Исследование треугольных точек либрации задачи трех тел в сопротивляющейся среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение.

1 Ограниченная задача трех тел.

1.1 Краткая история задачи.

1.2 Постановка задачи и уравнения движения.

1.3 Частные решения ограниченной задачи трех тел.

1.4 Устойчивость точек либрации в случае круговой задачи.

1.5 Периодические движения в окрестности Ь4, Ь5.

2 Задача трех тел при наличии межпланетной среды.

2.1 0 природе малых диссипативных сил.

2.2 Точки либрации в среде с сопротивлением.

2.3 Исследование устойчивости по первому приближению.

2.4 Анализ устойчивости в частных случаях.

2.4.1 Среда постоянной плотности.

2.4.2 Среда с вязким трением.

2.4.3 Среда с аэродинамическим сопротивлением.

2.4.4 Произвольный закон сопротивления.

3 Периодические орбиты ограниченной задачи трех тел в сопротивляющейся среде.

3.1 Бифуркации равновесия.

3.2 Бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа.

3.3 Циркуляция диссипативных сил по периодическому решению.

3.4 Исследование бифуркации.

3.5 Определение типа орбиты.

- 4

Ограниченная задача трёх тел является одной из основных классических задач небесной механики. Начало в изучении этой задачи положено Эйлером в связи с его теорией движения Луны. Последующее развитие она получила в трудах Якоби, Хилла, Пуанкаре, Леви-Чевитта, Биркгоффа и многих других замечательных учёных. Несмотря на почти двухсотлетнюю историю задачи, она попрежнему актуальна, об этом можно судить по работам Себехея, Маркеева, Брюно.

Внимание к ограниченной задаче трёх тел связано не только с её применением к описанию движения небесных тел. Уравнения движения задачи трёх тел интересны с чисто математической точки зрения, так как являются примером гамильтоновой системы. В процессе их изучения родилось много теорий и методов имеющих общее значение.

К настоящему моменту в классической ограниченной задаче получены исчерпывающие, на современном уровне теории, результаты. На этом фоне интенсивно развивается направление, связанное с постановкой и исследованием модифицированных моделей задачи трёх тел. Некоторые из таких моделей учитывают физические свойства движущегося тела (обобщённая задача трёх тел), другие принимают во внимание дополнительные силы (фотогравитационная задача, задача с сопротивлением среды).

В основе постановки задачи трёх тел в сопротивляющейся среде, лежит, частично подтверждённая наблюдениями, гипотеза о неоднородности космического пространства. Результаты изучения этой задачи могут быть использованы как дополнительные доводы, для подтверждения или опровержения некоторых космогонических теорий.

Исторический опыт показывает важность исследования различных моделей. Так как природа непредсказуема в своих проявлениях, становится актуальным вопрос об исследовании самых разных законов сопротивления. Подобный подход прослеживается в работах Денби, Джефриса, Иванова.

В модели ограниченной задачи трёх тел с учётом среды, неподвижной относительно абсолютной системы координат, используется закон предложенный Смартом. Эта модель особенно интересна с математической точки зрения, так как в ней получены довольно неожиданные результаты, касающиеся устойчивости треугольных точек

- 5 либрации. Несмотря на это, задача до сих пор малоисследованна и представляет интерес в плане новых законов сопротивления.

Данная диссертация посвящена исследованию треугольных точек либрации пространственной круговой ограниченной задачи трёх тел при учёте сил сопротивления среды.

В первой главе рассмотрена классическая ограниченная задача трёх тел, приведены и проанализированы основные результаты, с целью использования в дальнейшем. Особое внимание уделено частным решениям круговой ограниченной задачи трёх тел -треугольным точкам либрации, а также периодическим решениям в их окрестности. В § 1.1 кратко изложена история основных достижений в задаче трёх тел. В § 1.2 рассматривается постановка классической задачи и уравнения движения. Считается, что тело, масса которого исчезающе мала (пассивно-гравитирующая точка), движется в поле гравитационного притяжения двух тяжёлых планет (основные тела), не оказывая влияния на движение последних. Для описания движений пассивно-гравитирующей точки используется вращающаяся (синодическая) система координат, связанная с основными телами.

В § 1.3 показано существование пяти точек либрации задачи трёх тел. Три из них, прямолинейные точки либрации (1,!, Ь2, Ь3), лежат на оси, проходящей через основные тела. Две оставшихся, треугольные точки либрации (Ь1}Ь2), образуют с основными телами во вращающейся системе координат равносторонние треугольники. Их координаты (1/2 - 2/х, уД/2,0), (1/2 - 2ц, — л/3/2,0).

В § 1.4 приведена схема исследования устойчивости точек либрации в плоской круговой задаче трёх тел. Показано, что прямолинейные точки либрации неустойчивы, а треугольные точки устойчивы по Ляпунову практически для всех значений массового параметра из диапазона ; ,,

0 < 11 < р? ^ 0.0385208

В § 1.5 приведена теорема Ляпунова о голоморфном интеграле, из которой следует существование двух семейств периодических решений в окрестности треугольных точек либрации. Для приближённого построения этих решений используется нормальная форма функции гамильтона в окрестности Ь4,Ь5, полученная Маркеевым по методу нормализации Биркгоффа.

- 6

Вторая глава посвящена постановке задачи трёх тел с учётом сопротивления среды и исследованию треугольных точек либрации этой задачи.

В § 2.1 обсуждается вид закона сопротивления. Среда считается неподвижной в абсолютной системе координат. Её сопротивление мало и направлено в сторону противоположную абсолютной скорости тела V. В общем виде сила сопротивления выглядит как: = -е№д{У)?, (1) где 0 < £ « 1, г ■ радиус вектор тела во вращающейся системе координат, /, д - дифференцируемые, скалярные функции. В ограниченной постановке влиянием сопротивления на основные тела можно принебречь. Уравнения движения в среде с сопротивлением имеют вид: дП

С - 2rf

Л" + 2?

С" = Ж дп drj дП 51, + 52, 53,

2) где в качестве независимой переменной и принята истинная аномалия, р -соотношение масс основных тел (массовый параметр), р\,р2 -расстояния до основных тел.

1^2 , 1.

I = + rf) - ^е(2 cos u + W,

Pl ^ Р2: - т2 г1 ГП\ + т2 '

В 2.2 показано, что в задаче с сопротивлением существуют треугольные точки либрации. Они смещены, относительно треугольных точек либрации в пустоте, на величины: Тек2^Д{1 ~ Р + р2) + 0(£2),

Art = тек2( 1 - 2ц) + 0(е2),

АС = 0(е2), к те,г, k2 ~ 9р(1 - р)

Смещение происходит в плоскости основных тел в сторону вращения.

В § 2.3 исследуется устойчивость треугольных точек либрации в среде с сопротивлением. Так как прямой метод Ляпунова для исследования устойчивости здесь неприменим, из-за сложности построения функции Ляпунова, вывод об устойчивости делается

- 7 по первому приближению, с использованием метода линеаризации. Устойчивость в зависимости от от функций / и д сводится к теореме: Теорема

Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости треугольных точек либрации в среде с сопротивлением (1) имеют вид: f° I 9 п°

J \29 ~Г1 о dg

PVD (2д°

Lls Ц „0 df

4«

Ii %

-*0 Z

Lls

0, с о dg

5щ 0

Если хотя бы одно из этих неравенеств имеет противоположный смысл, точка либрации неустойчива.

В § 2.4 рассмотрены 3 частных случая законоа сопротивления и один общий закон. 1) Среда с постоянной плотностью описывается так:

S=-e\V\2W.

3)

Первые результаты, касающиеся такого закона сопротивления, получены Ивановым. 2) Случай когда среда неоднородна и её плотность зависит от расстояния до наиболее тяжёлой массы (в случае пары Солнце-планета - до Солнца) имеет вид:

S = -£\f -rc\ßV.

4)

3) Случай, когда закон сопротивления содержит квадрат скорости, назван аэродинамическим, так как характеризует среду, ведущую себя подобно атмосфере при малых скоростях тела:

S=-e\r-fc\ß\V\V. (5)

4) Общий закон:

S =-e\f-fG\ß\V\^V.

Для каждого случая получены условия устойчивости и построены области устойчивости в плоскости параметров задачи. Показано, что наличие среды не означает, в данном случае, потерю устойчивости, а ведёт к уменьшению значений массовых параметров

- 8 для которых точки либрации устойчивы. Этот результат существенно отличается от результата Дэнби, который получил неустойчивость, в случае когда сила сопротивления среды противоположна вектору относительной скорости.

Третья глава посвящена периодическим движениям в окрестности треугольных точек либрации. Ляпуновские семейства периодических орбит в среде сопротивлением разрушаются. При этом часть изолированных орбит семейства сохраняется. Подобное явление описывается бифуркацией Пуанкаре-Андронова-Хопфа. Коэффициент бифуркации позволяет найти изолированные орбиты и определить их устойчивость. К сожалению, процесс нормализации системы с диссипативными силами, обычно используемый при поиске коэффициента, настолько сложен, что делает его в данном случае непригодным. Поэтому разработан алгоритм, позволяющий численно находить коэффициент бифуркации. Он основан на свойстве изолированных орбит, которое заключается в том, что циркуляция диссипативных сил по ним равна нулю. Вычисление коэффициентов бифуркации требует высокой точности. Для её достижения приходится строить ляпуновские семейства невозмущённой задачи особенно тщательно. Здесь это делалось с помощью метода "сечения Пуанкаре". Изложение третьей главы построено в соответствии с основными этапами алгоритма.

Собственные значения системы линеаризованной в окрестности смещённых точек либрации зависят от параметра 7, характеризующего тем или иным образом закон сопротивления среды. В § 3.1 показано, что на границе области устойчивости все собственные значения имеют отличные от нуля действительные части, за исключением пары комплексно сопряжённых чисто мнимых корней. Отсюда следует, что потеря устойчивости теугольных точек либрации в среде с сопротивлением происходит по сценарию бифуркации Пуанкаре-Андронова-Хопфа.

В § 3.2 описана бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа.

В § 3.3 задача с сопротивлением рассматривается с позиций метода малого параметра Пуанкаре. Система уравнений (2) зависит от малого парметра г и при е = О переходит в систему урвнений, описывающую классическую задачу трёх тел, которая является системой Ляпунова. Для подобных систем справедлива теорема Малкина, которая даёт условия существовоания периодической орбиты. Её смысл заключается в том, что: если циркуляция малых диссипативных сил на периодическом решении Г

- 9 натуральной механической системы равна 0, то Г близко к предельному циклу системы с диссипацией.

В § 3.4 приводится схема алгоритма основанная на вычислении интеграла

В § 3.5 для каждого конкретного закона сопротивления (3), (4), (5) производится анализ собсвенных значений и тем самым определяется тип орбиты из которой рождается предельный цикл.

В § 3.6 описывается метод "сечения Пуанкаре" и его реализация для значений массового параметра /11 = 95.384 х Ю-5 и = 1215.07 х Ю-5.

В § 3.7 и § 3.8 приведена схема, по которой производится выделение из семейств предельных циклов и определение коэффициентов бифуркации. Показано, что рождение предельного цикла возможно только из орбит короткопериодического семейства. При этом периодическая орбита будет устойчива. Получены периодические орбиты близкие к изолированным орбитам системы с диссипацией (3), (4), (5).

В § 3.9 построены периодические движения для случая среды, частицы которой движутся вокруг Солнца по круговым орбитам ("кеплерово кольцо").

В приложении 1 в виде 16 таблиц приведены результаты численного интегрирования по формуле (6) для значений массового параметра и законов сопротивления

В приложении 2 в виде 9 рисунков приведены результаты вычисления коэффициентов бифуркации для значений массового параметра /¿1,^2 и законов сопротивления (3), (4), (5) и среды типа "кеплерово кольцо".

Положения выносимые автором на защиту таковы:

1. В пространственной круговой ограниченной задаче трёх тел в среде с сопротивлением, зависящем от абсолютной скорости тела и расстояния до оси вращения, доказано существование треугольных точек либрации. Вычислены величины смещений треугольных точек либрации относительно решений классической задачи. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости смещённых точек либрации.

2. Выяснен смысл условий устойчивости в частных случаях: среда постоянной плотности, среда с вязким трением, среда с аэродинамическим сопротивлением.

6)

3), (4), (5).

- 10

3. Разработан численный алгоритм, позволяющий построить периодические решения в окрестности смещённых точек либрации. Показано, что эти периодические решения рождаются из положения равновесия при смене устойчивости по сценарию бифуркации Пуанкаре-Андронова-Хопфа.

4. На базе полученного алгоритма проведено исследование частных случаев закона сопротивления среды неподвижной в абсолютной системе координат для конкретных значений массового параметра ¡i = 95.384 х 10""5 и ¡л = 1215.07 х 10~5, что соответствует системам Солнце-Юпитер, Земля-Луна.

5. Построены периодические движения для случая среды, частицы которой движутся вокруг Солнца по круговым орбитам ("кеплерово кольцо").

Результаты диссертации докладывалитсь и обсуждались на: Всероссийской конференции "Наблюдение естественных и искусственных тел Солнечной системы" (Санкт-Петербург, 1996 год) Всероссийской конференции "Проблемы небесной механики"(Санкт-Петербург, 1997 год); научном семинаре по аналитической механике и устойчивости в МГУ под руководством акад. РАН В.В. Румянцева и проф. A.B. Карапетяна (1998 год); на научном семинаре под руководством проф. В.Н.Тхая и проф. А.Л.Куницына (1999 год); на научном семинаре под руководством член.-кор. РАН В.В.Белецкого (1999 год).

Основные результаты диссертации опубликованны в 7 работах.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, двух приложений, заключения, списка литературы . Общий объём - 100 страниц, включая 25 рисунков и 16 таблиц.

Заключение.

В данной работе исследовалась круговая ограниченная задача трёх тел в сопротивляющейся среде. Доказано, что в задаче тёх тел в среде неподвижной в абсолютной системе координат треугольные точки либрации смещаются. Получены выражения для величин смещения. Сформулирована и доказана теорема дающая необходимые и достаточные условия устойчивости треугольных точек либрации в системе с диссипацией. Показано, что в отличии от случая среды, неподвижной во вращающейся системе координат, существуют условия, при выполнении которых, точки либрации будут устойчивы. Такие условия представлены в виде областей в плоскости параметров задачи для конкретных законов сопротивления.

Исследованы периодические движения в окрестности смещённых точек либрации. Показано, что, несмотря на то, что под действием диссипативной силы ляпуновские семейства периодических орбит разрушаются, ряд изолированных орбит сохранится. Эти орбиты образуются по сценарию биффуркации Пуанкаре-Андронова-Хопфа. Разработан эффективный алгоритм поиска изолированных периодических орбит. В рамках алгоритма, проведено построение ляпуновских семейств невозмущённой задачи методом "сечения Пуанкаре". Этот метод может быть использован в неизменном виде в дальнейшем для уточнения периодических орбит задачи с диссипацией.

Для трёх частных случаев закона сопротивления, применительно к системам Земля-Луна, Солнце-Юпитер, определены типы изолированных орбит, их устойчивость и линейные характеристики. Показано, что рождение устойчивой орбиты возможно только из короткопериодического семейства. Во всех случаях вычисленны коэффициенты бифуркаций.

Построены периодические орбиты в задаче трёх тел в среде, частицы которой вращаются вокруг наиболее тяжёлой массы, так называемое "кеплерово кольцо". Показано, что рождение устойчивой орбиты, аналогично случаю среды неподвижной в абсолютной системе координат, возможно только из короткопериодического семейства. Вычислен коэффицент бифуркации.

65

Таблшф О

Солнце-Юпитер Земля-Луна

Среда постоянной плотности Таблица 1 ^^ (Ю-10) (КГ10) Таблица 2 Таблица 3 (Ю-10) (Ю-10) Таблица 4

Среда с вязким трением Таблица 5 (ИГ10) (10 |4) /Г Таблица 6 Таблица 7 (ю-12)^^ (ю-10) Таблица 8

Среда с аэродинамическим сопротивлением Таблица 9 (Ю"10) (10 ,0) ^^ Таблица 10 Таблица 11 (10~'°)^^ (ю-10) Таблица 12

Среда типа "кеплерово кольцо" 1 Таблица 13 (ю-12) (1014) Таблица 14 Таблица 15 ^^ (ю-12) (ю-14) Таблица 16

1. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в общем эллиптическом случае. - Успехи математических наук, 1963, т. 18, вып.6, с. 91192.

2. Арнольд В.И. Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. Успехи математических наук, 1963, т.18, вып.5, с.13-40.

3. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.

4. Арнольд В.И. Об устойчивости положений равновесия гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем эллиптическом случае. -Доклады Академии наук СССР, 1961, т. 137, № 2, с. 255-257.

5. Арнольд В.И. Теория катастроф. 3-е изд. М.: Наука, 1990, 127 с.

6. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1967. -223 с.

7. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. - 240 с.

8. Баутин H.H. Леонтович Е.А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. 2-е изд. М.: Наука,1990. 486 с.

9. Бочкарёв Н.Г. Основы физики межзвёздной среды. М.: МГУ. 1992.

10. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. Плоские периодические орбиты. -М.: Наука, 1990, 295 с.- 91

11. Брюно А.Д. О формальной устойчивости систем Гамильтона. Математические заметки, 1967, т.1, № 3, с. 325-530.

12. Булгаков Б.В. О нормальных координатах. Прикладная математика и механика, 1946, т. 10, вып. 2, с. 273.

13. Гребеников Е.А. Об устойчивости лагранжевых треугольных решений ограниченной эллиптической задачи трех тел. Астрономический журнал, 1964, т.41, № 3, с. 567-578.

14. Дёмин В.В. Судьба Солнечной системы.

15. Джумбаева A.A., Куницын A.JI. Об устойчивости периодических гамильтоновых систем при многократном резонансе четветрого порядка ПММ, 1998, т.62, вып.5.

16. Джумбаева A.A., Куницын A.J1. Стабилизация точек либрации в системе Земля-Луна. Тез. докл. конф. "Новые теоретические результаты и практические задачи небесной механики". Москва, 1997.

17. Джумбаева A.A., Куницын A.J1. Периодические движения орбитальной станции в системе Земля-Луна. Тез. докл. Всероссийской конф. "Проблемы небесной механики". С.-Петербург, 1997.

18. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука, 1964.

19. Егоров В.А. О некоторых задачах динамики полета к Луне. Успехи физ. наук, 1957, т. 63, вып 1а, с 73-117.

20. Зигель К.Л. Лекции по небесной механике. М.: Изд-во иностр. лит., 1959.

21. Зимовщиков A.C. Тхай В.Н. Об устойчивости треугольных решений неограниченной задачи трёх тел. -Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Москва.: Изд-во ВЦ РАН. 1998. С. 117-130.

22. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. - 271 с.

23. Иванов А.Н. Динамика систем с механическими соударениями. М.: Международная программа образования, 1997. 336 с.- 92

24. Иванов А.П. Влияние малых сил сопротивления на относительное равновесие. -ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 5. С. 22-30.

25. Иванов А.П. Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. М.: 1981.

26. Иванов А.П. К задаче об устойчивости лагранжевых решений неограниченной задачи трёх тел. письма в Астроном, ж. 1979. т. 5. N 9. сс. 489-492.

27. Иванов А.П., Соколовская В.В. Устойчивость треугольных точек либрации ограниченной задачи трёх при учёте сопротивления среды. Труды XIX Научных чтений по космонавтике. Прикл. и небесн. мех. и упр. движением. М.: ИИЕТ РАН 1995. с. 7-8.

28. Иванов А.П., Соколовская В.В. Об устойчивости треугольных точек либрации задачи трёх тел в сопротивляющейся среде. Космические исследования. 1997. Т. 35. N. 5. с. 495-500.

29. А.П.Иванов. О периодических орбитах ограниченной задачи трёх тел в сопротивляющейся среде. Актуальные проблемы классической и небесной механики. М.: 1998. с. 40-45.

30. А.П.Иванов, Соколовская В.В. Построение периодических орбит вблизи треугольных точек либрации задачи трёх тел в сопротивляющейся среде. ПММ. 1999. Т. 64. Вып. 3.

31. Каменков Г.В. Избранные труды, т.1. М.: Наука, 1971. - 259 с.

32. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. Доклады Академии наук СССР, 1954, т.98, № 4, с.527-530.

33. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физмат-гиз, 1959. - 211 с.

34. Куницын A.JI. Геометрическая интерпритация необходимых условий устойчивости треугольных точек либрации общей задачи трех тел. Celestial Mechanics, 1971, V.3, No 2, pp.222-226.

35. Куницын A.JI., Тхай B.H. О неустойчивости лапласовых решений неограниченной задачи трех тел. Письма в астрономический журнал, 1977, т.З, № 8, с. 376-380

36. Леонтович A.M. Об устойчивости лагранжевых периодических решений ограниченной задачи трех тел. Доклады Академии наук СССР, 162, т. 143, № 3, с. 525-529.

37. Лукьянов Л.Г. Об устойчивости в первом приближении треугольных лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел. Биллютень Института теоретической астрономии АН СССР, 1969, т.11, № Ю (33), с. 693-704.

38. Ляпунов A.M. Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех телах. В книге: Собрание сочинений, т.1. - М.; Л.: Издательство АН СССР, 1954, с.327-401.

39. Ляпунов A.M. Общая задача устойчивости движения. В книге: Собрание сочинений, т.2. - М.; Л.: Издательство АН СССР, 1956, с.7-263.

40. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний.

41. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956 - 491 с.

42. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. - 530 с.

43. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Численной исследование усточивости лагранжевых решений эллиптической ограниченной задачи трех тел. Прикладная математика и механика, 1974, т.38, вып.1, с. 49-55.

44. Маркеев А.П. К задаче об устойчивости лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел. Прикладная математика и механика, 1973, т.37, вып.4, с. 753757.- 94

45. Маркеев А.П. О "диффузии Арнольда" в многомерной задаче об устойчивости треугольных точек либрации. Препринт Института прикладной механики АН СССР, 1974, № 109, - 27 с.

46. Маркеев А.П. Об усточивости треугольных точек либрации в эллиптической ограниченной задаче трех тел. Прикладная математика и механика, 1970, т.34, вып.2, с. 227-232.

47. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. Москва.: Наука, 1978, - 312 с.

48. Маркеев А.П. Исследование устойчивости лагранжевых решений плоской эллип-лической задачи трех тел. Препринт Института прикладной механики АН СССР, 1973, № 1, - 31 с.

49. Маркеев А.П. К задаче об устойчивости положений равновесия гамильтоновых систем, Прикладная математика имеханика, 1970, т.34, вып.6, с. 997-1004.

50. Маркеев А.П. Об устойчивости треугольных точек либрации в круговой ограниченной задаче трех тел. Прикладная математика и механика, 1969, т.ЗЗ, вып.1, с. 112-114.

51. Маркеев А.П. Об устойчивости канонической системы с двумя степенями свободы при наличии резонанса. Прикладная математика и механика, 1968, т.32, вып.4, с. 738-744.

52. Маркеев А.П. Об устойчивости неавтономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Прикладная математика и механика, 1969, т.ЗЗ, вып.З, с.563-569.

53. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и её приложения. -Мир.:, 1980. 368 с.

54. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973 - 167 с.

55. Мозер Ю. О кривых, инвариантных при отображении кольца, сохраняющих площадь. В сборника переводов "Математика", 1962, т.6, вып.5, с. 51-67.- 95

56. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. 2(Элементы теории бифуркаций неподвижных точек преобразования). Изв. ВУЗов. 1958, Сер. Радиофизика, т. 1, № 2. с. 95-117.

57. Персидский К.П. Избранные труды, т.1. М.: Наука, 1976, - 272 с.

58. Понтрягин Л.С. О динамических системах близких к Гамильтоновым. Журн. эксп. и теор. физики, т. 3, вып. 5, 1933.

59. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики, тт.1,2. М.: Наука, 1971,1972. -771 е., 999 с.

60. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. Препринт Вычислительного центра АН СССр, 1967. - 141 с.

61. Рябов Ю.А. О периодических решениях вблизи треугольных точек либрации ограниченной плоской круговой задачи трех тел. -Астрономический журнал, 1952, т. 29, № 5, с. 582-596.

62. Смарт У.М. Небесная механика. М.: Мир, 1965.

63. Сокольский А.Г. Доказательство устойчивости лагранжевых решений при критическом соотношении масс. Письма в астрономический журнал, 1978, т.4, № 3, с. 148-152.

64. Сокольский А. Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы в случае равных частот. Прикладная математика и механика, 1974, т.38, вып.5, с. 791-799.

65. Сокольский А.Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансе перврого порядка Прикладная математика и механика, 1977, т.41, вып.1, с. 24-33.

66. Сокольский А.Г. Об устойчивости лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел при критическом соотношении масс. Прикладная математика и механика, 1975, т.39, вып.2, с. 366-369.- 96

67. Соколовская B.B. Исследование устойчивости точек либрации в среде, плотность которой завист от расстояния до Солнца. Наблюдения естественных и искусственных тел Солнечной системы. Программы и тезисы докладов. С.-П. 1996. с. 132-133.

68. Соколовская В.В. Исследование периодических орбит вблизи треугольных точек либрации в сопротивляющейся среде -Проблемы небесной механики. Программы и тезисы докладов. С.-П. 1997. с. 158.

69. Соколовская В.В. Исслеедование периодических орбит вблизи треугольных точек либрации в сопротивляющейся среде. -Моделирование и исследование сложных систем. Доклады II международной научно-технической конференции, М.: 1998, т.З. с. 546-548.

70. Соколовская В.В. Об устойчивости треугольных точек либрации при наличии сопротивления среды, зависящего от абсолютной скорости. Второй симпозиум по классической и небесной механике. Программы и тезисы докладов. М: Академия космонавтики. 1996. с. 77-78.

71. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968.

72. Тхай В.Н. Об устойчивости постоянных лапласовых решений неограниченной задачи трех тел. Прикладная математика и механика, 1978, т.42, № 6, с. 10261032.

73. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.; JL: Гостехиздат, 1937.

74. Форсайт Дж., Малкольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир., 1980, 277 с.

75. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. - 207 с.

76. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. Москва.: Наука, 1972. - 718 с.

77. Alan J., Kenneth Н. Canonical forms for symplectic and hamiltonian matrices. -Celestial Mechanics, 1974, v. 9, No. 2, pp. 213-238.- 97

78. Alfriend K.T., Rand R.M. Stability of the triangular points in the elliptik restrikted problem of three bodies. AIAA Journal, 1969, v.7, No. 6, pp. 1024-1028.

79. Anonymous. More about the Earth's cloud satellites. Sky and Telescope, 1961, August, p.63.

80. Anonymous. New natural satellites of the Earth. Sky and Telescope, 1961, July, p.10.

81. Bennet A. Characteristic exponents of the ellipticaly restricted problem. Icarus, 1965, v.4, No 2, pp.177-187.

82. Bifkhoff G.D. The resticted problem of three bodies. Rend. Circ. Mat. Pelermo, 1915, 1. Collected Mathematical Paperes. New York: Am. Math. Soc., 1950, v. 1, p. 682.

83. Briins H. Uber die integrale des vielkorper-problems. Acta Mathematica t.ll, 1887.

84. Brower L.E.J. On continuous vector distributions. Verhandl. Nederl. Acad. Wetersh. Afd. Natuurk., Sec.l. 1909, v. 11. pp. 850-858; 1910, v. 12. pp.716-734; 1910, v. 13. pp. 171-186.

85. Chow S.N., Hale J.K. Methods of bifurcation theory. N. Y. et al.: Springer-Verlag, 1982. 515 p.

86. Chow, Mallet-Pare, Bifurcation formulae derived from center manifold theory. J. Math. Anal. Appl. 63(1), pp. 297-312.

87. Danby J.M.A. Stability of the triangular points in the elliptic restricted problem of three bodies. Astron. J., v.69, No 2, pp.165-172.

88. Danby J.M.A. The stability of the Triangular Lagrangian Points in the General Problem of Three Bodies. Astron. J., 1964 v.69, No 4, pp.294-296.

89. Danby J.M.A. The Inclusion of Drag Forces in the Restricted Problem of Three Bodies and the Stability of the Triangular Points. Reson. Motion Planets, Sattelites and Asteroids Sao Paolo/ Eds. by S. FerrazMelo and W.Sessian, 1985. P. 113-116.

90. Deprit A., Henrard J., Rom A. Birkhoff's normalization. Celest. Mech., 1969, v. 1, No. 2, pp. 222-251- 98

91. Deprit A. A note conserning the collinear libration senters. Icarus, 1965, v. 4, p 273.

92. Deprit A. Deprit-Bartholome. Stability of the triangular Lagrangian poins. Astron. J., 1967, v. 72. pp.172-179.

93. Deprit A., Delie A. Trojan orbits. I. d'Alambert series at L4 Icarus, 1965, v. 4, p 242.

94. Euler L. De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentum. Novi Comm. Acad. Sci. Jmp. Petnop, 1767, t.ll, pp.144-151.

95. Flanagan R.C., Modi V.J. Attitude dynamics of a gravity oriented satellite under the influence of the solar radiation pressure. Aeronaut. J. 1970. V. 74. N. 718. P. 835-841.

96. Giaglia G.E.O. Characteristic exponnents at C4 and C5 in the elliptic restricted problem of three bodies. Celest. Mech., 1971, v.4, No. 3/4, pp.468-486.

97. Glimm J. Formal stability of Hamiltonian systems. Comm. Pure and Apll. Math., 1964, v.17, No. 4, pp. 509-526.

98. Golubitski M., Schaeffer D. Singularités and Groups in Bifurcation theory, v. 1. N. Y. et al.: Springer-Verlag, 1985. 463 p.

99. Guckenheimer J., Holmes P. J., Nonlinear oscilation, dinamical systems, and bifurcations of vector fields. N. Y. et al.: Springer-Verlag, 1983. 453 p.

100. Kamel A.A. Perturbation theory based on Lie transforms and its application to the stability of motion near sun-perturbed Earth-Moon treangular points. Nasa, CR 1622, 1970.

101. Kinoshita H. Stability of the Triangular Lagrangian Points in the General Problem of Three Bodies. Publ. Astr. Soc. Japan, 1970 v.22, No 3, pp.373-381.- 99

102. Kolenkiewicz R., Carpenter L. Stable pereodic orbits about the Sun bertrubed Earth-Moon trisngurar points. AIAA Journal, 1968, v.6, N 7.

103. Kordylewski K. Photographische Untersuchungen des Librationspunktes L4 im System Erde-Mond. Acta Asronomica, 1961, v 11, pp 165.

104. Kuniysyn A.L., Polyakhova E.N. The restricted photogravitational three-body problem : a modern state. Astron. and Astrophis. Trans. 1995. V.6. P. 283-293.

105. Lagrange J.L. Eassais sur le probleme des trois corps. Paris, 1772

106. Laplas P.S. Mecanique celeste. Boston, 1832.

107. Moser J. New aspects in the theory of stability of Hamiltonian systems. Comm. Pure and Apll. Math., 1958, v.ll, No. 1, pp. 81-114.

108. Nayfeh A.H. Characteristic exponents for the triangular points in the elliptic restricted problem of three bodies. AIAA Journal, 1970, v.8, No. 10, pp.1916-1917.

109. Palis J., de Melo W. Geometric theory of dynamical systems: An introduction. N. Y. et al.: Springer-Verlag, 1982. 198 p.

110. Pedersen P. Fourier series for the periodic orbits around the triangular libration points. Monthly Notices Rou. Astron. Soc., 1935, 95, 482 p.

111. Rabe E. Additional pereodic Trojan orbits and further studies of their stability features Astron J., 1962, 67, p 382.

112. Rabe E. Determination and survey of periodic Trojan orbits in the restricted problem of three bodies Astron J., 1961, 66, p 500.

113. Rabe E., Schanzle A. Periodic librations about the triangular solutions of the restricted earth-moon problem and their orbital stabilites. Astron J., 1962, 67, p 732.

114. Routh E.J. Proceedings or the London Mathematical Society, 1875, v.6.

115. Schechter H.B. Three-dimensional nonlinear stability analisis of the Sun-peretrubed Earth-Moonequilateral points. -AIAA Journal, 1968, vol.6, N 7.- 100

116. Szebehely V. Theory of orbits. The resticted problem of three bodies. New York; London: Academic Press, 1967, 312 p.

117. Tapley R.D., Lewallen J.M. Solar influenceon satellite motion near the stable earth-moon libration points. AIAA J. 1964, v. 2, p. 728.

118. Tapley R.D., Schutz B.E. Some additional results in solar influenced libration point motion. AIAA Paper, 1965, No. 65-88.

119. Painleve P. Mémoire sur le intégrales premières du problème des N corps. Paris: Bulletin Astronomique, 1898, 1.15.