системы двух твердых тел, связанных универсальным шарниром.

7. Исследованы асимптотически равномерные движении связки двух тяжелых твердых тел.

Оснонпмс результаты диссертации опубликованы в работах :

1. Горр Г.В.. Бирман И.С. О прецессионных движениях связки двух тяжелых твердых тел п поле силы тяжести.// Механика твердого тела.-1992.- ВЫП.24.-С.56-61.

2. Бирман И.Е. Прецессионные движения связки двух твердых тел в поле силы тяжести.// Известия академии наук России. Механика твердого тела.-1994.-№5.-с.З-10.

3. Бирман И.Е. Асимптотически равномерные движения в модели системы двух тяжелых твердых тел.// Доклады РА^.-1994. - т.339.-№3.-с.323.-326.

4.Бирман И.Е. О существовании маятниковых движений в одной задаче системы двух тяжелых твердых тел.// Ин-т прикл. математики и механики HAH Украины. Донецк. -1994,- 9 с. Деп. в ГНТБ Украины 14.12.94., №2418.-Ук94.

5.Горр Г.В., Бирман И.Е. К динамике прецессионных движений системы двух твердых тел в поле силы тяжести.//Прикладная математ. и мех.- 1995.-т.59.-вып.2.-с.12-22.