Применение метода неприводимых тензоров в задачах динамики твердого тела в неоднородных силовых полях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

На правах рукописи

Лапин Николай Иванович

Применение метода неприводимых тензоров в задачах динамики твердого тела в неоднородных силовых полях

01.02.01. - Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 201

Работа выполнена на кафедре физики и физического образования Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования Нижегородского государственного педагогического университета им. Козьмы Минина

Научный руководитель:

Урман Юрий Михайлович,

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

Кобрин Александр Исаакович,

доктор физико-математических наук, профессор

Ерофеев Владимир Иванович,

доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация: Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского

Защита состоится 28 февраля 2014 г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.22 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, 1, Главное здание МГУ ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале отдела диссертаций (Ломоносовский проспект, 27, Фундаментальная библиотека, сектор А - 8 этаж, к.812).

Автореферат разослан 21 января 2014 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 501.001.22, кандидат физико-математических наук, доцент В.А. Прошкин ff/l/

РОССИЙСКАЯ I ОСУГЛРСМ'ЗИННАЯ 1,11!,! ¡НО И КА ?01<1

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Актуальность исследования обусловлена развитием устройств, использующих бесконтактное вывешивание твердого тела в магнитном или электрическом поле, исследованием динамики космического аппарата в гравитационном и магнитном полях Земли, разработками новых технологических процессов и систем, технические характеристики которых определяются динамическим поведением твердого тела при его взаимодействии с неоднородным силовым полем. Задача описания взаимодействия твердого тела с неоднородным полем имеет свою специфику, приводящую к существенному усложнению описания структуры взаимодействия тела с полем, по сравнению с классической постановкой задачи о движении твердого тела с закрепленной точкой в однородном гравитационном поле. Принципиальным в данных задачах является особый вид сил и моментов сил, возникающих при рассмотрении взаимодействия.

В связи с изложенным возникает проблема описания взаимодействия в наиболее удобном для исследования виде. Так как силы и моменты сил имеют свою специфику, то точное аналитическое решение задачи о движении твердого тела практически недостижимо. Поэтому форма описания такого взаимодействия должна быть удобна для нахождения приближенных уравнений.

Актуальной становится задача создания такого математического аппарата, который позволил бы достаточно адекватно описать взаимодействие твердого тела с неоднородным силовым полем с учетом специфики возникающих при этом сил и моментов сил.

Таким требованиям отвечает математический аппарат неприводимых тензоров. Применение этого математического аппарата позволяет записать силовую функцию взаимодействия твердого тела с неоднородным силовым полем в инвариантном виде, после чего можно легко проводить преобразование силовой функции из одной системы координат в другую, представлять силовую 'функцию сложного взаимодействия в фазовых переменных задачи, использовать наличие симметрии не только формы твердого тела, но и структуры силового поля.

В диссертационной работе данный метод используется для получения

инвариантного разложения силовой функции попарного взаимодействия

з

произвольных зарядовых и токовых распределений, для анализа взаимодействия произвольного по форме и однородного по составу диамагнитного тела с магнитным полем произвольной конфигурации, а также для получения осредненных уравнений, описывающих эволюционные движения диамагнитного ротора в поле неконтактного подвеса.

Использование математического аппарата неприводимых тензоров позволяет рассматривать сложные задачи динамики твердого тела в неоднородных силовых полях различной физической природы, в частности, динамику левитирующего диамагнитного ротора в магнитном поле подвеса и высокоскоростного транспорта, эволюционные движения космического аппарата в гравитационном и магнитном полях Земли и центрифуг, применяемых в ядерных исследованиях.

Левитация диамагнитных тел в магнитном поле может иметь множество практических приложений. Она открывает новые возможности для управления биологическими объектами, для сепарации нанотрубок, полимеров, обладающих различной плотностью, для выращивания белковых кристаллов размером до 1 см, для синтеза новых материалов и для многого другого. Основное преимущество диамагнитной левитации по сравнению с другими известными схемами, включая сверхпроводящую левитацию, заключается в том, что для однородного материала существуют магнитные поля с определенным профилем квадрата магнитной индукции, когда гравитация скомпенсирована фактически на уровне отдельных атомов и молекул. Это позволило получить в земных условиях состояние микрогравитации, близкое к состоянию невесомости, что нашло свое применение в медико-биологических исследованиях, пищевой промышленности, здравоохранении и некоторых других областях.

Так как в настоящее время созданы электромагниты, генерирующие постоянные магнитные поля с индукцией В=26,8 Т, (и разрабатываются магниты, которые будут способны создавать поля с индукцией до В=30-50 Т). то интерес к различным применениям диамагнитного подвеса в последнее время колоссально возрос, и, как следствие, возникла настоятельная необходимость в теоретическом осмыслении динамики различных слабых диамагнитных тел в магнитном поле.

Цель диссертационной работы. Целью работы является развитие общих методов описания и исследования взаимодействия твердого тела с неоднородным силовым полем произвольной физической природы. Развитие аналитических и качественных методов исследования эволюционных движений твердого тела. Изучение причин, влияющих на устойчивость в неконтактном магнитном подвесе диамагнитного тела произвольной формы.

Методы исследования. В диссертации используется математический аппарат неприводимых тензоров. Применение математического аппарата неприводимых тензоров позволило: а) записать силовую функцию взаимодействия твердого тела с неоднородным силовым полем; б) получить теорему сложения для тензорных решений уравнения Гельмгольца; в) построить силовую функцию взаимодействия диамагнитного ротора произвольной формы с магнитным полем подвеса, получить условия устойчивости, определить область устойчивости диамагнитного ротора, по форме близкого к сфере, в магнитном поле кругового тока; г) провести осреднение силовой функции не покомпонентно, а всей функции в целом; д) построить эволюционные уравнения и проанализировать эволюционные движения диамагнитного ротора в магнитном поле.

Научная новизна. I. Обосновано использование математического аппарата неприводимых тензоров при описании и исследовании сложных взаимодействий твердого тела с силовым полем произвольной природы.

П. Представлены и проанализированы инвариантное разложение силовой функции взаимодействия пространственных зарядовых и токовых распределений.

Ш. Предложена теория расчета силовых характеристик подвеса диамагнитного ротора в неконтактном подвесе.

IV. Найдены условия консервативной устойчивости и определена область устойчивости диамагнитного ротора, близкого по форме к сфере, в магнитном поле кругового тока.

V. Показана эффективность использования неприводимых тензоров для построения и изучения эволюционных уравнений движения твердого тела и их осреднения.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическую и практическую значимость представляют предложенные в работе методы

построения и исследования силовой функции взаимодействия твердого тела с неоднородным силовым полем. Данные методы могут быть использованы для получения результатов при решении задач связанных с изучением: пассивной и управляемой левитации диамагнитных и сверхпроводящих тел в магнитном поле, динамики ротора в неконтактном подвесе, динамики высокоскоростного транспорта, основанного на принципе" МагЛев", поведения живых культур в условиях микрогравитации, симулируемой на Земле, принципов транспортировки и сборки сложных технических устройств с применением левитации в электрическом и магнитном полях, движении космического аппарата в гравитационном и магнитном поле Земли, создании центрифуг, использующихся в ядерных исследованиях. Конкретным практическим приложением методов расчета можно считать нахождение области устойчивости диамагнитного ротора, близкого по форме к сфере, в магнитном поле кругового тока, а также исследование эволюционных движений ротора в магнитном поле. Они могут быть использованы для создания различных приборов и устройств, основанных на работе неконтактного подвеса.

Основные результаты диссертационной работы получены в ходе исследований, проводимых при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 12-01-31133 мол-а на 2012-2013 годы, № 08-01-00333-а на 2008-2010 годы).

Апробация работы. Результаты исследования докладывались на X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011); на Международной конференции Устойчивость, управление и динамика твердого тела (Донецк, 2011); на X Международной молодежной научно-технической конференции "Будущее технической науки" (Нижний Новгород, 2011); на Международной конференции "Тараповские чтения" (Харьков, 2011); на Международной конференции "XI математическая Белорусская конференция"(Минск, 2012); на IV Всероссийской молодежной научно-инновационной школе "Математика и математическое моделирование" (Саров, 2010); на Нижегородской сессии молодых ученых (Нижний Новгород, 2006-2010).

По теме диссертации были сделаны доклады на семинаре "Математическое моделирование динамических систем и процессов

управления" в НИИ ПМК ННГУ имени Н.И. Лобачевского (рук. проф. Д.В. Баландин), семинаре кафедры физики и физического образовании НГПУ им. Козьмы Минина (рук. проф. Ю.М. Урман).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 15 печатных работах. В том числе из них 4 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертаций. В конце автореферата приведены наиболее значимые публикации по теме диссертации.

Личный вклад. В публикациях, выполненных совместно с научным руководителем Ю.М. Урманом, соискателю принадлежат качественный и численный анализ полученных результатов, обоснование возможности использования методов при рассмотрении сложных взаимодействий, получение уравнений и их решений в виде, пригодном для последующего анализа, Ю.М. Урману принадлежат постановки задачи, метод исследования, формулировки утверждений, участие в обсуждении результатов и общее руководство работой.

Диссертация является продолжением работ, проводившихся в НИИ ПМК ННГУ им. Н.И. Лобачевского.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и заключения, списка литературы, содержит 94 страницы основного текста, 12 рисунков, библиографию 61 название.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана теоретическая и практическая значимость полученных результатов.

Введение содержит обзор литературы и краткое содержание работы.

Первая глава посвящена получению формульных преобразований тензорных решений уравнения Гельмгольца при трансляциях. Эти преобразования находят свое применение при решении задач, где необходимо связать граничные условия двух или большего числа пространственных тел.

Математический аппарат неприводимых тензоров создавался для пужд квантовой механики, но оказался весьма универсальным. Насколько известно автору в механике этот аппарат впервые был применен в работах Ю.М. Урмана и Г.Г. Денисова.

Ряд задач теоретической и математической физики приводит к необходимости представить решения уравнений Гельмгольца или Лапласа, полученные в одной системе координат, через решения того же уравнения в другой системе координат, сдвинутой относительно первой. Такая проблема возникает тогда, когда нужно связать краевые условия для двух и более тел в задачах электродинамики, теплопроводности, квантовой механики. Для такого типа задач необходимо знать оператор сдвига.

Известно, что группа движений пространства Е(3), состоящая из вращений относительно начала координат и сдвигов, является группой симметрии уравнения Гельмгольца. Она отображает решения уравнения Гельмгольца снова в решения этого же уравнения.

Пусть (¿/(г)-решение уравнения Гельмгольца

(д + <у:)^(г) = 0

Преобразование Фурье i|/(r) = jJexp(i(ork)h(k)dfi = l(h),

S,

удовлетворяющее уравнению Гельмгольца. Здесь k-единичный вектор (k*k)=l, пробегающий единичную сферу S,: + к1, +к: = 1, (Ю-обычная мера телесного угла на этой сфере и h-произвольная комплекснозначная измеримая функция на S, (относительно díl) такая, что JjA(k)2í/£2(k)<».

s:

Множество ¿,(5,) таких функций h образует гильбертово пространство со скалярным произведением (А,,Л,) = jjA,(k)/i,*(k)íft2(k).

Данное пространство можно разложить на неприводимые, в каждом из которых найдется оператор T{g), который, действуя на функции у/{г), индуцирует операторы, действующие на функции h. Таким образом, операторы T(g) определяют неприводимые представления группы £(3) на пространстве L:(S,).

В задачах, связанных с решением уравнения Гельмгольца, большое значение имеет получение формул, дающих разложение базисных функций с разделяющимися переменными у/^ в одной криволинейной системе координат в виде суммы или интеграла от базисных функций в другой криволинейной системе координат. Часто бывает необходимо применить евклидово преобразование к функции у/-^ и затем осуществить разложение по базису . Поскольку й-гипьбертово пространство, мы имеем

т

Тогда можно найти коэффициенты разложения в пространстве (5г) вместо того, чтобы искать их в пространстве А.

Матричные элементы операторов переноса Т(Е,а) = ехр(а,р) на базисных функциях ¿2 (52) определяются формулой

И -[НЕ^/^.еу ехр(йш • Щт (к)сЮ(к) для вычисления интеграла используем формулу разложения плоской волны:

и значение интеграла

где Jl(kr}— сферическая функция Бесселя, т -коэффициент Глебша-Гордана для 503, тогда матричные элементы оператора трансляции имеют вид

И = 2У (2^ + («ОС. С':,Х («)■

>¡4

Данные матричные элементы используются для получения теоремы сложения решений ^равнения Гельмгольца в сферической системе координат. В общем виде это выражается через формулу

^,(11 = г + а) = 5Х,и(а)К(г)

ы

В явном виде теорема сложения может быть выражена, как разложение, через биполярные гармоники

г,(алК(а ,)=„х

1.0 /у + 1

ху,(й»)гв(аг)^(п.)в ув(ог)1„;* < '

Если в представленной формуле в качестве 21(й)г) использовать сферическую функцию Бесселя у,(сиг) и устремить со —>0, получим формулы для преобразования при трансляции решение уравнения Лапласа, не имеющего особенности в нуле

А если в качестве 21(аг) выбрать функцию Неймана п1 (аг) и устремить со —»0 получим решение уравнения Лапласа, имеющее особенности в нуле

Здесь

3»-> 3„(г) = г'У„(О,),Я.(г)^ Я„(г)= г-^Хя(О, ) регулярные и иррегулярные (в соответствии с их поведением в точке г = 0) шаровые функции.

Для получения формул преобразований при трансляциях тензорных решений уравнения Гельмгольца (кг)У^ (в, <р) используем изменение схемы связи в неприводимых тензорных произведениях и теорему сложения для скалярных волн. Формула преобразования сферических тензорных волн при трансляциях имеет вид

г, ИГ"'{21 + 1У(2Й + 1X26 + 1)С,Г,0 X

(¿.Ь .1

Аналогично получению формул при трансляциях скалярных решений уравнения Лапласа, можно получить формулы преобразования при трансляциях для тензорных решений уравнения Лапласа.

Вторая глава посвящена развитию результатов, полученных в первой главе. На их основе строятся инвариантные разложения силовых функций электромагнитного взаимодействия пространственных зарядовых и токовых распределений. Исследуются свойства силовой функции, зависящие от симметрии распределения и от симметрии структуры силового поля. Для попарного взаимодействия зарядовых распределений строятся инвариантные представления силы и момента сил.

Используя теорию потенциала и разложение функции Грина скалярного уравнения Лапласа в ряд на регулярные и иррегулярные функции, опираясь на свойства скалярного произведения двух неприводимых тензоров, и применяя теорему сложения для скалярных решений уравнения Гельмгольца, удается представить выражение силовой функции взаимодействия в виде, который удобен для исследования

и =—-±(-1)\(2)} (И)) г 4 яие^ТГ у (2/)!(2и)!

При получении данного выражения не вводилась система координат, и сам вид разложения - скалярное произведение инвариантных объектов -показывает, что оно представляет собой инвариант. Каждый член в данном выражении можно трактовать как взаимодействие мультиполей разных порядков сгустков зарядов 1 и 2. Физический смысл неприводимого тензора /, определяется при взятии интеграла

V

при последовательной подстановке /=0,1. Тогда /„ - заряд, распределенный в объеме сгустка, /, - дипольный момент.

Сила и момент сил, действующие в системе двух сгустков зарядов получаются нахождением вариации силовой функции при бесконечно малом изменении смещения дЯ

__1_/(2/ + 2И + 1)(2/ + 17

' Але£,М 'V 3(2/ + 1)(2Л)

х{/,(1)®{/(2)®9ик)}Д

и бесконечно малом повороте

4 3(2/ + 1)(2и)

х{/,(1)в{/.(2)®91/м(К)},}1

Для нахождения инвариантного разложения силовой функции взаимодействия двух объемных токовых распределений используется разложение функции Грина векторного уравнения Лапласа на регулярные 3^(г) и иррегулярные (г) шаровые векторы, понятие векторного мультипольного момента

и применяется теорема сложения тензорных решений уравнения Гельмгольца.

Общее выражение для энергии взаимодействия токовых распределений имеет вид

I (2( + 2п)/п " 8л- ' У(2/ + 1)(2и)(/ + 1Хи + 1)

х({М,(1)®Мп(2)}^.5К,+„(К)), которое можно трактовать как взаимодействие векторных мультиполей одного токового распределения с полем, создаваемым другим токовым распределением. В качестве примера рассматривается задача о взаимодействие произвольно расположенных витков с током.

Выражение энергии для случая произвольного расположения токовых витков представляется в компактном виде:

У _ ]ГЛ1 + п). I 1п амЬ-'

2 &} ' /! -\|(/ + 1Х" + 1Х« + ?Х«-?) ^

Третья глава посвящена расчету силовых характеристик подвеса диамагнитного ротора, по форме близкого к сфере, в магнитном поле.

Энергия взаимодействия диамагнитного ротора с магнитным полем находится по формуле:

4 Щ(/ + /'+£-\).(! + 1' + Ь-2}. '-юг-'°

х (к ®сг} \г"*г-%(ег)с1У^

где в круглых скобках приведено скалярное произведение двух неприводимых тензоров. Тензор {с, ® с,}- связан с полем, а 2К,(ер)с/К- с

V

телом.

Основную сложность по расчету энергии представляет интеграл -неприводимый тензор, связанный с телом. Для некоторых форм ротора, близких к шару, интеграл берется в аналитическом виде. Подстановка данного интеграла в общую формулу позволяет записать выражение энергии для взаимодействия ротора определенной формы и внутреннего строения с полем подвеса. Для квазисферического ротора, радиус средней сферы которого , выражение для энергии принимает вид:

Ж у I К2ы(а а) Ж, у /(/ + Г + 3)(/Т7^

здесь еь- неприводимый тензор формы тела, который характеризует геометрию ротора.

Состояние равновесия определяется из условия равенства нулю суммы сил и моментов сил, действующих на диамагнитный ротор. Устойчивость состояния равновесия определяется согласно теореме Лагранжа, следуя которой, потенциальная энергия в состоянии равновесия должна иметь изолированный минимум. Требование минимума выполняется при условии положительной определенности матриц вторых производных функции потенциальной энергии в состоянии равновесия.

Для квазисферического ротора получено несколько состояний

равновесия. Состояния равновесия |х„ =0,2(1 = г,Д, и

х0=0,г„=2,Д устойчивы, а {х0 = 0,г„ = г„Д = 0} и

{х„ =0,г„ =г,,Д = я}-неустойчивы. Здесь х() - смещение ротора вдоль оси

X,, в системе координат, связанной с подвесом, г0 - смещение вдоль оси Х1, Д, - угол между осью ротора и осью Х1. Для устойчивого состояния равновесия рассчитана область устойчивости. В терминах размеров витка и размеров средней сферы ротора она для отношения радиуса средней сферы ротора к радиусу токового витка ^,/¿/ = 0.8 лежит в пределах 0.408</<г„< 0.597с/.

Использование общего выражения энергии взаимодействия диамагнитного ротора с магнитным полем подвеса удобно для вычисления силы, действующей со стороны подвеса на диамагнитный ротор. Процедура вычисления силы основана на нахождении первой вариации энергии при малом смещении ротора из положения равновесия. Выражение силы, действующей на квазисферический диамагнитный ротор, представляется в виде:

у (2/» + 1X21 + 1Х/ + /'-6 + 2)!(/-/' + й + !)(/ + 1'-к + 1). " М 3(/'-/ +А-1)|(А - £ + 1)!(£-й + 1)!(£ + /г + 2)(/ + 1'- Ь-2)Х (Д + 1-1)!(//-/ + 1)! у2 а , гг в. г «у!

Данное выражение удобно для определения перегрузочной способности ротора в магнитном поле. Данная формула применима для различных конфигураций поля. Это позволяет определить конфигурацию поля, обеспечивающую максимальную область устойчивости.

Для исследования эволюционных движений ротора в магнитном поле, имеющем однородную и градиентную составляющие, получено: 1) энергия взаимодействия ротора с полем имеющим однородную и градиентную составляющие

ЦГ — ХИо

4

а;У - л/Го ({а, ® в,}- 11)+а2\гЧУ - ® а,}■ /,)

(2)

2) момент сил, действующий на диамагнитный ротор, в поле, имеющем однородную и градиентную составляющие

Л/, = 2«ч/5-^-{{а. ®а,}® /.}-1>/35^Ц{в, ®а,}®/,}..(3) 4 " 4

Для изучения угловых движений ротора вводятся следующие системы координат: А", (/ = 1,2,3) - опорная, связанная с подвесом. Z, - связанная с твердым телом. Вращение тела относительно неподвижной точки можно рассматривать как наложение двух движений: движение относительно кинетического момента и вместе с кинетическим моментом. Поэтому введем еще одну систему координат К, которая связана с вектором кинетического момента тела К. Ось К сонаправлена с вектором К, оси системы направлены вдоль главных центральных осей эллипсоида инерции тела с моментами инерции соответственно A.B.C. Переход от системы координат X, к У осуществляется путем двух последовательных поворотов на сферические углы р. а. характеризующие положение вектора кинетического момента в системе I, а от У к Z, после трех последовательных поворотов на углы Эйлера а. Д у.

В силу малости магнитной проницаемости ротора, моменты сил малы, поэтому для анализа движения тела применяется аппарат асимптотических методов теории колебаний. Для проведения процедуры осреднения силовую функцию (2) необходимо преобразовать к фазовым переменным задачи. Вид силовой функции после преобразования к фазовым переменным:

Осреднение силовой функции сводится к осреднению по свободному движению, которое представляет собой движение Эйлера - Пуансо. В нерезонансном случае, когда частоты свободного движения несоизмеримы, осреднение можно проводить двумя независимыми этапами: сначала по а, а затем по полодии. Для проведения осреднения по углу а необходимо положить в формуле (4) т = 0. Осреднение по полодии сводится к

эллиптический интеграл первого рода.

Осредненная силовая функция с точностью до константы имеет вид

4

вычислению интегралов вида

где к- полный

Для получения эволюционных уравнений, необходимо осредненную силовую функцию подставить в систему уравнений

^ = Up, Ks^-fl, (6)

sinp да dp

которые дают следующую картину движения диамагнитного тела в осесимметричном подвесе. Вектор кинетического момента, не меняя углового положения относительно оси поля р = const, прецессирует вокруг оси с постоянной угловой скоростью прецессии

а вокруг вектора кинетического момента тело совершает свободные движения Эйлера - Пуансо.

Приложение посвящено общим вопросам теории математического аппарата неприводимых тензоров.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

На основе математического аппарата неприводимых тензоров дано математическое описание и исследование взаимодействия твердого тела с силовым полем различной физической природы:

• Получена теорема сложения для тензорных решений уравнения Гельмгольца. Общие формулы преобразований для тензорных решений уравнения Гельмгольца позволяют в частном случае получить формулы преобразования для скалярных и векторных решений уравнения Гельмгольца.

• На основе теоремы сложения записаны инвариантные разложения силовой функции взаимодействия объемных зарядовых и токовых распределений.

• Записаны инвариантные представления силы и момента силы попарного электромагнитного взаимодействия двух объемных зарядовых распределений.

• Записана силовая функция взаимодействия диамагнитного ротора с магнитным полем.

• Найдена сила, действующая со стороны подвеса на диамагнитный ротор, по форме близкий к сфере.

• Для однородного диамагнитного ротора, по форме близкого к сфере, в поле круг ового тока найдена область устойчивости.

• Найдены первая и вторая гармоника силовой функции, характеризующие взаимодействие с однородным и градиентным силовым полем, позволившие рассмотреть угловые движения ротора.

• Получен момент сил, действующий на ротор в магнитном поле, которое имеет однородную и градиентную составляющие.

• Выявлен характер движения вектора кинетического момента и движения ротора относительно вектора кинетического момента.

Список публикаций

[1] Урман, Ю.М. О левитации диамагнитных тел в магнитном поле /

Ю.М. Урман, H.A. Бугрова, Н.И. Лапин // Журнал Технической

Физики,— 2010,—№ 9,— С. 25-33.

[2] Урман, Ю.М. Применение метода неприводимых тензоров для вычислений силовых характеристик подвеса диамагнитного шара в магнитном поле произвольной конфигурации / Ю.М. Урман, H.A. Бугрова, Н.И. Лапин // Научное обозрение.— 2010,— № 1.— С. 27-31.

[3] Бугрова, H.A. Устойчивое удержание диамагнитного шара в поле системы круговых токов / H.A. Бугрова, Н.И. Лапин // Материалы VI международной научно-практической конференции Научный прогресс на рубеже тысячелетий-2010.— г. Прага, 2010.— С. 6-10.

[4] Урман, Ю.М. Проблемы левитации тел и ее применение / Ю.М. Урман, Н.И. Лапин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского.—2011,— № 4,— С. 339-341.

[5] Урман, Ю. М. Теоремы сложения тензорных решений уравнения Гельмгольца / Ю.М. Урман, Н.И. Лапин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского серия Механика.— 2011.— № 5(1).—С. 137-143.

[6] Урман, Ю.М. Динамика диамагнитных и сверхпроводящих тел в магнитном поле / Ю.М. Урман, Н.И. Лапин // Устойчивость, управление и динамика твердого тела Тезисы докладов XI Международной конференции.—Донецк: Институт прикладной математики и механики НАНУ, 2011,—С. 116-117.

[7] Урман, Ю.М. Динамика диамагнитного ротора в магнитном поле / Ю.М. Урман, Н.И. Лапин // Research Journal of International Studies.—2013.— №5,—С. 9-11.

[8] Лапин, Н.И. О левитации произвольного по форме диамагнитного тела в магнитном поле / Н.И. Лапин // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского серия Механика.— 2011.— № 1.— С. 133-138.

Подписано ■ печать 16.01.2014 Формат 60/84x16 Усл.печ.л.1,1 Тираж 100 это. Заказ 3 Отпечатано в отделе полиграфии НГПУ нм.К.Минина 603004, Нижний Новгород, ул. Челюскяниеа, 9

291 6

2014064263