Динамика магнитного подвеса тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

РГБ ОД

1 2 СЕН 7 ИИ

На правах рукописи ВОРОНКОВ Виктор Сергеевич

ДИНАМИКА МАГНИТНОГО ПОДВЕСА

Специальность: 01.02.06 * днна&шка и прочность машин, приборов и

аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Нижний Новгород - 2000 г.

Работа выполнена в НИИ прикладной математики п кибернетики ННГУ

им. Н.И. Лобачевского

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

доктор фпзико-математпческпх наук

доктор физпко-математпческпх наук, профессор

доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ

Г.Г. Денисов

Д.В. Баландин В.А. Брусин

М.И. Фейгин

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

Защита состоится .......... 2000 г. в часов

на заседании диссертационного совета Д 063.77.05 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603600, Н. Новгород, пр. Гагарина, 23, корп.6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ННГУ Автореферат разослан "..........''.......................... 2000 г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интенсивное развитие технологии магнитного подвеса, наблюдаемое в настоящее время, требует развития качественных и аналитических методов исследования динамики, учитывающих особенности магнитного подвеса. Магнитный подвес относится к электромеханическим управляемым объектам. Его особенностью является то, что в отсутствие управления он неустойчив, а при обеспечении устойчивости, он имеет слабодемпфированные степени свободы.

Задачи динамики магнитного подвеса рассматривались в работах как отечественных авторов: Бочарова В.И., Вышкова Ю.Д., Ворбьева А.Й., Денисова Г.Г., Журавлева Ю.Н., Кацнельсона О.Г., Комарова В.Н., Кузина A.B., Линькова Р.В., Неймарка Ю.И., Мартыненко Ю.Г., Поздеева О.Д., Рабиновича Б.И., Тиля A.B., Урмана Ю.М., Шереметьевского H.H. и др. так и зарубежных: Бимса Д., Бодена К., Браунбека В., Поппа К., Хаберма-на Г., Фремерея Ю., Швейцера Г. и др.

Как следует из этих работ, успешное решение задач динамики магнитного подвеса во многом определяет успешность разработки конкретных устройств, использующих его преимущества. Сложность задач динамики магнитного подвеса обусловлена большим числом его степеней свободы как механических, так и электрических, нелинейностью его характеристик. Поэтому нахождение законов управления, обеспечивающих желаемую динамику магнитного подвеса, особенно в сложных подвесах, проводится, как правило, численными методами для конкретных устройств. Несмотря на возросшие возможности вычислительной техники, необходимость в качественных и аналитических методах исследования динамики магнитного подвеса сохраняется, поскольку такие методы дают обоснование достоверности расчетных результатов и технических решений.

Цель диссертационной работы состоит:

в развитии методов математического моделирования управляемых электромеханических объектов с приложением их к задачам динамики магнитного подвеса;

в развитии методов идентификации параметров и характеристик магнитного подвеса;

в развитии методов теории устойчивости и оптимальной динамики управляемых неустойчивых и слабодемпфированных объектов;

в применении теория к решению прикладных задач синтеза и анализа динамики магнитного подвеса.

Методы исследований, используемые в работе, базируются на методах классической механики, их расширении на электромеханику, на методах теории автоматического управления, качественной теории динамических систем, и методах теории устойчивости движения, на методах оптимизации и робастном подходе к устойчивости динамических систем.

В работах автора предложено расширение робастного подхода, используемого для линейных систем, на нелинейные. Такое расширение стало возможным с использованием критерия оптимальности динамики управляемых объектов в виде максимальности области притяжения стабилизируемого равновесия в фазовом пространстве с учетом реально существующих ограничений управляющих воздействий (МОП-критерий). Это позволило дать теоретическое обоснование известных технических решений магнитного подвеса и получить новые решения задач его динамики, оптимальной по устойчивости.

Научная новизна- В диссертации получены следующие новые научные результаты:

проведен анализ причин уменьшения области притяжения стабилизируемого состояния равновесия в фазовом пространстве магнитного нодвесг при учете ограниченности управляющих воздействий [1],[2],(5],[6] ;

поставлена и решена задача нелинейного робастного управления неустойчивыми объектами, оптимального по МОП-критерию [26],[36];

показана возможность расширения предложенного подхода к синтезу нелинейного робастного управления с неустойчивых на слабодемпфированньк объекты и достижения абсолютной устойчивости управляемых объектов обладающих консервативной устойчивостью [32], [35], [43];

показана возможность удовлетворения общепринятым критериям опти мальностп динамики неустойчивых управляемых объектов, если их дина мика является оптимальной по МОП-критерию [11], [40];

исследовано влияние на устойчивость магнитного подвеса с простейшие регулятором дополнительных механических и электрических степеней сво боды [15], [37], [46];

получены аналитические выражения законов нелинейного робастноп скалярного и векторного управления для различных вариантов магнитноп подвеса [11], [12], [16], [19], [44];

исследована динамика простейшего магнитного подвеса под действием внешних гармонических механического и электрического возмущений, найдены оценки максимально допустимых амплитуд этих возмущений [3], [33], [45];

получены аналитические выражения силовых характеристик магнитного подвеса с постоянными магнитами цилиндрической формы, имеющих осевую намагниченность, а также магнитного подвеса сферического ферромагнитного тела [20], [25].

Достоверность полученных результатов подтверждается качественными и аналитическими решениями задач динамики магнитного подвеса апробированными методами, а также данными экспериментальных исследовании и компьютерным моделированием.

Практическая значимость полученных результатов состоит в их применимости к разработке магнитных подвесов с оптимальной по устойчивости динамикой и, возможно, других неустойчивых и слабо демпфированных объектов. Новизна и практическая значимость ряда технических решений гирокомпаса с магнитным подвесом чувствительного элемента подтверждены авторскими свидетельствами [9], [13], [14], [18] и патентом [22].

Личный вклад автора. Решение задач динамики магнитного подвеса, оптимального по устойчивости, проводились автором самостоятельно. Эти задачи являются основой диссертации. В совместных работах с д.т.н. О.Д. Поздеевым, под руководством которого автор работал длительное время, отражены результаты теоретических и экспериментальных исследований гирокомпаса и градиентометра с магнитным подвесом чувствительного элемента. В этих работах автор принимал участие как ответственный исполнитель договорных работ, результаты которых обобщались в публикациях. В совместной работе [1] к.ф.-м.н. Саядалов В.М. участвовал в численном моделировании динамики одного из вариантов магнитного подвеса. В совместной работе [10] Воробьев-Обухов A.B. участововал в разработке и экспериментальном исследовании одного из вариантов гирокомпаса с магнитным подвесом. В совместных работах с д.ф.-м.н. Г.Г. Денисовым ему принадлежат постановка задач, обсуждение полученных результатов и редактирование. Совместные работы с Е.В. Беловой, И.В. Веселитским, К.В. Грязновым, Н.Ю. Грязновой, С.А. Сигунысовым проводились под научным руководством автора.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались: на итоговых научных конференциях ГГУ, 1973, 1974, 1977, 1978, 1979, 1980 г.г.; на Всесоюзном семинаре-совещании "Динамические системы и процессы управления", Горький, 1974 г.; на семинаре по механике систем твердых тел и гироскопов ИПМ АН СССР под руководством акад. А.Ю.Ишлинского, проф. Д.М. Климова, Е.А. Девянина, Москва, 1977 г.; на конференции "Проблемы нелинейных колебаний механических систем", Киев, 1978 г.; на Всесоюзном семинаре "Теория систем с разделяемыми движениями", Новосибирск, 1979 г.; на семинаре кафедр 301, 305, 309 Московского авиационного института, 1980 г.; на Всесоюзной школе "Проблемы базовых элементов инерциальных навигационных систем", г. Осташков, 1980 г.; на межотраслевых научно-технических конференциях памяти H.H. Острякова, г. Ленинград, 1982, 1988, 1996 г.г.; на Всесоюзных конференциях "Современные вопросы информатики, вычислительной техники и автоматизации", г. Москва, 1985, 1990 г,г.; на Всесоюзной конференции "Метод функций A.M. Ляпунова в современной математике", г. Харьков, 1986 г.; на Всесоюзных конференциях "Современные вопросы механики и технологии машиностроения", г. Москва, 1986, 1989, 1992 г.г.; на Всесоюзных конференциях "Современные проблемы физики и ее приложений", г. Москва, 1987, 1990 г.г.; на Всесоюзных конференциях по нелинейным колебаниям механических систем, г. Горький, 1987, 1990 г.г.; на семинаре по проблемам магнитного транспорта под руководством акад. К.В. Фролова, г. Москва, 1990 г,; на "Школе 91", посвященной 50-летию ВНИИЭМ, г. Москва, 1991 г.; на VII Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике, г. Москва, 1991 г.; на школе-семинаре "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов", г. Киев, 1991, 1992 г.г.; на семинаре по теории управления и оптимизации (Институт проблем механики РАН, 1993 г.', руководитель семинара - академик РАН Ф.Л. Черноусько); на конференциях "Нелинейные колебания механических систем", г. Н. Новгород, 1993, 1996, 1999 г.г.; на международных семинарах по устойчивости и колебаниям нелинейных систем управления, г. Москва, 1996, 1998 г.г.; на научно-технической конференции "Проблемы машиноведения", г. Н. Новгород, 1997 г.; на международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление", г. Самара, 1997 г.; на международной конференции "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация", посвященной 85-летию акад. Е.А. Барбашина г. Минск, 1998 г.; на международной конференции "Чка-

ловские чтения", г. Егорьевск, 1999 г.: на VII международной конференции "Устойчивость, управление п динамика твердого тела", г. Донецк. 1999 г.: на международных конференциях и симпозиумах, в трудах которых приведены работы автора по теме диссертации.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 41 работе, среди которых 5 статей в межвузовских научных сборниках Нижегородского госуниверсптета, 18 статей в центральных научных журналах, 18 докладов в трудах отечественных п международных научных конференций, симпозиумов.

Результаты прикладных исследований динамики магнитного подвеса п препмуществ его использования в технике отражены в 4 авторских свидетельствах, в патенте и в 38 отчетах по НИР.

Результаты диссертации получены в период с 1974 г. по 2000 г. при выполнении НИР, проводимых в Ш1И прикладной математики и кибернетики ННГУ, а также инициативных научных проектов, поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований, в двух из которых (проекты N 94-01-00214, 97-01-00669) автор диссертации был научным руководителем.

Объем работы. Диссертационная работа изложена на 216 страницах текста, иллюстрируется рисунками на 31 странице и состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы из 180 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе анализируется развитие исследований то магнитному подвесу в нашей стране и за рубежом на основе обзорных работ и трудов специализированных международных конференций и симпозиумов по магнитным подшипникам, по технологии магнитного подвеса. Отмечается, что вопросы оптимальной динамики магнитного аодвсса стали играть ведущую роль в этих исследованиях. При решении задач оптимизация магнитного подвеса в последнее время делается акцент на достижение его робастной устойчивости, предполагающей малую чувствительность к изменениям параметров и действию неопределенных внешних возмущений.

Отмечается, что понятие робастности является расширением понятия грубостп динамической системы, введенного A.A. Андроновым и JI.C. Пон-трягиным, для обозначения свойства системы не менять качественно дина-

мику при бесконечно малых вариациях ее математической модели. В отличие от грубости робастность предполагает сохранение качественного поведения системы, например ее устойчивости, уже при конечных вариациях математической модели таких, как интервальное задание параметров линейных систем, или секторное задание нелинейных характеристик в нелинейных системах.

Робастный подход к устойчивости нелинейных систем при секторном задании их нелинейных характеристик возник еще в работах А.И. Лурье, М.А. Айзермана, В.-М. Попова, положившим начало исследованиям по абсолютной устойчивости. Достижение абсолютной устойчивости предполагает единственность состояния равновесия и его устойчивость при произвольных начальных условиях, что для нелинейных систем является очень жестким требованием. Структура фазового пространства нелинейных систем далеко не всегда топологически эквивалентна структуре фазового пространства линейной системы. Более того, существуют системы, для которых такая структура фазового пространства является невозможной.

К таким системам относятся собственно неустойчивые объекты, стабилизируемые ограниченным управлением. Свойство абсолютной устойчивости нелинейных систем для систем с неустойчивым объектом наиболее близко отражает критерий оптимальности в виде максимальной области притяжения стабилизируемого состояния равновесия в фазовом пространстве (МОП-критерий). Этот критерий был предложен Г.А. Степаньянцем, и динамические системы, удовлетворяющие этому критерию, предложено им.называть оптимальными по устойчивости.

Магнитный подвес относится именно к таким объектам, для которых использование МОП-критерия является адекватным при нелинейной постановке задач синтеза и анализа динамики. Решение этих задач проводилось в процессе разработки конкретных устройств с магнитным подвесом. Описание некоторых из них приводится для лучшего представления о задачах динамики магнитного подвеса как объекта исследования.

Аналитические весы непрерывного взвешивания с магнитным подвесом подвижной системы [24], [30]. Принцип действия таких весов основан на. автоматическом уравновешивании веса подвижного элемента, нагруженного измеряемой массой, силой регулируемого магнитного поля. Весы- дозволяют вести непрерывный автоматический контроль взвешиваемой массы без механического контакта с ней по величине тока электро-

магнита, Достигнутая абсолютная погрешность измерения составляет 0.02 мг при измерении массы до 0.5 г. Поддержание равенства силы электромагнита весу вывешиваемого тела, зависящего как от его массы, так и от гравитационного ускорения, позволило расширить задачу динампки весов с магнитным подвесом на акселерометр с магнитным подвесом неизменяемой чувствительной массы [29], [42]. Измерение действующего на чувствительную массу ускорения проводится в этом случае, также как и в весах, с помощью непрерывного автоматического контроля тока электромагнита.

Гирокомпас с магнитным подвесом чувствительного элемента V [10],[23],[28],[39],[44]. Реакция гироскопического маятника на суточное вращение Земли позволяет"находить направление меридиана с помощью гирокомпаса по прецессинным колебаниям его чувствительного элемента. Первые варианты гирокомпасов использовали торсионный подвес чувствительного элемента, на смену которого и пришел магнитный подвес. В результате этой замены исключается операция "обнуления" торсиона, возможность аварийной ситуации, связанной с его обрывом, а также повышается предельная точность нахождения географического меридиана за счет еннже- и ния уровня вредных моментов, действующих на чувствительный элемент со стороны подвеса. В работе рассматриваются три варианта магнитного подвеса чувствительного элемента гирокомпаса в осесимметричном магнитном поле электромагнита: за ферромагнитный шар, к которому крепится с помощью штанги гпрокамера [18]; за ферромагнитную сферу, одновременно играющую роль гирокамеры [22]; за ферромагнитное тело, форма которого мало отличается от шаровой с целью использования эффекта его автовращения для придания чувствительному элементу кинетического момента [9], [13], [14].

Наибольшая точность гирокомпаса достигается в первом варианте магнитного подвеса чувствительного элемента и составляет доли угловой минуты на неподвижном основании. Второй вариант магнитного подвеса чувствительного элемента позволяет уменьшить интеркардинальную погрешность гирокомпаса при его работе на подвижном основании [28], [41]. Третий вариант магнитного подвеса чувствительного элемента позволяет существенно уменьшить габариты и энергопотребление гирокомпаса.

Магнитный подвес чувствительного элемента градиентометра / [21]. Характерной особенностью чувствительного элемента градиентометра является наличие двух пространственно разнесенных масс. Это дает воз-

можность измерять градиент гравитационного поля, в котором находится чувствительный элемент по величине действующего на него момента. Магнитный подвес, также как в гирокомпасе, заменяет торсионный подвес чувствительного элемента градиентометра и увеличивает его точность, за счет снижения; вредных моментов до уровня 10_12Яа1.

Наличие пространственно разнесенных масс в градиентометре делает ярковыражешшми упругие свойства его чувствительного элемента, которые, как показывает эксперимент и теоретическое исследование (15], приводят к потере устойчивости магнитного подвеса с простейшим регулятором. Решение задачи магнитного подвеса, оптимального по устойчивости при учете упругих свойств тела, позволило расширить ее постановку на аналогичную задачу при учете упругих свойств основания магнитного подвеса [12]. Проявление упругих п проводящих свойств основания магнитного подвеса является характерным для транспортных систем магнитной левитации.

Магнитный подвес вращающегося вала. Одним из первых маг' У нитных подвесов вала был подвес в поле одного электромагнита, который использовался для исследования влияния внутреннего трения на устойчивость свободно вращающегося вала. В настоящее время магнитный подвес вала, широко используемый в машиностроении, имеет более сложную конструкцию, содержащую активные магнитные подшипники, обеспечивающие осевую и радиальную стабилизацию вала. Решение задачи динамики магнитного подвеса, оптимальной по устойчивости, в этом случае является наиболее сложным в виду большого числа неустойчивых степеней свободы вала и возможной их взаимосвязи при проявлении гироскопичесого эффекта.

Исследуемые объекты позволяют увидеть тс преимущества и возможности магнитного подвеса, которые стимулируют его широкое использование в технике. Основными областями применения магнитного подвеса стали;.

машиностроение, в котором магнитный подвес - это, прежде всего, маг-^/нитные подшипники роторных машин;

прецизионное приборостроение, в котором магнитный подвес используется для неконтактного подвеса чувствительных элементов приборов, их виброзащиты;

транспортные устройства, в которых магнитный подвес пришел на смену колесу;

технологические установки и испытательные стенды, в которых маг-

нитный подвес снимает ограничения, обусловленные обычными механическими опорами.

По сравнению с обычными типами опор магнитный подвес позволяет: увеличить число степеней свободы вывешиваемого тела, без применения специальных устройств типа подвеса Кардана;

резко уменьшить сопротивление движению твердого тела по нестаби-лизируемым степеням свободы;

повысить чувствительность к силам и моментам, действующим на вывешиваемое тело;

получать малую жесткость подвеса л легко управлять ею, вплоть до получения астатического подвеса;

повысить надежность устройства за счет устранения износа механически контактируемых деталей;

снять ограничения на использование подвеса, вызванные наличием смазки;

изолировать вывешиваемое тело от окружающей среды; помещать вывешиваемое тело в вакуум, агрессивные среды; повысить предельные скорости вращения тел, практически ограниченные прочностью их материалов;

снизить эксплуатационные расходы за счет уменьшения потерь энергии при движении, за счет устранения смазки и т.п.;

снизить уровень шумов от движущихся частей и удовлетворить требованиям экологии;

хорошо диагностировать состояние и работу подвеса. Кроме того, магнитный подвес (и сверхпроводящий [8] как его разновидность) по сравнению с другими типами неконтактных подвесов обладает высокой грузоподъемностью, использует безопасное низкое напряжение питания, имеет возможность применения постоянных магнитов для создания требуемого поля подвеса с целью экономии энергозатрат.

Во второй главе рассматривается возможность единого подхода к задачам математического моделирования и линейно-квадратичной оптимизации магнитного подвеса. Существование такой возможности обусловлено вариационным принципом, предложенным Л. Эйлером. Областью применения этого принципа, сводящего задачу поиска экстремума функционала к задаче поиска решения дифференциального уравнения Эйлера, в первую очередь стала классическая механика. Вариационная формулировка зако-

нов классической механики Ньютона, данная Лагранжем, позволяет с большой степенью формализации получать математические модели механических объектов. Уравнения Лагранжа с точностью до знака совпадают с уравнениями Эйлера, получающимися из условия минимума функционала действия на истинном движении механической системы (принцип Гамильтона).

Формализм Лагранжа допускает расширение с чисто механических объектов на электромеханические. Использование такой возможности позволяет получать математические модели магнитного подвеса с помощью функций Лагранжа-Максвелла и соответствующих им уравнения Лагранжа.

Классическая постановка задач оптимального управления с самого начала проводилась на основе вариационного принципа Эйлера. На основе этого принципа построены теория аналитического конструирования регуляторов, в которой используется квадратичный функционал качества и теория оптимальных процессов, в которой используется принцип максимума Л.С. Понтрягина. В случае поиска экстремума квадратичного функционала задача оптимального управления сводится к поиску решения дифференциального уравнения Рлккати. Таким образом, вариационный принцип Эйлера может эффективно использоваться для математического моделирования динамики магнитного подвеса в целом, включая получение математических моделей регуляторов.

Эффективность использования вариационного принципа для аналитического решения задач оптимального управления даже в линейной постановке снижается с ростом размерности объекта управления. Это обусловлено тем, что задачи оптимального управления являются задачами на условный экстремум функционала, приводяюшие к удвоению порядка системы дифференциальных уравнений из-за необходимости поиска неопределенных множителей в методике Лагранжа поиска условного экстремума. Как следстие этого, даже в простейшем случае систем с постоянными коэффициентами решения задачи оптимизации получаются избыточными, что требует их сортировки для выделения единственного оптимального решения. Нахождение этого оптимального решения в общем случае становится возможным только численными методами. Возможность аналитического решения задачи линейно-квадратичной оптимизации динамики неустойчивых объектов в упрощенной постановке скалярного управления и простейшего вида квадратичного функционала от квадрата функции управления показана в [6].

Вариационный подход к решению задач математического моделирования н линейно-квадратичной оптимизации динамики показывается на примере простейшего магнитного подвеса, в котором осуществляется стабилизация только одной механической степени свободы тела, вывешиваемого в поле одного электромагнита.

С помощью функции Лагранжа-Макс велла, коэффициенты разложения которой в ряд Тейлора имеют физический смысл параметров простейшего магнитного подвеса, находится его математическая модель. Анализ характеристического уравнения неуправляемого объекта показывает, что среди его корней имеется единственный положительный, а остальные являются действительными отрицательными. Наличие положительного корня подтверждает неустойчивость равновесного состояния ферромагнитного тела в статическом магнитном поле, которая следует из общей теоремы Браун-бека.

По найденной математической модели простейшего магнитного подвеса проводится линейно-квадратичная оптимизация его динамики, также основанная на вариационном подходе. В результате находится аналитическое выражение передаточной функции оптимального регулятора.

В третьей главе проводится сравнительный анализ динамики различных вариантов простейшего магнитного подвеса с целью определения области его устойчивости в пространстве параметров, а также исследования влияния на его динамику реально существующих ограничений управляющего напряжения. Рассматриваются три варианта простейшего магнитного подвеса, отличающиеся используемым законом управления:

в первом варианте за основу выбирается закон управления, синтезированный по квадратичному критерию;

во втором - закон управления, отличающийся от синтезированного по квадратичному критерию качества учетом погрешности дифференцирования реального звена коррекции сигнала датчика перемещения вывешиваемого тела, восстанавливающего его скорость как неизмеряемую переменную состояния объекта;

в третьем - закон управления с инерционной обратной связью усилителя мощности, нашедший широкое распространение в практике магнитного подвеса.

Область устойчивости для этнх вариантов законов управления находится методом Б-разбиения Ю.И. Неймарка в плоскости двух параметров, ха-

рактеризующих жесткость и демпфирование простейшего магнитного подвеса. Показывается, что предельный переход к бесконечно большому коэффициенту усиления усилителя мощности по напряжению приводит во всех трех случаях к предельной по размерам области устойчивости, допускающей неограниченные значения жесткости и демпфирования простейшего магнитного подвеса. Проведенный сравнительный анализ устойчивости рассматриваемых вариантов простейшего магнитного подвеса показал, что в линейном приближении эти варианты являются аналогичными и нельзя отдать предпочтение какому-либо из них.

Показывается также, что большие значения коэффициента усиления усилителя мощности приводят к разделению движений в магнитном подвесе на быстрые по электрическим переменным и медленные по механическим. Интегральное многообразие медленных механических движений магнитного подвеса является устойчивым по отношению к быстрым электрическим движениям для значений жесткости и коэффициента демпфирования, из найденной области устойчивости [1]. Показывается, что на этом многообразии для найденного оптимального закона управления значение функционала от квадрата функции управления принимает нулевое значение, т.е. абсолютный минимум [11]. В этом случае простейший магнитный подвес может рассматриваться как обычный механический, обладающий некоторой жесткостью и демпфированием.

Большие значения коэффициента усиления усилителя мощности и тем более предельный переход к его бесконечному значению делают линейную математическую модель магнитного подвеса несоответствующей техническому требованию ограничений допустимых значений выходного напряжения усилителя мощности. В усилителе мощности предусматривается защита от перенапряжений его выходных каскадов и катушки электромагнита. Учет реально существующих ограничений управляющих воздействий приводит к нелинейной математической модели магнитного подвеса даже в случае линеаризации остальных его нелинейных характеристик. Предельный переход к бесконечно большому значению коэффициента усиления усилителя мощности приводит к релейному закону управления, учитывающему реально существующую ограниченность управляющих воздействий.

Сравнительный анализ динамики простейшего магнитного подвеса для рассматриваемых трех вариантов законов управления входным напряжением усилителя мощности, имеющим релейную вход-выходную характери-

стику, проводится исследованием структуры фазового пространства при линеаризовнных остальных характеристиках подвеса. Размерность фазового пространства в первом варианте равна трем, а во втором и третьем - четырем. Показывается, что предельный переход к бесконечно большому коэффициенту усиления усилителя мощности приводит к непрерывному переходу интегрального многообразия медленных движений линейной модели простейшего магнитного подвеса в интегральное многообразие так называемых скользящих движений релейной системы. Стабилизируемое состояние равновесия принадлежит интегральному многообразию скользящих движений и в него помещается начало координат фазового пространства.

Органиченность управления приводит к существованию дополнительных состояний равновесия, соответствующих ограничениям функции управления. Для простейшего магнитного подвеса эти дополнительные состояния равновесия являются неустойчивыми седлового типа. Через них в фазовом пространстве проходят сепаратрисные интегральные многообразия: усы сепаратрис и сепаратрисные гиперплоскости, задающие границы ограниченной области управляемости простейшего магнитного подвеса, внутри которой расположено стабилизируемое состояние равновесия. Учет ограниченности управления приводит также к тому, что в общем случае не вся гиперплоскость переключения релейной функции является областью скользящих движений. Появляются участки гиперплоскости переключения релейной функции, на которых фазовые траектории "прошивают" ее. В этом случае существует возможность появления замкнутых фазовых траекторий, которым соответствуют периодические движения нелинейной системы типа предельного цикла.

Поиск периодических движений и их устойчивости проводится методом точечных отображений гиперплоскости переключения релейной функции управления саму в себя при наличие участков скольжения и без них в зависимости от жесткости и величины демпфирования простейшего магнитного подвеса. В [2] и последующих работах [4), [5], [7] на эту тему показана возможность существования неустойчивых периодических движений в простейшем магнитном подвесе, приводящих к резкому сокращению области притяжения устойчивого состояния равновесия в фазовом пространстве, границы которой определяются в этом случае сепаратрисными многообразиями уже не неустойчивых состояний равновесия, а близлежащего неустойчивого периодического движения.

Анализ динамики в такой нелинейной постановке показал уже отличие динамики простейшего магнитного подвеса для рассматриваемых вариантах законов управления и важность такого показателя качества динамики неустойчивых объектов при ограниченном управлении как величина области притяжения стабилизируемого состояния равновесия в фазовом пространстве. В области устойчивости простейшего магнитного подвеса на плоскости параметров жесткость-демпфирование подобласть отсутствия нежелательных периодических движений получилась максимальной для первого варианта идеального закона управления, а из реализуемых - для второго. Найдены оптимальные параметры жесткость-демпфирование простейшего магнитного подвеса, при которых вся гиперплоскость переключения релейной функции управления является областью скользящих движений. Оказалось, что они определяются параметрами обратной связи по состоянию подвеса, найденными из решения задачи линейно-квадратичной оптимизации.

Существование неустойчивых периодических движений в простейшем магнитном подвесе дало объяснение наблюдаемой на практике невозможности существенного повышения жесткости подвеса без ухудшения качества его динамики. Ухудшение качества динамики магнитного подвеса при повышении его жесткости от некоторого оптимального значения проявляется в снижении допустимых возмущений, выводящих подвес из области притяжения стабилизируемого состояния равновесия.

Рассмотрение передаточных функций простейшего магнитного подвеса от внешнего гармонического возмущения к выходному напряжению усилителя мощности показало, что выход на ограничения функции управления с ростом амплитуды возмущения происходит прежде всего, когда используется третий вариант закона управления (с помощью инерционной обратной связи усилителя мощности). Этот случай соответствует наибольшей неравномерности амплитудно-частотной характеристики по сравнению с первым и вторым вариантами.

Проведенный сравнительный анализ динамики простейшего магнитного подвеса для различных вариантов законов управления показал, что наилучшим из них является закон с параметрами обратной связи по состоянию, найденными из решения задачи линейно-квадратичной оптимизации.

В четвертой главе рассматривается постановка и решение задачи синтеза нелинейного робастного управления по МОП-критерию [26]. Для

аналитического решения этой задачи используется математическая модель объекта управления, линеаризованная в окрестности стабилизируемого состояния равновесия, в стандартном виде

x = Ax + Bu. (1)

Здесь х = (xj,..., хп) — га-мерный вектор фазовых координат, или вектор состояния объекта (х € Rn)\ и = (и\,..., um)—m-мерныйвектор управляющих функций, пли вектор управления (и € Ят); матрицы A(n х п),В(п х т) предполагаются постоянными; точка обозначает производную по времени. К такому виду может быть приведена математическая модель магнитного подвеса в случае, если в функции Лагранжа-Максвелла учитываются члены разложения в ряд Тейлора до второго порядка малости обобщенных координат и скоростей. Начало координат фазового пространства Хп подвеса помещается в данном случае в стабилизируемое состояние равновесия.

Предполагается, что матрица А имеет s различных собственных значений с положительными реальными частями, а остальные п — s имеют отрицательные реальные части. Предполагается также, что размерность вектора управляющих воздействий совпадает с числом неустойчивых собственных значений матрицы А, т.е. т = s. В качестве допустимых управлений используются простейшие кусочно-линейные функции

Iu+, 0<Jj >

0а, -и~ < 0<rj < и+, (j = 1,..., т) (2)

—и~, — и~ > 0<Tj,

Vj = ECjkxt.

к

Здесь и* - уровни ограничений управляющих воздействий, которые в дальнейшем предполагаются симметричными и равными для всех компонент вектора управляющих воздействий и~ — и+; 0{m х га) - матрица коэффициентов линейного усиления входных сигналов оу, являющихся линейной комбинацией фазовых переменных ; С (га хп)' - матрица параметров обратной связп по состоянию, с помощью которых образуются входные сигналы а j. Вид j-й компоненты вектора управляющих воздействий (2) изображен на рис.1.

Рис.1

--F+ --

1.2 € 1.1 yí

I

Рис.2

Определение. Областью притяжения стабилизируемого состояния равновесия х — 0 в фазовом пространстве Хп системы (1) называется множество V £ X", определяемое из условий:

1) если Хо = х(0) € V, то решение системы (1) х(хо,<) € V для всех £ > 0;

2) /г'т/_ьоох(хо, = 0.

Из этого определения следует, что область притяжения V - это область асимптотического приведения переменных состояния объекта (1) в начало координат с помошъю управления (2), организованного по принципу обратной связи по состоянию объекта.

Величина области притяжения в общем случае зависит от используемого закона управления. В частности, V = 0 для законов управления, не обеспечивающих устойчивость начала координат. Для некоторых же законов управления область притяжения V может получиться максимальной, совпадающей с областью управляемости Ут системы (1) при ограниченных управлениях (2). Такие законы ограниченного управления считаются оптимальными по устойчивости, а максимальность области притяжения как характеристика качества динамики системы выбирается критерием поиска оптимального закона ограниченного управления.

МОП-критерий: Управление (2) считается оптимальным по устойчивости, если с его помощью достигается максимум области притяжения

стабилизируемого равновесия х = 0 в фазовом пространстве системы (1),(2). Достижение экстремума области притяжения может быть устана-влено исследованием структуры фазового пространства, что отличает этот подход от вариационного, традиционно используемого при поиске экстремума некоторого функционала.

Геометрический подход, основанный на методах фазового пространства, широко используется как метод анализа динамики систем различной природы. В данном случае этот подход используется для решения задачи синтеза, т.е. нопска множества оптимальных законов нелинейного управления, обеспечивающего выполнение критерия (3).

С помощью невырожденного преобразования переменных

7[и*(х)] = тахие(1У[ ч(х)] = У„

т

(3)

у = Бх

(4)

система (1) приводится к жордановой канонической форме

у = Ау - ии. (5)

Здесь Л - диагональная пхп матрица собственных значений матрицы А, и-тУ.п матрица постоянных коэффициентов. Компоненты матрицы Т)(пхп) определяются из решения матричных уравнений

БА - ЛБ = О, БВ = -и, (6)

а собственные значения матрицы А - из решения характеристического уравнения неуправляемого объекта

Хо(А) = (1а\А - АЕ| = 0, (7)

где Е - единичная диагональная матрица. Единственность решения уравнений (6) обоснована теоремой Ю.Н Андреева при существовании матрицы, обратной матрице V управляемости объекта.

Доказывается основное утверждение диссертации, лежащее в основе предложенного подхода к синтезу законов управления неустойчивыми объектами, оптимальных по МОП-критерию.

Утверждение. Необходимыми и достаточными условиями оптимальности алгоритма управления (2) по критерию (3) являются:

1) зависимость функции управления только от неустойчивых переменных объекта

= (¿ = 1,-,™), (8) что достигается при условии

С = Б, (9)

т.е. когда обратная связь по состоянию осуществляется по каноническим переменным объекта и является модальной при выборе ненулевых столбцов матрицы

( Рп ... Р\т о 0 ... О ^

р21 022 - 02т о 0 ... О

0 =

[Рт1 Рт2 ... Ртт 0 0 ... О

соответствующих только неустойчивым переменным (модам);

2) асимптотическая устойчивость неустойчивой части объекта при этом управлении, что достигается, если характеристическое уравнение

Х+(Л) = <fef|A+ - г/+/? - ЛЕ| = О

(И)

имеет собственные значения Àj с отрицательными реальными частями

Для j — в + 1,..., п это условие выполняется в силу постановки задачи.

Представление матрицы (10) в виде компонент, зависящих от собственных чисел А матрицы А с положительной реальной частью, и общего множителя /За позволило сформулировать условие устойчивости полинома (11) в виде условия, налагаемого всего лишь на единственный параметр

характеризующий наклон нелинейных функций (2) в угле Гурвица ¡3*. Как видно из рис.1, увеличение угла наклона /?0 приводит к релейным функциям управления

uj = и*signaj {j = 1,..., s), доопределяемых в точках разрыва сту = 0 предельным переходом

Особенностью предложенного подхода к синтезу является существование множества законов управления, на котором достигается выбранный критерий качества. Выявленное новое свойство нечувствительности МОП-критерия к вариациям нелинейной функции управления является аналогичным свойству абсолютной устойчивости управляемых собственно устойчивых объектов.

Оптимальной по устойчивости динамке управляемых неустойчивых объектов ставятся в соответствие оптимальные структуры фазового пространства в зависимости от наиболее характерных вариантов неустойчивой части объекта, который предполагается полностью управляемым и наблюдаемым.

В случае единственного положительного собственного значения матрицы неустойчивого объекта структура фазового пространства, изображенная

Re\j< 0 (j = l,...,s).

А) >

(12)

Ai =>■ то.

на рпс.2, характеризуется максимальной областью притяжения стабилизируемого состояния равновесия, границы которой определяются сепаратрис-ными многообразиями двух неустойчивых состоянии равновесия седлового типа, соответствующих нижнему и верхнему ограничениям функции управления.

В случае двух действительных положительных собственных значений матрицы неустойчивого объекта структура фазового пространства, изображенная на рис.3, характеризуется максимальной областью притяжения стабилизируемого состояния равновесия, границы которой определяются сепа-ратрисными многообразиями четырех неустойчивых состояний равновесия седлового типа, соответствующих выходу на нижнее или верхнее ограничение одного из двух управляющих воздействий. Сепаратрисы, входящие в эти состояния равновесия, берут свое начало в четырех неустойчивых состояниях равновесия типа неустойчивых узлов, соответствующих выходу на нижнее или верхнее ограничение обоих управляющих воздействий.

В случае двух комплексно-сопряженных собственных значений матрицы неустойчивого объекта с положительной реальной частью структура фазового пространства, изображенная на рис. 4, также характеризуется найденной максимальной областью притяжения стабилизируемого состояния равновесия. Границы этой области определяются сепаратрисными многообразиями четырех неустойчивых состояний равновесия седлового типа, соответствующих выходу на нижнее или верхнее ограничение одного из двух управляющих воздействий. Сепаратрисы, входящие в эти состояния равновесия, берут свое начало в четырех неустойчивых состояниях равновесия типа неустойчивых фокусов, соответствующих выходу на нижнее или верхнее ограничение обоих управляющих воздействий.

Использование предложенного подхода к поиску законов управления в магнитном подвесе для достижения оптимальной по устойчивости его динамики рассматривается на примере простейшего магнитного подвеса. Проводится сравнение результатов оптимизации этого подвеса по МОП-критерию [11] и проведенной ранее его оптимизации по квадратичному критерию [6]. Показывается, что множество законов нелинейного робастного управления в области их линейности включает подмножество законов линейного управления, оптимальных по найденному множеству квадратичных критериев качества. Полученные теоретические результаты подтверждаются экспериментальным исследованием оптимальной по устойчивости динамики

Рис.3

*2 1 V* 4 \ \ N Ч ч CT! = 0 Î 1.2 (+■-) 2.2 N. Щ 1

QsT\ 2.4 N (-.+) 1.4 с, =0 У Zi у 1.1 / а2=0 у§) 2.1 Л+.+)

Рис.4

простейшего магнитного подвеса [11]. Показывается также, что использование нелинейного робастного управления в простейшем магнитном подвесе обеспечивает наилучшую равномерность его амплитудно-частотных характеристик и, следовательно, предельно допустимые внешние возмущения [33], [45].

Данный пример показывает очевидные преимущества предложенного подхода к синтезу нелинейного робастного управления по сравнению с широко используемыми в практике методами синтеза по общепринятым критериям качества, например квадратичному. Этими преимуществами являются:

аналитическая форма представления результата синтеза, дающая ясное понимание зависимости структуры и параметров робастного регулятора от структуры и параметров объекта управления;

учет реально существующих ограничений управляющих воздействий на этапе синтеза, что, несмотря на нелинейную постановку задачи, приводит к оригинальному ее решение по линейной модели объекта уменьшенной размерности;

совмещение асимптотической устойчивости системы в области ее линейности с эффективностью приведения объекта в эту область максимально допустимым управлением;

достижение предельно допустимых внешних возмущений, не нарушающих устойчивой работы системы стабилизации неустойчивого объекта при ограниченном управлении;

возможность вариаций нелинейных функций управления в угле Гурвпца по аналогии с задачами абсолютной устойчивости.

Использование предложенного подхода к задачам синтеза оптимальных по устойчивости законов управления дает новые возможности:

совместного использования считающихся альтернативными адаптивного и робастного подходов к задачам управления [34];

теоретического обоснования нечеткой оптимизации систем и поиска законов управления, строящихся на базе нечеткой логики и отличающихся от обычно используемых простейших пропорционально-дифференцирующих [46] нечетких регуляторов.

В пятой главе рассматривается динамика магнитного подвеса со скалярным управлением при учете дополнительных механических и электрических степеней свободы. Необходимость учета дополнительных степеней

свободы обусловлена возможностью существенного влияния их на динамику магнитного подвеса. Как показала практика, в ряде случаев использование регулятора простейшего магнитного подвеса для стабилизации вывешиваемого тела по одной пространственной оси не обеспечивает его устойчивости.

Особенностью этих случаев является потеря устойчивости магнитного подвеса пз-за существенности дополнительных степеней свободы. Эти случаи представляют самостоятельный интерес для исследования как причин неустойчивости, так и способов обеспечения наилучшей динамики магнитных подвесов, более сложных по сравнению с рассмотренным простейшим.

Необходимость учета дополнительных механических степеней свободы в магнитном подвесе возникает в случаях, когда для элементов его конструкции становится неправомерной идеализация абсолютно твердого тела, или когда магнитный подвес реагирует на вращение вывешенного тела. В этих случаях в постановке задач динамики магнитного подвеса должны учитываться упруго-демпферные характеристики опоры и вывешиваемого тела, его несферичность или несбалансированность.

Необходимость учета дополнительных электрических степеней свободы в магнитном подвесе возникает в случаях, когда электромагнит подвеса имеет общий магнитный поток с дополнительными проводящими контурами. В этих случаях постановка задач исследования динамики магнитного подвеса должна учитывать проводящие свойства элементов конструкции.

Динамика магнитного подвеса со скалярным управлением при учете дополнительных степеней свободы исследуется для следующих его вариантов: двухмассовый магнитный подвес, который позволяет наиболее просто учесть упруго-демпферные свойства опоры и вывешиваемого тела [12], [15];

магнитный подвес несферичного ротора, который дает возможность рассмотреть его динамику как по поступательной, так и по вращательной степеням свободы [37];

магнитный подвес с контуром вихревых токов, который наиболее просто моделирует проводящие свойства элементов конструкции [16].

Учет дополнительных степеней свободы магнитного подвеса в этих случаях не увеличивает числа положительных корней характеристического уравнения неуправляемого объекта. Поэтому, как и в случае простейшего магнитного подвеса, поиск нелинейного робастного управления осуществляется также по неустойчивой подсистеме первого порядка. Такое

усложнение магнитного подвеса только усиливает эффективность предложенного подхода к синтезу ограниченного управления по МОП-критерию и обеспечению оптимальной по устойчивости динамики.

В шестой главе рассматривается оптимальная по устойчивости динамика магнитного подвеса с векторным управлением. Такие магнитные подвесы, более сложные по сравнению с простейшим, обеспечивают неконтактное вывешивание ферромагнитного тела с помощью системы электромагнитов, силовое воздействие которых на вывешиваемое тело не направлено по одной оси. Примерами таких подвесов могут быть магнитный подвес модели летательного аппарата в аэродинамической трубе, магнитный подвес транспортного устройства, подвес вала в активных магнитных подшипниках и т.д.

Усложнение конструкции магнитного подвеса с неизбежностью приводит к усложнению задачи обеспечения его устойчивости. Решение этой задачи проводится, как правило, двумя принципиально отличающимися подходами. Первый подход основан на децентрализованном управлении, при котором устойчивость подвеса тела с помощью системы электромагнитов достигается обеспечением устойчивости магнитного подвеса тела по отношению лишь к одному электромагниту. Выполнение этого требования для каждого из электромагнитов в ряде случаев приводит к устойчивости магнитного подвеса тела с помощью системы электромагнитов. Это очень удобный для практического применения подход. Он позволяет полностью использовать известные решения задач динамики магнитного подвеса с единственной неустойчивой переменной для более сложных магнитных подвесов, имеющих несколько неустойчивых переменных. Однако, этот подход в общем случае требует теоретического обоснования такой упрощенной постановки задачи.

Для магнитного подвеса транспортного устройства такое теоретическое обоснование может быть дано при условии разделения движений по скорости: медленные движения массивного экипажа и быстрые движения каждого из электромагнитов, обладающих по сравнению с экипажем существенно меньшей массой.

В отсутствие теоретического обоснования использование подхода децентрализованного управления в сложных магнитных подвесах не гарантирует обеспечение их устойчивости. В этом случае необходимо использование второго, альтернативного подхода централизованного управления, при ко-

тором закон управления: каждым электромагнитом определяется всей совокупностью переменных состояния магнитного подвеса.

Применение данного подхода рассматривается на примере неконтактного подвеса вала, в котором вместо обычных подшипников используются активные магнитные подшипники, содержащие систему электромагнитов, обеспечивающих осевую и радиальную стабилизацию вала. Сложность магнитного подвеса вала потребовала упрощающих подходов к решению задачи обеспечения его устойчивости. Предположение о независимости осевого и радиального магнитных подвесов вала позволило свести задачу динамики осевого магнитного подвеса вала к рассмотренной динамике простейшего магнитного подвеса п выделить радиальный магнитный подвес вала в самостоятельную задачу.

Первоначально была рассмотрена динамика радиального магнитного подвеса невращающегося вала в двух взаимно перпендикулярных плоскостях при нелинейном робастном векторном управлении [19]. Поиск такого управления производился по неустойчивой части системы второго порядка, соответствующей двум действительным положительным корням характеристического уравнения объекта, характеризующим неустойчивость состояния равновесия к поступательному отклонению центра масс вала и к его угловому отклонению относительно центра масс.

Затем в линейной постановке была рассмотрена робастность устойчивости синтезированной системы по отношению к изменению скорости вращения вала [38]. Найден диапазон допустимых скоростей вращения вала, превышение которого приводит к неустойчивости его радиального магнитного подвеса из-за проявления гироскопического эффекта. Найденный закон нелинейного робастного управления не учитывает гироскопический эффект, влияние которого растет с ростом скорости вращения вала. Поэтому такой закон управления допустимо использовать только в случаях, когда диапазон рабочих скоростей вращения вала лежит внутри найденного диапазона устойчивости радиального магнитного подвеса вала.

Учет гироскопического эффекта при синтезе нелинейного робастного управления угловыми движениями вала в радиальных магнитных подшипниках проводился на упрощенной модели этих движений, задаваемых линейными уравнениями волчка Лаграижа [43]. Рассмотрение изменений корней характеристического уравнения волчка в зависимости от скорости его осевого вращения показало, что среди них содержится два корня с поло-

жительной реальной частью в диапазоне скоростей вращения от нулевой до скорости, на которой происходит гироскопическая стабилизация волчка. В этом случае все корни характеристического уравнения выходят на мнимую ось и остаются на ней при дальнейшем повышении скорости вращения волчка.

Использование предложенного подхода к синтезу нелинейного робастно-го управления волчком Лагранжа показало возможность расширения этого подхода с неустойчивых объектов на консервативно устойчивые. В последнем случае, соответствующем гироскопически стабилизированному волчку, введение управления, зависящего только от скорости изменения переменной состояния во вращающейся системе координат, обеспечило в рамках линейной модели объекта абсолютную устойчивость вертикального расположения его центра масс над точкой опоры. Сектор допустимых изменении наклона функций управления (2) определяется в этом случае условием О < /?о < оо.

Структура матрицы обратной связи по фазовым переменным найденного нелинейного робастного управления гироскопически стабилизированным волчком совпадает с известной в механике структурой сил, обеспечивающих асимптотическую устойчивость объектов с четной степенью неустойчивости, стабилизированных гироскопическими силами. Эта структура включает помимо диссипативных еще циркуляционные силы, поскольку введение только диссипативных сил на основании теоремы Томсона-Тета разрушает устойчивость, достигнутую с помощью гироскопических сил.

В обоих случаях при использовании линейной модели волчка Лагранжа синтезированное нелинейное робастное управление удовлетворяет МОП-критерию. При отсутствии и при малых скоростях вращения, когда верхнее состояние равновесия волчка Лагранжа является неустойчивым, границы максимальной области притяжения стабилизируемого состояния равновесия определяются сепаратрисными многообразиями неустойчивых состояний равновесия, соответствующих ограничениям управления. Для гироскопически стабилизированного волчка область притяжения стабилизируемого состояния равновесия при найденном управлении достигает абсолютного максимума. В этом случае областью притяжения становится все фазовое пространство. Численное моделирование процесса приведения оси волчка в вертикальное положение с помощью найденного нелинейного робастно-

го управления [32] подтвердило результаты проведенного аналитического исследования.

Исследование динамики управляемого волчка Лагранжа при произвольных углах отклонения его оси от вертикали в случае гироскопической стабилизации показало [35], что предложенный подход к синтезу нелинейного робастного управления позволяет найти аналитическое выражение закона управления,, при котором областью притяжения верхнего состояния равновесия центра масс является все фазовое пространство, за исключением точки нижнего состояния равновесия.

С точки зрения механики полученные результаты позволяют расширить область применения теорем Томсона-Тета для достижения асимптотической устойчивости гироскопически стабилизированных объектов.

В седьмой главе рассматриваются задачи нахождения силовых характеристик магнитного подвеса. Знание этих характеристик необходимо для идентификации магнитного подвеса как объекта управления. Кроме того, при известной конструкции вывешиваемого тела одним из первых возникает вопрос о силе, действующей на него со стороны магнитного поля подвеса и диапазоне возможных ее изменений. Существуют разнообразные методы решения таких задач, поскольку областью их применения являются разнообразные электромеханические устройства, в которых происходит преобразование энергии магнитного поля в механическую или наоборот.

Рассматриваются особенности задач нахождения силовых характеристик магнитного подвеса по результатам экспериментальных измерений, как например в весах с магнитным подвесом [24], а также нахождение их аналитических зависимостей при наличии цилиндрической [25], [30] или сферической [20] симметрии магнитопровода подвеса чувствительных элементов приборов, при малых воздушных зазорах в магнитопроводе магнитного подвеса вала [19].

Знание аналитических зависимостей силовых характеристик магнитного подвеса требуется на стадии его разработки, особенно в случаях высокой стоимости нахождения их по результатам экспериментальных исследований. Для этого решаются задачи магнитостатики, в которых используется предположение о бесконечно большой магнитной проницаемости магнито-мягких ферромагнитных материалов магнитопровода и единичной магнитной проницаемости воздушного зазора. Это предположение позволяет считать, что силовые линии магнитного поля всегда направлены нормально

к поверхности ферромагнетика. Кроме того, предполагается возможность задания магнитного поля постоянного магнита плотностью поверхностного тока, определяемой используемым магннтотвердым материалом.

В заключении диссертации делается вывод о том, что проведенное исследование динамики магнитного подвеса можно квалифицировать как новое крупное достижение в развитии перспективного научного направления. Это развитие сформулировано в виде основных научных результатов, выносящихся на защиту.

1. Результаты анализа динамики простейшего магнитного подвеса, на основании которых выявлен показатель грубости, или робастности магнитного подвеса по отношению к вариациям его параметров и нелинейной функции управления, а также по отношению к действующим на него внешним возмущениям. Таким показателем является величина области притяжения стабилизируемого состояния равновесия в фазовом пространстве, максимальность которой принимается в дальнейшем за критерий оптимальности по устойчивости магнитного подвеса (МОП-критерий).

2. Предложенный подход к аналитическому синтезу нелинейного робаст-ного управления неустойчивыми объектами, при котором достигается оптимальная по устойчивости динамика магнитного подвеса.

3. Результаты, показывающие возможность удовлетворения ряду общепринятых критериев (квадратичному, равномерности частотных характеристик) оптимальности динамики простейшего магнитного подвеса при нелинейном робастном управлении.

4. Результаты исследования динамики магнитного подвеса со скалярным управлением при учете его дополнительных степеней свободы, таких как проводящие свойства и упругость элементов его конструкции, вращательной степени свободы вывешенного тела, на которую реагирует магнитный подвес. Данные результаты объясняют случал наблюдаемой на практике потери устойчивости магнитного подвеса с простейшим регулятором, когда влияние на его динамику этих дополнительных степеней свободы является существенным. Оптимальная по устойчивости динамика магнитного подвеса достигается в этих случаях введением в простейший регулятор корректирующих звеньев, передаточные функции которых находятся из полученных аналитических решений задач синтеза нелинейного робастного управления.

5. Результаты исследования динамики магнитного подвеса с векторным

управлением, каким является магнитный подвес вала в активных магнитных подшипниках. Такой магнитный подвес содержит систему электромагнитов, образующих один осевой и два радиальных магнитных подшипника. Оптимальная по устойчивости динамика такого магнитного подвеса достигается при нелинейном робастном управлении, синтезированным в простейшем случае при невращающемся вале и в более сложном случае при вращающемся вале. Учет гироскопического эффекта при синтезе нелинейного робастного управления угловыми движениями вращающегося вала в радиальных магнитных подшипниках проводился на упрощенной модели этих движений, задаваемых линейными уравнениями волчка Лагранжа.

6. Результаты исследования динамики волчка Лагранжа при нелинейном робастном управлении, показавшие возможность расширения предложенного подхода к синтезу нелинейного робастного управления с неустойчивых объектов на консервативно устойчивые. В последнем случае, соответствующем гироскопически стабилизированному волчку, нелинейное ро-бастное управление обеспечивает максимальную область притяжения вертикального расположения его центра масс над точкой опоры.

7. Результаты идентификации математических моделей исследуемых магнитных подвесов, связанных с нахождением силовых характеристик. Предложенный способ экспериментального нахождения силовых характеристик основан на использовании имеющихся в магнитном подвесе точных датчиков перемещения тела и тока электромагнита. Для магнитного подвеса с цилиндрической симметрией магнитопровода, в котором применяются постоянные магниты с осевой намагниченностью, найдена аналитическая зависимость силовой функции от поступательных и угловых степеней свободы. Для магнитного подвеса со сферической симметрией магнитопровода использована гипотеза точечного магнитного заряда, позволившая найти аналитические выражения его силовых характеристик, а также силовых характеристик демпферных катушек, создающих силовое воздействие на ферромагнитную сферу в горизонтальной плоскости.

Работы, отражающие содержание диссертации, приводятся в списке литературы в хронологическом порядке.

[1] Воронков B.C., Поздеев О.Д., Сандалов В.М. О динамике магнитного подвеса// Изв. вузов Электромеханика, 1974, N 10, С. 1082 - 1089.

[2] Воронков B.C., Поздеев О.Д. О динамике системы авторегулирования магнитного подвеса// сб. Динамика систем, изд-во ГГУ, 1975, вып. 5, С. 32

[3] Воронков B.C., Поздеев О.Д. Влияние высокочастотных возмущений на работу магнитного подвеса// Изв. вузов Электромеханика, 1976, N 9, С. 945 - 950.

[4] Воронков B.C. Динамика магнитного подвеса с инерционной обратной связью усилителя постоянного тока// Труды 1-й конф. молодых ученых ф-та ВМК ГГУ и НИИ ПМК. Сб. N 656-79 деп. в ВИНИТИ. С.57 - 77.

[5] Воронков B.C. Исследование динамики магнитного подвеса с инерционной обратной связью в усилителе постоянного тока// Изв. вузов Электромеханика, 1979, N 11, С. 1032 - 1040.

[6] Воронков B.C., Поздеев О.Д. Оптимизация системы стабилизации магнитного подвеса// Изв. вузов Приборостроение, 1979, Т. 23, N 9, С. 53

- 57.

[7] Воронков B.C., Поздеев О.Д. Исследование систем стабилизации магнитного подшипника// Изв. АН СССР Механика твердого тела, 1980, N 4, С.30-39.

[8] Воронков B.C. Устойчивость управляемого сверхпроводящего подвеса// Изв. вузов Приборостроение, 1981, Т. 24, N 8, С. 69 - 74.

[9] Воронков B.C., Денисов Г.Г., Поздеев О.Д. и др. Гирокомпас// Авт. свидетельство N 163 673 от 02.09.81.

[10] Воробьев-Обухов A.B., Воронков B.C., Денисов Г.Г., Поздеев О.Д. Вопросы создания и динамики гирокомпаса с магнитным подвесом чувствительного элемента// Труды Школы-80. М.: АН СССР, 1984, кн.1, С. 105 -113.

[11] Воронков B.C. Синтез системы стабилизации магнитного подвеса и экспериментальное исследование ее динамики// Изв .вузов Приборостроение, 1984, Т. 27, N 8, С. 32 - 37.

[12] Воронков B.C., Поздеев О.Д. Синтез системы стабилизации магнитного подвеса с учетом упругости элементов его конструкции// Изв. вузов Приборостроение, 1987, Т.ЗО, N 2, С. 61 - 65.

[13] Воронков B.C., Поздеев О.Д. и др. Гирокомпас// Авт. свидетельство N 252 476 от 01.04.87.

[14] Воронков B.C., Поздеев О.Д. и др. Гирокомпас// Авт. свидетельство N 252 477 от 01.04.87.

[15] Воронков B.C. Анализ динамики системы стабилизации магнитного подвеса с упругим основанием// Изв. вузов Приборостроение, 1988, Т. 31,

N 7, С. 41 - 45.

[16] Воронков B.C. Синтез системы стабилизации магнитного подвеса с контуром вихревых токов// Изв. вузов Приборостроение, 1989, Т. 32, N 5, С. 51 - 56.

[17] Воронков B.C. Синтез системы управления слабодемпфированными объектами// Автоматика, 1990, N 2, С. 80 - 85.

[18] Воронков B.C., Поздеев О.Д. и др. Маятниковый гирокомпас// Авт. свидетельство N 1 575 661 от 01.03.90.

[19] Воронков B.C. Стабилизация вала в активных магнитных подшипниках// Изв. АН СССР Механика твердого тела, 1991, N 4, С. 63 - 70.

[20] Воронков В.С, Поздеев О.Д. Определение сил, действующих на сферическое ферромагнитное тело в осесимметричном магнитном подвесе// Изв. вузов Электромеханика, 1992, N 3, С. 3 - 8.

[21] Воронков B.C., Поздеев О.Д. Динамика системы стабилизации магнитного подвеса чувствительного элемента градиентометра// Изв. АН Механика твердого тела, 1995, N 1, С. 25 - 32.

[22] Воронков B.C., Поздеев О.Д., Маятниковый гирокомпас// Патент РФ N 2 046 288 от 20.10.95, Бюл. N 29.

[23] Воронков B.C., Поздеев О.Д. Практика применения магнитного подвеса в маятниковых гирокомпасах// 2-я С.-Петербургская междунар. конф. по гироскопической технике и навигации. С.-Петербург: ЦНИИ "Электроприбор", 1995, часть 2, С. 38 - 45.

[24] Воронков B.C., Сигуньков С.А. Весы с магнитным подвесом// Приборы и техника эксперимента, 1996, N 3, С. 151 - 155.

[25] Воронков B.C., Веселитский И.В., Сигуньков С.А. Пондеромотор-ное взаимодействие двух постоянных магнитов цилиндрической формы// Журнал Технической Физики, 1996, Т. 66, вып. 5, С. 152 - 161.

[26] Воронков B.C., Синтез робастного нелинейного управления неустойчивыми объектами// Изв. РАН Теория и системы управления, 1996, N 6, С. 58 - 66.

[27] Воробьев А.И., Воронков B.C., Денисов Г.Г., Комаров В.Н. Линьков Р.В., Привер Л.С., Основные результаты исследований неконтактных подвесов и их применения в гироскопии и прецизионном приборостроении// Гироскопия и навигация, 1996, N 4 (15), С. 19 - 33.

[28] Воронков B.C. Помехозащищенность маятникового гирокомпаса с магнитным подвесом чувствительного элемента// 3-я С.-Петербургская

междунар. конф. по Интегрированным навигационным системам. С.Петербург: ГНЦ РФ - ЦНИИ "Электроприбор", 1996, часть 1, С. 200 - 205.

[29] Воронков B.C. Оценка точности акселерометра с магнитным подвесом// 4-я С.-Петербургская междунар. конф. по Интегрированным навигационным системам. С.-Петербург: ГНЦ РФ - ЦНИИ "Электроприбор", 1997, часть 1, С. 185 - 191.

[30] Воронков B.C., Веселитский И.В. Математические проблемы разработки весов с магнитным подвесом// Труды международной конференции "Математика в индустрии", Таганрог: ТГПИ, 1998, С. 83 - 84.

[31] Веселитский И.В., Воронков B.C., Денисов Г.Г. Вращение твердого тела с проводящим витком в однородном магнитном поле// Вестник ННГУ "Математическое моделирование и оптимальное управление", 1998, вып.1 (18), С. 61 - 72.

[32] Белова Е.В., Воронков B.C. Динамика волчка прп нелинейном ро-бастном управлении// Вестник ННГУ "Математическое моделирование и оптимальное управление", 1998, еып.1 (18), С. 177 -182.

[33] Воронков B.C. Устойчивость магнитного подвеса по отношению к внешним возмущениям при нелинейном робастном управлении// Вестник ННГУ "Математическое моделирование и оптимальное управление", 1998, вып.2 (19), С. 132 - 137.

[34] Воронков B.C. Робастное и адаптивное упавление в технологии магнитного подвеса// Сб. трудов 6-го Санкт-Петербургского симпозиума по Теории адаптивных систем, посвященного памяти Я.З. Цыпкина. С. Петербург: 1999, Т.2, с. 46 - 49.

[35] Воронков B.C., Денисов Г.Г. Стабилизация неустойчивых объектов с помощью гироскопических и диссипативных сил// Вестник ННГУ "Математическое моделирование и оптимальное управление", 1999, Вып. 2, С. 225 - 232.

[36] Voronkov V.S. Controllability and stabilizability of unstable objects. Proc. 3-rd Int. Symp. on Magnetic Bearings. 1992. Alexandria. USA. p.101-110.

[37] Voronkov V.S., Denisov G.G. The effect of a body's autorotation in the active magnetic bearings.//Proc. 4-th Int. Symp. on Magnetic Bearings. 1994. Zurich: ETH. pp. 339 - 342.

[38] Voronkov V.S., Gryaznov K.V., Gryaznova N. Yu. The robustness of the stabilizing system in the magnetic suspension of a rotating shaft// Proc.

i-th Int. Symp. on Magnetic Bearings. 2994. Zurich: ETH. pp. 41 - 45.

[39] Voronkov V.S., Pozdeev O.D., The practice of the magnetic suspension ipplication into the pendulous gyrocompasses// The 2-nd St. Petersburg Int. Conf. on Gyroscopic Technology and Navigation. St.Petersburg: CSRI 'Elektropribor". 1995. part 1. pp. 63-70.

[40] Belova E.V., Voronkov V.S. The quality performances of synthesizing control laws an unstable object from the criterion of obtaining the maximum region of attraction// Proc. 3-rd Int. Conf. on Motion and Vibration Control [MOVIC) JSME. 1996. Vol.3, pp. 455 - 460.

[41] Voronkov V.S. Antidisturbance protection of pendulous gyrocompass with magnetically-suspended sensor// 3-rd St. Petersburg Int. Conf. on [ntegrated Navigation System. St. Petersburg: CSRI "Elektropribor". 1996. part 2. pp. 154 - 159.

[42] Voronkov V.S. Estimating accuracy of the accelerometer with a magnetic suspension// 4-th St. Petersburg Int. Conf. on Integrated Navigational System. St .-Petersburg: SRC RF - CSRI "Elektropribor", 1997, pp. 232-237.

[43] Voronkov V.S. Nonlinear robust control of the top// Proc. 1-st Int. Conf. 'Control of Oscillations and Chaos". St. Petersburg. 1997. Vol.1, pp. 129-130.

[44] Voronkov V.S. Nonlinear Robust Control and its Application to the Magnetic Suspension Technology// NASA CP-207654, Langley RC. Hampton. Virginia (USA). 1998. pp. 441-449.

[45] Voronkov V.S. Robust Stability of a Magnetic Suspension with respect to External Perturbations// Proc. 4-th Int. Conf. on Motion and Vibration Control (MoViC'98). Zurich (Switzerland): Institute of Robotics. ETH. 1998. Vol. 3, pp. 995-998.

[46] Voronkov V.S. Fuzzy Optimization of a Magnetic Suspension under Exciting of Elastic Oscillations// Proc. 2-nd Int. Conf. "Control of Oscillations and Chaos (COC'2000)". St. Petersburg. 2000. Vol.1, pp.76-79.

Введение.о

Глава 1. Анализ развития магнитного подвеса как объекта исследования.

1.1. Анализ развития магнитного подвеса.

1.2. Магнитный подвес аналитических весов.

1.3. Магнитный подвес чувствительного элемента гирокомпаса.

1.4. Магнитный подвес чувствительного элемента градиентометра.

1.5. Магнитный подвес вращающегося вала.

Выводы.

Глава 2. Вариационные методы математического моделирования и линейно-квадратичной оптимизации магнитного подвеса.

2.1. Уравнения Дагранжа-Максвелла.

2.2. Задача линейно-квадратичной оптимизации.

2.3. Особенности линейно-квадратичной оптимизации систем стабилизации неустойчивых объектов.

2.4. Математическое моделирование простейшего магнитного подвеса.

2.5. Линейно-квадратичная оптимизация простейшего магнитного подвеса.

Выводы.

Глава 3. Анализ динамики простейшего магнитного подвеса

3.1. Постановка задачи сравнительного анализа динамики различных вариантов простейшего магнитного подвеса.

3.2. Устойчивость линеаризованных моделей простейшего магнитного подвеса.

3.3. Отклик неременных состояния простейшего магнитного подвеса на внешнее гармоническое возмущение, его перегрузочная способность.

3.4. Разделение движений в простейшем магнитном подвесе

3.5. Анализ динамики простейшего магнитного подвеса при ограниченном управлении.

Выводы.

Глава 4. Нелинейное робастное управление неустойчивыми объектами.

4.1. Критерий максимальной области притяжения (МОП-критерий).

4.2. Постановка задачи синтеза нелинейного робастного управления.

4.3. Управляемость, стабилизируемость и наблюдаемость объектов, условия оптимальности управления по МОП-критерию.

4.4. Структура фазового пространства оптимальных по устойчи вости систем в случае единственного положительного собственного значения матрицы объекта . . . . 106 4.5. Структура фазового пространства оптимальных по устойчивости систем в случае двух собственных значений матрицы объекта с положительной реальной частью.

4.6. Нелинейное робастное управление в простейшем магнитном подвесе и его оптимальная по устойчивости динамика

Выводы.

Глава 5. Динамика магнитного подвеса со скалярным управлением при учете дополнительных степеней свободы.12G

5.1. Динамика магнитного подвеса упругого тела.

5.2. Динамика магнитного подвеса с упругим основанием

5.3. Эффект автовращения несферичного ротора в магнитном подвесе.

5.4. Динамика магнитного подвеса с контуром вихревых токов.

Выводы.

Глава 6. Динамика магнитного подвеса с векторным управлением.

6.1. Математическая модель динамики вала, вращающегося в активных магнитных подшипниках.

6.2. Анализ собственных значений матрицы объекта, декомпозиция и агрегирование его математической модели

6.3. Синтез нелинейного робастного управления радиальными магнитными подшипниками в случае невращающегося вала

6.4. Робастность устойчивости магнитного подвеса вала в радиальных магнитных подшипниках.

6.5. Синтез нелинейного робастного управления волчком

Лагранжа.

Выводы.

Глава 7. Силовые характеристики магнитного подвеса

7.1. Экспериментальное нахождение силовых характеристик магнитного подвеса.

7.2. Силовые характеристики магнитного подвеса с постоянными магнитами цилиндрической формы.

7.3. Силовые характеристики магнитного подвеса сферического ферромагнитного тела.

7.4. Силовые характеристики магнитного подвеса при малых воздушных зазорах.

Выводы.

Мечта человечества о создании на Земле условий Космоса отразилась в дошедшей до наших дней легенде "О гробе Магомеда", который якобы парит над Землей и ни на что не опирается. Однако ни один очевидец подтвердить эту легенду не может: по закону Ислама всякому, кто осмелится проникнуть в Мавзолей (г. Медина), как только он выйдет оттуда, отрубят голову [106]. В этой легенде задача левитации, т.е. свободного парения тел в гравитационном поле Земли, представлена в виде великого таинства. Тайна левитации просуществовала непознанной до середины XX века. В конце тридцатых годов в лабораторных условиях Дж. Бимс, будущий профессор университета штата Вирджиния (США), неконтактно вывесил ферромагнитный шарик в магнитном поле электромагнита [152]. В 1945 г. В.К. Аркадьев, профессор МГУ, продемонстрировал свободное парение постоянного магнита над сверхпроводящей чашей [151]. Началось позпание и практическое использование тайны левитации. Анализ исследований по магнитному подвесу показывает, что их развитие проходило от первоначальных исследований его возможностей к изучению динамики твердого тела в магнитном подвесе, а затем к исследованиям собственной динамики магнитного подвеса.

Точкой отсчета повышенного интереса к динамике самого магнитного подвеса можно считать 1962 год, когда Г.Г. Денисов. Ю.И. Неймарк, О.Д. Поздеев сделали доклад на Секции навигационных систем АН СССР об эффекте автовращенпя тела в магнитном подвесе [ИЗ]. Этот эффект показал возможность активного влияния магнитного подвеса на динамику вывешиваемого твердого тела и то, что магнитный подвес только при очень грубых идеализациях может рассматриваться как аналог механических опор, обеспечивающих вывешивание тел с необходимой жесткостью и демпфированием. Кроме того, интерес к динамике магнитного подвеса стал диктоваться необходимостью удовлетворения конкретным техническим требованиям при его использовании в технических устройствах. Требовалось знание величины допустимых внешних водействий, диапазона допустимого разброса параметров и рабочих характеристик магнитного подвеса.

Задачи динамики магнитного подвеса рассматривались в работах как отечественных авторов: Бочарова В.И., Вышкова Ю.Д., Воробьева А.И. Денисова Г.Г., Журавлева Ю.Н., Кацнельсона О.Г., Комарова В.Н., Кузина A.B., Линькова Р.В., Неймарка Ю.И., Мартыненко Ю.Г., Поздеева О.Д., Рабиновича Б.И., Тиля A.B., Урмана Ю.М., Шереметьевского H.H. и др. так и зарубежных: Бимса Д., Бодена К., Браунбека В., Поппа К., Хабермана Г., Фремерея Ю., Швейцера Г. и др.

Как следует из этих работ, успешное решение задач динамики магнитного подвеса во многом определяет успешность разработки конкретных устройств, использующих его преимущества. Сложность задач динамики магнитного подвеса обусловлена большим числом его степеней свободы как механических так и электрических, нелинейностью его характеристик. Поэтому нахождение законов управления, обеспечивающих желаемую динамику магнитного подвеса, особенно в сложных подвесах, проводится, как правило, численными методами для конкретных устройств. Несмотря на возросшие возможности вычислительной техники, необходимость в качественных и аналитических методах исследования динамики магнитного подвеса сохраняется, поскольку такие методы дают обоснование достоверности расчетных результатов и технических решений.

Актуальность темы. Интенсивное развитие технологии магнитного подвеса, наблюдаемое в настоящее время, требует развития качественных и аналитических методов исследования динамики, учитывающих особенности магнитного подвеса. Магнитный подвес относится к электромеханическим управляемым объектам. Его особенностью является то, что в отсутствие управления он неустойчив, а при обеспечении устойчивости, он имеет слабодемпфированные степени свободы.

Принципиальная невозможность получения устойчивого состояния равновесия ферромагнитных тел в статическом магнитном поле доказана в теореме В. Браунбека [157]. Эта теорема развивает идеи теоремы Ирн-шоу [162], [101], ставившей целью объяснить устойчивость материи, состоящей, как известно, из положительно и отрицательно заряженных частиц. Преодоление запрета теоремы Браунбека на устойчивый подвес ферромагнитных тел в статическом магнитном поле стало возможным с развитием теории и средств автоматического управления. Обеспечение устойчивости является одной из основных задач динамики магнитного подвеса, решение которых является актуальным и для других неустойчивых [14]. [141] и слабодемпфированных объектов [38].

Цель диссертационной работы состоит в развитии методов математического моделирования управляемых электромеханических объектов с приложением их к задачам динамики магнитного подвеса; в развитии методов идентификации параметров и характеристик магнитного подвеса; в развитии методов теории устойчивости и оптимальной динамики управляемых неус тойчивых и слабодемпфированных объектов; в применении теории к решению прикладных задач синтеза и анализа динамики магнитного подвеса.

Методы исследований, используемые в работе базируются на методах классической механики [76]. [79], [95], [102], [103], и электродинамики [80]. [96]. [104]. [105], [107], [114], [119], [133] на методах теории автоматического управления [2], [3], [4], [10], [55], [92], [98]. [108], [128], [134]. [140], [148], [160], теории колебаний динамических систем [5], [13], [60]. [61], [64], [75]. [И 5], [136], [149], на методах теории устойчивости движения [1]. [9], [10], [55], [56], [63], [109]. [112], [131], [144], [150], методах оптимизации и робаст-ном подходе к устойчивости динамических систем [8], [11], [59]. [93]. [94], [97], [120], [121], [122], [123], [124], [126], [127], [132]. [135].

В работах автора предложено расширение робастного подхода, используемого для линейных систем, на нелинейные. Такое расширение стало возможным с использованием критерия оптимальности динамики управляемых объектов в виде максимальности области притяжения стабилизируемого равновесия в фазовом пространстве с учетом реально существующих ограничений управляющих воздействий (МОП-критерий). Это позволило дать теоретическое обоснование известных технических решений магнитного подвеса и получить новые решения задач его оптимальной по устойчивости динамики.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты: проведен анализ причин уменьшения области притяжения стабилизируемого состояния равновесия в фазовом пространстве магнитного подвеса при учете ограниченности управляющих воздействий [22], [23], [25], [26]. [27], [29]; поставлена и решена задача нелинейного робастного управления неустойчивыми объектами, оптимального по МОП-критерию [47]. [171]; показана возможность расширения предложенного подхода к синтезу нелинейного робастного управления с неустойчивых на слабодемпфированные объекты и достижения абсолютной устойчивости управляемых объектов, обладающих консервативной устойчивостью [12], [53], [177]; показана возможность удовлетворения общепринятым критериям оптимальности динамики неустойчивых управляемых объектов, если их динамика является оптимальной по МОП-критерию [26], [146]; исследовано влияние на устойчивость магнитного подвеса с простейшим регулятором дополнительных механических и электрических степеней свободы, действия внешних возмущений [25], [36]; получены аналитические выражения законов нелинейного робастного скалярного и векторного управления для различных вариантов магнитного подвеса [32], [33]. [37], [40], [178]; исследована динамика простейшего магнитного подвеса под действием внешних гармонических механического и электрического возмущений, найдены оценки максимально допустимых амплитуд этих возмущений [25],

51], [179]; получены аналитические выражения силовых характеристик магнитного подвеса с постоянными магнитами цилиндрической формы, имеющих осевую намагниченность, а также магнитного подвеса сферического ферромагнитного тела [41], [46].

Достоверность полученных результатов подтверждается качественными и аналитическими решениями задач динамики магнитного подвеса апробированными методами, а также данными экспериментальных исследований и компьютерным моделированием.

Практическая значимость полученных результатов состоит в их применимости к разработке магнитных подвесов с оптимальной по устойчивости динамикой и, возможно, других неустойчивых и слабодемпфнро-ванных объектов. Новизна и практическая значимость ряда, технических решений гирокомпаса с магнитным подвесом чувствительного элемента подтверждены авторскими свидетельствами [31]. [34], [35]. [39] и патентом [43].

Личный вклад автора. Решение задач динамики магнитного подвеса. оптимального по устойчивости, проводились автором самостоятельно.

Эти задачи являются основой диссертации. В совместных работах с д.т.н. О.Д. Поздеевым, под руководством которого автор работал длительное время, отражены результаты теоретических и экспериментальных исследований гирокомпаса и градиентометра с магнитным подвесом чувствительного элемента. В этих работах автор принимал участие как ответственный исполнитель договорных работ, результаты которых обобщались в публикациях. В совместной работе [22] к.ф.-м.н. Сандалов В.М. участвовал в численном моделировании динамики одного из вариантов магнитного подвеса. В совместной работе [20] Воробьев-Обухов A.B. участововал в разработке и экспериментальном исследовании одного из вариантов гирокомпаса с магнитным подвесом. В совместных работах с д.ф.-м.н. Г.Г. Денисовым ему принадлежат постановка задач, обсуждение полученных результатов и редактирование. Совместные работы с Е.В. Беловой, И.В. Веселитским, К.В. Грязновым, Н.Ю. Грязновой. С.А. Спгуньковым проводились под научным руководством автора.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались: на итоговых научных конференциях ГГУ, 1973, 1974, 1977, 1978, 1979, 1980 г.г.; на Всесоюзном семинаре-совещании "Динамические системы и процессы управления", Горький, 1974 г.; на семинаре по механике систем твердых тел и гироскопов ИПМ АН СССР под руководством акад. А.Ю.Ишлинского, проф. Д.М. Климова, Е.А. Девянина, Москва, 1977 г.; на конференции "Проблемы нелинейных колебаний механических систем", Киев, 1978 г.; на Всесоюзном семинаре " Теория систем с разделяемыми движениями", Новосибирск, 1979 г.; на семинаре кафедр 301, 305, 309 Московского авиационного института, 1980 г.; на Всесоюзной школе "Проблемы базовых элементов инерциальных навигационных систем", г. Осташков, 1980 г.; на межотраслевых научно-технических конференциях памяти H.H. Острякова, г. Ленинград, 1982, 1988, 1996 г.г.; на Всесоюзных конференциях "Современные вопросы информатики, вычислительной техники и автоматизации", г. Москва, 1985. 1990 г.г.; на Всесоюзной конференции "Метод функций A.M. Ляпунова в современной математике", г. Харьков, 1986 г.: на Всесоюзных конференциях "Современные вопросы механики и технологии машиностроения", г. Москва. 1986, 1989, 1992 г.г.; на Всесоюзных конференциях "Современные проблемы физики и ее приложений", г. Москва, 1987, 1990 г.г.; на Всесоюзных конференциях по нелинейным колебаниям механических систем, г. Горький, 1987, 1990 г.г.; на семинаре по проблемам магнитного транспорта под руководством акад. К.В. Фролова, г. Москва, 1990 г.; на "Школе 91", посвященной 50-летию ВНИИЭМ, г. Москва, 1991 г.; на VII Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике, г. Москва, 1991 г.; на школе-семинаре "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов", г. Киев, 1991, 1992 г.г.; на семинаре по теории управления и оптимизации (Институт проблем механики РАН, 1993 г., руководитель семинара - академик РАН Ф.Л. Черноусько); на конференциях "Нелинейные колебания механических систем", г. Н. Новгород, 1993, 1996, 1999 г.г.; на международных семинарах по устойчивости и колебаниям нелинейных систем управления, г. Москва, ИПУ РАН, 1996, 1998, 2000 г.г.; на научно-технической конференции "Проблемы машиноведения", г. Н. Новгород, 1997 г.; на международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление", г. Самара, 1997 г.; на международной конференции "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация", посвященной 85-летию акад. Е.А. Барбашина г. Минск, 1998 г.; на международной конференции "Чкаловские чтения", г. Егорьевск, 1999 г.; на VII международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела", г. Донецк, 1999 г.; на международных конференциях и симпозиумах, в трудах которых приведены работы автора по теме диссертации.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 41 работе, среди которых 5 статей в межвузовских научных сборниках Нижегородского госуниверситета5 18 статей в центральных научных журналах, 18 докладов в трудах отечественных и международных научных конференций, симпозиумов.

Результаты прикладных исследований динамики магнитного подвеса и преимуществ его использования в технике отражены в 4 авторских свидетельствах, в патенте и в 38 отчетах по НИР.

Результаты диссертации получены в период с 1974 г. по 2000 г. при выполнении НИР, проводимых в НИИ прикладной математики и кибернетики ННГУ, а также инициативных научных проектов, поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований, в двух из которых (проекты N 94-01-00214, 97-01-00669) автор диссертации был научным руководителем.

Объем работы. Диссертационная работа изложена на 216 страницах текста, иллюстрируется рисунками на 31 странице и состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы из 180 наименований.

6. Результаты исследования динамики волчка Лагранжа прп нелинейном робастном управлении, показавшие возможность расширения предложенного подхода к синтезу нелинейного робастного управления с неустойчивых объектов на консервативно устойчивые. В последнем случае, соответствующем гироскопически стабилизированному волчку, нелинейное ро-баетное управление обеспечивает максимальную область притяжения вертикального расположения его центра масс над точкой опоры.

7. Результаты идентификации математических моделей исследуемых магнитных подвесов, связанных с нахождением силовых характеристик. Предложенный способ экспериментального нахождения силовых характеристик основан на использовании имеющихся в магнитном подвесе точных датчиков перемещения тела и тока электромагнита. Для магнитного подвеса с цилиндрической симметрией магпитопровода, в котором применяются постоянные магниты с осевой намагниченностью, найдена аналитическая зависимость силовой функции от поступательных и угловых степеней свободы. Для магнитного подвеса со сферической симметрией магнитопровода использована гипотеза точечного магнитного заряда, позволившая найтп аналитические выражения его силовых характеристик, а также силовых характеристик демпферных катушек, создающих силовое воздействие на ферромагнитную сферу в горизонтальной плоскости.

Заключение

Способы получения оптимальной по устойчивости динамики магнитного подвеса являлись основной целью работы. Достижение этой цели было связано с решением общей задачи оптимального использования ограниченных ресурсов управления неустойчивыми и слабодемпфированными объектами, какими являются ферромагнитные тела, вывешиваемые в магнитном подвесе. Эта общая задача включала частные задачи, такие как: математическое моделирование устройств с магнитным подвесом; синтез оптимальных законов управления и анализ динамики магнитного подвеса; идентификация параметров и характеристик его математических моделей; нахождение допустимой неопределенности этих математических моделей; нахождение допустимых внешних воздейстий, не нарушающих устойчивости магнитного подвеса.

При постановке задач математического моделирования устройств с магнитным подвесом и линейно-квадратичной оптимизации простейшего магнитного подвеса использовался единый подход, основанный на вариационном принципе. Математические модели магнитного подвеса получались введением функций Лагранжа-Максвелла и соответствующих им уравнений Лагранжа.

Поиск линейного закона управления в простейшем магнитном подвесе, оптимального по квадратичному критерию, проводился методом аналитического конструирования регуляторов. Решение этой задачи показало, что эффективность использования метода аналитического конструирования для оптимизации динамики магнитного подвеса даже в линейной постановке резко снижается с ростом размерности его математической модели.

Достижение оптимальной по устойчивости динамики как простейшего, так и более сложных магнитных подвесов стало возможным на основе изложенных в диссертационной работе следующих научных результатов, выносимых на защиту.

1. Результаты исследований динамики простейшего магнитного подвеса, на основании которых выявлен показатель грубостп, или робастностп магнитного подвеса по отношению к вариациям его параметров и нели-аейной функции управления, а также по отношениям к действующим на aero внешним возмущениям. Таким показателем является величина области притяжения стабилизируемого состояния равновесия в фазовом пространстве. максимальность которой принимается в дальнейшем за критерий оптимальности по устойчивости магнитного подвеса (МОП-критерий).

2. Предложенный подход к синтез}^ нелинейного робастного управления аеустойчивыми объектами по МОП-критерию, позволяющий обеспечивать штнмалъную по устойчивости динамику магнитного подвеса.

3. Результаты, показывающие возможность удовлетворения ряду общепринятых критериев оптимальности динамики (квадратичный, равномерность амплитудно-частотных характеристик) для простейшего магнитного подвеса, синтезированного по МОП-критерию.

1. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.: АН СССР, 1963. - 140 с.

2. Айзерман М.А. Теория автоматического регулирования. Изд. 3-е М.: Наука, 1966 - 452 с.

3. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Высшая школа, 1989 - 263 с.

4. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. -М.: Наука. 1976 424 с.

5. Андронов A.A. Витт A.A. Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: ГИФМЛ, 1959 - 916 с.

6. Багрянцев В.И., Тюрин Ю.В. О динамической неустойчивости путевой структуры// Изв. АН СССР Энергетика и транстпорт, 1984, N1, С. 18 24.

7. Баландпн Д.В. Предельные возможности управления линейной системой// Доклады РАН, 1994, Т. 334, N 5, С. 571 573.

8. Барабанов А.Е., Первозванекий A.A. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (Н-теория)// Автоматика и телемеханика, 1992, N 9, С. 3 32.

9. Барбашпн Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука. 1967 -224 с.

10. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука. 1970 - 240 с.

11. Беллман Р. Динамическое программирование. М: Мир, 1960 - 400 с.

12. Белова Е.В., Воронков B.C. Динамика волчка при нелинейном робаст-ном управлении// Вестник ННГУ " Математическое моделирование и оптимальное управление'', 1998, вып.1 (18), С. 177 -182.

13. Боголюбов H.H. Мптропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1974 - 504 с.

14. Брусин В.А., Лсйбо A.M. Серебряков Д.К. Глобальная стабилизация неустойчивой нелинейной двухмаосовой системы// Изв. АН СССР Техн. кибернетика, 1991, N 4, С. 3 12.

15. Вейнберг Д.М., Верещагин В.П., Данилов-Нитусов H.H., Шереметьевский H.H. Системы магнитного подвеса в исполнительных органах управления ориентацией К А// Изв АН СССР Механика Твердого Тела, 1981, N 3, С.152 157.

16. Веселитский И.В., Воронков B.C., Денисов Г.Г. Вращение твердого тела с проводящим витком в однородном магнитном поле// Вестник ННГУ "Математическое моделирование и оптимальное управление". 1998, вып.1 (18), С. 61 72.

17. Воробьев В.М., Романович С.С., Федчун Л.В. О численном расчете устройств магнитного подвеса// Изв. вузов Электромеханика. 1978, N 7, С. 718 723.

18. Воробьев В.М. Воробьев -Обухов A.B., Дмптрпев А.Ю. Поздеев О.Д. Магнитный подвес тела с ферромагнитным диском// Приборы и техника эксперимента, 1976, N 5, С. 245 247.

19. Воробьев-Обухов A.B., Поздеев О.Д. Исследование характеристик и устойчивости магнитного подвеса с широтно-импульсным управлением током электромагнита// Изв. вузов Электромеханика, 1981, N 8, С. 866 870.

20. Воробьев-Обухов A.B., Воронков B.C. Денисов Г.Г., Поздеев О.Д. Вопросы создания п динамики гирокомпаса с магнитным подвесом чувствительного элемента// Труды Школы-80, М.: АН СССР, 1984, кн.1, С. 105 113.

21. Воробьев А.Н., Воронков B.C., Денисов Г.Г., Комаров В.Н. Линьков Р.В., Привер Л.С., Основные результаты исследований неконтактных подвесов и их применения в гироскопии и прецизионном приборостроении// Гироскопия и навигация, 1996. N 4 (15). С. 19 33.

22. Воронков B.C., Поздеев О.Д., Сандалов В.М. О динамике магнитного подвеса// Изв. вузов Электромеханика, 1974, N 10, С.1082 1089.

23. Воронков B.C. Поздеев О.Д. О динамике системы авторегулирования магнитного подвеса// сб. Динамика систем, изд-во ГГУ. 1975, вып. 5, С. 32 43.

24. Воронков B.C., Поздеев О.Д. Влияние высокочастотных возмущений на работу магнитного подвеса// Изв. вузов Электромеханика, 1976, N 9, С. 945 950.

25. Воронков B.C., Поздеев О.Д. Исследование динамики и перегрузочной способности магнитного подвеса с инерционной обратной связью усилителя постоянного тока// Отчет НИИ ПМК N 69033870/ Научн. рук. Неймарк Ю.И.- Горький, 1976 52 с.

26. Воронков B.C. Динамика магнитного подвеса с инерционной обратной связью усилителя постоянного тока// Труды 1-й конф. молодых ученых ф-та ВМК ГГУ и НИИ ПМК (сб. N 656-79 деп. в ВИНИТИ) 1979. С. 57 77.

27. Воронков B.C. Исследование дпнамики магнитного подвеса с инерционной обратной связью в усилителе постоянного тока// Изв. вузов Электромеханика, 1979. N 11, С. 1032 1040.

28. Воронков B.C., Поздеев О.Д. Оптимизация системы стабилизации магнитного подвеса// Изв. вузов Приборостроение. 1979, Т. 23, N 9, С. 53 57.

29. Воронков B.C., Поздеев О.Д. Исследование систем стабилизации магнитного подшипника// Изв. АН СССР Механика твердого тела, 1980. N 4, С.30-39.

30. Воронков B.C. Устойчивость управляемого сверхпроводящего подвеса// Изв. вузов Приборостроение, 1981. Т. 24. N 8, С. 69 74.

31. Воронков B.C. Денисов Г.Г., Поздеев О.Д. и др. Гирокомпас// Авт. свидетельство N 163 673 от 02.09.81.

32. Воронков B.C. Синтез системы стабилизации магнитного подвеса и экспериментальное исследование ее дпнамики// Изв.вузов Приборостроение. 1984. Т. 27. N 8. С. 32 37.

33. Воронков B.C., Поздеев О.Д. Синтез системы стабилизации магнитного подвеса с учетом упругости элементов его конструкции// Изв. вузов Приборостроение, 1987, Т.30, N 2. С. 61 65.

34. Воронков B.C., Поздеев О.Д. и др. Гирокомпас// Авт. свидетельство N 252 476 от 01.04.87.

35. Воронков B.C., Поздеев О.Д. и др. Гирокомпас// Авт. свидетельство N 252 477 от 01.04.87.

36. Воронков B.C. Анализ динамики системы стабилизации магнитного подвеса с упругим основанием// Изв. вузов Приборостроение, 1988, Т. 31, N 7, С. 41 45.

37. Воронков B.C. Синтез системы стабилизации магнитного подвеса с контуром вихревых токов// Изв. вузов Приборостроение. 1989, Т. 32, N 5, С. 51 56.

38. Воронков B.C. Синтез системы управленпя слабодемпфированными объектами// Автоматика. 1990. N 2, С. 80 85.

39. Воронков B.C. Поздеев О.Д. п др. Маятниковый гирокомпас// Авт. свидетельство N 1 575 661 от 01.03.90.

40. Воронков B.C. Стабилизация вала в активных магнитных подшипниках// Изв. АН СССР Механика твердого тела. 1991. X 4. С. 63 -70.

41. Bojjohkob В.С, Поздеев О.Д. Определение сил, действующих на сферическое ферромагнитное тело в осееимметричном магнитном подвесе// Изв. вузов Электромеханика, 1992. N 3, С. 3-8.

42. Воронков B.C., Поздеев О.Д. Дннампка системы стабилизации магнитного подвеса чувствительного элемента градиентометра// Изв. АН Механика твердого тела. 1995, N 1. С. 25 32.

43. Воронков B.C., Поздеев О.Д. Маятниковый гирокомпас// Патент РФ N 2 046 288 от 20.10.95, Бюл. N 29.

44. Воронков B.C., Поздеев О.Д. Практика применения магнитного подвеса в маятниковых гирокомпасах// 2-я С.-Петербургская междунар. конф. по гироскопической технике и навигации. С.-Петербург: ЦНИИ "Электроприбор", 1995, часть 2, С. 38 45.

45. Воронков B.C., Сигуньков С.А. Весы с магнитным подвесом// Приборы и техника эксперимента, 1996, N 3, С. 151 155.

46. Воронков B.C., Веселитский И.В., Сигуньков С.А. Пондеромоторное взаимодействие двух постоянных магнитов цилиндрической формы// Журнал Технической Физики, 1996, Т. 66. вып. 5, С. 152 161.

47. Воронков B.C., Синтез робастного нелинейного управления неустойчивыми объектами// Изв. РАН Теория и системы управления, 1996. N 6, С. 58 66.

48. Воронков B.C. Помехозащищенность маятникового гирокомпаса с магнитным подвесом чувствительного элемента// 3-я С.-Петербург, междунар. конф. по Интегрированным навигационным системам. С.Петербург: ГНЦ РФ ЦНИИ Электроприбор', 1996. часть 1, С. 200 - 205.

49. Воронков B.C. Оценка точности акселерометра с магнитным подвесом/ / 4-я С.-Петербургская междунар. конф. по Интегрированным навигационным системам. С.-Петербург: ГНЦ РФ ЦНИИ "Электроприбор". 1997, часть 1, С. 185 - 191.

50. Воронков B.C. Веселитский И.В. Математические проблемы разработки весов с магнитным подвесом// Труды международной конференции "Математика в индустрии", Таганрог: ТГПИ, 1998, С. 83 -84.

51. Воронков B.C. Устойчивость магнитного подвеса по отношению к внешним возмущениям при нелинейном робастном управлении// Вестник ИНГУ 11 Математическое моделирование и оптимальное управление" . 1998, вып.2 (19), С. 132 137.

52. Воронков B.C. Робаетное и адаптивное упавление в технологии магнитного подвеса// Сб. трудов 6-го Санкт-Петербургского симпозиумапо Теории адаптивных систем, посвященного памяти Я.З. Цыпкина. С. Петербург: 1999, Т.2, с. 46 49.

53. Воронков B.C., Денисов F.F. Стабилизация неустойчивых объектов с помощью гироскопических и диссипативных сил// Вестник ННГУ "Математическое моделирование и оптимальное управление", 1999, Вып. 2, С. 225 232.

54. Воронков H.H. Кутырев В.В. Гироскопическое ориентирование. М.: Недра. 1989 - 212 с.

55. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979 - 336 с.

56. Воротников В.И. Устойчивость динампческих систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991 - 288 с.

57. Вышков Ю.Д. Иванов В.И. Магнитные опоры в автоматике. М.: Энергия, 1978 - 160 с.

58. Вышков Ю.Д. Виброзащитные свойства устройств электромагнитной подвески// Изв. вузов Приборостроение. 1985, N9. С. 44 54.

59. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1971 - 508 с.

60. Галиуллин A.C. Методы решения обратных задач динамики. М.: Наука, 1986 - 224 с.

61. Ганпев Р.Ф., Воробьев В.М., Лютый A.M. Резонансные колебания гироскопических систем. Киев: Наук, думка, 1979 - 186 с.

62. Гапоненко В. А. Исследование устойчивости и качества регулирования магнитной подвески с помощью АВМ// Изв. вузов Электромеханика. 1971, N 3, С. 315 322.

63. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978 -400 с.

64. Гуляев В.И., Баженов В.А., Попов СЛ. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем. М.: Высшая школа, 1989 - 383 с.

65. Гусев К).И., Ефимов В.Н., Крымский В.Т., Рутковский В.Ю. Анализ и синтез интервальных систем. I. II (Обзор)// Изв. АН СССР Техн. киб-ка. 1991. N. 1. С. 2 23. N.2. С. 3 - 30.

66. Демидов А.Н. Ландау Б.Е. Лифшиц A.B. Магнитное центрирование поплавковых гироскопов. ЦНИИ "Румб". 1978 - 88 с.

67. Денисов Г.Г. Неймарк Ю.И., Поздеев О.Д., Цветков Ю.В. Экспериментальное исследование колебаний безопорного вращающегося вала// Динамика машин. М.: Машиностроение, 1969. С. 127 138.

68. Денисов Г.Г. Линьков Р.В., Поздеев О.Д., Романычев К).А., Химпн Ю.А. Анпзометр с магнитным подвесом образца// Приборы и техника эксперимента, 1981, N 5, С. 245.

69. Денисов Г.Г., Кугушева Е.К. О устойчивости вагона с магнитной подвеской// Изв. АН СССР Машиноведение. 1987. N 4, С. 43 48.

70. Денисов Г.Г. Поздеев О.Д. Особенности движения гирокомпаса с магнитным подвесом чувствительного элемента// Изв. вузов Приборостроение, 1981, Т.23, N 7. С. 70 74.

71. Денисов Г.Г., Комаров В.Н. Автовращение роторов гироскопов с большим углом нутации / / III С .-Петербургская Международная конференция по интегрированным навигационным системам, часть I. 1996, С. 61-66 .

72. Денисов Г.Г. Диссипацпя и устойчивость в механических системах// Изв. РАН Механика твердого тела, 1998 N 2, С. 183 190.

73. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М.: Мир. 1965 - 700 с.

74. Елеушов А.Д., Елеушова Г.А. Синтез робастной системы управления электромагнитным подвесом// Изв. вузов Электромеханика, 1996, N 5 6, С. 74 - 78.

75. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988 - 328 е.

76. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Физматлит, 1997 - 320 с.

77. Журавлев Ю.Н., Ветлицын А.М., Хмылко Н.В. Экспериментальное исследование электромагнитных опор для высокоскоростных роторов/ / Станки и инструменты, 1982, N 5, С. 13 14.

78. Журавлев Ю.Н. Динамика механических систем с активными магнитными опорами// Изв. АН СССР Машиноведение, 1988, N 5, С. 70 76.

79. Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. К исследованию устойчивости высокоскоростной центрифуги на электромагнитном подвесе// Изв. РАН Механика твердого тела, 1998, N -3, С. 197 -200.

80. Калантаров П.Л. Цейтлин М.Б. Расчет индуктивности. Л.: Энер-гоатомиздат, 1986 - 488 с.

81. Калебин С.М., Владимирский В.В. Устойчивость ферромагнитных тел, вывешенных в магнитном поле// Приборы и техника эксперимента, 1959, N 2. С 41 45.

82. Кацан Т.Н., Лебедев В.Г., Мытарев А.И. Управление электромагнитом в системах подвески скоростного транспорта// Изв. АН СССР Энергетика и транспорт, 1981, N 1, с. 108 112.

83. Кацнельсон О.Г., Эделыптейн А.С. Автоматические измерительные приборы с магнитной подвеской. М.:Энергия, 1970 - 216 с.

84. Комаров В.Н. Гашение нутации ротора гироскопа с магнитным подвесом // Межвуз. сб. "Математическое моделирование и оптимальное управление", Н.Новгород: ННГУ, 1996, С. 80-87.

85. Комаров В.Н., Денисов Г.Г. "Двойное автовращение роторов неконтактных гироскопов //Изв. вузов "Приборостроение", 1993, Т. 36, N 9-10 С. 52 57.

86. Кононов В.М. Грязнов K.B. Цифровая система управления магнитным подвесом// Межвуз. сб. "Системы управления и обработки информации", Н.Новгород: НПИ, 1991, С. 28 36.

87. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука. 1968 - 720с.

88. Кочетов Д.А., Кравцова Е.В., Позняк Э.Л. Исследование на математической модели устойчивости и вынужденных колебаний ротора на электромагнитных подшипниках активного типа// Вибротехника. Межвуз. сб. Вильнюс: "Мокслас", 1989, вып. 62 (1). С. 88 97.

89. Красовский A.A. Развитие принципа минимума обобщенной работы// Автоматика и телемеханика, 1987, N 1, С. 13 23.

90. Кувыкин В.И. Магнитное трение в неконтактных подвесах. Н. Новгород: изд-во общ-ва "йнтелсервнс1*, 1997 - 112 с.

91. Кузин A.B. Состояние и перспективы развития систем электромагнитной подвески моделей для экспериментальной аэродинамики// Приборы и техника эксперимента, 1992, N 3, С. 38 55.

92. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. -М.: Машиностроение, 1976 184 с.

93. Куржанекий А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности.- М.: Наука, 1977 328 с.

94. Лаврентьев М.А., Люетерник Л.А. Курс вариационного исчисления. М.-Л.: Гостехиздат. 1950 - 296 с.

95. Ландау Л.Д., Лифпшц Е.М. Механика. Электродинамика. М.: Наука. 1989 - 271 с.

96. Ландау Л.Д., Лпфшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука. 1982 - 763 с.

97. Ларин В.Б. Оптимизация в пространстве Харди и проблема параметризации регуляторов. (Обзор)//Ин-т механики АН Украины: Прикладная механика, 1992, Т. 28 (38), N. 2, С. 3 20.

98. Летов A.M. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981 - 256 с.

99. Лебедев В.Г. Мы та рев А.И., Рабинович Б.И. Об устойчивости систем бесконтактного электромагнитного подвеса// Изв. АН СССР Машиноведение, 1988, N 6, С. 6 13.

100. Линьков Р.В., Урман Ю.М. Влияние системы регулирования подвеса на угловые движения несбалансированного ротора неконтактного гироскопа/ / Изв. АН СССР Механика твердого тела, 1986, N 4, С. 5 -12.

101. Линьков Р.В., Миллер М.А. Ирншоу теорема// Физическая энциклопедия. М.: Советская Энциклопедия. 1990, Т.2, - С. 216.

102. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961 - 824 с.

103. Магнус К. Гироскоп. Теория и применения. М.: Мир,1974 -526 с.

104. Малеев П.И. Новые типы гироскопов.-Л.:Судостроение, 1971- 160с.

105. Мартыненко К).Г. Движение твердого тела в электрических и магнитных полях.- М.: Наука.- 1988. 368 с.

106. Мееров М.В. Спнтез структур систем автоматического регулирования высокой точности. М.: Наука, 1967 - 424 с.

107. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука. 1971 - 312 с.

108. Метлин В.Б. Магнитные и магнитогидродинамические опоры/под ред. Бертинова А.И. М.:Энергия, 1968 - 192 с.

109. Нагорекий В.Д., Шарендо И.О., Щербаков Н.И. Влияние жесткости ¡рессорного подвешивания на устойчивость многоточечного электромагнитного подвеса// Изв. вузов Электромеханика. 1985, N 1, С. 40 -46.

110. Неймарк К).И. Устойчивость линеаризованных систем. ЛКВВИА, 1949 - 140 с.

111. Неймарк Ю.И., Денисов Г.Г., Поздеев О.Д., Цветков Ю.В. О магнитном подвесе с автовращением ротора// Вопросы специальной радиоэлектроники.- 1964.- серия XIX.- вып. 2.- С. 3 12.

112. Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967 - 520 с.

113. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. 1972 - 472 с.

114. Неймарк Ю.И. Робастная устойчивость линейных систем// ДАН СССР. 1991. Т. 319. N. 3 С. 578 580.

115. Неймарк Ю.И. Меры робастной устойчивости и модальности линейных систем// ДАН РАН. 1992. Т. 325. N. 2. С. 247 249.

116. Новожилов И.В. Разделение движений в задаче о поезде в магнитном подвесе// Труды МЭИ, 1982, вып. 573, С. 3 8.

117. Парселл Е. Электричество и магнетизм. Берклеевскпй курс физики. Т.2 М.: Наука, 1975 - 440 с.

118. Первозванский A.A., Гайцгори В.Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. М.: Наука. 1979 - 344 с.

119. Петров Ю.П. Вариационные методы теории оптимального управления. Л.: Энергия, 1977 - 280 с.

120. Петров Ю.П. Синтез оптимальных систем управления при неполностью известных возмущающих силах. Л.: ЛГУ, 1987 - 292 с.

121. Позняк A.C., Семенов A.B., Себряков Г.Г., Федосов Е.А. Новые результаты в // v-теории управления// Изв. АН СССР Техническая кибернетика, 1991. N 6. - С. 10 - 39.

122. Поляк Б.Т. Цыпкин Я.З. Робаетная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники. Сер. техн.кибернетика, 1991, Т.32, С.З -31.

123. Понизовекий В.М. Получение больших центробежных полей// Приборы и техника эксперимента, 1957, N 4, С. 69 72.

124. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов. -М.: Наука,1969 -384 с.

125. Попов В.-М. Гиперустойчпвость автоматических систем/ Пер. с румынского. М.: Наука. 1970 - 456 с.

126. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М: Наука, 1973 - 584 с.

127. Рабинович Б.И., Лебедев В.Г., Мытарев А.И. Вихревые процессы и динамика твердого тела: Задачи динамики космических аппаратов и систем на магнитной подвеске. М.: Наука, 1992- 296 с.

128. Румшиский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента.- М.: Наука. 1971 192 с.

129. Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987 - 256 с.

130. Себряков Г.Г., Семенов A.B. Проектирование линейных стационарных многомерных систем на основе вход-выходных отображений. Методы Н-теории управления. (Обзор)// Изв. АН СССР Техн. кибернетика, 1989, N. 2, С. 3 16.

131. Сермонс Г.Я. Динамика твердых тел в электромагнитном поле. Рига: Зинатне, 1974 - 248 с.

132. Справочник по теории автоматического управления/ Под ред. A.A. Краеовского. М.: Наука, 1987 - 712 с.

133. Степаньянц Г.А. Тарарощенко Н.С. О структуре законов управления, обеспечивающих асимптотическую устойчивость систем управления с неустойчивым объектом // ДАН СССР. 1970. Т.193. N 4. С. 774 -776.

134. Степаньянц Г.А. Теория динамических систем. М.: Машиностроение. 1985 - 248 с.

135. Теория и применение магнитных подвесов/ Осокин Ю.А., Герди В.Н., Майков К.А., Станкевич И.Н. М.: Машиностроение,!980- 284 с.

136. Торнтон Р. Принципы проектирования магнитного подвешивания. Труды ин-та инж. по электротехнике и радиоэлектронике/ пер. с англ. 1973, N 5. С. 94-109.

137. Транспорт с магнитным подвесом/ под ред. Бочарова В.И. и Нагор-ского В.Д. М.: Машиностроение. 1991 - 320 с.

138. Уткин В.й. Скользящие режимы и пх применение в системах с переменной структурой. М.: Наука, 1974 - 272 с.

139. Фейгин М.И. К теории движения неустойчивого на курсе судна// Изв. АН СССР Механика твердого тела, 1982. N 11. С. 66 72.

140. Феоктистов В.Г. Лабораторные весы.- М.: Изд-во стандартов, 1979 -200 с.

141. Фпллипов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью,- М.: Наука, 1985 223 с.

142. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами.- М.: Наука, 1974. 368 с.

143. Харитонов В.Л. Об асимптотической устойчивости равновесия семейства линейных дифференциальных уравнений// Диф. ур-ння. 1978. Т.14. N. И. С. 2086 2088.

144. Химии Ю.А. Линьков Р.В. Денисов Г.Г., Урман Ю.М., Вяткин В.А. Прибор для измерения вращательного гистерезиса// Приборы и техника эксперимента, 1976, N 6, С. 170 172.

145. Цурек Р. Современный уровень развития транспортных систем с магнитным подвесом//Же л. дороги мира, 1981, N 10, С.26 30.

146. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы.- М.: Наука, 1973 283 с.

147. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988 - 320 с.

148. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука. 1990 - 176 с.

149. Arkadiev V.K. Hovering of magnet over superconducter// Journal of Physics (Moscow), 1945. Vol. 9, N 2, p. 148.

150. Beams J.W. Higli rotational speeds// .Journal of Applied Physics, 1937, Vol. 3, N 12. pp. 795 806.

151. Beams J.W.,Hulburt C.W., Lotz W.E. Jr., Montague R.M. Jr. Magnetic suspension balance// Review of Scientific Instruments, 1955, Vol.26. N 12, pp. 1181 1185.

152. Boden K. Fremerey J.K. Industrial Realization of the "SYSTEM KFA-JULICH" Permanent Magnet Bearing Lines// Proc. MAG"92 Conference and Exhibition. Lancaster: Technoinic Pub. Co., 1992, pp. 43 60.

153. Boerdijk A.N. Technical aspects of levitation. Philips Research Reports. R N 284, 1956, Vol. 11. no. 1, pp.45-56.

154. Braunbeck W. Freischwebende Korper in electrischenunci magnetischen Feld//Z. Phys. 1939. b.112, h.7,8. s.753-763.

155. Dhar D., Barrett L.E., Knospe C.R., Optimum Design of Decentralized Magnetic Bearings for Rotor Systems// Proceedings of 3-rd Int. Syinp. on Magnetic Bearings. 1992. Alexandria, USA, pp. 47 59.

156. Dovgopoly A.S. Ground-based Gyrocompasses and Gyroteodolites// 2-nd Soviet-Chinese Symposium on Inertial Technology, St. Petersburg: CSRI '*Elektropribor", 1992, pp. 6 8.

157. Doyle J.C., Francis B.A. Tannenbaum A.R. Feedback Control Theory -N.Y.: Macmillan Pub. Co., 1992 226 p.

158. Dussaux M. The Industrial Apphcations of Active Magnetic Bearings Technology// Proc. 2-nd Int. Symp. on Magnetic Bearings. Tokyo, 1990, pp. 33 38.

159. Earnshaw S. On the nature of the molecular forces// Trans. Cambridg " Phil. Soc. 1842, Vol.7, pp. 97-112.

160. Frasier R.H., Gihnson P.J. Oberbeck G.A., Magnetic and electric suspension//'"The MIT Press", 1974 365 p.

161. Geary P.J. Magnetic and electric suspension. London. BSIRA, 1964 162 P

162. Habermann H. Loyen R. Joly P., Auber Y., Perfectionnements apport aux appareils a element tournant supporte par des paliers magnetiqu.es// Brevet d'invention, France N 2 149 644, 30.03.1973.

163. Jayawant B.V. Electromagnetic suspension and lévitation. Reports on progress in physics. 1981. Vol.44, no. 4. pp.411-477.

164. Komarov V.N. Damping Rotor Nutation Oscillations in a Gyroscope with Magnetic Suspension // NASA Conference Publication 3336, Part I. NASA Langly Research Center. USA, Hampton, 1996, pp. 327-334.

165. Kuzin A.V. Progress of Magnetic Suspension Systems and Magnetic Bearings in the USSR//NASA Conference Publication 3152, NASA Langly Reasearch Center. USA. Hampton, 1992. pp. 58 66.

166. Schweitzer G., Bleulcr H., Traxler A., Active Magnetic Bearings (Basics, Properties and Apphcations). Zurich: ETH, 1994 - 240 p.

167. Tieste K.-D., Popp K. Dynamical Behavior of Linear Maglev Support Unit for Fast Tooling Machines// Proc. 4-th Int. Symp. on Magnetic Bearings. Zurich: ETH, 1994, pp. 269 274.

168. Yoronkov V.S. Controllability and stabilizability of unstable objects// Proceedings of 3-rd Int. Svnip. on Magnetic Bearings, 1992. Alexandria, USA, pp.101-110.

169. Yoronkov V.S., Denisov G.G. The effect of a body's autorotation in the active magnetic bearings.//Proc. 4-th Int. Syrnp. on Magnetic Bearings, 1994, Zurich: ETH, pp. 339 342.

170. Yoronkov V.S., Gryaznov K.V., Gryaznova N. Yu. The robustness of the stabilizing system in the magnetic suspension of a rotating shaft// Proceedings 4-tli Int. Svnip. on Magnetic Bearings, 1994, Zurich: ETH, pp. 41-45.

171. Yoronkov Y.S. Antidisturbance protection of pendulous gyrocompass with magnetically-suspended sensor// 3-rd St. Petersburg Int. Conf. on Integrated Navigation System. St. Petersburg: CSRI "Elektropribor", 1996, part 2. pp. 154 159.

172. Yoronkov Y.S. Estimating accuracy of the accelerometer with a magnetic suspension// 4-th St. Petersburg Int. Conf. on Integrated Navigational System. St .-Petersburg, SRC RF CSRI "Elektropribor", 1997. pp. 232237.

173. Yoronkov Y.S. Nonlinear robust control of the top// Proceedings 1-st Int. Conf. '"Control of Oscillations and Chaos". St. Petersburg. 1997, Yol.l. pp. 129-130.

174. Yoronkov \ .S. Nonlinear Robust Control and its Application to the Magnetic Suspension Technology// NASA CP-207654, Langley Research Center, Hampton. Virginia (USA), 1998. pp. 441-449.

175. Yoronkov Y.S. Robust Stability of a Magnetic Suspension with respect to External Perturbations// Proceedings of 4-th Int. Conf. on Motion and Vibration Control (MoViC'98). Zurich (Switzerland): Institute of Robotics, ETH, 1998, Vol. 3, pp. 995-998.

176. Voronkov V.S. Fuzzy Optimization of a Magnetic Suspension under Exciting of Elastic Oscillations// Proceedings of 2-nd Int. Conf. "Control of Oscillations and Chaos (COC^OOO)". St. Petersburg, 2000. Vol.L pp.76.79.