Динамика и устойчивость системы электрически заряженных тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Федоров Александр Евгеньевич

ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИ ЗАРЯЖЕННЫХ ТЕЛ

Специальность 01 02 06-динамика и прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации па соискание ученой с1спсни кандидата физико-матсмашчсских наук

□03178020

Нижний Новгород-2007

003178020

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете им Н И Лобачевского

Научные руководители. доктор физико-математических наук,

профессор Г Г Денисов

доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник В В Новиков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Н В Дерендяез доктор физико-математических наук, профессор Ю М Урман

Ведущая организация- Нижегородский филиал Института

машиноведения им Л Л Благонравова РАН

Защита состоится "27" декабря 2007 г в 1300 час на заседании диссертационного совета Д 212 166 09 при Нижегородском государственном университете им НИ Лобачевского по адресу 603950, Нижний Новгород, ГСП-1000, пр-т Гагарина, 23, кори 6

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им II И Лобачевского

Автореферат разослан "27" ноября 2007 I

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук,

доцент

Б В Трухин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы.

Современные высокие требования к характеристикам оборудования, таким как точность измерений, продолжительность и стабильность работы, энергопотребление, малое трение (или его отсутствие) можно удовлетворить внедрением в конструкцию элементов, использующих безопорпое вывешивание тел (левитацию) Использование левитации позволяет конструировать высокоскоростные поезда, сверхточные гироскопы, ультрацептрифуги для разделения веществ, изолированные от внешних воздействии антенны для приема гравитационных волн и так далее

Левитация заряженного тела в электростатическом поле или ферромагнитного тела в магнитном поле обычно обеспечивается за счет сложных систем управления на основе обратной связи Другая, обнаруженная относительно недавно возможность обеспечения пассивной стабилизации изначально нестабильного подвеса связана с дополнительным введением в систему сил определенной структуры (гироскопических, диссипативных, циркуляционных) Исследование такого подхода к стабилизации тел, вывешенных в силовых полях, представляется весьма актуальным

Цели работы.

• Обоснование способа осуществления левитации тела с электрическим зарядом в электростатическом поле за счет выбора структуры сил

• Развитие модели, описывающей динамику тела с электрическим зарядом в электростатическом поле Аналитическое исследование влияния гироскопических, диссипативных и циркуляционных сил на устойчивость движения

• Численное исследование нелинейных моделей с целыо выяснения зависимости области притяжения равновесного состояния от параметров системы и от конфигурации электростатического поля

• Исследование динамики двух свободных гравитирующих тел, несущих электрические заряды

Методика исследований основана на применении аналитических и численных методов для исследований условий устойчивости рассматриваемых систем Исследования проводись с использованием метода Б-разбиений, прямым методом Ляпунова, с помощью критериев Сильвестра и Рауса-Гурвица Также применялось численное интегрирование задач Коши методами Эйлера и Рунге-Кугга четвертого порядка точности Для численного исследования многомерных областей устойчивости в пространстве параметров системы применялся метод дихотомии и другие итерационные алгоритмы

Научная новизна работы.

Впервые показана возможность стабилизации тела несущего точечный заряд в электростатическом поле только за счет механических сил Гироскопическая стабилизация ранее исследовалась только на системах с постоянными магнитами Была получена ограниченная область в пространстве параметров линеаризованной системы, соответствующая консервативной устойчивости

Известно, что диссипация разрушает консервативную устойчивость В работе впервые показано, что совместное влияние на вывешиваемое в силовом поле тело диссипативных и циркуляционных сил упрочняет устойчивость до асимптотической

Численно исследованы способы максимизации области притяжения равновесного состояния системы Нигде ранее, насколько автору известно, такая задача для рассматриваемых систем (в том числе и для построенных на постоянных магнитах) не решалась

Показана возможность стабилизации двух свободных гравитирующих тел, несущих электрические заряды только за счет собственного вращения Указано, что полученные результаты обобщают теорему Кельвина о достаточных

условиях гироскопической стабилизации систем с четной степенью неустойчивости на случай вырожденной матрицы гироскопических сил

Достоверность подтверждается сравнением результатов, полученных разными методами, сравнением полученных условий устойчивости с результатами численного эксперимента

Динамика реализованных на практике с использованием постоянных магнитов систем, описываемых в первом приближении предлагаемой моделью, также подтверждает достоверность полученных результатов

Практическая ценность

Выделено небольшое число параметров системы, изменяя которые, можно добиться устойчивости тела с электрическим зарядом в электростатическом поле либо постоянного магнита в магнитном поле (в линейном приближении динамика обоих систем описывается одними и теми же уравнениями) Это позволяет выработать рекомендации инженерам по конструированию прибора

В связи с тем, что в системах с трением консервативная устойчивость недостижима, необходимо, чтобы при работе устройства устойчивость была асимптотической Такая возможность появляется, если вместе с силами диссипации на вывешенное тело действуют циркуляционные силы, которые можно реализовать, например, поместив вывешиваемое тело во вращающийся цилиндрический кожух

Разработана методика расчета области притяжения равновесного состояния системы, позволяющая рассчитать эту область для любого устройства (любого набора параметров) Указаны способы повышения стабильности работы устройства, в частности, за счет изменения конфигурации электростатического поля

Защищаемые положения работы.

• Обоснование принципа достижения устойчивости тела с зарядом в электростатическом поле

• Развитие модели, описывающей динамику тела, несущего электрический заряд, в электростатическом поле, а также результаты аналитического и численного исследований условий устойчивости

• Результаты численного исследования способов максимизации области притяжения равновесного состояния системы

• Результаты численного исследования динамики двух свободных гравитирующих тел, несущих электрические заряды

Апробация работы.

Основные результаты работы представлялись па следующих конференциях и семинарах

Пятой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения 2006" (Казань, 2006), Четвертой всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, 2007), семинаре по Теоретической Физике в ИПФРАН (Нижний Новгород, 2007), 11 Нижегородской сессии молодых ученых "Математические науки" ("Красный плес", 2006), семинаре Климова, Журавлева в Институте проблем механики РАН (Москва, 2005), Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 20-летию Нижегородского филиала Института машиноведения им А А Благонравова РАН "Фундаментальные проблемы машиноведения Новые технологии и материалы" (Нижний Новгород, 2006), Второй всероссийской научной конференции "Волновая динамика машин и конструкций" (Нижний Новгород, 2007), итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства" "Математическое моделирование и оптимизация" (Нижний Новгород, 2007)

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в [1-6] В работах, выполненных в соавторстве, научным руководителям принадлежит постановка задачи, выбор методов исследований, обсуждение результатов

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех 1лав, заключения и списка литературы Диссертация изложена на 100 страницах, содержит 73 рисунка Список литературы состоит из 77 наименований

Во введении представлена историческая справка по проблеме левитации тел Обоснована актуальность и практическая значимость работы Дан обзор наиболее интересных и близких к выбранной тематике работ отечественных и зарубежных авторов

Под термином "левитация" понимают сосюяние, при котором твердое тело "парит" в силовом поле подвеса без какого-либо механического контакта с окружающими телами В первой половине XX века был впервые реализован магнитный подвес ферромагнитных тел В 1945 г В К Аркадьев осуществил устойчивую левитацию свободного тела с диамагнетиком

Одно из главных преимуществ использования бесконтактного подвеса в научном и промышленном приборостроении - это малое трение (или даже его отсутствие) в узлах прибора, что сокращает энергетические затраты на преодоление сопротивления, понижает уровень шума, повышает чувствительность датчиков в измерительных приборах, делает возможным достижение высоких скоростей движения вывешенных в силовом поле тел Это позволяет конструировать высокоскоростные поезда, сверхточные гироскопы, ультрацентрифуги для получения сверхчистых веществ, антенны для приема гравитационных волн, термоядерные реакторы Список можно продолжить Не все области применения левитации изучены, но там, где безопорное парение

уже используется, сделан значительный шаг вперед, дан новый импульс развитию целых отраслей промышленности

В настоящее время известны следующие категории неконтактных подвесов электростатические, электромагнитные, криогенные, а также комбинированные, Вопросы, обсуждаемые в данной работе, относятся не только к электростатическим подвесам, но и позволяют лучше понять динамику подвесов других типов

Одно из главных препятствий, возникающих перед разработчиками электростатических или электромагнитных подвесов, сформулировано в теореме Ирншоу, согласно которой любая статическая конфигурация тел, взаимодействующих друг с другом с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния, неустойчива

В работах Ю Г Мартыненко показано, что систему зарядов можно стабилизировать введением магнитного поля с достаточно большим значением магнитной индукции Система в этом случае становится эквивалентной волчку Лагранжа, который стабилизируется благодаря присутствию в системе гироскопических сил Стабилизация достигается при достаточно большой скорости собственного вращения Область устойчивости по параметру гироскопических сил оказывается ограниченной снизу Этот результат объясняется теоремой Кельвина о достаточных условиях гироскопической стабилизации

В данной работе исследуется возможность стабилизации системы зарядов только механическими силами, без введения магнитного поля

Исследование левитации постоянного магнита в поле другого магнита проведено в работах И В Веселитского, В С Воронкова, Г Г Денисова, Р В Линькова и др В положении равновесия центры масс обоих магнитов располагаются на одной вертикали так, что вес верхнего подвижного магнита компенсируется силой отталкивания со стороны нижнего При этом положение равновесия, как и в случае с зарядами, не будет устойчивым Линеаризованные уравнения возмущенного движения подвижного магнита представляют собой

систему шести уравнений, два из которых отделяются. Показано, что область устойчивости ограничена по всем параметрам системы.

В первой главе дается постановка задачи о движении тела, несущего электрический заряд, в электростатическом поле неподвижного одноименного точечного заряда, и исследуются условия устойчивости такой системы.

В вывешиваемом теле положение заряда не совпадает с центром масс. Такой случай моделируется твердым осесимметричным телом и жестко связанным с ним точечным зарядом, отстоящим от центра масс на расстояние а (рис. 1). Тело вывешивается в поле другого неподвижного точечного заряда того же знака и приводится во вращение вокруг оси симметрии с угловой скоростью £1.

Равновесному состоянию системы, в котором сила тяжести компенсируется силой Кулона, отвечает вращение с постоянной угловой скоростью il с центром масс (точка С на рис. 1) в точке Х„ = 0, У„ = 0, Z„ = const и углами наклона оси вывешиваемого тела а(| =0, Д, = 0. В безразмерных переменных связанные линеаризованные уравнения движения будут следующими:

х = x-Sa,

Рис. 1

(1)

у = у-5р, а = -3 х-11(1 + %а, Р = -6у + На + х/}.

Здесь 5 - расстояние от заряда до центра масс, х - коэффициент возвращающего момента, Я - параметр гироскопических сил, прямо пропорциональный угловой скорости собственного вращения.

Гироскопические силы, обусловленные собственным вращением тела, присутствуют лишь в двух уравнениях движения Матрица гироскопических сил вырождена, и теорема Кельвина о достаточных условиях гироскопической стабилизации консервативных систем с четной степенью неустойчивости в этом случае неприменима

Уравнение частот будет J-J^p следующим

р'-ЯрЧо+^У-Яр-гЧ^О (2) Зависимость Н(р), полученная из (2), запишется следующим образом Н„,

H_P*+(l + z)p2+z-d2 Н""

р(р2+ О

График зависимости Н(р) при условии 8> О, х>5~> Н>0 (это соответствует положению центра масс волчка над зарядом) имеет вид, показанный на рис 2 При значениях //

из интервала [//„„„,//„,„] все корни уравнения (2) будут действительными, то есть система будет консервативно устойчивой Здесь, в отличие от волчка Лагранжа, область, отвечающая

стабилизации системы,

оказывается ограниченной и снизу, и сверху Проведенное рассмотрение обобщает теорему Кельвина о достаточных условиях гироскопической стабилизации на случай вырожденной матрицы

гироскопических сил

На рис 3 в качестве примера

Рис 2

Рис 3

Рис. 4

приведена область устойчивости в пространстве параметров 5, х ПРИ фиксированном Н= 6, для случая ^ > ¿г. При значениях параметров из этой области, уравнение частот (2) имеет четыре действительных корня. Н(р\

В случае б<0, х<<52, //>0 зависимость Н(р) может иметь вид, показанный на рис. 4. При значениях //,„.„ Я из интервала [нк-т ,Я„тах ] Нт. характеристическое уравнение имеет четыре действительных корня, один из которых отрицателен. Положение центра масс в состоянии равновесия

будет ниже заряда. Технически такое устройство можно сконструировать с помощью полого конуса, внутри которого будет находиться неподвижный заряд, а в вершине - подвижный.

На плоскости 5% область, внутри которой уравнение частот (2) имеет четыре корня, будет симметрична относительно прямой <5 = 0. Разница в том, что для рассматриваемого случая область устойчивости будет ниже параболы х = 8~ ■

Фиксированному /7=6

соответствует область, показанная на рис. 5.

Другим подходом к исследованию области

устойчивости является прямой Рис. 5

метода Ляпунова. В качестве

функции Ляпунова рассмотрена линейная связка интегралов

V=blVt+b1V2+biV3+Vi

Интегралы системы найдены методом неопределенных коэффициентов

£ = У, =(-Jcf +х; - хf + х\ -хх] + х] -хх] + х\)12 + 5+ 5 v,x7, Kz =V2= хгх3 - xtxa + х(,хп --V5T, + II{xl + v, )/2,

Vj =x,xs -x2x7 + v4*s -xl + \7: -д,:) + -Ц^(л5т, --х6л7),

2.о о

1-у , 11

К4 = x,jr6 +г4х„ +——(дг; +x;)-H(x4xf -л,л7 +-v5,\8-~xltxy) + ¿0 о о

+ (x^xl)5 П + +5г + - Х){х]+х])~ х(х,хъ+х^) ¿0

Здесь х{=х, х2=х, х,=у, xt=y, xs=a, х6=а, x7=ß, хх = ß Первые два интеграла отвечают закону сохранения энергии и проекции момента количества движения тела на ось z

Критерий Сильвестра дает условия положительной определенности функции Ляпунова V

¿,>0, b^S-b^-b; >0, <7, > 0, 0,

<7;, (b.ci.,-Ь,а„)2

Ч\ = «з, —--- 1—•

Ь, 6, (л, ,6, -6;)

1 (6,6,+Ь,)2

ь\ b^a^-b;)

1 6,я, -6,«,7[ 9, = ~~Та-7 + , ',2 ^ +"Г

О, ЯиО| -Ьг \ О,

Согласно первым двум неравенствам, необходимо, чтобы значения коэффициентов ¿>| и Ь2 лежали в круге радиуса ^ с центром в точке 6, 6,= 0 Для фиксированных ¿1 и й2 из круга ищутся такие значения при которых функция К является положительно определенной, то есть выполняются оставшиеся два неравенства (<7, >0, q{qг-q]>о) Из всех полученных таким образом значений ¿>3 выбирается то, которому соответствует наибольший интервал по параметру гироскопических сил //

На рис 6 показана зависимость интервала устойчивости по параметру гироскопических сил Я от коэффициента й3 при фиксированных 5 и х (5=3, Х=Ю) Видно, что значениям взятым на интервале [0 6, 2 5], соответствует максимальный интервал по Я Это означает, что при построении функции Ляпунова н

значение

65

коэффициента ¿з следует брать «■> из этого

63

интервала

Объединен 62 ие всех точек в

61

пространстве параметров, для 6 которых может

59

0 08 1 6 24 32 4 и.

быть найдена

Рис 6

положительно

определенная функция Ляпунова, дает область консервативной устойчивости системы в пространстве параметров Эта область совпадает с полученной выше

На практике в системах с диссипацией консервативная устойчивость недостижима Необходимо исследовать возможность достижения асимптотической устойчивости

С учетом в исходных уравнениях (1) дополнительных малых неконсервативных сил система запишется в следующем виде

х-х + 3а + 1ц \ — А= О, у - у + 5 р + /¡¡у + к, \ = О, а± Нр - %а + &\ + к,а - кгр = О, Р - На - хР + ^ + М + = 0 Здесь добавлены силы сопротивления с коэффициентами Ь\, /ъ и циркуляционные силы с коэффициентами к\, к2 Циркуляционные силы

13

называют также силами радиальной коррекции, следящими или псевдогироскопическими Им соответствует кососимметричная матрица Характеристическое уравнение имеет вид ЯР) = (Р2 -1)(/>2 -tHp-z)-S2+(p2-1 )(hlP+i>c1) + {Р--¡Hp-X)(!h/> + «-,) = (), (3) В нем в силу малости Л,, , опущены квадратичные по этим параметрам члены Исследование устойчивости проведено методом D-разбиений Согласно процедуре метода, сделана замена p=ia> Действительная и мнимая части Дкл) приравнены нулю

Rе(/) = ((У- + 1)(йГ - соН + x)-Sz= О,

Im(/) = («- - col I + xfli/o + *-,) + («■ + l](/i,iu+ *-,) = 0

Для простоты положено Л, = Л, = Л В качестве параметров, на плоскости которых

производится D-разбиение, выбраны и Все они содержатся в

последнем уравнении Для нахождения D-границы нужно найти корни первого уравнения и подставить найденные значения во второе Каждому <у= (и,(к = 1,2,3,4), обращающему в нуль действительную часть у[;а>), отвечает особая прямая на

плоскости % %

Область, все йзЧ<. о2

границы которой I D, \

заштрихованы с ее ^db \ "г

стороны, является D 2 J ^я^гЭи

претендентом на Г /

область устойчивости F п, СХ< ' о.

Необходимо найти «г со,

действительные части со, ; ^ СО г

всех корней * СОз

характеристического ''

полинома для хотя бы одной точки из этой области В данном случае этого делать не надо, так как границы области суть прямые, отвечающие всем четырем

и

чисто мнимым корням, и при смещении внутрь области от этих границ все корни обретают отрицательные действительные части Поэтому областью устойчивости является четырехугольник с вершинами, образованными пересечением особых прямых (рис 7)

Область устойчивости была также исследована численно с помощью критерия Рауса-Гурвица Для этого характеристическое уравнение было записано в виде

аар* +ахр1 + а2р* + а^р5 +atp4 + asp^ + atp2 +a-,p + at = 0, (4)

где = 1,

в,= 2(Л2 + АД

а2 = 2(Л1Л, -х-\)+(/i, +hlf+H2,

аг= 2{-хК -А:)+2(А,Л2 +>h) + 2(ЯЛ,-*,)//,

а4 = г(х-5-)+2(-Х\ ~h2\h2 + А,) + (h,h2 - / -1): + 2(- II -kj,,)// + (//Л, -+ Л", a5 = 2(X-Ö2% +hl) + 2(-xhl-IhX'h'h + -i,)+2/ai,

a,=2(x-S%h2-x-\) + (xh + Л2)" + 2k2(//Л, + + + 2A," +ЛЛ," +M)\ a7 = 2^-<52)(- Д - Л,) + 2*,(-II -k2Ih)+ 2/i,A* + 2*,//(-U, -^) a8 = (¿-i2)' + +к*+(к2к,+02)2 -S4

Действительные части корней этого уравнения будут отрицательны, если главные миноры матрицы, составленной из коэффициентов многочлена, положительны

Для примера взяты следующие значения параметров Н=6 25, Ю, 5 = 3 Положено hi=h2=h Исследована область устойчивости на плоскости к\ и кг для различных значений h На рисунках 8,а и б показаны области, полученные для случаев h=0 1 и h=0 4 соответственно

Рис. 8

Область асимптотической устойчивости на рис. 8,а очень близка к области, полученной с помощью Б-разбиения (рис. 7). Однако при увеличении /г область становится отличной от полученной выше, что видно на рис. 8,6. Различие связано с тем, что при исследовании методом В-разбиений неконсервативные силы предполагались малыми и квадратичные члены по Кг <к1.г в уравнении (3) не учитывались.

Таким образом, в результате исследования динамики тела, несущего точечный электрических заряд, в поле одноименного точечного заряда показано, что в системе с вырожденной матрицей гироскопических сил устойчивость достижима. Из характеристического уравнения и прямым методом Ляпунова показано, что консервативной устойчивости соответствует ограниченная область в пространстве параметров системы.

Изучено влияние диссипативных и циркуляционных сил на динамику вывешиваемого тела. Аналитически с помощью метода Б-разбиений и численно с помощью критерия Рауса-Гурвица показано, что стабилизация системы возможна, если в системе наряду с силами диссипации присутствуют циркуляционные силы. Устойчивость в этом случае становится асимптотической. При этом матрица циркуляционных сил (как и матрица гироскопических сил) может быть вырожденной.

Во второй главе исследуется влияние начальных условий на устойчивость движения Для этого рассмотрены нелинейные уравнения возмущенного движения

\ (2 + 4-<Ус08ЙС05/?)-|4— 8 1 = 2,

1 5

-у ^ дсоэ/^^ + а - хсоьа j = а соэ2 /? + (/- 2)а/?созр&тр+ 1а>Рсо%р,

+ +хзтаэт р^ = р + {\ -1)а2 соьр$т р - 1соа соэ р,

а) + а вт р + а/? соэ р = 0

Здесь I - отношение моментов

Z~—о

инерции со,:

Система интегрировалась 00-8

численно методом Рунге-Кутта о ом

четвертого порядка точности Шаг а

численного дифференцирования -о ом

выбирался так, чтобы изменения «оса

полной энергии системы -«о«

(неизбежные при численном счете) 00,6

О 0 001 0 002 0 003 0 004 С 005 ООС6 0 007 оооа

Рис 9

были малыми и их амплитуда не росла

Для иллюстрации начальное положение системы было задано тремя отличными от нуля координатами „т0, у о, 20 при \„ = у„ =г„ = а„ = а„ = р„ = Д, =0 Область притяжения устойчивого состояния системы обладает осевой симметрией Для получения этой области в пространстве х, у, г достаточно

провести расчет для координат Я, г, где Л = + у2

Здесь rf = ^(x-ósinacosp-reos/)2 + (y-¿sin/?-/'sin y) 4-j^z +- <5 eos a eos p

расстояние от прикрепленного к телу точечного заряда до элемента кольца, г -радиус кольца, 5 - расстояние от заряда до центра масс, х - коэффициент возвращающего момента, I - z-z„ отношение моментов инерции. 001 Масштабы времени и длины

eféJ

соответственно. ,002

Линеаризованные уравнения

-0.03

движения тела с зарядом в поле

-0.04

заряженного кольца совпадают с уравнениями движения тела в поле точечного заряда (задача была рассмотрена в первой главе). Для исследования влияния измененной конфигурации электростатического поля на динамику тела с зарядом рассматривались нелинейные уравнения движения.

Зависимость области притяжения устойчивого состояния от параметра R показана на рис 13. Видно, что область, соответствующая точечному заряду (выделена серым цветом), не является максимальной. На графике она перекрывается областью со значением Л=0.08, область, отвечающая Л=0.12, также больше.

Итак, в результате проведенного исследования разработана методика определения области притяжения равновесного состояния системы, позволяющая построить ее при любых значениях параметров, в любых координатах. Разработанный алгоритм позволяет исследовать зависимость области притяжения от параметров системы и выработать рекомендации по

Рис. 13

выбору параметров устройства так, чтобы область притяжения равновесного состояния системы была максимальна.

Показано, что область притяжения можно максимизировать за счет изменения конфигурации электростатического поля, в котором находится тело с зарядом. В частности, результаты проведенного исследования позволяют утверждать, что движение тела с зарядом в поле равномерно заряженного кольца более устойчиво, чем движение в поле точечного заряда. Задача оптимизации области притяжения равновесного состояния системы может быть решена для любого набора параметров.

В третьей главе исследовалась возможность стабилизации системы, описываемой в линейном приближении большим числом уравнений, чем в рассмотренных выше задачах. При этом матрица гироскопических сил является вырожденной.

Рассматривалась динамика двух гравитирующих тел, несущих точечные электрические одноименные заряды (рис. 14). Центры масс обоих тел (точки С,) не совпадают с положениями зарядов (точки Тела приведены во вращение вокруг оси симметрии с начальными угловыми скоростями и 0-2-

Начало координат связано с центром инерции системы (точка О). В этом случае координаты центров масс тел оказываются связанными. Устойчивое по г равновесное состояние системы показано на рис. 15. Ему соответствуют следующие значения переменных х = у = а, = Д = = 0, а2=7г, г, =г|(,, 22 = г211, ф, =П,, ф2 =П,.

Рис. 14

После перехода к безразмерным переменным, связанные уравнения возмущенного движения запишутся следующим образом

до заряда для первого тела, 5,=^- - для второго тела,

" /. Рис 15

С

Н, =— ¡.П,- параметр гироскопических сил, действующих на первое тело,

С 2

Я, =— ¿.О,- на второе тело, х = — - расстояние между центрами масс, Аг " I.

=——. - масштаб времени, Г: = +—| - масштаб длины

' ^т, т2)

Если одно из тел принять за материальную точку, то задача сводится к рассмотренной в главе 1 задаче движения одного тела с зарядом над неподвижным точечным зарядом

При движении тел сила отталкивания двух зарядов должна компенсировать силу тяготения Отсюда вытекает необходимое условие устойчивости системы Х-5х-Зг >0

Без вращения система неустойчива по каждой из степеней свободы {X, У, аь Рг, «ь Рг) Гироскопические силы присутствуют лишь в уравнениях угловых движений, и теорема Кельвина о достаточных условиях гироскопической стабилизации консервативных систем с четной степенью неустойчивости в этом

22

случае неприменима Матрица гироскопических сил в этом случае будет шестого порядка, и ее определитель равен нулю

Уравнение частот запишется следующим образом р{-рь + Р^Н.+Н^ р\-НМ,-\-5,

+Р2(н1 + н2+н2з1(х-з1)+н]з1(*-^))+

+ (х - 82)- 5г (х - 8,) - я. Я, - е, Л (х - 3, ь - л)■+ ^ + т^Т" VI+$;))+ (5)

О, +о,

ННАЬ-в^+н&Ь-зд-

31 + 5_

Для того чтобы система ^ была консервативно устойчивой, 19 необходимо, чтобы все корни 17 уравнения (5) были

действительными Отыскание области устойчивости в пространстве параметров

системы проводилось численно На рис 16 для примера в случае Я|=Я2=Я и 5|=52=5 показаны

-32Н,

ТХг^г)) = 0

О. +Й-1

Н'(< 25

1 1 2 Рис 16

1 4

сечения области устойчивости плоскостями Н=сс»т Видно, что при определенных 5 и х существует интервал по параметру гироскопических сил Я, в котором все корни уравнения (5) действительны, а, значит, система консервативно устойчива

Динамика связки гравитирующих тел, несущих заряды, описывается большим числом уравнений, чем рассмотренная в первой главе система Общим в обеих задачах является то, что матрица гироскопических сил вырождена Показано, что стабилизация системы в этих случаях возможна Устойчивому движению соответствуют ограниченные области в пространстве параметров Полученные результаты являются обобщением теоремы Кельвина о достаточных условиях гироскопической стабилизации консервативных систем с

четной степенью неустойчивости на случай вырожденной матрицы гироскопических сил

Результаты проведенного в третьей главе исследования могут представлять интерес при изучении динамики объектов космического пространства спутниковых систем, исследовательских зондов, астероидов и так далее

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы

• Обоснован принцип достижения устойчивости тела с зарядом в электростатическом поле

• Найдены условия стабилизации системы Показано, что консервативной устойчивости соответствует ограниченная область в пространстве параметров системы Исследовано влияние диссипативных и циркуляционных сил на динамику системы Показано, что введение диссипации и циркуляционных сил в соответствующих соотношениях упрочняет устойчивость до асимптотической

• Проведено численное исследование области притяжения устойчивого состояния системы Исследованы способы максимизации области притяжения, в частности, изучено влияние конфигурации электростатического поля на движение системы

• Показана возможность существования устойчивой связки двух неконтактирующих тел, взаимодействующих посредством гравитационных и электростатических сил Полученные результаты обобщают теорему Кельвина о достаточных условиях гироскопической стабилизации консервативных систем с четной степенью неустойчивости на случай вырожденной матрицы гироскопических сил

• Разработано программное обеспечение для численного анализа рассмотренных моделей

Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в следующих работах

Публикации в рецензируемых изданиях и списка ВАК

1 Денисов Г Г, Новиков В В , Федоров А Е Гироскопическая стабилизация несущего электрический заряд тела, вывешенного в поле другого заряда // Вестник Нижегородского университета 2007 №1 С 144-150

2 Денисов Г Г , Новиков В В , Федоров А Е О левитации тела, несущего электрический заряд, в электростатическом поле // МТТ 2007 № б С 413

Другие публикации по теме диссертации

3 Федоров А Е Влияние структуры сил на устойчивость системы // Труды Математического центра им Н И Лобачевского / Казань 2006 Т 34 С 210-211

4 Федоров А Е О стабилизации системы заряженных тел // Труды четвертой всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике" Тезисы докладов / М 2007 С 326-327

5 Федоров А Е О левитации тела с зарядом в электрическом поле // Фундаментальные проблемы машиноведения Новые технологии и материалы Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 20-летию Нижегородского филиала Института машиноведения им А А Благонравова РАН Нижний Новгород 2006 С 112

6 Федоров А Е К вопросу о динамике системы гравитирующих тел, несущих заряды // Волновая динамика машин и конструкций Тезисы докладов Второй Всероссийской научной конференции / Нижний Новгород 2007 С 98

Федоров Александр Евгеньевич

ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИ ЗАРЯЖЕННЫХ ТЕЛ

01 02 06 - динамика и прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 22 11 2007 г Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Печать офсетная Уел п л 1 Заказ № 1183 Тираж 100 экз

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Нижегородского госуниверситета им Н И Лобачевского 603000, г Н Новгород, ул Б Покровская, 37

Введение.

Глава 1. О динамике тела с точечным электрическим зарядом в поле одноименного точечного неподвижного заряда.

§1.1 Постановка задачи. Линейная модель.

§ 1.2 О влиянии диссипативных и циркуляционных сил на устойчивость системы.

Глава 2. О способах максимизации области притяжения равновесного состояния

§ 2.1 Область притяжения равновесного состояния

§ 2.2 О влиянии конфигурации электростатического поля на область притяжения равновесного состояния системы.

Глава 3. О динамике двух свободных гравитирующих тел, несущих электрические заряды.

Состояние, при котором твердое тело "парит" в силовом поле подвеса без какого-либо механического контакта с окружающими телами, называют левитацией [33]. В первой половине XX века был впервые реализован магнитный подвес ферритовых тел, и задача о левитации в силовых полях получила инженерное развитие. В 1911 г. Г. Камерлинг-Оннес открыл сверхпроводимость ртути, охладив ее жидким гелием до температуры 4.2 К. Как выяснилось позже, полная потеря электрического сопротивления при переходе в сверхпроводящее состояние не единственное необычное свойство такого вещества. В 1933 году В. Мейснер и Р. Оксенфельд экспериментально установили, что сверхпроводник полностью вытесняет магнитное поле из своего объема (если индукция поля не превышает критического значения). "Абсолютный" диамагнетизм сверхпроводящего состояния означал, в частности, возможность свободного подвешивания магнита над чашей из сверхпроводника. В 1939 г. немецкий ученый В. Браунбек обнаружил теоретически и экспериментально реализовал устойчивую левитацию тела с диамагнетиком [38]. В 1945 г. такой опыт осуществил В.К. Аркадьев. Он заставил безопорно парить небольшой постоянный магнит над сверхпроводящим свинцовым диском.

В настоящее время известны следующие категории неконтактных подвесов: электростатические, магнитные, криогенные и комбинированные [33]. Вопросы, обсуждаемые в данной работе, относятся не только к электростатическим подвесам, но и позволяют лучше понять динамику подвесов других типов.

Статическое вывешивание в магнитном поле тел, обладающих диамагнитными свойствами (магнитная проницаемость меньше единицы) возможно благодаря тому, при определенной конфигурации магнитного поля потенциальная энергия системы в состоянии равновесия имеет минимум ("потенциальная яма") [25, 41, 42]. Иная ситуация наблюдается при вывешивании парамагнетиков в магнитном поле или заряженных тел в электростатическом. Статическое вывешивание в этих случаях невозможно.

Одно из главных препятствий возникающих перед разработчиками электростатических подвесов заключается в природе электростатического поля. В 1839 году английский физик и математик Ирншоу (S. Earnshow) выступил с докладом "О природе молекулярных сил, определяющих физическое строение светоносного эфира" [58], в котором он впервые высказал утверждение, впоследствии названное теоремой Ирншоу. Одна из ее современных формулировок (например [29, 45, 51]) звучит следующим образом:

Совокупность неподвижных частиц, взаимодействующих между собой с силой обратно пропорциональной квадрату расстояния (притягивающихся или отталкивающихся), не может образовывать устойчивую равновесную систему.

Доказательство теоремы основано на том, что силы, действующие на неподвижную частицу со стороны других неподвижных частиц, потенциальны, а соответствующий им скалярный потенциал ср не может обеспечивать равновесное состояние, отвечающее минимуму потенциальной энергии частицы. Потенциал ф электростатического или гравитационного поля в области вне источнип дгср дгср дгср . ков удовлетворяет уравнению Лапласа —^ +—\ + —f = 0, и вторые производдх ду dz ные по всем трем декартовым координатам не могут иметь одинаковые знаки, так, что ф не может иметь экстремумов в этой области. Особым случаем является равенство нулю всех трех слагаемых в уравнении Лапласа. В этом случае устойчивость определяется производными более высокого порядка.

Для преодоления запрета Ирншоу существует две возможности: использовать систему автоматического регулирования или изменить структуру сил. Первый способ подразумевает наличие в системе обратной связи. Датчик контролирует положение подвешиваемого тела и подает команды на управляющее 4 устройство, которое изменяет электростатическое или электромагнитное поле таким образом, чтобы тело вернулось в положение равновесия [12, 15, 28, 40, 46, 53, 58, 64]. На этом принципе основана конструкция большинства приборов, использующих эффект левитации.

Второй подход заключается в выборе структуры сил действующих на вывешиваемое в электростатическом или магнитном поле тело. В качестве примера применения такого подхода рассмотрим задачу динамики двух электрически заряженных материальных точек, находящихся в поле силы тяжести. Заряды одинаковы. Вектор g направлен вертикально вниз (рис. 1). Один из зарядов (нижний) жестко закреплен, а другой в положении равновесия находится над неподвижным.

Рис. 1

Начало координат выбрано таким образом, что для подвижного заряда оно оказывается положением равновесия, в котором кулонова сила отталкивания от неподвижного заряда будет уравновешена силой тяжести mg. При смещении подвижного заряда вдоль оси z результирующая электростатической и 1равита-ционной сил возвращает подвижный заряд в состояние равновесия. Однако отклонение подвижного заряда от положения равновесия в плоскости ху (рис. 1,6) вызывает силу, уводящую его из положения равновесия, что является прямым следствием теоремы Ирншоу.

Уравнения движения точечного заряда в векторной форме будут выглядеть следующим образом: mr = -gradYl3 + mg, 2 где П,3 = —'-—, г-радиус вектор (рис. 1,6). 4ле0г

В декартовой системе координат Oxyz линеаризованные около положения равновесия уравнения движения запишутся

•• чг тх =-х,

4Щ

- q2 ту = --у,

4 ле0 1 I* mz = -2-z.

После перехода к масштабу времени t, =

4тле0 2 х-х,

У = У, z = -2 z.

Здесь точкой обозначено дифференцирование по безразмерному времени t

Т = —. t,

Систему можно стабилизировать введением гироскопических сил [36], то есть сил направленных ортогонально вектору скорости. Включим магнитное поле, вектор индукции В которого направлен вдоль оси z (рис. 1). При этом на подвижный заряд будет действовать магнитная составляющая силы Лоренца

F = </[v,B], (1) где q - величина точечного подвижного заряда, v - вектор скорости. Сила F прямо пропорциональна скорости и действует в перпендикулярном ей направлении (рис. 2), то есть является гироскопической. Ей соответствует кососим

I 0 qB \

-qB ОГ метричная матрица G =

Л ( О ч

-qB О bYx"

У. П

Fn В

Ft

О т в О q> О ч< О

Рис. 2

После учета лоренцевой силы уравнения движения системы принимают вид: х = д: + Ну,

У = У-НХ, (2) z = —2z.

Здесь параметр Н = qBt,.

Задача эквивалентна рассмотренной в [33]. Уравнения подвижного заряженного тела в координатах Оху совпадают с уравнениями угловых движений волчка Лагранжа [35, 43J.

Волчком Лагранжа называется осесимметричное тело, двигающееся в коле силы тяжести по горизонтальной, гладкой поверхности и приведенное во вращение с угловой скоростью £1. На волчок действуют две внешние силы: сила тяжести mg, приложенная к центру масс С волчка, и реакция опоры Ry опоры О (рис. 3). Положение оси ОС, симметрии волчка относительно неподвижных осей определяется углами и и [3 (рис. 4), которые предполагаются малыми а«1 и Р«1. Невозмущенным движением волчка является его равномерное вращение с угловой скоростью вокруг оси симметрии ^ совпадающей с неподвижной вертикальной осью: а - 0, а = 0, /? = О, = О, ф-ф0 = Q = const.

Линеаризованные уравнения движения имеют вид:

А а = mgla - CQ.fi, Afi = mglfi + CCld,

3) или а = %а - Hp, p = zp + Hd,

4)

CQ mgl где H = — , х = ~т-А А

Уравнения (4) можно рассматривать как результат наложения на неустойчивую потенциальную систему (5) (перевернутый маятник) гироскопической силы F =(НР,-На). а - у а - О л (5) р-хр = о

Сделав замену а = Ае'р', р =Beipl, получим характеристическое уравнение:

-Р

-Hpi

Hpi

-р2-х {p2+x)2-H2p2=p4+p2(2x-H2)+x2=Q

6)

С корнями pi 2

2 -2Х + Н2±^2Х-Н2)2-4Х2 Ру2 ~ 2

Для консервативной устойчивости необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения (6) были действительными. Следовательно, должно выполняться неравенство: lX-H2)2-4X2>0. Отсюда получаем условие на параметр Я:

U>lfX. (7)

Для системы двух зарядов условие (7) означает, что при достаточно высокой индукции магнитного поля В>— —-— система будет консервативно устойqt, у иж, чива.

Вывод о существовании порогового значения параметра гироскопических сил Я*, начиная с которого система устойчива, следует из теоремы Кельвина о достаточных условиях гироскопической стабилизации [36]. Согласно теореме, если матрицы гироскопических и консервативных сил невырождены, то при значениях параметра гироскопических сил Я больших порогового Н* система будет устойчивой*. Матрица G в рассмотренных примерах невырождена: detG^O, то есть выполняется условие теоремы Кельвина, следовательно, область устойчивости по Я ограничена снизу (рис. 5). Полную формулировку теоремы можно найти например в [2]:

Уравнения возмущенного движения линейной автономной системы, на которую действуют потенциальные и гироскопические силы можно записать в матричном виде: Aq - HGq + Cq = 0. Здесь Н - параметр гироскопических сил, G - матрица гироскопических сил, А и С -симметричные матрицы масс и потенциальных сил соответственно. Характеристическое уравнение запишется следующим образом д(д) = |лд2 + //СА + С| = 0- Кроме характеристического уравнения исходной системы, рассмотрим два других уравнения: д'"'(д) = |Л/1 + IIG\ = 0 и д'"'(Л.)=|//GA + С| = 0• Первое определяет частоты нутационных колебаний той же системы в предположении, что на нее перестали действовать потенциальные силы. Второе определяет частоты прецессионных колебаний. Теорема: Если к неустойчивой линейной автономной потенциальной системе присоединить гироскопические силы, удовлетворяющие условиям: 1. определители |G| и |С| не равны нулю; 2. прецессионная система устойчива; 3. среди корней уравнений для нутационных и прецессионных колебаний нет равных, то при достаточно большом значении параметра II неустойчивое движение системы будет стабилизировано гироскопическими силами. о Н, Н

Рис. 5 Область устойчивости по параметру Н

Таким образом, систему двух одноименных электрических зарядов, один из которых неподвижен, можно стабилизировать введением магнитного поля. Далее показано как осуществить левитацию заряженного тела в электростатическом поле только за счет механических сил. Такая задача для систем с постоянными магнитами достаточно хорошо изучена, например, в работах [10, 54, 60,61,66, 75].

Остановимся на работе [10], в которой рассматривается система двух постоянных магнитов с осевой намагниченностью. Если одноименные полюса магнитов обращены к друг другу, то, закрепив нижний магнит так, как показано на рис. 6, можно найти на его оси точку, в которой сила тяжести, действующая на верхний подвижный магнит, компенсируется силой отталкивания со стороны нижнего. h

Рис. 6

При этом положение равновесие, как и в случае с двумя зарядами, не будет устойчивым. Подвижный магнит стремится перевернуться на 180° и уйти поперек оси.

Предполагается, что в положении равновесия центр подвижного магнита расположен на расстоянии h он центра неподвижного, h заметно больше толщины h\ 2 каждого из двух постоянных магнитов. Магниты моделируются витками с током. Токи колец, запишутся как I\=j\h\, /2=72^2 гДеУ'1,2 - плотности поверхностных токов, зависящие от материала постоянных магнитов и создающие их осевую намагниченность. Направление токов в кольцах встречное. На рис. 7 эти кольца с токами показаны с учетом поступательных и угловых перемещений (ток /] относится к подвижному магниту, ток /2 к неподвижному).

С неподвижным кольцом связана система координат О, г|, С,, начало которой помещено в центр кольца 1. С неподвижным кольцом связана система координат d, rj7, (!,, начало которой помещается в центр кольца 2. Подвижному телу

12 ставится в соответствие масса т с центром масс в центре кольца и моменты инерции: осевой С и экваториальный А.

Уравнения движения без учета диссипации будут следующими: ди mt =-, dU mt]=-, V ди л(<9, + cos sin )+ Н032 cos = О, а(&2 cos2 +2i9,,92 cossin 5,)-Я05, cos £>, -— = 0, д9г где 9и9г - углы Крылова наклона оси подвижного магнита (кольца 2) d^ по отношению к вертикальной оси ОЪ, неподвижного магнита (кольца 1), Э3 - угол собственного вращения относительно di симметрии подвижного магнита Н0 =с(д3 -9г$'тЭу)= const - модуль вектора кинетического момента вращающегося вывешенного тела. Его постоянство обусловлено тем, что угол Э3 (поворот магнита вокруг оси симметрии) является циклической координатой. U - силовая функция пондеромоторного взаимодействия двух колец с токами 1\ /2, аналогичная рассмотренной в [11]. Для малых отклонений от положения равновесия функция U может быть представлена в виде многочлена

6h£ 9f+s; 3 4/г + Щ ( 2 2 2\ (tf^f (R^h^f

-LLR Rflh

4 " ' ' (Rf+h>f2

В состоянии равновесия сила тяжести уравновешивается силой отталкивания магнитов яр0 IJ^R^h mg

Rf +h2Y2

Обозначим $г=со. Запишем уравнения движения в комплексных переменных

ГА 12/,

9 = 9Х + i&2, u = % + ir] и новом масштабе длины I, = J— и времени t, = —, тогда т \ g получим безразмерные уравнения движения в виде: ii-ku-i0 = О, 9 + Шв-%в + ш = О,

Е 4h2-R2l С [2/7 2 R2+h2 где L = —, к = —-—J-—, я = — со —, х = —!-• Точкой обозначено диффе

I, R2 +h h A ]j g 3 hi, t ренцирование по времени г = —. t*

В отличие от системы с двумя зарядами устойчивость подвижного магнита определяют уже не два, а четыре уравнения. Гироскопические силы присутствуют лишь в уравнениях для угловых движений. Матрица гироскопических сил вырождена и теорема Кельвина не может быть применена.

Если отыскивать решение полученной системы уравнений (без отделяющегося уравнения для в виде aeiST, то характеристическое уравнение данной системы приводится к виду s*-Hs3 +s2(k + x)-kHs + kx-1 = 0. Для того, чтобы подвес был устойчивым, необходимо, чтобы все корни этого уравнения были действительными. Отсюда получается условие, определяющее область устойчивости: н2 <н2 < н2,

2,51 г2 1 V 1 Г 1 V

2 к 8 к3 к + 2къ) 8^[к2 1 ч*2 где fj. — к% — 1«1. Таким образом, система имеет ограниченную область устойчивости по параметрам к, ц, Я.

В [10] приведены численные оценки области устойчивости, а также рассмотрены возможные реализации подвеса с использованием постоянных магнитов. В работе [17] показано, что введением сил диссипации во вращающейся системе координат консервативную устойчивость такой системы можно упрочнить до асимптотической.

Подобный принцип устойчивости постоянного магнита в магнитном поле реализован на практике. Существует демонстрационное устройство, известное в Европе и США как левитрон [63, 65]. Детальное описание устройства можно найти в работе [62].

Рис. 8 1-вращающаяся часть; 2- постоянный магнит; 3-подъемная планка; 4-жестко закрепленная база; 5-постоянный магнит с отверстием в центре

Устройство состоит из постоянного магнита, который может висеть в воздухе над другим постоянным магнитом (рис. 8) примерно в течение двух минут. Для стабилизации системы необходимо, чтобы подвижная часть вращалась с определенной угловой скоростью.

Простейшая теория гироскопической стабилизации, предложенная производителем в [67] не была достаточной. Первая математическая модель была получена Berry [54]. Уравнения движения с шестью степенями свободы были (?> получены в работах [56, 57, 61]. В этих работах на линейной модели показано, что устойчивое равновесное состояние возможно, если относительная скорость собственного вращения тела ограничена и сверху и сиизу.

Данная работа посвящена левитации тела, несущего заряд, в электростатическом поле. Как и в рассмотренной выше задаче с вывешиванием постоянного магнита в магнитном поле, стабилизация системы обеспечивается собственным вращением вывешенного тела. Несмотря на то, что устройство на постоянных магнитах из-за конфигурации создаваемого поля значительно более сложный объект для исследования, уравнения возмущенного движения для малых отклонений от равновесного состояния совпадают.

Актуальность темы обусловлена необходимостью использования безопорных подвесов в научном и промышленном приборостроении для удовлетворения современным высоким требованиям к ряду характеристик оборудования, таким как: точность измерений, продолжительность и стабильность работы, энергозатратность, малое трение (или его отсутствие) и так далее.

Бесконтактный подвес обеспечивает малое трения в узлах прибора, что увеличивает ресурс устройства, сокращает энергетические затраты на преодоление сопротивления. В настоящее время в промышленно развитых странах активно ведутся работы по созданию высокоскоростных поездов на магнитной подушке [4, 71], в которых контакт подвижной платформы с рельсом минимален, что обеспечивает долгий период эксплуатации, как самой дороги, так и платформы. Под воздействием электромоторов за 30 секунд такой поезд разгоняется по желобообразному рельсу до скорости 130 км/ч. Затем его колеса, словно шасси самолета, убираются внутрь, и поддерживаемый в воздухе силой магнитного отталкивания он продолжает "парить" над рельсом, набирая все большую скорость. Экспериментальные образцы "Маглева"* уже демонстрируют возможность двигаться со скоростью 550 км/ч. Даже при таких скоростях за счет неконтактного вывешивания достигается хорошая плавность хода. Новый импульс в развитии высокоскоростных транспортных средств в последние годы связан с открытием явления высокотемпературной сверхпроводимости, быстрым развитием силовой полупроводниковой техники, а также систем электродвижения на основе новых типов двигателей [69, 77].

Безопорное вывешивания позволяет существенно уменьшить внешнее воздействие на датчик в измерительном приборе, увеличивая его чувствительность и точность. Известно, что наибольшей точностью обладают гироскопы, в которых ротор вывешен в электростатическом или электромагнитном поле [30, 34, 46]. Их точность колеблется от 10"6 до 10"4 град/ч. Для сравнения, для гироскопа на шариковых подшипниках этот показатель меняется на интервале от 10" до 1 град/ч.

С помощью магнитного поля в экспериментальных термоядерных реакторах типа Токамак [7, 22, 27, 44] (тороидальная камера с магнитными катушками) плазма изолируется от стенок реактора. Центрифуги, вывешенные в магнитном поле и раскрученные до высоких скоростей, позволяют разделять вещества [24]. С помощью вывешенной гравитационной антенны можно принимать гравитационные волны с минимально возможным уровнем шума [55, 70, 73, 74]. Подшипники на магнитных подвесах обеспечивают высокоскоростное, бесшумное вращение. Список можно продолжить. Не все области применения левитации еще открыты, но там, где безопорное парение уже используется, сделан значительный шаг вперед, дан новый импульс развитию целых отраслей промышленности.

Так называют этот поезд, сокращая термин "магнитная левитация".

17

Цели работы.

• Обоснование способа осуществления левитации тела с электрическим зарядом в электростатическом поле за счет выбора структуры сил.

• Развитие модели, описывающей динамику тела с электрическим зарядом в электростатическом поле. Аналитическое исследование влияния гироскопических, диссипативных и циркуляционных сил на устойчивость движения.

• Численное исследование нелинейных моделей с целью выяснения зависимости области притяжения равновесного состояния от параметров системы и от конфигурации электростатического поля.

• Исследование динамики двух свободных гравитирующих тел, несущих электрические заряды.

Методика исследований основана на применении аналитических и численных методов для исследований условий устойчивости рассматриваемых систем. Исследования проводись с использованием метода D-разбиений, прямым методом Ляпунова, с помощью критериев Сильвестра и Рауса-Гурвица. Также применялось численное интегрирование задач Коши методами Эйлера и Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Для числениого исследования многомерных областей устойчивости в пространстве параметров системы применялись метод дихотомии и другие итерационные алгоритмы.

Научная новизна работы.

Впервые показана возможность стабилизации тела несущего точечный заряд в электростатическом поле только за счет механических сил. Гироскопическая стабилизация ранее исследовалась только на системах с постоянными магнитами. Была получена ограниченная область в пространстве параметров линеаризованной системы, соответствующая консервативной устойчивости.

Известно, что диссипация разрушает консервативную устойчивость. В работе показано, что совместное влияние на вывешиваемое в силовом поле тело диссипативных и циркуляционных сил упрочняет устойчивость до асимптотической.

Численно исследованы способы максимизации области притяжения равновесного состояния системы. Нигде ранее, насколько автору известно, такая задача для рассматриваемых систем (в том числе и для построенных на постоянных магнитах) не решалась.

Показана возможность стабилизации двух свободных гравитирующих тел, несущих электрические заряды только за счет собственного вращения. Указано, что полученные результаты обобщают теорему Кельвина о достаточных условиях гироскопической стабилизации систем с четной степенью неустойчивости на случай вырожденной матрицы гироскопических сил.

Достоверность результатов подтверждается сравнением результатов, полученных разными методами, а также сравнением полученных условий устойчивости с результатами численного эксперимента.

Динамика реализованных на практике с использованием постоянных магнитов систем, описываемых в первом приближении предлагаемой моделью, также подтверждает достоверность полученных результатов.

Практическая ценность.

Выделено небольшое число существенных параметров системы, изменяя которые, можно добиться устойчивости тела с электрическим зарядом в электростатическим поле либо постоянного магнита в магнитном поле (в линейном приближении динамика обоих систем описывается одними и теми же уравнениями). Это позволяет сформулировать рекомендации разработчикам по конструированию прибора.

В связи с тем, что в системах с трением консервативная устойчивость недостижима, при конструировании прибора необходимо добиваться асимптотической устойчивости. Такая возможность появляется, если в системе вместе с силами диссипации на вывешенное тело действуют циркуляционные силы, которые можно реализовать, например, поместив вывешиваемое тело во вращающийся цилиндрический кожух.

Разработана методика расчета области притяжения равновесного состояния системы, позволяющая рассчитать эту область для любого устройства (любого набора параметров). Указаны способы повышения стабильности работы устройства, в частности, за счет изменения конфигурации электростатического поля.

Защищаемые положения работы.

• Обоснование принципа достижения устойчивости тела с зарядом в электростатическом поле.

• Развитие модели, описывающей динамику тела, несущего электрический заряд, в электростатическом поле, а также результаты аналитического и численного исследований условий устойчивости.

• Результаты численного исследования способов максимизации области притяжения равновесного состояния системы.

• Результаты численного исследования динамики двух свободных гравити-рующих тел, несущих электрические заряды.

Апробация работы.

Основные результаты работы представлялись на следующих конференциях и семинарах:

Пятой молодежной научной школы-конференции "Лобачевские чтения 2006" (Казань, 2006), Четвертой всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, 2007), семинаре по Теоретической Физике в ИПФРАН (Нижний Новгород, 2007), 11 Нижегородской сессии молодых ученых "Математические науки" ("Красный плес", 2006), семинаре Климова, Журавлева в Институте проблем механики РАН (Москва, 2005), Всероссийской научно-технической конференции, посвященной 20-летию Нижегородского филиала Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН "Фундаментальные проблемы машиноведения: Новые технологии и материалы" (Нижний Новгород, 2006), Второй всероссийской научной конференции "Волновая динамика машин и конструкций" (Нижний Новгород, 2007), итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса "Модели, методы и программные средства" "Математическое моделирование и оптимизация" (Нижний Новгород, 2007).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19, 20,47-50].

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена па 100 страницах, содержит 73 рисунка. Список литературы состоит из 77 наименований.

Основные результаты работы:

• Обоснован принцип достижения устойчивости тела с зарядом в электростатическом поле.

• Найдены условия стабилизации системы. Показано, что консервативной устойчивости соответствует ограниченная область в пространстве параметров системы. Исследовано влияние диссипативных и циркуляционных сил на динамику системы. Показано, что введение диссипации и циркуляционных сил в соответствующих соотношениях упрочняет устойчивость до асимптотической.

• Проведено численное исследование области притяжения устойчивого состояния системы. Исследованы способы максимизации области притяжения, в частности, изучено влияние конфигурации электростатического поля на движение системы.

• Показана возможность существования устойчивой связки двух неконтак-тирующих тел, взаимодействующих посредством гравитационных и электростатических сил. Полученные результаты обобщают теорему Кельвина о достаточных условиях гироскопической стабилизации консервативных систем с четной степенью неустойчивости на случай вырожденной матрицы гироскопических сил.

• Разработано программное обеспечение для численного анализа рассмотренных моделей.

Заключение

В работе изучается проблема пассивной (без системы управления) левитации электрически заряженных тел в электростатическом поле. Возможность осуществления левитации тел за счет только механических сил обнаружена относительно недавно. Рассмотренная в работе задача не только позволяет указать принципы, которые могут быть положены в основу создания приборов с электростатическим подвесом, но и в силу своей простоты позволяет понять динамику магнитных пассивных подвесов.

Суть проблемы в том, что статическая конфигурация тел, несущих заряды, невозможна в силу запрета Иришоу.

Центральное место в работе занимает задача о динамике тела, несущего точечный электрический заряд, в поле одноименного точечного неподвижного заряда. Стабилизация тела осуществляется за счет его вращения. Аналитически с помощью характеристического уравнения и прямым методом Ляпунова показано, что существует ограниченная область консервативной устойчивости в пространстве параметров системы. Этот результат является обобщением теоремы Кельвина о достаточных условиях гироскопической стабилизации системы с четной степенью неустойчивости на случай вырожденной матрицы гироскопических сил.

Известно, что диссипация в системе разрушает консервативную устойчивость, что делает невозможным создание устойчивых систем на практике. Но силы диссипации совместно с циркуляционными силами могут упрочнить консервативную устойчивость до асимптотической. На простой модели аналитически методом D-разбиений и численно с помощью критерия Гурвица показано, что существует область асимптотической устойчивости в пространстве циркуляционных и диссипативных сил. В рассматриваемом случае матрица циркуляционных сил может быть (также как и матрица гироскопических сил) вырождена.

Для изучения области притяжения равновесного состояния была рассмотрена нелинейная модель. Разработан и реализован алгоритм расчета области притяжения равновесного состояния. С его помощью получены области притяжения для нескольких наборов параметров. Исследована зависимость размеров области притяжения от параметров системы, таким образом, указана возможность улучшения характеристик системы.

Другим способом максимизации области притяжения является изменение конфигурации электростатического поля. В работе рассматривалось движение тела с электрическим зарядом в электростатическом поле, создаваемым равномерно заряженным кольцом. Показано, что, изменяя радиус кольца, можно увеличить размеры области притяжения

В последней главе исследуется динамика двух гравитирующих свободных тел несущих точечные электрические заряды. Показано, что и в системах большей размерности устойчивость достижима, что также является обобщением теоремы Кельвина. Эта задача может иметь отношение к проблеме динамики космических тел.

1. Анапольский Л.Ю., Иргентьев В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова // Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. М.: ВИНИТИ, 1975.-Т.2.

2. Артобольский И.И., Боголюбов А.Н., Болотин В.В. и др. Вибрации в технике: Справочник. М.: Изд-во "Машиностроение", 1978. т 1, с. 352.

3. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

4. Бахвалов Ю.А., Бочаров В.И., Винокуров В.А., Нагорский В.Д. Транспорт с магнитным подвесом. М.: Машиностроение, 1991.

5. Белецкий В.В. Некоторые задачи динамики двойных астероидов // Современные проблемы механики и физики космоса / Сборник статей. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, С. 27-40.

6. Белман Р. Введение в теорию матриц: Пер. с англ. М.: Наука, 1969.

7. Бете Г. "Необходимость ядерной энергетики"//Успехи физических наук, 1976 год, т. 120, выпуск 3.

8. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости,-М.: Физматгиз, 1961.- 400 с.

9. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1986. 544 с.

10. Ю.Веселитский И.В., Воронков B.C., Денисов Г.Г., Линьков Р.В. Стабилизация вращением магнита в поле неподвижного // ЖТФ.2005. т.75. Вып. 3. С. 88-93.

11. Веселицкий И.В., Воронков B.C., Сигуньков С.А. Пондеромоторное взаимодействие двух постоянных магнитов цилиндрической формы // ЖТФ. 1996. Т 66. Вып. 5. С. 152-161.94

12. Воронков B.C., Поздеев О.Д., Сандалов В.М. О динамике магнитного подвеса // Известия вузов. Электромеханика. 1974. №10, с. 1082-1089.

13. Вышнеградский И.А. О регуляторах прямого действия // Д.К. Максвелл, И.А., Вышнеградский и А. Стодола. Теория автоматического регулирования.-М.: АН СССР, 1949.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 3-е изд. - М.: Наука, 1967.

15. Гапоненко В.А. Исследование устойчивости и качества регулирования магнитной подвески с помощью АВМ. "Электромеханика", 1971, № 3.

16. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. Красноярск: изд-во Крас-нояр. ун-та, 1995.- 429 с.

17. П.Денисов Г.Г. Диссипация и устойчивость в механических системах. Изв. РАН. МТТ, 1998, № 2, С. 183-190

18. Денисов Г.Г., Новиков В.В. К проблеме гироскопической стабилизации механических систем // МТТ. 2006, № 3. С. 11-15.

19. Денисов Г.Г., Новиков В.В., Федоров А.Е. Гироскопическая стабилизация несущего электрический заряд тела, вывешенного в поле другого заряда.:// Вестник Нижегородского Университета. 2007, №1, С. 144-150.

20. Денисов Г.Г., Новиков В.В., Федоров А.Е. О левитации тела, несущего электрический заряд, в электростатическом поле.: М. МТТ. 2007, № 6, С. 4-13.

21. Капица П.Л. "Плазма и управляемые термоядерные реакции", "Успехи физических наук", 1979 год, т. 129, Вып. 4.

22. Кларк. Дж. Ф. "Следующий шаг в термоядерном синтезе: что это такое и как его делать", "Физика плазмы", 1980 год, т. 6, Вып. 6.

23. Косов А.А. О гироскопической стабилизации неконсервативных систем //Сибирский журнал индустриальной математики. 2006, том 9, №3(27) С. 80-89

24. Кофман. Е.Б. "Конструкции современных ультрацентрифуг"// Успехи физических наук, 1941 год, т. 25, Вып. 3.

25. Кузнецов С.И., Урман Ю.М. Исследование возможности левитации сверхпроводящего тела в поле N магнитных полюсов // Журнал технической физики, том 76; Вып. 3, С 7-15

26. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 8-е изд. М.: Физматгиз. 1963.

27. Курчатов И.В. "О возможности создания термоядерных реакций в газовом разряде", Москва, 1956 год.

28. Левин Л.А., Жидков А.А., Малтинский М.И. Физические основы, элементы и устройство криогенного гироскопа. Л.: Румб, 1979.

29. Линьков Р.В., Миллер М.А. Ирншоу теорема. Физическая энциклопедия. М.: Сов. Энциклопедия, 1990. Т. 2. С. 216.

30. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л.: Гостех-издат, 1950

31. Мартыненко Ю.Г. Движение твердого тела в электрических и магнитных полях,— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.- 368 с

32. Мартыненко Ю.Г. Инерциальная навигация // Соросовский образовательный журнал. 1998. №8. С. 102.

33. Мартыненко Ю.Г. О проблеме левитации в силовых полях // Соросовский образовательный журнал. 1996. №3. С. 82-86.

34. Мартыненко Ю.Г. Тенденции развития современной гироскопии // Соросовский образовательный журнал. 1997. №11. С. 120.

35. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. Санкт-Петербург: Лань, 2003. - 304 с.

36. Меркин Д.Р. Гироскопические системы. М.: Наука, 1974. 344 с.

37. Меркин Д.Р. К вопросу об устойчивости по структуре сил // ПММ. 1975. -Т. 39, Вып. 5

38. Михалевич B.C. и др. Магнитная потенциальная яма эффект стабилизации динамических систем. Киев: Наук, думка, 1991, 335 с.

39. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука. 1978. 336 с.

40. Пивень Л.З. Об устойчивости магнитного подвеса со стабилизатором. Проблемы технической электродинамики. АН УССР, Вып. 24, 1970.

41. Понизовский В.М. Свободный подвес диамагнитных тел в постоянном магнитном поле // Успехи физических наук. 1970. том 100, Вып 3

42. Понизовский В.М. Свободный подвес проводящего диска в переменном магнитном поле // Успехи физических наук. 1969. том 99, Вып 1

43. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.- 304 с

44. Сахаров А.Д., Тамм И.Е. "Теория магнитного термоядерного реактора", в сб. "Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций", под ред. М.А. Леонтовича, Москва, 1958 год, т. 1.

45. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976. Издание 9.

46. Урман Ю.М. К расчету силовых характеристик внешнего сферического подвеса криогенного гироскопа // Изв. вузов. Приборостроение. 1973. № 8. С. 72-74.

47. Федоров А.Е. Влияние структуры сил на устойчивость системы. // Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Казань. 2006. Т. 34. С. 210-211

48. Федоров А.Е. К вопросу о динамике системы гравитирующих тел, несущих заряды // Волновая динамика машин и конструкций. Тезисы докладов Второй Всероссийской научной конференции. Нижний Новгород, 2007. С.98.

49. Федоров А.Е. О стабилизации системы заряженных тел. // Труды четвертой всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике". Тезисы докладов. М. 2007.

50. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике, Издательство АН СССР, М., 1962

51. Bassany R. Earnshow (1805-1888) and Passive Magnetic Levitation // Mec-canica. 2006, №41,375-389

52. Beams J.W., Hulburt C.W., Lorz W.E., Jr., Montague R.M. Jr. Magnetic suspension balance, RSI, № 12, 1955.

53. Berry M.V. The Levitron: an adiabatic trap for spins // Proc. R. Soc A452 1207-20

54. Blair D. G. The Detection of Gravitational Waves (Cambridge University Press, Cambridge, 1991).

55. Dullin H.R. and Easton R.W. Stability of Levitrons. Physica D, 126: 1-17, 1999

56. Dullin H.R. and Easton R.W. Stability of Levitrons. Z. Angew. Math. Mech., 79: SI67-S170,1999. supl. 1: proceeding of the GAMM 98

57. Earnshaw S., 'On the nature of the molecular forces which regulate the constitution of the luminiferous ether', Trans. Cambridge Philos. Soc. 116 (1842) 97-112.

58. Edge R. "Levitation using only permanent magnets" // Phys. Teach. 33, 252— 253,1995.

59. Gans R.F., Jones B.J., Washizu M. Dynamics of the Levitron // Appl. Phys., 31 (1998) 671-679

60. Genta G., Delprete C., Rondano B. Gyroscopic stabilization of passive magnetic levitation // Meccanica. 1999, № 34,411-424

61. Gov S., Matzner H. and Shtrikman S., "Hovering a magnetic top above an air coil", Bulletin of the Israel Physical Society, vol. 42, pp. 121, 1996.

62. Harrigan R.M., U.S. Patent No. 4,382,245 (3 May 1983)

63. Holmes I.I. Axial magnetic suspension. RSI, № 11,1937.

64. Hones E.W. and Hones W.G., U.S. Patent 5,404,062, (April 4, 1995).

65. Jones T.B., Washizu M., Gans R. Simple theory for the Levitron // J. Appl. Phys. 1997, Vol. 82, No. 2,

66. Kagan D. "Building a magnetic levitation toy" // Phys. Teach. 31, 432-433, 1993.

67. Mc. Hurraitt, Breazeall J.B., Dacus E.N. Improved magnetic suspension system, RSI, № 11,1958.

68. Moon Fr. Superconducting Levitation. Cornell University, 1996.70.0hanian H., Runi R., Gravitation and Spacetime, 2nd ed. (Norton & Company, New York, 1994).

69. Proceedings of the MAGLEV'2000, June 7-10-2000, Rio de Janeiro, Brazil.

70. Routh E.J. A treatise on the stability of a given state of motion. London, 1877.

71. Sang Jun Kang An Idea about a New Type Gravitational Wave Detector: A Gravitational Wave Detector Composed of the Earth and a Particle Levitated by a Magnetic Force, Journal of the Korean Physical Society, Vol. 46, No. 6, June 2005, pp. 1305»1310

72. Saulson P. R. Interferometric Gravitational Wave Detectors (World Scientific, 1994).

73. Simon M.D., Heflinger L.O. and Ridgway S.L., Spin stabilized magnetic levi-tation // Am. J. Phys. 65 (4) (1997) 286-292.

74. Thomson W. and Tait P., Treatis on Natural Philosophy. Part I, Cambridge University Press, 1879

75. Wang J., Wang S., Ren Z., Wang X., Song H. High Temperature Superconducting Maglev Vehicle. Proceedings of ISMAGLEV'2002, June 25-27-2002, Chengdu, China.