Применение метода неприводимых тензоров в задачах динамики твердого тела в неоднородных силовых полях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

005051349

УС\і/

Лапин Николай Иванович

На правах рукописи

Применение метода неприводимых тензоров в задачах динамики твердого тела

01.02.01. - Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

і АПР ¿013

Москва - 2013

005051349

Работа выполнена на кафедре физики и физического образования Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Нижегородского государственного педагогического университета им. Козьмы Минина

Научный руководитель:

Урман Юрий Михайлович,

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

Кобрин Александр Исаакович,

доктор физико-математических наук, профессор

Буров Александр Анатольевич,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

Ведущая организация: Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского

Защита состоится 26 апреля 2013 г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.22 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, 1, Главное здание МГУ ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале отдела диссертаций (Ломоносовский проспект, 27, Фундаментальная библиотека, сектор А - 8 этаж, к.812).

Автореферат разослан 26 марта 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 501.001.22, кандидат физико-математических наук, доцент В.А. Прошкин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Актуальность исследования обусловлена развитием устройств, использующих бесконтактное вывешивание твердого тела в магнитном или электрическом поле, исследование динамики космического аппарата в гравитационном и магнитном полях Земли, разработки новых технологических процессов и систем, технические характеристики которых определяются динамическим поведением твердого тела при взаимодействием с неоднородным силовым полем. Задача описания взаимодействия твердого тела с неоднородным полем имеет свою специфику, приводящая к существенному усложнению структуры взаимодействия тела с полем, по сравнению с классической постановкой задачи о движении твердого тела с закрепленной точкой в однородном гравитационном поле. Принципиальным в данных задачах является особый вид сил и моментов сил, возникающих при рассмотрении взаимодействия.

В связи с изложенным, возникает проблема описания взаимодействия в наиболее удобном для исследования виде. Так как силы и моменты сил имеют свою специфику, то точное аналитическое решение задачи о движении твердого тела недостижимо. Поэтому форма описания такого взаимодействия должна быть удобна для нахождения приближенных уравнений, описывающих динамику.

Актуальным становится задача создание такого математического аппарата, который позволил бы учесть всю сложность описания взаимодействия и специфику сил и моментов сил, возникающих при рассмотрении взаимодействия твердого тела с неоднородным силовым полем.

Таким требованиям отвечает математический аппарат неприводимых тензоров. Применение этого математического аппарата позволяет записать силовую функцию взаимодействия твердого тела с неоднородным силовым полем в инвариантном виде, определить ясный физический смысл сложных взаимодействий, легко проводить преобразование силовой функции из одной системы координат в другую, повернутой относительно первой, представлять силовую функцию сложного взаимодействия в фазовых переменных задачи, использовать наличие симметрии как формы твердого тела, так и структуры силового поля.

Данный метод развивается в диссертационной работе и демонстрируется на примерах получения инвариантного разложения силовой функции

попарного взаимодействия произвольных зарядовых и токовых распределений, на изучении взаимодействия произвольного по форме однородного по составу диамагнитного тела с магнитным полем произвольной конфигурации, получения осредненных уравнений динамики твердого тела.

Использование математического аппарата неприводимых тензоров позволяет рассматривать сложные задачи динамики твердого тела в неоднородных силовых полях различной физической природы, например задачи исследования движения космического аппарата в гравитационном и магнитном поле Земли, транспортировки и установки деталей, при создании сложных технических устройств электрическим и магнитным полем, создании центрифуг, создающих при вращение поля в десятки миллионов д, применяемых в ядерных исследованиях, создании высокоскоростного транспорта, исследование динамики левитирующего диамагнитного тела в магнитном поле.

Левитация диамагнитных тел в магнитном поле важна для множества практических приложений. Она открывает новые возможности для управл&-ния биологическими объектами, для сепарации нанотрубок, полимеров, обладающих различной плотностью, выращивания белковых кристаллов до 1 ст, для синтеза новых материалов и многого другого. Наиболее отличительная черта и преимущество диамагнитной левитации по сравнению с другими известными или возможными схемами, включая сверхпроводящую левитацию, есть то, что для однородного материала существуют магнитные поля с определенным профилем квадрата магнитной индукции, когда гравитация скомпенсирована фактически на уровне отдельных атомов и молекул. Это делает возможным симулировать состояние невесомости в очень хорошем приближении прямо на Земле, что нашло свое применение в медико-биологических исследованиях, пищевой промышленности, здравоохранении и многих других приложениях.

Так как интерес к различным применениям диамагнитного подвеса колоссально возрос, и с каждым годом будет расти все больше и больше (в настоящее время созданы электромагниты, генерирующие магнитные поля с индукцией В~ 26,8 Т, и не за горами разработка магнитов, создающих поля с индукцией В~ 30-50 Т), появилась настоятельная необходимость в теоретическом осмыслении динамики различных слабых диамагнитных тел в магнитном поле.

Цель диссертационной работы. Целью работы является развитие общих методов описания и исследования взаимодействия твердого тела с неоднородным силовым полем произвольной физической природы. Развитие аналитических и качественных методов исследования эволюционных движений твердого тела. Изучение причин, влияющих па устойчивость в неконтактном подвесе диамагнитного тела произвольной формы в произвольном магнитном поле.

Методы исследования. В диссертации используется математический аппарата неприводимых тензоров. Применении математического аппарата неприводимых тензоров позволило: а) записать силовую функцию взаимодействия твердого тела с полем; б) выявить явный физический смысл членов разложения скалярного и векторного полей; в) получить теорему сложения для тензорных решений уравнения Гельмгольца, которая позволила получить разложение силовой функции при трансляциях и поворотах; г) получить оередненные уравнения движения твердого тела под действием моментов сил; д) построить силовую функцию взаимодействия диамагнитного ротора произвольной формы с магнитным полем подвеса, получить условия устойчивости, определить область устойчивости диамагнитного эллипсоида в поле кругового тока; е) проанализировать движения ротора при периодическом изменении формы.

Научная новизна. I. Обосновано использование математического аппарата неприводимых тензоров при описании и исследовании сложных взаимодействий твердого тела с силовым полем произвольной природы.

II. Представлены и проанализированы инвариантаое разложение силовой функции взаимодействия пространственных зарядовых и токовых произвольных распределений.

III. Построена теория расчета силовых характеристик подвеса диамагнитного ротора произвольной формы в неконтактном подвесе.

IV. Найдены условия консервативной устойчивости и определена область устойчивости диамагнитного симметричного эллипсоида в поле кругового тока.

V. Показана эффективность использования неприводимых тензоров для построения эволюционных уравнений движения твердого тела и их осреднения.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическую и прак-

тическую значимость представляют предложенные в работе методы построения и исследования силовой функции взаимодействия твердого тела с неоднородным силовым полем. Практическая значимость этих результатов обусловлена возможностью их применения для решения задач связанных с изучением при: движении космического аппарата в гравитационном и магнитном поле Земли, транспортировки и установки деталей, при создании сложных технических устройств электрическим и магнитным полем, создании центрифуг, создающих при вращение поля в десятки миллионов д, применяемых в ядерных исследованиях, создании высокоскоростного транспорта, левитации диамагнитных тел в магнитном поле. В качестве конкретного практического применения полученных результатов можно рассматривать результаты нахождения области устойчивости диамагнитного эллипсоида в поле кругового тока и результаты анализа при рассмотрении поведения диамагнитного эллипсоида в поле кругового тока при периодическом изменении формы эллипсоида.

Основные результаты диссертационной работы являются частью исследований, проводимых при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 12-01-31133 мол-а на 2012-2013 годы, № 08-01-00333-а на 2008-2010 годы).

Апробация работы. Результаты исследования докладывались на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2011); на Международной конференции Устойчивость, управление и динамика твердого тела (Донецк, 2011); на X Международной молодежной научно-технической конференции "Будущее технической науки"(Нижний Новгород, 2011); на Международной конференции "Тараповские чтения "(Харьков, 2011); на Международной конференции "XI математическая Белорусская конференция" (Минск, 2012); на IV Всероссийской молодежной научно-инновационной школе "Математика и математическое моделирование" (Саров, 2010); на Нижегородской сессии молодых ученых (Нижний Новгород, 2006-2010).

По теме диссертации были сделаны доклады на семинаре "Математическое моделирование динамических систем и процессов управления"в НИИ ПМК ННГУ имени Н.И. Лобачевского (рук. проф. Д.В. Баландин), семинаре кафедры физики и физического образовании НГПУ им. Козьмы Минина (рук. проф. Ю.М. Урман).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 15 печатных работах. В том числе из них 4 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертаций. В конце автореферата приведены наиболее значимые публикации по теме диссертации.

Личный вклад. В публикациях, выполненных совместно с научным руководителем Ю.М. Урманом, соискателю принадлежит качественный и численный анализ результатов полученных выражений, обоснование возможности использования методов при рассмотрении сложных взаимодействий, выведение конечных выражений необходимых для численного анализа, Ю.М. Урману принадлежат постановки задачи, формулировки утверждений, участие в обсуждении результатов и общее руководство работой.

Диссертация является продолжением работ, проводившихся в НИИ ПМК ННГУ им. Н.И. Лобачевского.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, списка литературы, содержит 124 страницы основного текста, 20 рисунков, библиографию 59 названий.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана теоретическая и практическая значимость полученных результатов.

Введение содержит обзор литературы и краткое содержание работы.

В первой главе представлены необходимые сведения из теории групп, определены основные понятия, необходимые для дальнейшего изложения результатов работы. Введены матрицы конечных вращений, на основе которых дано определение неприводимых тензоров. Приведена тензорная алгебра и примеры неприводимых тензоров.

Математический аппарат неприводимых тензоров создавался для нужд квантовой механики и оказался весьма универсальным. Насколько известно автору в механике этот аппарат в первые был применен в работах Ю.М. Урмана и Г.Г. Денисова. Его использование позволяет увидеть ясный физический смысл сложных взаимодействий, выражать эти взаимодействия в инвариантном виде, легко проводить преобразования из одной системы ко-

ординат в другую, повернутую относительно первой, рассматривать довольно сложные взаимодействия, давая им компактную форму записи и явную зависимость от фазовых переменных задачи, легко использовать наличие симметрии как формы твердого тела, так и структуры силового поля, проводить процедуру осреднения не покомпонентно, а всего объекта целиком. Это имеет значительное преимущество при рассмотрении динамики твердого тела в полях различной природы.

Неприводимым тензором ранга I будем называть всякую физическую величину которая при вращении пространства преобразуется по неприводимому представлению И1 группы вращений. Из определения следует, что при повороте системы координат, определяемом углами Эйлера а, /3,7, компоненты неприводимого тензора преобразуются линейно. Коэффициенты этого преобразования являются матрицы Г)1 представления

щя = £ ал^'„(а, р. 7), = £ т1чо';я(а, ¡3,7).

р ч

Для неприводимых тензоров вводится алгебра аналогично алгебре декартовых тензоров. Для декартовых тензоров определены три типа операций: сложение, умножение и свертка по паре индексов. Для неприводимых тензоров вводится сложение двух неприводимых тензоров, а вместо операции умножения и свертки определяется операция неприводимого тензорного произведения £ ранга ] двух неприводимых тензоров

£>л/ = = £ С^дЛм,01М!2.

На основе неприводимого тензорного произведения, можно построить неприводимое тензорное произведение трех и более неприводимых тензоров.

Вторая глава посвящена получению формульных преобразований тензорных решений уравнения Гельмгольца при трансляциях, что находят свое применение при решении задач, в которых необходимо связать граничные условия двух или большего числа пространственных тел.

Ряд задач теоретической и математической физики приводит к необходимости представить решения уравнений Гельмгольца или Лапласа, записанные в одной системе координат, через решения того же уравнения в другой системе координат, сдвинутой относительно первой. Такая проблема

8

возникает, когда нужно связать краевые условия для двух или большего числа тел в задачах электродинамики и теплопроводности, в задачах квантовой механики, при разложении по мультиполям энергии взаимодействия гравитирующих тел либо зарядовых или токовых пространственных распределений. Для всех задач такого типа необходимо знать оператор сдвига, преобразующий решение из одной системы координат в другую.

Известно, что группа движений пространства Е(3), состоящая из вращений относительно начала координат и сдвигов, является группой симметрии уравнения Гельмгольца. Она отображает решения уравнения Гельм-гольца снова в решения.

Пусть г';(г)-ропю1Гие уравнения

(Д + ш2)ф(г) = 0.

Преобразование Фурье

■ф(г) = exp(iwrk)/i(k)dfi = 1(h)

s2

также удовлетворяет уравнению Гельмгольца. Здесь k-единичный вектор (k-k) = 1, пробегающий единичную сферу Si: к(гк%\ Щ — 1, dH-обычная мера телесного угла на этой сфере и h произвольная комплекснозначная измеримая функция на S2 (относительно (1Щ такая, что

Л(к)2^П(к) < оо. s2

Множество L2{S2) таких функций h образует гильбертово пространство со скалярным произведением

{huh2) = /n(k)/i*(k)t/n(k).

s2

Следовательно, данное пространство можно разложить на неприводимые, в каждом из которых найдется оператор Т(д), который, действуя на функции тр(г), индуцируют операторы, действующие на функции h. Таким образом, операторы Т{д) определяют неприводимые представления группы Е(3) на пространстве функций L2(S2).

Если же рассмотреть пространство Н, состоящее из решений уравнения Гельмгольца ф{т), определенных формулой преобразования Фурье, то

9

для ф(г) = 1(h) и некоторого h £ ¿г!^) пространство Н является гильбертовым пространством со скалярным произведением

{Ф\,Ф*2) = {ЬиЬ*2),ф, = I(hj).

Следовательно, 1(h) является унитарным преобразованием из LitSW) в Я. Существование унитарного отображения дает нам возможность переходить в задачах от пространства Н к пространству ¿^(¿г).

В задачах, связанных с решением уравнения Гельмгольца, большое значение имеет получение формул, дающих разложение базисных функций с разделяющимися переменными в одной криволинейной системе координат в виде суммы или интеграла от базисных функций фт в другой криволинейной системе координат. Часто бывает необходимо применить евклидово преобразование к функции и затем осуществить разложение по базису фт. Поскольку /i-гильбертово пространство, мы имеем

ТШ» = ;

m

где сумма заменяется интегралом, если фт -собственные функции непрерывного спектра. Следовательно, мы можем найти коэффициенты разложения в пространстве L2(S2) вместо того, чтобы искать их в пространстве h.

Рассмотрим неприводимое представление Т(д) группы Е(3) в L2(S2). Если ограничить Т на подгруппу S03, то оно становится приводимым и разбивается на прямую сумму

ос

Т I S03 = ф Dh

1=0

где £)(-унитарные неприводимые представления группы SO3. Таким образом /^(SY) можно разложить на прямую сумму взаимно ортогональных подпространств Vi. Элементы h из этих подпространств являются собственными функциями оператора Лапласа на сфере и совпадают со сферическими функциями (орты канонического базиса неприводимого представления с целым весом I). Следовательно, базис для пространств Vt состоит из собственных функций

f!n(0,v) = -^e™*Pr(coS(0)),

V27г 10

где Р/"(соз(0))-нормированная присоединенная функция Лежандра.

Матричные элементы операторов переноса Т(Е. а) = ехр(а • р) на базисных функциях ¿2(52) определяются формулой

TlM{а) = (Т(Е, а)/*?,/«) = |Jeip(iwa ■ к)УРт.(к)У;т,(к)^П(к)

«г

для вычисления интеграла используем формулу разложения плоской волны: егкг = J2 г'(21 + 1}-Л(кг)У/т(г)У4(г)

l,m

и значение интеграла

2m2 Climil2m2

где ./((кг)-сферическая функция Бесселя, С,'^ ^-коэффициент Глебша-Гордана для S03, тогда получим

(Т(Я,а)У,.т.,У/т) = + 1)ЛМУД(а)

s,q

YS4(k)Yrm.(k)Ylm(k)dn = +

s.q

Таким образом, матричные элементы оператора трансляции имеют вид Tim,w(a) = + l)Js(u>a)C%,0Cl™Vm,Y;q(ria).

s,q

Данные матричные элементы используются для получения теоремы сложения решений уравнения Гельмгольца в сферической системе координат. В общем виде это выражается через формулу

/,т

R = г + а.

В явном виде теорема сложения может быть выражена как разложение через биполярные гармоники (неприводимые тензорные произведения сферических функций).

Z]{u}R)YjM{n я) = 2_/ -27+1- ioqo

I.Q

х Jl(uja)ZQ{ujr){Yi{yta) ® YQ(nr)}jA[;a < г 11

Выбирая в представленной формуле в качестве ^¡(шг) сферическую функцию Бесселя и устремляя ш -4 0, учитывая при этом, что

Зь{х) => получаются формулы для преобразования при трансляциях

решений уравнений Лапласа не имеющих особенности в нуле

адг+•=»> - ^ •

Аналогично, если в качестве Zl(шr) выбрать функцию Неймана т(и;г) и устремляя о; —> 0 будем иметь, учитывая, что пь(иг) => —(2/, — решение уравнения Лапласа имеющих особенности в нуле

В представленных формулах

Огг(г) -> Эпт(г) = г"Г„т(Пг) ВД -»• я™(г) = г-^¥пт(Пг)

регулярные и иррегулярные (в соответствии с их поведением в точке г = 0) шаровые функции.

Для получения формул преобразований при трансляциях тензорных решений уравнения Гельмгольца используем изменение схемы

связи в неприводимых тензорных произведениях и теорему сложения для скалярных волн. Формула преобразования сферических тензорных волн при трансляциях имеет вид

Я£(о;Д)У£?(Пя) = + + 1)(2£ + 1)с£°0х

олл

п ь ]

Аналогично получению формул для трансляций скалярных решений уравнения Лапласа, получим формулы для тензорных решений уравнения Лапласа.

/,<5, л,;+<?=/)

Здесь

/

частные тензорные решения уравнения Лапласа с особенностью на бесконечности и с особенностью в нуле соответственно.

В третьей главе на основе результатов, полученных в предыдущих строятся инвариантные разложения силовых функций электромагнитного взаимодействия пространственных зарядовых и токовых распределений. Где зарядовое распределение представляет скалярное взаимодействие, а токовое распределение - векторное. Исследуются свойства силовой функции, зависящие как от симметрии тела, так и от симметрии структуры силового поля. Для попарного взаимодействия зарядовых распределений строятся инвариантные представления силы и момента сил.

Используя теорию потенциала и разложение функции Грина скалярного уравнения Лапласа в ряд на регулярные и иррегулярные функции, опираясь на свойства скалярного произведения двух неприводимых тензоров и применяя теорему сложения для скалярных решений уравнения Гельм-гольца удается представить выражение силовой функции взаимодействия в виде, который удобен для исследования

При получении данного выражения не вводилась система координат, и сам вид разложения - скалярное произведение инвариантных объектов - показывает, что они представляют собой инварианты. Каждый член в данном выражении можно трактовать как взаимодействие мультиполей разных порядков сгустков зарядов 1 и 2. Физический смысл неприводимого тензора 7( определяется при взятии интеграла

v

при последовательной подстановки / = 0,1, 2, получаем, что /о ~ заряд распределенный в объеме сгустка, - дипольный момент и так далее.

1.П '

/

/,= рМТ)М

Сила и момент, действующие в системе двух сгустков зарядов получается нахождением вариации силовой функции при бесконечно малом изменении, соответственно сила получается после нахождения вариации при бесконечно малом изменении <5Я,

„__/+ 2п + !)!(/ + п + 1)(2/ + 2тг + 3)

' 47ггео ' V 3(2/)!(2п)!

{{/г(1)©/п(2)}-5г,+п+1(Е.)}ь

а момент сил при нахождении вариации силовой функции при бесконечно малом повороте

^(1) = ^—В-1)"

г ^ (21 + 2п +!)!/(/ + 1){21 + 1)

4лєєо V 3(2/ + 1)!(2тг)!

{/|(1) ® {/„(2) ® »і-^СН.»!}!.

Для нахождения инвариантного разложения силовой функции взаимодействия двух объемных токовых распределений (что представляет собой векторное взаимодействие) используется разложение функции Грина векторного уравнения Лапласа на регулярные и иррегулярные шаровые векторы, понятие векторного мультипольного момента

ак£(і) =

0(1)Э£(г))А;,

и применяется теорема сложения тензорных решений уравнения Гельмголь-ца.

Общее выражении для энергии взаимодействия токовых распределений имеет вид

_ ^(_1Уг+1 / (21 + 2п)Нп

V (2/ + 1)!(2п)!(/ + 1)(п + 1)

которое можно трактовать как взаимодействие векторных мультиполей одного токового распределения с полем, создаваемым другим токовым распределением. Это выражение можно обобщить на попарное взаимодействие N

пространственных токовых распределений. В качестве примера рассматривается задача о взаимодействие произвольно расположенных витков с током.

Выражение энергии для случая произвольного расположения токовых витков представляется в компактном виде:

Ша1ьу{ 1Г, Ц{1 — ?')! I_1п_амЬп+х

1 1\ V С + 1)(п+ 1)(п + д)(п- <?) г^1

Четвертая глава посвящена демонстрации использования математического аппарата неприводимых тензоров при построении силовой функции взаимодействия твердого тела с полем произвольной физической природы и получении осредненных эволюционных уравнений динамики твердого тела в силовых полях произвольной природы.

В общем случае, движение твердого тела описывается системой уравнений

Ж »/г Г.

— = М. т~— = Г.

сИ <И

где М - момент внешних сил, Г - внешние силы, V - скорость центра масс, К - кинетический момент.

Законы связаны, так как не могут применяться независимо один от другого. Действительно, сила Е зависит от углов поворота тела, от угловых скоростей, определенных законом кинетического момента и, наоборот, момент сил М зависит от положения центра масс, его скорости, которые определяются из закона движения центра масс.

Силовая функция, описывающая движение твердого тела под действием произвольных моментов сил М,;, имеет вид

У(а'а5',-/) = £ £ £ У),

1=0 1=-тп=-1

где

Процедура выведения уравнений движений твердого тела в переменных К - вектор кинетического момента, р,<г - сферические углы, характеризующие положение вектора кинетического момента и углы Эйлера а, ¡3,7, состоит в следующем:

• Определение проекции уравнения движения вектора кинетического момента на оси координат системы, связанной с кинетическим моментом;

• Нахождение проекции абсолютной угловой скорости тела на оси координат, связанной с твердым телом.

С учетом того, что моменты сил порождаются силовой функцией, система уравнений в общем виде:

дУ . дУ дУ . . дУ

К = = —-соэр- — : К вт ра = —-:

да да да др

Р = К sin Р sin 7 eos 7 ( —---— J Ч---

h h) К si

/1 eos2 7 sin2 7 Л

дУ дУ h hj К sin P \ да З7 1 дУ

К sin ¡3 dfi '

„feos2-) sin2 7 \ 1 дУ 1 дУ

а = к\ГГ + KlTp^p-T<^Pw

Первые три уравнения системы описывают изменение вектора кинетического момента по величине и направлению, остальные три - движение тела относительно кинетического момента.

Данные выражения применяются в задаче исследования Лунно-Солнечной прецессии и нутации земной оси, как пример задачи о движении твердого тела под действием сил и моментов сил потенциального характера.

Исследуются угловые движения твердого тела в гравитационном поле N - притягивающих центров, которые двигаются по разным эллиптическим орбитам и не взаимодействуют друг с другом.

Силовая функция взаимодействия твердого тела с двигающимися точечными массами с точностью до кубов обратных расстояний до притягивающих масс имеет вид:

¿=1 » «=1 В формуле /- гравитационная постоянная, Aí¿- масса i притягивающей точки, I2 - неприводимый тензор инерции несферичного тела, У2(ей,) ~ сферическая функция, определяющая положение радиус-вектора R, материальной

16

точки. Выражение в круглых скобках скалярное произведение неприводимых тензоров.

Выражение силовой функции через фазовые переменные задачи имеет

вид:

Mi f (\ + ecos щ)3 v-^ г» Т-.2 , п\ т~\2 i л \ Ц = р3-— 22 IZpD2mn(a,p,0)D2mn(a^,~t)

1 m,n,p,s

- тг/2, ii, иг + 7г/2)Г2з(тг/2. vi),

здесь a-большая полуось эллипса, Р - фокальный параметр, е - эксцентриситет эллипса орбиты, fí¡ - долгота восходящего узла, Ii - наклон орбиты к экватору, ш, - аргумент перигея, щ - истинная аномалия, К - модуль вектора кинетического момента, углы р и а, характеризующие положение вектора кинетического момента относительно опорной системы координат.

После процедуры осреднения по свободному движению твердого тела Эйлера -Пуансо, осредненная функция примет вид:

= Mif( 1 + е cos ^ Ng P| 0)д2.я(а-7г/2, к, u>i+n/2)Y2.(n/2, щ)

1 m,s

Уравнения, описывающие изменение вектора К в пространстве для г-го члена силовой функции с учетом эволюции орбит имеют вид:

dp „ г , ^ 1 dlVi)

— = -Kn¡ sm Ii cosía;, + a) - —---—,

at h sm p da

-77 = Ksi, (sin Ii ctg + a) - cos Ii) - Ku¡ + —,

dt К sin p op

¿Щ = yfWi

dt (l + e¡cosi/)2 Эта система в общем случае не интегрируется. Поэтому функцию (V,) необходимо осреднить по времени t. полученное выражение

= ~ом "L/2 N<¡ £ D2mn (<х, р, 0) D*mn (Пг - тг/2, Iit Ui + тг/2) = 2(1 — ef У'ги1\

Зш2 Na , , . . . . , , „

"Т т,-ТТТ^ cos р cos/,- - sinрsin7,sin(сг + Í2¿) .

4tüi 1 - e~)J/¿

которое при подстановки в систему уравнений, описывающих изменение кинетического момента позволяет в явном виде получить эволюционные уравнения вектора кинетического момента в гравитационном поле N масс, которые движутся по эллиптическим орбитам разных форм.

Полученные выражения используются для определения Лунно-Солнечной прецессии и нутации земной оси. Влияние Солнца на Землю описывается выражением:

Влияние Луны на Землю:

(Vl) = [cos pcos k - sin/9sin/isin(<7+ П,)]2.

Уравнение, описывающее прецессию земной оси вокруг оси эклиптики на постоянном расстоянии от оси эклиптики:

Р = Ро, ^ = 2 [KL + KQ) cos ро,

где

KL = L Nc, KQ = Ng

4(1 — e2)3/2 m¿ + Мф ° 4о)£ (1 — е2)3/2

Из-за прецессии меняется положение небесного полюса - той точки, вокруг которой, как нам кажется, происходит суточное вращение звезд. В настоящее время небесный полюс близок к Полярной звезде. Период прецессии, найденный в работе, получается « 25300 лет.

Нутация земной оси определяется формулами dp

-j^ = —2Kl eospo sin I eos(w — Кц)т

dóa „ . ,cos2pnsin(aj — Kn)r

j = 2KLsmI—,--i-„

dr sin /Н) ш — Kn

Поскольку uj \Kn\, нутация происходит с периодом ~ ^щ, то есть с периодом прецессии лунной орбиты. Этот период равен ~ 18,6 лет. Если прецессия земной оси вызвана совместным влиянием гравитационных моментов Луны и Солнца, то нутация почти исключительно влиянием прецессии лунной орбиты.

Пятая глава посвящена расчету силовых характеристик подвеса диамагнитного ротора произвольной формы в магнитном поле. Левитация предметов в магнитном поле важна для множества практических приложений.

18

Она открывает новые возможности для управления биологическими объектами, для сепарации нанотрубок, полимеров, обладающих различной плотностью, выращивания белковых кристаллов размерами до 1 сш, для синтеза новых материалов и многого другого.

Энергия взаимодействия диамагнитного ротора произвольной формы с магнитным полем произвольной конфигурации при условии, что магнитная восприимчивость диамагнетиков мала, находится по формуле:

нЫУ-

в которой НІ - квадрат напряженности магнитного поля, которое было до внесения в это поле диамагнитного ротора. Основная сложность состоит в вычислении величины напряженности магнитного поля при условии размеров ротора и произвольности поверхности ротора.

Напряженность магнитного поля удобно представить через скалярное произведение функций сі, зависящих от коэффициентов разложения поля и и вектора смещения тела относительно центра подвеса

ЧГ / (1 + 1 + Ь + 1)\(1 + 1-Ь)\ м г«+/-2/г 0СЛ .у, (Г))

При подстановки данного выражения в формулу для энергии, получается общее выражение энергии взаимодействия произвольного по форме и размерам диамагнитного ротора с произвольным магнитным полем

х- І (і + і + ь + щі + і-ьу. ьо Ы_2 1У- 4 ^ \ (I + [ + Ь — 1)!(/ + I + Ь — 2)! ,_1Ш"10

v

где в круглых скобках приведено скалярное произведение двух неприводимых тензоров. Тензор {с( ® С[}ь - связан с полем, а \ гш~2Уь(Ът)<1У - с телом.

Потенциальную энергию удобно представить через сумму энергий

^ = \У0{г) + \Ує{г, в), 19

где первый член суммы - это энергия взаимодействия сферического ротора с полем, а второй член - это энергия взаимодействия, обусловленная несферичностью. Оба слагаемых энергии выражаются через коэффициенты разложения поля, что удобно для нахождения области устойчивости при различных конфигурациях поля. Для симметричного эллипсоида, радиус средней сферы которого 6, выражение для энергии через коэффициенты разложения поля:

здесь <гь - неприводимый тензор формы тела, который характеризует геометрию ротора. При этом е2з отвечает эллипсоидальности ротора, £■>„ - гру-шевидност и ротора.

Устойчивость состояния равновесия определяется согласно теореме Лагран-жа, следуя которой потенциальная энергия в состоянии равновесия должна иметь изолированный минимум. Требование минимума выполняется при условии положительной определенности матриц вторых производных функции потенциальной энергии в состоянии равновесия. Условия положительной определенности матриц вторых производных позволяет определить область устойчивости для диамагнитного эллипсоида. Для симметричного эллипсоида получено несколько состояний равновесия. Устойчивое состояние равновесия {х0 = 0, г0 = ги, (30 = |} и неустойчивое {.с,, = О, г0 = ги /За = 0}. Для устойчивого состояния равновесия рассчитана область устойчивости. В терминах размеров витка и размеров средней сферы ротора она для отношения радиуса средней сферы ротора к радиусу токового витка Ъ/й = 0.8 лежит в пределах 0.408^ < г < 0.597(1. Данные результаты могут быть использованы для конструирования различных приборов, использующих явление левитации.

Использование общего выражения энергии взаимодействия диамагнитного ротора с магнитным полем подвеса удобно для вычисления силы, действующей со стороны ротора на диамагнитный ротор. Процедура вычисления силы основана на нахождении первой вариации энергии при малом

_ .. I / 2т , ч

смещении ротора из положения равновесия. Выражение силы действующей на диамагнитный эллипсоид представляется в виде:

р _ 2 У Г 1УЧ(2/г + 1)(2Ь + 1){1 + + 2)]{-1

^ 3(/-/ + Л- 1)!(Л-Ь+ 1)!(1,-/г + 1)!

(1 + (-к + Щк + Ь- !)!(/ - I + Ь)\

,1/2

С/чо7'1«^^1 ® С/Ь ®

(£ + Л + 2)!(/ + / - £ - 2)!(/ - / + Ь)Щ + 1 + Ь- 1)!

-.¿о "'¡-10/-10

Выражение силы, представленное в данном виде, удобно для определения перегрузочной способности ротора в магнитном поле, так как сила представляется через коэффициенты разложения поля, то данная формула применима для различных конфигураций поля. Это позволяет определить конфигурацию поля, обеспечивающую максимальную область устойчивости.

Эксперименты по вывешиванию живых организмов (живые организмы - диамагнитные тела) в магнитном поле указали на интересные закономерности поведения их в магнитном поле. Это позволило рассмотреть задачу о поведение ротора в поле подвеса при периодическом изменении формы ротора. То есть рассматривается диамагнитный эллипсоид, который меняет форму периодически с вытянутого на сплюснутый. В расчетах полагалось, что ось симметрии ротора совпадает с осью симметрии поля. Уравнение движения тела имеет вид:

_ <1Щг) | ШМ

йг ¿г

Исследование данного уравнения позволяет рассмотреть динамику диаг магнитного эллипсоида в поле кругового тока при периодическом изменении формы тела. Начальное положение тела задается в точке состояния равновесия г(0) = го. Анализ графических зависимостей, отражающих динамику ротора при периодическом изменении формы ротора, показывает, что колебания формы являются причиной возбуждения колебательных движений тела, которые могут привести к выходу ротора из области устойчивости.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

На основе математического аппарата неприводимых тензоров приведено математическое описание и исследование взаимодействия твердого тела

21

с силовым полем различной физической природы:

• Получена теорема сложения для тензорных решений уравнения Гельм-гольца. Общие формулы преобразований для тензорных решений уравнения Гельмгольца позволяют в частном случае получить формулы преобразования для скалярных и векторных решений уравнения Гельмгольца.

• Записаны инвариантные разложения силовой функции взаимодействия объемных зарядовых и токовых распределений.

• Найдены инвариантные представления силы и момента силы попарного электромагнитного взаимодействия двух объемных зарядовых распределений.

• Записана силовая функция взаимодействия диамагнитного ротора произвольной формы с магнитным полем произвольной конфигурации.

• Найдена сила, действующая со стороны подвеса на произвольный по форме ротор.

• Найдена область устойчивости для диамагнитного симметричного эллипсоида однородного по составу в поле кругового тока.

• Проанализировано поведение ротора в поле подвеса при периодическом изменении формы ротора.

Список публикаций

[1] Урман, Ю. М. О левитации диамагнитных тел в магнитном поле / Ю. М. Урман, Н. А. Бугрова, Н. И. Лапин // Журнал Технической Физики. - 2010. — № 9. — С. 25-33.

[2] Урман, Ю. М. Применение метода неприводимых тензоров для вычислений силовых характеристик подвеса диамагнитного шара в магнитном поле произвольной конфигурации / Ю. М. Урман, Н. А. Бугрова, Н. И. Лапин // Научное обозрение. - 2010. - № 1. - С. 27-31.

[3] Урман, Ю. М. Динамика левитирующего ротора в магнитном поле / Ю. М. Урман, Н. А. Бугрова, Н. И. Лапин // Сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте 2011. Том 8. Физика и математика, Химия. — Одесса: Черномо-рье, 2011.-С. 63-65.

[41 Бугрова, Н. А. Устойчивое удержание диамагнитного шара в поле системы круговых токов / Н. А. Бугрова, Н. И. Лапин // Материалы VI международной научно-практической конференции Научный прогресс на рубеже тысячелетий-2010. — г. Прага, 2010. — С. 6-10.

[5] Урман, Ю. М. Проблемы левитации тел и ее применение / Ю. М. Урман, Н. И. Лапин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - № 4. - С. 339-341.

[6] Урман, Ю. М. Теоремы сложения тензорных решений уравнения Гельм-гольца / Ю. М. Урман, Н. И. Лапин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского серия Механика. — 2011. — № 5(1). — С. 137-143.

[7] Урман, Ю. М. Динамика диамагнитных и свехпроводящих тел в магнитном поле / Ю. М. Урман, Н. И. Лапин // Устойчивость, управление и динамика твердого тела Тезисы докладов XI Международной конференции. — Донецк: Институт прикладной математики и механики НАНУ, 2011.-С. 116-117.

[8] Лапин, Н. И. Об устойчивом состоянии равновесия диамагнитного тела в поле магнитного подвеса / Н. И. Лапин // Подготовка специалистов на технологических факультетах педагогических вузов: Материалы Международной научнопрактической конференции, посвященной 25-летию технолого-экономического факультета НГПУ. — Н. Новгород,

2009. - С. 252-255.

[9] Лапин, Н. И. Безопорное удержание диамагнитного тела в магнитном поле / Н. И. Лапин // Современные проблемы математики и механики: Материалы Всероссийской молодежной научной конференции Томского государственного университета. - Изд-во Томского университета,

2010. - С. 105-108.

[10] Лапин, Н. И. Теоретическое исследование области устойчивости диамагнитных тел в магнитном поле / Н. И. Лапин // Сборник материалов Четвертой Всероссийской молодежной научно-инновационной школы Математика и математическое моделирование. — г. Саров, 2010 — С. 77-81.

[11] Лапин, Н. И. Применение метода неприводимых тензоров для описания взаимодействия диамагнитного тела с магнитным полем / Н. И. Лапин // XVI нижегородская сессия молодых учёных. Математические науки: материалы докладов. — Н. Новгород, 2010. — С. 34-35.

[12] Лапин, Н. И. Представление энергии взаимодействия токовых витков / Н. И. Лапин // ВНКСФ-17, Материалы Всероссийской конференции студентов физиков. — Екатеринбург, 2011. — С. 58-60.

[13] Лапин, Н. И. О левитации произвольного по форме диамагнитного тела в магнитном поле / Н. И. Лапин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского серия Механика. — 2011.— № 1 -С. 133-138.

[14] Лапин, Н. И. Метод вторичных источников для расчета силовых характеристик неконтактного подвеса тела в магнитном поле / Н. И. Лапин // Будущее Технической Науки Сборник материалов X международной молодежной научно-технической конференции. — НГТУ им. P.E. Алексеева,- Нижний Новгород, 2011. — С. 380.

Подписано в печать 22.03.2013 Формат 60/84x16 Усл.печ.л.1.3 Тираж 100 экз. Заказ 134 Отпечатано в отделе полиграфии НГПУ им.К.Минина 603004, Нижний Новгород, ул. Челюскинцев, 9

04201455864

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования "Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова"

На правах рукописи

Лапин Николай Иванович

Применение метода неприводимых тензоров в задачах динамики твердого тела в неоднородных силовых полях

01.02.01. - Теоретическая механика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., проф. Урман Юрий Михайлович

Москва - 2013

Содержание

Введение ................................................................4

Глава 1. Мультипольное разложение ..........................16

1.1. Пространство дифференцируемых функций, заданных на сфере............................................................17

1.2. Мультипольное разложение скалярного ноля................19

1.3. Разложение векторного поля на шаровые векторы..........22

1.4. Группа симметрии уравнения Гельмгольца..................25

1.5. Тензорное решение уравнения Гельмгольца..................32

Глава 2. Инвариантные представления физических взаимодействий ..............................................................35

2.1. Инвариантное разложение силовой функции двух объемных зарядовых распределений................................35

2.2. Физический смысл неприводимых тензоров ................38

2.3. Свойства силовой функции распределения двух объемных зарядовых распределений......................................38

2.4. Вычисление силы и момента сил по силовой функции . . 41

2.5. Инвариантное разложение силовой функции взаимодействия двух объемных токовых распределений..............43

2.6. Свойства силовой функции распределения двух объемных токовых распределений........................................48

2.7. Запись силовой функции взаимодействия токового витка

с диамагнитной пластиной....................................51

Глава 3. Потенциальная энергия и силовые характеристи-

ки квазисферического диамагнитного ротора в произволь-

ном магнитном поле..............................................53

3.1. Представление потенциальной энергии взаимодействия произвольного по форме ротора с произвольным магнитным полем............................................................54

3.2. Силовая функция диамагнитного ротора близкого по форме к сфере в магнитном поле..................................59

3.3. Вычисление силы, действующей на ротор....................62

3.4. Определение области устойчивости для диамагнитного ротора по форме близкого к сфере..............................68

3.5. Динамика диамагнитного ротора в магнитном поле .... 74

Заключение..............................................................82

Приложение............................................................84

Литература..............................................................87

Введение

Актуальность работы. Техническое освоение космоса, точное при-боро- и машиностроение, повышение скоростей вращения роторных устройств, увеличение дальности, скорости и ресурса действия подвижных объектов, бестигельная плавка и т.д. привели к созданию новых технологических процессов и систем, технические характеристики которых во многом определяются динамическим поведением твердого тела, взаимодействующего с полями различной физической природы.

Построение теории движения твердого тела в силовом поле произвольной природы включает, во-первых, проблему вычисления взаимодействия твердого тела с неоднородным полем, т.е. вычисление сил и моментов сил, действующих на тело, и, во-вторых, проблему исследования задач динамики.

При движении твердого тела в силовом поле возникает сложное переплетение электромагнитных сил, сил инерции, гравитационных сил, различного рода сил трения и диссипации энергии электромагнитного поля в твердом теле. Специфический характер сил и моментов приложенных к твердому телу, приводит к постановке новых задач, которые обладают качественным отличием от известных в классической теории задач движения твердого тела с закрепленной точкой. Это отличие главным образом связано с существенным усложнением математических моделей взаимодействия твердого тела с полем.

Математическое моделирование приводит к проблеме изучения совместной системы уравнений электродинамики и уравнений динамики твердого тела, что в общей постановке является чрезвычайно сложной для исследования задачей. Очевидно, что попытки получить точное ана-

литическое решение задачи в общем случае обречены на неудачу. Поэтому актуальная задача разработки математического аппарата, позволяющего адекватно исследовать различные сложные взаимодействия тела с полем и облегчающего нахождение приближенных уравнений, описывающих динамику твердого тела в неоднородном поле произвольной физической природы.

Задачи, в которых происходит сложное переплетение сил различной природы, решаются с использованием различных упрощений или приближений. В частности, возможно рассмотрение взаимодействия тела с однородным или квазиоднородным полем. При решение некоторых задач успешным оказывается применение различных асимптотических методов, например, при решении задачи динамики проводящего тела произвольной формы в магнитном поле [29, 30, 42]. Так же используется разложение по базисным функциям, заданным в определенной системе координат, например: разложение силовой функции гравитационного притяжения двух тел [47], вычисление электростатического взаимодействия двух зарядовых распределений [8, 25, 34]. Все эти разложения обладают существенным недостатком: привязка к определенной системе координат, в которой происходит разложение, не позволяет полностью исследовать силовую функцию.

Поэтому желательно исключить отмеченные недостатки и получить разложение силовой функции в инвариантном виде. Этого удалось достигнуть в данном исследовании, используя математический аппарат неприводимых тензоров.

Математический аппарат неприводимых тензоров создавался для нужд квантовой механики и оказался весьма универсальным. Насколько известно автору, в механике этот аппарат впервые был применен в

работах Ю.М. Урмана и Г.Г. Денисова [24, 54, 57]. Его использование позволяет видеть ясный физический смысл сложных взаимодействий, выражать эти взаимодействия в инвариантном виде, легко проводить преобразования из одной системы координат в другую, рассматривать довольно сложные взаимодействия в компактной форме записи, легко использовать наличие симметрии как формы твердого тела, так и структуры силового поля, проводить процедуру осреднения не покомпонентно, а всего объекта целиком. Это дает значительное преимущество при рассмотрении динамики твердого тела в полях различной природы. На основе свойств неприводимых тензоров удается записать силовую функцию взаимодействия твердого тела с произвольным полем, получить теоремы сложения, используемые в разложении силовой функции при трансляциях, записать инвариантные разложения силовой функции взаимодействия пространственных зарядовых и токовых распределений, рассмотреть динамику твердого тела в силовом поле.

Произвольную функцию потенциальной энергии или силовую функцию взаимодействия твердого тела с неоднородным полем, как показано [24, 50, 51, 53], можно представить в виде суммы скалярных произведений неприводимых тензоров (мультипольное разложение [46])

У = Уо + ^ + + + К = X]

г

Ц = т ■ %),

где 9Яг - неприводимый тензор, связанный с телом, ОТ^-тензор связанный с полем. Каждый член ^ имеет свой физический смысл, так как при повороте системы координат отвечает определенному закону преобразования физических величин, участвующих во взаимодействии. Тогда ряд сложных задач динамики твердого тела можно свести к нахождению

тензоров, описывающих либо тело, либо поле. Например, взаимодействие твердого тела с закрепленной точкой, не совпадающей с центром тяжести, с однородным гравитационным полем можно записать в виде Уь вектор, связанный с телом - вектор дебаланса, вектор расстояния между центром тяжести и точкой закрепления, вектор поля - это вектор силы тяжести. Функция \/2) описывает тензорное взаимодействие твердого тела с неоднородным гравитационным полем, тензор, связанный с телом -это тензор моментов инерции [51]. Взаимодействие магнетика произвольной формы с однородным магнитным полем можно записать 14 = (Л-Н). В неконтактных гироскопах при учете малой несферичности получается взаимодействие типа Х^, где тензор, связанный с телом - тензор формы [22].

В приведенных случаях использование математического аппарата позволяет представить силовую функцию взаимодействия тела с полем без решения сложной граничной задачи математической физики.

Например, известны работы, связанные с задачами небесной механики [51, 52], в которых получены результаты, дополняющие и обобщающие результаты Белецкого В.В. [15-17], Черноусько Ф.Л. [61] о движении спутника в гравитационном поле Земли и о решении ограниченной задачи трех тел.

Универсальность математического аппарата неприводимых тензоров позволяет получить разложение скалярного и векторного полей на мультиполи, выявить физический смысл каждого члена разложения. В некоторых задачах математической физики требуется представить решение уравнения Гельмгольца или уравнения Лапласа, записанное в одной системе координат, через решение того же уравнения в другой системе координат, сдвинутой относительно первой. Такая проблема возникает,

когда необходимо связать краевые условия для двух или более тел в задачах электродинамики или теплопроводности, при разложении по муль-типолям энергии взаимодействия двух гравитирующих тел, либо двух зарядовых или токовых пространственных распределений.

Формулы преобразования (теоремы сложения) для скалярных решений уравнения Гельмгольца (скалярных волновых функций) при трансляциях системы координат получены в [5, 27, 28, 50]. Из них, как частный случай, вытекают найденные другим способом в [41] теоремы сложения для решений уравнения Лапласа.

Особый интерес представляют аналогичные формулы для решения тензорных уравнения Гельмгольца.

Теоремы сложения широко используются при рассмотрении различных вопросов, связанных с расчетами сложных процессов, протекающих в интегральных схемах суперкомпьютеров и в СВЧ- печах, процессах одновременного протекания быстрых и медленных колебаний при распространении волнового пакета. Хороший обзор литературы по вопросам применения теорем сложения и приведения данных теорем к виду, который наиболее подходит для использования численных методов, приведен в работе [4]. В работе [6] рассматривается применение теорем сложения для расчета возбуждений мод свободных колебаний Земли в результате землетрясений, и в более общем случае мультипольное представление сейсмических источников.

Теоремы сложения для тензорных решений уравнения Гельмгольца при трансляциях применяются в задачах о нахождении инвариантных представлений физических взаимодействий. В работах [50, 51] получены инвариантные разложения силовых функций N тел произвольной формы и любого распределения плотности масс, магнитного взаимодействия

пространственных токовых распределений. Выявлен физический смысл неприводимых тензоров, входящих в инвариантное разложение.

Особое место в работе уделено расчету силовой функции взаимодействия квазисферического диамагнитного ротора с магнитным полем подвеса. На основе полученной силовой функции удалось вычислить и исследовать силовые и моментные характеристики подвеса диамагнитного тела.

Одна из проблем свободного подвеса диамагнитных тел-это проблема устойчивого удержания тела в поле подвеса, которая включает в себя определение силовых характеристик подвеса (сил и жесткостей), так как эти характеристики определяют свойства подвеса.

Существует много работ, посвященных нахождению условий устойчивости твердого тела в поле подвеса. Большая библиография по теории гироскопа с электростатическим подвесом приведена в монографии Мартыненко Ю.Г. [42]. Левитация находит применение во многих приложениях [7, 26]. Рассмотрим работы о возможности вывешивания диамагнитных тел в магнитном поле.

Браунбек [3] в 1939 году доказал, что левитация в системах, в которых одновременно действует гравитационное, магнитное и электрическое поля, возможна для тел с магнитной проницаемостью меньше единицы (диамагнетики и сверхпроводники). Он же впервые осуществил подвес кусочков графита массой 75 мг. в поле электромагнита В « 2 — 3Т. Основная сложность по вывеске диамагнитных тел состоит в создании магнитного поля значительной величины. Магниты, которые создают постоянное магнитное поле свыше 20Т, появились в 90-х годах прошлого столетия [1, 9, 10, 12]. Появилась возможность вывешивать различные материалы, обладающие слабым диамагнетизмом, такие как дерево, пла-

стик, вода, алмаз и многие другие подобные вещества, а так же живых существ. Хотя магнитная восприимчивость большинства тел очень мала, для мощных магнитов даже слабых сил достаточно для левитации диамагнитных материалов. Поэтому, естественно, во всем мире возник интерес к проведению всевозможных экспериментов по свободному подвесу диамагнитных тел и его использовании в различных областях науки и техники. Левитация предметов в магнитном поле важна для множества практических приложений. Она открывает новые возможности для управления биологическими объектами, для сепарации нанотрубок, полимеров, обладающих различной плотностью, для выращивания белковых кристаллов 1 см, для синтеза новых материалов и многого другого. Наиболее отличительная черта и преимущество диамагнитной левитации по сравнению с другими известными или возможными схемами, включая сверхпроводящую левитацию, есть то, что для однородного материала существуют магнитные поля с определенным профилем квадрата магнитной индукции, когда гравитация скомпенсирована фактически на уровне отдельных атомов и молекул. Это делает возможным симулировать состояние невесомости в очень хорошем приближении прямо на Земле и позволяет заменить дорогостоящие эксперименты в космосе па более дешевые.

Эксперименты по подвеске слабых диамагнетиков, выполненные ранее, главным образом проводились для подтверждения возможности левитации различных тел и живых существ и для наблюдения за их движением или поведением в магнитном поле [11]. Теоретические исследования динамики диамагнитных тел в поле подвеса почти не проводились, а если и проводились, то на уровне простых моделей, основанных на квазиоднородном приближении, что не позволяет учесть форму вывеши-

ваемого тела. Так как интерес к различным применениям диамагнитного подвеса колоссально возрос, и с каждым годом будет расти все больше и больше (в настоящее время созданы электромагниты, генерирующие магнитные поля с индукцией В ~ 40Т), то возникла необходимость в теоретическом осмыслении динамики различных слабых диамагнитных тел в магнитном поле.

Цель диссертационной работы. Целью работы является развитие общих методов описания и исследования взаимодействия твердого тела с неоднородным силовым полем произвольной физической природы. Развитие аналитических и качественных методов исследования эволюционных движений твердого тела. Изучение причин, влияющих на устойчивость в неконтактном магнитном подвесе диамагнитного тела произвольной формы.

Научная новизна. I. Обосновано использование математического аппарата неприводимых тензоров при описании и исследовании сложных взаимодействий твердого тела с силовым полем произвольной природы.

II. Представлены и проанализированы инвариантные разложения силовой функции взаимодействия пространственных зарядовых и токовых распределений.

III. Предложена методика расчета силовых характеристик подвеса диамагнитного ротора в неконтактном подвесе.

IV. Найдены условия консервативной устойчивости и определена область устойчивости квазисферического диамагнитного ротора в магнитном поле кругового тока.

V. Показана эффективность использования неприводимых тензоров для построения и изучения эволюционных уравнений движения твердого тела и их осреднения.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическую и практическую значимость представляют предложенные в работе методы построения и исследования силовой функции взаимодействия твердого тела с неоднородным силовым полем. Данные методы могут быть использованы для получения результатов при решении задач связанных с изучением: пассивной и управляемой левитации диамагнитных и сверхпроводящих тел в магнитном поле, динамики ротора в неконтактном подвесе, динамики высокоскоростного транспорта, основанного на принципе "Маг Л ев поведения живых культур в условиях микрогравитации, симулируемой на Земле, принципов транспортировки и сборки сложных технических устройств с применением левитации в электрическом и магнитном полях, движении космического аппарата в гравитационном и магнитном поле Земли, создании центрифуг, использующихся в ядерных и�