Нестационарные задачи небесной механики тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРС'1ЪЕШЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

иы. М.В.ЛОМОНОСОВА ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. П.К.ШТЕРНБЕРГА

На правах рукописи БЕКОВ Аскар Абдул-Халыкович

УДК 521.1

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ

Специальность 01.03.01 - Астрометрия и небесная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степей» доктора физико-математических наук

МОСКВА - 1995

Работа выполнена в Астрофизическом институте им. В.Г.Фесенкова Академии Наук Казахстана (г. Алма-Ата).

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

И.А.Герасимов,

доктор физико-математических наук, профессор Е.А.Гребеников, доктор физико-математических наук, профессор Ю.А.Рябов.

Ведущая организация - Санкт-Петербургский Государственный

университет.

Защита состоится " / " 1996г. в часов

на заседании Специализированного Совета Московского Государственного университета им. Ц.В.Ломоносова, шифр Д 053.05.51. Адрес: 119899, Москва, В-234, Университетский проспект, 13.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного ас?рономического института им. П.К.Щтернберга при МГУ (Москва, Университетский проспект, 13).

Автореферат разослан "¿Г « ....... 1995г.

Ученый секретарь Специализированного Совета • " кандида. физико-математических наук

Л.Н.Бондаренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы, В последние годы интенсивно разрабатываются нестационарные задачи небесной механики в связи с данными о корпускулярном излучении звезд, аккреции межзЕездного вещества, диссипативных явлениях в галактиках. Сюда же относятся и проблемы, связанные с анализом динамических эффектов гипотезы Дирака об изменении гравитационной константы во времени в развитии гравитирующих систем. Современные данные свидетельствуют о нестационарности реальных космических систем, связанной с эффектами изменения масс гравитирующих тел со временем, с изменением размеров и формы самих тел и ряда других важнейших в динамическом отношении характеристик в процессе эволюции. В связи с .этим является актуальным исследование задач небесной механики, учитывающих различные факторы нестационарности и позволяющих выявить динамические особенности эволюции гравитирующих систем, существенную роль в которых играют процессы изменения масс и других физических параметров взаимодействующих тел и возможное вековое изменение гравитационной постоянной.

Целью работы является:

1. Выявление интегрируемых случаев нестационарного уравнения Гамил ь т она-Я к об и, имеющих приложение к задачам небесной механики тел переменной массы.

2. Разработка и исследование нестационарных схем ограниченной задачи двух и трех тел.

3. Разработка основ теории движения материальной точки в поле тяготения несферического тела с переменными массой, «аз

мерами и формой на базе обобщенной задачи двух центров с переменной массой и переменным меасцентровым расстоянием.

Научная новизна работы. В работе установлены новые случаи интегрируемости нестационарного уравнения Гамильтона-Якоби. Приведены интегрируемые случаи ряда нестационарных задач небесной механики.•

Найдены методом автономизации интегрируемые случаи и траектории движения в задаче Гильдена-йецерского. Получены точные решения методом к. -параметризации, параметрические и частные решения в этой задаче. Предложено новое промежуточное движение в задаче Гилъдена-Мещерского - апериодическое движение по КЕазиконическому сечениа с переменным параметром и выведены дифференциальные уравнения для различных систем элементов в форме уравнений Ньютона и Лагранжа.

Поставлена и разработана новая модельная задача небесной механики - обобщенная задача двух центров с переменной массой к с переменным ыевдентровым расстоянием и дано применение рассмотренного варианта задачи к построении теории движения небесных тел в нестационарном и нецентральном поле тяготения.

Получены аналоги интеграла Якоби и наедены новые компланарные точки либрации в ограниченной задаче трех тел перемен-' ной массы в схеме неизотропного изменения массы всех трех тел со временем по закону Зддингтона-Длсинса при показателях А1=о, /1 =б, в одинаковом темпе.

Б ограниченной задаче трех тел переменной массы с изотропным и' мнением масс основных тел по объединенному закону Мещерского найдены новые компланарные точки либрации, расположенные вне плоскости обращения основных тел.

Проведен анализ областей существования и устойчивости дву-параыетрического семейства коллинеарных, треугольных и ,/лла-нарных точек либрации ограниченной задачи трех тел переменной массы. Исследованы и построены поверхности нулевой скорости ограниченной задачи трех тел переменной массы.

Научная и практическая ценность. Результаты по интегрированию нестационарного уравнения Гамильтона-Якоби могут быть использованы для дальнейшего исследования задач небесной механики тел переменной массы. Результаты анализа задачи Гильде-на- Мещерского представляют интерес для исследования эволюции двойных систем и могут применяться к случаю кометного движения, в задачах управления и в динамике космического полета с солнечным парусом.

Решение рассмотренного варианта обобщенной задачи двух неподвижных центров при переменной гравитационной постоянной, а также решение более общего варианта обобщенной задачи двух центров с переменной массой и переменным межцентровым расстоянием может быть использовано в качестве промежуточного движения при анализе эффектов переменной гравитации в орбитальном движении искусственных спутников Земли.

Результаты исследования точек либрации и поверхностей нулевой скорости ограниченной задачи трех тел переменной массы могут быть использованы для интерпретации структурных и динамических особенностей гравитирующих систем переменной массы.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзном совещании "Динамика гравитирующих систем и методы аналитической небесной механики" (Алма-Ата, 1987), на Совещании проблемной гр^лпы "Аналитичес-

кая небесная механика" (Казань, 1989), на IX Республиканской межвузовской научной конференции по математике и механике (Алма-Ата, 1989), на Всесоюзном совещании "Проблемы физики и дингшики звездных систем" (Ташкент, 1989), на Коллоквиуме № 132 MAC "Неустойчивость, хаос и предсказуемость в небесной механике и звезд .зй динамике" (Дели, Индия, 1990), на XI Российском Коллоквиуме "Современный групповой анализ и задачи математического моделирования" (Самара, 1993), на Конференции "Математические методы исследования структуры и динамики гра-виткрующих систем" (Петрозаводск, 1993). Результаты работы обсуддались неоднократно на семинарах лаборатории динамики гравитирующих систем Астрофизического института им. В.Г.Оесен-кова АН Казахстана. Отдельные результаты работы обсуждались такхе на семинарах Совета по небесной механике ГАЩ, на семинаре по аналитической механике в Московском госуниверситете, на семинаре кафедры Еысшей алгебры и геометрии Самарского госуниверситета, на семинаре по небесной механике в Санкт-Петербургском госуниверситете.

Основное содержание диссертации опубликовано в 37 статьях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы (2о5 наименований).' Общий объем работы 345 страниц, включая 43 рисунка, 19 таблиц.

Автор защищает следующие основные положения:

1. Новые интегрируемые случаи нестационарного уравнения Гакмльтона-Якоби, с прилодением результатов к ряду нестационарных задач небесной механики.

2. Результаты анализа задачи Г'ильдена-Мецерского.

3. ¡¡нтегрируемие случаи прямол;ше::ноГ задачи-трех тел переменной массы.

4. Построение основ теории движения небесных тел в нестационарном нецентральном поле тяготения в рамках рассмот^. ;ного варианта обобщенной задачи двух центров с переменной массой и переменным межцентровым расстоянием.

5. Результаты по исследованию точек либрации и поверхностей нулевой скорости в ограниченной задаче трех тел переменной массы.

СОДЕРИАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткий обзор литературы, изложение актуальности темы, цели работы, научную новизну, научную к практическую ценность работы, основные положения, выносимые на защиту, а также краткое содержание диссертации.

В первой главе дается краткое введение (51.1) и приводятся три теоремы, устанавливающие новые случаи интегрируемости уравнения Гамильтона-Якоби. Они обобщают результаты М.С.Яров-Ярового [I] применительно к.рассматриваемому, уравнению Гамильтона-Якоби и содержат случаи интегрируемости В.Г.Демина [,2] , Лиувилля и Штеккеля£з] (§1.2). Предлагается метод приведения одного класса неавтономных дкнаничегсих систем к канонической форме и указываются случаи их интегрируемости (§1.3). Рассматриваются неавтономные динамические системы типа Лиувилля и Шгенкеля и даются теоремы сравнения, позволяйте по гида гамильтониана определять интегрируемость динамической системы. В качестве приложения полученных результатов рассматривается (§1.5) задача двух тел переменной массы и ограниченная прямолинейная задача трех тел переменной кассы в сопротивляющейся и гравитирующей среде (§1.6).

- в -

Бо второй главе исследуется ставшая уже классической задача двух тел переменной массы Гильдена-41ещерского. Анализ задачи проводится различными методами. Методом автономизации (§2.1) найдены все возможные законы изменения маос, при выполнении которых уравнение Бине задачи Гильдена-Мещерского приводится к стационарному виду. Автономизация дифференциальных ураьнений движения задачи проводится преобразованиями Куммера--Лиувилля, включающими преобразование как пространственных, так и временной переменной, причем ядро и множитель преобразования определяются соответственно уравнениями Куммера-Шварца и уравнением типа Ермакова [4, . Для установленных законов изменения масс найдены все возможные траектории движения в задаче Гильдена-Нещерского. Подробно рассмотрен класс орбит с переменным параметром и постоянным эксцентриситетом. Дается классификация орбит и соответствующие аналоги уравнения Кеплера дяя найденного классе орбит с постоянным эксцентриситетом. Для этого хласса орбит приводятся законы изменения массы как в параметрической форме, так и в виде явной зависимости от времени.

Получены (§2.2) точные решения задачи методом к, -параметризации, состоящим в замене времени £ в уравнениях двине-' ния новой переменной к - КЕазиинтегралом энергии, играющим в дальнейшем роль параметра. Приводятся способы решения задачи прямш методом - заданием функции - скорости изменения )<;г ",сы, и обратным методом А. -параметризации - заданием зависимости м^аду массой^ и квазиинтегралом энергии к . Рассматриваются случаи степенной зависимости от параметра Л. Найдены дифференциальные законы изменения кассы ^И) от вре-

мени, для которых задача имеет точное решение. Подробно рассмотрен случай периодического закона изменения массы . Для этого случая определена орбита, ее элементы, приводятся качественные особенности движения и дается оценка времен., распада и захвата в системе.

В §2.3 рассматриваются параметрические рспения задачи, которые предста&чяются через специальные функции - функции Бесселя и родственные им функции Ангера, Вебера, Лсммеля, а также через ряды по параметру *С . Роль параметра 5 под-

чиняющегося закону Мартина-Чиара, играет функция угловой характеристики движения - полярного угла О траектории. Полученные параметрические решения в общем случае определяют орбиты в виде эволюционирующего эллипса с переменными элементами - параметром и эксцентриситетом. Найденные решения и законы у1с('с) представляют интерес для исследования эволюции двойных зверных систем, кометного движения , и для задач динамики космического полета с солнечным парусом, в которых необходим учет связи изменения гравитационного параметра ^ С£) , меняющегося со временем, с угловыми характеристиками движения.

Найдены (§2.4) частные решения задач'/ Гйльдена-Мещерикого, при условии существования частного интеграла задачи, когда расстояние между компонентами в двойной системе связано с переменной массой простым алгебраическим соотношением, что фактически определяет отношение силы притяжения к центробежной силе в рассматриваемой проблеме. В этом случае определены все законы изменения масс, при которых уравнения движения проблемы, обладающие указанным частным интегралом, приводятся к автономной форме.

В §¿.5 рассмотрена задача двух гравитиругацих и излучаю-цих тел в предположении изотропной переменности масс взаимодействующих тел. В такой постановке задача объединяет задачу Гильдена-Мещерс.': ло и фотогравитационную задачу двух тел Рад-зиегс.<ого. Получено обобщение адиабатических инвариантов Джинса на случай переменности гравитационного параметра , включащего массы гравитирузщих тел и факторы светового давления взаимодействующих тел. Полученные инварианты представляют интерес для исследования медленной эволюции двойных систем.

В §2.6 на основе рассматриваемого метода полуавтономиза-цик уравнений цеижекия задачи Гильдена-Мещерского предлагается новое промежуточное движение в этой задаче - апериодическое движение по квазиконическому сечению с переменным параметром. Такое движение соответствует интегрируемому случаю задачи Гильдена-Мещерского при наличии добавочных сил, пропорциональные скорости и взаимному расстоянию. Приводятся различные формы промежуточного движения , соответствующие интегралы и составляющие скорости промежуточного движения. Б частном случае получаем известное апериодическое движение по коническому се--чению, геометрически совпадающее с кеплеровским невозмущенным, но содержащее явным образом время з выражении для скорости[б]. Проводится интегрирование уравнений промежуточного движения методом Гамильтона-Якоби. Выведены уравнения возмущенного движения .для различных систем оскулирующих элементов в форме уравнений Ньютона и уравнений Лагранжа. Приводится (5?..7) сравнительный анализ различных систем оскулирующих элементов, даются численные результаты по эволющи элементов орбит,двойных систем с переменной массой.

В третьей главе исследуется ограниченная прямолинейная задача трех тел переменной массы. Дается (§3.1) краткое введение в цроблецу и результаты анализа различных вариантов задачи, имеющих возможные применения для исследования движения. кратных космических системах с переменными массами.

Приводятся интегрируемые случаи ограниченной прямолинейной задачи трех тел переменной массы, в которой движение двух основных тел определяется задачей Гильдена-Мещерского. Интегрирование задачи проводится методом Гамильтона-Якоби (§3.2). Сформулирован ряд теорем, определяющих законы изменения масс, как пассивно гравитирующей материальной точки, так и двух основных тел, при которых задача интегрируема (§3.3).

Рассматриваются частные решения ограниченной прямолинейной задачи трех тел с изотропным изменением масс основных тел. Дается (§3.4) краткое введение. Найдены (§3.5) прямолинейные ¿•1,2,3 решения и пространственные решения I 0 - кольцо Ла^-ранжа для изменения масс основных тел по объединенному закону Мещерского. Для указанных решений конфигурация тел остается всегда подобной себе и движение всех трех тел происходит по некоторым прямым линиям, причем для решений / 1,2,3 все ТРИ тела находятся на линии, проходящей через основные тела, для пространственных решений ¿а пассивно гравитирущее тело составляет, равносторонний треугольник с основными телами и всегда находится на кольце (окружности) Лагранжа, получаемого путем вращения треугольных лагранжевых решений вокруг сси, на которой находятся основные тела. Показано существование подобных прямолинейных 2 3 ь пространственных решений I- 0 в классической прямолинейной задаче трех тел постоянной массы.

Найдены (§3.6) прямолинейные / 1,2,3 и пространственные / 0 решения для случая произвольного изменения масс основных тел в одинаковом темпе.

В общэы случае, для произвольного изменения масс основных тел с различным темпом показано, что не существует прямолинейных решений 2 3 и существуют пространственные / 0 решения (§3.7). Приводятся результаты анализа частных репениЯ (§3.8) в рассматриваемой задаче, определяемых законами изменения масс основных тел.

В четвертой главе исследуется задача двух неподвижных центров с переменной гравитационной постоянной. После краткого введения (§4.1) показана интегрируемость (§4.2) методом Га-мильтона-Якоби обобщенной задачи двух неподвижных центров с переменной во времени постоянной тяготения при наличии добавочной силы, пропорциональной скорости пробного тела и относительной скорости изменения постоянной тяготения. Ввиду достаточной малости добавочного ускорения в уравнениях движения рассматриваемой задачи, найденное решение может быть использовано в качестве промежуточного движения при анализе оффектов переменной граттации в движении исследуемых тел в нецентральном поле тяготения. Выписываются (§4.3) уравнения возмущенного движения. Построена промежуточная орбита (§4.4) и приведе-нг формулы промежуточного движения. Расчеты и вывод формул в рассматриваемой задаче проводятся аналогично тому, как это проводится в известной обобщенной задаче двух неподвижных центров. Производится выбор (§4.Ь) оскулирухлцих элементов, которыми описывается возмущенное движение пробного тела, выписываются (§4.6) проекции возмущающего ускорения и выводятся (§4.7, §4.8) дифференциальные уравнения для оскулирущих зле-

ментов промежуточной орбиты. Полученные уравнения для элементов промежуточной орбиты носят самый общий характер, поскольку они могут быть использованы для определения возмущений от произвольных возмущающих сил.

Получены формулы для оскулирующих элементов (§4.9) промежуточной орбиты, описывающих случай обобщенной задачи двух неподвижных цен: job с переменной гравитационной постоянно,":. Приводится случай кеплеровских элементов (§4.10) , когда для исходной задачи в предельном варианте центры сливаются и приходим к апериодическому движению по коническому сечению, которое геометрически совпадает с соответствующим кеплерзг-ским движением, но содержит явно время в выражении доя скорости . Получены (§4.11) дифференциальные уравнения для элементов в случае задачи, аналогичной проблеме Гильдена-Ме-щерского, задачи двух тел с переменной гравитационной постоянной.

В главе пятой исследуется обобщенная задача, двух центров с переменной массой и переменным мелцентроьыы расстоянием. Задача является естественным обобщением известно,", в теории движения искусственных спутников Земли обобщенной лад чи двух неподвижных центров [^2, 3, 7J . Результаты разработки рассматриваемой задачи имеют применение для теории движения материальной точки в папе тяготения несферического тела переменной массы, ¿.замеров и формы, аосле краткого введения (§5.1)

г ■>

дается аппроксимация потенциала тела переменной массы, размеров и формы (§5.2) потенциалом задачи двух центров с переменной массой и переменным межцентроьым расстоянием, или потенциалом обобцс.чноГ задачи двух центров с переменной ыассо:": и

переменным медцентровым расстоянием. Аппроксимирующий потенциал совпадает с точностью до трех зональных гармоник с потенциалом тела переменной массы, размеров и формы, причем, в общем случае, коэффициенты разложений потенциала рассматриваются как меда ,-шо меняющиеся функции времени.-

В §5.3 приводятся интегрируемые случаи обобщенной задачи дгух центров с переменным межцентровым расстоянием. Найденное решение может быть использовано в качестве промежуточной орбиты в задаче о движею-материальной точки в поле тяготения несферического тела с медленно изменяющимися массой, размерами и формой. Указаны некоторые возможные применения рассмотренной задачи. -. ...

Не'азана (§5.4) интегрируемость модельной задачи - обобщенной задачи двух центров с переменным ыежцентровым расстоянием при наличии добавочных сил, пропорциональных скорости и радиус-вектору материальной точки. Выписаны условия интегрируемости (§5.5) , определяющие функциональную структуру добавочных сил. При достаточной малости добавочных ускорений в рассматриваемой задаче найденное решение может быть использбвано как промежуточное при исследовании движения в поле тяготения тела с медленно меняющимися массой, размерами и формой. Дана классификация промежуточных орбит. Приведены (§5,6) первые интегралы промежуточного движения. г'.

В §5.7 рассмотрена задача о движении материальной точки в поле тяготения несферического тела переменной массы, размеров и формы . Дается постановка задачи, в предположении малости изменения параметров реальных гравитирующих тел, характеризующих измеь ние физических характеристик тел в процессе эволюции. '

В §5.8 дается промежуточное движение, выписываются первые интегралы и формулы промежуточной орбиты. Да. х качестген-ная картина движения (§5.9), которая проводится так ;?.е, как и

случае, область движения , представляющая собоЛ тороидальное тело, всегда синхронно отслеживает изменение размеров центрального тела, то есть тороид в целом будет изменясь сг-оп размеры, оставаясь всегда подобным исходному тороиду.

Выведены (§5.10) дифференциальные уравнения взмученного движения в оскулиругщих элементах промежуточного дб;:го г.:л. Подробно приведен (§5.11) случаи гравитирующоЦ и сопротивляющейся нестационарно,1 среды. Полученные результаты, з сЗцем случае, дают возможность уже в первом т;:блп.:;ен;:г. опоед^лиуь диналшческие эффекты совместного влияния различны/, возм;. щих нестационарных факторов и нецентральности поля тя!итечия.

Шестая глава посвящена исследованию ограниченной задачи трех тел переменной массы. После краткой истории и'^ледованлГ. задачи (§6.1) приводятся результаты по исследованию ограниченной задачи трех тел с нгизотрогшъпл случазм изменения ¡/.асе 'сссх трех тел по одинаковому закону. Показано, что. в случае изменения масс тел по закону Эадингто.ча-Д^инса при значениях показателя И » 3, . И = 6, уравнения движения приводятся к автономной форме, и допускают аналог интеграла Якоби ограниченной задачи тр^" тел. Показано существование, помимо пяти точек либрации , аналогичных извести™ классическим I. £ ( ¡'I, 2,...5), дополнительных новых компланарных точек либре••ии Б Рас~

сматриваемоП схеме с неиэотропным изменением массы тел. Найденные компланарные точки либрации расположены в плоскости,

в стационарном случае теории движения

проходящей через прямую, на которой находятся основные тела, и через ось вращения этих тел. Причем эти точки либрации расположены симметрично относительно- плоскости движения основных тел.

В §5.3 исследуются точки либрации в схеме задачи с изотропным случаем изменения масс основных тел по объединенному закону мещерского. Движение самих основных тел определяется задачей Гильдена-Мецерского. Б такой постановке задачи известно [3] существование пя'хи точек либрации, аналогичных классическим. Подтверздено существование этих точек либрации и най-дэны новые компланарные точка; либрации . Как и в случае

ноизотропного изменения массы тел, найденные точки либрации

_ расположены вне плоскости движения основных тел. Пока-

6,7

заио, что область существования прямолинейных и треугольных решений определяется аналогично классическому случаю. Подробно исследованы и определены различными способами области существования компланарных решений. Отмечены качественные особенности -рассматриваемых частных решений.

В §6.4 исследуется существование подобных частных решений дчя случая произвольного изменения масс, но отношен :э масс при этом остается постоянным, и для случая произвольного изменения масс, причем отношение масс не остается постоянным.' Подтверждены результаты, полученные ранее , для указанных частных решений, включая и бесконечно удаленные ре-пеки«. Дана сводка результатов анализа рассматриваемых частных решений.

В §0.5 рассмотрена устойчивость точек либрации для случая извинения масс по объединенному закону Мещерского. Показа-

но, что исследование устойчивости точек либрации по Ляпунову следует рассматривать для трех существенно различных случав диапазонов изменения новой независимой переменной в автономной форме уравнений движения и исходного времени. Дагее приводятся результаты исследования устойчивости точек либрац;;;! по Ляпунову для случая аналогичного классическому в переменных вводимых преобразованием Мещерского. Показана (!6.6) неустойчивость прямолинейных точек либрации, наПденк (56.7) необходимые услог я устойчивости треугольных точек либрации, показана (§6.8) неустойчивость компланарных точек либрам,::::.

Исследованы и построены (§6.9) поверхности нулевой скорости для различных значений двух безразмерных пара.мо-ро'в рассматриваемой ограниченной задачи трех тел переменной м-ссы с ,!3отропнии изменением масс основных тел по объединение..:;' -закону Мещерского.

В заключении приведены основные результаты Д1:ссэрт<'г.:и.

Основное содержание диссертации опубликовано з следу-г^их работах:

1. Смаров Т.Е., Беков A.A. К интегрированию уравнения Га: тиль-тона-Якоби для одного, класса динамических систем //Весгнпл АН КазССР. 1977, 2 3. С. 65-56.

2, Беков A.A., Омаров Т.Б. Интегрируете случаи уравнения Ге-мильтона-Якоби и некоторые нестационарные задачи небесно:; механики //Астрои, кури. 1973. 'Г. 65, вып. 3. G. 635-644.

6. Беков A.A., Омаров Т.Б. К нестацисн?рноЛ гравитационном задаче ^емля-спутник //Письма в Астрсн. журн. IS73. Т. 4, бып. I. С. оО-оЗ.

4. Беков A.A. Об обобщенной задаче Баррара //-руды Aiil АН КазССР. 1978. Т.32. С. 21-24.

5. Беков A.A., Нургалиев А. К обобщенной задаче двух неподвижных центров при переменной гравитационной постоянной //Труды .^И АН КазССР. 1979. Т.ЗЗ. С. 16-30.

о. Беков A.A. О движении материальной точки переменной массы з нецентральных полях тяготения //Труды ASM АН КазССР. 1981. Т.35. С. 61-66.

7. Беков A.A. О предельном варианте задачи двух неподвижных центров переменной массы //Труды AsMi АН КазССР. 1982.

Т. 39. С. 38-41.

8. Беков A.A. Один случай обобщения ограниченной прямолинейной Задачи трех тел переменной массы //Труды АВД АН КазССР. 1934. Т. 43. С. 15-22.

9. Беков A.A. Интегрируемые случаи уравнения Гамильтона-Яко-би и динамические систеш, приводимые к канонической фор-:ле //12,И. 1936. Т. 50, вып. 5. С. 717-726.,

10. Беков A.A. Интегрируемые случаи уравнения Гамильтона-Яко-би для динамических систем типа Лиувилля и Штеккеля // Вестник АН КазССР. 1986, № 3. С. 54-58.

11. Ееков A.A. К ограниченной прямолинейной задаче трех тел переменной массы //Труды А£И АН КазССР. 1986. Т. 45. С. 6-16.

1?. Беков A.A. Точки либрации ограниченной задачи трех тел переменной массы //АЦ. 1986, № 1463. С. 3-5.

13. Беков A.A. Интегрируемые случаи уравнения Гамильтона-Яко-би и ограниченная прямолинейная задача трех тел переменной массы /'/Астрой. экурн. 1987. Т. 64, вып. 4. С. 850-859.

14. Беков A.A. Ограниченная прямолинейная задача трех тел пе-pei—' .Hof массы и ее строгие решения //Известия АН .СазССР. Сер. фпз.-нат. 1967, № I. С. 63-67.

15. Беков A.A. Задача двух центров с переметил ме:гцентроЕым расстоянием и ее применение в теории движения небесных тел //Динамика гравитирующих систем и методы аналитической небесной механики.Алма-Ата.:Наука, 1967. С. 16-17.

16. Беков A.A. Об обобщенной задаче двух центров с переменны;.! межцентровым расстоянием //'Груды АОЛ АН КазССР. 1937.

Т. 47. С. 30-41.

17. Беков A.A. Об аналогах интеграла йкоби в ограниченной задаче трех m \ч переменной массы //Труды АО,1 Aii Iia3CCP. I9Ö7. T. 47. С. 12-29.

18. Беков A.A. Точки либрации ограниченной задачи трех тел переменной массы //Астрон. курн. I9d8. T. оо, вып. I. С. 202-204.

19. Беков A.A. Задача двух центров с переменным кеэденгрознм расстоянием и ее применения в теории движения небесных тел // Груды АбЛ Ali КазССР. 1938. Т. 49. С. 3-10.

20. Беков A.A., Мухаметкалиева р.К. Об устойчивости точек либрации ограниченной задачи трех тел переменной :-лссы //Труды AM Ali КазССР. i960. Т. 49. C.II-32.

21. Беков A.A. Интегрируемые случаи и траектории движения в задаче Гильдена-йещерского //Астрон. журн. 1У89. Т. 66, вып. I. С. I35-151.

22. Беков A.A. Об эволюции орбит двойных систем с излучением //Мат. и мех.:Тез. докл. 9 Респ. мемеуэ. науч. конф., 12-15 сент., 1969. Ч.З. Алма-Ата. 1989. С. 6.

2о. Беков / А., Ыухаметкализса Р.К. О погерхностях нулевой скорости в двоЛноЛ звездной еистеме с излучением //¿.робл. фкз. и динам, звезд, систем. Ташкент. С.18.

<¿4. Беков A.A. Задача Гильдена-Ыещерского. I. Точные решения //Препринт Î? 90-06 : Астрофиз. ин-т АН КазССР. Алма-Ата. 1990. 4о с.

2ü. Беков A.A. Задача Гильдена-йещерского. III. Параметрические решения //Препринт № 90-02 : Астрофиз. ин-т Ali КазССР. Алма-Ата. 1990. 25 с. 20. БекоЕ A.A. О частных решениях задачи Гильдена-Ыещерского //динамика тверд, тела перемен, состава. Алма-Ата.: КазГУ, 1990. С. 3-6.

27. Беков A.A., Ыычелкин Э.Г. Об эволюции орбит двойных систем

i

с излучением //Гравитация и квант, теория поля. Алма-Ата.: КазГУ, 1990. С. 49-52.

28. Беков A.A., Мухаметкалиева Р.К. Об устойчивости компланарных точек либрации ограниченной задачи трех тел переменной массы //Вопр. небес, мех. и звезд, динам. Алма-Ата.

1990. С. 12-18.

29. Беков A.A., Мухаметкалиева Р.К. 0 поверхностях Хилла в ограниченной задаче трех тел переменной массы //Дикшика тв. тела перем. состава. Алма-Ата.: КазГУ, 1990. С. 6-13.

30. Eekov A.A. The libretion points and Hill surfaces in the restricted problem of three variable-mass bodies //Instability, Chaos and Predictability in Celestial Mechanics and Stellar Dynamics. General Information and Abstracts, IkU Colloquium No 132. Delhi, India. 1990. P. 21-22.

31. Беков A.A. 0 частных решениях в ограниченной прямолинейной задаче трех тел с переменными массами //Астрон. журн.

1991. Т. 68, вып. I. С. 206-211.

32. Бет .. A.A., Мухаметкалиева Р.К. 0 поверхностях нулевой

скорости в ограниченной задаче трех тел переменной массы //Проблемы динам, звезд, систем. Алма-Ата. 1992. Т. 50. С. 61-71.

33. Беков A.A. 0 точных решениях и проме:куточном движении з задаче Гильдена-Уещерского //Современный групп, анализ и задачи мат. моделирования.Тезисы XI Российского Коллоквиума. Самара. 1993. С. 10.

34. Беков A.A. 0 промежуточном движении и системах оскурирую-1дих племен" -ъ в задаче Гильдена-Мецерского //проблем;-! фл- .. зики звезд и внегалактич. астрономии. Алма-Ата. 1993.

С. II5-I34.

35. Беков A.A. 0 движении материальной точки в нестационарном нецентральном поле тяготения //Проблем физики звезд и внегалактич. астрономии. Алма-Ата. 1993. С. 76-90.

36. Беков A.A. 0 существовании и устойчивости точек либрации в ограниченной задаче трех тел с переменными .массам;; // Проблемы физики звезд и внегалактич. астрономии. Алый—Атй• 1993. С. 91-114.

37. Беков A.A. О периодических решениях задачи Гильдена-йеиерс-кого //Астрон. :sypH. 1993. Т. 70, вып. 6. С. 12о9-1295.

Автор благодарен коллегам за участие в совместных работах.

Личный вклад в работы, выполненные в"соавторстве, состоит в

одинаковом вкладе в работах [l-З] , в работах fb, 20 , 23 , 27-29, 32] автору принадлежит постановка задач и непосредственное участие в их решении.

Л Л X Е Р А' '1' У Р А

1. Яров-Яре ой Ы.С. //ПММ. 1963. Т. 27, вып. 6. С. 973.

2. Демин В.Г. Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения. Н.: Наука, 1968. 352 с.

3. Дубошин Г.К. Небесная механика. Основные задачи и методы.

Наука, 1975 . 80С с.

4. Беркович Л.М. //Дифференц. уравнения.' 1971. Т. 7, № 2. С. 353.

5. Беркович Л.М., Гельфгат Б.Е. //Проблемы аналит. механики, тео}. .!, устойчивости и управления. М.: Наука, 1975. С. 54.

6. Омаров Т.Е. Динамика граьитируюцих систем Метагалактики. Алма-Ата.: Наука, 1975. 144 с.

7. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. ¡<?.: Наука, 1977. 360 с.

С. Гэльфгат Б.Е. //Современные проблемы небесной механики и

астродинамики. 1а.: Наука, 1973. С. 7. 9. Лукьянов Л.Г.//Астрой, иурн. 1989. 1. 66, вып. 2. С. 335.