Влияние магнитного трения на динамику твердого тела в неконтактном подвесе тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

КУВЫКИН ВЯЧЕСЛАВ ИВАНОВИЧ

ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ТРЕНИЯ НА ДИНАМИКУ ТВЕРДОГО ТЕЛА В НЕКОНТАКТНОМ ПОДВЕСЕ

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

НИЖНИЙ НОВГОРОД 2004

На правах рукописи

КУВЫКИН ВЯЧЕСЛАВ ИВАНОВИЧ

ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОГО ТРЕНИЯ НА ДИНАМИКУ ТВЕРДОГО ТЕЛА В НЕКОНТАКТНОМ ПОДВЕСЕ

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

НИЖНИЙ НОВГОРОД 2004

Работа выполнена в Московском энергетическом институте и Нижегородском филиале института машиноведения РАН

Научный консультант -

доктор физико-математических наук, профессор ЮГ. МАРТЫНЕНКО

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор В.Н. Комаров,

доктор физико-математических наук, профессор Е.И. Кугушев.

доктор физико-математических наук, профессор В.А. Самсонов,

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Защита состоится " 30_" сентября 2004 г. в 15 час. 00_ мин на заседании диссертационного совета Д.212.166.09 в ННГУ им. Лобачевского по адресу: 603600, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке

Нижегородского государственного университета

Автореферат разослан " 26 " августа 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.212.166.09

библиотека о» 10вШ<1

Актуальность проблемы обусловлена интенсивным развитием теории и технологии неконтактного подвешивания твердых тел в электрических и магнитных полях. При относительном движении левитирующего тела и источников магнитного поля возникают диссипативные процессы, вызванные вихревыми токами и гистерезисными явлениями в его материале, которые получили название магнитного трения. Магнитное трение оказывает существенное влияние на динамику твердого тела и требует специального исследования.

Работа выполнялась при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (93-013-16256, 96-01-00880, 96-01-00680, 96-0219792) и составляла предмет исследований ряда хоздоговорных тем. Целью работы является

- исследование динамических эффектов, вызванных магнитным трением в неконтактном подвесе;

- разработка методов и алгоритмов расчета сил и моментов магнитного трения;

- анализ влияния конфигурации поля и формы тела на силовые характеристики неконтактной опоры;

- разработка рекомендаций для проектирования неконтактных опор с улучшенными функциональными свойствами;

- экспериментальное изучение магнитного трения.

Методы исследования определялись спецификой расчетов и математических моделей. Использованы методы аналитической механики, теории поля, качественной теории дифференциальных уравнений и математической физики, асимптотические методы механики (метод многих масштабов и метод осреднения), методы численного моделирования.

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования, экспериментальной проверкой, сравнением с экспериментальными данными и результатами других авторов.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в

следующем:

- изучены закономерности, связанные с влиянием конфигурации поля на силовые характеристики магнитного подшипника;

- исследовано влияние магнитного трения и параметров подвеса на устойчивость движения левитирующего тела;

- разработан метод расчета сил и моментов сил при движениях проводящего тела произвольной формы в неоднородном поле при малых значениях магнитного числа Рейнольдса;

- проведен анализ динамики проводящего тела в магнитном поле и обнаружена взаимосвязь движений по различным координатам;

- предложен способ прочностных испытаний материалов и адгезионных свойств покрытий в неконтактном подвесе;

- исследованы динамические эффекты в высокотемпературных сверхпроводящих подвесах и определены характеристики сил трения;

- указаны способы повышения грузоподъемности высокотемпературных сверхпроводящих опор и улучшения их характеристик за счет применения дополнительных магнитных полей.

По теме диссертации опубликовано 46 работ, включая 1 монографию, 3

изобретения, основными из которых автор считает [1-22].

Практическая ценность работы определяется тем, что полученные результаты позволяют

- определить параметры, при которых нарушается работоспособность устройств с неконтактным подвесом в приборах, машинах, высокоскоростном транспорте и указать способы устранения дестабилизирующих факторов;

- вычислить потери энергии, вызванные магнитным трением при движении левитирующего тела в неконтактных опорах, указать пути их уменьшения;

- дать оценку изменения точности приборов при воздействии сил магнитного трения;

- провести расчет электродинамических демпферов;

- оценить величину силы магнитного трения в подвесах на основе высокотемпературных сверхпроводников;

- "улучшить технические показатели устройств с неконтактным подвесом.

Ряд предлагаемых технических решений прошел экспериментальную проверку.

Изложенные результаты могут быть использованы при проектировании, создании и модернизации технических устройств с неконтактными подвесами и в учебных курсах, отражающих достижения теории и практики магнитной левитации в современных технологиях.

Апробация работы. По теме диссертации сделаны доклады на семинаре в Политехническом университете Нью-Йорка (США, 1993), Всесоюзных конференциях "Современные вопросы физики и приложения" (Москва, 1984, 1987), Всесоюзных конференциях "Современные вопросы механики и технологии машиностроения" (Москва, 1986, 1989), Всесоюзных конференциях "Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации" (Москва,, 1985, 1991), Всероссийской конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Н.Новгород, 1993 ), Всероссийской конференции "Проблемы машиноведения" (Н.Новгород, 1996), конференции "Моделирование и исследование устойчивости процессов" (Киев, 1992), научно-технической конференции "Проблемы машиноведения", семинаре им. акад. А.Ю Ишлинского по прикладной механике и управлению в МГУ (2004), научных семинарах Нижегородского филиала Института машиноведения РАН (1988-2004) и научных семинарах кафедры теоретической механики МЭИ (1983-2004).

Тезисы 23 докладов опубликованы в печати.

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка используемой литературы. Общий объем работы составляет 300 стр., включая 61 стр. с рисунками, 5 стр. с таблицами и 25 стр. списка литературы, насчитывающего 262 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обзор ряда направлений теории и техники левитации твердых тел в электрических и магнитных полях. Отсутствие механического контакта между движущимися телами дает возможность исключить внешнее трение и приблизиться к «идеальной опоре» с существенно меньшими, по сравнению с традиционными подшипниками качения и скольжения, потерями энергии.

В обзоре рассмотрено техническое применение неконтактных опор. Основное внимание уделяется решениям российских авторов, которые не вошли в известные зарубежные научные обзоры и не отражены в монографиях. Описаны долговечные бесшумные магнитные подшипники, способные работать в вакууме, при низких температурах, в агрессивных средах. Они используются в силовых гироскопах для космических аппаратов, валах подводных лодок, насосах для ядерных установок, высокоскоростных шпинделях, балансировочных станках. Приведены результаты разработок уникальных по точности приборов для навигационной техники, прецизионных измерительных приборов. Отражены достижения в области высокоскоростного наземного транспорта с неконтактным подвесом, который может двигаться со скоростями, недоступными для колесных экипажей.

Хотя развитие неконтактных подвесов в значительной степени обусловлено малыми потерями энергии при движении твердого тела в поддерживающем поле, тем не менее, диссипация энергии происходит. Из истории создания не-

контактных подвесов известны примеры, когда магнитное трение приводило к нарушению левитации и разрушению электромагнитного подвеса, нагреванию ротора сверхпроводящего гироскопа и его падению, неприемлемым колебаниям экипажа высокоскоростного транспорта. Поскольку магнитное трение существенно влияет на динамику твердого тела, то исследование такого трения является одной из ключевых проблем построения теории левитации. Расчет сил, возникающих при движении тел в магнитном поле, необходим для оценки точности приборов, обеспечению безаварийной работы машин с неконтактным подвесом.

Магнитное трение, с другой стороны, играет полезную роль в различных демпфирующих системах, гасителях колебаний, электромагнитных тормозах высокоскоростного транспорта. В этом случае возникает задача увеличения демпфирующего эффекта.

Во введении изложены современные модели и методы, используемые при исследовании диссипативных процессов в неконтактных опорах. Отмечены монографии Ю.Г. Мартыненко, В.В.Болотина, Г.Я. Сермонса, Ю.Н.Журавлева, Д.Ю.Скубова и К.Ш.Ходжаева, в которых изучены различные аспекты динамики проводящего твердого тела в электрических и магнитных полях. Плодотворным оказалось применение асимптотических методов в задаче о движении высокоскоростного наземного транспорта, приведенное в книге Б.И. Рабиновича, В.Г. Лебедева, А.И. Мытарева. Рассмотрены работы А.А. Хентова и В.В. Белецкого о влиянии гистерезиса и вихревых токов на движение искусственных спутников в магнитном поле, Г.Г. Денисова и В.Н. Комарова о влиянии неконсервативных моментов на прецессию неконтактного гироскопа, Ю.М. Урмана и Р.В. Линькова по динамике проводящего шара в магнитном поле.

Проблемы теоретического исследования магнитного трения, связанные с расчетом вихревых токов в проводящих телах, требуют решения совместной системы дифференциальных уравнений движения твердого тела и уравнений

электродинамики. Трудности построения такого решения заключаются в том, что движение твердого тела зависит от магнитного поля, которое, в свою очередь, определяется его движением. В большинстве работ задача рассматривалась в упрощенной постановке лишь при некоторых заданных движениях твердого тела.

Следующее упрощение касается геометрических характеристик моделей. Одно из них связано с конфигурацией поля - это исследование динамики проводящего тела в однородном поле, другое - с формой тела (шар или сферическая оболочка в магнитном поле произвольной конфигурации). Задачи динамики тела произвольной формы в неоднородном магнитном поле остаются весьма актуальными.

Проанализированы работы, посвященные изучению влияния вихревых токов на движение высокоскоростного наземного транспорта. Испытания поездов и физических моделей транспорта с электродинамическим подвесом показали, что при определенных скоростях возникают колебания экипажа, неприемлемые для его эксплуатации.

Приведен обзор работ по магнитному трению, вызванному гистерезисны-ми явлениями: Новую волну интереса к таким явлениям вызвали диссипатив-ные процессы в высокотемпературных сверхпроводниках. Сам термин «магнитное трение» стал широко использоваться в связи с исследованием проблем левитации в высокотемпературных сверхпроводящих опорах. Для количественного и качественного описания трения в таких системах потребовались как экспериментальные исследования, так и разработка математических моделей.

На основе анализа литературы, во введении сформулированы цели и основные направления исследований, составляющих содержание диссертации.

Основная часть работы включает пять глав. Первые четыре главы диссертации посвящены исследованию магнитного трения, вызванного вихревыми токами, пятая глава - гистерезисным явлениям. Физика и внешние проявления

трения в том и другом случае существенно отличаются. Так магнитное трение, обусловленное вихревыми токами, зависит от скорости движения и в этом смысле аналогично вязкому механическому трению, вызванное же гистерезис-ными явлениями - слабо зависит от скорости движения и во многом аналогично сухому трению.

Первая глава посвящена анализу магнитного трения в неконтактном магнитном подшипнике с проводящим ротором.

Задача возникла при создании неконтактных опор исполнительных элементов силовых гироскопов (они получили название гиродинов) для управления ориентацией космических аппаратов. Помимо требований, связанных с высокой надежностью, возможностью работать при перегрузках и в невесомости в условиях вакуума, к гиродинам предъявлялись жесткие требования по энергопотреблению. Магнитное трение приводило как к появлению сил, влияющих на функционирование системы управления, так и к потерям энергии. Необходимо было рассчитать силы и оптимизировать конструкцию подшипников с целью обеспечения минимальных потерь энергии. Аналогичные задачи о пондеромо-торном воздействии магнитного поля на вращающееся проводящее тело возникают при анализе работы электрических машин, электромагнитных муфт, электромагнитных демпферов и других устройств, содержащих движущееся проводящее тело в магнитном поле.

В этой главе решена обратная задача динамики: вычислены силы и моменты при заданных движениях абсолютно твердого проводящего тела в постоянном магнитном поле. Изучено вращение цилиндрического тела с постоянной скоростью вокруг неподвижной оси в поле, которое в области, не содержащей источников, задано своим потенциалом. При движении ротора в проводящем материале индуцируются вихревые токи и возникают силы магнитного трения.

Для определения сил требуется знать распределение поля внутри и вне проводника. В диссертации предложена модель подшипника с бесконечным ро-

тором в магнитном поле, которое имеет периодическую структуру вдоль оси вращения. Такое моделирование позволило получить необходимые расчетные формулы на основе аналитического решения уравнений электродинамики и выявить эффекты, связанные с формой поля.

В разделе 1.1. решена электродинамическая задача определения напряженности магнитного поля при стационарном вращении проводящего цилиндрического ротора радиуса Л с постоянной угловой скоростью Ф вокруг оси симметрии цилиндра. Ротор предполагался однородным, проводимость материала и магнитная проницаемость

Введена правая ортогональная система координат OXYZ, связанная с источниками магнитного поля, а в ней цилиндрические координаты р, ф, : с единичными векторами направлена вдоль оси вращения цилиндра.. Исходное магнитное поле источников задано потенциалом и0 , который в области, не содержащей источников, представлен в виде разложения в ряд Фурье

Здесь стл - коэффициенты разложения, которые характеризуют распределение

поля в пространстве и считаются известными, - период изменения поля вдоль оси 02, 1П - модифицированные функции Бесселя 1-го рода п-ого порядка.

Рассмотрены уравнения электродинамики в квазистационарном приближении для магнитного поля внутри и вне вращающегося проводника, а также граничные условия к ним. Построены векторные цилиндрические функции, позволяющие свести решение векторных уравнений электродинамики к решению скалярных и определить напряженность поля.

По известному полю при помощи тензора натяжений Максвелла находятся проекции пондеромоторной силы на оси неподвижной системы координат и тормозящий момент (раздел 1.2). Расчетные формулы представлены в виде рядов, каждый член которых является произведением двух сомножителей. Первый из них представляет амплитудную часть, которая определяется конфигурацией поля и не зависит от скорости вращения. Второй сомножитель зависит от безразмерной угловой скорости - абсолютная магнитная

проницаемость). Отметим, что модуль безразмерной угловой скорости равен магнитному числу Рейнольдса Комплексную функцию, характери-

зующую зависимость от безразмерной скорости, следуя работам Ю.М.Урмана и Р.В.Линькова, назовем частотной функцией. Таким образом, анализ силовых характеристик разбивается на анализ амплитудной и частотной функций.

В разделе 1.3 изучается влияние конфигурации поля и параметров задачи на силовые характеристики опоры.

Для произвольной гармоники поля (1) изучено поведение частотной функции от скорости вращения и характеристик материала ротора. Зависимость тормозящего момента и горизонтальной составляющей силы магнитного трения от безразмерной угловой скорости определяется мнимой частью частотной функции, вертикальной составляющей силы - действительной частью. Выделены три условные зоны зависимости этой функции от магнитного числа Рейнольдса:

1. Малые числа Рейнольдса. Мнимая часть пропорциональна числу Рейнольд-са, действительная - растет пропорционально его квадрату. Приведены приближенные формулы для расчета силовых характеристик подшипника.

2. Область средних значений. Мнимая часть достигает экстремума. Момент торможения и горизонтальная составляющая магнитного трения, влияющая на устойчивость, достигают максимума для данной гармоники. Изучено положение экстремума в зависимости от номеров пространственных гармоник, магнитной проницаемости ротора. Как показали расчеты, с увеличением

номера гармоники величина максимума уменьшается и сдвигается в область более высоких скоростей вращения за исключением нескольких начальных номеров.

3. Область больших чисел Рейнольдса. Мнимая часть стремится к нулю как действительная - к постоянной величине. Потери уменьшаются,

однако мощность потерь возрастает пропорционально поэтому сни-

жение потерь за счет увеличения скорости вращения может оказаться неприемлемым по энергетическим соображениям.

Влияния формы поля на силовые характеристики опоры определяется амплитудной частью расчетных формул. Структура сил и тормозящего момента различна, поэтому за счет выбора формы магнитного поля можно регулировать их соотношение. В формулах для тормозящего момента каждая гармоника потенциала (1) вносит вклад в суммарный момент независимо от других. При этом осесимметричное поле, соответствующее составляющей п = О в выражении (1), на тормозящий момент не влияет. В формулы для расчета сил входит произведение соседних гармоник п и (п + 1) по угловой координате <р .

Отсюда, в частности, следует важный для практики вывод об использование поля, ось симметрии которого совпадает с осью вращения ротора. Дополнительное осесимметричное поле увеличивает подъемную силу без изменения момента сил магнитного трения. Это обстоятельство позволяет уменьшить потери без изменения грузоподъемности опоры. Для этого следует создать дополнительное осесимметричное поле (например, за счет постоянных кольцевых магнитов) и уменьшить амплитуду основного поля.

Как следует из расчетов, форма поля определяет направление сил трения, приводя к качественно различному движению ротора в опоре — к прямой или обратной прецессии.

Приведены расчеты силовых характеристик подшипника для различных конфигураций поля и проанализировано влияние скорости вращения ротора, проводимости и магнитной проницаемости материала на величину сил и тормозящего момента. Разработан алгоритм инженерных расчетов сил и мощности потерь, предусматривающий определение коэффициентов разложения потенциала в выражении (1) по результатам измерения поля на границе невра-

щающегося ротора.

Во второй главе исследуется дестабилизирующее воздействие магнитного трения, вызванного вихревыми токами, на движение ротора в неконтактной опоре. Используются аналитические результаты предыдущей главы.

Устойчивость движения твердого тела в неконтактной опоре - одна из ключевых проблем теории левитации. Хорошо известно демпфирующее действие вихревых токов при движении проводника в магнитном поле. В то же время они могут привести к аварийным режимам работы устройств с неконтактным подвесом быстровращающихся роторов.

В разделе 2.1. исследуется влияние магнитного трения на устойчивость движения ротора. Рассмотрено плоскопараллельное движение ротора в форме цилиндра и шара в осесимметричном магнитном поле. Постановка задачи предполагает решение самосогласованной задачи и включает в себя уравнения движения центра масс твердого тела под действием пондеромоторных сил (они вычисляются в результате решения уравнений электродинамики) и уравнений Максвелла, которые зависят от движения центра масс. Дополнительно предполагается постоянство абсолютной угловой скорости вращения. Система уравнений допускает частное решение, соответствующее перманентному вращению цилиндра с угловой скоростью, направленной по оси симметрии магнитного поля. Исследование устойчивости решения системы дифференциальных уравнений основано на методике, разработанной Н.В.Дерендяевым для изучения динамики тел с полостями, заполненными жидкостью. На основании формул

первой главы вычисляются силы при круговом движении, что дает возможность построить D-разбиение плоскости параметров «жесткость-коэффициент демпфирования» на области с различной степенью неустойчивости.

Без внешних источников диссипации устойчивость нарушается при скоростях, превосходящих круговую частоту колебаний тела в подвесе. Этот результат совпадает с выводом, сделанным ранее В.В. Владимирским и С.М. Калеби-ным в задаче о вращающемся проводящем шаре в поле точечного магнитного заряда (влияние изменения поля на движение центра масс не учитывалось). Для обеспечения вращения с более высокими скоростями нужно ввести дополнительный источник внешнего демпфирования. На основе полученных формул можно вычислить значения параметров системы, необходимые, для обеспечения работоспособности подвеса вращающихся тел.

Одним из источников демпфирования являются так называемые неконтактные демпферы, которые позволяют вращаться ротору на номинальных скоростях без потерь энергии и, в то же время, обеспечивать уменьшение амплитуды колебаний при внешних возмущениях. Предложено устройство с феррожидкостью в полости силового электромагнита. Движение левитирующего тела передается феррожидкости и гасится за счет сил вязкого сопротивления, возникающего при перемещении ферромагнитных частиц относительно жидкой фазы коллоида и при гидродинамическом движении феррожидкости как целого внутри полости со специальными сетками.

В разделе 2.2. изучаются циркуляционные силы, обусловленные вихревыми токами в проводящем материале твердого тела. Рассмотрены закономерно -сти, связанные с влиянием конфигурации поля на направление сил магнитного трения. Проблема заключается не только в вычислении сил, обусловленных вихревыми токами, но даже и в определении направления действия этих сил. В экспериментах Э.Л.Позняка экспериментально получены движения в форме обратной прецессии ротора в поле электрической машины, а в экспериментах В.В.

Владимирского и СМ. Калебина с проводящим шаром в поле электромагнита неконтактного подвеса - в форме прямой прецессии.

В диссертации показано, что в осесимметричном поле при смещении вращающегося тела от оси симметрии возникает циркуляционная сила, которая и является причиной неустойчивости стационарного вращения ротора в подвесе. Она направлена таким образом, что стремится вызвать движение в форме прямой прецессии независимо от того, достигается максимум поля в центре подвеса или на периферии. Это утверждение основано на результатах первой главы для цилиндрического тела и известными решениями для сферического ротора. Дается физическая интерпретация полученных результатов.

Результаты аналитического исследования проверены на специально созданной для этих целей экспериментальной установке с магнитным подвесом (раздел 2.3). Цилиндрический дюралюминиевый ротор массой 1,0 кг, диаметром 0,04 м, длиной 0,27 м вывешивался в поле электромагнита при помощи ферромагнитного шара. Поле неконтактного подшипника с периодической структурой вдоль оси вращения моделировалось специальной осесимметричной магнитной системой.

При включении поля, начиная с определенной скорости вращения, наблюдалось плоскопараллельное движение ротора, центр масс которого двигался по раскручивающейся спирали. В осесимметричном поле направление движения центра масс совпадало с направлением вращения ротора (прямая прецессия), как и предсказывалось теорией. Изменение формы поля позволяло получить обратную прецессию ротора. Итак, в зависимости от пространственной конфигурации были получены качественно различные виды движения твердого тела в магнитном поле.

Проведены эксперименты по измерению циркуляционной силы. Для этого поле магнитной системы подбиралось таким образом, чтобы центр масс ротора вращался по окружности малого радиуса (порядка При круговой пре-

цессии ротора циркуляционная сила уравновешивалась силами вязкого сопротивления демпфера подвеса и воздушной среды, которые можно определить. Расхождения между экспериментальными данными и теоретическими расчетами находились в пределах ошибки измерения.

В переменных полях магнитное трение, обусловленное вихревыми токами, может привести к хаотическим колебаниям твердого тела. В разделе 2.4. для определения области частот, при которых возможны такие колебания, проведено численное моделирование движений проводящей несбалансированной рамки с фиксированной осью вращения (так называемый магнитоэлектрический гаситель колебаний). Построено распределение точек в сечении Пуанкаре на плоскости "угол поворота рамки - угловая скорость". Численные расчеты показали, что возможны хаотические движения тела. При этом область частот изменения поля близка к характерным угловым скоростям, при которых достигается максимум момента торможения при вращении в постоянном поле (область средних значений безразмерной угловой скорости). Показано, что существуют значения частот переменного поля, при которых возникает вращение рамки и она играет роль своеобразного двигателя.

Третья глава посвящена изучению динамики проводящего тела с шестью степенями свободы при малых значениях магнитного числа Рейнольдса. Это соответствует большой, по сравнению с характерными размерами тела, глубине проникновения поля в проводник, или слабому скин-эффекту.

Такое приближение охватывает широкий круг задач: исследование левитации ротора в неконтактных подвесах, анализ влияния магнитного поля на динамику тел в космическом пространстве, изучение работы электродинамических демпферов, электромагнитных катапульт для запуска тел в космос.

Вычисление момента сил требуется для решения задач управления углом нутации при прецессии ротора. Движение в форме регулярной прецессии твердого тела может быть использовано в технических приложениях, поскольку

при наложении двух видов вращения образца (вокруг собственной оси и вокруг оси прецессии) появляются дополнительные переменные периодические силы инерции. Частота изменения переменных составляющих центробежных сил определяется углом нутации. Использование этого эффекта позволило автору совместно с Ю.Г.Мартыненко предложить способ прочностных испытании материалов, который дает возможность отказаться от режима постоянного разгона-остановки ротора с сохранением циклического действия центробежных сил. Прочностные характеристики образца определяются по скорости вращения при его разрушении. Контроль покрытий осуществляется по характеру отслоения от основы под действием центробежных сил и расчету напряжений на границе ротора. Такие устройства позволяют проводить циклические испытания керамических изделий, изучать прочность лакокрасочных покрытий, клеевых соединений при повышенных или пониженных температурах, исследовать адгезионные свойства тонких пленок, нанесенных на ротор.

Для расчета сил и момента сил, возникающих при движении проводника в магнитном поле, требуется решить электродинамическую задачу.

В разделе 3.1. построено решение уравнений Максвелла. Введен неподвижный правый ортогональный трехгранник , связанный с источниками поля, и в нем сферическая система координат Х,в,(р с полярной о с , а также правый ортогональный трехгранник жестко связанный с твердым телом. Потенциал осесимметричного поля в области, не содержащей источников поля, представлен в сферической системе координат в виде разложения в ряд по полиномам Лежандра

00

Л(«»в). (2)

к=1

где Р\ - полиномы Лежандра степени к. Коэффициенты Сд определяются параметрами внешних источников поля и считаются известными. Вектор напряженности магнитного поля

В подвижной системе координат в квазистационарном приближении уравнения для напряженности магнитного поля внутри и вне проводника, граничные условия на поверхности 5 и краевое условие на бесконечности записаны в виде

где - магнитная проницаемость вакуума, - плотность тока, - вектор внешней нормали к поверхности тела

Если магнитное число Рейнольдса - характерный размер

тела, - характерная скорость) удовлетворяет неравенству , то при

производной по времени в уравнениях (3) возникает малый параметр что приводит к сингулярно возмущенной задаче.

Первоначально в разложении потенциала (2) удерживается только одно слагаемое. Решение для суммы гармоник является суммой решений для каждой гармоники в силу линейности задачи.

Разработан алгоритм для расчета плотности тока в первом приближении по малому параметру. Асимптотическое решение ищется в виде регулярной (медленно меняющейся) части ряда и функций типа пограничного слоя по времени, быстро меняющегося в окрестности начальной точки. Из теории решения таких

задач известно, что вне малого начального интервала времени, длина которого оценивается величинои порядка е 1п(1/е) , пограничными функциями - можно пренебречь и рассматривать в решении только регулярную часть ряда.

В нулевом приближении поле совпадает с исходным. В первом приближение по е построено решение для вектора плотности вихревых токов

В следующей части (раздел 3.2) по известному вектору плотности тока вычисляется сила и момент сил.

В осесимметричном поля момент сил определяется формулой

где £ - единичный вектор, направленный по оси симметрии поля, а проекции вектора р в первом приближении по малому параметру на оси подвижной системы координат записываются следующим образом.

суммирование проводится по дважды повторяющимся индексам. Здесь интеграл

определяется формой тела и входящие в это выражения величины находятся из соотношений

М = [р,§]

Рш =2

-ь,

,к-2

а при вычислении интеграла

= {(уч/

требуется решить стационарные задачи Неймана

Д\|, =0,

' '1 ■ 'Ы

дп

где - вектор внешней нормали к поверхности тела - радиус-вектор с началом в точке О, V- объем тела.

Известно, что для описания магнитного трения в однородном поле достаточно тензора второго ранга (задача была решена А.И. Кобриным и Ю.Г. Мар-тыненко). В случае неоднородного поля задача сводится к определению тензоров более высокого ранга, назовем их «тензорами магнитного трения»

Для поля, потенциал которого представлен ¿-гармоникой разложения (2), порядок тензора Компоненты тензоров зависят лишь от формы тела, причем для твердого тела заданной формы достаточно вычислить компоненты тензора лишь один раз и воспользоваться этими значениями для изучения моментного взаимодействия при произвольном движении.

Получены формулы для расчета сил, действующих на тело, несущее токи и помещенное в поле Н , представленное Лт- ой гармоникой разложения (2)

Более подробно рассмотрен случай движения твердого тела в квазиоднородном магнитном поле Н , представленном суммой однородного поля и поля второй гармоники разложения потенциала. Проекции вектора сил магнитного трения на оси подвижной системы координат в первом приближении по

малому параметру равны

Стационарная электродинамическая задача определения компонент аналогична задаче Стокса-Жуковского о движении тела с полостями, заполненными идеальной жидкостью, причем

где 4а,. и Щ. - компоненты тензора "моментов инерции" и "присоединенных

а гармон:

Ду, =0 -

дп

>и задаче

Использование механической терминологии для компонентов а^, Ь^ в

приведенных выше формулах основано на чисто геометрической трактовке указанных коэффициентов, при которой компоненты тензора "инерции" следует разделить на плотность материала тела, а компоненты тензора "присоединенных моментов инерции" - на плотность жидкости. Данная аналогия весьма конструктивна, поскольку имеются многочисленные работы, содержащие значения моментов инерции и присоединенных моментов инерции для тел разнообразной формы. При этом отпадает необходимость проведения новых расчетов во многих задачах электродинамики и электротехники.

Метод вычисления силы и момента сил использован для решения задачи о динамике проводящего шара в квазиоднородном магнитном поле. Задача сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений 12 порядка. Численное решение показало, что магнитное трение приводит к взаимосвязи поступательных и вращательных движений твердого тела в неконтактной опоре.

В технических приложениях весьма часто встречается цилиндрический ротор, но аналитического решения электродинамической задачи для цилиндра конечных размеров в магнитном поле ранее не было построено. Полученные в диссертации приближенные решения позволяют рассчитать плотность тока и исследовать влияние магнитного трения на динамику цилиндрического ротора.

В разделе 3.3. проведен анализ движения проводящего цилиндра в квазиоднородном магнитном поле. Определено распределение токов и построены функции, необходимые для вычисления силы и момента сил.

Исследовано влияние вихревых токов на устойчивость движения тела вокруг закрепленной точки в осесимметричном магнитном поле. Предполагается, что точка закрепления находится в центре масс тела и главные центральные оси всего тела и проводящей части совпадают. Устойчивым является вращение вокруг оси с наибольшим моментом инерции, что доказывается построением функции Ляпунова.

Далее рассмотрено техническое приложение описанного метода. Указан алгоритм расчета тормозящего момента, действующего на электродинамический демпфер подвеса. Такой демпфер представляет собой проводящую цилиндрическую пластину, помещенную в поле катушки с током. Полученные результаты обобщают известные данные для бесконечного цилиндра. Показано, что конечные размеры цилиндра существенно влияют на величину момента.

В четвертой главе изучаются силы магнитного трения, возникающие при движении высокоскоростных поездов с неконтактным подвесом, которые полу-

чили название Маглев (MagLev). Результаты могут использоваться при расчете электродинамических тормозов высокоскоростного наземного транспорта.

Рассмотрены вопросы моделирования динамики транспортных систем, вес которых измеряется десятками тонн, а размеры десятками метров, на не требующих особых затрат лабораторных установках. Для исследования стационарного движения экипажей поездов с электродинамическим подвесом широко используются установки с проводящим барабаном.

В разделе 4.1. выполнен анализ соответствия сил, возникающих в моделях барабанного типа и при движении над плоским полотном. Проведено исследование колебаний магнита над проводящим цилиндром.

Изучается горизонтальное движение магнита, расположенного над вращающимся с постоянной скоростью проводящим цилиндром. Магнит расположен в упругом закреплении, которое моделирует вторичную подвеску поездов Маглев. Поле магнита заменяется полем двух токовых нитей. Такой подход к описанию поля силового магнита широко использовался в работах по расчету электродинамического подвеса и он удобен для сравнения полученных в диссертации решений с известными результатами. Математическое описание включает систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, описывающую динамику магнита, и уравнения электродинамики в частных производных.

Приведено решение задачи в случае, когда источники поля неподвижны над проводящим цилиндром. Использован метод решения, изложенный в первой главе. Доказано, что предельный переход в формулах для расчета подъемной силы приводит к известным результатам для движения над плоским полотном. Другими словами, установки барабанного типа с достаточно большим радиусом цилиндра вполне пригодны для изучения стационарных процессов, в системах электродинамического подвеса.

Важнейшим вопросом для транспортных систем является устойчивость стационарного движения. Исследуется устойчивость в малом горизонтального движения силового магнита под действием постоянной силы тяги. Полагается, что размеры магнита и зазор между магнитом и поверхностью проводника много меньше радиуса цилиндра. Показано, что, начиная с определенной скорости движения магнита относительно проводника, возникает «отрицательное трение», т.е. при увеличении скорости сила магнитного трения уменьшается, способствуя ускорению левитирующего тела. Такое трение возникает при переходе на падающий участок зависимости силы трения от скорости при стационарном движении, но это условие не является достаточным для возникновения неустойчивости. Использование зависимости сил сопротивления от скорости, полученной для стационарного движения, как это принято при исследовании фрикционных колебаний в механике, не всегда пригодно для описания динамических процессов при колебаниях магнита. Физически это объясняется тем, что демпфирующего эффекта вихревых токов при колебаниях источников поля иногда достаточно, чтобы подавить влияние «отрицательного трения». Для исследования динамических процессов в электродинамическом подвесе необходим анализ совместного действия физических факторов, связанных с «отрицательным трением» и демпфированием колебаний силового магнита.

Построено Б-разбиение плоскости параметров системы «жесткость подвеса - коэффициент демпфирования» на области с различной степенью неустойчивости. Для доказательства существования области устойчивости использован метод осреднения. Как следует из анализа решения, кривизна поверхности цилиндра существенно влияет на границу области устойчивости. Это объясняется тем, что при смещении магнита появляется позиционная сила, которая отсутствует при движении над плоским полотном. При изучении динамики поездов на установках с вращающимся барабаном влияние кривизны поверхности необходимо учитывать.

Анализ Б- разбиения показывает, что при высоких скоростях движения существуют режимы, когда тело будет разгоняться за счет энергии двигателя, обеспечивающего постоянную силу тяги. Если имеется упругая вторичная подвеска, то возможны вибрации силового магнита, неприемлемые для эксплуатации поездов. Обеспечить устойчивость движения могут системы активного или пассивного демпфирования.

Из расчетных формул следует, что в высокоскоростном пределе величина «отрицательного трения» стремится к нулю. Таким образом, существует своеобразный «электродинамический барьер» скорости, после прохождения которого требование к демпфированию колебаний силового магнита уменьшаются.

Для экспериментальной проверки динамических эффектов использовалась установка с упруго закрепленным магнитом над алюминиевым барабаном (раздел 4.2). Известные ранее эксперименты на барабанных моделях с жестко закрепленным магнитом не позволяли изучить весьма важное явление - устойчивость стационарного движения транспорта. Круговая частота упругих колебаний магнита подбиралась существенно меньше характерной угловой скорости вращения цилиндра. Начиная с определенной скорости вращения цилиндра, возникали колебания магнита. Они происходили на падающем участке зависимости электродинамических сил от скорости и свидетельствовали о неустойчивости положения равновесия. Экспериментальные данные подтвердили результаты теоретического анализа о влиянии сил магнитного трения на устойчивость движения магнита над проводящим полотном.

В пятой главе исследовано магнитное трение, обусловленное гистерезис-ными явлениями в магнитных материалах и высокотемпературных сверхпроводниках (ВТСП).

В разделе 5.1. описаны эксперименты по изучению гистерезисных явлений при левитации магнита над высокотемпературным сверхпроводником.

Приведены результаты измерения величины подъемной силы, действующей на магнит над ВТСП-пластиной. Известно, что при циклическом изменении зазора подъемная сила описывает петлю гистерезиса, причем при возрастании зазора величина силы меньше, чем при уменьшении. Построены эмпирические зависимости силы от зазора между магнитом и сверхпроводником.

Для теоретической оценки подъемной силы левитации рассмотрен постоянный магнит над бесконечной диамагнитной пластиной конечной толщины. Поле магнита заменяется полем катушек с током. Величина подъемной силы в такой задаче может быть вычислена на основе формул, полученных Ю.М. Урманом и Р.В. Линьковым в задаче о движении катушки с током над проводящей пластиной.

Экспериментальные данные использованы для проверки возможности моделирования высокотемпературных сверхпроводников диамагнетиком с некоторой эффективной магнитной проницаемостью. Для этого решена обратная задача: вычислена магнитная проницаемость, при которой расчетное значение силы совпадало с экспериментальным. Показано, что концепция постоянной магнитной проницаемости вполне применима для оценки величины подъемной силы в высокотемпературном сверхпроводящем подвесе для нижней ветви гисте-резисной кривой.

Гистерезисные явления приводят к существованию множества состояний равновесия магнита над высокотемпературным сверхпроводником. Для стабилизации положения магнита в неконтактном подвесе предложено использовать слабое, по сравнению с характерным полем магнита, переменное поле. Оно позволяет устранить гистерезис подъемной силы и, таким образом, улучшить технические характеристики опоры.

Описана конструкция подвеса постоянного магнита над высокотемпературным сверхпроводником, которая дает возможность существенно повысить грузоподъемность опоры. Для этого использовалась дополнительная высоко-

температурная сверхпроводящая пластина , расположенная над левитирующим магнитом и дополнительное магнитное поле, создаваемое постоянным магнитом. Экспериментально грузоподъемность опоры повышена на порядок.

Далее, в разделе 5.2 приведены результаты измерения силы магнитного трения при движении магнита над диском из высокотемпературного сверхпроводника. Предложена методика эксперимента, получена зависимость сил сопротивления от скорости движения и зазора между магнитом и диском. Показано, что основной вклад в силу сопротивления вносит не зависящая от скорости движения составляющая. Данные для сверхпроводника сравниваются с результатами измерения сил при движении над проводящим диском (модель электродинамического подвеса). Левитационное качество, равное отношению подъемной силы к силе сопротивления, при высоких скоростях для электродинамического подвеса выше, поэтому он может быть более эффективен, чем сверхпроводящий, что обусловлено большими силами магнитного трения в высокотемпературном сверхпроводящем подвесе. Экспериментальные результаты показали, что сила трения прямо пропорциональна левитационной силе. По аналогии с коэффициентом трения скольжения определен коэффициент магнитного трения, равный отношению силы магнитного трения к левитационной силе при равномерном движении постоянного магнита. Коэффициент магнитного трения весьма значителен и соответствует коэффициенту трения скольжения пары "металл-дерево". Однако, большая величина магнитного трения весьма полезна при создании робототехнических систем для бесконтактной транспортировки деталей и в системах демпфирования колебаний тел в неконтактном подвесе.

В разделе 5.3 исследуются диссипативные процессы при вращении высокотемпературного сверхпроводника в магнитном поле. На специально созданной установке измерен тормозящий момент, действующий на шар из ВТСП-керамики в однородном постоянном магнитном поле, и определены удельные потери. Изложена методика эксперимента. Выполнено сравнение с величиной

удельных потерь энергии в различных материалах, которые применяются в современных прецизионных приборах с магнитным подвесом. Потери в ВТСП-керамике оказались существенно выше. Экспериментально показано, что уменьшить тормозящий момент можно воздействием переменного поля.

Раздел 5.4. посвящен гистерезисным явлениям во вращающемся теле. Предложена феноменологическая модель для описания момента трения при вращении ферромагнитных и сверхпроводящих тел в переменном магнитном поле на основе использования интегральных операторов. Показано, что при использовании экспоненциального ядра потери при медленных, по сравнению с частотой переменного поля, скоростях вращения растут пропорционально угловой скорости вращения, при увеличении угловой скорости - стремятся к постоянной величине, как и было установлено в экспериментах Денисова Г.Г., По-здеева О.Д. и Химина ЮА Сравнение с имеющимися в литературе экспериментальными данными подтверждает возможность применения интегральных операторов в задачах динамики твердого тела в магнитном поле.

Основные результаты работы сформулированы в заключении и состоят в следующем:

1. Исследовано влияние конфигурации магнитного поля на величину и направление сил в магнитном подшипнике с проводящим ротором.

2. Разработан метод вычисления токов, сил и моментов сил при движении проводника в неоднородном магнитном поле при малых значениях магнитного числа Рейнольдса. Показано, что силовое воздействие магнитного поля описывается тензорами магнитного трения, которые зависят от формы тела, а ранг определяется конфигурацией поля. Рассмотрено движение проводящего цилиндра в квазиоднородном поле.

Проведен анализ магнитного трения в магнитном подшипнике с проводящим ротором. Получены расчетные формулы для пондеромоторных сил, тормозящего момента и мощности потерь.

Изучено влияние магнитного трения на устойчивость движения центра масс абсолютно твердого тела в осесимметричном поле магнитной опоры. Указаны параметры системы магнитного подвеса с проводящим ротором, при которых движение устойчиво.

Показана возможность моделирования движения высокоскоростного транспорта Маглев на установках с вращающимся барабаном. Исследована устойчивость положения равновесия магнита над проводящим барабаном.

Предложена феноменологическая модель описания вращательного гистерезиса с использованием интегральных операторов.

3. Обнаружены новые динамические эффекты в неконтактных опорах:

- осесимметричное поле увеличивает подъемную силу в магнитном подшипнике без изменения величины тормозящего момента;

- циркуляционная сила в осесимметричном подвесе вызывают прямую прецессию проводящего ротора;

- магнитное трение приводит к взаимосвязи поступательных и вращательных движений твердого тела;

- при движении поездов Маглев возникает "отрицательное трение", которое может вызвать колебания силового магнита;

- воздействие переменного поля на магнит высокотемпературного сверхпроводящего подвеса стабилизирует его положение.

4. Разработаны способы улучшения функциональных свойств неконтактных

опор за счет использования:

- прецессионных движений твердого тела в ультрацентрифуге с неконтактным подвесом для прочностных испытаний материалов и адгезионных свойств покрытий;

- феррожидкости для демпфирования колебаний тела в магнитном подвесе;

- дополнительных магнитных полей в высокотемпературных сверхпроводящих подвесах.

5 Проведено экспериментальное изучение магнитного трения:

- на специально созданной установке подтверждены расчетные формулы и зависимость характера возникающих движений проводящего ротора от формы магнитного поля в магнитном подшипнике;

- на установках с вращающимся барабаном, моделирующим движение поездов Маглев, изучена динамика силового магнита;

- проверена возможность применения концепции эффективной магнитной проницаемости для расчета подъемной силы в высокотемпературном сверхпроводящем подвесе;

измерены силы магнитного трения при движении магнита над высокотемпературным сверхпроводником и определена их зависимость от параметров системы;

- исследованы диссипативные процессы при вращении высокотемпературных сверхпроводников в магнитном поле.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ диссертации опубликованы в работах

1. Кувыкин, В. И Расчет тормозящего момента в магнитном подшипнике с про-

водящим ротором / В. И. Кувыкин // Известия высших учебных заведений.

Электромеханика. 1984. № 8. С. 82- 86.

2. Кувыкин, В. И. Устойчивость стационарного вращения проводящего шара в

осесимметричном магнитном поле / В. И. Кувыкин, В. А. Сеняткин // ЖТФ.

1984. Т.54, № 12. С.2404 - 2407.

3. Кувыкин, В. И. Пондеромоторное воздействие магнитного поля на проводя-

щий цилиндрический ротор / В. И. Кувыкин // Материалы 4 научн. конф :

сб. научн. тр. / ГГУ. Горький, 1986. С.99-109. Деп. в ВИНИТИ № 4227-В86.

4. Кувыкин, В. И. Влияние вихревых токов на силовые характеристики магнит-

ных подшипников с периодической структурой поля / В. И. Кувыкин // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. 1986. № 9. С. 11-18.

5. А с. 1322751 СССР, МКИ4 F16 F6/00. Магнитный подвес / В И. Кувыкин 1987.

6. Кувыкин, В. И. Определение силы сопротивления при движении магнита над ВТСП-керамикой / В. И. Кувыкин, Н. Ю. Орлов // Труды МЭИ. Вып. 655. 1991.С.78-81.

7. Кувыкин, В. И. О циркуляционной силе в магнитной опоре / В. И. Кувыкин,

Р. В. Линьков // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1992. № 2. С. 37-43.

8. Кувыкин, В. И. Об устойчивости горизонтального движения магнита в системе электродинамического подвешивания / В. И. Кувыкин, Г. В. Орехов // Динамика скоростного транспорта на электромагнитном подвесе: сб. научн. тр. / НПО Гидротрубопровод. М., 1992. С. 64-74.

9. Кувыкин, В. И. Колебания магнита над движущимся проводником / В. И. Ку-

выкин // Волновые задачи механики: сб. научн. тр. / РАН. Нижний Новгород, 1992. С. 105 - 112.

10. А.с. 1751458 СССР, МКИ4 F 16 В 5/02. Способ стабилизации магнитной опоры на основе сверхпроводников/ В.И. Кувыкин, Ю.В. Богданов, Н.Ю.Орлов.

11. Кувыкин, В. И. Момент торможения шара из ВТСП-керамики в магнитном

поле / В. И. Кувыкин, О. Д. Поздеев // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 1994. № 2. С.34-38.

12. Martynenko, Yu. G. Advance of magnetic lévitation systems in Russia / Yu. G. Marrynenko, V. I. Kuvykin // Journal of International Technology Transfer. 1993. N 1. P. 3-7.

13. Кувыкин, В. И. Оценка тормозящего момента, действующего на электродинамический демпфер неконтактного подвеса / В. И. Кувыкин, Ю. Г. Мар-тыненко // Электричество. 1994. №11. С.30-33.

14. Кувыкин, В И. Определение подъемной силы и жесткости при левитации

магнита над высокотемпературным сверхпроводником / В. И. Кувыкин, Ю. В. Богданов // Волновые задачи механики: сб. научн. тр. / РАН. Нижний Новгород, 1994. С.244-253.

15. Кувыкин, В. И. Применение вибрации магнита при создании неконтактного

подвеса на основе высокотемпературных сверхпроводников / В .И. Кувыкин // Волновые задачи механики: сб. научн. тр. / РАН. Нижний Новгород, 1994. С.234-243.

16. Заявка № 93043159 Рос. Федерация, МПК5 G 01 N 3/08, G 01 N 3/32. Способ

прочностных испытаний материалов / В. И. Кувыкин, Ю .Г. Мартыненко.

17. Кувыкин, В. И. Вращение твердого тела в переменном магнитном поле / В.

И. Кувыкин, В. В. Кажаев // Прикладная механика и технологии машиностроения. Н.Новгород, 1997. Ч.З.С.27 - 33.

18. Кувыкин, В. И. Влияние вихревых токов в проводящем пути на движение высокоскоростного транспорта / В .И. Кувыкин // JY)KEJI Proceedings. Jy-гослави|а, 1997. С.308-311.

19. Кувыкин, В. И. Магнитное трение в неконтактных опорах. / В. И. Кувыкин

Нижний Новгород: Изд-во общества "Интелсервис", 1997. 112 с.

20. Кувыкин, В. И. Магнитное трение, обусловленное гистерезисными явления-

ми в материале твердого тела при движении в магнитном поле / В. И. Ку-выкин // Прикладная механика и технологии машиностроения. Нижний Новгород, 1997. 4.1. С. 3- 14.

21. Кувыкин, В. И. Проводящий цилиндр в осесимметричном магнитном поле /

В. И. Кувыкин // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1998. №2.С123-129.

22. Кувыкин, В. И. Движение проводящего твердого тела в осесимметричном

магнитном поле / В. И. Кувыкин, Ю. Г. Мартыненко // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 2. С.36 - 37.

Подписано и нема il, 25.06.2004 I. Форм. бум.60X84. UyMaia писчая, i 1еча1ьофссч мая. Усл.кеч.2,0л. Заказ № НО . Тираж 100 экз.

JlaCiopaiopiui множ. icmiiikii МИГУ, i. II I limmpiut, up. Гшарипа 23.

04-1 Ш*

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. МАГНИТНОЕ ТРЕНИЕ В НЕКОНТАКТНОМ ПОДШИПНИКЕ С ПРОВОДЯЩИМ РОТОРОМ.

1.1. Определение магнитного поля внутри и вне проводника

1.2. Расчет пондеромоторных сил и тормозящего момента

1.3. Влияние конфигурации поля и параметров задачи на силовые характеристики опоры.!.!.

ГЛАВА И. ДЕСТАБИЛИЗИРУЮЩЕЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ТРЕНИЯ, ВЫЗВАННОГО ВИХРЕВЫМИ ТОКАМИ, НА ДВИЖЕНИЕ ЛЕВИТИРУЮЩЕГО РОТОРА.

2.1. Влияние магнитного трения на устойчивость движения ротора.

2.2. Циркуляционные силы, обусловленные вихревыми токами в проводящем материале твердого тела

2.3. Экспериментальное исследование движения ротора в магнитном поле.

2.4. Вращение проводящей рамки в переменном магнитном поле.

ГЛАВА III. ДИНАМИКА ПРОВОДЯЩЕГО ТЕЛА В НЕОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ ПРИ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЯХ

МАГНИТНОГО ЧИСЛА РЕЙНОЛЬДСА.

3.1. Построение решения электродинамической задачи

3.2. Расчет силы и момента сил .■

3.3. Проводящий цилиндр в магнитном поле

ГЛАВА IV. СИЛЫ МАГНИТНОГО ТРЕНИЯ ПРИ ДВИЖЕНИИ

ВЫСОКОСКОРОСТНОГО НАЗЕМНОГО ТРАНСПОРТА.

4.1. Моделирование движения поездов с неконтактным подвесом на установках с проводящим барабаном.

4.2. Экспериментальное исследование динамики магнита над вращающимся барабаном.

ГЛАВА V ИССЛЕДОВАНИЕ МАГНИТНОГО ТРЕНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННОГО ГИСТЕРЕЗИСНЫМИ ЯВЛЕНИЯМИ В

ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СВЕРХПРОВОДНИКАХ И

ФЕРРОМАГНИТНЫХ МАТЕРИАЛАХ.

5.1. Гистерезисные явления при левитации магнита над сверхпроводящей пластиной.

5.2. Определение силы сопротивления при движении магнита над высокотемпературной сверхпроводящей керамикой.

5.3. Тормозящий момент при стационарном вращении высокотемпературного сверхпроводника в магнитном поле

5.4; Магнитное трение, обусловленное гистерезисными явлениями во вращающемся теле.

Одно из интенсивно развивающихся направлений современной техники связано с созданием и совершенствованием неконтактных подвесов, область применения которых непрерывно расширяется. Актуальность работы обусловлена развитием теории и технологии неконтактного подвешивания твердых тел в электрических и магнитных полях Дальнейшее развитие таких технологий невозможно без исследования влияния магнитного трения на динамику левитирующего тела. Под магнитным трением в работе понимаются процессы диссипации энергии при относительном движении твердого тела и источников магнитного поля в неконтактном подвесе. Магнитное трение вызывается вихревыми токами в проводящем материале твердого тела, гистерезисными явлениями в ферромагнитных материалах и сверхпроводниках.

Терминология. Преодоление силы притяжения Земли издавна является мечтой человечества. Свободное движение твердого тела без механического контакта с окружающими телами получило название левитации [153, 222, 236]. Техническая реализация этой идеи связана с разработкой неконтактных подвесов. Название "неконтактный подвес" будем использовать для обозначения устройств, где механическое взаимодействие между опорой и ротором заменяется силовым действием электрического или магнитного поля, которое обеспечивает левитацию подвижного тела. Известно, что согласно теореме Ирншоу и обобщению Браунбека в статической системе в вакууме можно осуществить устойчивый подвес лишь диамагнитных и сверхпроводящих тел. В работе рассматриваются магнитный, электродинамический, электростатический и сверхпроводящий подвесы.

В магнитном подвесе для обеспечения устойчивости положения равновесия тела в силовом поле используется система автоматического управления током электромагнитов (так называемый активный магнитный подвес). Другой путь - это подвес в переменном поле, устойчивость достигается специальной настройкой резонансных контуров, частоты которых изменяются при смещении тела из положения равновесия (магниторезонансный подвес) [172].

Электродинамический подвес основан на взаимодействии поля индуцированных токов в проводящем материале с исходным полем источника. В электростатических опорах твердое тело находится в регулируемом электрическом поле. В сверхпроводящих левитация обусловлена эффектом Мейс-снера (тела в сверхпроводящем состоянии, помещенные во внешнее магнитное поле, становятся диамагнитными).

Неконтактные опоры без механического взаимодействия между движущимися телами позволяют исключить механическое трение и приблизиться к «идеальной опоре» с существенно меньшими, по сравнению с подшипниками качения и скольжения, потерями энергии. Тем не менее, в неконтактных подвесах присутствует магнитное трение, которое оказывает существенное влияние на динамику твердого тела в магнитном поле.

Термин «магнитное трение» начал широко использоваться в конце 80-х годов XX века. Он возник по аналогии с принятой в технике терминологией. Дело в том, что одна из классификаций подшипников основана на характеристиках трения, а именно: подшипники качения - трение качения, скольжения - трение скольжения. Для обозначения диссипативных процессов в магнитных подшипниках и неконтактных опорах, стал применяться термин «магнитное трение» [219].

Область применения неконтактных опор. Кратко остановимся на использовании неконтактных подвесов в современной технике. По этому вопросу имеется весьма обширный обзор [236], но в нем оказались практически не затронутыми российские работы по этой проблеме. Различные области применения подвесов отражены в монографиях [58, 190, 147]. Остановимся на некоторых работах, выполненных за последние несколько десятилетий, в основном, российскими исследователями, которые не вошли в перечисленные обзоры.

Технология левитации во многом стала реальностью благодаря разработке чувствительных датчиков систем инерциальной навигации. Низкий уровень возмущающих моментов, действующих на чувствительный элемент, открывает широкие возможности для неконтактного подвешивания при создании прецизионных приборов различных типов: гироскопов, гирокомпасов, градиентометров [174].

Неконтактный гироскоп имеет ряд преимуществ по сравнению с другими датчиками инерциальных навигационных систем: высокая точность, безотказная длительная работа на выбеге ротора, малое энергопотребление, небольшие габариты и масса. Такой гироскоп мало подвержен износу, вследствие чего надежность прибора в основном определяется надежностью и сроком службы электронных элементов.

Наиболее низкий уровень возмущающих моментов получен в электростатическом гироскопе (ЭСГ), в котором ротор вывешивается в электрическом поле, а магнитное поле служит для управления движением левитирующего тела. Опыт эксплуатации на морских объектах электростатических гироскопов, созданных в ЦНИИ "Электроприбор", подтвердил высокую точность и достаточную надежность корабельных инерциальных навигационных систем на ЭСГ [215].

В апреле 2004 года был выведен на орбиту спутник "Gravity Probe В" (Гравитационный Зонд-Б), специально сконструированный для экспериментальной проверки общей теории относительности. Этому аппарату предстоит проверить правильность двух положений теории относительности Альберта Эйнштейна (об искривлении пространства-времени в окрестности массивных тел (в данном случае Земли) и о влиянии на этот процесс вращения Земли вокруг собственной оси). Для этого на зонде Gravity Probe В установлено четыре самых точных на сегодняшний день гироскопа с электростатическим подвесом ротора. Аппарату предстоит провести очень тонкие измерения. Об этом говорит порядок измеряемых величин: если теория Эйнштейна верна, то за год оси гироскопов отклонятся от первоначального положения на 6600 угловых миллисекунд (эффект вращения Земли будет еще меньше - 41 угловая миллисекунда) [229 ].

Гирокомпасы с электромагнитным подвесом чувствительного элемента среднего класса точности выпускаются в течение длительного времени и являются наилучшими для данного класса. Точность определения азимута таких приборов составляет 30 угловых секунд за время измерения 9 минут и 2 угловые минуты на периоде измерения 4 минуты [225]. Создаются гирокомпасы с магнитным подвесом, которые определяют плоскость меридиана с точностью до 3 угловых секунд.

Коррекция инерциальных навигационных систем, основанная на эпизодическом сравнении измеряемого гравитационного поля с имеющейся картой, позволяет повысить их точность. Разработаны градиентометры с магнитным подвесом, которые регистрируют неоднородности гравитационного поля Земли [36, 224]. Такие высокочувствительные приборы, кроме того, могут быть успешно использованы для геофизических исследований.

Развитие магнитных опор в значительной степени-стимулируется достижениями космической техники, где оборудование должно удовлетворять жестким требованиям. Магнитный подвес использован в маховиках и силовых гироскопах, предназначенных для управления ориентацией и для стабилизации углового положения космических аппаратов [173,214].

В высоковакуумных турбомолекулярных насосах, создающих вакуум

10 Па, где недопустимо попадание загрязняющих смазочных масел в рабочую зону, для получения вакуума особой чистоты кроме магнитного подвеса предусмотрена возможность прогрева корпуса работающего насоса до 300

400° С [19].

Малое трение в неконтактном подвесе позволяет раскручивать ротор до скоростей, ограниченных только прочностью материала. В магнитных опорах ультрацентрифуг и устройств для прочностных испытаний возникают центробежные ускорения, превосходящие в несколько десятков миллионов раз ускорение свободного падения [160, 238]. Имеется возможность определить не только прочность материалов на разрыв, но и адгезионные свойства покрытий [220].

Отсутствие механического контакта и связанного с ним трения в движущихся частях позволяет создавать подшипники с уникальными свойствами. Магнитные подшипники шпинделей инструментальных станков с частотой вращения 120 000 об/мин, статическая жесткость которых сравнима с шарикоподшипниками и которые обеспечивают стабилизацию оси вращения ротора с точностью до 0,5 мкм, помогают устранить износ и увеличить скорость обработки деталей [58, 59].

Осуществляется производство магнитных подшипников для мощных турбонасосов для горючих и агрессивных газов и жидкостей, турбокомпрессоров для циркуляции теплоносителя в атомных реакторах электрических станций. Подшипники этих машин дают возможность работы как в средах высокой чистоты так и в агрессивных средах, при высоких температурах и ресурсе в десятки тысяч часов [20, 69, 209].

Магнитные подвесы нашли применение в приборах для определения осей анизотропии в сферических ферромагнитных образцах, измерения эффективной константы анизизотропии и моментов вращательного гистерезиса [45]. Отсутствие сухого трения делает эти приборы более чувствительными, чем их прототипы с механическими подвесами.

Магнитная левитация является одним из способов осуществления бесконтактного движения высокоскоростного наземного транспорта, который обеспечивает комфорт, безопасность и соответствует современным экологическим требованиям. В 70 - 80 годы проделана огромная научно-исследовательская работа, рассмотрено большое число проектов высокоскоростного пассажирского транспорта на магнитной подвеске с линейным тяговым электроприводом [24, 25, 41, 51, 188, 198]. Разработаны оба вида транспортных подвесов - электродинамический и управляемый электромагнитный. Для электродинамического подвешивания экипажей созданы сверхпроводящие магниты и построен опытный образец экипажа на Украине отделением физико-технических проблем транспорта на сверхпроводящих магнитах "ТРАНСМАГ" [25]. На опытном полигоне в Подмосковье инженерно-научным центром по транспорту на электромагнитном подвесе ТЭМП были проведены ходовые испытания экспериментального вагона с управляемым подвесом массой 16 т. Специальная система подвески (электромагнитная лыжа) обладает адаптивностью к неровностям пути, чтобы не предъявлять особых требований к точности выполнения путевой структуры [11, 51]. Разработан проект скоростной дороги для связи центра г.Москвы с международным аэропортом Шереметьево.

Группа исследователей под руководством В.В.Козореза предложила использовать для транспорта "эффект магнитной потенциальной ямы" для сверхпроводящих систем [74, 158] . Сверхпроводящие магниты, учитывая последние достижения в области сверхпроводимости, могут найти применение в проекте корпорации "Gruinmin" (США) [255]. Поезда с электромагнитным подвесом и сверхпроводящими магнитами наиболее интенсивно развиваются в Японии. Поезд MLX01, состоящий из 3 вагонов достиг в декабре 2003 г.рекордной скорости - 581 км/час [250].

Индукционный подвес, так же как и электродинамический, основан на взаимодействии вихревых токов с изменяющимся во времени магнитным полем. В электродинамическом подвесе вихревые токи создаются в проводящем материале за счет движения источников, в индукционном - источники неподвижны, поле периодически меняется во времени. Такие системы широко используются при бестигельной плавке металлов [204] и для разработки систем для запуска тел в космос [218, 230, 231, 262].

Неконтактный подвес тел без затрат энергии значительно расширяет возможности и делает весьма перспективным применения диамагнитного подвеса. Теоретическая и экспериментальная возможность левитации диа-магнетиков в постоянном магнитном поле была показана Браунбеком. Примером реализации диамагнитного подвеса может служить система для прецизионного измерителя моментов сил с точностью 10"15 Н-м [26] и электрометр для поиска свободных кварков [27].

В работе [254] описан наклономер с диамагнитной массой, который регистрировал приливные колебания, сейсмические волны и микросейсмы. Необходимое демпфирование обеспечивалось вихревыми токами, индуцируемых в подвешенной массе при ее движении в магнитном поле подвеса.

Поскольку диамагнитные свойства таких материалов, как висмут и графит, которые обычно использовались для подвешивания, слабы, то до недавнего времени удавалось вывесить лишь небольшие массы порядка нескольких десятков миллиграммов. Появление новых материалов для постоянных магнитов и веществ с лучшими магнитными свойствами меняет ситуацию. Поиски теплозащитных покрытий космических кораблей привели к разработке промышленного метода получения пиролитического графита, магнитная восприимчивость которого в несколько раз больше, чем у обычного поликристаплического графита.

При помощи самарий-кобальтовых магнитов и пиролитического графита в Пермском университете в 1978 году удалось довести удерживаемый вес до 26,7 г [179]. Это на несколько порядков больше, чем было ранее. Наряду с высокой эффективностью, следует отметить простоту конструкции такого подвеса, когда вывешиваемый магнит располагается между диамагнитными пластинами и его вес компенсируется дополнительным неподвижным постоянным магнитом. Расчет силовых характеристик такого подвеса, анализ условий устойчивости и оценка максимальной массы, которую можно вывесить, проведены в работе [132].

Разработка диамагнитного подвеса потребовала оценки "динамических потерь" (в терминологии Уолдрона [259]), наиболее существенными из которых явились потери за счет вихревых токи в диамагнитном элементе.

Большой интерес вызывают неконтактные подвесы на основе высокотемпературных сверхпроводников и их приложение [158, 164, 216, 260].

Это далеко не полный перечень использования неконтактных подвесов, дополнительную информацию можно найти в цитируемой литературе.

Вычисление сил и моментов магнитного трения, обусловленных вихревыми токами. Широкое применение неконтактных подвесов и их дальнейшее совершенствование требует исследования динамики проводящего тела в магнитном поле. Для этого потребовалась разработка теории магнитного трения, лежащей на стыке двух классических дисциплин - теоретической механики и электродинамики.

При движении проводящего тела в магнитном поле подвеса возникают потери, обусловленные вихревыми токами. Необходимость исследования влияния вихревых токов на динамику вывешенного тела возникла при практическом использовании магнитных подвесов различных типов.

Оценка пондеромоторных сил и моментов явилась одним из главных звеньев проектирования активных магнитных подвесов ферромагнитных тел [226]. Вихревые токи ограничивали точность приборов и максимально допустимую скорость вращения ротора.

В электродинамических подвесах высокоскоростного наземного транспорта и при подвесе проводящих тел в переменном магнитном поле при плавке металлов задача расчета вихревых токов и пондеромоторой силы является одной из основных. Вихревые токи в таких системах используются для создания подъемной силы. В транспортных системах с активным магнитным подвесом силы магнитного трения, наряду с силами сопротивления воздуха, вызывают значительные потери энергии при движении. Отметим, что иногда для сил сопротивления при движении высокоскоростного транспорта используется термин "магнитное сопротивление" [11, 249], который нельзя признать удачным, поскольку он используется в магнитостатике при расчете магнитных цепей.

Определению вихревых токов в проводящем теле и вычислению сил при его движении в магнитном поле посвящено огромное число работ. Особенностью математического анализа проблем, связанных с решением задач о расчете сил магнитного трения в неконтактных подвесах, является зависимость индуцированного магнитного поля от движения твердого тела. В свою очередь, характер движения определяется магнитным полем. Решение такой самосогласованной задачи наталкивается на серьезные математические трудности исследования совместной системы уравнений динамики' твердого тела и уравнений электродинамики.

Обзор по вычислению сил и моментов сил, вызванных вихревыми токами, содержится в работах [82, 147, 187]. Следует обратить внимание на тот факт, что в большинстве статей, как правило, полагается постоянство скорости движения вывешенного тела. Часто такое предположение является недостаточным при решении динамических задач, на что и указано в монографии Ю.Г.Мартыненко [147].

Задача исследования произвольного движения левитирующего твердого тела весьма сложна для аналитического'и численного решения. С точки зрения приложений, основной интерес представляют интегральные характеристики сил и моментов и их влияние на динамику тела. Изучение поведения твердого тела в электромагнитном поле и разработка методов для решения соответствующих уравнений проводилось в работах [18, 71-75, 80, 144 -152, 169, 170, 185, 187, 189, 205, 221, 231, 241]. Отметим, что за последние десятилетия наблюдается значительный прогресс в области применения асимптотических методов механики к решению задач, связанных с теорией левитации.

Один из подходов к решению задач расчета пондеромоторного воздействия магнитного поля на проводящее тело связан с решением уравнений Лагранжа-Максвелла [144, 167, 190, 191].

В ряде частных случаев для движущегося проводящего тела в магнитном поле удалось решить уравнения Максвелла в квазистационарном приближении. Для проводящего шара наиболее полно анализ движения в магнитном поле приведен в серии работ Ю.М. Урмана и Р.В. Линькова [136139]. Магнитное поле задавалось скалярным потенциалом в виде разложения по сферическим гармоникам, электродинамическая задача решалась методом разделения переменных. Важным методологическим приемом для анализа движения шара явилось использование «частотозависимой» функции, позволяющей выявить качественно различные режимы движения в зависимости от магнитного числа Рейнольдса.

Задача о движении твердого тела произвольной формы в магнитном поле для малой глубины проникновения поля в проводник (большие значения магнитного числа Рейнольдса) методом пограничного слоя сводится к исследованию интегродифференциального уравнения. В работах Ю. Г. Марты ненко и А.И. Кобрина [ 71, 73, 147 ] показано, что система уравнений разбивается на две независимые части: электродинамическую и механическую, которая не включает уравнений с частными производными. Такое разбиение позволяет существенно упростить решение. Аналогичный асимптотический подход применялся Б.И.Рабиновичем, В.Г.Лебедевым, А.И.Мытаревым для анализа и синтеза систем автоматического регулирования с учетом вихревых токов в проводящей путевой структуре и магнито-проводе силового магнита при подвешивании экипажей высокоскоростного наземного транспорта [181].

Другой предельный случай возникает для большой глубины проникновения поля в проводник (малые значения магнитного числа Рейнольдса). При помощи метода сингулярных возмущений исходная нестационарная задача сводится к серии стационарных краевых задач, зависящих лишь от формы тела [55, 72, 147]. Удается установить аналогию с хорошо изученной гидродинамической задачей о движении твердого тела с полостями, содержащими жидкость, и воспользоваться уже имеющимися решениями для анализа движения проводящего тела в магнитном поле.

Многие аспекты левитации тела в подвесе при малых значениях магнитного числа Рейнольдса изучены в связи с исследованием движения искусственных спутников и с разработкой систем ориентации космических аппаратов (за счет взаимодействия магнитного поля Земли с собственным магнитным полем спутника) [42, 145].

Асимптотические методы механики оказались плодотворными для бы-стровращающегося тела, когда можно указать составляющие, резко отличающиеся по своим временным масштабам. Эффективное разделение быстрых и медленных движений и позволяет в этом случае провести анализ движения проводящего ротора в неконтактном подвесе [146].

Основной особенностью движения твердого тела в неконтактном подвесе является значительное усложнение структуры моментов, действующих" на твердое тело, по сравнению с классической задачей о движении твердого тела около неподвижной точки. Полезной для понимания физической сущности процессов при движении быстровращающегося тела с неподвижной точкой оказалось представление моментов в виде суммы двух слагаемых, одно из которых Г.Г. Денисовым и В.Н. Комаровым названо консервативным, а другое - неконсервативным моментом [44]. В монографии Ю.Г. Мар-тыненко [147] показано, что момент сил, приложенных к твердому телу, ортогональный вектору кинетического момента всегда допускает такое разложение. Этот подход использован для построения общей теории моментного воздействия на левитирующее тело [147, 201].

Подводя итоги можно сказать, что для улучшения работы устройств с магнитными подвесами весьма важным становится включение в математическую модель, описывающую левитацию твердого тела, все большего числа факторов, позволяющих выявить ряд новых динамических эффектов. Оценка точности, обработка информации и, в конечном счете, создание конкурентоспособных приборов и устройств невозможны без учета влияния как конфигурации поля, так и формы тела на величину сил, обусловленных вихревыми токами. К настоящему моменту хорошо изучены проблемы, связанные с предположением о конфигурации поля - это движение твердого проводящего тела в однородном магнитном поле. При таком подходе главный вектор сил магнитного трения равен нулю и исследование динамики лишь частично отражает реальную ситуацию. Другое упрощение связано с формой тела - изучено движение проводящего шара и сферической оболочки в произвольном магнитном поле. Вопросы, связанные с движением тела, форма которого отличается от шара, в произвольном магнитном поле потребовали дальнейших исследований.

Устойчивость движения. Ключевой проблемой создания неконтактных подвесов является обеспечение устойчивости движения вывешенного тела. Как показывает история развития магнитных подвесов, созданные устройства зачастую оказывались неработоспособными. Одной из причин явились вихревые токи в материале вращающегося тела. Необходимость изучения влияния магнитного трения на устойчивость вращающегося ферромагнитного тела возникла при создании управляемого магнитного подвеса. Впервые анализ проблемы проведен Владимирским В.В. и Калебиным С.М. при испытании прерывателя потока нейтронов, который представлял собой вращающийся шар с отверстиями, вывешенный в магнитном поле. Начиная с определенной скорости вращения, возникало движение центра масс тела и осуществить неконтактное подвешивание было невозможно [33]. Теоретический анализ задачи движения проводящего шара в поле точечного магнитного заряда показал, что причиной неустойчивости являются силы, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси симметрии поля и направленные перпендикулярно вектору смещения центра масс шара относительно оси подвеса.

Аналогичные явления, связанные с неустойчивостью движения проводящего ротора наблюдались в электрических машинах. Для объяснения неустойчивости вращения роторов электрических машин в постоянном магнитном поле В.В.Болотин использовал концепцию внутреннего "вращающегося" трения [22]. Было показано, что в уравнениях возмущенного движения появляются циркуляционные (псевдогироскопические) силы.

Проблема устойчивости прямолинейного движения возникает при создании высокоскоростного транспорта с электродинамическим подвесом. Одно из преимуществ такого подвеса заключается в том, что, начиная с определенной скорости, за счет взаимодействия поля вихревых токов в проводящем полотне с полем магнита в вагоне, возможна левитация без применения специальных систем регулирования. Хотя авторы идеи использования электродинамического подвеса для транспортных систем считают одним из преимуществ его стабильность, вихревые токи, как показали натурные испытания, могут служить источником вертикальных колебаний экипажа высокоскоростного транспорта [235, 81].

Данные испытаний для поезда MLU-500 показали наличие вертикальных и поперечных колебаний экипажа, которые при скорости 300 км/ч составили ± 10 мм и ±20 мм (зазор 270 мм). Амплитуда колебаний уменьшалась с увеличением скорости движения. Угловые движения экипажа были незначительными [246, 249].

При испытании модели (1/25 натуральной величины) возникла серьезная проблема, связанная с возникновением вертикальных колебаний с частотой около 1 Гц [240]. Для обеспечения нормального режима эксплуатации потребовалось активное демпфирование.

Возбуждение хаотических колебаний при моделировании электродинамического подвеса рассмотрено в работе [163].

Вихревые токи в значительной степени определяют динамику ротора неконтактного подвеса и движение спутников в магнитном поле Земли и других планет. Значительное число работ, обзор которых можно найти в монографии [147], посвящено проблеме устойчивости движения проводящего твердого тела с закрепленной точкой в магнитном поле. Исследование динамики проводящего тела в магнитном поле при плоскопараллельных движениях проведено в работе [133].

Магнитное трение, вызванное гистерезисными явлениями при левитации в магнитном поле. Для уменьшения потерь на вихревые токи в современных приборах с неконтактным подвесом (например, в гироскопах [172]) применяются ферромагнитные материалы, обладающие большим удельным сопротивлением, либо шихтованные материалы для валов магнитных подшипников и для путевой структуры высокоскоростного наземного транспорта с магнитным подвесом. В таких материалах гистерезисные потери могут существенно превосходить потери на вихревые токи. Определение их величины и учет влияния на динамику объекта становится необходимым звеном инженерных расчетов.

В связи с открытием высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) [164], появляется возможность их практического использования для создания неконтактного подвеса. Большой интерес к этому классу сверхпроводников вполне оправдан, поскольку простота изготовления, повышенные значения критических температур, полей и токов делают их весьма перспективными.

Дальнейшие работы по увеличению точности приборов и совершенствование устройств с неконтактным подвесом требуют учета гистерезисных явлений. Кратко остановимся на результатах исследования гистерезисных процессов при вращении ротора в поле магнитного подвеса.

Число факторов, определяющих гистерезисные явления, велико: кристаллографическая анизотропия, механические напряжения, процессы вращения и смещения границ доменов, технология изготовления образцов, температура. Сложность их совместного учета затрудняет построение строгой теории на основе микрофизических концепций. Для практических расчетов широко применяются различные феноменологические модели [4, 14, 127, 175, 186] .

Одна из моделей связана с аппроксимацией петли гистерезиса. Такой подход использован в работе Белецкого В.В., А.А.Хентова [14], где сделаны упрощающие предположение о форме петли гистерезиса. Это позволило рассмотреть влияние перемагничивания в стержнях, связанных с космическим аппаратом, на движение спутника в магнитном поле Земли. Показано, что гистерезисные явления оказывают существенное влияние на динамику объекта (вращательный гистерезис не рассматривается).

В работе [127] для моделирования перемагничивания материала с доменной структурой используется уравнение Ландау-Лифшица.

Н.С.Акуловым предложена теория [4], согласно которой вращательный гистерезис в монокристаллах связан с анизотропией материала и процессами вращения доменов. Однако теория не построена для слабых полей (в этом случае преобладают процессы смещения границ доменов, а не вращения) и для поликристаллических материалов.

Брюхатов H.JI. и Гринчар Н.А. использовали теорию Н.С. Акулова и рассмотрели гистерезис магнитного вращения как процесс, происходящий при статистическом равновесии между комплексами спинов, переходящих от связи с кристаллической решеткой в связь с вращающимся магнитным полем, и комплексами спинов, увлекаемых решеткой [28].

Исходя из экспериментального факта линейной зависимости величины потерь на вращательный гистерезис от величины поля (в определенных пределах его изменения), О.Д.Поздеев предложил считать мощность потерь на вращательный гистерезис в элементе образца пропорциональной модулю скорости изменения индукции магнитного поля [175]. Эта модель описывает процессы при вращении в постоянном поле магнитного подвеса и дает возможность провести оценку величины потерь для вращающегося шара в полях с различной пространственной конфигурацией.

При движении ротора неконтактного подвеса изменяется его ориентация относительно поля. Так, например, в гироскопах момент сил зависит от угла между осью симметрии поля и осью вращения. В связи с этим большой интерес представляют экспериментальные данные о потерях при произвольной ориентации вектора напряженности магнитного поля относительно оси вращения ферритового шара [211].

Плодотворной при описании процессов перемагничивания в переменном поле оказалась концепция комплексной магнитной проницаемости, введенная В.К. Аркадьевым [5, 6]. Результаты В.К.Аркадьева, развитые в работах Л.Р.Неймана [165], широко используются в современных исследованиях и положены в основу при описании гистерезисных потерь как в ферромагнитных материалах [203], так и в сверхпроводниках [156]. Введение комплексной магнитной проницаемости значительно упрощает задачу, сохраняя в ней наиболее существенное: наличие потерь на гистерезис, которые не зависят от частоты поля, и нелинейную зависимость между индукцией и напряженностью поля, которая рассматривается как функция координат. Достоинство комплексной магнитной проницаемости - достаточно простое описание свойств материалов, что позволяет исследовать весьма широкий круг задач при установившихся гармонических воздействиях внешнего поля. Компоненты комплексной проницаемости имеют энергетический смысл, что широко используется в инженерных расчетах [54, 178, 208].

Концепция комплексной магнитной проницаемости не описывает неустановившиеся и переходные процессы. Петля гистерезиса, согласно элементарным гипотезам, замыкается сразу же с первого цикла. В действительности, как показывает опыт, на первых трех-пяти циклах петля гистерезиса заметно отличается от установившегося значения в последующих циклах намагничивания, что можно объяснить лишь с позиций наследственной теории магнитного гистерезиса [196].

Для уменьшения потерь при вращении ротора гироскопа используется подвес тела в переменных полях [172]. Исследования по определению потерь в переключающихся импульсных полях выполнены в работе [48]. Для объяснения экспериментальных результатов полагается, что при вращении в переменном поле намагниченность не может мгновенно достигать своего стационарного значения. Учет процессов установления угла между векторами намагниченности и напряженности поля при вращении тела в импульсном переключающемся поле позволил построить зависимость величины потерь от частоты переменного поля и скорости вращения ротора.

Перейдем к обзору работ, связанных с изучением гистерезисных явлений при движении левитирующих тел в сверхпроводящем подвесе на основе

ВТСП. Исследование магнитного трения позволяет оценить перспективы использования таких устройств в современной технике.

Гистерезисные потери присутствуют в низкотемпературных сверхпроводниках и существенно влияют на характеристики приборов [130, 210].

Левитация в сверхпроводящем подвесе на основе ВТСП имеет свои особенности. Механическое взаимодействие между ВТСП в смешанном состоянии и неоднородным магнитным полем достаточно сложно из-за сильного пиннинга [155, 156]. Сильный пиннинг является причиной столь необычного явления как гистерезис левитационной силы [247], устойчивая левитация магнита под сверхпроводником [251] (прослежена связь этого явления с гистерезисом намагничивания [253]). Подвес магнита под неодносвяз-ным сверхпроводником описан в работе [168]. Краткий обзор по проблемам магнитного трения при левитации сверхпроводников приведен в статье [219].

В ряде случаев, как и обычное трение, магнитное трение оказывается весьма полезным. Это обстоятельство используется при создании сверхпроводящих подвесов подвесов для транспортировки деталей в роботехниче-ских системах [260].

Важными вопросами в области приложений подвеса являются измерение и расчет подъемной силы при левитации сверхпроводника, т.е. определение грузоподъемности опоры.

В работе [258] измерили силу, действующую на магнит над диском из ВТСП при малых горизонтальных перемещениях магнита, и изучили крутильные колебания вдоль вертикальной оси. Для определения вида потенциальной кривой и общей энергии для преодоления потенциальной ямы магнит прикреплялся к стеклянной нити.

Аналогичные результаты получены методом резонансных колебаний постоянного магнита, свободно вывешенного над поверхностью ВТСП, и исследованы динамические потери [168]. Колебания с амплитудой меньше некоторой рассматриваются как квазиупругие, происходящие в диамагнитной области, без срыва вихрей с центров пиннинга.

Увеличение грузоподъемности подвеса за счет применения дополнительного магнита рассмотрено в работе [244].

Расчет подъемной силы на основе подсчета энергии вихрей, проникающих в сверхпроводник, выполнен в работе [232]. В статье [256] приведены результаты измерения силы в зависимости от высоты подвеса магнита. Сравнение эксперимента и теории, предложенной в работе [232], выявили значительные расхождения, особенно для малых значений зазора между магнитом и сверхпроводником. Экспериментальные данные дают меньшее значение величины подъемной силы. Показано, что свойства подвеса сильно зависит от состава сверхпроводника.

Для определения высоты, на которой находится магнит над сверхпроводящей пластиной, было предложено использовать эффективную магнитную проницаемость. Вычисления подтвердили приемлемость этой модели при подвесе небольших магнитов (характерные размеры сравнимы с величиной зазора), когда гистерезисные эффекты не наблюдались [258].

В работе [247] описан гистерезис «левитационной силы», т.е. зависимость подъемной силы от расстояния между магнитном и сверхпроводником зависит от предыстории движения магнита и сверхпроводника (она различна при удалении магнита от сверхпроводника и при его приближении к нему).

Таким образом, как показывает анализ литературных источников, к настоящему времени не разработано методов расчета подъемной силы, дающих хорошее совпадение с экспериментальными данными во всем диапазоне изменения зазора в подвесе.

Основные эксперименты по вращению и колебаниям твердого тела в подвесе на основе высокотемпературных сверхпроводников направлены, как правило, на определение физических параметров сверхпроводника и критического поля. Характер движения качественно меняется при достижении критических полей, зависит от состава сверхпроводника и его сверхпроводящих свойств.

Расчет тормозящей силы, действующей на движущийся над сверхпроводящей плоскостью проводник с током, проведен на основе модели Бина в работе [223] и в этой работе, по аналогии с механическим трением, используется понятие коэффициента магнитного трения.

Колебания маятника со сверхпроводящим шариком в магнитном поле использовались для определения свойств ВТСП [ 248 ]. В работе [261] изучались колебания магнита над СП 1-го рода и 2-го рода. Методом конформных отображений исследовано поведение диполя над идеальным СП и составлена функция Лагранжа, определены частоты колебаний электромеханической системы с 2 степенями свободы. В случае проникновение поля в проводник предлагается эмпирическая формула для подъемной силы.

Для исследования свойств высокотемпературных сверхпроводников измеряют механический момент, действующий на вращающийся сверхпроводник (метод "крутящего момента" [156]). Выделяется три составных части такого момента [156]:

1) эффект формы - образец стремится повернуться таким образом, чтобы его длинная "ось" (сторона с наибольшим размером) была направлена вдоль оси поля;

2) эффект анизотропии - магнитный момент анизотропного сверхпроводника в смешанном состоянии не параллелен внешнему магнитному полю (если оно не направлено вдоль одной из главных осей тензора анизотропии, что и приводит к появлению механического момента);

3) эффект пиннинга - при вращении образца во внешнем магнитном поле перестройка его вихревой структуры происходит с задержкой, приводящей к непараллельное™ магнитного момента и поля.

Первые два механизма аналогичны явлениям, возникающим при вращении ферромагнитных образцов. Последний механизм, как и все явления, связанные с пиннингом, приводит к необратимости и потерям энергии при вращении образца. В медленно вращающемся магнитном поле появляется асимметрия зависимости механического момента, действующего на образец. Такая асимметрия появляется в смешанном состоянии, что и позволяет определить первое критическое поле. Определить критические значения полей позволяет и измерение момента, действующего на вращающийся сверхпроводник.

При помощи анизометра с торсионным подвесом измерен момент, действующий на вращающийся в однородном магнитном поле образец ВТСП [9, 10]. Величина момент представлена в виде суммы двух слагаемых, причем основной вклад вносит составляющая типа сухого трения, которая не зависит от скорости вращения. Влияние анизотропии образца при его вращении рассмотрено в работе [9]. В работе [85] рассмотрены динамические и диссипативные процессы в левитирующих и вращающихся высокотемпературных сверхпроводниках. Экспериментально показано, что левитирующий сверхпроводник не удается раскрутить вращающимся магнитным полем выше определенной угловой скорости.

Воздействие переменного поля на левитирующее в подвесе тело приводит к новым динамическим эффектам. В статье [194] описано исчезновение магнитного трения под действием слабого переменного поля при левитации сверхпроводника. При включении переменного поля возникает вращение магнита над сверхпроводящим кольцом [243] . Отмечен синхронизм в случае, когда угловая скорость магнита равна четверти частоты внешнего поля. Необычное поведение ВТСП в переменном поле описано в статье [195]. В зависимости от частоты внешнего поля сверхпроводник совершал колебания, либо вращался в ту или иную сторону.

Анализ литературы показывает, что в настоящее время проблемы магнитного трения изучены явно недостаточно. Целью работы является:

- исследование динамических эффектов, вызванных магнитным трением в неконтактном подвесе;

- разработка методов и алгоритмов расчета сил и моментов магнитного трения;

- анализ влияния формы поля и тела на силовые характеристики неконтактной опоры;

- разработка рекомендаций для проектирования неконтактных опор с улучшенными функциональными свойствами;

- экспериментальное изучение магнитного трения.

Методы исследования определялись спецификой расчетов и математических моделей. Использованы методы аналитической механики, теории поля, качественной теории дифференциальных уравнений и математической физики, асимптотические методы механики (метод многих масштабов и метод осреднения), методы численного моделирования.

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования, экспериментальной проверкой, сравнением с экспериментальными данными и результатами других авторов.

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка используемой литературы и приложения. В первых четырех главах исследуется магнитное трение, обусловленное вихревыми токами. Причем впервой, второй и третьей главе рассматривается динамика вращающихся тел, а в четвертой главе анализируется движение источников поля над проводящим полотном (высокоскоростные поезда). Магнитное трение, обусловленное

- 274 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе изучено влияние магнитного трения на динамику твердого тела в неконтактном подвесе. Основные результаты состоят в следующем:

1. Исследовано влияние конфигурации магнитного поля на величину и направление сил в магнитном подшипнике с проводящим ротором.

2. Разработан метод вычисления токов, сил и моментов сил при движении проводника в неоднородном магнитном поле при малых значениях магнитного числа Рейнольдса. Показано, что силовое воздействие магнитного поля описывается тензорами магнитного трения, которые зависят от формы тела, а ранг определяется конфигурацией поля. Рассмотрено движение проводящего цилиндра в квазиоднородном поле.

Проведен анализ магнитного трения в магнитном подшипнике с проводящим ротором. Получены расчетные формулы для пондеромоторных сил, тормозящего момента и мощности потерь.

Изучено влияние магнитного трения на устойчивость движения центра масс абсолютно твердого тела в осесимметричном поле магнитной опоры. Указаны параметры системы магнитного подвеса с проводящим ротором, при которых движение устойчиво.

Показана возможность моделирования движения высокоскоростного транспорта Маглев на установках с вращающимся барабаном. Исследована устойчивость положения равновесия магнита над проводящим барабаном.

Предложена феноменологическая модель описания вращательного гистерезиса с использованием интегральных операторов.

3. Обнаружены новые динамические эффекты в неконтактных опорах:

- осесимметричное поле увеличивает подъемную силу в магнитном подшипнике без изменения величины тормозящего момента;

- циркуляционная сила в осесимметричном подвесе вызывают прямую прецессию проводящего ротора;

- магнитное трение приводит к взаимосвязи поступательных и вращательных движений твердого тела;

- при движении поездов Маглев возникает "отрицательное трение", которое может вызвать колебания силового магнита;

- воздействие переменного поля на магнит высокотемпературного сверхпроводящего подвеса стабилизирует его положение.

4. Разработаны способы улучшения функциональных свойств неконтактных опор за счет использования:

- прецессионных движений твердого тела в ультрацентрифуге с неконтактным подвесом для прочностных испытаний материалов и адгезионных свойств покрытий;

- феррожидкости для демпфирования колебаний тела в магнитном подвесе;

- дополнительных магнитных полей в высокотемпературных сверхпроводящих подвесах.

5. Проведено экспериментальное изучение магнитного трения:

- на специально созданной установке подтверждены расчетные формулы и зависимость характера возникающих движений проводящего- ротора от формы магнитного поля в магнитном подшипнике;

- на установках с вращающимся барабаном, моделирующим движение поездов Маглев, изучена динамика силового магнита;

- показана возможность применения концепции эффективной магнитной проницаемости для расчета подъемной силы в высокотемпературном сверхпроводящем подвесе;

- измерены силы магнитного трения при движении магнита над ВТСП-керамикой и определена их зависимость от параметров системы;

- исследованы диссипативные процессы при вращении высокотемпературных сверхпроводников в магнитном поле.

1. А.С. 1322751. Магнитный подвес / Кувыкин В.И. 1987.

2. А.С. 1751458. Способ стабилизации магнитной опоры на основе сверхпроводников / Кувыкин В.И., Богданов Ю.В., Орлов Н.Ю. // Изобретения. Открытия. 1992. № 28.

3. А.С. 855428. Устройство для испытаний на разрыв деталей типа тел вращения / Иванов В.П., Христачев В.Н., Богомолова М.М. // БИ № 30. 1981.

4. Акулов Н.С. Ферромагнетизм. M.-JI. : Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1939. С.75 82.

5. Аркадьев В.К. Избранные труды. М.-Л.:Из-во АН СССР, 1961. 331 с.

6. Аркадьев В.К. Электромагнитные процессы в металлах. ОНТИ. 4.1. 1935. 130 е., 4.2. 1936. 304 с.

7. Астахов В.И. Задача расчета квазистационарного электромагнитного поля в проводящих оболочках // Электромеханика. 1985. № 1. С. 15- 30. (Изв. вузов).

8. Астахов В.И. К расчету силового воздействия магнитного поля на тела,несущие токи //Электромеханика. 1984. № 10. С. 5- 14. (Изв. вузов).

9. Ашимов С.М., Наскидашвили И.А., Недзеляк Н.Л. Анизотропия крутящего момента, возникающего при проникновении магнитного потока в сверхпроводящую керамику Y Ва2 Сиз Cta // СФХТ. 1989. Т.2. № 4. С.49-52.

10. Ашимов С.М., Наскидашвили И.А., Недзеляк Н.Л. Влияние пиннинга и крипа магнитного потока в сверхпроводящих оксидах на основе иттрия и эрбия, облученных в ядерном реакторе // СФХТ. 1989. Т.2. № 4. С.53-62.

11. Байбаков С.Н., Рабинович Б.И., Соколов Ю.Д. Динамика подвижного состава транспорта на магнитной подвеске // Изв АН СССР. Энергетикаи транспорт. 1986. № 1. С. 92-100.

12. Байко А.В., Воеводский К.Э. О вертикальных колебаниях в системе электродинамического подвешивания экипажей ВСНТ // Электромеханика. № 11. 1979. С.983-990. (Изв. вузов)

13. Белецкий В.В Динамика быстрых вращений // Тр. ин-та механики МГУ. 1973. №29. С.97-118.

14. Белецкий В.В., Хентов А.А. Вращательное движение намагниченного спутника. М: Наука, 1985. С.127-132.

15. Белецкий В.В., Хентов А.А. О вековой эволюции вращательного движения спутника, снабженного наэлектризованным экраном // Космические исследования. 1982. Т.20. № 3. С.342-351.

16. Бидерман B.J1. Теория механических колебаний. М.: Высш. школа. 1980. С.298-303.

17. Бимс, Спитцер, Уейд. Роторный вакуумметр с магнитным подвесом // Приборы для научных исследований. 1962. Т. 3. № 2. С. 3-7.

18. Богатырев С.В., Стрыгин В.В. Об устойчивости стационарных движений твердого проводящего тела около центра масс в магнитном поле // Изв. АН ССР. МТТ. 1986. № 5. С.30-35.

19. Богомолова М.М., Иванов В.П., Христачев В.Н. Вакуумный насос с ротором на магнитном подвесе // Химическое и нефтяное машиностроение. 1982. Т.З. С.25 -26.

20. Боден К., Фремерей Дж. Магнитные подшипники быстровращающихся роторов // Экспресс-информация. Детали машин. 1978. № 30. С. 1-5.

21. Бозорт Р. Ферромагнетизм. М.: Из-во иностр. литер., 1956. 384 с.

22. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.:ГИФМЛ, 1961.340 с.

23. Боронина Л.Ф., Васильев Г.А. и др. Экспериментальное исследование левитационных характеристик электродинамического подвеса // Электромеханика. № 11. 1979. С.1023-1026. (Изв. вузов)

24. Бочаров В.И., Васюков О.А., Воронов Н.А. и др. Проблемы и перспективы создания ВСНТ // Электромеханика. № 11. 1979. С.959-969. (Изв. вузов)

25. Бочаров В.И., Салли И.В., Дзензерский В.А. Транспорт на сверхпроводящих магнитах. Из-во Ростовского университета. 1988. 150 с.

26. Брагинский В.Б. Физические эксперименты с пробными телами. М.: Наука, 1970. С.76.

27. Брагинский В.Б., Осика В.И. Кольцевой диамагнитный подвес // ПТЭ. 1969. №4. С.196-197.

28. Брюхатов Н.Л., Гринчар Н.А. Потери на гистерезис магнитного вращения в прокатных магнитных материалах // Физика. 1963. № 1. С. 122 -130. (Изв. вузов).

29. Буххольд Т. Сверхпроводящие гироскопы // Проблемы гироскопии. М.: Мир, 1967. С.119-128.

30. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. 273 с.

31. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. T.l. М.: ИИЛ, 1949. 798 с.

32. Вейнберг Д.М., Верещагин В.П., Данилов-Нитусов Н.Н., Шереметьевский Н.Н. Системы магнитного подвеса в исполнительных органах управления ориентацией космический аппаратов // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. №37. С. 152-157.

33. Владимирский В.В., Калебин С.М. Устойчивость ферромагнитных тел, вывешенных в магнитном поле // ПТЭ. 1959. № 2. С. 41- 45.

34. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд-во МГУ, 1971. 508 с.

35. Вонсовский С.В., Шур Я.С. Ферромагнетизм. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. 816с.

36. Воронков B.C., Поздеев О.Д. Динамика системы стабилизации магнитного подвеса ЧЭ градиентометра // Изв. РАН. МТТ. 1995. № 1. С.25- 32.

37. Воронков B.C., Поздеев О.Д. Исследование систем стабилизации магнитного подшипника // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. № 4. С.30- 39.

38. Воронков Н.Н., Кутырев В.В., Ашимов Н.М. Гироскопическое ориентирование. М.: Недра, 1980. С.274-276.

39. Вышков Ю.Д., Иванов В.И. Магнитные опоры в автоматике. М.: Энергия, 1978. 160 с.

40. Ганиев Р.Ф., Воробьев В.Н., Лютый А.И. Резонансные колебания гироскопических систем. Киев: Наукова думка, 1979. 1986 с.

41. Ганс Г. Новая эра железнодорожных сообщений скоростной магнитный поезд "Трансрапид" // Железнодорожный транспорт 89 (Специальный журнал к 4-ой междунар. выставке). М.: В/О Экспоцентр и Дюссельдорф Мессемагазин Интернациональ (ФРГ). С. 21-25.

42. Голубков В.В. Момент сил в магнитном поле // Космич. исследования. 1972. Т.Ю. № 1. С. 20-39.

43. Демкин Н.Б., Болотов А.Н. Исследование пассивных аксиальных магнитных подшипников //Трение и износ. 1980. Т.1. №4. С.695-704.

44. Денисов Г.Г., Комаров В.Н. Неконсервативные моменты и их влияние на прецессию неконтактного гироскопа // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 3. С. 15-23.

45. Денисов Г.Г., Линьков Р.В., Поздеев О.Д., Романычев Ю.А., Химин Ю.А. Анизометр с магнитным подвесом образца // ПТЭ.1981.№ 5. С.245.

46. Денисов Г.Г., Неймарк Ю.И., Поздеев О.Д., Цветков Ю.В. Экспериментальное исследование колебаний безопорного вращающегося вала // Динамика машин. М.: Машиностроение, 1969. С. 127-138.

47. Денисов Г.Г., Новиков В.В. О свободных движениях деформируемого твердого тела, близкого к шару // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. № 3. С.43-50.

48. Денисов Г.Г., Поздеев О.Д., Химин Ю.А. О вращательном гистерезисе в переменных магнитных полях // Физика. 1978. № 5. С.64-67. (Изв. вузов)

49. Дерендяев Н.В., Сандалов В.М. Об устойчивости стационарного вращения цилиндра, частично заполненного вязкой несжимаемой жидкостью // ПММ . 1982. Т.46. № 4. С. 578 586.

50. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М : Мир, 1965. 704 С.

51. Динамика скоростного транспорта на электромагнитной подвеске. Сб. научн. трудов НПО Тидротрубопровод". 1992. 104 с.

52. Дрокин А.И., Далгеров В.Д., Судаков Н.И., Власов Н.В. Зависимость потерь на вращательный гистерезис в монокристаллов магний-марганцевых ферритов от величины магнитного поля и температуры // Физика. 1963. № 2. С. 141-144. (Изв. вузов)

53. Дрокин А.И., Судаков Н.И., Далгеров В.Д., Слободской Л.И. Анизотропия и потери на гистерезис во вращающихся магнитных полях в ферромагнетиках и ферритах // Физические свойства ферритов. Минск: Наука и техника, 1967. С. 142-149.

54. Дубков В.А., Фрумкин Э.П. Метод решения нелинейных задач о ферромагнитной цилиндрической области, находящейся во вращающемся магнитном поле // Некоторые вопросы электродинамики: Сборник / МГУ. М., 1973. С. 151-166.

55. Дьячков С.В., Мартыненко Ю.Г. Динамика проводящего эллипсоида в осесимметричном магнитном поле // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика. 1987. № 6. С.41-45.

56. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородною капельною жидкостью // Жуковский Н.Е. Собр. соч. М. Л.: ГИТТЛ, 1949. Т.2. С.152-309.

57. Журавлев В.Ф., Климов Д. М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 328 с.

58. Журавлев Ю.Н. Активные магнитные подшипники: Теория, расчет, применение. Санкт-Петербург: Политехника, 2003, 206с.

59. Журавлев Ю.Н. Управление динамикой гибкого ротора в активных магнитных подшипниках // Приборостроение. 1988. № 6. С.7-12.

60. Зацепин М.Ф., Мартыненко Ю.Г., Маслов А.А. О демпфировании нутационных колебаний ротора электростатического гироскопа. В сб.: Труды МЭИ. 1982. В. 573. С. 36-51.

61. Заявка № 93043159. Способ прочностных испытаний материалов / Кувы-кин В.И., Мартыненко Ю.Г.

62. Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д. 0 представлении трехмерного векторного поля скалярными потенциалами //ДАН СССР. 1985. Т.284.№ 1. С. 103-106.

63. Иванов М.А., Погорелов Ю.Г. Необратимые динамические эффекты для ВТСП-образца в магнитном поле // СФХТ. 1992. Т.5. № 2. С. 264-269.

64. Илюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовяз-коупругости. М.: Наука.

65. Исследование моментов вращательного гистерезиса и анизотропии в дисковых и сферических образцах ферромагнитных сплавов: Отчет по НИР / НИИ ПМК при ГГУ; рук. Ю.И.Неймарк. №ГР 69033870 инв. №Б5377/77, Горький,1976.

66. Канцельсон О.Г., Эдельштейн А.С. Автоматические измерительные приборы с магнитной подвеской. М.: Энергия, 1970. 216 с.

67. Капица П.Л. Научные труды. Физика и техника низких температур. М.: Наука, 1989. С. 54-81.

68. Карипбаев С.Ж., Ландау Б.Е., Мартыненко Ю.Г., Подалков В.В. Зависимость угловой скорости электростатического гироскопа от температуры окружающей среды // Изв. АН СССР. МТТ. № 3. 1993. С. 42-49.

69. Каттерлоэр Р. Применение магнитных подшипников // Экспрессинформация. Детали машин. 1979. № 14. с. 4-10.

70. Климов Д.М., Космодемьянская Г.Н., Черноусько Ф.Л. О движении гироскопа с неконтактным подвесом // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. № 2. С.3-8.

71. Кобрин А.И. Асимптотическое решение задачи о движении твердого тела в магнитном поле // Дифференциальные уравнения. Т.21. № 10. 1985. С.1808-1811.

72. Кобрин А.И., Мартыненко Ю.Г. Движение проводящего твердого тела около центра масс в медленно изменяющемся магнитном поле // Докл. АН СССР. 1981. Т.261. № 5. С. 1070-1073.

73. Кобрин А.И., Мартыненко Ю.Г. Динамика проводящего твердого тела в высокочастотном магнитном поле // Докл. АН СССР. 1980. Т.255. № 5. С. 1063-1065.

74. Козорез Б.Б. Динамика системы магнитно взаимодействующих свободных тел. Киев: Наук, думка, 1981. 140 с.

75. Комаров В.Н. О движении проводящего твердого тела во вращающихся магнитных полях // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. № 1. С. 17-22.

76. Комаров В.Н., Урман Ю.М. Активное гашение нутации ротора неконтактного гироскопа // Изв. вузов. Приборостроение. 1982. Т.25. № 12. С. 44-47.

77. Комаров В.Н., Урман Ю.М. Об управлении движением неконтактного гироскопа//Прикл. механика. 1990. Т.26. № 2. С. 117-121.

78. Корзунин Г.С., Иншиева Л.А. Исследование потерь энергии на вращательное перемагничивание в электротехнической стали // Физические свойства магнитных материалов: Сборник / УНЦ АН СССР. Свердловск, 1982. С. 9-14.

79. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974. 832 с. .

80. Коськин Ю.П., Цейтлин Л.А. Синхронные машины с немагнитным ротором. JI.: Энергоатомиздат, 1990. 280 с.

81. Кочетков В.М. О вертикальной неустойчивости электродинамического подвешивания // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1979. № 5. С. 176-178.

82. Кочетков В.М., Ким К.И., Трещев И.И. Теория электродинамической левитации. Основные результаты и дальнейшие задачи // Изв.АН СССР. Энергетика и транспорт. 1981. № 1. С.72-91.

83. Кочетков В.М., Макаров Е.Ф., Череватый А.В., Байков В.В. Анализ соответствия левитационных параметров вращающихся и линейных моделей электродинамического подвеса // Изв.вузов. Электромеханика. 1979. № 11. С.991-999.

84. Кочнева Л.Ф. Внутренне трение в твердых телах при колебаниях. М.: Наука, 1979. 96 с.

85. Краснюк Н.Н., Митрофанов В.П. Динамические и диссипативные процессы в левитирующих и вращающихся высокотемпературных сверхпроводниках//СФХТ. 1992. Т.5. №9. С. 1699-1708.

86. Краснюк Н.Н., Митрофанов В.П. Левитация керамики Y ВагСич О7 в магнитном поле //СФХТ. 1990. Т.З. №2. С.318-322.

87. Кувыкин В.И. Влияние вихревых токов и гистерезиса на динамику ротора в магнитном подшипнике: Дис. канд. техн. наук: 01.02.06. / МЭИ. М., 1984. 131 с.

88. Кувыкин В.И. Влияние вихревых токов в проводящем пути на движение высокоскоростного транспорта // 1УЖЕЛ proceedings/ JyroonaBnja : Са-вез Инженера и Техничара 1угославще. 1997. С. 308-311.

89. Кувыкин В.И. Влияние вихревых токов на колебания магнита над движущимся проводником // Нелинейные колебания механических систем, III конф.: Тез. докл. Нижний Новгород, 1993. С.112.

90. Кувыкин В.И. Влияние вихревых токов на силовые характеристики магнитных подшипников с периодической структурой поля И Электромеханика. 1986. № 9. С. 11-18. (Изв. вузов)

91. Кувыкин В.И. Влияние гистерезиса на движение твердого тела в магнитном поле // Современные вопросы физики и приложения: Тез. докл. Все-союз. конф., Москва, апр.1987 / ВИНИТИ АН СССР и ГКНТ. М., 1987. 4.2. С.89.

92. Кувыкин В.И. Влияние конфигурации магнитного подшипника на силы и моменты магнитного трения // В сб. Современные проблемы механики и ее приложений. М.: РАН, 1996. С.6.

93. Кувыкин В.И. Вращающийся цилиндр в магнитном поле // Современные вопросы информатики, вычислительной техники и автоматизации: Тез. докл. и сообщ. Всесоз. конф., Москва, апр. 1985 / ВИНИТИ АН СССР и ГКНТ. М., 1985. С. 63.

94. Кувыкин В.И. Динамические эффекты при движении проводящего твердого тела в магнитном поле //. В сб. Инженерно-физические проблемы авиационной и космической техники. Егорьевск: ЕАТКГА, 1997. С. 234235.

95. Кувыкин В.И. Динамические эффекты, обусловленные магнитным трением в неконтактном подвесе // Проблемы машиноведения: тезисы докладов. Н.Новгород: Изд-во общества «Интелсервис», 1997. С.21.

96. Кувыкин В.И. Колебания магнита в неконтактном подвесе на основе высокотемпературных сверхпроводников // В сб. Нелинейные колебания механических систем. Горький: НТО Машпром, 1990. 4.1.С. 193.

97. Кувыкин В.И. Колебания магнита над движущимся проводником // В сб.: Волновые задачи механики. Нижний Новгород: РАН, 1992. С. 105 112.

98. Кувыкин В.И. Магнитное трение в неконтактных опорах. Нижний Новгород: Изд-во общества «Интелсервис», 1997. 112 с.

99. Кувыкин В.И. Магнитное трение, обусловленное гистерезисными явлениями в материале твердого тела при движении в магнитном поле // Прикладная механика и технологии машиностроения. Нижний Новгород: Изд-во общества «Интелсервис». 1997. 4.1. С. 3 14.

100. Кувыкин В.И. Об устойчивости вращения ротора // В сб. Современные проблемы механики и технологии машиностроения. М.: ВИНИТИ, 1989. Ч2.С.31.

101. Кувыкин В.И. Об устойчивости проводящего ротора в магнитной опоре // В сб. Волновые и вибрационные процессы в машиностроении. Горький: АН СССР, 1989. 4.1. С. 107- 108.

102. Кувыкин В.И. Определение силы магнитного сопротивления в сверхпроводящем неконтактном подвесе // В сб. Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации. М.: ВИНИТИ АН СССРиГКНТ, 1991.С.26.

103. Кувыкин В.И. Применение вибрации магнита при создании неконтактного подвеса на основе высокотемпературных сверхпроводников //В сб. Волновые задачи механики. Н.Новгород: РАН, 1994. С.234-243.

104. Кувыкин В.И. Проблемы магнитного трения при создании неконтактных подвесов // В сб. Инженерно-физические проблемы авиационной и космической техники. Егорьевск: ЕАТКГА, 1995. С. 86-87.

105. Кувыкин В. И. Расчет тормозящего момента в магнитном подшипнике с проводящим ротором // Электромеханика. 1984. № 8. С. 82 86. (Изв. вузов)

106. Кувыкин В.И., Богданов Ю.В. Использование вибрации магнита для создания неконтактного подвеса на основе сверхпроводников // Нелинейные колебания механических систем: Тез. докл. III Всеросс. научн. конф. Нижний Новгород, 1993. С.113.

107. Кувыкин В.И., Богданов Ю.В. Определение подъемной силы в неконтактном подвесе //В сб. Современные проблемы физики и ее приложений. М.: ВИНИТИ АН СССР и ГКНТ, 1990. С.67.

108. Кувыкин В.И., Богданов Ю.В. Определение подъемной силы и жесткости при левитации магнита над высокотемпературным сверхпроводником // Сб. научн. трудов. Волновые задачи механики. Н.Новгород: РАН, НФ ИМАШ РАН, 1994. С. 244-253.

109. Кувыкин В.И., Кажаев В.В. Вращение твердого тела в переменном магнитном поле // Прикладная механика и технологии машиностроения. Ч.З. Н.Новгород: Изд-во общества «Интелсервис», 1997. С.27 33.

110. Кувыкин В.И., Кажев В.В. Движение намагниченного тела в переменном магнитном поле // Проблемы машиноведения: тезисы докладов. Н.Новгород: Изд-во общества «Интелсервис», 1997. С.24.

111. Кувыкин В.И., Линьков Р.В. О циркуляционной силе в магнитной опоре //Проблемы машиностроения и надежности машин. 1992. № 2. С. 37-43.

112. Кувыкин В.И., Мартыненко Ю.Г. Движение проводящего твердого тела в магнитном поле.// Изв. РАН. МТТ. 2002. № 2. С.36 47.

113. Кувыкин В.И., Мартыненко Ю.Г. Оценка тормозящего момента, действующего на электродинамический демпфер неконтактного подвеса //Электричество. 1994. № 11. С. 30-33.

114. Кувыкин В.И., Мартыненко Ю.Г. Расчет жесткости и демпфирования в системе электродинамической левитации // Наука. Конверсия, Рынок: Тезисы докладов Всероссийского совещания РАН. М.: ВВЦ, 1993.

115. Кувыкин В.И., Мартыненко Ю.Г. Силы и моменты, действующие на проводящее твердое тело в магнитном подвесе // В сб. Транспорт. Автоуслуги. М.: РАН, 1994. С.З.

116. Кувыкин В.И., Орехов Г.В. Об устойчивости горизонтального движения магнита в системе электродинамического подвешивания // Сб. научных трудов: Динамика скоростного транспорта на электромагнитном подвесе. М.: НПО Гидротрубопровод, 1992. С. 64-74.

117. Кувыкин В.И., Орехов Г.В. Об устойчивости движения транспорта на электродинамическом подвесе // В сб. Современные проблемы механики и технологии машиностроения. М.: ВИНИТИ, 1992. С. 12.

118. Кувыкин В.И., Орлов Н.Ю. Определение силы сопротивления при движении магнита над ВТСП-керамикой // Труды МЭИ. В.655. М.: МЭИ, 1991. С.78-81.

119. Кувыкин В.И., Панкратьева Г.В. Проводящий цилиндр в медленно изменяющемся магнитном поле // Проблемы машиноведения: тезисы докладов. Н.Новгород: Изд-во общества «Интелсервис», 1997. С.23.

120. Кувыкин В.И., Поздеев О.Д. Момент торможения шара из ВТСП керамики в магнитном поле // Приборостроение. 1994. № 2. С.34-38.

121. Кувыкин В.И., Поздеев О.Д. Моментные характеристики осесимметрич-ного магнитного подвеса // В сб. Современные проблемы механики и технологии машиностроения. М.:ВИНИТИ АН СССР и ГКНТ,1989. С. 17.

122. Кувыкин В.И., Поздеев О.Д. Расчет момента трения в магнитном подшипнике с периодической структурой поля // В сб. Современные вопросы физики и приложения. М.: Ин-т общей физики АН СССР, 1984.С.47

123. Кувыкин В.И., Поздеев О.Д. Устойчивость стационарного вращения цилиндрического ротора в осесимметричном магнитном поле // В сб.: Современные вопросы механики и технологии машиностроения. 4.2. М.: ВИНИТИ АН СССР и ГКНТ, 1986. С. 14.

124. Кувыкин В.И., Сеняткин В.А. Устойчивость стационарного вращения проводящего шара в осесимметричном магнитном поле // ЖТФ. 1984.1. Т.54.№ 12. С.2404 2407.

125. Кувыкин В.И. Урман Ю.М. Влияние вихревых токов на устойчивость движения твердого тела в магнитном поле // Моделирование и исследование устойчивости физических процессов: Тез. докл. на Всесоюзн. конф. Киев: Знание, 1991. С.48-49.

126. Кудрявцев B.C., Морозов А.Н., Юрасов Н.И. Моделирование перемагни-чивания материала с доменной структурой на основе уравнения Ландау-Лифшица//Вестник МГТУ.Сер.Приборостроение. 1991. № 1. С.121-125.

127. Кухлинг X. Справочник по физике. М.: Мир, 1982. 512 с.

128. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 306 с.

129. Левин Л.А., Жуков М.И., Малтинский М.И. Физические основы, элементы и устройство криогенного гироскопа. Л: Румб, 1979. 126 с.

130. Лимен Д., Ямамура А. Магнитные подшипники и высокие скорости вращения // Магниты из сплавов редкоземельных металлов с кобальтом. М.: Металлургия, 1978. С. 161-175.

131. Линьков Р.В. Диамагнитная подвеска постоянного магнита // ЖТФ. 1981. Т.51. № 6. С.1113 1121.

132. Линьков Р.В. Динамика проводящего твердого тела и магнитном поле: Дис. канд. физ.-мат. наук / ГГУ. Горький, 1984.

133. Линьков Р.В. Медленные движения проводящего волчка при резонансном взаимодействии с переменным магнитным полем // ЖТФ. 1980. Т.50. № 6. СЛ152 1159.

134. Линьков Р.В. О неустойчивости проводящих тел, подвешенных в переменном магнитном поле //ЖТФ. 1979. Т.49. № 5. С. 1037 1041.

135. Линьков Р.В., Урман Ю.М. Быстрые вращения проводящего магнитного волчка в неоднородном переменном магнитном поле // ЖТФ. 1978. Т.48. №6. С.1123 -1131.

136. Линьков Р.В., Урман Ю.М. Вращающийся шар в магнитном поле // ЖТФ. 1973. Т.42. № 12. С. 2472-2480.

137. Линьков Р.В., Урман Ю.М. Пондеромоторное взаимодействие вращающегося проводящего шара с переменным неоднородным магнитным полем //ЖТФ. 1974. Т.44. № 11. С. 2255-2262.

138. Линьков Р.В., Урман Ю.М. Силовое воздействие на проводящий шар, движущийся в магнитном поле //ЖТФ. 1977. Т.47. № 4. С.716 723.

139. Линьков Р.В., Урман Ю.М. Силы и моменты, действующие на катушки с током, движущиеся над проводящей пластиной // ЖТФ. 1979. Т.49. № 10. С.2102 2110.

140. Макаров Е.Ф., Череватый А.В. Об ошибках в измерении левитационных параметров на модельных установках с вращающимися путевыми структурами // Электромеханика. 1983. № 11.С. 104-111. (Известия вузов)

141. Малеев П.И. Новые типы гироскопов. Л.: Судостроение, 1971.

142. Малоземофф А.П., Галлахер У.Дж., Швол Р.Е. Применение высокотемпературной сверхпроводимости. // Высокотемпературные сверхпроводники / Под ред. Нелсона Д., Уитгихема М., Джоджиа Т. М.: Мир, 1988. С. 356 390.

143. Мартыненко Ю.Г. Аналитическая динамика электромеханических систем. М.: Моск. энерг. ин-т, 1984. 64 с.

144. Мартыненко Ю.Г. Влияние вихревых токов на вращение и ориентацию спутника // Космические исследования. 1985. Т.23. № 3. С.347-357.

145. Мартыненко Ю.Г. Движение проводящего твердого тела около неподвижной точки в магнитном поле. Изв. АН СССР.МТТ. 1977. №4. С.36-45.

146. Мартыненко Ю.Г. Движение твердого тела в электрических и магнитных полях. М.: Наука, 1988. 368 с.

147. Мартыненко Ю.Г. Об устойчивости стационарных вращений твердоготела в магнитном поле // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. № 2. С. 29-33.

148. Мартыненко Ю.Г. Раскрутка гироскопа с неконтактным подвесом ротора//Изв. АН СССР. МТТ. 1973. № 5. С. 35-40.

149. Мартыненко Ю.Г., Омаров А.Ж., Подалков В.В. Движение упругой сферической оболочки в неконтактном подвесе. Изв. АН СССР. МТТ. 1989. № 4. С. 25-30.

150. Мартыненко Ю.Г., Панкратьева Г.В. Оптимальное по быстродействию управление гироскопом //Труды МЭИ. 1981. В. 515. С.25-27.

151. Мартыненко Ю.Г., Урман Ю.М. О малых колебаниях быстро закрученного твердого тела в магнитном поле // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 1. С.25-32.

152. Мартыненко Ю.Г. О проблемах левитации тел в силовых полях И Соров-ский образовательный журнал. 1996. №3. С. 82-86.

153. Маслов А.А. Разгон и демпфирование нутационных колебаний ротора электростатического гироскопа: Автореф. дис. . канд. техн. наук/ МЭИ. М., 1984. 20с.

154. Мейлихов Е.З. Диамагнитные свойства ВТСП-керамик. Обзор // СФХТ. 1989. Т.2. №9. С.5-29.

155. Мейлихов Е.З., Шапиро В.Г. Критические поля сверхпроводников // СФХТ. 1991. Т.4. № 8. С.1437-1492.

156. Метлин В.Г. Магнитные и магнитогидродинамические опоры. Обзор. М.: Энергия, 1968. 190 с.

157. Михалевич B.C., Козорез В.В., Рашкорван В.М., Хусаинов Д.Я., Чеборин О.Г. "Магнитная потенциальная яма" эффект сверхпроводящих динамических систем. Киев: Наукова думка, 1991. 336 с.

158. Моисеев М.М. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969. 380 с.

159. Мороз П. Перспективы применения микророторов, подвешенных в магнитном поле, для центрифугирования клеток, жидкостей и газов при ускорении более 106 107 g // Приборы для научн. исследований. 1986. № 4. С. 77.

160. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т.2. М.: ИЛ, 1960. С. 707-708.

161. Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. М.: Мир, 1980. 340 с.

162. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1991.311 с.

163. Мюллер К., Беднорц Ж., Тарновски Д. Открытие высокотемпературной сверхпроводимости // В сб: Физика за рубежом. М.: Мир, 1989. С.6-27.

164. Нейман Л.Р. Поверхностный эффект в ферромагнитных телах. М. Л.: ГЭИ. 1949. 190 с.

165. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1967.424 с.

166. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967. 520 с.

167. Немошкаленко В.В., Иванов М.А., Клименко Г.А., Никитин Б.Г. Погоре-лов Ю.Г. Взвешенное состояние магнита над и под высокотемпературным сверхпроводником // Препринт ИМПФ 6.89. Киев: Институт металлофизики. 1989. 13 с.

168. Новожилов И.В. Введение малого параметра в уравнения движения // Тр. Ин-та механики Моск. гос.ун-та, 1973. №29. С.126-132.

169. Новожилов И.В. Разделение движений в задаче о поезде на магнитном подвесе // Труды МЭИ. 1982. Вып. 573. С.3-8.

170. Новожилов И.В. Теория размерности и приближенные методы //М.: Из-во Моск. энергетич. ин-та, 1987. 80 с.

171. Осокин Ю.А., Герди В.Н., Майков К.А., Станкевич Н.Н. Теория и применение электромагнитных подвесов. М.: Машиностроение, 1980. 284 с.

172. Пентелики С., Пубо П. Моментный маховик на магнитных подшипниках // Магниты из сплавов редкоземельных металлов с кобальтом. М.: Металлургия, 1978. С. 185-198.

173. Пешехонов В.Г. Проблемы высокоточной морской инерциальной навигации // Судостроительная промышленность. Навигация и гироскопия. 1991. В.1. С.3-9.

174. Поздеев О.Д. Оценка гистерезисных сил и моментов, действующих на вращающийся шар в поле аксиально симметричного магнитного подвеса. //Изв. вузов СССР. Приборостроение. 1987. Т.30. № 5. С.42-47.

175. Позняк Э.Л. Об устойчивости железного сердечника в магнитном поле // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. № 10. С.12-17.

176. Позняк Э.Л. Устойчивость вращающегося железного сердечника в магнитном поле // Изв. АН СССР. ОТН. Энергетика и автоматика. 1959. №. 3. С.19-23.

177. Поливанов К.М. Электродинамика движущихся тел. М.: Энергоиздат, 1982. 192 с.

178. Понизовский В.М. Свободный подвес магнитов в постоянном магнитном поле при помощи пиролитического графита // ПТЭ. 1979. №4. С.238-240.

179. Попов Г.В., Сихвер М.Т., Фролов Г.И., Хрусталев Б.П. Вращательный гистерезис керамики (Y- Lu)i Ваг Сиз О7-Х • Красноярск, 1988 // Препр. ин-та физики СО АН СССР 505 Ф. 19 с.

180. Рабинович Б.И., Лебедев В.Г., Мытарев А.И. Вихревые процессы и динамика твердого тела. М.: Наука, 1992. 296 с.

181. Рабинович Б.И., Роговой В.М. Математическое моделирование нестационарных вихревых токов и вихревых движений жидкости в задачах ориентации и стабилизации ИСЗ и КА // Космические исследования.1984. Т.22. № 5. С.683-692.

182. Раушенбах Б.В., Токарь К.Н. Управление ориентацией космических аппаратов. М.: Наука, 1974. С. 413-423.

183. Румшиский JI.3. Математическая обработка результатов эксперимента. М.: Наука, 1971. 192 с.

184. Самсонов В.А. О вращении тела в магнитном поле // Изв.АН СССР. МТТ. 1984. №4. С. 32-34.

185. Сарычев В.А., Сазонов В.В. Влияние диссипативного магнитного момента на гравитационную ориентацию вращающегося спутника // Кос-мич. исследования. 1982. Т.20. № 2. С.177-189.

186. Сермонс Г.Я. Динамика твердых тел в электромагнитном поле. Рига: Зи-натне, 1974. 248 с.

187. Сика З.К., Куркалов И.И., Петров Б.А. Электродинамическая левитация и линейные синхронные двигатели транспортных систем. Рига: Зинатне, 1988. 257 с.

188. Скубов Д.Ю. Электродинамические усилия при эксцентричном движении ротора неявнополюсной машины // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1989. № 6. С. 82-89.

189. Скубов Д.Ю., Ходжаев К.Ш. Нелинейная электромеханика. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2003. 360 с.

190. Скубов Д.Ю., Ходжаев К.Ш. Системы с магнитоэлектрическими гасителями колебаний // Изв.РАН. МТТ. 1996. №2. С.64-74.

191. Смайт В. Электростатика и электродинамика. М.: ИИЛ, 1954. 604 с.

192. Справочник по специальным функциям / Под ред. Абрамовича М., Сти-ган И. М.: Наука, 1979. 832 с.

193. Терентьев А.Н. Исчезновение магнитного трения под действием слабого переменного поля при левитации сверхпроводника // СФХТ. 1990. Т.З.4. С.763-766.

194. Терентьев А.Н., Кузнецов А.А. Вращение левитирующего сверхпроводника в низкочастотном магнитном поле // СФХТ. 1990. Т.З. №12. 4.1. С.2756-2761.

195. Толмачев С.Т. Математическая модель гистерезиса ферромагнетиков // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1983. № 5. С. 43-53.

196. Тормозная система скоростного междугороднего экспериментального поезда // Железнодорожный транспорт 89 (Специальный журнал к 4-ой междунар. выставке). М.: В/О Экспоцентр и Дюссельдорф Мессемагазин Интернациональ (ФРГ). С. 9 11.

197. Транспорт с магнитным подвесом / под ред. Бочарова В.И., Нагорского В.Д. М.: Машиностроение, 1991. 316 с.

198. Урман Ю.М. О пассивном демпфировании нутационных колебаний сверхпроводящего ротора И Изв. вузов. Приборостроение. 1985. Т.25. № 5. С. 59-63.

199. Урман Ю.М. Динамические эффекты, обусловленные вращательным движением сверхпроводника в магнитном поле // ДАН СССР. 1984. Т.276. №6. С.1402-1404.

200. Урман Ю.М. Неприводимые тензоры и их применение в задачах движения твердого тела в силовых полях // Механика твердого тела. 1983. В.15. С.75-87.

201. Федоров Н.Н. Основы электродинамики. М.: Высш. школа, 1980. 400с.

202. Ферриты и магнитодиэлектрики. Справочник / Под ред. Горбунова Н.Д., Матвеева Г.А. М: Сов.радио, 1968. 176 с.

203. Фогель А.А. Индукционный метод удержания жидких металлов во взвешенном состоянии . Л.: Машиностроение, 1989. 81 с.

204. Фомин А.А. Бесконечный цилиндр в поле коаксиальной системы витков

205. ЖТФ. 1968. № 8. С.1438-1443.

206. Фомин А.А. Исследование цилиндрического индуктора с экспоненциальным полем //Магн. гидродинамика. 1966. № 3. С.92-100.

207. Фомин А.А. Расчет симметричного индуктора с мультипольным полем // Магн. гидродинамика. 1966. № 2. С. 124-129.

208. Фрадкин Б.М. Ферромагнитный шар в переменном магнитном поле // Труды МЭИ. 1953. В.14. С.95 105.

209. Хаберман X., Лиард Дж. Активный магнитный подшипник //Экспресс-информация. Детали машин. 1978. № 12. С. 1-7.

210. Химин Ю.А., Линьков Р.В., Денисов Г.Г., Урман Ю.М., Вяткин В.А. Прибор для измерения вращательного гистерезиса // ПТЭ. 1976. №6. С.170-172.

211. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Из-во АН СССР, 1962. 535 с.

212. Шереметьевский Н.Н., Вейнберг Д.М., Верещагин В.П., Данилов-Нитусов Н.Н. Силовой гироскоп с электромагнитными подшипниками для управления ориентацией орбитальных станций // Космические исследования. 1983. Т.21. №1. С. 139-142.

213. Anfmogenov A.S., Gusinsky V.Z., Parfenov O.I. Electrostatic gyro // The second soviet-Chinese symposium of inertial technology. S.Petersburg. CSRI "Electropribor". 1992. P.71-73.

214. Baldi R.W., Jonson R.A., Kimmi E.R., Parmer J.F. Genaral dynamics large superconductor magnets for government applications // Superconductivity and its application / Ed. Kwok H.S., Shaw D.F. N.Y., Amsterdam, London: Elsevier. 1988. P. 291-296.

215. Bocherts R.H., Davis L.S. Force on a coil moving over conducting surface including edge and channel effects // J.Appl.Phys., 1972. V.43. No. 5. P. 24182427.

216. Bondaletov V.N., Ivanov E.N. Ultrahigh axial acceleration of conducting rings //Sov.Phys.Tech.Phys., 1977.V.22. No. 2 .P. 232-234.

217. Brandt E.H. Friction in Levitated Superconductors // Appl.Phys.Lett. 1988, V.53. No.16. P.1554-1556.

218. Carniol B. Contactless measurement of adhesivity and conductivity by means of an ultracentrifuge with a magnetic suspension device // TESLA Electronics. V.9. No 4. 1976. P. 99-106.

219. Connor K.A., Tichy J.A. Analysis of an eddy current journal bearing// Journal of Tribology. 1988. No.2. P.342.

220. Danby G.R., Powell J.R. Design approaches and parameters for magnetically levitated transport systems // Superconductivity and its application / Ed. Kwok H.S., Shaw D.F. N.Y., Amsterdam, London: Elsevier. 1988. P. 318-342.

221. Davis L.C., Logothetis E.M., Soltis R.E. Stability of magnets levitated above superconductors//J.Appl.Phys. 1988. V.64. No.8. P.4212-4218.

222. Dmitriev S.P., Peshekhonov V.G., Stepanov O.A. Marine inertial navigation system's correction by the small scale maps of geophysical fields // The second Soviet-Chinese symposium of inertial technology. 1992. S.Petersburg: CSRI "Electropribor". P.6-8.

223. Dovgopoly A.S. Ground-based Gyrocompasses and Gyroteodolites // The second Soviet-Chinese symposium of inertial technology. 1992. S.Petersburg: CSRI "Electropribor". P.34-35.

224. Fremerey J.K. Apparatus for determination of residual drag torque on smallspinning speres in magnetic suspension // Rev. Sci. Istrum. 1971. V.42. N 6.f p.763-766.

225. Geary P.J. Magnetic and electric suspensions. London: SIRA Research report 1964. 164 p.

226. Giovannela C., Campbell I.A., Collin G. Torque measurements on YiBa2Cu307.x//Brit. Ceram.Proc. 1988. No.4. P.245-248.

227. He J.L., Levi E., Zabar Z., Birenbaum L., Naot Y. Analysis of induction-type coilgun performance based on cylindrical current sheet model // IEEE TRANSACTIONS ON MAGNETICS. 1991. V. 27. N. 1. P. 579-584.

228. Hellman F., Gyorgy E.M., Jonson D.W. Levitation of a magnet over a flat types II superconductor // J.Appl.Phys. 1988. V.63. No 2. P.447-456.

229. Hertz H. Uber die induction in rotierenden kugeln. (Inaugural Dissertation.

230. Berlin, 15. Marz 1880) // Schriften vermischen Inhalts. Leipzig, 1895. S.37-134.

231. Holmes F.T. Axial magnetic suspension // Rev. scient. Instr. 1937. N.8. P. 444-447.

232. Iwamoto M., Yamada Т., Ohno E. Magnetic damping force in electrodynami-cally suspension trains // IEEE Transactions of Magnetics. 1974. V.10. No.3. P. 458-461.

233. Jayawant B.V. Electromagnetic suspension and levitation techniques //Proc. R.Soc.Lond. 1988. Vol.416, P.245-320.

234. Kasarda M.E.F., Allaire P.E., Hampriz R.R., Barret L.E. A magnetic damper for first-mode vibration reduction in multi mass flexible rotors // Journal of Engineering for Gas Turbines and Power. 1990. N. 4. P.463.

235. Katano R., Simizu S. Production of centrifugal fields grater than 100 million times gravity // RSI. V. 50. No. 7. 1979. P. 805-810.

236. Kemper H. Overhead suspension railway with wheel-less vehicles employing magnetic suspension from iron rails.// Germ. Pat. nos. 643316, 64402. 1937.

237. Kolm H.H. The Magneplane: Making interstate highways // Superconductivity and its application / Ed. Kwok H.S., Shaw D.F. N.Y., Amsterdam, London: Elsevier. 1988. P. 297-306.

238. Li B.Q. The fluid flow aspects of electromagnetic levitation processes // Int. J. Engng Sci. 1994. V.32. No 1, P. 47-67.

239. Lohofer G. Magnetization and impedance of an inductively coupled metal sphere// Int. J. Engng Sci. 1994. V.32. No 1. P. 107-117.

240. Macfarlane J.C., Muller K.-H., Driver R. Synchronous rotation of a floating magnet and flux penetration in Y-Ba-Cu-0 superconductor // IEEE Trans, on magnetics.1989. V.25. No.2. P.2515-2517.

241. Marshall D.B., De Wames R.E., Morgan P.E.D., Ratto J.J. Flux penetration in high- Tc superconductors: implications for magnetic suspension and shielding // Appl.Phys.A. 1989. V.48. P.87-91.

242. Martynenko Yu.G., Kuvykin V.I. Advance of magnetic levitation systems in Russia // Journal of International Technology Transfer. 1993. No 1. P.3-7.

243. Matsuura A. Tests of guideway for transport systems with magnetic suspension //Japanese Railway Engineering. 1979. V.19. N. 1. P.8-9.

244. Moon F.C., Yanoviak M.M., Ware R. Hysteretic levitation forces in superconducting ceramics // Appl.Phys.Lett. 1988. V.52. No.18. P.1534 -1536.

245. Nagashima Т., Watanaba K. and others. Some experiments on flux pinning in

246. Pb-dopped Bi-Sr-Ca-Cu-0 system 11 Jap. J. Appl. Phys. 1989. V.28. Part 2. P.183-186.

247. Nishi S., Iwaliama T. Tests of carriage for transport systems with magnetic suspension // Japanese Railway Engineering. 1979. V.19. N. 1. P.14-18.

248. Overview of Maglev. / Railway Teclmical Research Institute. Internet: http://www.rtri.or.ip. 2004. Юр.

249. Peters P.N., Sisk R.C., Urdan E.W., Hing C.V., Wu M.K. Observation of enhanced properties in samples of silver oxide doped YBa2 Сиз Ox // Appl.Phys.Lett. 1988. V.52. No.24.

250. Powell J.R., Danby G.R. High speed transport by magnetically suspended trains // ASME, 1966, Publ no. 66WA/RR5.

251. Shapira Y., Huang C.Y., Huang C.Y., McNiff E.J, Petrs P.N., Shwarts B.B., Wu M.K. Magnetization and magnetic suspension of YBa2 Cu3Ox -AgO// J.of MMM.1988. V.78. P.19-30.

252. Simon I, Emsslie G, Strong P.F, McConnel R.K. Sensitive tiltmeter utilizing a diamagnetic suspension // Rev. Sci. Instr. V.39. No. 11. 1968. pp. 16661671.

253. The Grumman maglev design. A summary of the design developed for the U.S. Department of Transport by the Grumman team // Grumman Corporation. New York: Bethpage, 1993. 11 p.

254. Weeks D.E. Levitation properties of the Y-Ba- Си- О and Tl-Ba-Cu-0 superconducting systems // Appl.Phys .Lett. 1988. V.55. No 26, P.2784-2786.

255. Williams R, Matey J.R. Equilibrium of magnet floating above superconducting disk //Appl. Phys. Lett. 1988. V.52. No 9. P.751-753.

256. Williams R, Matey J.R, Arie Y, Rathee J. The effect of mass and pole strength on the levitation height of a magnet over a superconductor // J.Appl. Phys. 1989. V.65. No 9. P.3583-3585.

257. Woldren R.D. Diamagnetic Ievitation using Pyroletic graphite // RSI. 1966. V. 37. No 1. P. 29-35.

258. Wolfshtein D., Seidel Т.Е., Johnson D.W., Rhodes W.W. A superconduction magnetic Ievitation device for the transport of light payloads// J.of Superconductivity. 1989. V.2. No.2. p.211-218.

259. Yang Z.J., Jolmsen Т.Н., Bratsberg H., Helgesen G., Skjeltorp A.T. Vibrations of a magnet levitated over a flat superconductor//Phys C. 1989. V.160. p.461-465.

260. Zabar Z., Naot Y., Birenbaum L., Levi E., Joshi P.N. Design and power conditioning for the coil-gun // IEEE TRANSACTIONS ON MAGNETICS. 1989. V. 25. N. 1. P. 627-631.