О локализации и стабилизации решений задачи Коши для дифференциальных уравнений в классах обобщенных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. О локализации и стабилизации решений задачи Ко-ши для параболических систем в классе обобщенных функций

§ I. Предварительные сведения и обозначения

§ 2. О локализации решений задачи Коши для параболических в смысле Шилова систем с постоянными коэффициентами в классе обобщенных функций

§3.0 локализации решений- задачи Коши для параболических в смысле Петровского систем в классе обобщенных функций

§ 4. О стабилизации решений задачи Коши для параболических систем в классе обобщенных функций

ГЛАВА II. О полиномиальном приближении решений дифференциально-операторных уравнений в гильбертовом пространстве

§ I. Некоторые вспомогательные сведения

§ 2. О полиномиальном приближении решения задачи Коши для эволюционного уравнения параболического

§ 3. О полиномиальном приближении решения задачи Коши для эволюционного уравнения гиперболического типа с вырождением.

§ 4. О полиномиальном приближении решения уравнения

Аи = |.

Диссертация посвящена исследованию свойств /локализации и стабилизации/ решений задачи Коши для параболических систем дифференциальных уравнений, а также полиномиальному представлению решений дифференциально-операторных уравнений.

I. Для рядов Фурье суммируемых на [о, 2L3C] функций хорошо известен принцип локализации Римана [25] : сходимость или расходимость ряда Фурье в точке зависит только от поведения функции в окрестности этой точки. Другими словами, если ^^еЦоДХ) совпадают на интервале (а,8) с [о, 2.Х] » то во всяком отрезке [оь+£,8-е] 1т>0 , разность их рядов Фурье равномерно сходится к нулю. Для обобщенных функций этот принцип, вообще говоря, не выполняется.

Например, <5-функция Дирака совпадает с нулем на любом промежутков . j ке, не содержащем точку 0, но ее ряд Фурье не сходится равномерно к нулю на любом таком промежутке. Если перейти к функциям многих переменных, то принцип локализации уже не имеет места и для суммируемых функций. Для его выполнения надо накладывать дополнительные условия гладкости /см. [i] /. Однако, во многих задачах математической физики, где пользуются представлением функции в виде ряда Фурье, более естественным является выполнение этого принципа не для самих рядов Фурье, а для рядов Фурье, просуммированных некоторым методом. Так, например, принцип локализации для ряда Фурье функции | , просуммированного методом Абеля-Пуассона, эквивалентен принципу локализации для решения задачи Дирихле .для уравнения Лапласа в единичном круге с граничной функ

О II О II о о циеи + , заданной на окружности: если i на какой-то открытой части окружности совпадает с непрерывной функцией, то при подходе к границе круга по некасательным направлениям решение задачи Дирихле сходится к | равномерно на любом компакте этого участка. В.И.Горбачук и М.Л.Горбачуком [l3] показано, что для преобразования Абеля-Пуассона ряда Фурье принцип локализации имеет место в классе ультрараспределений Жевре.

Естественно поставить следующую задачу: пусть в области С о границейUG рассматривается уравнение Ltt=0 и граничная задача ВЦвд® lj) , где L и Ь - дифференциальные операторы, действующие в области G и на границе 'BG соответственно, а ^ - обобщенная функция, заданная Ha^G ; если известно, что ij) на каком-то участке границы достаточно гладка, то будет ли решение рассматриваемой граничной задачи сходиться к ф равномерно при подходе к этому участку?

В данной работе этот вопрос изучен для задачи Коши в случае, когда L порождается системой дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа, т.е. системой вида

ПИ Д- м

PT]xeftH,,N, /0.1/ j=m 1к|*р в достаточно широких классах обобщенных начальных данных.

2. Вопрос о стабилизации решений задачи Коши для систем вида /0.1/ /т.е. существование у решения 1t(t,3£.) при t->+«*> определенного предела, понимаемого в том или ином смысле/ в классе обычных начальных функций рассматривался М.Кжижанским, С.Д. Эй.дельманом, Ф.О.Порпером, А.М.Ильиным, Ю.Н.Дрожжиновым, В.Д. Репниковым, А.К.Гущиным, В.П.Михайловым, Е.Б.Сандаковым, Ю.Н. Валицким, В.В.Жиковым, В.Н.Денисовым и др. В классах обобщенных функций конечного порядка он изучался Ю.Н.Дрожжиновым, С.Д. Эйдельманом, Ю.Н.Валицким, Б.И.Завьяловым в случае уравнения теплопроводности. Обзор работ, относящихся к этому вопросу, см. в [17] - [18] , [21] - [22] .

В диссертационной работе исследуется стабилизация решений задачи Коши для параболических в смысле Петровского в каждой полосе ГЦ-=С0ГГ] систем вида /0.1/ /р = 2.В / с непрерывными и ограниченными при t ?0 коэффициентами (Х^^х) = в классах обобщенных функций бесконечного порядка.

3. Многие задачи математической физики для уравнений с частными производными могут быть представлены в виде абстрактной задачи Коши для I/ эволюционного уравнения параболического типа и'0:)+А^Ш=О, 1с[о7ГХа(0)=1 ; эволюционного уравнения гиперболического типа с вырождением у^оД е[о,~Т] » !Л(р)-| ,tL1 Со)=0 ; 3/ в виде уравнения , где Д^О - неограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве /в 3/ предполагается, что Е ,J>>0 ,Е - тождественный оператор/.

В работах А.В.Бабина [2] - [б] методами теории весового приближения функций на полупрямой получены представления решений задач I/, 3/ и задачи 2/ с у = о в виде U - tuft СМ? ♦ где РпАЙ ~ полином степени ц переменной X /при фиксированном i в случае I/, 2/ /. В качестве весовой функции берется » гДе R>0 - такое число, что < 00 /1| || - норма в Ц /. Полиномы строятся в явном виде, при этом дается оценка скорости сходимости: погрешность |tl-убывает в стационарном случае как П.", в параболическом - как 11 , в гиперболическом - как

В диссертационной работе предложен иной способ построения полиномов , основанный на приближении функций на полуоси частными суммами их рядов Фурье по обобщенным многочленам Лагерра, образующим ортонормированный базис в пространстве Lj.do,'»),?^/^), где JL > - ^ , а Д>0 - число, зависящее от начального вектора^ /предполагается, что | принадлежит к множеству аналитических векторов оператора А /. При этом ju - РДЭДЦ < с£ц, , где с-=:c(J)>0. а равно: у1 /0 <J \ / - в параболическом случае, т /о < l <00 / - в гиперболическом случае, tlT^ /кб / - в стационарном случае. Решена также и обратная задача: если выполняется неравенство ||и - Р^(МЦ i С Сц. , то | принадлежит к множеству аналитических векторов оператора А . Предложенный метод дает более точную оценку отклонения чем в [2] - [б] , но в более узком классе начальных данных.

Кратко изложим основные результаты диссертации.

Прежде чем сформулировать результаты первой главы, напомним, что символами (Г) . S>1'-\>A (Г) > W) означаются пространства типа S » введенные И.М.Гельфандом и Г.Е.Шиловым в [ю] . Векторные пространства S<ju,,. л ДМ » S^,'"'j>B'(l*1) » определяются как прямая сумма аналогичных скалярных пространств.

Через S^,.,^) , S'K-h (Г) . (Г) Обозначим пространства всех линейных непрерывных функционалов над соответствующими основными пространствами, а их элементы будем называть обобщенными функциями. Соответственно элементы пространств S'ib.,!* (М • i'b-'J* (Г) , (Г) называются ododщенными вектор-функциями.

Если для системы вида /0.1/ задано начальное условие

U^gc-bf /0.2/ где f * ^, CD /\е (Г) /, то под решением задачи Коши /0.1/-/0.2/ будем понимать вектор-функцию /(i,DC,)€

ФИ"]*!*1 /» дифференцируемую по 4 и р-раз дифференцируемую по х , удовлетворяющую системе /0.1/ и равенству /0.2/ в том смысле, чтои(1д)-»| при-I-»0 в топологии пространстваS'jl i (I11) site&m /■ ,

В § 2 рассматривается система вида /0.1/ с (Х.^ , параболическая в смысле Шилова, с показателем параболичности ft , приведенным порядком р„ и родом ул /опр. (l, р0 ,ji см. в гл.1, § I, п.4/. Задача Коши для такой системы однозначно разрешима в пространстве начальных данных S'j'^'"']^ (RM » гДе f^lK . b-vMl.^o

Ее решение дифференцируемо по t , бесконечно дифференцируемо по х и дается формулой aft,*)=&(W»М«(Г), /о -з/ где G-(l,ac.) < Сг•) > /По:." оператор сдвига в пространстве s^. - фундаментальная матрица решений /ф.м.р./ системы /при каждом 4 е(о,~[~] элементы матрицы , рассматриваемые как функции ос , принадлежат пространству SlV^^HUl") /•

Основной результат этого параграфа составляет Теорема 1.2.2 /принцип локализации/. Если обобщенная вектор-функция I совпадает в области (^сЦ^ с непрерывной вектор-функцией С|(х) , то -—равномерно на произвольном компакте KcQ . е

В § 3 рассматривается система дифференциальных уравнений вида /0.1/ /р=2.В / с переменными коэффициентами, равномерно параболическая в смысле Петровского в области f| = [.0JT] * fvrL в предположении, что коэффициенты непрерывны по {. /при этом непрерывность по 1 старших коэффициентов равномерна относительно хе^1/, бесконечно дифференцируемы по х и ограничены вместе со всеми своими производными в П •

Задача Коши для такой системы однозначно разрешима в пространстве S'^.^ (IP/1) » где = 2.8/(2.8-l) • Ее решение дифференцируемо по t , бесконечно дифференцируемо по ос. и имеет вид где >0 / - ф.м.р. системы /0.1/ /при каждом t € (о,~Г] иэс-еК^ элементы матрицы , рассматриваемые как функции ^ , принадлежат пространству ^ ((К"-) /.

Имеет место

Теорема 1.3.2 /принцип локализации/. Если обобщенная вектор-функция S'lf <{,,. 7lj (J, (Л*1) совпадает в области Q с Д1*1 с непрерывной вектор-функцией (jCx) , то -—><j(x) равномерно на произвольном компакте К с Q .

Если 0$ (i at) в , то задача Коши для систем такого вида однозначно разрешима в пространстве (Д*1) • Принцип локализации справедлив уже в пространстве S'^'"''J^ (Ц*1) '

В § 4 рассматривается система /0.1/ /р*2.1! / с непрерывными и ограниченными при { коэффициентами = d^ft)' паРа болическая в смысле Петровского в каждой полосе Ц,= [Ь,~Т] * Ц*1 • Предполагается, что ф.м.р. системы удовлетворяет условию: при каждом t >0 lltGlUl /0.4/ где ф = ч) , 01 > 0 , &(i)- непрерывная монотонно возрастающая функция аргумента I , Ct(o)= 0 , t^"4. В^т^/.% 1^ , где 0 <. J> , С,6^>0 , L=4,., It , - некоторые постоянные /условие /0.4/ впервые было введено С.Д.Эйдельманом в [31] /. Условию /0.4/ с J>=l/2.& удовлетворяет, например, ф.м.р. параболической в смысле Петровского системы вида /0.1/ с постоянными коэффициентами, содержащей только группу старших членов.

Из /0.4/ следует, что при каждом L>0 элементы матрицы рассматриваемые как функции ос. , принадлежат пространству . (IRk) • Задача Коши в полупространстве i >0 для такой системы однозначно разрешима в пространстве V^j^CR^)» при этом ее решение имеет тот же вид, что и в формуле /0.3/.

Будем говорить, еле,дуя работе ^19] /см. также [в] / , что | е имеет обобщенное шаровое предельное среднее, равное I /Ь = / и писать М(|)Л , если о ^ mask Ы ^ ш 1% где - шар радиуса К с центром в т. х0 , [ties ^ЦФо)- С.Д11его объем, (?*vf)(oa) = <|,X-ot <f 0)>> $ (}) " 'Т-® - опеРа" тор сдвига в пространстве S^ (IR*1) • 0™етим> что MQ) не зависит от того, в какой точке сс0 выбрать центр шара.

Обобщенная вектор-функция ^^(Щ11) называется положительной ^ 0 /, если для любой положительной основной вектор-функции ij) .

Справедлива следующая

Теорема 1.4.2. Если \ е ОН , f?o , МДО-0 . то

0 при { + <*> для любой положительной вектор-функции у е Sfc^^Cr).

Для тех уравнений /систем/, у которых ф.р. /ф.м.р./ как функция ас. зависит от |х| , теорема 1.4.2 справедлива при более слабых ограничениях, а именно: если ^ € "'(JJ1) /| € lli^t^11) / и М(|Ьо » то для любой основной функции /вектор-функции/. Для уравнений специального вида условие М(|)-0 является не только достаточным, но и необходимым для стабилизации решения задачи Коши к нулю в обобщенном смысле. Перейдем к изложению результатов второй главы. Пусть t\ - неотрицательный самосопряженный оператор в сепара-бельном гильбертовом пространстве ^ со всюду плотной областью определения . Рассмотрим I/ задачу Коши параболического типа

Ш + А<ц {{) = о, -U [о,т], гцСоЬ f •

2/ задачу Коши гиперболического типа с вырождением Ш + - 0, t 6 [о J] J 0, 1Ll(P) = I ui Co) * 0•

3/ уравнение , A>J>E» J>>0 , E - тождественный оператор. Решения этих задач можно представить в виде

00 о J где А^О / - разложение единицы оператора Д

I >0, CtU.X'i = ^^)/(rti)snrt\ г = iffri),

ГС')- гамма-функция, функция Бесселя первого рода, С^Сх)2

Обозначим через Р^-ДМ 'Р^ЦцМ • соответственно частные суммы рядов Фурье функций , 1=<,jL по шо" гочленам образующим ортонормированный базис в L^CCo,00^ К^в/^"^) /<Л>Н yi>0 - фиксированные параметры/:

W-^Cu^tC-t/tt^L.CM, h

Pit iW -"«twtzwmM+ishuftt a M где S-t^Ofil)1) ,

Предполагается, что в последней формуле параметр Л € •

Пусть Hoo~ff бН'n^C^ft » На - множество аналитических

А } векторов оператора ft , т.е.

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 2.2.1. Если 1^(0)= | б На. , то для любого Т>0 существуют постоянные C1-t^(|)>0 » ji=yti(f)>0 , 0<j> =J>(X)M такие, что

Щ KW-PJtnCMflhqp^^ /0.5/ b[0,T] г ' J

Обратно, если для некоторого"Г > 0 существуют постоянные С^>0 , /Л > 0 , о <J><4 такие, что для * [о,Т] / 0 (о) = € выполняется /0.5/, то^еНа. •

Теорема 2.3.1. Если U.3L(o)=|» то ^ля любого*Х>0 существуют постоянные Cjl=:CjL(|)>0 , Jl-jL{\)>0 »L=L(T)><) такие, что

Обратно, если для некоторого~|~>о существуют постоянные Сд>0 , JUL>0,L>0 такие, что для t € [о,Т] / 0 UjlG>) = f е Н выполняется/0.6/, то|еНа. •

Теорема 2.4.1. Если На » т0 Д-ля произвольно фиксированного <1 €{11,5,6,.} существуют постоянные 6 = такие, что h-f^MU^r* /0-7/

Обратно, если для некоторого Л б {^5,6,-} существуют постоянные >О такие, что для U^A"*! с |еНоо выполняется /0.7/,

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [14] -- [1б] , докладывались на седьмой совместной сессии семинара имени И.Г.Петровского и Московского математического общества /1984 г./, на конференциях молодых математиков, проводимых в

Институте математики АН УССР /1982, 1984 гг./, на семинарах по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям в частных производных в Институте математики АН УССР.

Пользуясь случаем, автор вьцэажает глубокую благодарность своему научному руководителю Мирославу Львовичу Горбачуку за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А., Никишин Е.М. Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений. -Успехи мат. наук, 1976, т.31, № 6, с. 28-83.

2. Бабин А.В. Представление решений дифференциальных уравнений в полиномиальной форме. Успехи мат. наук, 1983, т.38, № 2, с. 228-229.

3. Бабин А.В. О полиномиальной разрешимости дифференциальных уравнений с коэффициентами из классов бесконечно дифференцируемых функций. Мат. заметки, 1983, т.34, №2, с. 249-260.

4. Бабин А.В. Решение задачи Коши при помощи весовых приближений экспонент многочленами. Функ. анализ и его прил., 1983, т.17, №. 4, с. 75-76.

5. Бабин А.В. Построение и исследование решений дифференциальных уравнений методами теории приближения функций. Мат. сб., 1984, т.123, В 2, с. 147-174.

6. Березанский 10.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наук, думка, 1965. - 800 с.

7. Вайнерман Л.И. Гиперболические уравнения с вырождением в гильбертовом пространстве. Сиб. мат. журн., 1977, т.18, JS 4, с. 736-746.

8. Валицкий Ю.Н., Эйдельман ОД. Необходимое и достаточное условие стабилизации положительных решений уравнения теплопроводности. Сиб. мат. журн., 1976, т. 17, Дз 4, с. 744-756.

9. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1958. - 440 с.

10. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. М.: Физматгиз, 1958. - 307 с.

11. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1958. - 274 с.

12. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные значения решений некоторых классов дифференциальных уравнений. Мат. сб., 1977, т. 102, 1Ы, с. 109-133.

13. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Тригонометрические ряды и обобщенные периодические функции. Докл. АН СССР, 1981, т.257, № 4, с. 799-803.

14. Горбачук МЛ., Городецкий В.В. О решениях дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. Успехи мат. наук, 1984, т.39, & 4, с. 140.

15. Городецкий В.В., Горбачук М.Л. О полиномиальном приближении решений дифференциально-операторных уравнений в гильбертовом пространстве. Укр. мат. журн., 1984, т.36, № 4,с. 500-502.

16. Городецкий В.В. Принцип локализации для решений задачи Коши для параболических по Петровскому систем в классе обобщенных функций. Докл. АН УССР. Сер.А, 1984, !Ь 10, с. 5-7.

17. Гущин А.К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения. Мат. сб., 1982,т .119, Я 4, с. 451-503.

18. Денисов В.Н., Репников В.Д. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений. Дифференц. уравнения, 1984, т.20, IS I, с. 20-40.

19. Дрожжинов Ю.Н. Стабилизация решений обобщенной задачи Коши для ультрапараболического уравнения. Изв. АН СССР. Сер.мат., 1969, т.33, Л 2, с. 368-379.

20. Житомирский Я.И. Задача Коши для некоторых типов параболических по Г.Е.Шилову систем линейных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Изв. АН СССР. Сер. мат., т.23, }£ 6, с. 925-932.

21. Зеленяк Т.И., Михайлов В.П. Асимптотическое поведение решений некоторых краевых задач математической физики при . В сб.: Дифференциальные уравнения с частными производными. М.: Наука, 1970, с. 96-118.

22. Ильин A.M., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. Успехи мат. наук, 1962, т.17, В 3, с. 3-146.

23. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. - 464 с.

24. Митягин Б.С., Эскин Г.И. О регуляризации экспоненциально растущих в нуле функций. Вестник МГУ. Сер. мат., мех., 1966, В 2, с. 18-21.

25. Риман Б. Сочинения. М.: Гостехиздат, 1948. - 542 с.

26. Репников В.Д., Эйдельман С.Д. Необходимые и достаточные условия установления решения задачи Коши. Докл. АН СССР, 1966, т. 167, )Ь 2, с. 298-301.

27. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. -500 с.

28. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976. - 328 с.

29. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2. ГЛ.: Наука, 1970. - 800 с.

30. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. - 427 с.

31. Эйдельман С.Д. Лиувиллевы теоремы и теоремы об устойчивости для решений параболических систем. Мат. сб., 1958, т.44,4, с. 481-509.

32. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964. -444 с.

33. Coioft Ш., Ык £. Laflume pofyruwtois сыъЫ La^&tcetotyuis.-Ъмк МЛ. Jouwi., MS, v.fc, р.Ж-т.