Нелинейные задачи теории наземных гирокомпасов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ВВВДЕШЕ.

ГЛАВА I. Уравнения движения гирокомпаса в кардановом подвесе с однозначными общими интегралами.II

§ I.I. Постановка задачи.II

§ 1.2. Уравнения движения гирокомпаса в кардановом подвесе.

§ 1.3. Частные решения уравнений движения.

§ 1.4. Исследование общего решения на однозначность.

ГЛАВА 2. Асимптотическое интегрирование уравнений движения гирокомпаса в кардановом подвесе

§2.1. Интегрирование эволюционных уравнений

§2.2. Периоды эволюционных движений.

ГЛАВА 3. Исследование динамики гирокомпаса на торсионном подвесе.

§ 3.1. Уравнения движения гирокомпаса с неидеальными упругими подшипниками ротора.

§ 3.2. Уравнения вибрации

§ 3.3. Собственные частоты гирокомпаса

§ 3.4. О прецессионных уравнениях гирокомпаса на торсионном подвесе

ГЛАВА 4. Влияние погрешностей изготовления подшипников ротора на точность гирокомпаса

§4.1. Структура точных уравнений.

§4.2. Погрешности гирокомпаса

Наземные гирокомпасы созданы немногим более тридцати лет назад для нужд маркшейдерского дела [75,102 J . Область их применения за эти годы значительно расширилась. Наземные гирокомпасы дают достаточно точные показания в маркшейдерском деле, геодезии, артиллерии. Для дальнейшего совершенствования высокоточных приборов уже недостаточно хорошо разработанной линейной теории наземных гирокомпасов. Возросшая сложность конструкции, высокие требования, предъявляемые в настоящее время к точности показаний приборов заставляют вновь обратиться к вопросам динамики, но на более глубоком уровне с учетом очень тонких эффектов, связанных с нелинейностью уравнений, с наличием внутренних возмущений, конечных жесткостей конструктивных частей чувствительного элемента гирокомпаса.

Первый наземный гирокомпас был создан в 1950 г. [75 J на основе морского гирокомпаса. Поэтому невозможно говорить о состоянии теории наземных гирокомпасов, не касаясь основных этапов развития морских гирокомпасов. Более того, основная часть линейной теории может быть перенесена на наземные гирокомпасы. Основополагающими работами здесь были работы отечественных и зарубежных ученых в области прикладной гироскопии А.Н.Крылова [72] , Б.В.Булгакова [20] , Б.И.Кудревича [73] , Шуллера [125] . Уже на этом этапе были известны характер движения в окрестности положения равновесия, периоды движений, декременты затухания при наличии демпфирования.

С самого начала развития теории и практики морских гирокомпасов было наиболее важным выявление девиаций, связанных с разнообразными движениями основания и, в особенности, условий не-возмущаемости и девиаций, когда эти условия невыполнены. Большой обзор по этим работам дан в [14]. Это работы А.Ю.Ишлинского [48-50J , В.Н.Котлякова [68,70,71] , Климова Д.М. [ 55] , Меркина Д.Р. [83 ] , Ю.К.Жбанова [33-35] , Г.Д.Блюмина, М.В.Чичинадзе [I5J , В.П.Василенко, С.М.Онищенко [28 ] , В.Ф.Ляшенко f80J и многие другие.

В дальнейшем развитие теории пространственных гирокомпасов были затронуты вопросы устойчивости невозмущенного движения, несферичности Земли, несовершенства реализации кинематических схем, влияния трения, люфтов, конечных жесткостей и инерции элементов гирорамы и многие другие.

Наземные гирокомпасы в отличие от морских эксплуатируются на неподвижном относительно Земли основании. Это внесло значительные изменения в конструкцию первоначальных образцов и поста-лило перед механикой задачи иного характера, решению которых посвятили свои труды многие советские ученые и инженеры В.Н. Лавров [ 75,76 ] , М.А.Сергеев [l02 ] , И.Б.Житомирский [Зб] , П.А.Ильин [45], С.Р.Селезнев [iOl] , В.П.Василенко, М.Е.Темчен-ко [ 29] и друтие. Теория наземных гирокомпасов посвящена также значительное число работ зарубежных авторов Реллесмана, Швендера и других.

Как отмечается в [102, с.З] /'практика создания и применения наземных гирокомпасов выдвинула ряд проблем: а) разработка обобщенной теории; б) исследование и выявление оптимальных методов определения положения равновесия чувствительного элемента; в) построение теории девиации; г) влияние вибрации на показания гирокомпасов; д) исследование методов автоматической выставки ориентируемых объектов по гироскопическому азимуту". Монография М.А.Сергеева посвящена в основном построению обобщенной теории движения чувствительного элемента, излагается теория девиаций от внешних возмущений, а также рассмотрены уравнения движения с некоторыми негладкими нелинейностями. В круг решаемых механикой задач следует отнести вопросы а), в), г).

Работы, по влиянию нутаций, вибраций, вызванных неидеальностью форм подшипников, различными дебалансами роторов на точночть ность гироскопических приборов [81,124,54,58,60,103,110,111, 39-41, I8,6I,I08j показывают важность учитывания таких явлений. В приложении к наземным гирокомпасам эти вопросы на строгом уровне не были исследованы. В свою очередь исследования такого рода явлений невозможно без развития нелинейной теории наземных гирокомпасов.

В гироскопии решено немало нелинейных задач, обзор и литературы по ним приведен в работе Н.В.Бутенина, Д.М.Климова, Я.Л.Лунца, Н.П.Степаненко [24] .

Отметим работы, касающиеся теории гирокомпасов. Это работы В.П.Василенко, С.М.Онищенко [28J , Ю.К.Жбанова [34 ] , где црово-дится точное интегрирование прецессионных уравнений движения гирогоризонткомпаса на произвольно движущемся объекте в прёдг-положенш^конечного угла поворота в азимуте. Наиболее близкими по исследованию нелинейных свойств уравнений наземных гирокомпасов являются работы А.М.Летова [78] , 1952 г., где решение прецессионных уравнений гироскопа ~ в кардановом подвесе установленного на экваторе (или гирокомпас Анщютца) сводится к квадратурам без предположения о малости углов поворота подвеса, А.Бегена [12 J » где показана эквивалентность движения гирокомпаса и маятника, Н.В.Бутенина [22] , Н.В.Бутенина и

A.М.Лестева [26 J , И.Н.Щитова [ш] , Х.Л.Смолицкого [l04,IQ5] ,

B.П.Веденина [30] , Я.Л.Лунца [79 J , В.П.Ильчанинова и В.Г.Тере-пшна [46,47] , В.И.Бурлакова и А.М.Бурлаковой [4б|, А.М.Лестева

77J . В статье В.П.Ильчанинова и В.Г.Терешина [2jJ полные уравнения движения гирокомпаса Фуко интегрируются точно в эллиптических функциях. Таким образом, развитие нелинейной реории гирокомпасов вплотную подводит цк исследованию полных уравнений более сложных механических систем, моделирующих наземные гирокомпасы.

В гироскопии и механике твердого тела также немало примеров, когда построены точные решения исследуемых уравнений в общем или частных случаях, методы построения которых могут быть использованы в аналогичных случаях. Исследование возможностей точного интегрирования уравнений движения имеет теоретическое и практическое значение. Механика тщательно коллекционирует случаи интегрируемых систем. Нередко точное интегрирование значительно упрощает исследование нелинейных уравнений и имеет свои преимущества.

Прежде всего точное решение задачи служит эталоном для приближенных методов. Примером тому могут быть работы [ 58,41J , где с помощью точных решений уравнений движения гироскопа уточняются формулы ухода Магнуса. Во-вторых, точные решения могут служить начальным приближением для более сложных задач, с помощью приближенных методов можно выяснить поведение системы в окрестности известных частных решений [59 J .

В 1-ой и 2-ой главах исследуются полные нелинейные уравнения движения гирокомпаса с кардановым подвесом гиромотора, который будем называть гирокомпасом в кардановом подвесе. Как показано в главе 3, асимптотическое интегрирование уравнений движения гирокомпаса с торсионным подвесом чувствительного элемента представляющего более сложную механическую систему, приводит к решению тех же уравнений. Поэтому более глубокое изучение свойств уравнений гирокомпаса на простой модели представляет не только теоретический интерес.

Точное интегрирование, как правило, удается в тех случаях, когда известно достаточное число первых интегралов движеп ния. Согласно теореме Лиувилля, гамильтбвова система с ""степенями свободы интегрируема, если существуют П> независимых первых интегралов в инвд&шции [4 ] . Для интегрируемости исследуемой гамильтоновой системы с тремя степенями свободы необходимо существование одного независимого от интеграла энергии и циклического интеграла собственного вращения ротора. Если в уравнениях положить скорость вращения Земли равной нулю, то получится интегрируемая система, недостающим интегралом будет в этом случае еще один циклический интеграл. Интегрируемый случай - уравнения движения гирокомпаса Фуко - получим за счет уменьшения степеней свободы, если устремить к бесконечности маятниковость системы [47 ] . Таким образом, также как и в задаче о движении твердого тела около неподвижной точки имеются некоторые частные случаи интегрируемости. Возникает вопрос: нет ли еще каких-либо случаев, когда существует дополнительный интеграл.

Наводящие мысли при ответе на этот вопрос могут появиться при решении задачи о ветвлении общего решения уравнений. Именно этот путь поиска случаев, когда решение может быть выражено в мероморфных функциях времени, привел С.В.Ковалевскую к открытию нового случая интегрируемости Г63,32] . Как оказалось, уравнения движения твердого тела около неподвижной точки имеют недостающий первый интеграл лишь в тех случаях, когда общее решение может быть выражено в однозначных функциях комплексного времени [94] . Аналогичная работа проделана Ю.А.Архангельским для твердого тела в ньютоновском поле тяжести [ 5-7 J .

Как известно [64,65,44] , ветвление решений препятствует интегрируемости. Это значит, что если одна из координат как функция комплексного времени испытывает скачок при обходе по замкнутому контуру в комплексной плоскости независимого-^переменного, то тогда независимого от интеграла энергии однозначного первого интеграла не существует. Условия отсутствия ветвления решения дают необходимые условия интегрируемости уравнений, так как из однозначности решения не всегда следует интегрируемость. К примеру, уравнение Cj + hfj + ^O имеет однозначное решение, но первого интеграла при ЬфО не существует. Отметим еще одну сторону связи проблемы точного интегрирования и однозначности: решение уравнений с однозначными общими интегралами сводится к составлению уравнений для целых функций,отношение которых дает решение задачи.

В 1-ой главе диссертации получены необходимые условия однозначности общего решения уравнений движения гирокомпаса в кардановом подвесе методом вариации частного решения. При этом показано, что некоторые условия оказываются достаточными. jB общем случае, когда скорости вращения Земли и ротора отличны от нуля, общее решение не может быть выражено в однозначных функциях времени.

В связи с полученными в первой главе результатами возникает задача ассимтотического интегрирования уравнений движения гирокомпаса в кардановом подвесе. В гироскопии такого типа задачи .решается либо с помощью метода осреднения [16,841 путем сведения к регулярно возмущенным уравнениям, либо те же уравнения сводятся к сингулярно возмущенным и используется метод А.Н.Тихонова Jl07J . В указанной задаче применимы оба метода. Уравнения движения гирокомпаса представлены в диссертации в виде регулярно возмущенных уравнений свободного гироскопа в неподвижной системе координат. Как известно [87,58J , невозмущенные уравнения интегрируемы, решение задачи сводится к обращению гиперэллиптических квадратур, и может быть использовано для построения асимптотического решения при любых начальных данных, малым параметром служило бы отношение скоростей вращения Земли и ротора. В диссертации уравнения исследуются в предположении малости скоростей нутации, при этом углы поворотов рамок подсеса считаются конечными. Эволюционные уравнения точно интегрируются, вычисляются периоды прецессионных колебаний с учетом конечности амплитуд колебаний и нутационных движений чувствительного элемента.

В действительности свободные нутационные колебания быстро затухают, остающиеся высокочастотные колебания чувствительного элемента вызваны неидеальностью поверхностей качения шариковых подшипников ротора. В силу нелинейных эффектов вибрации могут привести i уходам Г40 J или к изменению положения равновесия, что ухудшает точность прибора. Поэтому особое значение для практики имеет исследование влияния внутренних возмущений, обусловленных вращением ротора в неидеальйых по форме подшипниках на точность гироскопических приборов [ 52 ].

В гироскопии теория неидеальных подшипников разработана в работах В.Ф.Журавлева £37,40j . Им предшествовали работы Л.З.Новикова [88,89] , С.А.Харламова [lII,II2] , в которых

-9U исследуются соожные вопросы статики и динамики ротора в идеальных упругих шариковых подшипниках. Влияние неидеальности обработки подшипников рамок подвеса исследовано В.В.Филатовым f 108 J . В работах А.Ю.Беляева, В.Е.Петренко, Ю.В.Радыша [хз] , М.А.Павловского, В.Е.Петренко [ 94 J теория неидеальных шарикоподшипников используется для диагностики состояния подшипников и осевого натяга, одной из главных величин, определяющих спектр собственных частот гиромотора.

Во второй части диссертации ставится задача исследавания вибрации гирокомпаса на торсионном подвесе и систематических погрешностей определения азимута, вызванных внутренними возмущениями. При исследовании динамики ротора в неидеальных подшипниках-' неизбежно приходится учитывать конечную жесткость его опор.

Задача определения собственных частот подвешенного на тор-сионе гиромотора с учетом упругости опор ротора тесно связана с этими вопросами и проблемой диагностики И состояния параметров подшипников в собранном гироскопе.

Собственные частоты наземного гирокомпаса с торсионным подвесом чувствительного элемента [101,102] без учета упругости опор ротора получены приближенно в статье В.П.Василенко,М.Е.Тем-ченко [ 29J .

Таким образом, в диссертации -получены необходимые условия однозначности общих интегралов уравнений движения гирокомпаса в кардановом подвесе, -проведено асимптотическое интегрирование уравнений движения гирокомпаса в кардановом подвесе, вычислены периоды прецессионных движений!,

-получены уравнения вибрации гирокомпаса на торсионном подвесе, приближенные формулы для собственных частот гирокомпаса с учетом упругости опор ротора,

-получены формулы связывающие среднее отклонение оси гирокомпаса йз плоскости меридиана с коэффициентами Фурье поверхностей беговых дорожек.

Основные результаты опубликованы в четырех П печатных работах £8-113 и докладывались на

- Всесоюзных Королевских чтениях в МФТИ (Долгопрудный, Моск., обл., 1980)

- научных конференциях МФТИ (Долгопрудный, 1980, 1982, 1983)

- Всесоюзной конференции, посвященной Дню советской науки на ВДНХ СССР (Москва, 1984)

- на семинаре по механике систем твердых тел и гироскопов Института проблем механики АН СССР под руководством академика А.Ю.Ишлинского, чл.-корр. Д.М.Климова, проф. Е.А.Девянина. (1984)

ЗА1Ш0ЧЕНИЕ

Итак, в диссертации исследованы нелинейные уравнения движения наземных гирокомпасов: с торсионным и кардановым подвесом чувствительного элемента. В первой главе исследованы общие решения полных нелинейных уравнений гирокомпаса в кардановом подвесе на предмет однозначности как функции комплексного переменного. Получены необходимые условия однозначности, которые свидетельствуют о неинтегрируемости уравнений движения в комплексных переменных.

Во второй главе те же уравнения решаются методом осреднения. Показано, что решение сводится к обращению элиптического интеграла третьего рода. Решения приближенной системы, полученной в результате отделения медленных переменных,ложатся на двумерные торы в четырехмерном фазовом пространстве, что характерно для интегрируемых систем. У точной системы решения для большинства начальных данных также являются обмотками торов, близких к полученным. Отметим, что это свойство все же локальное, поскольку считалось, что угловые скорости нутаций малы по сравнению со скоростью вращения ротора. Периоды медленных колебаний гирокомпаса выражены через нормальные эллиптические интегралы первого и второго рода. Формулы учитывают инерционность рамок подвеса и конечность углов поворота чувствительного элемента, что весьма важно для точного определения направления на Север по короткому отрезку траектории оси гироскопа.

В третьей и четвертой главе исследуется динамика гирокомпаса сП торсионным подвесом чувствительного элемента, ротор У которого вращается в упругих неидеальных по форме подшипниках.

Быстрое вращение ротора в тагах опорах приводит к появлению высокочастотных возмущений, которые приводят в силу нелинейных эффектов к смещению положения равновесия гирокомпаса, что и обуславливает ошибку гирокомпаса. Показано, что если пренебречь конечной жесткостью подшипников и вращением системы координат отклонение оси ротора из плоскости меридйана равно в среднем нулю в любом приближении, независимо от вида внутренних возмущений потенциальной природы. В рамках поставленной задачи, то есть с учетом конечной жесткости опор величина средней ошибки отлична от нуля, а связь её с частотой вращения ротора и погрешностями изготовления подшипников имеет резонансный характер. В связи с этим в третьей главе решается задача о собственных частотах гирокомпаса с упругими опорами ротора. Полученные там же уравнения вибрации необходимы в задаче о погрешностях'"гирокомпаса. Показано также, что результаты второй главы имеют прямое отношение к более сложной модели, рассмотренной в последних главах, в частности, периоды прецессионных движений чувствительного элемента могут вычисляться по формулам второй главы.

1. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Черноусько Ф.Л. Быстрое движение вокруг неподвижной точки тяжелого твердого тела в сопротивляющейся среде.- Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1982, 3, с. 5-11.

2. Андреев В.Д., Блюмин И.Д., Девянин Е.А., Климов Д.М. Обзор развития теории гироскопических и инерциальных навигационных систем.- В кн.: Развитие механики гироскопических и инерциальных систем. М.: Наука, 1973, с. 33-72.

3. Арнольд В.И. Малые знаменатели П, Доказательство теоремы А.Н.Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона.- Успехи математических наук, 1963,т. 18, J& 5, с.13-40.

4. Арнольд В.И. Математические методы классической механики.- М.: Наука, 1979.- 432 с.

5. Архангельский Ю.А. Об алгебраических и однозначных интегралах в задаче о движении твердого тела в ньютоновском поле сил.-Прикладная математика и механика, 1963, т.27, № 4, с.697-698.

6. Архангельский Ю.А. Об однозначных интегралах в задаче о движении твердого тела в ньютоновском поле сил Прикладная матем. и мех., 1962, т.26, № 3, с.568-570.

7. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. М.: Наука, 1977. 328 с.

8. Баширов Р.Х. Уравнения движения гирокомпаса с однозначными общими интегралами.- В кн. Аэрофизика и геокосмические исследования. М.:изд. Московского физ.-техн. ин-та, 1983, с. 92-94.

9. Баншров Р.Х. Об интегрировании эволюционных уравнений гирокомпаса в кардановом подвесе.-В сб.: Прикладные методы механики. М.Московский физ.-техн. ин-т, 1984, с. 70-75. Рукопись деп. в ВИНИТИ 20.04.84. № 2529-84 ДЕП.

10. Ю. Баширов Р.Х. К исследованию динамики гирокомпаса на торсионном подвесе.- Изв.АН СССР, Механика твердого тела, 1984, № 2, с. 24 34.

11. Баширов Р.Х. Интегрирование эволюционных уравнений гирокомпаса в кардановом подвесе.- В кн.: Современные вопросы физики и приложения. Тезисы докладов и сообщений. М.: Ин-т общей физики1. АН СССР, 1984, с. 44.

12. Беген А. Теория гироскопических компасов Аншютца и Сперри и общая теория систем с сервосвязями. М.: Наука, 1967.- 172 с.

13. Беляев А.Ю., Петренко В.Е., Радыш Ю.В. Метод определения собственных частот гиромотора по параметрам его вибрации,- Изв. вузов. Приборостроение, 1982, т.25, 6, с. 65-69.

14. Блюмин Г.Д., Жбанов Ю.К., Кошляков В.Н.Гироскопические компасы.-В кн.: Развитее механики гироскопических и инерциальных систем. М.: Наука, 1973, с. 253-284.

15. Блюмин Г.Д., Чичинадзе М.В. Условия невозмущаемости.одноротор-ного гирокомпаса.- Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1964, J6 3, с. 71-78.

16. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.- М.: Физматгиз, 1963.- 412 с.

17. Богоявленский А.А. К вопросу о частных решениях задачи движения гироскопа в кардановом подвесе.- Прикладная матем. и мех., 1974, т. 38, 16 4, с.757-760.

18. Борзов В.И. Систематический уход гироскопа с синхронным двигателем.- Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1973, & 4, c.III-118.

19. Бородина P.M. Решение уравнений движения уравновешенного гироскопа методом усреднения. Укр. матем. ж., 1961, т.13, № 3,с. 97-100.

20. Булгаков Б.В. Прикладная теория гироскопов.- Изд. МГУ, 1976, 401с.

21. Бурлаков В.И., Будакова A.M. Двухстепенной гироскоп на вращающемся основании.- Гироскопические и навигационные системы. Пермь, 1982, с. 15-19.

22. Бутенин Н.В. Астатический гироскоп с сухим трением в осях кар-данова подвеса, установленного неподвижно на Земле.- Изв. вузов. Приборостроение, 1964, т.7, В 2, с.99-106.

23. Бутенин Н.В., Климов Д.М. Успехи механики гироскопических и инерционных систем в СССР.-Изв. вузов СССР. Приборостроение, 1977, т.20, J& 10, с.79-96.

24. Бутенин Н.В., Климов Д.М., Лунц Я.Л., Степаненко Н.П. Нелинейные задачи теории гироскопических систем,- В кн.: Развитие механики гироскопических и инерциальных систем. М.: Наука, 1973, С. 379-401.

25. Бутенин Н.В., Лестев A.M. Динамика нелинейных гироскопических систем при полигармонических колебаниях основания.- Изв. вузов; Приборостроение, 1982, т.25, №8, с.56-64.

26. Бутенин Н.В., Лестев A.M. К теории гирополукомпаса.- Изв. вузов. Приборостроение, 1964, т.7, 4, с.96-102.

27. Бухголц Н.Н. Основной курс теоретической механики. ч.1,2.- М.: Наука, 1972.

28. Василенко В.П., Онищенко С.М. К теории корректируемого двухро-торного гирокомпаса. Изв. АН СССР, Мех. твердого тела, 1971,4, с.30-37.

29. Василенко В.П., Темченко М.Е. К теории гирокомпаса на торсионном подвесе.- Инж. ж. Мех. твердого тела, 1966, I,с.6-13.

30. Веденин В.П. По поводу уходов гироскопов при вращении основания.-Изв. вузов. Приборостроение, 1968, т.II, № 8, с.67-72.

31. Воробьев В.М. 0 неустойчивости гирокомпаса при действии на ротор переменных моментов в условиях резонанса.- Прикладная механика, 1982, т.18, № 12, с. 102^-107.

32. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения твердого тела около неподвижной точки.- М.: Гостехиздат, 1953-288с.

33. Жбанов Ю.К. Гирогоризонткомпас на вибрирующем основании.-Прикладная матем. и мех., 1961, т.25, № 5, с.933-937.

34. Жбанов Ю.К. Решение уравнений движения гирогоризонткомпаса при конечных углах отклонения от меридиана.-Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1973, 4, с. 102-104.

35. Жбанов Ю.К. 0 точных решениях уравнений движения гирогоризонткомпаса. Изв. АН СССР. Мех. твердого теда, 1980, № 2, с.П-18.

36. Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1970, J& 3, с.171-175.

37. Журавлев В.Ф. Задача о равновесии неидеального подшипника.-Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, I970t J& 4, с. 72-77.

38. Журавлев В.Ф. Динамика ротора в неидеальных подшипниках.-Изв. АН СССР. Мех. твердого теда, 1971, ^ 5, с. 44-48.

39. Журавлев В.Ф. 0 движении свободного гироскопа при наличии внутренних возмущений.-Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1973, G1. J6 5, с.14-21.

40. Журавлев В.Ф. К вопросу об оценке эффекта Магнуса Докл. АН СССР, 1976, т.226, № 3, с.541-543.

41. Журавлев В.Ф. Обобщение теоремы Рэлея на гироскопические системы.- Прикладная матем. и мех., 1976, т.40, № 4, с.606-610.

42. Журавлев В.Ф., Лапин А.А. Явление самосинхронизации в скоростных гироскопических опорах.- Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1979, Jfc 4, с.3-10.

43. Зиглин С.Л. Ветвление решений и несуществование интегралов в гамильтоновой механике. Успехи матем. наук, 1980, т.35, Jfc 5, с. 253-254.

44. Ильин П.А., Сергеев М.А. Сухопутный двухстепенной гирокомпасс воздушными шаровыми опорами.- Л.: Труды Ленигградского инст. точной мех. и оптики, 1958, вып.36.

45. Ильчанинов В.П., Терешин В.Г. Поведение гироскопа в кардановом подвесе с неуравновешенными рамками на вращающемся основании.--Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1977,J6 5, с.63-66.

46. Ильчанинов В.П., Терешин В.Г. Об интегрировании уравнений движения двухстепенного гироскопа на вращающемся основании.- Изв. АН СССР, Мех. твердого тела, 1980, J6 I, с.48-50.

47. Ишлинский А.Ю. К теории гирогоризонткомпаса.- Прикладная матем. и мех., 1956: , т.20, № 4, с.487-499.

48. Ишлинский А.Ю. Механика гироскопических систем.- М.: Изд. АН СССР, I963.-L; 482с.

49. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация.--М.: Наука, 1976.-670 с.

50. Климов Д.М. Затухание собственных колебаний гироскопа в кардановом подвесе с сухим трением.- Докл. АН СССР, 1958, т.123,3, с.410-412.

51. Климов Д.М. О движении гироскопа в кардановом подвесе с неаксиально насаженным ротором.- Докл. АН СССР, 1959, т.124, В 3, с. 537-539.

52. Климов Д.М. Об условиях невозмущаемости гироскопической рамы.- Прикладная матем., и мех., 1964, т.28, JS 3, с.511-513.56. /(&/псг> 2), А/ лажа о/ nomdeafg^rcsccfx'cstjde/ns. /f 3)^/?. Syst. ; /5//"- Berfa. e.a., MM, с.

53. Климов Д.М., Слезкин H.A. Применение асимптотических методов к решению задачи о движении астатического гироскопа в кардановом подвесе.- Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1963, № 3, с.45-50.

54. Климов Д.М., Степаненко Н.П. Об интегрировании уравнений движения гироскопа в кардановом подвесе.- Инж. ж. Мех. твердого тела, 1967, & 6, с.143-150.

55. Климов Д.М., Филлипов В.А. 0 резонансе в существенно нелинейной системе.- Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1970, JS 6, с. 42-54.

56. Климов Д.М., Харламов С.А. Динамика гироксопа в кардановом подвесе.- М.: Наука, 1978. 208 с.

57. Кобрин А.И., Мартыненко Ю.Г. Об одном методе построения асимптотического решения задачи о движении гироскопа в кардановом подвесе.- Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1971, J& 3,с.40-47.

58. Кобрин А.П., Мартыненко Ю.Г., Новожилов О прецессионных уравнениях гироскопических систем.- Прикладная матем. и мех., 1976, т.40, Л 2, с.230-237.

59. Ковалевская С.В. Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки.- В кн.: Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. М.: Изд. АН СССР, 1940, о.11-49.

60. Козлов В.В. Несуществование однозначных интегралов и ветвление решений в динамике твердого тела.- Прикладная матем. и мех., 1978, т.42, В. 3, с.400-406.

61. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоноР) вой механике.- Успехи математических наук, 1983, т.38, ЖЕ,с. 1-67.

62. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона.- Докл. АН СССР, 1954, т.98, Jfe 4, с. 527-530.

63. Кондорский И.Д. К теории гиромаятниковых систем.- Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1970, J& 4, с.П-15.

64. Котляков В.Н. О приводимости уравнений движения гирокомпаса.--Прикладная матем. и мех., 1961, т.25, Л 5, с.801-805.

65. Кошляков В.Н. Об одном классе точных решений уравнений движения корректируемого гирогоризонткомпаса.- Изв. АН СССР.Мех. твердого тела, 1969, № 6, с.3-9.

66. Кошляков В.Н. Теория гироскопических компасов.- М.: Наука, 1972.- 344 с.

67. Кошляков В.Н., Сосницкий С.П. Об устойчивости гирокомпаса, Изв. АН СССР. Мех. твердого тела. 1969, № 3, с. 32-35.

68. Крылов А.Н.Друтков Ю.А. Общая теория гироскопов и некоторых технических их применений.- Л.:Изд. АН СССР, 1932.- 356 с.

69. Кудревич Б.И. Избранные труды.- Л.: Издание управления начальника гидрографической службы ВМФ, 1959.- 464 с.

70. Кузьмина Р.П., Новожилов Й.В. Применение методов пограничного слояв в задаче о движении гироскопа в кардановом подвесе.-Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1969, № I, с.31-35.

71. Лавров В.Н. Ориентирование подземной маркшейдерской съёмки гироскопическими приборами.- "Уголь", 1952, № 5 (314), с.10-17.

72. Лавров В.Н. Определение положения равновесия ЧЭ маркшейдерского гирокомпаса.- Л.:Труды Всесоюзного науч.-исслед. маркшейдерского института, I960, № 35, с.53-57.

73. Лестев А.Й. Нелинейные гироскопические системы.-Л.:ЛГУ, 1983- 226 с.

74. Летов A.M. К теории гирополукомпасов.- Инж. сборник, 1952, 13. с. 123-130.

75. Лунц Я.Л. Ошибки гироскопических приборов.-Л.: Судовождение, 1968.- 232 с.

76. Ляшенко В.Ф. О приводимости уравнений движения гирогоризонтком-паса и двухгироскопический вертикали.-Прикладная матем. и мех., 1962, т.26, Jfc 2, с.369-372.

77. Магнус К. Гироскоп, теория и применение.- М.: Мир, 1974.-526 с.

78. Меркин Д.Р. Об устойчивости движения гирорамы.- Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1966, № 5, с.26-32.

79. Меркин Д.Р. Гироскопические системы.- 2-е изд.- М.: Наука, 1974.- 344 с.

80. Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний М.: Наука, 1973.- 512 с.

81. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике.- М.: Наука, 1973.- 512 с.

82. Мозалевская Г.В., Хохлов А.И. Современное состояние задачи построения точных решений уравнений движения гироскопа в кардановом подвесе.- Исследование по истории механики.-М.: 1983, с.90-100.

83. Николаю Е.Л. О движении уравновешенного гироскопа кардановом подвесе.- Прикладная математика и мех., 1939, т.З, $ 4, с.3-33.

84. Новиков Л.З. Определение собственных частот колебаний электродвигателя, связанных с нелинейной упругостью подшипников.-Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1961, 1е6, с.84-90.

85. Новиков Л.З. Статика радиально-упорногопдарикового-цодшипника'с осевым натягом.- Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1963, В 5, с. 17-28

86. Новиков Л.З. О влиянии несферичности Земли на работу гирогори-зонткомпаса.- Прикладная матем. и мех., 1963, т.27, 5,с. 878-884.

87. Новожилов И.В. О понижении порядка уравнений гироскопических систем.- йнж. ж. Мех. твердого тела, 1966, Л 5, с.33-39.

88. Новожилов И.В. О применении асимптотических разложений теории дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной дия исследования гироскопических систем.- Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1970, Л 4, с.50-57.

89. Новожилов И.В. О переходе к прецессионным уравнениям гироскопии на бесконечном интервале времени.- Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 197I, № 5, с.10-15.

90. Павловский М.А., Петренко В.Е. Влияние поступательной вибрации на погрешности гироскопа с упругими шарикоподшипниками главной оси.- Изв. АН СССР, Мех. твердого тела, 1980, № 6,с.17-29.

91. Полубари(нова-Кочина П.Я. Об однозначных решениях и алгебраических интегралах задачи о вращении тяжелого твердого тела около непод-видной точки.- В кн.: Движение твердого тела вокруг неподвижной точки.-тМ.: Изд. АН СССР, 1940, с.157-186.

92. Ройтенберг Я.Н. К теории гироскопического компаса.- Прикладная матем. и мех., 1964, т.28, Л 5, с.812-828.

93. Руденко В.М. Определение собственных частот астатического гироскопа с упругим кардановым подвесом.- Изв. АН СССР. Мех. твердого теда, 1977, № 6, с.91-95.

94. Румянцев В.В. Об устойчивости движения гироскопа в кардановом подвесе.- Прикладная матем. и мех., 1958, т.22, Jfc 3, с.374-378.

95. Румянцев В.В. К динамике твердого тела, подвешенного на струне.--Изв. АН СССР. Мех. твер^рго тела, 1983, J& 5, с.5-15.

96. Садов Ю.А. Переменные действие: угол в задаче Эйлера-Пуансо.-Прикладная математика и мех., 1970, т.34, В 5, с.962-964.

97. Селезнев С.Р. Точный гирокомпас на неподвижном основании.-Инж. ж., 1963, т.З, №4, с.694-699.

98. Сергеев М.А. Наземные гирокомпасы.- М.: Машиностроение, 1969.232 с.

99. Слезкин Л.Н. О применении асимптотических методов к исследованию гироскопических систем.- Докл. АН СССР, 1962,т.147, I, с.57-59.

100. Смолицкий Х.Л. О движении гироскопа в кардановом подвесе на равномерно вращающемся основании.- Прикладная матем. и мех., 1967, т.31, № 5, с.951-958.

101. Смолицкий Х.Л. Ошибки гироскопа в кардановом подвесе, находящегося на подвижном основании.- Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1971, J& 3, с.29-39.

102. Соболев В.А., Стрыгин В.В. О допустимости перехода к прецессионным уравнениям движения гироскопических систем.- Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1978, № 5, с.10-17.

103. Тихонов А.Н. Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1980.- 230 с.

104. Филатов В.В. О влиянии ошибок изготовления шариковых подшипников карданового подвеса на уход гироскопических приборов.- Изв.

105. АН СССР. Мех. твердого тела, 1972, В I, с.30-38. 109. Харламов П.В. Некоторые классы точных решений задачи о движении системы гироскопов Лагранжа.- Матем. физ. Киев, 1982, J& 32, с.63-76.

106. НО. Харламов С.А. Нутационные колебания и уход синхронного гироскопа, установленного в кардановом подвесе.- Докл. АН СССР, 1962, т. 146, 3, с. 550-553.

107. Харламов С.А. О движении гироскопа, установленного на шариковых подшипниках в кардановом подвесе.- Прикладная матем. и мех.,1962, т.27, Л 2, с. 365-369.

108. Харламов С.А. О жесткости радиально-упорного шарикового подшипника с осевым натягом.- Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1962, В 5, с. I39-I4I.

109. Ходырев В.Я. Влияние на однородный гирокомпас сухого тренияв опорах подвеса его чувствительного элемента.- Труды ЦНИИ МФ, 1961, вып. 39, с. 93-113.

110. Черноусько Ф.Л. О движении спутника относительно центра С мае с под действием гравитационных моментов.- Прикладная матем. и мех.,1963, т.27, 3, с.474-483.

111. Черноусько Ф.Л. Движение твердого теда с полостями, заполненными вязкой жидкостью при малых числах Рейнольдса.-Ж.вычисл. матем. и матем. физ., 1965, т.5, № 6, 1049-1070 .

112. Четаев Н.Г. О гироскопе в кардановом подвесе.- Прикладная матем., и мех., 1958,"т.22, № 3, с. 379-381.

113. Чешанков ( В., Церяков М. Върху една задача на Ишлински.- Теоретична и приложна механика, 1983, т.14, Л 3, с. 30-40.

114. Шульман И.®. Интеркардинальная девиация гирокомпаса с жидкостно-торсионным подвесом.- Инж. ж. Мех. твердого тела, 1968, № 4,с. 38-42.

115. Ягодкин В.В., Хлебников Г.А. Гироскопические приборы баллистических ракет. М.: Воениздат, 1967,-216 с.

116. В иг {/ess JS., Fox C.MJ s/aA/iг a/ion of ancrifl seek/20 p/atfor/r? ccsi/гд а с/и/гв/лиа^ /и//ее/ //cot's joint gyre scope. - 5W 4Ш J Ш. Mecl im */f> M7-17J.

117. Fox C./7. J. a/7 с/ Maunder/. d^/iawa of a foment saspent/ea/ /lort/l teeh/г^ ^rocccpe. - J. о/ Me Mechanic*/ S/г^Шепгг^ Science, /97% 2J,124. /7 perturbation £c/u£'on о/ Me equations of /notion of a acsrcsccpe.959, 26, t/3.

118. Scict&rM. S>er Jfretse/ko/nbass uni&r &/i/^uss e/er

119. Sc/uf/sscAirtrtouayen. £et/strfri// /иг

120. MaiAemotik ипс/'MetAaaik., &Л, Me/t4. Вег&п, /Щ1. Г- <?зг- 2SO.

121. Уамa/notc Т. О/г criticsf speeJs о/ a s/la// suffiede/ ' fa a £а$ Searcy. J. Med, /959. M. M2, W-M