Периодические движения твердого тела, расположенного в треугольной точке либрации ограниченной задачи трех тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО

TEJ1A. ВОКРУГ ТРЕУГОЛЬНОЙ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ.15:

1.1. Неограниченная задача о поступательно-вращательном движении трех твердых тел

1.2. Уравнения вращательного движения спутника, в точке либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел

1.3. Плоские, периодические движения твердого тела в точках либрации

1.4. Уравнения движения твердого тела в канонических переменных Андуайе.

1.5. Условия существования периодических решений гамильто-новых систем

1.6. Построение периодических решений гамильтоновых систем

1.7. Вычисление характеристических показателей периодических решений гамильтоновых систем

Глава 2. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА, РАСПОЛОг ЖЕННОГО В ТРЕУГОЛЬНОЙ ТОЧКЕ ЛИБРАЦИИ КРУГОВОЙ, ОГРАНИЧЕННОМ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ.

2.1.Приведенные уравнения вращательного движения твердого тела в точке либрации.

2.2. Порождающие периодические решения в задаче о движении тела с трехосным эллипсоидом инерции.

2.3. Об устойчивости периодических движений тела обладающего трехосным эллипсоидом инерции

2.4. Приведенные уравнения движения осесимметричного тела

- 3 вокруг точки либрации L^ круговой ограниченной задачи трех тел

2.5. Периодические движения осесимметричного тела и их необходимые условия устойчивости

2.6. Построение рядов, представляющих периодические решения

2.7. Периодические движения твердого тела с трехосным эллипсоидом инерции /продолжение /

2.8. Периодические движения осесимметричного твердого тела, расположенного в точке либрации L^ /продолжение/

Глава 3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ОСЕСИММЕТРЙЧНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ Ц ОГРАНИЧЕННОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ.

3.1. Уравнения вращательного движения осесимметричного тела, расположенного в точке либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел.

3.2. Порождающие периодические решения в случае соизмеримостей А/п. в цп,?3.

3.3. Периодические движения осесимметричного тела в случае соизмеримости A/rv = ГЦ.

3.4. Об устойчивости периодических движений осесимметричного тела

Глава 4. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ ШУТНИКА С ТРЕХОСНЫМ ЦЕНТРАЛЬНЫМ ЭЛЛИПСОИДОМ ИНЕРЦИИ, ВОКРУГ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ ОГРАНИЧЕННОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ

4.1. Уравнения движения

4.2. Первое семейство периодических решений в задаче о движении твердого тела с трехосным эллипсоидом инерции /соизмеримости вида /.

4.3. Второе семейство периодических решений для твердого тела о трехосным эллипсоидом инерции /соизмеримости вида Л/гъ- eXnc4°V .Ю

4.4. Третье семейство периодических решений для твердого тела с трехосным эллипсоидом инерции /соизмеримости вида Л'П. = пТ/.НО

4.5. Необходимые условия устойчивости периодических решений в задаче о движении твердого тела с трехосным эллипсоидом инерции

4.6. Численные исследования в задаче о периодических движениях спутника, помещенного в точке либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел

В диссертации изучаются периодические и условно-периодические движения твердого тела /спутника/, расположенного в треугольной точке либрации двух активно гравитиругащих тел, движущихся относительно общего центра масс по круговым или эллиптическим орбитам.

Для изучения вращательных движений притягиваемого тела используются специальные формы уравнений в переменных Андуайе и классическая теория периодических решений Пуанкаре. Выполнено численное исследование порождающих решений для большого ряда найденных в диссертации семейств периодических решений.

Актуальность данного исследования связана с разработкой многочисленных проектов по использованию точек либрации / а также траекторий вблизи этих точек / системы Земля-Луна для космических исследований в народнохозяйственных или научных целях. Для реализации указанных проектов представляют важный интерес различного рода периодические движения спутника, целесообразные для проведения систематических наблюдений, связи и т.д.

Моделируя спутник твердым телом, на первом этапе можно провести исследования периодических движений тела, расположенного в точках либрации ограниченной круговой задачи трех тел. При этом наибольший практический интерес представляют треугольные точки либрации, т.к. движение центра масс спутника вблизи этих точек устойчиво.

В связи с этим в диссертации выполнено подробное исследование периодических движений твердого тела относительно центра масс, расположенного в треугольной точке либрации, в гравитационном поле, создаваемом двумя притягивающими телами. Предполагается, что спутник обладает центральным эллипсоидом инерции, близким к сфере.

- 5

В диссертации получены следующие результаты:

1. Найдено несколько семейств периодических и условно-периодических решений и выполнено исследование их устойчивости в задаче о вращении спутника, помещенного в треугольную точку либрации круговой ограниченной задачи трех тел.

2. Найдены семейства периодических решений и выполнено исследование их устойчивости для осесимметричного тела и тела, обладающего трехосным центральным эллипсоидом инерции и расположенного в треугольной точке либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел.

3. Выполнено численной исследование порождающих решений и устойчивости найденных периодических решений.

Большинство результатов диссертации дополняют исследования работ [б] , [?] .

Важное значение для вывода уравнений движения твердого тела в треугольной точке либрации имеют общие формы уравнений поступательно-вращательного движения твердых небесных тел, полученные Г.Н.Дубошиным [i] , [2] , а также исследование стационарных решений в: задачах о движении несферичных небесных тел, выполненные Г.Н.Дубошиным [з] , [4] , В.В.Белецким [в] - [ю] , В. В. Румянцевым [il] , [12] , и др.

Изучение периодических и резонансных движений твердого тела, расположенного в точках либрации или совершающего заданное движение вблизи этих точек, особенно интенсивно развивалось в последние годы с появлением работ А.П.Маркеева [l3] - [l7] , Ю.В.Бар-кина [б] , [?] . Еще раньше исследования по данной проблеме проводились за рубежом Robinson w.J. [ie] , [19] .

А.П.Маркеев вшолнил цикл исследований вращательных движений спутника, центр масс которого движется вблизи коллинеарной точки либрации La, ограниченной круговой задачи трех тел ,

15] .

В [l4] предполагалось, что периодическая орбита центра масс твердого тела представляет собой отрезок прямой, перпендикулярной плоскости вращения основных притягивающих масс и проходящей через точку либрации La,

В работе [l5] изучены плоские периодические движения спутника относительно собственного центра масс, который движется по близкой к L^ периодической орбите в плоскости обращения основных притягивающих тел. Показано существование движений, для которых одна из главных центральных осей инерции во все время движения остается ортогональной плоскости орбиты.

Robinson w.J. [is] , [19] изучил движение спутника- гантели относительно собственного центра масс, расположенного, в треугольной точке либрации ограниченной круговой задачи трех тел. Показано существование частных решений, для которых ось гантели во: все время движения лежит в плоскости орбиты основных тел и занимает фиксированное положение по отношению к основным телам. Устойчивыми положениями является те, .для которых ось гантели "сечет" угол равностороннего треугольника, образованного телами, в треугольной точке либрации.

Стационарные положения в точке либрации L произвольного твердого тела изучались в работе Ю.В.Баркина [б] .В работе [б] также получены необходимые и достаточные условия устойчивости стационарных движений, как для осесимметричного спутника, так и для спутника, обладающего трехосным эллипсоидом инерции.

Б работах Ю.В.Баркина и Ю.Г.Маркова [20], изучались резонансные движения твёрдого тела вокруг точки либрации Ц круговой ограниченной задачи трёх тел. Для спутника обладающего эллипсоидом инерции близким к сфере, указаны интегрируемые случаи уравнений движения, усреднённых по схеме Делоне - Хилла.

Решения, полученные в работах [<ю] , [21] ,описывают резонансные эффекты в движении твёрдого тела и позволяют оценить период резонансных колебаний и амплитуды соответствующих возмущений.

В работах А.П.Маркеева и П.С.Красильникова [1б] , [22] исследо -ваны вращательные движения твёрдого тела / в рамках ограниченной задачи трёх тел/ в предположении, что центр масс спутника движется в поле тяготения основных тел по некоторой заданной условно - периодической орбите.

На основе методов усреднения в [лб] , [22] исследованы различные типы резонансных и не резонансных вращательных движений твёрдого тела / в рамках круговой и эллиптической ограниченной задачи трёх тел /. Причём основные гравитирующие тела и Mj, рассматриваются как материальные точки. В качестве переменных выбраны элементы Андуайе. Подробно изучены резонансные движения осесимметри -чного спутника и быстро закрученного спутника с трёхосным эллипсоидом инерции.

Показано, что обнаруженные динамические эффекты во вращении спутника аналогичны резонансным эффектам, для спутника движущегося в центральном поле , изученным впервые В.В.Белецким и А.П.Торжев-ским [23] .

Теория периодических решений Пуанкаре, для вырожденных гами-льтоновых систем [24J применялась в рассматриваемой проблеме Ю.В.Варкиным [б] .

В работе [б] показано, что в случае твердого тела, обладающего трехосным эллипсоидом инерции, задача допускает семейство периодических решений, которые рождаются из периодических решений невозмущенной задачи / последняя представляет собой задачу об Эйлеровом движении тела со сферическим эллипсоидом инерции /.

Найдены и изучены соответствующие порождающие решения. Порождающим решениям соответствуют такие движения тела, для которых в начальный момент времени t - 0 проекция вектора ф0 на плоскость орбиты либо совпадает с линией ////' , либо ей ортогональна /линия /V//' проходит через точку и определяет характерное направление между основными телами/. При этом вектор <£0 совпадает с одной из главных центральных осей инерции тела и образует постоянный угол с нормалью к плоскости орбиты. Значение §е зависит от параметров задачи S*" и *>) / "\) = 221Л - отношение масс основных тел, " ь , tfl , Ь , С - главные чЯ - с ' центральные моменты инерции спутника/.

Отметим, что в работе [б] рассмотрены лишь синхронные движения спутника, при которых он совершает один оборот относительно собственного центра масс, за один оборот основных тел по орбите.

В работе [7] , используя метод усреднения Делоне-Хилла, найден новый класс стационарных движений спутника с трехосным эллипсоидом /близким к сфере/, расположенного в треугольной точке либрации эллиптической задачи трех тел. Здесь изучены резонансные движения спутника, для которых за. два оборота- основных-тел по орбите спутник совершает целое число оборотов относительно собственного центра масс.

Следует сказать, что теория периодических решений А.Пуанкаре, развитая для гамильтоновых систем [24] , получила довольно широкое применение в задачах о поступательно-вращательном движении небесных тед [l8] - [31] , в ограниченной задаче о вращательном движении спутника на эллиптической или круговой орбите /Ю.В.Баркин,А.А. Панкратов[32]- [34] ,Ю.В.Варкин, А.А.Козлов, С.Н.Лелявин[з5]/.

Теория периодических решений А.Пуанкаре, также получила применение в классической задаче о движении твёрдого тела с закреплён -ной точкой в однородном поле тяжести или в центральном поле /В.Г.Дёмин, Ю.В.Баркин, В^В.Козлов и др. [зб] - [зв]/.

Выполнение в указанных работах исследования представляют не только чисто теоретический интерес. Например периодически© решения найденные в работах- [27], [4о]-позволили объяснить законы Кас-сини и резонансные либрации Луны. Это указывает на практическую значимость периодических решений в указанных выше модельных задачах.

Прежде чем перейти к изложению содержания диссертации отметим важные исследования стационарных решений / Эйлеровых и Лагран-жевых / в неограниченной задаче трёх тел. Эти исследования выполня -лись Г.Н.Дубининым [з], [4], [25] ,В.В.Видякиным [41] - [49] ,В.Т.Конду -рарем,Н.И.Шинкарик,Л.С.Троицкой [йо]- [ei] .

-В дисеертации-выполняетея систематическое исследование, различных семейств периодических решений в задаче о вращении твёрдого тела вокруг точки либрации Li* » как круговой так и эллиптической ограниченной задаче трёх тел [б2^ - [бб].

В случае круговой ограниченной задачи найдены новые периодисоу ческие решения которым отвечают соизмеримости n,i = a,rv

О) п, - среднее орбитальное движение основных тел, rt1 - угловая скорость вращения спутника/, а также условно- периодичес

- 10 кие решения,для случая соизмеримости п. ^ = sun

В случае эллиптической ограниченной задачи подробно исследованы несколько новых семейств периодических решений, которым соответствуют соизмеримости AM=a,n.Je> Или /Уп. = п^05 f где л/ нечётное или целое число соответственно.

В обоих случаях отдельно рассмотрены периодические движения осе-симметричного спутника и спутника, обладающего трёхосным эллипсоидом инерции.

В основе исследования лежат уравнения движения в оскулирующих элементах и теория периодических решений А.Пуанкаре.

В первой главе диссертации на основе строгих уравнений поступательно-вращательного движения системы трёх твёрдых тел выводятся уравнения вращательного движения твёрдого тела в точках либрации ограниченной эллиптической /круговой/ задачи трёх тел.

Предполагается, что размеры тела И и его масса пренебрежимо малы по сравнению с расстояниями до основных тел и< f м* и их массами соответственно.

Уравнения вращательного движения записаны в углах Эйлера и в сопряжённых им канонических импульсах.

Показано, что уравнения допускают плоские движения спутника, при которых его ось вращения остаётся ортогональной к плоскости орбиты.

Найдено частное решение в плоской эллиптической задаче,для которого за два оборота по орбите спутник совершает один оборот относительно нормали к плоскости орбиты [бё] .Зто решение обобщает известное решение В.В.Белецкого для задачи о плоских вращательных движениях спутника на эллиптической орбите в центральном поле [ю] .

Рассмотрены плоские либрационные и ротационные движения спутника в точке L^ в случае круговой орбиты основных тел [б] .

Получены уравнения вращательного движения спутника в треугольной точке либрации Lц. ограниченной, эллиптической задачи трех тел, которые записаны в безразмерных переменных Андуайе.

Уравнения приведены к стандартной форме вырожденных гамильто-новых систем, удобной для дальнейшего исследования.

В заключении первой главы рассматриваются основные положения теории периодических решений А.Пуанкаре для гамильтоновых систем.

Здесь приводятся условия существования периодических решений, рассматриваются алгоритмы построения рядов, представляющих периодические решения и их характеристические показатели. Приведенные здесь сведения широко используются при изучении периодических решений рассматриваемой модельной задачи во 3 и 4 главах диссертации.

Во второй главе диссертации изучаются периодические движения твердого тела /с эллипсоидом инерции близким к сфере/ относительно собственного центра масс, расположенного в треугольной точке либрации круговой, ограниченной задачи трех тел [б4] [бб] .

Уравнения вращательного движения спутника приведены к стандартной форме. Малый параметр вводится на основе предположения о близости эллипсоида инерции тела М к сфере.

С помощью первого интеграла Якоби осуществляется понижение порядка уравнений движения на две единицы и уравнения приводятся к канонической неавтономной системе уравнений четвертого порядка.

Изучены периодические решения приведенной системы уравнений и доказано существование периодических движений трехосного спутника вокруг точки Lfy круговой ограниченной задачи трех тел.

Для этих движений за один оборот спутника по орбите он совершает один или два оборота относительно собственного центра масс т.е. средние угловые скорости орбитального п. и вращательного пДв> движений связаны следующими условиями соизмеримостей п. , п}сл = ьп,

Изучены периодические решения как исходных уравнений, так и приведенных уравнений движения.

В последнем случае периодические решения соответствуют условно-периодическим решениям исходных уравнений задачи.

Подробно изучены и интерпретированы соответствующие порождающие периодические решения.

С помощью метода вычисления приближенных значений характеристических показателей получены и изучены необходимые условия устойчивости периодических решений [б4] - [бб] .

В случае осесимметричного спутника найдено семейство решений для соизмеримостей = xrt [бб]. В качестве примера построены первые члены рядов, представляющих семейство периодических решений для соизмеримости r\,l?=rc .

Выполнены численные исследования аналитических выражений, определяющих порождающие периодические решения.

В третьей главе диссертации изучены периодические движения осесимметричного спутника /с эллипсоидом инерции близким к сфере/ вокруг треугольной точки либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел [б2] , [бб] .

С помощью первого интеграла, характеризующего постоянство г» проекции вектора (рв на ось симметрии спутника, уравнения движения приведены к системе четвертого порядка. Здесь найдены два семейства периодических решений, которым соответствуют следующие типы

- 13

Св) 1в) соизмеримости: 1, Afn = 2. /Vxn = Пн /л/х- целое число , М - нечетное число /.

Построены аналитические зависимости, определяющие порождающие периодические решения.

В явном виде получены неравенства, представляющие собой необходимые условия устойчивости найденных периодических решений.

Используя ЭВМ, выполнено численное исследование порождающих периодических решений для различных показателей соизмеримости А/ , параметра "й TEL»' / \) - отношение масс основных тел/, а

THTV.4 также необходимых условий устойчивости периодических решений.

В четвертой главе диссертации исследованы периодические решения в задаче о вращательном движении спутника, обладающего трехосным эллипсоидом инерции, в точке либрации [ ^ ограниченной эллиптической задачи трех тел [бб] .

Уравнения движения спутника представлены в безразмерных переменных Андуайе и записаны в стандартной„ форме.

Здесь также найдены несколько семейств периодических решений, соответствующие двум основным типам соизмеримостей вида

О)

Для соизмеримостей А^п.^я.пч найдены два семейства периодических решений. В случае одного из них вектор (р0 совпадает с одной из осей инерции спутника, а для другого семейства вектор (р0 кинетического момента образует произвольный угол 9о с осью инерции Go*} спутника.

Для найденных периодических решений получены необходимые условия устойчивости.

Выполнен детальный численный анализ аналитических зависимостей, определяющих порождающие периодические решения. Численные расчёты иллюстрируются рисунками, на которых показана эволюция семейств периодических решений в зависимости от параметров: е. , л/ , входящих в аналитические зависимости, определяющие эти семейства. На рисунках отмечены области устойчивости /по первому приближению/ найденных семейств периодических решений.

На защиту выносятся следующие результаты, полученные в диссертации:

1. Найдены семейства периодических и условно-периодических решений в задаче о вращении спутника в точке либрации La круговой ограниченной задачи трёх тел. Изучены необходимые условия их устойчивости.

2. Найдены семейства периодических решений в задаче о движении твёрдого тела /осесимметричного или с трёхосным эллипсоидом инерции/ вокруг точки либрации Ц эллиптической ограниченной задачи трёх тел. Для найденных решений выполненн анализ устойчивости в линейном приближении.

3. Выполнен численный анализ по эволюции семейств периодических решений в зависимости от параметров входящих в аналитические выражения их определяющие и исследованы аналитические выражения определяющие их необходимые условия устойчивости.

В диссертации выполнено исследование периодических и условно -периодических движений твёрдого тела /с эллипсоидом инерции,бли зким к сфере/ вокруг центра масс, расположенного в треугольной точке либрации ограниченной задачи трёх тел.Проведённое исследование подтвердило эффективность теории пе риодических решений А.Пуанкаре и уравнений вращательного движения спутника в переменных Андуайе, для нахождения и изучения новых семейств периодических решений.Ранее подобное исследование было выполненно в работах [28]- L34J ,посвященных задаче двух твёрдых тел. Однако, в указанных работах не проводился численный анализ зависимостей между порождающими значениями переменных и параметра ми задачи.В диссертации выполнены численные исследования этих зависимо стей и необходимых условий устойчивости, для найденных периодических решений. Программы,написанные на языке Фортран, могут использоваться для дальнейшего численного исследования не только в задачах, рас смотренных в диссертации, но и в других родственных задачах небесной механики.значения угловых переменных to , о^ , ^о не равны: О , ^ , Периодические решения^найдеиные в диссертации^могут предста вить интерес для реализации заданных периодических движений спутни ка расположенного в треугольной, точке либрации системы двух активно гравитирующих тел /системы Земля - Луна / в пассивном режиме полёта. 1ЯП. til • • • •^••'

0^00'^-О.9^(уГ-аД ISO-OGOC •^*0.9 A/SS Ж; a,...l....::.l^ COO •^вО.Э,л(с5 18t .ft РИС. Ь. у:е: :о .о5 ,а: ' . е^о.^ , ь"-еао.б,£д,х1,£^,1.0.00 '^s0 .5 , f^*< iSOTDQOO '^-^ O.S, ff-z Ъ 190 130 ни? pv»C ,x. /-e-.o.o3,^a,.e = G.a,,yieco.G, (La.::.i,£iai pwic.6- / 'е»©-05,,,1"-е=о.а., 3-exo.6,£.a.x->i,£b*-i 180. i i_aQ_4i . j . a D ^ , 0 .0 I CLA I : Q-.C..00 "^-50.5,Л*\ 18C.D!I00 '^aO.Sjrf^a 180 'flOO '^=0.5 bl'sS 180.00* P^a.5. y-e*o.o5,^ar-e.*o.a,,i"-e=o.6, £4^ -1 ,£ь^ -1 0 .00 bo-^f^-b/l 133 ?ш;оо "^^ 0.9,»>f-b 13GQ?I 1 J < ' z :^ pvvc.9. 4-e^o.o5,iL-e*o.a,, з'-е* o.t, tia-'i,£b=i coo ^а0.9,л1«5 130.00 130. i IRH fc 0 .0 I cue I Q_^l pi^ c.2». V-eao.o5,ar-e-oaj.b*-er.o.6,djLrs-4, &ь*4 pue.'i'i. y-e*o.o5 , a,*-eao.x, 2)-e=o.6,4a,=.'i, e^^ 0 'VO.5,AI=5

1.8 a J ) , рис.40.y: e:iu.05, a;-e=o.;u, i^-esce, £a.^4,42>--i I S O . O O

0.00Vo.9,i4*A IQOO '^-0.9, 'i»J» COO "^sO-SjA/si р«лс.й. , . r -e -o .o5 , ,х' '-е.*о.х, „b " -s - .o .6 ,ex -^£*M

0.00 '>г0.9,||-4 18G%5QOO "^sO.U^rt^ Ji IScfeoOO '5*0.$,л[гЗ COO V-CS^M-b^ 13CWQ00 U0.5,M^Ji •^-0.5,^-2) рисмг м<'-^»о.в5, „х^-е^са., „i''-e=o.6,£^t-^£i--4 c o o '^*0.4,(4s< IBC^QOO V0.4,(J*Jl) 1ВОИ00О "^'O.iy^l'Z

ОчОО 'Ui0.9,f/a4 00 •^a0.9,*/^Sb ISoffcCOO '^•s.0.9,Ns4

0^00 Ьб.5,»1'а< 00 ^-O-S^KfuSi, COO ^*o.5,hlci iso.ob pvicSLO. „r -e -cos , „2."-e=6.i.,„b''-e.i6.u, а.--'!,!*-^ ISC lRn ,n

0*00 '^sO.Ц^f*^ 18( 130 .00 02 ^*0.5,i4--Jb 132>!BC00 «^JrO.S^Mzb 00 •^ao.-l r\^\ 130ч0Ь00 'JsO.*, fJ-illi 13o!fecDO ^C0.4,(4i3 130 дОС? • 13& -

1ЯП,П| ^ •*о-«,е,-.г;^-иъ--^ 'й-о.9,&,=и,^п,еь»< ';)--o.9,t.-..|,ex--i,£b-.< 00 I R I i - r i \ r r' / n,f 1* ' 1 i '»)sO.S,6*4ti-<,tb*4 l^S,b»*-1,g.i*S^**< »)^0.5,€,i-<,4x--l,6iM Рис.а.^. „1" -^"0 -05 , „Х" -его . а , , „ г " - е -0 .6 , r^*! • 1 чОО 0 . 0 0 I . „ 1 .00 •1 <00 coo ишооо 1 Я П . П 1 Я П . П • 1 . 0 0 ПП х^ШЗОО с о е ЬчССОО^ „ , , 1 чОО •1 ^00 1^3)000 1 Я П . П j>'5-0.Se.=-1,£i---1,£i=-l '^-0.4,6,«4,4i=4,6i- .H •0«O.'(,£,*^£i-.4,£sz-« 1 .00 -1 .00 000.'^-0.9,t--i,t:L-Stb-.l v)-0.<i,tv--S^a--<»tb=^ ^i0.%e.,t.i,ti--4,ibx4 1 400 •1 .00 i-.rimo. I 400 •^^o.sfii-beL-b£b-< ЬоА,£'--^г.л-Ь^ь--'« ^»о-<,£4-И,и*н,£»а<

-1чОО GlOO UfOOO 0 . 0 0 l-.DCDO. ^ ^ 1 ^00 i-.0.9,u.--Mt».--«,eb»H U:^.^,t .-H,t^a-4,6jsM &«0.«i ,£ .r4, t , . .St5»H рисъь. ui '-e=.o.o5, „ I ' -e -oOi , мЪ"-е--о.б,'^-b •boo Очоо i^ muoo c^oo . — ^ - 1 .oq. oToo b.%oa TTcTop ^^Jftno -ч « . л .i t -i t i.^o^ 180- 1ВП-0 '^^!;^f-—

РИС. Ъ8. .. 4"- е-_о.о5 , . . а ." -есо.г , „ ь"-е=в.б , ^Г=!ь v,,4—bi^ J

1.00 c o o l^iQOO 0.00 Ь.БСОО 1 .00 Т\ ^"^ л 1 <00 l^ JDQOO 1 .00 РИСЛ8. tA--l,£,.---l,ti--i,Msl,./-\'*o.i,MJ."-V.O.L, „b'-'^i-o.i, „ц'-'^ -.о-н „ь"-0-в.ь, «ц''-'ixo.i», .s'-^^o.s, ,4"-'^*o.fc, л-"^=0.1.,

„V-'i*o.i,„i,-.V.o.it,„5"-';)-.0.5,>"-^^o.6,

1. Дубошин Г.Н. О дифференциальных уравнениях поступательно-вращательного движения взаимно притягивающихся твердых тел. -Астрон.ж., 1958, 35, 265-276.

2. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. Изд.2-е, перераб. и доп. М.,Наука, 1968.

3. Дубошин Г.Н. Об одном частном случае задачи трех твердых тел.-Астрон.ж., 1974, 51, №5, 1079-1086.

4. Дубошин Г.Н. О разложении силовой функции двух конечных тел.-Сообщ.Гос.астрон. ин-та им.П.К.Штернберга, 1977, №201, 3-30.

5. Дубошин Г.Н. Частный случай ограниченной задачи трех твердых тел. Сообщ.Гос.астрон. ин-та им. П.К.Штернберга, 1980, №218, 11-33.

6. Баркин Ю.В. О движении космического аппарата относительно центра масс, расположенного в точке либрации системы Земля-Луна.-Космич.исслед., 1980, 18, №2, 191-206.

7. Белецкий В.В. О либрации спутника. Сб.Искусств, спутники Земли, изд. АН СССР, 1959, вып.З, 13-31.

8. Белецкий В.В. Некоторые вопросы поступательно-вращательного движения твердого тела в ньютоновском поле сил. Сб.Искусств, спутники Земли, изд. АН СССР, 1963, вып.16, 68-93.

9. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М., Наука, 1965.- 14'4~

10. Румянцев В.В. Об устойчивости ориентации динамически симметричного спутника в точках либрации. Механика,твердого, тела, 1974,, №2, 3-8.

11. Румянцев В.В. Об устойчивости ориентации спутника-гиростата т равновесных положениях в точках либрации. сб.избр.проб.прикл. мех., М., 1974, 605 - 606.

12. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космонавтике.- М., Наука, 1976.

13. Маркеев А.П. О стационарных вращениях твердого тела на периодической орбите вблизи коллинеарной точки либрации. Прикл.матем, и мех., 1979, 43, 4II-4I8.

14. Маркеев А.П. Плоские периодические движения спутника относительно центра масс вблизи коллинеарной точки либрации.- Космич.иссл.;, 1979, 17„ №3, 331-341.

15. Маркеев А.П.,Красильников П.С. О движении спутника относительно центра масс в эллиптической ограниченной задаче трех тел.- Космич.исслед., 1981, т.19, №2, 178-190.

16. Баркин Ю.В., Марков Ю.Г. Резонансные движения космического аппарата относительно центра масс, расположенного в треугольной точке либрации системы Земля-Луна. Прикл.матем. и мех., 1980,44, №3, 569-573.

17. Баркин Ю.В., Марков Ю.Г. Резонансные движения твердого спутника относительно собственного центра масс, расположенного в треугольной точке либрации. Косм.исслед., 1980, 18, №6, 832-843.

18. Красильников П.С. Быстрые нерезонансные вращения спутника в ограниченной задаче трех тел. Письма в Астр.ж., 1980, б, PI2, 774 - 777.

19. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. Моск. ун-т, 1975, 308.

20. Пуанкаре А. Избранные труды, т.1 М.,Наука, 1971г.

21. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.,Наука, 1978.

22. Мерман Г.А. Новый класс периодических решений в ограниченной задаче Хилла. Труды ин-та теор.астр. АН СССР, 1952, №2,7-86.

23. БаркинЮ.В. Вычисление характеристических показателей периодических решений Пуанкаре и устойчивость вращательных движений небесных тел по законам Кассини. -Письма в. Астр.ж., 1979, 5, №2, 100-105.

24. Баркин Ю.В. О плоских периодических двищениях твердого тела в поле притяжения шара. Астр.ж.,1976, 53, №5, 1110 - III9.

25. Баркин Ю.В. О периодических движениях осесиммеяричного твердого тела в поле притяжения шара. Астр.ж., 1977, 54, №3, 698-706.

26. Баркин Ю.В. Плоские периодические движения двух твердых тел.- I46 - Вест.МГУ, физ.астрон., 1977, №5, 67 74.

27. Баркин Ю.В. Периодические решения Пуанкаре третьего сорта в задаче о поступательно-вращательном движении твердого тела в поле притяжения шара. Астр.ж., 1979, 56, №3, 632 -640.

28. Баркин Ю.В., Панкратов А.А. О периодических вращательных движениях осесимметричного спутника на эллиптической орбите. -Космич.исслед., 1977, 15, Р6, 526.

29. Баркин Ю.В., Панкратов А.А. О периодических движениях осесимметричного спутника относительно центра масс на круговой орбите.- Вестн.МГУ, физ.астр., 1978,19, №1, 95 104.

30. Баркин Ю.В., Козлов А.А., Лелявин С.Н. Об устойчивости периодических движений спутника относительно собственного центра масс. Космич.исслед., 1982, №4, 631-633.

31. Демин В.Г., Киселев Ф.И. О периодических движениях твердого тела в центробежном поле. Прикл.матем. и мех,, 1974, 38, №2.

32. Демин В.Г., Баркин Ю.В. О периодических движениях твердого тела с закрепленной точкой в ньютоновском поле. Прикл.матем. и механ., 1977, 41, №1, 182 - 185.

33. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.,изд.МГУ, 1980.

34. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамики. М.ОНТИ, 1937.

35. Баркин- Ю.В. Периодические и условно-периодические решения в задаче о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной- 14(7 точки. Прикл. матем. и мех., 1981, 45, №3, 535 - 544.

36. Видякин В.В. Разложение силовой функции двух однородных сфероидов с несовпадающими плоскостями симметрии. Астр.ж., 1972, №3, 641 - 646.

37. Видякин В.В. Частные решения задачи о движении трех сфероидов с общей плоскостью симметрии. Астр.ж., 1972, №6, I300-I3I0.

38. Видякин В.В. Плоская, круговая, ограниченная задача трех сфероидов. Астр.ж., 1974, №5, 1067 - 1094.

39. Видякин В.В. Об устойчивости одного частного решения задачи о движении трех однородных сфероидов. Астр.ж.,1974,51,№6,199-207.

40. Видякин В.В. Частные решения о поступательно-вращательном движении трех твердых тел. Канд.диссертация, МГУ,ГАШ1,1975.

41. Видякин В.В. Лагранжевы и близкие к ним решения задачи о поступательно-вращательном движении трех твердых тел.Celeat .i.iech., 1976, 13, №3, 325 361.

42. Видякин В.В. Эйлеровы решения задачи о поступательно-вращательном движении трех твердых тел. ceieat.:»iech.1977, 16, 509 526.

43. Видякин В.В. 0 частных решениях в ограниченной задаче о движении трех сфероидов. Астр.ж., 1975, 52, №1, 152 -158.

44. Видякин В.В. Лагранжевы решения ограниченной задачи о поступательно-вращательном движении трех твердых тел. Бюл.ин-та теор. астр., АН СССР, 1979, 14, Ш,г 463 - 471.

45. Кондурарь В.Т., Шинкарик Т.К. 0 точках либрации в ограниченной обобщенной задаче трех тел. Бюл.ин-та теор.астр.АН СССР, 1972, 13, №2, 102 -НО.

46. Кондурарь В.Т., Троицкая Л.С. О притяжении двух твердых тел.- I4'8 Вестн.межвед.сборн., Механ.тверд.тела, Киев, 1976, №8,, 89-98.

47. Кондурарь В.х., Троицкая JI.C. Разложение силовой функции двух твердых тел. Астр.ж., 1976, 53, №6, 1318 -1324.

48. Кондурарь В.Т., Гамарник Н.И. Задача о поступательном движении трех твердых тел. Частные решения. Письма б Астр.ж., 1980, 6, №2, 116 - 119.

49. Кондурарь В.Т., Гамарник Н.И. 0 периодических решеньях, близких к лагранжевым, в задаче о поступательно-вращательном движении трех твердых тел. Аннотац.докл.Всесоюзн. съезда по теор. и прикл.мех. Тезисы докл., Изд. Наука, Казахск. ССР, Алма-Ата, 1981.

50. Кондурарь В. Т.,Троицкая Л. С. Необходимые и достаточные условия существования лагранжевых и эйлеровых решений общей задачи трех твердых тел. Республ.межвед.сборн.Механ.твердого тела, Киев* 1981, №13, 3-9.

51. Гамарник Н.И. 0 периодических решениях, близких к лагранжевым, ограниченной задачи о пеступательно-вращательном движении трех твердых тел. Письма в Астр.ж., 1981.

52. Троицкая Л.С. Круговые и прямолинейные движения осесимметрично го тела под действием тяготения двух сферических тел.Астр.ж., 1976, 53, №1, I9I-I97.

53. Троицкая Л.С. Уравнения движения трех твердых тел в переменныхЛяпунова и углах Эйлера. Бюл. ин-та теор.астр. АН СССР,1979, 14,7.

54. Шинкарик Т.К. О существовании периодических решений, близких к либрационным, обобщенной ограниченной задачи трех тел.-МГУ, М., 1970, Деп.

55. Шинкарик Т.К. 0 периодических решениях, близких к либрационным, обобщенной ограниченной задачи трех тел. В сб. наблюдение искусств, неб.тел, №62, М., 1971, 169-181.

56. Шинкарик Т.К. Об устойчивости точек либрации в ограниченной обобщенной задаче трех тел. Астр.ж., 1971, 48, №3.

57. Баркин Ю.В., Лелявин С.Н. Периодические вращательные движения КА вокруг точки либрации ограниченной задачи трех тел.Тр.объед.чтен.,поев.разраб.научн.наследия пионеров освоения космич.пространства. Секц.прикладн. неб.мех. и упр.движ.,1983.

58. Демин В.Г., Баркин Ю.В., Лелявин С.Н. Частные решения в задаче о поступательно-вращательном движении небесных тел. Третье респ.совещ. по пробл. динамики твердого тела. Тезисы докладов. Донецк, 1981.

59. Лелявин С.Н. Новые решения & задаче о вращательном движении твердого тела вокруг точки либрации L^. . Деп. Известия АН КазССР, сер.физ.-мат. №5, 1982 /рук.деп. в ВИНИТИ 29 июля 1982г., №4066 -82 деп./.

60. Лелявин С.Н. Один класс периодических движений твердого тела, расположенного в треугольной точке либрации круговой ограниченной задачи трех тел. Деп.Известия АН КазССР,серия физ.-мат., №5, 1982 /рук.деп. в ВИНИТИ 29 июля 1982г., №4067-82деп./.

61. Баркин Ю.В., Лелявин С.Н. Периодические режимы вращательного движения твердого тела вокруг точки либрации L ^ ограниченной эллиптической задачи трех тел. Косм.исслед.,1984,22, 5, 663 674.

62. Суслов Г.ft. Теоретическая механика. М., ОГИЗ, 1946.

63. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демин В.Г., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике /под ред. Г.Н.Дубошина/ М.,Наука, 1976.

64. Фоминов АЛЛ., Филенко Л.Л. Вычисление коэффициентов Ганзена и их производных. Алгоритмы небесной механ., вып.19,Л., 1978.

65. Субботин М.В. Введение в теоретическую астрономию. М.,Наука,1968.

66. Баркин Ю.В. Периодические решения в задаче о поступательно-вращательном движении небесных тел. Канд.диссертац., МГУ, ГАМ,1978.

67. Jarnagin М. Р.,Aston.Papers, 18,1965.