Численное решение уравнений сведением к полиномиальной задаче Коши тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Санкт-Петербургский Государственный Университет

На правах рукописи

РГБ ОД

ПУПЫШЕВ Михаил Юрьев1<ч^_ Я И"

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СВЕДЕНИЕМ К ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ КОШИ

01.01.07 - вычислительная математика 05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2000

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Государственном Университете на факультете прикладной математики - процессов управления.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Бабаджанянц JI.K.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Андрианов С.Н.

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Каразеева H.A.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

технический университет-

Защита состоится "-¿У " НОЯБРЯ 2000 г. в '_(§__ часов на заседании диссертационного совета К-063.57.16 по защитам диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском Государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, 10-я линия В.О., д. 33, аудитория 39

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского Государственного университета.

Автореферат разослан "20 " QiCTMS№ 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., профессор

В.Ф. Горьковой

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В современной прикладной математике актуальной задачей являегся создание, по возможности универсальных, пакетов прикладных программ. Для этого требуются все более универсальные методы и алгоритмы решения тех или иных классов математических задач. В диссертации рассматривается круг вопросов, относящихся к этому направлению.

Предмет работы - численное решение задач, сводимых к задаче Коши для полиномиальной системы дифференциальных уравнений. Различные задачи прикладной математики такие, как нахождение обратных функций, экстремумов функций, численное решение алгебраических, трансцендентных и дифференциальных уравнений, возникающих в аналитической и небесной механике, в механике управляемого движения, могут сводиться к полиномиальной задаче Коши. Особенно важна задача на нахождение экстремума функций многих неременных, т.к. остальные из упомянутых задач формально могут сводиться к этой. С другой стороны, решение этой важнейшей задачи может быть сведено к градиентным обыкновенным дифференциальным уравнениям (см., например, [В.И. Зубов, Лекции по теории управления, гл. 2, §), М., Наука, 1975]). Предлагаемые алгоритмы основаны на использовании практически эффективных гарантированных априорных оценок погрешности при численном интегрировании полиномиальной задачи Коши методами рядов Тейлора. Подобные оценки позволяют реализовать этот метод с использованием автоматического выбора шага интегрирования, гарантирующего заданную точность локального решения. В частности, это позволило предло-

жить (глава 5) высокоточный метод прогнозирования орбитального движения ИСЗ, вполне отвечающий высокой точности современных лазерных наблюдений.

Цель диссертационной работы. В диссертации рассматривается два круга вопросов:

1. Построение эффективных алгоритмов численного интегрирования полиномиальной задачи Коши с гарантированной оценкой локальной погрешности;

2. Приведение алгебраических и трансцендентных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений, а также задач оптимизации к полиномиальной задаче Коши, и построение алгоритмов их численного решения.

В диссертации, в рамках этого подхода, решен ряд важных задач численного анализа, нелинейного программирования и ряд практических задач из области механики управляемого движения.

Научная новизна. Реализован новый подход к решению ряда численных задач прикладной математики на основе применения к ним принципа сведения к полиномиальным обыкновенным дифференциальным уравнениям и использования нового варианта высокоточного метода рядов Тейлора с гарантированной оценкой локальной погрешности.

Общая методика исследования. В работе используются строгие методы математического анализа, численного анализа, теории

дифференциальных уравнений, нелинейного программирования, механики управляемого движения.

Практическая ценность. Результаты диссертации позволяют с заданной точностью находить численное решение таких различных и важных задач, как высокоточное прогнозирование орбитального движения ИСЗ, нахождение корней алгебраических и трансцендентных уравнений, решение задач нелинейного программирования. Соответствующие алгоритмы реализованы в виде пакета программ на Фортране в рамках усовершенствованной диссертантом версии СЮЕ-8о1уег.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены на Международном симпозиуме по классической и небесной механике (Великие Луки, август 1998), на международной математической конференции "Еругинские чтения VI" (Гомель, май 1999), на научных конференциях факультета Прикладной Математики - Процессов Управления СПбГУ (апрель 1999, апрель 2000), на семинарах кафедры механики управляемого движения СПбГУ.

Публикации. По результатам, изложенным в диссертации, опубликовано 6 печатных работ. Перечень публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Работа состоит из трех частей, 6 глав, 18 пунктов и приложения. Библиография включает 63 наименования.

Первая глава - введение. В первом пункте этой главы описывается использованный в диссертации общий подход к решению различных задач численного анализа таких, как алгебраические, трансцендентные и дифференциальные уравнения, дается общая характеристика работы. Во втором пункте рассматриваются такие вопросы, как цель работы, ее актуальность, новизна полученных результатов. В заключительном, третьем пункте формулируются и обсуждаются основные положения диссертации, выносимые на защиту.

Во второй главе рассматриваются общие вопросы, связанные с полиномиальными системами обыкновенных дифференциальных уравнений.

В пункте 2,1 дается определение полиномиальной системы, рассматриваются методы сведения дифференциальных уравнений к полиномиальным системам. Приводятся примеры.

Полиномиальная задача Коши - это задача Коши для полиномиальной системы с постоянными коэффициентами:

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(1)

к=1

б

здесь а. [г], а ^, г0, х^ - комплексные постоянные, г = (¿, ), ;у -неотрицательные целые числа, /(т)={/ [(^ +... + ¡я) = /л},

В пункте 2.2 обсуждается следующая теорема о радиусе сходимости и оценке погрешности для полиномиальной задачи Коши.

Теорема 1. Пусть |х/0| < у, ] = 1,..., и. Тогда:

а) решение х=(.х,,...,хп) задачи (1)-(2) регулярно в круге Ор(<0)=£еС ||*-*0|<р},

1

¿+1

~ т- \ к-Ит)

б) для любых (е Ор (г0) выполняются неравенства:

Эта теорема дает возможность автоматического выбора шага в методе рядов Тейлора для автономных полиномиальных систем.

В пункте 2.3 показывается, как полиномиальные системы сводятся к квадратичным - теорема 1 для квадратичных систем дает наилучшие оценки, квадратичная система имеет вид:

и п

1=1 «>/

Р

В пункте 2.4 доказывается улучшенная по сравнению с теоремой 1 теорема 2 для квадратичных систем.

Теорема 2. Решение задачи Коши для задачи (1)-(2) при ¿ = 1 голоморфно в круге Ог (¿0 ) и удовлетворяет там неравенствам:

А;<Аау |У0|

НЛГ (1 l'-'оГ

Здесь

а = (а, ,...,«„) - произвольные положительные параметры,

<Ы, у/о Ы-1'

= шах!

iM r = (aS'(a)y,

S'(a)= max

jsll-.n1

£«*Ы+Х I«

m=2 ie/(/»i)

-V ■... ai

а о - решение уравнения а - е °

при JU :

а = тах|р[г]— а^,

р\{\=НаП +" + >пат' (в формуле для а максимум берется по тем /,_/, для которых а¿Щф О в правых частях системы (1)).

В третьей главе рассматривается сведение конкретных классов задач к полиномиальной задаче Коши. В частности, рассматриваются алгебраические, трансцендентные, дифференциальные уравнения, задачи на безусловный экстремум функции многих переменных.

В пункте 3.1 рассматривается система уравнений химической кинетики (пример Робертсона) и уравнения, описывающие электрическую схему (уравнение Ван-дер-Поля).

В пункте 3.2 предложен алгоритм решения алгебраического уравнения п -ой степени с комплексными коэффициентами. Рассмотрены примеры.

В пункте 3.3 показывается, что метод сведения задачи о нахождении минимума функции многих переменных к полиномиальной задаче Коши может быть достаточно эффективным в случае поиска локального экстремума "овражных" функций.

В четвертой главе описываются и подробно обсуждаются все аспекты метода рядов Тейлора и составного метода рядов Тейлора.

В пункте 4.1 описывается метод рядов Тейлора.

В пункте 4.2 предлагаются формулы, реализующие автоматический выбор шага в этом методе, гарантирующие заданную точность.

В пункте 4.3 обсуждается возможность применения метода масштабирующих множителей для улучшения оценок в теоремах 1, 2, т.е. х арантированных априорных оценок метода рядов Тейлора.

Метод масштабирующих множителей заключается в том, что вводится линейная замена переменных с диагональной матрицей, т.е. Уj~ajXj, )-\,...,п называют масштабирующими множителями).

Предложены два подхода к выбору масштабирующих множителей:

а) метод альтернативной точки;

б) эвристический метод.

В пятой главе предлагается высокоточный метод численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений орбитального движения ИСЗ с учетом гравитационных возмущений и сопротивления атмосферы.

В пунктах 5.1, 5.2, 5.3 делается выбор в пользу тех или иных известных моделей возмущающих факторов. Земля принимается за эллипсоид вращения и для такой модели записывается потенциал сил притяжения. Модель атмосферы выбрана с изменяющейся плотностью в различных интервалах высот.

В пункте 5.4 приводится уравнение движения ИСЗ в гринвичской системе координат с учетом упомянутых возмущающих факторов.

В пункте 5.5 эта система обыкновенных дифференциальных уравнений введением дополнительных переменных сводится к полиномиальной, а затем к квадратичной. Это делается потому, что используемые в диссертации алгоритмы метода рядов Тейлора наиболее эффективны для квадратичных систем. Для улучшения оценок в этих алгоритмах используется метод масштабирующих множителей.

В шестой главе рассмотрены задачи нахождения минимума "плохих" функции. Это - функция Розенброка

/•(х,,х,)=100(х2 -х~)2 +(] -х,)2, 10

функция Пауэлла

F = (х, + Юх, f + 5(х, - х4 f + (х2 - 2*, )4 + 10(х, - х4 )4, а также функция

/^ = (х2 -xf)2 +• 100(l - хг У.

Показана высокая эффективность метода сведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям для подобных задач.

В заключительную, третью часть диссертации вынесено приложение, содержащее описание и тексты пакета программ на языке Фортран 90 для системы FPS 4.0.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Улучшенный вариант теоремы об оценке голоморфного решения полиномиальной задачи Коши и алгоритм выбора шага численного интегрирования в простом и составном методах рядов Тейлора, с гарантированной априорной оценкой погрешности.

2. Сведение конкретных задач численного анализа к полиномиальной задаче Коши и построение на этой основе соответствующих алгоритмов их решения. Среди этих задач:

- построение алгоритма прогнозирования орбитального движения ИСЗ с учетом гравитационных возмущений и сопротивления атмосферы;

— алгоритм решения алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами;

— алгоритм решения трансцендентных уравнений, возникающих при оптимизации управления линейными механическими системами по критерию "расхода топлива" и др.;

— решение сложных задач безусловной оптимизации функции многих переменных и другие аналогичные задачи.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ

1. Пупышев М.Ю. Численное интегрирование орбитального движения спутника с учетом атмосферы и несферичности Земли. Тезисы докладов. III международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, 1998, с. 125-128.

2. Пупышев М.Ю. Применение составного метода рядов Тейлора для численного решения уравнений механики. "Ерутинские чтения VI". Международная математическая конференция. Гомель, 1999, с.^-эг.

3. Пупышев М.Ю. Численное интегрирование движения спутника с учетом вращения Земли. Межвуз. сборник научных трудов. "Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы". Пермь, 1998, с. 140-146.

4. Пупышев М.Ю., Пупышев Ю.А. Масштабирующие множители при численном интегрировании уравнений механики. Межвуз. сборник научных трудов. "Проблемы механики и управления. Нелинейные системы". Пермь, 1998, с. 146-149.

5. Пупышев М.Ю., Пупышев Ю.А., Якушева Н.В. Численное интегрирование вращательного движения твердого тела методом составных рядов Тейлора. Труды XXX научной конференции ф-та ПМ-ПУ СПбГУ, Санкт-Петербург, 1999, с. 293-294.

6. Пупышев М.Ю. Выбор масштабирующих множителей при численном интегрировании уравнений механики. Труды XXXI научной конференции ф-та ПМ-ПУ. СПбГУ, Санкт-Петербург, 2000, с. 243246.

ЛР № 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 19,10.2000 г. Формат бумаги 60x90 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ 1579. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 2.

Часть I. Метод полиномиальных систем.

Глава 1. Введение.

1.1. О решении уравнений сведением к задаче Коши. Общая характеристика работы.

1.2. Актуальность. Цель работы. Новизна.

1.3. Основные положения, выносимые на защиту.

Глава 2. Полиномиальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

2.1. Определения. Примеры.

2.2. Теорема о радиусе сходимости полиномиальной задачи Коши и оценке.

2.3. Сведение к квадратичной системе дифференциальных уравнений.

2.4. Улучшенная теорема о голоморфном решении полиномиальной системы.

Глава 3. Сведение различных задач численного анализа к полиномиальным обыкновенным дифференциальным уравнениям.

3.1. Дифференциальные уравнения.

3.2. Алгебраические и трансцендентные уравнения.

3.3. Задачи на минимум, максимум.

Глава 4. Методы рядов Тейлора.

4.1. Описание метода рядов Тейлора для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

4.2. Метод масштабирования.

4.3. Составной метод.

Часть II. Другие применения метода полиномиальных систем.

Глава 5. Численное решение уравнений движения ИСЗ.

5.1. О выборе модели возмущающих сил.

5.2. Модель гравитационного возмущения.

5.3. Модель атмосферы.

5.4. Дифференциальные уравнения движения спутника Земли.

5.5. Введение масштабирующих множителей.

Глава 6. Задачи на безусловный экстремум функции многих переменных.

6.1. "Плохие" задачи на экстремум.

6.2. Отыскание минимакса. Задача Мандельштама.

Часть III. Приложение.

Программная реализация.

Тексты программ пакета СЮЕ8о1уег.

В современной прикладной математике актуальной задачей является создание, по возможности универсальных, пакетов прикладных программ. Для этого требуются все более универсальные методы и алгоритмы решения тех или иных классов математических задач. В диссертации рассматривается круг вопросов, относящихся к этому направлению.

Предмет работы - численное решение задач, сводимых к задаче Коши для полиномиальной системы дифференциальных уравнений. Различные задачи прикладной математики такие, как нахождение обратных функций, экстремумов функций, численное решение алгебраических, трансцендентных и дифференциальных уравнений, возникающих в аналитической и небесной механике, в механике управляемого движения, могут сводиться к полиномиальной задаче Коши. Особенно важна задача на нахождение экстремума функций многих переменных, т.к. остальные из упомянутых задач формально могут сводиться к этой. С другой стороны, решение этой важнейшей задачи может быть сведено к градиентным обыкновенным дифференциальным уравнениям (см., например, [63]). Предлагаемые алгоритмы основаны на использовании практически эффективных гарантированных априорных оценок погрешности при численном интегрировании полиномиальной задачи Коши методами рядов Тейлора. Подобные оценки позволяют реализовать этот метод с использованием автоматического выбора шага интегрирования, гарантирующего заданную точность локального решения. В частности, это позволило предложить (глава 5) высокоточный метод прогнозирования орбитального движения ИСЗ, вполне отвечающий высокой точности современных лазерных наблюдений.

Задаче прогнозирования орбитального движения ИСЗ в диссертации уделено много внимания и мы остановимся здесь более подробно на работах, связанных с этой тематикой.

Известно, что необоснованное пренебрежение разного рода "малыми величинами" при математическом моделировании реальных процессов может существенно исказить истинную картину явлений. Поэтому в уравнениях, описывающих сложную механическую систему, необходимо учитывать большое количество различных факторов. Следствием этого, как правило, является, с одной стороны - высокий порядок системы, с другой - сложность правых частей системы уравнений и с третьей - система может относиться к классу жестких систем дифференциальных уравнений [7] - [11].

Анализ погрешностей при численном решении приводит к выводу, что точность численного интегрирования тем выше, чем меньше шаг интегрирования. Это верно только до известного предела - до тех пор, пока погрешности округления, связанные с конечной разрядностью машинной арифметики, остаются пренебрежимо малыми.

Достаточно полное современное состояние теории и практики численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений нежестких систем, а также жестких систем изложено в монографиях [10], [11].

В последнее время предложено несколько способов решения таких систем уравнений [7], [8], [9], [10], [11], [12].

Важной задачей при численном решении систем дифференциальных уравнений является обоснованность различных методов теории возмущенного движения. Под обоснованием будем понимать совокупность теорем, позволяющих оценить разность между решением исходной системы дифференциальных уравнений и решением соответствующей ей приближенной, а также промежуток времени, где гарантируются априорные оценки этих разностей.

В работах [9], [10] предлагаются различные методы построения приближенного решения как аналитические, так и численные, и указываются оценки погрешности решения. Обзор таких исследований для задач небесной механики дан в работе [21].

В работе Л.К.Бабаджанянца [13], [14] введены понятия формальной линеаризации Вейерштрасса для алгебраических систем уравнений и формальной линеаризации Карлемана, для систем дифференциальных уравнений, и дано их обоснование в виде ряда теорем. Скажем здесь более подробно о линеаризации Карлемана, результаты которой используются в диссертации.

В переменных х[/]= х|',.,х1'" исходная система уравнений, имеющая вид: х] =Р](хх,.,хп^\ У = 1 где Ру - степенные ряды по х],.,хп, становится счетной системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Получены оценки к-ой производной решения линеаризованной и исходной задач Коши. С помощью полученных оценок выводятся оценки области регулярности по времени решения счетной линейной задачи Коши. В работе Л.К.Бабаджанянца, П.Б.Мгояна [17], [18], предлагаются оценки области голоморфного локального решения по аргументу и оценки остаточных членов соответствующих тейлоровских разложений для системы из п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, правые части которых линейны по параметру и являются алгебраическими полиномами по неизвестным с голоморфными по аргументу коэффициентами.

В работе этих же авторов [35] результат обобщен на случай обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных, правые части которых голоморфны по неизвестным и аргументу и линейны по параметру.

В работах П.Б.Мгояна [18], [19] получены соответствующие оценки для систем дифференциальных уравнений, описывающих движение ИСЗ относительно центра масс в гравитационном поле Земли. Данная система сведена к полиномиальной введением дополнительных переменных.

1.2. Актуальность. Цель работы. Новизна.

В современной прикладной математике актуальной задачей является создание, по-возможности универсальных, пакетов прикладных программ. Для этого требуются все более универсальные методы и алгоритмы решения тех или иных классов математических задач. В диссертации рассматривается круг вопросов, относящихся к этому направлению.

В диссертации рассматривается два круга вопросов:

1. Построение эффективных алгоритмов численного интегрирования полиномиальной задачи Коши с гарантированной оценкой локальной погрешности;

2. Приведение алгебраических и трансцендентных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений, а также задач оптимизации к полиномиальной задачи Коши, и построение алгоритмов их численного решения.

В диссертации, в рамках этого подхода, решен ряд важных задач численного анализа, нелинейного программирования и ряд практических задач из области механики управляемого движения.

Дадим краткую характеристику основных глав.

В первой главе дана общая характеристика работы.

Во второй главе рассматривается возможность решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений сведением ее к системе уравнений полиномиального вида. Дано определение полиномиальной системы дифференциальных уравнений. Для решения получаемой полиномиальной задачи Коши строится приближения по отрезкам ряда Тейлора. Для этого исходные уравнения путем введения дополнительных переменных приводятся к квадратичному виду. При применении этого метода важным вопросом является выбор шага интегрирования, оценка радиуса сходимости ряда Тейлора, представляющего решение и оценки погрешности. Сформулирована и доказана улучшенная теорема о радиусе сходимости ряда Тейлора, основанная на теореме работы [18]. Предложена методика введения масштабирующих множителей, дающая возможность увеличения шага интегрирования.

В третьей главе представлен ряд задач, которые могут быть сведены к дифференциальным уравнениям полиномиального вида: нахождение корней алгебраических и трансцендентных уравнений, задачи на безусловный экстремум функций многих переменных.

В четвертой главе дано описание метода рядов Тейлора и агрегатив-ного (составного) метода рядов Тейлора предложенного в работе [12], указан выбор шага интегрирования для полиномиальной задачи Коши. Предложены варианты нахождения масштабирующих множителей: эвристический метод и метод альтернативной точки.

В пятой главе на основе предложенного метода предлагается алгоритм численного решения задачи о движении ИСЗ в гравитационном поле Земли с учетом вращающейся Земли и изменения плотности атмосферы.

В шестой главе приведен ряд задач нелинейного программирования и предложена практическая реализация алгоритма численного решения полиномиальных задач Коши для этих задач

Практическая ценность результатов диссертации заключается в следующем:

Результаты диссертации позволяют с заданной точностью находить численное решение таких различных и важных задач, как высокоточное прогнозирование орбитального движения ИСЗ, нахождение корней алгебраических и трансцендентных уравнений, решение задач нелинейного программирования. Соответствующие алгоритмы реализованы в виде пакета программ на Фортране в рамках усовершенствованной диссертантом версии СЮЕ8о1уег.

1.3. Основные положения, выносимые на защиту.

1. Улучшенный вариант теоремы об оценке голоморфного решения полиномиальной задачи Коши и алгоритм выбора шага численного интегрирования в простом и составном методах рядов Тейлора, с гарантированной априорной оценкой погрешности.

2. Сведение конкретных задач численного анализа к полиномиальной задаче Коши и построение на этой основе соответствующих алгоритмов их решения. Среди этих задач:

- построение алгоритма прогнозирования орбитального движения ИСЗ с учетом гравитационных возмущений и сопротивления атмосферы;

- алгоритм решения алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами;

- алгоритм решения трансцендентных уравнений, возникающих при оптимизации управления линейными механическими системами по критерию "расхода топлива" и др.;

- решение сложных задач безусловной оптимизации функции многих переменных и другие аналогичные задачи.

Основные результаты предлагаемой диссертации опубликованы в статьях [1-6]. Они докладывались на Международном симпозиуме по классической и небесной механике (Великие Луки, август 1998), на международной математической конференции "Еругинские чтения VI" (Гомель, май 1999), на научных конференциях факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ (апрель 1999, апрель 2000), на семинарах кафедры механики управляемого движения СПбГУ.

1. Пупышев М.Ю. Численное интегрирование орбитального движения спутника с учетом атмосферы и несферичности Земли. Тезисы докладов. 1.I международный симпозиум по классической и небесной механике. Август 23-28, 1998, Великие Луки, Россия, с. 125-128.

2. Пупышев М.Ю. Применение составного метода рядов Тейлора для численного решения уравнений механики. "Еругинские чтения VI". Международная математическая конференция. Гомель, 19-21 мая 1999, с. 48-52.

3. Пупышев М.Ю. Численное интегрирование движения спутника с учетом вращения Земли. Межвуз. сборник "Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы". Пермь, 1999, с. 140-146.

4. Пупышев М.Ю., Пупышев Ю.А. Масштабирующие множители при численном интегрировании уравнений механики. Межвуз. сборник "Проблемы механики и управления. Нелинейные системы". Пермь, 1999, с. 146-149.

5. Пупышев М.Ю., Пупышев Ю.А., Якушева Н.В. Численное интегрирование вращательного движения твердого тела методом составных рядов Тейлора. Труды XXX научной конференции ф-та ПМ-ПУ СПбГУ, Санкт-Петербург, 3-9 апреля 1999, с. 293-294.

6. Пупышев М.Ю. Выбор масштабирующих множителей при численном интегрировании уравнений механики. Труды XXXI научной конференции ф-та ПМ-ПУ СПбГУ, Санкт-Петербург, 1-7 апреля 2000, с. 243-246.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы. М., Наука, 1973, 320 с.

8. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.С. Численные методы решения жестких систем. М., Наука, 1979, 208 с.

9. Бабаджанянц Л.К. Метод бесконечных систем в задачах небесной механики. Докторская диссертация. ЛГУ, 1985.

10. Бабаджанянц Л.К. Продолжаемость и представление решений в задачах небесной механики. Труды ИТА АН СССР. 1978, Вып. 17, с. 3-45.

11. Babadzanjanz L.K. Existence of the continuations in the N-body problem. Celestial mechanics, 1979, 20, p. 43-57.

12. Бабаджанянц Л.К. Оценка погрешности численного интегрирования задачи N тел. Письма в АЖ, т. 7, № 12, 1979, с. 752-755.

13. Бабаджанянц Л.К., Мгоян П.Б. Оценки голоморфных решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Вестник ЛГУ. Математика, Механика, Астрономия. № 7, 1984, с. 9-16.

14. Бабаджанянц JI.K., Мгоян П.Б. Оценки голоморфных решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Известия АН АРМ ССР, Математика 17, №2, 1982, с. 83-91.

15. Мгоян П.Б. Оценка погрешности в методе малого параметра. Рукопись депон. ВИНИТИ № 1320-В87 от 25 февраля 1987, 24 с.

16. Алферов Г.В., Бабаджанянц Л.К., Ковригин Д.А., Сенатова С.В. Лабораторный практикум по механике управляемого движения с использованием мини-ЭВМ. Учебное пособие. /Под ред. В.С.Новоселова/ Ленинград, 1980, 84 с.

17. Тимошкова Е.И., Холшевников К.В. Асимптотические методы небесной механики. Итоги науки и техники. ВИНИТИ, Астрономия, т.20, с. 15-19.

18. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М., 1947, Л., ОГИЗ.

19. Steffensen J.F. On the restricted problem of three bodies. Math. Jys. Danske, vid. selk. 30, № 18, 1957.

20. Steffensen J.F. On the problem of three bodies in the plane. Math. Jys. Medd. Danske, vid. selk. 31, 1957.

21. Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики. М., Наука, 1980, 208 с.

22. Бордовицина Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М., Наука, 1984, 127 с.

23. Мягин В.Ф., Сизова О.А. Совместное интегрирование уравнений небесной механики численным методом Тейлора-Стеффенсона. Бюлл. ИТА АН СССР, 12, № 5(138), 1970, с. 389-400.

24. Griffith J.S. On a generalized Taylor scheme for numerical integration. Astron. Astophys. 1970, № 2, p. 267-272.

25. Пуанкаре А. Избранные труды. М., Наука, т. 1,2, 1974.

26. Мерман Г.А. О представлении общего решения задачи трех тел сходящимися рядами. Бюлл. ИТА АН СССР, 6, 10(83), 1958, с. 713.

27. Чернышева H.A. Возмущенное движение низколетящего ИСЗ. Кандидатская диссертация. ЛГУ, 1990, 190 с.

28. Чернышева H.A. Оценка погрешности численного интегрирования задачи о движении ИСЗ. В сб. "Вопросы механики и процессов управления". ЛГУ, вып. 10. Анализ и синтез систем управления. 1987, с. 157-162.

29. Фоминов A.M. Движение Спутника Земли. Бюлл. ИТА АН СССР, 1963, т. 14, № 10, с. 621-654.

30. Потоцкая И.Ю. Кусочно-постоянное управление в линейных механических системах. Кандидатская диссертация. СПбГУ, 2000.

31. Гаязов И.С., Сочилина A.C. Применение аналитической теории для геостационарных спутников. Доклад на совещании проблемной группы "Аналитическая небесная механика". Казань, 1989.

32. Стреженкова Е.П., Томаров В.А. Об учете комбинированного влияния сопротивления атмосферы и несферичности Земли на движение ИСЗ. Наблюдение искусственных небесных тел. Москва, № 84, 1988,. с. 27-30.

33. Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики. М., Мир, 1964.

34. Мещеряков Г.А., Мартыненко А.Н. О многоточечных моделях геопотенциала. Труды I Орловской конференции. Киев, Наукова думка, 1982, с. 121-131.

35. Полещиков С.М., Холшевников К.В. Построение систем точечных масс, представляющих гравитационное поле планеты по спутниковым наблюдениям. Вестник ЛГУ. Сер. 1, Вып. 2, 1984, 83-89 с.

36. Плахов Ю.В. О роли точечного представления внешнего геопотенциала в астродинамике. В сб. "Исследования по геодезии, аэрофотосъемке и картографии". М., 1978, вып. 3(1), с. 51-56.

37. Тимохова Т.А., Эльясберг П.Е. Использование нестационарных моделей атмосферы при описании ИСЗ. ИКБ 1300. М., 1984, с. 28. (Препринт ИКИ АН СССР, №916).

38. Малкин O.A., Луповка В.А. Применение нестационарных моделей атмосферы для описания торможения ИСЗ. Известия вузов, сер. "Геодезия и аэрофотосъемка". М., № 2, 1987, с. 59-69.

39. Модель верхней атмосферы для баллистических расчетов. ГОСТ 22722177, М., Изд-во стандартов, 1978, 64 с.

40. Агаджанов П.А., Барабанов Н.М., Буренин Н.И. и др. Космические траек-торные измерения. М., Сов. радио, 1969, 498 с.

41. Э. Полак. Численные методы оптимизации. Единый подход. Изд-во Мир, Москва, 1974, 374 с.

42. Ермольев Ю.М., Туленко В.П., Царенко Т.П. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления. Киев, Наукова думка, 1978, 289 с.

43. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М., Наука, 1973,263 с.

44. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М., Наука, 1971,424 с.

45. Ларичев О.И., Горвиц Г.Г. Методы поиска локального экстремума овражных функций. М., Наука, 1990, 95 с.

46. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М., Наука, 1982, 432 с.

47. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М, Высшая школа, 1982, 284 с.

48. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1980, 518 с.

49. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М., Мир, 1975, 534 с.

50. Грачев Н.И., Евтушенко Ю.Г. Применение метода сингулярных возмущений для решения минимаксных задач. ДАН СССР, 1977, 233, №3, с. 277280.

51. Микеладзе Ш.Е. Решение численных уравнений. Тбилиси, Мецниереба, 1965, 483 с.

52. Зубов В.И. Динамика управляемого движения. Л., 1980, 280 с.

53. Новоселов B.C. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. Л., 1972, 317 с.

54. Зубов В.И. Аналитическая динамика системы тел. Л., 1983, 344 с.

55. Новоселов B.C. Аналитическая динамика управляемого движения. СПб., СПбГУ, факультет ПМ-ПУ. 1998, 146 с.

56. Новоселов В.С Аналитическая механика систем с переменными массами. Л., 1969, 240 с.

57. Зубов В.И. Теория уравнений управляемого движения. Л., 1980, 288 с.

58. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М., Наука, 1972, 368 с.

59. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М., "Наука", 1975, 496 с.