Две задачи аналитической динамики твердого тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЕ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

Р Г Б ОД

1 7 ОКТ 1996

На правах рукописи

ЛЕСИНА Мария Ефимовна

ДВЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

01.02.01 - теоретическая механика.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Донецк - 1996

Работа выполнена на кафедре высшей математики Донецкого государственного технического университета.

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук,

профессор Демин В.Г.;

- доктор физико-математических наук,

профессор Илюхин A.A.;

- доктор физико-математических наук,

профессор Лобас Л.Г.

Ведущая организация:

- Институт математики HAH Украины.

Защита диссертации состоится

»I

1996 года

/

часов на заседании Специализированного Совета Д.Об.01.01 1 присуждению ученой степени доктора физико-математических наук Институте прикладной математики и механики НАН Украины по адрес; 340114, Донецк, ул.Р.Люксембург, 74.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институ прикладной математики и механики НАН Украины.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Специализированного Совета кандидат физ.- мат. наук

Марковский А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность тема. Представление об абсолютно твердом теле ши-гако используют при формировании математических моделей технических инструкций. В ряде случаев приходится учитывать и динамические эффекты, роль которых в транспортных, навигационных и т.п. устройст-зах становится определяющей. Предназначенная для задач техники при-сладная механика предпочитает по возможности более простое описание пзления. Обычно уже на этапе формирования математической модели [системы дифференциальных уравнений) она принимает упрощения, ис-гользущие специфику каждого конкретного объекта. Во многих случаях з технике интересуются установившимися процессами, условиями их сохраняемости, влиянием различного рода возмущений и возможностью управления ими. Для оценки влияния факторов, которыми пренебрегли в трикладной модели для ее упрощения, создают модель, сохраняющую этот фактор, используя общие положения и методы теоретической меха-ш.

Но при таких обобщениях математической модели открывается воз-ложность получать информацию и о тех движениях, которые не предполагалось изучать в первоначальной прикладной постановке задачи. Задача приобретает определенную самостоятельность, становится объектом исследования аналитической динамики (нередко без претензий на прикладную значимость получаемых результатов).

Ярким примером такой эволюции служат классические задачи дина-шеи твердого тела. Зарождение этого раздела аналитической динамики •лото отнести к 1749 году, когда Ж.Даламбер и Л.Эйлер почти одновременно обратились к задаче о прецессии и нутации оси Земли. Ж.Да-ламбер изучает конкретную задачу небесной механики и, создавая приближенную прикладную математическую модель, использует для упроще-

ния уравнений особенности этой задачи (осесимметричную форму рас сматриваемого тела, малость эксцентриситета осевого сечения Зешп малость характерных размеров Земли по сравнению с расстоянием ее ; притягивающих тел и т.п.) Л.Эйлер же эту задачу переводит в общ постановку проблемы движения твердого тела, создавая тем самым ваз нейшй раздел аналитической динамики.

Таким образом, конкретная задача небесной механики приобре, большее значение, она стала отправным пунктом формирования общ( теории движения твердых тел, направленной уже не только на разр; Сотку методов решения технических задач, но и задач, возникающих самой аналитической динамике. Одна из них - задача о движении тя» лого твердого тела, имеющего неподвижную точку, привлекла вниман многих исследователей, породив громадную литературу.

Неизменный интерес к уравнениям этой задачи в эналитическ механике объясняется, видимо, тем, что наличие трех интегралов (и теграла энергии, компоненты момента количества движения, геометр ческого) и интегрирующего множителя (ненулевой константы) означа принципиальную возможность сведения задачи к квадратурам, как тол ко будет найден дополнительный (четвертый) интеграл.

Распространенный метод его поиска можно назвать полуобрстнь так как вместе с устанавливаемыми ограничениями значений параме ров, характеризующих тот класс функций, которому, по предположени должен принадлежать интеграл, одновременно появляются и услови ограничивающие значения параметров самой системы уравнений, присг сабливаемой тем самым н искомому интегралу.

Понятно, что любое обобщение задачи, при котором в уравнега появляются дополнительные параметры, расширяет и возможности поо обратного метода. Так, введенные Н.Е.Жуковским в динамические ур; нения Л.Эйлера гиростатические моменты привели к существен!

обобщениям классических результатов, полученных ранее в задаче о движении твердого тела, имещего неподвижную точку. Такой же результат получен и при введении в уравнения Г.Кирхгофа задачи о движении тела в жидкости параметров, характеризующих циркуляционные течения.

Еще большие возможности открывает введение в систему неконкре-тизированных функций. Ж.Л.Лагранк ввел в уравнения Л.Эйлера некон-кретизированную силовую функцию ,г>2г^.г^.г^; > и

Д.Н.Горячев решал, по существу, голуобратную задачу конкретизации функции и, так чтобы предложенные Ж.Л.Лагранжем уравнения допускали интеграл, алгебраический по отношению к компонентам угловой скорости. В большинстве найденных Д.Н.Горячев™ случаев уравнения не допускают интеграла площадей, и значит, полученного им интеграла недостаточно для доведения решения до квадратур (впрочем, он такую цель и не ставил).

А с сохранением роли четвертого интеграла уравнения Л.Эйлера обобщены введением в них трех неконкретизированных функций (Д.Грио-ли, М.П.Харламов) ,т>2,у3) , ,г>2,г'3), Р(г>., так, что

уравнения

вместе с кинематическими, сохраняя имевшийся у системы интегрирующий множитель, допускают три тех же интеграла. С неконкретизирован-ными функциями П, /, Р, и искомому четвертому интегралу этих уравнений возвращена прежняя роль в построении квадратур. Именно полуобратным методом конкретизированы функции П, /, Р, обеспечивающие существование у системы линейного шш квадратичного по компонентам угловой скорости четвертого интеграла. Необходимо, однако, отметить, что эти функции введены без соотнесения к реальным объектам и

ап дп

--V, - (123)

Эг»3 3 аг>2

без обсуждения возможности реализации взаимодействий, представимых такими зависимостями. Конкретизация их основана лишь на математическом требовании существования интеграла.

И задача Н.Е.Жуковского о гиростате, и задача Г.Кирхгофа с движении тела в жидкости, являясь задачами о движении системы тел, по структуре уравнений подобны задаче о движении одного твердогс тела, но такие случаи исключительно редки.

Если тело несет закрепленный на его оси маховик, классически задача получает естественное обобщение. Н.Е.Жуковский показал, чтс к такой же системе уравнений сводится задача о движении тела с полостью, заполненной жидкостью. В.Волътерра посредством такой модели пытался объяснить некоторые аномалии в движении Земли. Обобщая случай Эйлера, Н.Е.Жуковский записал интегралы, обеспечивавдие возможность сведения задачи к квадратурам, а В.Волътерра выразил зависи мость переменных, задачи от времени посредством сигма-функций.

Задача о движении тяжелого гиростата, имеющего неподвикну: точку, как обобщение классической задачи о движении тяжелого твер дого тела, появилась в публикациях Л.Н.Сретенского (1963) П.В.Харламова (1964), где сообщалось и о некоторых случаях интегри руемости, обобщавших классические решения. В дальнейшем на эту за дачу были распространены почти все результаты классической задачи Найдены и новые решения, присущие только гиростату (вырождающиес при нулевых значениях пфостатического момента). Эти результаты пс лучены для гиростатического момента, неизменного в корпусе гиростг та (Е.М.Харламова, Г.В.Мозалевская).

В случае переменного гиростатического момента требуются допол нительные соотношения, устанавливающие его зависимость от време! (хотя бы и опосредовано через другие переменные задачи, наприме} при использовании гиростатического момента для управления движение

б

корпуса (В.В.Крементуло, А.М.Ковалев)).

Переменный гиростатический момент формируется в многороторных гироскопических приборах. Кинетические момента роторов значительно превышают таковые у остальных элементов прибора (кожухов, платформы и т.п.). В инженерной (Г.Аншютц-Кемпфе, И.Геккелер), а затем в уточненной прецессионной (В.Н.Котляков, А.Ю.Мшлинский, Д.Р.Меркин) теории гирокомпаса многими конструктивными несовершенствами гирокомпаса пренебрегают, но учет их влияния (проявляющийся, например, в эффектах, подобных уходу Магнуса) потребовал создания обобщенной математической модели. Полная система уравнений, учитывающая эти несовершенства, получена в диссертации, и существующая прикладная теория играет по отношению к ней роль системы первого приближения, на базе предложенной модели создан новый объект аналитической динамики.

Но появившийся на этом пути объект, полученный в аналитической динамике идеализацией конструкции двухроторной гиросферы (чувствительного элемента пространственного гирокомпаса) оказывается для упоминавшейся здесь задачи о гиростате дальнейшим ее обобщением на случай переменного гиростатического момента, причем именно таким обобщением, при котором усложнение задачи не выводит ее за пределы доступности исследования, получения в ней результатов, подобных тем, какие были получены в предшествующей задаче.

Введение этой задачи в аналитическую динамику может быть обосновано как аргументами прикладной механики, так и аргументами механики теоретической.

В первую очередь необходимо отметить то чрезвычайно важное место, какое к настоящему времени в современной технике заняли навигационные приборы, использующие в качестве основного элемента гиро-сферу с гироузлом. Пространственный гирокомпас - одно из наиболее

значительных достижений техники, решающее задачу автономной навита ции реакцией прибора на весьма малую величину угловой скорости вра щения Земли 2%/24>60-60 » 0,00007 рад/сек.

Теория прибора формировалась естественным в технике путем: о инженерной постановки с последующими по мере необходимости уточне ниями ее, и в настоящее время достаточной для прикладной гироскопи является прецессионная теория, пренебрегающая по сравнению с дина мической характеристикой роторов инерционными характеристиками ос тальных элементов конструкции. Не принимаются во внимание и боль ншнство неизбежных конструктивных несовершенств. Такой подход про вернется соответствием получаемых в прецессионной теории расчэтны величин с измеряемыми в наблюдениях.

С другой стороны, в аналитической динамике созданы эффективны методы рационального формирования математических моделей движени связанных твердых тел (каковыми и являются гиросистемы), построени решений систем уравнений, служащих этими моделями, визуализацие получаемых результатов средствами компьютерной графики, доставляв: щей в наглядной форме полную информацию обо всех особенностях две жения тела, и в этом качестве математическая модель пространстве? ного гирокомпаса представляет несомненный интерес для самой аналк тической динамики, являясь естественным имеющим реальный физичесга смысл обобщением классических задач о движении тяжелого твердог тела и о движении гиростата.

Она в известном смысле обобщила классические задачи на случг переменного гиростатического момента, это обусловлено такой постг новкой задачи о гиросфере, в которой ее геометрический центр (тот подвеса) остается неподвижным. Но отказ от этого ограничения знач! тельно усложняет задачу, однако, она может быть упрощена другим щ тем, основывающемся на том факте, что в реальном приборе данамичес

кие характеристики быстро вращающихся роторов преобладают над динамическими характеристиками кожухов и корпуса. Поскольку оси кожухов гироузла полагают принадлежащими одной плоскости, мыслят их в пересечении сочлененными идеальным сферическим шарниром, отнеся к нему и действие пружины.

Так появляется задача о движении двух тел с осесишетричным распределением масс, сочлененных идеальным сферическим шарниром. В обобщении этой задачи тела могут получить различающиеся инерционные характеристики, а положение их центров масс может быть освобождено от имещегося у роторов гиросферы условия сохранения расстояния между ними.

Такая задача о движении по инерции двух динамически осесиммет-ричных тел, сочлененных упругим сферическим шарниром, и рассмотрена во второй части диссертации.

Частный случай этой задачи изучался Н.П.Стеданенко. Основными переменными она выбирала углы Эйлера-Крылова, что в развернутой записи привело к трудно обозримой системе уравнений, но их автору все же удалось на основе этих уравнений вычислить приближенными методами (включая осреднение) уход простейшего стационарного движения для случая двух одинаковых тел.

Цель работа. Постановка и исследование двух задач аналитической динамики системы твердых тел, возникащих при математическом моделировании конкретных объектов современной техники.

Метода исследования. Наличие в этих объектах различных конструкций упругого звена приводит к определенному произволу в назначении его основной характеристики, что обеспечило возможность широкого применения полуобратного метода, использущего этот произвол. Метод инвариантных соотношений обеспечил построение набора точных решений. Алгебраическая структура уравнений определила и налравле-

нив поисков инвариантных соотношений в классе многочленов на ochoi конструктивного метода построения точных решений с такими инвари антными соотношениями.

Возможность последующего использования методов компьютерно графики для построения полных решений обеспечена полученными в кав дом решении уравнениями подвижных и неподвижных годографов или а* соидов.

Научная новизна. Полученные в работе математические модел объектов учитывают их возможные конструктивные несовершенства, том числе и те, которыми в инженерных постановках пренебрегают, прецизионных навигационных приборах влияние таких несовершенств мс жет быть оценено при использовании предлагаемых математических мс делей методами теории возмущений. Пренебрегаемые прецессионной тес рией факторы сохранены в более общей (усложненной) математическс модели, например, с целью учета возможности их долговременного bju яния на показания прибора.

Апробация работы. Основные результаты регулярно докладывалис на семинарах отделов прикладной и технической механики Институт прикладной математики и механики Национальной Академии наук Украш (руководители: чл.-корр. НАНУ П.В.Харламов, чл.-корр. НДНУ A.H.Cai ченко), на Третьем республиканском совещании по проблемам динамш твердого тела (Донецк, 1981), на Всесоюзной конференции "Проблел нелинейных колебаний механических систем" (Киев, 1978).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 2 статьях и монографии "О математической модели гиросферы".

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введет и двух частей (чЛ - главы 1-4, ч.П - главы 5-14). Список цитирс ванной литературы содержит 130 названий. Общий объем работы 26 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Содержание диссертации. Введение в аналитическую динамику задачи о гиросфере, нахождение случаев интегрируемости и построение полных решений составляет содержание первой части работы, состоящей из четырех глав.

В первой главе обсуждена уже сформированная в прикладной гироскопии (В.Н.Кошшков, А.Ю.йшлинский) система уравнений движения гиросферы

Ар = С(В - С)д + АсобнЗг, Сг = 1(А ~ В)ц - \coaelp,

(Вд + Хсоэв) = (С - А)гр, » *

2/5 + Л.<?81П8 +■ сз±ПеС0БЕ = 0.

Понижен порядок системы, она сведена к одному уравнению второго порядка.

Построены два точных решения, в которых компонента q угловой скорости корпуса гиросферы сохраняет свое начальное значение д0. В этих решениях зависимость переменных задачи от времени представлена посредством эллиптических функций Якоби.

Во второй главе эта задача существенно обобщена. Существующее разнообразие конструкций упругого элемента гиросферы, которые обычно рассматриваются лишь при малых деформациях, в аналитической механике естественно моделировать и для немалых деформаций, вводя в математическую модель зависимость потенциальной энергии П от деформации и = созе в общем виде, что приводит к появлению в последнем уравнении неконкретизированной функции П = П(и)

— уз? (и) + Л (и)] = За

и = -ае(и)/1 - и2 .

Структура полученной системы уравнений указала класс функция в котором следует искать инвариантное соотношение, обеспечивающе существование точного решения. Это полиномиальная зависимость коь. поненты д угловой скорости корпуса гиросферы от деформации и упру того элемента. При этом конкретизируется и зависимость П[и). Об оказывается рациональной функцией. Естественное для потенциально энергии требование ограниченности и гладкости связывает определен ными условиями и параметры конструкции гиросферы. Таким путем, дополнение к общему решению, в котором при любой принимаемой завв симости П1ц(и)1 построен ряд точных решений, где характеристик упругого элемента дана многочленом от и. В каждом из найденных ре тений получены и уравнения подвижного и неподвижного годографов уг ловой скорости корпуса гиросферы, что дает возможность строить пол ныв решения средствами компьютерной графики.

Найдено одиннадцать таких решений (в их число не включены от носительно просто обнаруживаемые безнутационные движения, равномер ныв вращения и маятниковые движения). Приведем в качестве пример одно из них:

5 (В-С)В 0 0 о

р2(и) = 9 - 71 (1 - и ) (и + Ц)2,

(А-С)А

3 г Р 3В+С ,

д(и) = - п|2и + —— ци -

9Вт?

г2(и) = г1 + 2ц(В-Л)(и - и0) + [(4\12- 1)(В-А) +

+ 3ц2 — а] (и2- и2) + 2ц(2В - — (и3- и30) + (В-А) (и4- гф}

и

/ (А~С)(В-С) г Ш

ци) = -2 / -

V АВ Л

"о

Оно найдено при достаточно общей нелинейной характеристик упругого элемента

п(и) = с0 + с^и + с^и2 + сур + с^и4

при ограничениях, накладываешх на параметры конструкции 9Л2и-В)(В-С) - 4АСС4 = О,

+ 2Ж7(Л,?г - с3) = О,

0 (В+-С 9/п [А(В-С) I-А - 2В

9ЛС

I С

• В-С ,

Зц -4 + (4ц2- 1) (Л-В>

С

+ ЗрХп(ЗВ+С)А - 4-АСС2 = О,

(В—С) (В-А) - ЗХпА - = О,

9В(В-С)рл + 2ХС = О.

Общность этого решения определяют оставшиеся независимыми параметры

Некоторые из найденных решений характеризуются и достаточно высокой степенью инвариантного соотношения. Так, например, найдено решение в котором компоненты угловой скорости корпуса гиросферы связаны полиномиальным инвариантным соотношением восьмой степени /р6д2- 1бпг[а2А2р2- (4-аг)Сггг] [[а2- ЗА+- 3)Агрг- (4-а2)С2г2]2= О.

Для построения полного решения в этом случае получены уравнения годографов подвижного

О2

р2(Ц> = 1бп2 ~2 (4 - а2) [1 - и2)2,

д(и) = 4гси(- 33 +• и2}, г2(и) = 1бя2(1 - и2)2(а2 - и2),

и неподвижного

О)^(И) = п(8 + + згци4),

о^(и> = 9г?Х%{\ - и2)2

"4 + 8а*

4 -а*

(1 + и2)2

а = 8п -1- 16п

0-4 (4 - а2) [а2 - и2) (1 + и2)

4 4 + 8ст - (4

Явная зависимость всех переменных от времени представлена эле-

а2) (1 +■ и2)2

ментэрными функциями в трех вариантах (в зависимости от значений

параметра а) при обращении квадратуры

и

Потенциальная энергия зависит лишь от квадрата деформации упругого элемента.

В третьей главе уравнения движения гиросферы выведены с учетом динамических дебалансов (вообще говоря, неизбежных в реальной конструкции). И хотя система уравнений при этом существенно усложнилась, удалось найти некоторые ее точные решения.

И, наконец, в четвертой главе дана общая постановка задачи о гиросистеме, находящейся на объекте, движущемся по поверхности (или над поверхностью) Земли. Частным случаем такой системы служит двухроторный гироузел. Уравнения, полученные в такой общей постановке задачи, учитывают и динамические, и статические дебалансы, а также влияние ускоренных движений объекта, несущего гиропри-бор. Влияние этих факторов чрезвычайно усложняет задачу, и представляется малоперспективным ставить по отношению к такой системе вопросы, на какие аналитическая механика отвечает в классическиз задачах динамики твердого тела. Но гиросистемы прецизионны, и допустимо полагать упомянутые несовершенства малыми (по отношению I соответствующим характерным величинам рассматриваемой конструкции), и, снабдив их малым параметром ц, отнести к возмущениям порождающе! системы, каковой в этом случае оказывается система, изученная I первых главах. Это открывает возможность, основываясь на существующих методах теории возмущений, оценивать влияние на показания прибора различных конструктивных несовершенств как порознь, тан и совместно в сопоставлении их.

{(и) =

'о

Основной объект исследования здесь - математическая модель ги-ро сферы

' г т

А,ох, -I- (Aj - A^jb)^ - ZHu^cose = М^ 4- + ¿q),

ifigWg + (11 - - 2Heslne = - mla3 + lf2 + iiQf^ + Mg),

• Л T

+ (^2 - i^u^g - 2йи1 созе = гя7а2 + + + #3},

дП _ ql--ol + ^j-QC +

ÖS J

ВцЕ + ffW2Slll£ = -

Здесь lf9, QC - возмущения, обусловленные статическими дебалан-

сами

л

И^ = mc^Og - (mc2+ g^ccosa)^ +

* »

+ 2m0ce[ursine - (i>2+ 2ао2)созе] - 4^03^ sins,

г

áfg = — mc^a1 + 2k0cs(ü1 - 2эа2) сове - 4т0сзш2э1пЕ,

л

Ы^ - (тс2+ 2и0ссоБе)а1 - mcu1sins,

QC = mQc [cosine + (w^ + u>|)3coss], a M?, Qj - величины, характеризующие динамические дебалансы

М^ = - 2В12соз8) (ш2- w-jU.,) - 2031 cose) (ш3+ (Д,^) +

+ 2(В22- B33)u)2(o3coS28 + 2S23cos2e) сф,

М2 = - 2S23cos2e) ^Wg) - 2В12созб) (Ц,* ü)2u3) -

- (Bgg- B33) (ш2+ (J^üXj) cos2s - 2B31 coas) +

+ 26-^25, g^ sine + C(B22- B33)"2+ 2B23w3]sln2sj-,

Mj = - 2B31cose)(Ц,- u2u)3) -

_ » ♦

- 2B23COS28) (U2+ ) + CS22~ 3ЗЗ) СшЗ" + + 2s|2B31tó1 - 2 f(B22- B33)u3- 2B23o)2]coss|,

т

Q = [B31 [ш2- w^) - В12(0)3+ Ы1Ш2)]З1П5 -

~ [ ~ (В22~ Бз?) «Ф + 2S23ü2w3Jato2s.

Влияние движения объекта, несущего гироприбор, определяют слагаемые с компонентами ví,aí скорости и ускорения точки подвеса ги-росферы

о, = и, + Ш2У3 - Ы3У2 + вУ^Пр,

= "Уар - ^ЗГ

(123)

В задачах навигации их полагают заданными в зависимости от движения объекта. В общем случае записанные уравнения могут быть дополнены замыкающими систему уравнениями

я [а, +■ (и| + <ф1] = +

- (шэ + <л,ы2)1] = + (хР^,

«[а^ + (ш2 - Шз^]!] = + уЩ, ,

где

п • • '

Щ= тп[с2ш2) - ^(Шд+^^З] + 2и0с[(ш3созе) - ((Д,+£]ш2со8£],

^2= + с^^-а)^}] + 2т0с[ш3 + (а)1+е)и1]созе,

- с2{со1+ы2ш33] - 2я0с(Ц «¿>2и3) соБе. В конкретной задаче - математическом моделировании гиросферы, как чувствительного элемента гирокомпаса, тело 5° ограничено сферической поверхностью, а в его полости размещен двухроторный гиро-узел, точка 0° которого совмещена с геометрическим центром сферы. Она же является точкой подвеса на движущемся объекте. Ее скорость V определена движением объекта, что обеспечивают сторонние силы Ра. Так как последние обычно не представляют интереса, то последние уравнения в этой задаче могут быть опущены. Оставшиеся уравнения расширяют математическую модель гиросферы возможностью оценки возмущений при р. Ф 0.

В прикладной гироскоши для исследования имеющей высокий порядок нелинейной системы используют приближенные методы, обеспечиваю-

цие достаточную точность анализа окрестности частных решений, описывающих требуемый режим работы, что устанавливается и экспериментом, и практикой использования гироприбора.

Вместе с тем эта система при определенных идеализациях приводит к новой задаче аналитической динамики, примыкающей к известным классическим задачам.

Во второй части работы изучается движение по инерции двух (в общем случае различии) динамически осесимметричных тел, оси которых сочленены идеальным сферическим шарниром и упругим элементом, формирующим момент, зависящий от угла 9 между этими осями.

Длительная история развития динамики твердого тела убедительно демонстрирует как успех исследования зависит от предварительного рационального выбора основных переменных задачи, определяющих в конечном счете и форму уравнений движения системы тел. И открывающая вторую часть пятая глава предлагает несколько форм уравнений рассматриваемой задачи. Каждая из них своей структурой подсказывает класс функций, в котором целесообразен поиск инвариантного соотношения (осуществляемый в последующих главах), обеспечивающий и построение соответствующего латизжтического решения. В ряде случаев получены и уравнения аксоидов, необходимые для построения полного решения задачи средствами компьютерной графики.

Первая форма уравнений использует имеющийся в этой задаче неизменный в пространстве вектор g момента количества движения системы тел относительно ее центра масс. В естественно вводимой системе координат компоненты этого вектора

(?1 = - Усозб)ш1 + (¿0 - №203930,, с?2 = (А - ГГе08в)и2 + (А0совЭ - Л)^ - гг0в1лв, = (Лд^ ~ 2Уш2)э1п8 + п + п0сов9 изменяются в соответствии с уравнениями

которые замыкаются кинематическими соотношениями

6 = 0, - , = Ш2С0ЭЭ + Ш^бЗлЭ, = - 0)2Э1пе + Ш^СОБв,

циклическими интегралами

» «

Ф + иэ = п/л, Ф + = "о/^о, интегралами, выражаадиш сохранение механической энергии

+ ф + - 2^(0,^0089 + + 2Л(6) = 2Л

и модуля момента количества движения системы тел

+ С§ + <?2 = ё2.

Эта система содержит параметры и некон-

кретизированную функцию Я(9).

Вторая форма получена на основе общей теоремы механию об изменении момента количества движения, примененной к каждому иг тел

л(<д,- ш2ш3) 4- ш2 = П' (9) + (п^ п|]э!пе + (о,- с^арсоаэ], » »

Л(о)2+ Ш^) - ш1 = ЛГ(Р2+ ,

л0- + гг0а2 = - Я' (8) + + з!л9 + (ох,- соз9]

* • - *

Л0(а2+ С2ЭП1 з - гг0о1 = Я(о>2+ ш^)

с теми же кинематическими соотношениями и интегралвми. В предполо кении идеальности сферического шарнира взаимодействие тел в эти уравнениях характеризуется лишь моментом Я' (8).

Использованием имеющихся интегралов понижен порядок этой сис темы, что привело к третьей форме уравнений движения - дву нелинейным уравнениям, каждое из которых имеет первый порядок

- ЛГсо8в)Яп0 - (Л0- ЯсозЭ) (Л0п - Яш3)

- Опгг + Яги- Яшч) 22--

0 8)

^ = 1 ад В(А + А0- 2Ясоз6)

dn2

d9 H(A + Aq~ 2$cos8)

(A - УсозЭ) [in0- ЯП3) - (Л0~ ffcos9)ffn

ffn - ffn3)

^(lOj.i^; 6} = g2 - G|(b)2,i^; 9) - 0),

- №2соз29)Д2(ш2,02; 9) = (A + ^ - 2ffcos8) [2h - 2П(9) -- AO| - +- ZiiOgUg] - ^(Ug.Qg; 9),

u3= C°2 ~ u2cosS^/sin9» % = (Pgcose ~ u2)/sln9, H = aAq - afi.

Заменой переменных

ш1 = +• 1)ae, П1 = (? - 1)ae, т = в/г,

ш2 = (A,sim; - |icosT)/slri2T, = (Xslrn: + ^co3t)/3in2i получена четвертая, форма

V - ^ctg2-! = Л(|,т), ц' + XCtg^i: = M(?,t),

r 4 cost

Л(£,т> = + lf)n0 - СЛ0 + Щп - [(4 + i?)n0 + + ^tfjsj — , г л aim

М(£.г) = {(Л - ff)n0 + С4з ~ *in ~ СС* " - Ц) ~ W) — '

которая преобразована к пятой (гамильтоновой по С.П.Новикову) форме.

И, наконец, перенос оставшегося произвола в выборе неконкрети-зированной функции /7 (а) на специально введенную функцию ф(т) приводит к шестой форме - одному уравнению первого порядка.

Последующие главы 6-11 посвящены поискам случаев интегрируемости уравнений поставленной в пятой главе задачи, построению точных (математических и полных) ее решений. Найдено девять случаев интегрируемости.

В шестой главе с использованием первой формы уравнений построено первое решение с двумя линейными инвариантными соотношениями, вследствие которых ось вращения одного из тел сохраняет на-

правление в нем (а значит и в пространстве). Если в задаче, рассматривавшейся в первой части работы, для построения полного решения достаточно было найти годогра<|ьг угловой скорости, то в задаче о движении двух тел, сочлененных сферическим шарниром и не шещим в общем случае неподвижных точек, нужны уравнения аксоидов. Анализ этих линейчатых поверхностей показал, что у одного из этих тел ак-соиды - цилиндрические поверхности, у другого - конические. Построение и исследованное в седьмой главе второе точное решение основывалось на инвариантном соотношении, вид которого естественно обнаруживается из третьей формы уравнений движения. Пришлось различать два варианта найденного решения. Аксоиды при построении полного решения были исследованы с привлечением их горловых линий. Во втором решении не понадобилось конкретизировать потенциальную энергию П(8), и это дало возможность распорядиться выбором ее для выделения из найденного обширного класса движений (кроме Я(8) свободными остались и семь параметров) подкласса, характеризуемого тем, что траектория соединяющего тела шарнира оказывается плоской кривой. Найдены все величины (в том числе и компоненты матрицы вложения подвижного аксоида в неподвижное пространство), необходимые для визуализации движения тела средствами компьютерной графики.

Третья форма уравнений движения привела еще к одному инвариантному соотношению, условия существования которого исследованы г восьмой главе. Использованный нетрадиционный путь исследования основывается на специфике и формы уравнений, и инвариантного соотношения. Этот путь привел к двум (третьему и четвертому) случаям интегрируемости. И в этих случаях получены уравнения аксоидов 1 все необходимые для компьютерной визуализации величины.

В девятой главе найдены еще три случая интегрируемост! (пятый, тестой, седьмой), которые определялись структурой четвертой

формы уравнений.

Решение большой общности (ограничено значение лишь одного параметра системы), получено в десятой главе. Допущение, что общий момент количества движения системы относительно ее центра масс равен нулю, дает сразу три инвариантных соотношения, и задача сводится к квадратурам без конкретизации потенциальной энергии ¡1(9) и без ограничения значений остальных восьми параметров.

Однако, отсутствие вектора момента количества движения (неизменного в пространстве со своими компонентами в движущейся системе координат) ликвидировало тот опорный вектор, на котором основан существующий подход к построении неподвижных аксоидов для полных решений задачи.

Но в современной технике важны задачи, в которых движение тел необходимо отслеживать в первую очередь по отношению к базису, определяемому самой траекторией - естественному базису, который в каждой точке траектории определяют ее касательная, главная нормаль и бинормаль. Для построения такого базиса в рассматриваемой задаче имеется вектор, касающийся траектории и данный своими компонентами в сопутствующем движению системы базисе. В таком базисе шарнир неподвижен, аксоиды - конические поверхности, и для построения полных решений достаточно иметь их направляющие линии - соответствующие годографы угловых скоростей. Уравнения годографов в рассматриваемом в о с ь л о л решении записаны. Исследован и частный случай, когда траектория шарнира оказывается плоской кривой, посредством которой несложно ввести и неподвижный базис.

Последняя из предложенных шестая форма уравнений движения использована для нахождения еще одного - девятого случая интегрируемости. Сведение задачи к квадратурам в этом случае выполнено в одиннадцатой главе. Потенциальная энергия конкретизиру-

ется, но девять параметров сохранены свободными.

Проводившееся в большинстве случаев интегрируемости построена! полных решений подтверждает известное положение, что использована специфики конкретной задачи может привести к более простому пун вывода уравнений аксоидов по сравнению с предлагаемыми общей теори ей. Ив двенадцатой главе сопоставлен с этой теорие! подход, использующий то, что в рассматриваемой задаче о движенк двух тел, сочлененных сферическим шарниром, абсолютная скорост; шарнира оказалась данной своими компонентами в базисе, связанном этими телами. Преимущества такого представления аксоидов продемон стрированы применением к случаям интегрируемости, рассматривавашмс ранее в седьмой и восьмой главах.

Чтобы продемонстрировать структуру полученных решений, приве

дем в качестве примера два из них. Это вариант второго решения, по

лученного при условиях А0 = А, п0 = - п и обозначениях в I

х - _ t> = — , gn =

О А «Г V

A-N и 2 [А-Щ

Рг - Л (в)] cos2t - (gn - bnstw:]2 ЦСО = - шЛт) = / ---р-2-- .

brasiirc fgn- fenslm") slnx OuCc) = uu(t) = - , 0,(г) = - ul(i> = —У-я-

- cost j 008*4

г

r di г( x) = -

J 0. (a)

T и

Г id, (г) - n/J r Q,(t) - Rf/Jn

ФС-с) = ф(*0) + -2-as, Ф(1) = ф(1п) - -2-dT

0 J илт) 0 J a,(x)

Подвижный аксоид тела S - линейчатая поверхность

= (х,ц)со8ф(т;) + ?2Сс,ц)а1пф(г),

= - Cr,M.)stacp(x) + £2(т;,|А)соаф(и),

, w£(x) - u?(x)cos2x n

U(x,p.) = o + cu -s---i-+ ц- ,

3 ü ufii) Ju(x)

где = u2(t) + а|(т) + n2/J2,

г n ,10. (t) вЛт) ?Лх,ц) = - ania>(x)ain2x - Га - cucos2x) - -4— + u. - ,

1 L 02 o J Ju2(x) W(T)

г о Л , 1 COp(t)

= апаг (i)sln2i - (а + cu) - (i) — + y. — .

2 l- 0 1 01 J 2 ш(х)

В уравнениях неподвижного аксоида

С2(х,м.) = Cp(T,n)cosa(x) - tQ(x)sina(x), С3(х,|л) = Cp(x,n)sina(x> + ea(x>cosct(x) использованы компоненты

п ц,(х)

С,(х,ц> = 2а0э±пх ->- p. --(a + cu) - — ,

v 0 Ш(Х> ^ J bf(l)

Шп(т;) П un(x> üUxjuUa)

= ц --(a + cu) - , СДх) = 2cu ¿ P— cosí,

P (od) (yJoj2(x) a 0 O)2 (t)

n

где uyx) = g0 - (1 - b) - sinx,

üjp(a) = co2(x) + |o)2(x}slnx - - cosxj ,

а зависимость угла a от í определяет квадратура х

a(x) = Г -я-í- ü)(x)ü3' (х)Г(0о (x)slnx — cosx] -

•i (Op(x)u).j (i)l. L 2 j J

To

- (1 - b) - + ü|(x))smx - - u2(x)cosxj| dx.

Уравнения аксоидов тела S° аналогичны. В этом решении остаются свободными параметры A,N,J,JQ,n,g,h и произвольная дифференцируемая функция Я(т).

Во втором примере эта функция конкретизирована Я(6) = с соз2х. При заданном инвариантном соотношении F = - - Л^Л найдено мате-

матическое решение

О, (т) = - to1 (т) = à = goy/cos2|3 - (sinpcos2a + slnp^)2/sin22<r U)g (1) = g0(SinpCOS2'î +- 9111^/811521, Qg (т) = g0(3iïip0cos2a + s±n£)/sin2T;, «3(1) = - g0C2s3np0cos2t + (1 + cos22x)sinp]/з1л22г, 03(t) = - gQl2s±npcos2t + (1 + cos22T)sln|3û]/s3n22T;, cos2a = cos(3cosp0cos2g0£ - sinpsinp0,

sin£cosp0cos2g0i 4- sinp0cosp

tp(t> = - g*t - arctg Ф(т) = - G%t - arctg

cosp0siîi2g0i

sinp0cospcos2g0î + siiipcosp0

cospsin2g0t

g Arfi - №in n

где приняты обозначения gQ =- , g% = —-- — ,

Л - AQ H J

g s _ 2e BtoQ = C^p) Су-^рЗ в = [¿-^çyi-Bhp) h J0' ~ gH ' P°~ gH

Для построения полного решения получены уравнения аксоидов. Подвижный ансоид тела S:

çj(t,n> =

1 e(oncosp0coa2gni - acosp)sinpi

Ц. ■■■■ ■ -■-■■- + —------cosgtî

■ / 1+e2tg2p соэ2р + s2sin2p J

H-stg2^

+ aO cosposln2g0îsing,i,

1 s fancospncos2gr,î - acosp) sin6'

p. ■■ ■ —- + —------slng»t

• / 1+e2tg2p ' С0В2Р + e2sln2|3

1 •)-£tg2p

" a° Us2tg2p cos^^0tcoSg,t,

# etgp (acosp - ar,cospricos2gni) cos(3 ?3(i,(i.) = \i ............__ •- +-У-У-У-

/ 1+e2tg2p eos2p + s2sln2p

Неподвижный аксоид тела S:

инг^р а(1-е)а1п|3 С1= ц — + а0з!пр0 - ав1пр + -

(1-£)гврсоз(30соз2ё^

- а

0

О-впвр г пег^р

с2и,н.) = р. - + а0 и +-

/не2г^р ' 1+е2г§2р-

еО-е^р

+ а

созр0 +

созр COЗg0í, 1^

Г П-е^вР Г

С3 С^ ,М.) = Ц . + а0 1 +-

е(1-8>гв2р 1 + а- созр|з1п#0*,

пе2^р -I

Нп

где е = - .

(V ~

Для тела 5° аксоиды записываются аналогично.

Известен результат Н.Е.Жуковского, установившего, что движение оси симметрии гироскопа Лагранжа и оси, ортогональной круговому сечению гирационного эллипсоида гироскопа Гесса, одинаковы, и различаются движения этих тел изменениями углов собственного вращения, а эти изменения отнесены соответственно к циклическому интегралу Лагранжа и инвариантному соотношению Гесса.

Это дало возможность в тринадцатой главе обобщить рассматривавшуюся в пятой - двенадцатой главах задачу, полагая теперь, что сферическим шарниром сочленены гиростаты Сретенского, обобщившего случай интегрируемости Гесса. В этих случаях интегрируемости угол собственного вращения связан со временем уравнением Рик-кати, не сводящемся в общем случае к квадратурам, и это служит препятствием к построению полного решения, так как подвижный аксоид

требует информации о такой зависимости. Однако, здесь найдены случаи, ногда уравнения могут быть проинтегрированы, и задача получает полное решение.

Рассмотренный в четырнадцатой главе объект в определенном смысле примыкает к конструкциям, изучавшимся в первой части и предыдущих главах части второй. Это два тела, являющиеся по динамическим характеристикам телами вращения без предположения о равенстве этих характеристик (как во второй задаче), но располагающиеся на платформе (динамическом аналоге корпуса гиросферы из первой части). Получены уравнения движения такой системы трех тел и два случая их интегрируемости.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ^ ВЫНЕСЕННЫЕ НА ЗАВДТУ.

1. Классическая задача динамики твердого тела о движении имеющего неподвижную точку гиростата с неизменным в его корпусе гиро-статическим моментом обобщена на гиростат с переменным гиростати-ческим моментом. Этот объект вводится в аналитическую динамику как идеализированная математическая модель гиросферы - чувствительного элемента двухроторного гирокомпаса.

2. По отношению к этому объекту поставлены традиционные для аналитической динамики задачи поиска случаев интегрируемости и построения полных решений средствами компьютерной графики.

3. Наличие упругого звена с неконкретизированной характеристикой обеспечило эффективность полуобратного метода построения точных решений с полиномиальными инвариантными соотношениями. Найдено и сведено к квадратурам одиннадцать случаев интегрируемости. Полученъ уравнения годографов, необходимые для построения полных решений.

4. Получены уравнения движения гиросферы, учитывающие ее динамические дебалансы. Они проинтегрированы в случае отсутствия у это{

системы тел общего момента количества движения.

5. Дана общая постановка задачи о гиросистеме, находящейся на объекте, движущемся на (над) поверхности Земли.

6. Задача о гиросфере соотнесена с задачей о движении по инерции двух тел с динамически осесимметричным распределением масс, сочлененных сферическим упругим шарниром, принадлежащим осям этих тел. Предложено шесть форм уравнений поставленной задачи.

7. Поиск случаев интегрируемости направляется структурой предполагаемого инвариантного соотношения, отвечающей соответствующей ей форме уравнений. Найдено девять точных решений. Записаны уравнения аксоидов, обеспечивающие возможность построения полных решений.

8. Результаты последней задачи распространены на случай тел, имеющих по распределению масс структуру гиростатов Л.Н.Сретенского.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1. Лесина М.Е. О колебаниях оси маховика в теле-носителе. // Механика твердого тела.- 1977.- Вып.11.- С.32-37.

2. Лесина Ы.В. О свободном движении двух тел, соединенных сферическим шарниром. / В кн.: Третье республиканское совещание по проблемам динамики твердого тела (тезисы докладов).- Донецк, 1981.- С.36-37.

3. Лесина М.Е. Об условиях существования точных решений задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, соединенных сферическим шарниром. // Механика твердого тела.- 1984.- Вып.16.- С.32-36. M.E.lesina. Existence conditions for. exact solutions of the problem of motion of two Lagrange gyroscopes connected by a spherical Joint. // Mechanics of rigid, bodies. Vol.16. 1986 by Allerton Press, Inc. P.39-43.

4. Лесина М.Е. Уравнения аксоидов в одном из решений задачи движения двух тел, соединенных сферическим шарниром. // Механика твердого тела.- 1984.- Вып.16.- С.36-42.

M.S.lésina. Equations oî axoids in one the solutions of the problem of motion, of two bodies connected by a spherical Joint. // Mechanics of rigid bodies. 1986. Vol.16. P.44-50.

5. Лесина M.E. Некоторые точные решения задачи о движении по инерции системы трех связанных твердых тел. // Механика твердого тела.- 1985.- Вып.17.- С.49-54.

M.E.Lesina. Some exact solutions of the problem of inertial motion of a system of three coupled rigid bodies. // Mechanics of rigid bodies. 1987. Vol.17. P.62-67.

6. Лесина M.E. Об одной системе трех связанных тел. // Механика твердого тела.- 1986.- Вып.18.- С.53-58.

7. Лесина М.Е. Один класс инвариантных соотношений задачи о движении двух связанных тел. // Механика твердого тела.- 1986.-Вып.18.- С.47-53.

8. Лесина М.Е. К построению полного решения в одном случае интегрируемости задачи о движении двух связанных тел. // Механика твердого тела.- 1987.- Вып.19.- С.54-57.

M.E.Lesina. On the construction of the complete solution in a case of integrality of the problem of motion of two coupled bodies. // Mechanics of rigid bodies. 1989. Vol.19. P.53-56.

9. Лесина M.E. К построению полного решения задачи об относительном движении системы двух тел. // Механика твердого тела.-.1987.- Вып.19.- С.58-68.

M.E.Lesina. On the construction of the complete solution of the problem of relative motion of two-body system. // Mechanics of rigid bodies. 1991. Vol.21. P.29-39.

10. Лесина H.B. Три новых случая интегрируемости уравнений движения системы двух связанных твердых тел. // Механика твердого тела.-1989.- Вып.21.- С.24-30.

11. Лесина М.В. Аксоида в одном случае интегрируемости задачи о движении двух тел, связанных сферическим шарниром. // Механика твердого тела.- 1991.- Выл.23.- С.43-50.

12. Лесина U.E. Полное решение задачи об одном классе равноаксоид-шх движений по инерции двух тел, соединенных сферическим шарниром. // Механика твердого тела.- 1991.- Вып.23.- С.93-101.

13. Лесина U.E. Некоторые точные решения задачи о движении двух гиростатов, соединенных сферическим шарниром. // Механика твердого тела.- 1992.- Вып.24.- С.45-51.

14. Лесина U.E. Равшаксоидные движения гиростатов. // Механика твердого тела.- 1992.- Вып.24-.- С.51-56.

15. Лесина М.В. Гамильтонова форма уравнений задачи о движении двух связанных тел. // Механика твердого тела.- 1993.- Вып.25.-

С.42-44.

16. Лесина М.В. Сведение к квадратурам общего случая задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных упругим сферическим шарниром. // Механика твердого тела.- 199 .- Вып.26.- С.

17. Лесина U.E. О математической модели гиросферы.- Донецк: ДонГТУ, 1996.- 102с.

18. Лесина М.В., Харламоб А.П. Новый подход к построению аксоидов в задаче о движении системы двух связанных тел. // Механика твердого тела.- 1993.- Вып.25.- С.30-42.

19. Лесина Н.Е.у Шевченко Т.П. Полное решение задачи о движении двух связанных тел в одном случае интегрируемости. // Механика твердого тела.- 1988.- Вып.20.- С.71-76.

М.Е.Leslna and T.P.Shevchenko. Complete solution of the problem

of the motion of two connected bodies in a certain integrality-case. // Mechanics of rigid bodies. 1990. Vol.20. P.70-74.

20. Лесина M.S., Шебчешо Т.П. Об одном случае движения двух тел, связанных сферическим шарниром, при нулевом моменте количества движения. // Механика твердого тела.- 1990.- Вып.22.- С.48-54.

Лесина M.S. Две задачи аналитической динамики твердого тела.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.02.01 - теоретическая механика, Институт прикладной математики и механики HAH Украины, Донецк, 1996, рукопись.

Защищаются 20 работ, содержащие исследование двух задач аналитической динамики систем связанных взаимодействующих тел. Эти задачи смыкаются с современной теорией гироскопов. Получены математические и полные решения задачи о движении гиросферы (чувствительного элемента гирокомпаса) при различных уровнях идеализации конструкции. Набор точных решений получен и в задаче о пространственном движении по инерции системы двух гироскопов Лагранжа (при обобщении - гиростатов Сретенского), соединенных упругим сферическим шарниром. Впервые в конкретной задаче аналитической динамики получены аксоиды пространственного движения каждого из тел системы, доставляющие исчерпывающую информацию обо всех особенностях движения тел.

Leeina И.Е. The two problems of the analytical dynamics oi the rigid bodies.

The competition Dissertation for the academic degree of the Doctor of the physico-mathematical sciences In speciality 01.02.01 - of the theoretical mechanics, Institute of the applied mathematics and mechanics NAS, Ukrain, Donetsk, 1996, the manuscript .

The 20 scientific papers carrying on the researching oi the two problems for the system of the analytical dynamics closed with the interaction bodies are defended bt the author. The mathematical task and complete solving of the problem about the motion of the

gyrosphere (the sensitive element of the gyrocompass) at the levf of the idealised construction are obtained. The set of the accur; solutions on the problem about spatial motion of the two gyrosco] Lagrange under their own momentum (in generalizing - Sretensky < rostat) coupled with the elastic spherical ¡joint is found. For first time axoiOs of the spatial motion of each body of the sys sending exhaustive explanation about the all peculiarities of body motion are received too.

Ключов! слова: система зв'язаних взаемод1ючих т!л - Прок пас, г!ровузол; Простатичний момент, точн! розв'язання, 1нвар1ан н! сшвв1дношеяня, годографи, аксоТда.