Инвариантные тензоры и алгебры с неприводимой немаксимальной группой автоморфизмов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА II ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ НЕДАГОГИЧЕ СКИП ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени П. И. ЛЕНИНА

Днсгсрицпоинмп ешк'т К" (Г»!!.((1.02

РГ Б ОД На правах рукописи

ГОГ5А 11.11.1 л 1.я Пн.шокип

Ш1НЛРПЛ1ГП1ЫЕ ТЕНЗОРЫ II ЛЛГЕВРЫ С НЕПРИВОДИМОЕ ИЕМЛКСНМАЛЬНОП

группой а птоморфплмор,

Спсцпплыют. 01.01.(И — Г<чшег/шя п топология

АВТО р I. ф I: р а т

диссертации на списками*' ученой стеиснн 1..-111111!.*п ;! фн.'пи.о-математических наук

Москва ЮМ

Работа выполнена в Московском педагогическом упнвсрси-тете.

Научный руководитель:

доктор физпко-математи чеекп.х наук, профессор О. 15. МЛИТУРОВ

О ф ициалыше оппоненты:

доктор физико-математических паук', доцент 1!. 1!. ТРОФИМОВ,

кандидат физпко-матпматичеокпх наук, старшин преподаватель 11. С. ЛОГУНОВ

Ведущая организации — Российский университет дружбы пародом.

/— у -

■ Защита состоится «...»2.....г. в ............ часов на

заседания диссертационного совета К 053.01.02 н.о присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Московском педагогическом государственном ушшерсптсте. Адрес: 107 МО, г. Москва, уик Краснопрудная, д. 14, ауд..............

С. диссертацией можно ¡ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета (ИО^ЗЗ, Москва, М. Пирлговакая, д. 1).

Автореферат разослан ..........11)г.

Ученый ceKpjjia.pi, диссертационного совета, /^ кандидат фнз.-мат. иауи;

Г. А. КАРАСЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш исследования. Одной из важных проблем современной математики является изучение инвариантов и инвариантных тензоров, с которыми связаны любые задачи, где рассматриваются представления групп и алгебр Ли, изучаются вопросы симметричности тензорных инвариантов, их валентности и т.д. Важность тензорных инвариантов подчеркивает и тот факт, что даже тензоры невысоких валентностей, например второй, описывают весьма содержательные объекты в различных теориях математики, физики, естествознания. Так, в математике симметрический и кососимметрический <1^ двухвалентные тензоры определяют обычным образом метрику и косую метрику соответствующих пространств.

Инвариантные тензоры играют существенную роль в изучении одного из центральных объектов геометрии - однородных пространств, т.е. множеств на которых транзитивно действует какая-либо группа преобразований. Рассмотрим касательное пространство к многообразию в начале координат. Вычисляя в этом пространстве тензоры инвариантные относительно группы изотропии, получим инвариантные поля биективно соответствующие таким тензорам. Многие важные характеристики однородных пространств определяются в терминах инвариантного тензорного поля. Например, однородные римановы многообразия являются пространствами, где задано поле дважды ковариантного симметрического тензора ^, инвариантное относительно действия группы 3, и задающее в каждой точке р положительно определенную квадратичную форму (р)-йх1-йх3 (риманова метрика).

Безусловно интересны трехвалентные инварианты однородных пространств. Их наличие эквивалентно существованию алгебры инвариантных векторных полей на однородном пространстве.

Задача диссертационного исследования органически связана с теорией инвариантных тензоров.Так, если в линейном пространстве I над полем С задана алгебра о билинейной операцией 1:ЬхЬ ■* Ь, где Г - инвариантна относительно неприводимой линейной группы Ф(Н) автоморфизмов этой алгебры, то инвариантность операции 1 тождественна инвариантности тензора с'к структурных констант рассматриваемой алгебры. Тем самым, ответ

на вопрос о существовании алгебр с непривода/ой группой автоморфизмов дает изучение размерностей пространств тензоров инвариантных относительно неприводимого представления Ф(Н).

Е.Б.Дынкин показал1, что почти всякая простая неприводимая группа Ли максимальна в одной из классических. В силу этого, класс простых неприводимых групп очень обширен, что определенным образом затрудняет его изучение.

Вопрос о максимальных подгруппах классических групп самым тесным образом связан с очень интересными в геометрическом плане объектами - включениями между неприводимыми группами линейных унимодулярных преобразований. Е.Б.Дынкиным в ходе сложного исследования был получен исключительный результат: в большинстве своем простые неприводимые группы максимальны среди неприводимых групп, т.е. как правило не являются подгруппой никакой другой неприводимой группы (если не рассматривать случай классических групп Ли). А значит включения, о которых шла речь выше, очень редки, и тем самым представляют определенный интерес для изучения.

Учитывая все выше сказанное, в данной работе мы обратили особое внимание на изучение алгебр, чья группа автоморфизмов Ф(С) неприводима и немаксимальна, т.е. является подгруппой некоторой простой неприводимой группы ЧЧС*), которая отлична от БЬ(Ы), Бр(Ю. и 0(Ю.

Кроме тензоров с1 нами исследованы пространства инвари-

J *

антшх тензоров о , а также тензоров четвертой валентности

1 } К

инвариантных относительно неприводимых представлений линейных унимодулярных групп йсй* "исключений Дынкина", т.е. когда й* -проста и отлична от групп Ли классических серий.

Алгебры с неприводимой немаксимальной группой автоморфизмов имеют непосредственное отношение к теории однородных пространств. Рассмотрим более подробно римановы однородные пространства.

Пусть однородное пространство (1|Н редуктивно, т.е. (!=Н4-В, где О, I - алгебры Ли групп в и Н соответственно, пространство В - а<1ь-неприводамо и [Н, В] с В. Скобки [...] означают кодау-

1 Дынкин Е.Б. Максимальные подгруппы классических групп. // Тр. моек. мат. общ-ва, 1952. - Т.1. - С.39 - 166.

татор в алгебре Ли.

Если [В, В] = {О}, то пара (¡3, Н) определяет аффинный случай однородного пространства, т.е. пространства постоянной кривизны. Если коммутатор [В, В] = Н при условии простой б, то получаем симметрическое риманово пространство. Эти пространства классифицированы и полностью описаны Э.Картавом.

В случае простой С = [В, В] получаем изотропно неприводимые однородные пространства, полностью классифицированные О.В.Мантуровым.

Берестовским в.Н.2 доказано, что кроме трех перечисленных случаев редуктавнсго разложения однородного пространства С}Н возможны и другие, когда в алгебре Ли 5 найдутся айй-инвариантные пространства, содержащие алгебру Ли Н и сами являющиеся подалгебрами относительно 5.

Пусть для однородного пространства й¡Н имеет место разложение С = Н + в 4 С, где В и С - ай^-неприводимые и инвариантные подпространства ё. Рассмотрим линейное векторное пространство ё0 = В 4- в, которое является а! ■-инвариантным подпространством алгебры Ли б. Допустим, что С0 - алгебра Ли. Тогда мокяо говорить, что линейное пространство С инвариантно и не-приводимо одновременно относительно двух присоединенных представлений ай и ай . И, значит, на С каждое из неприводимых

представлений ай я ай будет задавать сбою алгебру с нелри-ь %

водимой группой автоморфизмов. Причем, мы будем иметь двойное включение алгебр Ли Нсй^й. Как показано Дынкиным Е.Б. алгебры Ли Н « Со> удовлетворяющие вше перечисленным условиям, действительно существуют и исчерпываются "исключениями Дынкина", т.е. непосредственными объектами нашего исследования. Здесь Со - проста и не совпадает с алгебрами Ли классических групп Ли.

Резюмируя сказанное выше, можно утверждать, что изучение инвариантных тензоров и алгебр с неприводимой немаксимальной группой автоморфизмов является актуальным и представляет определенный интерес на современном этапе развития геометрических теорий.

2 Берестовекий В.Н. Однородные пространства с внутренней метрикой. // Доклады АН СССР, 1988. - Т.301, N 2. - С.268 - 271.

Цель исследования. Пусть С а С* - неприводимые группы Ли унимодулярных линейных преобразований- й является максимальной подгруппой группы в*, причем в* - проста и отлична от SL(N), вр(Ы), 0(Ы). Наша задача состоит в определении размерностей

пространств инвариантных тензоров третьей и четвертой валент-

% *

ноотей неприводимых линейных груш Ли-в и в включения СсС , а также в исследовании изменения пространств таких тензоров при переходе от подгруппы Ли й к объемлющей группе в*.

Научная новизна работы состоит ггревде всего в том, что впервые объектом изучения стал такой исключительный результат Е.Б.Дьшкина, как включения между неприводимыми линейными группами Ли й с С8, где в* является простой и не совпадает с БЬ(М), ЗрШ) и ОШ).

1. В нашем исследовании определены размерности пространств инвариантных тензоров третьей валентности различных типов у групп Ли б и С* и прослекено изменение таких пространств при расширении неприводимой: подгруппы 0 до группы Ли й*. Одновременно с этим мы получили решение задачи о существовании и количестве алгебр с неприводимой немаксимальной группой автоморфизмов Ф(С), где в является подгруппой простой неприводимой группы С*, отличной от классических групп Ли.

2. Б работе найдены размерности пространств инвариантных тензоров четвертой валентности о;^к. и с^ для "исключений Дынкина". В некоторых случаях включений С сС* определены размерности пространств тензоров инвариантных относительно неприводимых представлений групп С и С*.

3. В настоящей работе решена задача выражения в аналитическом виде функции Р(г) - количества разбиений линейной комбинации г корней полупростой алгебры Ли в сумму положительных корней данной алгебры. Результаты получены для всех алгебр Ли второго ранга.

На основании полученных формул, и за счет значительного упрощения вследствие втого вычислений по формуле Костанта, составлены программы нахождения кратности неприводимых слагаемых в разложении кронекеровского произведения любых двух неприводимых представлений алгебр Ли В = С и С .

2 2 2

Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

Методы исследования, в основном, взяты из теории представлений групп, которая позволяет разрешить проблему отыскания инвариантных тензоров. Математический аппарат диссертации включает в себя алгоритм Ричардсона-Литтлзуда, методы крайних векторов, "линейного программирования", неопределенных коэффициентов, теоремы "о части", "о цепочке", "о подчинении", формулы Картье и Костанта.

К математическому аппарату можно отнести полученные нами аналитические формулы нахождения значений функции P(z) для алгебр Ли ранга два, и программы вычисления кратностей компонент в разложениях в прямую сумму неприводимых слагаемых тензорных произведений двух неприводимых представлений алгебр Ли В„ и G.

2 Э

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть применены в дальнейших исследованиях в теории инвариантов, теории представлений груш, теории однородных пространств, а также в теоретической физике.

Апробация диссертации. Основные результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры геометрии МПУ, на X и XI конференциях молодых ученых в УДН им. П.Лумумбы, на IX Всесоюзной геометрической конференции в Кишиневе 1988 г.

Публикации. По теме диссертации имеется восемь публикаций, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа выполнена на 180 страницах машинописного текста, из них 135 страниц основного текста. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложений. Библиография содержит 52 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дан краткий анализ состояния вопроса по теме исследования. Отмечены основные этапы развития теории инвариантов, теории групп и алгебр Ли, теории представлений полупростых групп, теории однородных пространств. Проведен обзор предшествующих работ по теории инвариантов и однородных пространств.

Здесь же сформулирована цель исследования и дана краткая постановка задачи исследования.

Рассмотрим неприводимую линейную группу Ли С, действующую в линейном пространстве Ъ над полем С, и ее неприводимое представление Ф(С). Может оказаться, что группа в имеет некоторые тензорные инварианты относительно представления Ф(С). Если мы расширим а до линейной группы Ли в*, заданной в том ке пространстве Ь, и имеющей неприводимое представление то, естественно, множество инвариантных, тензоров не расширится при втом. Возникает вопрос, насколько изменится пространство инвариантных тензоров в этом случае.

Но прежде, чем искать ответ на сформулированную задачу, сделаем существенное для нас замечание: если представление Ф(й) нецриводимо, то оно почти нерасщряемо. Здесь многое зависит от того, что собой представляет группа й*.

Если й* является одной из БЬ(Л), £р(Ю, О (и), то, безусловно, всегда будет существовать включение Ф(й)<=¥(0*) между неприводимыми представлениями.Задача Для классических групп Ли нашими методами решается элементарно. Тогда • остается изучить пространства названных тензоров для неприводимой подгруппы а.

Наибольший интерес представляет случай, когда группа С* является простой и не совпадает ни с одной из классических. Возможно ли включение между неприводимыми группами йсО* при таких условиях? В результате очень интересного и сложного исследования, проведенного Е.Б.Дынкишм, оказалось, что такие включения возможны, хотя и очень редки. В работе Е.Б.Дынккна приведено полное перечисление всех типов включений йсС* между неприводимыми группами ушшодулярных матриц С и С*, где С* -проста и отлична от БЬШ), Бр(11) и 0(М). В дальнейшем рассматриваются только выше названные включения. Кроме того, задача ограничена изучением тензорных инвариантов третьей и четвертой валентности.

Пусть группа Ли С имеет трехиндексный тензор инвариантный относительно неприводимого представления Ф(0). Расширим Ф(в) до неприводимого где существует включение йсй*

между неприводимыми группами унимодулярных матриц. Тогда это эквивалентно задаче о расширении неприводимой группы автоморфизмов Ф(0 некоторой алгебры в линейном пространстве Ь, при-

чем является тензором структурных констант билинейной операции Г заданной алгебры. И инвариантность тензора с' одно} *

значно определяет инвариантность Г:1хЬ ■» Ъ.

Таким образом, изучение изменения пространства инвариантных тензоров о1^ при расширении неприводимого представления Ф(0) до неприводимого 140*) дает ответ на вопрос о существовании алгебр, группа автоморфизмов Ф(в) у которых неприводима и немаксимальна.

Аналогично можно ставить вопрос об изучении тернарных алгебр с трилинейной операцией, которая инвариантна относительно некоторого неприводимого линейного представления, а значит инвариантен относительно етого же представления и четырехвалентный тензор о1 структурных констант алгебры.

J К 1

Другие виды трех- и четырехвалентных тензорных инвариантов также представляют несомненный интерес, поскольку гашсыва- ■ ют различные свойства важных геометрических объектов, как это было показано ранее.

Первая глава носит, в основном, теоретический характер. В ней приводятся необходимые для исследования факты теории групп Ли и теории представлений, чему посвящен параграф 1.1. В этом же параграфе описан метод "линейного программирования", позволяющий полностью перечислить все представления-претенденты в разложении кронекеровского произведения двух неприводимых представлений на неприводимые компоненты. Затем, в параграфе 1.2 ставится задача диссертационного исследования и теоретически обосновываются пути.ее реяения. Здесь доказана лемма (1.2.1) "о целочисленности", которая дает нам необходимые условия существования инвариантных тензоров третьей и четвертой . - . валентностей всех типов относительно заданного неприводимого представления Ф алгебры Ли ё.

Параграф 1.3 полностью посвящен решению задачи о разложении на неприводимые компоненты кронекеровского произведения двух неприводимых представлений алгебр Ли ранга 2. Здесь наш ■ получено для всех алгебр Ли второго ранга аналитическое выражение Р(и) - числа представлений какого-либо вектора г, заданного в базисе простых корней алгебры Ли, в виде суммы положительных корней данной алгебры.

Используя эти форлулы, достигнуто упрощение вычислений

кратностей неприводимых слагаемых в разложении тензорного произведения двух неприводимых представлений по формуле Коетанта. Это позволило составить программы для вычисления таких кратностей в случае представлений алгебр Ли Вг = 02 и Gg.

Отметим, что предложенные программы удобны тем, что для работы с ниш достаточно персонального компьютера. Во-вторых, вычисление кавдой кратности не превышает 5 - 7 с машинного времени (IBM), что также представляется немаловажным.

Следует отметить, что вопросы разложения тензорных произведений неприводимых представлений алгебр Ли до сих пор актуальны и представляют несомненный интерес. Решением задач такого рода занимаются многие математики, как в России, так и за рубежом. Методы получения разложений варьируются от классических до применения ЭВМ. Так, например, в работах Р.В.Муда и Дк.Патеры получены разложения и составлены таблицы попарных произведений некоторых групп неприводимых представлений простых алгебр Ли, ранг которых не превышает 12. Вычисления проведены на ЭВМ по методике, основанной на понятии характера представления.

Решением аналогичных задач занимается А.А.Золотых. Например, он приводит таблицы всевозможных произведений пар неприводимых представлений алгебры Ли Sß (для первых по возрастанию размерности тридцати представлений). Все расчеты проводятся с использованием ЭВМ PDPII/70.

Вопросами разложения кронекеровских квадратов базисных цредставлений простых алгебр Ли занималась также Н.Б.Болотова.

Вторая глава диссертации посвящена непосредственно алгебрам с неприводимой немаксимальной группой автоморфизмов. Инвариантность операции в алгебре определяется инвариантностью тензора структурных констант с^ этой алгебры относительно неприводимой группы автоморфизмов. Поэтому здесь вычислены размерности пространств тензоров о jk, инвариантных относительно действия неприводимых унимодулярных групп Ли G и G* включения е с G*, в случае если G - максимальная подгруппа в G*, а G*- простая отличная от SL(N), Sp(N) и 0(H) группа Ли. Задача решена для всех типов указанных выше включений, за одним исключением. Кроме того, прослежено изменение размерностей пространств названных тензоров при переходе от подгруппы G к

объемлющей груше в*.

Исследование проведено по группам включений, соответствующих таблице "исключений Дынкина", и разбито в работе на пять параграфов. Все результаты сформулированы в 15 теоремах. В начале главы доказаны две вспомогательные леммы, позволяющие несколько упростить задачу нахождения тензорных инвариантов относительно неприводимого представления группы Ли.

В первых двух параграфах заключительной третьей главы решена задача диссертационного исследования, но для инвариантных тензоров В параграфе 3.1 доказана вспомогательная лемма и 5 теорем, которые обобщают изучение изменения пространств инвариантных тензоров с при переходе от неприводимой группы Ли С к объемлющей неприводимой группе Ли 0 включения Сс С*, при условии, что простая й* является подгруппой классической группы БКИ).

Параграф 3-2 собрал результаты исследования по всем остальным группам включений мезду неприводимыми группами Ли уни-модулярных матриц. В целом, тензорным инвариантам с,^ посвящено 6 теорем третьей главы. Исследования проведены для всех в

типов включений С с С таблицы Дынкина, за одним исключением.

В параграфе 3.3 подводятся итоги исследования, тензоров четвертой валентности, инвариантных относительно . неприводимых представлений групп Ли уяимодулярных матриц включения С г С*, при условии, что 0* - проста и не совпадает с 8Ь(Ю, Бр(Ы), 0(К]. Результаты изменения пространств инвариантных тензоров четвертой валентности сведены в таблицы 6 и ;7 Приложения 1. В работе определены размерности пространств инвариантных тензоров четвертой валентности о и о" для рассматриваемых

у 1 Д К 1 I J

включений С с С , кроме двух. Несмотря на весь имеющийся современный математический аппарат, задача разложения в прямую сумму неприводимых компонент тензорного произведения двух неприводимых представлений является во многих случаях весьма сложной. Именно по этой причине остались не рассмотрены в нашей работе включение IV для всех видов инвариантных трех- и четырехвалентных тензоров и включение Ш для тензоров четвертой валентности.

Ж

Для некоторой части включений С с О найдены размерности

пространств тензоров четвертой валентности о'. , инвариантных

) * *

относительно неприводимых представлений групп С и й*.

В Заключении подводятся итоги диссертационного исследования. Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Определены размерности пространств трехвалентных тензоров и е^. инвариантных относительно неприводимых представлений пар групп Ли б и в* "исключений Дынкина". Также прослежено изменение втих размерностей при расширении неприводимой группы в до неприводимой объемлющей группы С*.

В теоремах второй главы определено количество алгебр с неприводимой немаксимальной группой автоморфизмов Ф(С) для каждого рассмотренного случая включения Ф(С-) с ¥(0*), поскольку размерность пространства грехиндексного тензора с*к инвариантного относительно Ф(й) равна числу алгебр с неприводимой группой автоморфизмов Ф(С).

2. В работе найдены размерности пространств инвариантных тензоров четвертой валентности ^ <ч1 и с^ для включений Сей* между ушшодулярными линейными группами Ли, при условии простой й*, не совпадающей с классическими. Для некоторой части включений Й с С* найдены размерности пространств тензоров четвертой валентности с1 , инвариантных относительно неприводи-

*Л Ж

мых представлений групп й и й ,

Количество инвариантных относительно неприводимого представления Ф(в) тензоров о1 равно числу тернарных алгебр с

± к 1

неприводимой немаксимальной группой автоморфизмов $>(0). Причем с'^к1 является тензором структурных констант трилинейной операции в такой алгебре.

З-Для всех алгебр Ли второго ранга получены формулы вычисления числа Р(и) разложений вектора ъ в сушу положительных корней алгебры Ли. На основании формулы Костанта с использованием полученных нами формул составлены программы для вычисления кратностей неприводиых слагаемых в разложении кронекеровс-кого произведения двух неприводимых представлений алгебр В2=02 и Са.

В приложениях даны таблицы; разложения тензорных произведений неприводимых представлений, встречающиеся в работе; полные системы весов некоторых неприводимых представлений; программы вычисления кратности вхождения неприводимой компоненты в разложение тензорного произведения двух неприводимых пред-

ставлений для алгебр Ли В2 = Оа и G .

Публикации автора по теме исследования.

1. О некоторых инвариантных тензорах третьей валентности. // Тензорные инварианты. / Московский областной педагогический институт. - М., 1986. - С.29 - 35. - Деп. в ВИНИТИ 05.09.86, N 6553-В.

2. Об инвариантных тензорах о некоторых представлений

I J К 1

алгебр Ли серии А . // Инвариантные тензоры на однородных про-

п

етранствах. / Московский областной педагогический институт. -М., 1987. - С.47 - 51. - Деп. в ВИНИТИ 28.05.87, N 3843-В87.

3- О некоторых алгебрах с неприводимой немаксимальной группой автоморфизмов. // Матер. Ю конф. мол. учёных Университета дружбы народов, Москва, 13 - 19 апреля 1987- Ч.З. / Университет дружбы народов. - М., 1937- - С.161 - 164. - Деп. в ВИНИТИ 29-12.87, N 9153-В87.

4- 0 формуле кратностэй весов представлений алгебры Ли А„. // Мат., физ., химия, 15 - 19 марта 1988; 4.2. / Университет дружбы народов. - М., 1988. - С.140 - 143- - Деп. в ВИНИТИ 01.07-88, N 5305-В88.

5. Об алгебрах с неприводимой немаксимальной группой автоморфизмов. //IX Всесоюзная геометрическая конференция, Кишинёв, 20 - 22 сентября 1988: Тезисы сообщений. - Кишинёв, 1988. - С.81 - 82.

6. Об инвариантных тензорах третьей валентности представления o->fe алгебры Ли g . // Инварианты дифференциальной группы. / Московский областной педагогический институт. - М., -1988. - С.14 - 26. - Деп. в ВИНИТИ 28.11.83, К 8355-В88.

7. О некоторых тензорных квадратах представлений типа он>ё алгебры Ли Gs // Приложения дифференциальной геометрии: Межвузовский сборник научных трудов.- Воронеж, 1989.- С.11-18.

8. О разложении тензорных произведений представлений алгебр Ли ранга 2. // Дифференциальная геометрия и мультипликативный интеграл. / Московский областной педагогический институт. - М., 1989. - С.47 - 53. - Деп. в ВИНИТИ, N 3299-В89.