О поведении при больших значениях времени решений параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

Факультет вычислительной математики и

Денисов Василий Николаевич

О поведении при больших значениях времени решений параболических уравнений

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2011

2 л ъ

4841071

Работа выполнена на кафедре общей математики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им М.В. Ломоносова

Научный консультант:

доктор физико-математических наук академик РАН, профессор, В.А. Ильин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, В.В.Жиков доктор физико-математических наук профессор, Ю.А.Дубинский доктор физико-математических наук профессор, Г.А.Калябин

Ведущая организация: Институт математики и механики УрО РАН

Защита состоится " П " (РЫ^^АЛ 2011г. в 15 час _30 мин.

на заседании Диссертационного совета Д.501.001.43 при Московском государственном университете им М.В. Ломоносова по адресу:

119991 ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ им Ломоносова факультет Вычислительной математики и кибернетики, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ. Автореферат разослан иЛ-ЯЛА-Т^ 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор

Е.В. Захаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Настоящая работа посвящена вопросам, связанным с нелокальным поведением (при большом времени) решений задачи Коши и первой краевой задачи для параболических уравнений второго порядка.

Систематические исследования по качественной теории уравнений параболического типа стали возможными благодаря фундаментальным работам, посвященным обоснованию вопросов разрешимости задач Коши и краевых задач для этих уравнений. Из громадного числа работ по корректности постановок упомянутых выше задач отметим работы В.А. Ильина А. М. Ильина, А. С. Калашникова, О. А. Олейпик 2, О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова, Н. Н. Уральцевой 3. Среди зарубежных ученых отметим работы: Д. Аронсона 4, А. Фридмана 5, Г. Либермана6

В математической физике весьма часто возникает вопрос о поведении при больших значениях времени решений параболических уравнений. Пусть О = Ии х (0, оо) область в Рассмотрим задачи Коши:

Чи) + с(х)и-щ = 0 в Д и^=а = и0(х), хёД", (1)

где

N N

1г(х)и= ^2{аа{х)иХ!,)Хл, (Ь(х), Уи) = ]Гб;(х)иг. (2)

1,(с=1 1=1

Сги = Ь2(х,г)и-{- (Ь(х,г), Уи) + с(х,г)и = 0 в Д и|4=0 = иа(х), хей",

(3)

где

N N

и первую краевую задачу

Ьг(х)и — щ = 0 в Р = С? х (0, оо),и|3 = 0, = ио(х),х е (5)

где оператор Ь\(х) определен в (2), - вообще говоря неограниченная область в Я1*, N 3, 51 = <9<2 х (0, оо), 51- граница области С}.

Предполагается, что для операторов ¿¡(4 = 1,2) выполнены условия равномерной параболичности.

N

ЕА°>0, А1>0' (6)

1 Ильин В. А. О разрешимости сметанных задач для гиперболического а параболического уравнений // УМН, 1960, т. 15, № 2, с. 97-154

2Ильин А. М., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // УМН, 1962, т. 15, № 2, с. 97-154.

3Ладыженская О. А. , Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа //Москва, Наука, 1967

4Aronson D. Non-negative solutions of linear parabolic equations // Ann, Scuola Norm. Sup. Pisa (3) 1968, v. 22, № 4, p. 607-694

8 Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа // Москва. Мир. 1968

eLieberman G. М. Second order parabolic differential aguations // World. Science, 2005

Iii2 = iîH-----Kwi t) 6 D, коэффициенты o,ik (1), (3), (5) симметричны, т. е.

<kifc = ow (i,k = 1,..., iV), начальная функция щ(х) непрерывна и принадлежит классу единственности соответствующей задачи,

Более точные условия на коэффициенты будут сформулированы ниже.

Интерес, который проявляют математики к вопросу о поведении при t оо решений задач (1), (3), (5), становится естественным и понятным, если учесть, что к задачам Коши (1), (3) и краевой задаче (5) для параболических уравнений приводят многие интересные и важные физические задачи, например задачи о распространении тепла в ограниченных и неограниченных объемах, задачи диффузии, задачи теории марковских процессов и т.п.

В работе изучаются вопросы стабилизации, т.е. существования предела

решения задачи Коши, равномерно относительно х на каждом компакте К в RN, для параболического уравнения второго порядка, как дивергентного, так и недивергентного вида. Изучается зависимость поведения решения задачи Коши при больших значениях времени от поведения при больших |г| младших коэффициентов уравнения, в различных классах начальных функций.

Мы также изучим необходимые и достаточные условия на область Q 6 RN, при которых решение первой краевой задачи (5) стабилизируется к нулю, т.е. существует предел (8), равномерно по х на каждом компакте К в Q, для любой ограниченной й непрерывной в области Q функции щ{х).

Впервые вопрос о поведении при i —► оо решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности изучен А.Н. Тихоновым, 7 который в 1938г. доказал следующие теоремы:

Пусть Q — ограниченная область iV-мерного евклидова пространства RN и пусть D = Q х (0, оо)- прямой полуцилиндр с основанием Q. Пусть и(х, t) — решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности, принимающее на боковой поверхности dQ х (0, оо) полуцилиндра D значение функции ф{х), не зависящее от времени. Тогда при t оо решение и(х, t) стремится в D равномерно по х € Q к функции удовлетворяющей внутри Q уравнению Лапласа и принимающей на dQ значение ф(х). А.Н. Тихоновым также доказано, что если решение уравнения теплопроводности и(х, t) непрерывно в D и удовлетворяет на границе цилиндра S = ÔQ х (0, оо) условию и(х, i)|, = 0, при t > to > 0, то решение стабилизируется к-аулю, т.е. существует предел lim и(х, t) = 0, равномерно по х € Q,

f—юо

каковы бы ни были значения u(z, t) при 0 ^ to. Эти результаты А.Н. Тихонова обобщались во многих работах ( например, работах В. Фулкса 8, М. Кржижанско-

7 Тихонов. А. Н. Об уравнения теплопроводности для нескольких переменных // Бюлл. МГУ, мат. мех, 1938, т. 1 № 9, с. 1-40.

'Pulks W, A note on the steady state solutions of the heat equations //Proc. Amer. Math. Soc. 1956, v. 7, № 5,p. 7-67. -

c(x,t) sSO в D [c(®)<0 x 6 Rn]

(7)

lim u(x,t) = 0,

(8)

го 9, А. Фридмана 10 11, С.Д. Эйдельмана, Ф.О. Порпера 12, Ю.Н. Черемных13 А. М. Ильина 15 16, Р. 3. Хасьминского 17 , А. М. Ильина Р. 3. Хасьминского 18 на случай более общих уравнений, краевых задач и более сложных областей Q.

А. Фридман доказал теоремы о равномерном стремлении к нулю при t оо решений краевых задач для определенных в цилиндре с конечным основанием или в расширяющейся области, неоднородных линейных параболических уравнений второго порядка, при условии, что граничные функции стремятся к нулю при t -> оо. Им были получены теоремы, обобщающие результаты А.Н. Тихонова, на общие неоднородные линейные параболические уравнения второго порядка, заданные в полуцилиндре, если младший коэффициент c(x,t) является неположительным. Результаты А. Фридмана систематизированы в главе 6 его монографии5.

Хорошо известно, что решение задачи Коши для уравнения теплопроводности Au = щ с начальной функцией и(х,0) = uo(a:), стремящейся к нулю при |х| —> оо, само стремится к нулю при t -4 оо, равномерно по х. Однако подробное утверждение о стремлении к нулю при t -> оо решения задачи Коши, вообще говоря, уже неверно для параболического уравнения (3) с коэффициентами, зависящими от а; и t, даже если c(x,t) < 0.

В работе15 A.M. Ильина доказано, что если

1) начальная функция в (3) имеет предел lim щ(х) = О,

|х|-»оо

2) выполнены условия параболичности (6),

3) коэффициенты bi(x,t) ограничены

N

4)Е(»й + btXi) > 5 > О, ¡=1

5)c(x,t) < 0 в D. то предел (8) существует равномерно по г 6 RN.

На примерах в15 показано, что при невыполнении одного из условий 1)-5), утверждение теоремы может оказаться неверным.

В работе2 доказано (§ 12, т. 1), что для задачи Коши (3) с ограниченной функцией и0(х), условие

c(x,t) < Со < 0 (9)

9Krzyzaaski M. Sur l'allure asymtotique dessolutions d'équation du type paraboliques // Bull. Acad. Poionici, Sei. cl. 1956, III, № 4, p.247-251.

ICFriedman A. Convergence of solutions of parabolic equations to steady state // Proc. Amer. Math. Soc.

1959, v. 8, № 4, p. 57-76

"Friedman A. Asymptotic behaviour of solutions of parabolic equations of any order // Acta. math. 1961, v. 106, № 1-2, p. 1-43.

12Эйдельман С. Д. Порпер Ф. О. О стабилизации параболических уравнений // Изв. вузов матем.

1960, № 4, с. 210-217

13Черемных Ю. Н. Об асимптотике решений параболических уравнений// Изв. АН СССР, матем. 1959, т. 23, с. 913-924

uЧеремных Ю. Н. О поведении решений краевых задач для параболических уравнений второго порядка при неограниченном возрастании времени t // Матем. сб. 1968, т. 75, ДО 2, с. 241-254

15Ильин А. М. О поведении решения задачи Коши для параболического уравнения при неограниченном возрастании времени // УМН 1961, т. 16 №2, с. 115-121

16 Ильин А. М. Об одном достаточном условии стабилизации решения параболического уравнения // Матем. заметки 1985, т. 37, № 6, с. 851-856.

17Хасьминский Р. 3. Эргодические свойства возвратных диффузионных процессов и стабилизация решения задачи Коши для параболического уравнения // Теория вероятн. и ее примен. 1960, т. 5, № 2, с. 196-214

18Ильиа А. М. Хасьминский Р. 3. Асимптотическое поведение решений параболических уравнений и эргодические свойства неоднородных диффузионных процессов// Матем. сб., 1963, т. 60, № 3, с. 366-392

гарантирует равномерную в RN стабилизацию решения к нулю.

В § 12 работы2 доказана теорема 4, утверждающая, что если u(x,t) —решение задачи Коши (3) с ограниченной начальной функцией, и существует такая функция v(x) > 0, что

\)C2v{x) <0,2) lim ф) = +00, (10)

|т|-+оо

то существует предел (8), равномерно по х на любом компакте К.

Функцию v{x), удовлетворяющую условиям (10) будем называть, следуя Н. Мейерсу, Дж. Серрину19, антибарьером оператора C¡ на бесконечности.

Отметим интересные результаты работы В.В.Жикова20,в которой были получены достаточные условия на младшие коэффициенты уравнения (1), для любой ограниченной начальной функции ио{х), гарантирующие выполнение теоремы о "равностабилизации ", т.е. существование предела разности

lim (и(х, t) — и(х, t)) = О, (11)

t-Voo

где v(x, i). -решение некоторой задачи Коши для уравнения с постоянными коэффициентами. Коэффициенты уравнения (1) есть при этом (см. [20]) либо гладкие периодические функции аргументов х и í, либо не зависят от t, и есть квазипериодические функции аргумента х. Теорема о равностабилизации позволяет получить критерий стабилизации решения задачи Коши для уравнения с младшими коэффициентами, который выражается в терминах существования соответствующему данному уравнению предела средних от начальной функции20. В самом общем случал критерий поточечной (равномерной) стабилизации решения задачи Коши без младших членов получен в работе В.В.Жикова21. В работе 22 был впервые получен критерий стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности с.ограниченной начальной функцией. Более подробный обзор работ, в которых изучается строение начальных функций, обеспечивающее стабилизацию решения задачи Коши в случае, когда младшие члены уравнения не оказывают влияния на стабилизацию, см. в работе 23.

Из приведенного краткого обзора работ по стабилизации вытекает, что случай. параболического уравнения (1) с дивергентным оператором (2) и младшими коэффицйентами изучен недостаточно. В этом случае, как известно3,4, можно значительно оелабить требования гладкости коэффициентов уравнения (1), рассматривая обобщенные решения (из некоторого класса единственности3,4).

В цитированных работах 2,15 приведены достаточные условия на коэффициенты уравнения (3), которые гарантируют для соответствующих теорем о стабилизации существование антибарьера на бесконечности, при этом начальные функции Uo(z) либо ограничены в RN, либо имеют предел lim щ(х) = 0.

..........|х1-к»

líMeyers:N., Senin J. The exterior Dirichlet problem for second order elliptic differential equations // J. Math, and Mech. 1960, v. 9, N 4, p. 513-538

,аоЖвков B.B. Асимптотическое поведение и стабилизация решений параболического уравнения второго порядка с младшими членами // Труды ММО, 1983, т.46, с.69-98

а1ЖиковВ.В. О стабилизации решений параболических уравнений. // Матем. сб. 1977, т.104, №4,с.597-661 г ■■ •

- "Репников В..Д.. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений //ДАН ССС1\1964, т.157,№3,с.532-533

азДенисов В.Н. Репников В .Д. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравн&-ИЙ.//Дифферетщ.' уравнения, 1984, т.20, Ш,с.20-41

Таким образом, является актуальным систематическое исследование точных достаточных условий на младшие коэффициенты, гарантирующих стабилизацию решения задачи Коши (1) или (3) для дивергентных и недивергентных параболических уравнений, для растущих начальных функций, принадлежащих классам единственности этой задачи.

ОБЪЕКТОМ ИССЛЕДОВАНИЙ служат задача Коши для параболического уравнения второго порядка с младшими коэффициентами, а также первая краевая задача для параболического уравнения, рассматриваемая в прямом цилиндре, неограниченном по í > 0 и, возможно, по х.

В случае задачи Коши (1) с дивергентным оператором второго порядка, коэффициенты уравнения могут зависеть только от х или от а; и от решения рассматриваются из известных классов обобщенных решений, начальные функции берутся из классов единственности соответствующей задачи Коши и могут включать в себя функции, имеющие определенный рост па бесконечности.

В случае задачи Коши (3) с недивергентным оператором второго порядка, коэффициенты уравнения зависят от х и от tl решения понимаются как классические, начальные функции берутся из классов единственности соответствующей задачи Коши, и которые могут включать в себя функции, имеющие определенный порядок роста на бесконечности.

В случае первой краевой задачи (5) решение будет трактоваться как обобщенное из соответствующего класса, начальная функция щ{х) — непрерывна и ограничена ъ С} С С? —область задания щ(х) может быть неограниченной в Лм.

Целью диссертационной работы является изучение условий стабилизации к пулю решения задачи Коши для параболических уравнений с младшими коэффициентами и решения первой краевой задачи для параболического уравнения. В случае задачи Коши мы изучаем достаточные условия на младшие коэффициенты параболического уравнения второго порядка, которые гарантируют стабилизацию к нулю решения соответствующей задачи, с начальпыми функциями из соответствующих классов единственности задачи Коши, удовлетворяющих определенным условиям роста на бесконечности.

В случае первой краевой задачи мы изучаем такие условия на область <2 задания начальной функции «(х,0), которые эквивалентны свойству стабилизации к нулю решения этой задачи.

Методы исследования в главах 1 и 2 основаны на построении растущих при |х| —► оо решений, зависящих от |г|, соответствующих суперпараболических неравенств. При этом применяются соответствующие варианты принципа максимума, неравенство Харнака и т.п., учитывается квалифицированное убывание (рост) младших коэффициентов параболических уравнений. В главе 3 доказывается лемма о возрастании н для обобщенного решения задачи (5), применение которой является основным моментом в доказательстве достаточности в теоремах 3.1, 3.2, 3.3 главы 3.

Научная новизна

1. Впервые получены точные достаточные условия на младшие коэффициенты параболического уравнения с дивергентным оператором, которые гарантируют стабилизацию решения задачи Коши (1) с любой ограниченной начальной функ-

24Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М. Наука, 1971

цией щ(х), и показано, что эти условия существенно зависят от числа пространственных переменных.

2. Впервые установлены веулучшаемые условия на младшие коэффициенты параболического уравнения с дивергентным оператором, при выполнении которых решение задачи Коши (1) стабилизируется к нулю, равномерно на каждом компакте К в RN, для любой начальной функции, имеющей на бесконечности степенной рост порядка та > 0. Доказана неулучшаемость полученных достаточных условий стабилизации.

3. Получены точные достаточные условия на младшие коэффициенты парабо лического уравнения с дивергентным оператором, при выполнении которых решение задачи Коши (1) стабилизируется к нулю, равномерно по х на каждом компакте К в RN, для любой начальной функции, имеющей на бесконечности экспоненциальный порядок роста ехр(а|х|) .

4. Получены неулучша«мые достаточные условия на младшие коэффициенты параболического уравнения с недивергентным оператором, при выполнении которых решение задачи Коши (3) стабилизируется к нулю, равномерно по х на каждом компакте К в RNв каждом из следующих классов начальных функций: 1) функций степенного роста, 2)экспоненциального порядка роста |ио(х)| < Сехр(а|х|"), 0 <п < 1.

5. Впервые получены неулучшаемые достаточные условия на коэффициенты уравнения с неограниченным коэффициентом с(а;,t), при которых решение задачи Коши (3) стабилизируется к нулю равномерно по х на каждом компакте, для любой функции щ(х) , удовлетворяющей условию роста

Мх)| < Cexp(b|x|fc), 1 < fc < 2, b> 0.

6. Получены необходимые и достаточные условия стабилизации решения задачи Коши для уравнения Аи - Ь(|х|)и — щ — 0, формулируемые в терминах расходимости несобственного интеграла от Ь(\х\).

7. Получены необходимые и достаточные условия на область RN \ Q, выполнение которых эквивалентно стабилизации к нулю решения первой краевой задачи (б), равномерно по х на каждом компакте К в RN, при любой ограниченной непрерывной начальной функции и(х,0) = ио(г)> x&Q.

Теоретическая и практическая ценность

Предлагаемые методы и подходы открывают новые возможности для эффективного решения различных задач о стабилизации решений для параболических уравнений, например задачи о скорости стабилизации к нулю решения задачи Коши, или задачи о скорости стабилизации к нулю решения первой краевой задачи в различных областях типа конуса. Предложенные в работе методы могут быть применены также в задачах стабилизации решений внешних краевых задач для параболических уравнений.

Результаты диссертации являются составной частью исследований, выполненных в рамках гранта Российского фонда фундаментальных исследований: 06-0100288, 09-01-00446.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на:

• The International Conference "Differential Equations and Related Topics"dedicated to I.G. Petrovskii (Moscow 2004);

• The International Conference "Differential Equations and Related Topics"dedicated to I.G. Petrovskii (Moscow 2007);

• Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль 2006);

• The fourth International Conference on Differential and Functional Equations (Moscow 2005);

• The fifth International Conference on Differential and Functional Equations (Moscow 2008);

• Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль 2008);

• Международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложениям посвященной семидесятилетию ректора МГУ, академика В.А. Садовничего (Москва 2009);

• Международный конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль 2010);

• семинаре кафедры Общей Математики факультета ВМиК МГУ (руководители академик РАН В.А. Ильин, академик РАН Е.И. Моисеев, член корр. РАН И.А. Шишмарев, профессор И.С. Ломов)

• семинаре кафедры дифференциальных уравнений механико математического факультета МГУ (руководители профессор Жиков В. В., профессор Шаг маев А. С., профессор Шапошникова Т. А.)

• семинаре кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ (руководители профессор В.А. Кондратьев, профессор Е.В. Радкевич)

• семинаре отдела теории функции Математического института РАН им. В.А. Стеклова (руководители академик РАН С.М. Никольский, член корр. РАН О.В. Бесов, член корр. РАН Л,Д. Кудрявцев, член корр. РАН С.И. Похожаев).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 15 работ в центральных журналах см.[1]-[1В].

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы.

Общий объем диссертации составляет 187 стр.

Список цитируемой литературы содержит 78 наименований.

Содержание диссертации

Приведем список наиболее часто применяемых далее обозначений и определений:

х = (xi,..., xn) — точки N - мерного евклидового пространства RN, D = R^+1 = {x,t:xeRN, t > 0}, |x| = r = ^i? + ... + a&,

D = {x,t-.xeRN, о}, H[hM^{x,t:xeRN, h <i<t2}, Q - область в RN, = {s 6 RN : [x-20| < fi},

BR = {X: \x\ <R}, Ж = {Х: И ^ R},

a(x) = Qik{x), a(x, t) = a¡k(x, t) — квадратные симметричные матрицы размера Nx N с условием симметричности <нь = аы (г, к = 1,..., N), (х, у) — скалярное произведение в RN.

N

i,k=l

ff

(ф,Ш) = J2 а*(х<Шк

— квадратичные формы определяемые матрицами а(х) и а(х, t).

,ди ди. V-U = —,.... —) дхi oxN

- градиент скалярной функции и{х), (b(x), Vu) = Y,'¿ih(x)uxi,

N

(b(s,í),V«) = Y,bi(x,t)ux¡,

Начальную функцию и0(х) всегда будем считать непрерывной в RN и удовлетворяющей дополнительным условиям роста, которые будут указаны далее. Сначала в главе 1 будем рассматривать случай, когда и0(х) — ограничена в RN

|«Q(X)| < М. (12)

Для формулировки результатов главы 1 нам потребуется понятие обобщенного решения задачи Коши (1).

Пусть П — произвольная область в RN+1, под пространством W^fi) будем понимать пополнение множества функций из Со°(П) по норме (см.3'4).

ll/llnS'd» = [ J U\x,t) + (VJ(x,t)f)dxdt\1/2, (13)

n

где V/ = (j¡fit..., ■g^j — градиент скалярной функции, аналогично, И^'^П) -есть пополнение множества функций CJ°(f2) по норме

НЛ 1^(0) = [/(/2(М) + (Vi/(x, í))2 + {h{x,t)f)dxdt\'2. n

Пусть DT = RNx (О, Г), Т > 0. Под обобщенным решением задачи Коши (1) в Отбудем понимать функцию, которая принадлежит W21,0(Bñ х (О, Т)) для всех R> О и удовлетворяет интегральному тождеству

J[(a(x)Vu, Vr/) - 77(6, Vu) -cari- w)t\dxdt = J щ(х) ф, 0 )dx, (14)

От RN

для всех функций rj(x,t) из W^^Dt) с ограниченным носителем, удовлетворяющим условию т]{х,Т) = 0. Будем говорить, что функция u(x,t) является обобщенным решением задачи (1) в области D = RN х (0, оо), если при всех Т > 0 она является обобщенным решением задачи (1) в Dt■

Известно3,4, если щ(х) удовлетворяет (12), то ограниченное обобщенное решение задачи Коши (1) существует и единственно.

Определение 1. Будем говорить, что решение задачи Коши (1) стабилизируется, если существует предел

lim u(x,t) — 0, (15)

t-»oo

равномерно по х на каждом компоненте К в RN.

Определение 2. Будем говорить, что коэффициенты 6i(x),..., bjv(x) удовлетворяют условию (ßi), если найдутся постоянные В > 0, е > 0 для которых

sup (1 + |х|)т|6<(х)| < В, Vx 6 Rn. (16)

хед"

Определение 3. Будем говорить, что коэффициент с(х) удовлетворяет условию (Ci), если 3 а > 0, такое, что

с(х) < -а2 max{0, sgn(l - |х|)}. (17)

В § 2 доказан следующий результат

..Теорема 1.2 Если N = 1 или N = 2 и функция и0{х) ограничена в bi(x),...,bN(x) удовлетворяют условию (В\), коэффициент с(х) удовлетворяет условию (Cj), то решение задачи Коши (1) стабилизируется, т.е. существует предел (15), равномерно по х на каждом компакте К в RN.

. Отметим, что условие (Ci) является существенным, ибо решение задачи Коши Аи — щ = 0, u|t=o = 1 не имеет предела (15) ни в одной точке х 6 RN.

. Теорема. 1.2 не переносится на случай больших размерностей, ибо справедливо утверждение

Лемма 1.8 При N ^ 3 существуют: коэффициент с(х), удовлетворяют условию (Ci), ограниченная непрерывная функция щ(х), для которых решение задачи Коши

- Au + c(x)u-ut = 0, (x,t)eD, u|t=o = ti0(x), (18)

не имеет предела (15) ни в одной точке х € RN.

Следующая лемма устанавливает точность утверждения теоремы 1.2, в смысле топологии предела (15).

Лемма 1.10 При N = 1 или N — 2 существуют: коэффициент с(х), удовлетворяющий условию (Ci), ограниченная в RN функция щ(х), для которых решение задачи'Коши (18) не имеет равномерного в RN предела (15).

Следующие леммы устанавливают точность условий в теореме 1.2 на младшие коэффициенты уравнения (1).

Рассмотрим задачу Коши:

Ди + (b(x),Vu) + c(x)u - «4 = 0 в Д (19)

u|t-o = uo(*), xeRN. (20)

Лемма 1.11 При N = 1 существуют: коэффициент с(х), удовлетворяющий условию (С!), коэффициент Ъ(х), ограниченный в Л1 такой, что Ь(х) = | при х > 1, /3 > 1 и }}(х) = при х < -1, /9 < -1, ограниченная в Л1 функция щ{х), для которых решение задачи Коши (19), (20) не имеет предела (15) ни в одной точке х е Я1.

Лемма 1.12 При N = 2 существуют: коэффициент 0(11,2:2). удовлетворяющий условию (С1), коэффициенты 61(11,22), Ц^ь х2) — ограниченные функции в Л2 такие, что Ыхл,х2) = г = 1.2, при г? + х2 > 1, ограниченная в Л2

функция ио{х1,х2), для которых решение задачи (19), (20) не имеет предела (15) ни в одной точке (хх,х2) пространства Л2.

Определение 4. Будем говорить, что коэффициент с(х) удовлетворяет условию (Сг), если 3 а > 0, такое, что

с{х) < -а2|х|-2тах{0,бёп(|х| - 1)}. (21)

Определение 5. Будем говорить, что коэффициенты 61(1),.. -,Ъц(х) удовлетворяют условию (62), если 3 В > 0, такое что

N

вир (1 + И) V Мх)\ < В < оо. (22)

•ея» £1

В главе 1 доказано следующее важное утверждение.

Теорема 1.3 Если N ^ 3, ио{х) — ограниченная функция, коэффициенты Ь\(х),...,Ьи(х) удовлетворяют условию (В2), коэффициент с(х), удовлетворяет условию (С2), то решение задачи Коши (1) стабилизируется к нулю равномерно по х на каждом компакте К в Л".

Следующие леммы устанавливают точность условий теоремы 1.3.

Лемма 1.13 При N > 3 существуют: коэффициент с(х), удовлетворяющий условию (С2), ограниченная в Нк функция щ(х), для которых решение задачи Коши (18) не имеет равномерного в В.к предела (15).

Лемма 1.14 Существуют ограниченные в Л" коэффициенты &х(х),..., Ьц(х), такие что

= 0 < е < 1, В> 0, при |х|>1,

коэффициент с(х), удовлетворяющий условию (Сг), ограниченная в Л^ функция щ(х), для которых решение задачи Коши (19), (20) не имеет предела (15) ми в одной точке х е Л".

Лемма 1.15

Если коэффициент с(х) имеет вид:

с{х) = тах{0, вдп{\х\ - 1)}.

то существует ограниченная в Им функция щ(х), такая, что решение задачи Коши (18) не имеет предела (15) ни в одной точке х £

Я".

Лемма 1.15 устанавливает точность порядка |х|-2 в условии (Сз) теоремы 1.3.

Предположим, что начальная функция ио(х) удовлетворяет условию степенного роста порядка т на бесконечности

|и0(х)| < С(1 + И)т, т > 0. (23)

В главе 1 установлен следующий основной результат

Теорема 1.7 Пусть Ио(х) удовлетворяет условию (23), коэффициенты Ь\(х),...Ьц{х) удовлетворяет условию (В2), тогда существует постоянная ао = ао(т, В, >1, Ао, Лг) > 0 такая, что если коэффициент с(х) удовлетворяет условию {С2) при

«2 > 4, (24)

то решение задачи Коши (1) стабилизируется к нулю, равномерно по х на каждом компакте К в Я".

В случае, когда в уравнении (1) эллиптический оператор заменяется на оператор Лапласа Д, мы находим точное значение постоянной в неравенстве (24). Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1.9 Пусть функция иа(х) удовлетворяет условию (23), коэффициенты Ьх(х),... Ья(х) удовлетворяет условию (Дг), тогда если коэффициент с(х) удовлетворяет условию (С2) при

а2>т(т + Ы + В-2) = а1, (25)

то решение задачи Коши (19), (20) стабилизируется к нулю, равномерно по х на каждом компакте К в Н'1 ■

Неравенство (25) является точным, это вытекает из следующего утверждения Лемма 1.24 Для произвольных т > 0, В > 0 существуют начальная функция ио(г), удовлетворяющая условию (23), ограниченные в Д" коэффициенты 61(1),.. .Ьн(х), удовлетворяющие условию (В2), и такие, что

Ь{(х) = В-ръ при |х| > 1, В > 0 |х|

и коэффициент с(х) удовлетворяющий условию (Са) при

а2 = т{т + ЛГ + В - 2), для которых решение задачи (19), (20) не имеет предела (15) ни в одной точке

Кроме того, в главе 1 установлены леммы, показывающие точность условий теоремы 1.9. Поскольку их формулировка аналогична соответствующим леммам 5—6 и мы, для краткости, не будем приводить их.

Определение 6. Будем говорить, что коэффициент с{х) удовлетворяет условию (С3), если

с(х) < -а2, х 6 Я", (26)

при некотором а > 0.

Рассмотрим начальные функции, удовлетворяющие условию роста

|мо(я)| ^ С ехр{а|х|}, (27)

для некоторой постоянной а > 0.

В области 5 = Яы х [0, оо) рассмотрим задачу Коши

£3и = Ь${х, £)и + с(х, ¿)и — щ = 0 в В (28)

4=0 = щ{х), хеВ,", (29)

где £з(х,4) имеет вид

N

Ь3{х,Ь)и= (30)

»л=1

<кк — Ои, (г, к = 1,..., ЛГ), выполнены условия параболичности (6)

Приведем оценки Дж. Нэша 25 и Д. Аронсона 26 для фундаментального решения задачи Коши

¿зОМ)ь-1н = 0 в Г>, (31)

"|«=о = (32)

где и0(г) удовлетворяет (27).

В работах4,25,26 построено фундаментальное решение р{х, у; Т) задачи (31), (32) такое, что

1) функция р(х,у-^,Т) непрерывна в Д2ЛГ+2 = {х,у^,Т : х 6 Н1*,у 6 > Т}, 2) существует постоянные > 0,кг > 0, зависящие только от А2, А? и ЛГ, такие, что

р(х, у, 4, Т) $ кЩ - (33)

Теорема 1.10 Если щ(х) удовлетворяет условию (27) при некоторой постоянной а > 0, коэффициент с(х, 4) удовлетворяет условию (Сз) при

о? > а2к*, (34)

где к\ — постоянная из оценки (33), то решение задачи Коши (28), (29) стабилизируется, т.е. существует предел (15) равномерно по х на каждом компакте К в Я14.

Условие (34) является точным, о чем свидетельствует:

Лемма 1.28 Для любого а > 0 существует функция ио(х), удовлетворяющая условию (27), коэффициент с(х), удовлетворяющий (Сз) при а2 — а2, для которых решение задачи Коши (18) не имеет предела (15) ни в одной точке х €

В главе 2 диссертации изучается задача Коши для недивергентного параболического уравнения

£2иОМ) =1'20М)«+№>*)> Vu)+ф;,4)u-ut = 0 в £>, (35)

4=0 = и0{х), хей^.Л^З, (36)

где Ьг(М) оператор, определенный в (4).

Предположим, что коэффициенты (35) непрерывны и ограничены в 5 и удовлетворяют условию Гельдера

(а) Ых,г) - аг*(х°,4°)I < А(\х - + - 4°|*),

(b)

(c) |с(М)-с(х0,4)КЛ(|х-х°р).

Nash J. Continuity of Solutins of parabolic and elliptic equations // Amer. J. Math. 1958, v. 80, № 4, c. 531-554

28Aronson D. Bounds for the fundamental solution of parabolic equations // Bull Amer. Math. Soc. 1967, v. 72, p. 597-619

с некоторой постоянной у. О < 7 < 1,

с(х, t) $ О в D.

Предположим, что ац, = од (i, к = 1,..., N) и выполнено условие параболичпости (6).

Начальная функция будет всегда непрерывной в RN и удовлетворяет некоторым условиям роста.

Известно, что если и(х, t) — удовлетворяет условию А.Н. Тихонова

Wx,i)KCi(e)exp(C2(e)H2), (37)

в полосе Ярд для любого Т: 0 < Т < оо, то решение задачи Коши (35), (36) единственно.

Мы всегда будем считать выполненным условие (37). Теорема единственности вытекает из следующего принципа максимума для слоя. Мы приводим, ради полноты, полную формулировку этого принципа максимума 27.

Теорема.(принцип максимума). Если и(x,t) — суперпараболическая функция для уравнения (35), т.е.

£2u{x,t)^ 0 в слое Щ0,т\, VT > 0 (38)

с ограниченными коэффициентами, непрерывная вплоть до t = 0 и неотрицательная при t = 0, то и(х, i) > 0 в D. Рассмотрим задачу Коши

Д« — b(|x|)u-ut = 0 в u|i=0 = ио(х), (39)

где Ъ = Ь([х|) — радиальная функция, х € RN, N > 3, такая, что при г = |х| > 0

Ь(г) > 0, г > 0, b(r) ф 0, (40)

и Ъ(т) является ограниченной функцией в RN, удовлетворяющей условию Гельде-ра. Начальная функция щ(х) пусть ограничена и непрерывна в RN.

Определение 7. Будем говорить, что коэффициент b(|i|) удовлетворяет условию (Ci), если расходится интеграл

оо

J тЪ{т)в,т = +00, Го > 0. (41)

го

Справедливо следующее утверждение, доказанное в главе 2.

Теорема 2.1 Для того чтобы решение задачи Коши (39) стабилизировалось, т.е. существовал предел (15), равномерно по х на любом компакте К в RN необходимо и достаточно, чтобы коэффициент Ь(|х|) удовлетворял условию (Ci).

Следствие. Если коэффициент с(х) в задаче Коши (18) удовлетворяет неравенству

_С(х) < -bflxl), (42)

27Кондратьев В. А. Ландис Б. М. Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка // Итоги науки и техника. Современные проблемы математики М 32, ВИНИТИ 1989.

где для Ь(|х|) выполнены условия (С4), то решение задачи Коши (18) стабилизируется к нулю равномерно по х на любом компакте К в RN, для любой непрерывной, ограниченной начальной функции.

Теорема 2.1 является усилением теоремы 1.3 из главы 1 на случай, когда L(x) = А - оператор Лапласа и k = 0, г = 1,..., JV, ибо можно привести пример коэффициента с(х), для которого не выполняется условие (Ся) теоремы 1.3 главы 1, но выполнено условие (С4). В качестве примера приведем коэффициент с(х) следующего вида

. с(х) = —a2(min(e-2, |x|_2|ln |x||_s). (43)

Ясно, что для этого коэффициента с(х) не выполнено условие (Ci) теоремы 2 главы 1, если 0 < а < 1, однако выполнено условие (С4) и поэтому, в силу теоремы 2.1 решение задачи (18) с коэффициентом (43) стабилизируется к нулю равномерно по х на любом компакте К в RN

Определение 8. Будем говорить, что коэффициенты &i(x,t),... ,&д'(х,£) удовлетворяют условию (Бз), если В > 0 такое, что

вир (1 + 1*1 )(f>?M)'<ïS.

(x,i)E D i=1

Определение 9. Будем говорить, что коэффициент с(х, t) удовлетворяет условию (Ci) т.е.

с(х, t) < -Ь(|х|), (44)

где b(t) > 0, г ^ 0 ограниченная функция, удовлетворяющая условию Гельдера, такая, что расходится интеграл (41).

Теорема 2.2 Если начальная функция щ(х) непрерывна и ограничена в R , коэффициенты (bi(x,t),...,bii(x,t)) удовлетворяют условию (В3), коэффициент c(x,t) удовлетворяет условию (С5), то решение задачи Коши (35), (36) стабилизируется, т.е. существует предел (15), равномерно по х на каждом компакте К в RN.

Определение 10. Будем говорить, что коэффициент c(x,i) удовлетворяет условию (Се), если

с(х, t) « а„(|х|) = -a2 min(l, |х|"2) (45)

для некоторой постоянной а > 0.

Рассмотрим начальные функции, удовлетворяющие условию степенного роста (23).

Теорема 2.3. Если функция и0(х) удовлетворяет неравенству (23), коэффициенты bi(x,t),...,bjv(x,t) удовлетворяют условию (Вз), коэффициент c(x,t) удовлетворяет условию (Се) при

o?>\lm{m + S-2), (46)

где S = то решение задачи Коши (35), (36) стабилизируется, т.е.

существует предел (15), равномерно по х на каждом компакте К в RN.

Как вытекает из результатов леммы 1.24 главы 1, условие (46) является довольно точным.

Определение 11. Будем говорить, что коэффициент с(х, i) удовлетворяет условию (С7), если

с(х,t) < Ьа(|х|) = -a2 min (1, |x|"2t) (47)

для некоторых постоянных а>0, 0<&<1. Рассмотрим начальные функции, удовлетворяющие условию роста

|«o(z)l ^ Сехр(а|х|1-*), (48)

с некоторыми постоянными а > 0, 0 < к < 1. Имеет место следующий основной результат.

Теорема 2.4. Если начальная функция щ(х) удовлетворяет неравенству (48) при некоторых а > 0, 0 < k < 1, коэффициенты bx(x,t),... ,Ья(х, t) удовлетворяют условию (В3), коэффициент c(x,t) удовлетворяет условию (С7) при

а>а( 1 - k)Аь (49)

где Ai — постоянная из условия параболичности (6), то решение задачи Коши (35), (36) стабилизируется, т.е. существует предел (15), равномерно по х на каждом компакте К в RN.

Условие (49) является неулучшаемым, о чем свидетельствует Лемма 2.24 Для а>0, 0 < k < 1 существуют начальная функция ио(х) такая, что

щ(х) = С0 ехр (а[х|1—fc), С0 > О, коэффициент с(х) удовлетворяющий условию (С7) при

а = а(1 — к), (50)

для которых решение задачи Коши (18) не имеет предела (15), ни в одной точке xeRN.

Определение 12. Будем говорить, что коэффициенты c(x,t) удовлетворяют условию (Cg), для некоторых постоянных ß > 0, 0 < I < 1, если

c(x,t) < ^(|х|) = -ß2 max(l, |х|2'). (51)

Замечание. Задача Коши (35), (36) в случае, когда последний коэффициент с(х, t) является неограниченным и удовлетворяет условию

c(x,t) < -osi|x|2 - i>l,

впервые изучена в работах М. Кржижанского 28. Дальнейшее развитие теория параболических уравнений с неограниченными коэффициентами получила в работе Я.И Житомирского 29, Г.Н.Смирновой 30 и др.

"Krzyzanski M."Sur la solution fondamentale de l'équation lineare normale du type parabolique dont le dernier coefficient est non borne // Atti Accad Naz. Lincei. Ser.8 Rend. Cl. Sei. Fis. Mat. Nat. 1962, 32, p. 326-330.

Житомирский Я.И.Задача Коши для параболических систеы линейных уравнений в частных производных с растущими коэффициентами // Изв. вузов, ыатем., 1959, №1, с.55-74

30Смирнова Г-Н. Задача Коши для параболического уравнения, вырождающегося на бесконечности // Матем. сб. 1966, т. 70, № 4, с.591-604

Рассмотрим начальные функции щ(х), удовлетворяющие оценке

К(х)| < Сехр{Ь|х|ш}, С> О (52)

с некоторыми 6 > 0, 0 < 2 < 1, и задачу Коши (35), (36), в которой коэффициенты 6;(х, <)(г = 1, ..../V) удовлетворяют условию (Бз), а коэффициент с(х,Ь) удовлетворяет условию (Са). Существование и единственность решения задач (35), (36) в этом случае вытекает из работы30, при этом предполагается, что коэффициенты уравнения (35) принадлежат классам Гёльдера Сб1(С1), 0 < ¿1 < 1 в каждой ограниченной области П С £>.

Справедливо следующее утверждение

Теорема 2.5 Если начальная функция ио(х) удовлетворяет (52) при некоторых Ь > О, 0 < / < 1, коэффициенты Ьг (х, ¿),.. ■, Ъц{х, 4) удовлетворяют условию (<В3), коэффициент с(х, 4) удовлетворяет условию (С&) при

0> 4(1 + 0*1. (53)

где А1 — постоянная из условия параболичности (6), то решение задачи Коши (35), (36) стабилизируется, т.е. существует предел (15), равномерно по х на каждом компакте К в Лл'.

Условие (53) является довольно точным, о чем свидетельствует

Лемма 2.26 Для фиксированных Ъ > О, 0 < I < 1 существуют: начальная функция ио(х) такая, что

щ{х) = Со ехр (¿|х|1+!) (54)

и коэффициент с = с(|х|) удовлетворяющий условию (Сэ) при

/9 = 6(1 + 0, (55)

для которых решение соответствующей задачи Коши (18) не имеет предела (15), ни в одной точке х е Д^.

В главе 3 диссертации изучается первая краевая задача для параболического уравнения в цилиндре V = у. [0, сю), где С} — произвольная (возможно неограг-ниченная) область в Д"

Ь1(х)и-и1 = 0 в Д (56)

= 0, 1> 0, (57)

= щ(х), (58)

где 1а (х) оператор (2) второго порядка дивергентного вида, коэффициенты которого ограниченные и измеримые функции в Як и для которых выполнены условия симметричности а,*(х) = а^(х) (г, к = 1,..., /V) и условия параболичности (6), £ = 5<5 х (0, оо) — граница области, щ(х) — ограниченная и непрерывная в <2 функция.

Следующие пространства и функции нам потребуются в дальнейшем3,5.

Пусть Дг = <3 х (0, Г), где <5 - произвольная область в Д"

1М!л3(0т) - норма в пространстве Ь2(Дг), Ии11ьа(д) - норма в пространстве ^(О).

О 1,1

Определим гильбертово пространство (-От) как пополнение множества всех гладких в Вт функций, равных нулю в окрестности боковой поверхности <Э<2 х (О, Г), по норме

1М1\и,п, = ||«нит) + + |Ы||,(ВД, (59)

iv а

о 1,0

гильбертово пространство IV 2 №т), как пополнение того же множества функций по норме

с.1,0 о 1,0

банахово пространство У2 состоящее из всех элементов 1У2 непре-

рывных по 4 б [0, Т] в норме 1г(<Э) , с нормой

Через ВТ(К) будем обозначать пересечение

ВТПВЛ = ВТ(Я), Л>0.

о1,0 _

Пространство У2 (Вт) состоит из таких функций и , определенных в Вт, для

»1,0

которых при каждом Л > О найдётся функция V из Уг (Вт), совпадающая с функцией и в ВТ(Щ• Обобщенным решением задачи (56)-(58) в Вт будем называть ¡,1,0 _

функцию и(х, 4) еу2,1ас №т), удовлетворяющую интегральному тождеству

J(~иУ1 + (а(г)Уи, = J и(х)ь(х, 0)йх (60)

От <3

о 1,1

для любой функции ь(х, ?) из №2 (От) с ограниченным носителем такой, что г>(х,Т) = 0. Функция и(х, — обобщенное решение задачи (56) — (58), в В = С} х (0, оо), если при всех Т > 0 она является решением задачи (56) — (58) в Вт■ Известно, что если щ(х) непрерывна и ограничена в Q, то ограниченное обобщенное решение задачи (56) — (58) существует и единственно.

Будем рассматривать случай N ^ 3. Пусть Е — борелевское множество в

Я".

Рассмотрим на Е всевозможные меры ц с носителем на Е, удовлетворяющие условию:

Е

Винеровской ёмкостью множества Е называется число

сар(£:)= вир /1(Е). (61)

ме^(в)

Превосходный обзор вопросов, связанных с понятием емкости можно найти в книге Н.С. Ландкофа 31.

81Лалдкоф Н.С. Основы современной теории потенциала М. 1966.

Справедлив следующий критерий стабилизации решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности:

Ли — щ — 0 в D = Q х (0, оо), (62)

u\s = 0, ¿>0, (63)

«|«=о = «о(а0, (64)

где Q — произвольная, возможно неограниченная область в RNt N ^ 3, щ(х) — ограниченная непрерывная в области Q функция, решение задачи (62) — (64) понимается в смысле выполнения соответствующего интегрального тождества (60), где ал = 8ik. Не ограничивая общности считаем, что 0 6 dQ, сар(RN\Q) > 0.

Теорема 3.1 Для того чтобы решение задачи (62) — (64) стабилизировалось к нулю, т. е. существовал предел

lim и(х, t) = 0 (65)

t-+ оо

равномерно по х на каждом компакте К в Q, необходимо и достаточно, чтобы при некотором q > 1 выполнялось следующее условие (А)

(А) = (66)

m=l 4

Имеет место и интегральный аналог теоремы 1.

Теорема 3.2 Для того чтобы решение задачи (62)-(64) стабилизировалось к нулю, т. е. существовал предел (65), равномерно по х на каждом компакте К в Q, необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие (В):

{в)ГМШ)=ооа>0_ (67)

J а Т

Имеет место основной результат 3-й главы.

Теорема 3.3 Для того чтобы решение задачи (56)-(58) стабилизировалось к нулю, равномерно относительно х на каждом компакте К в Q, необходимо и достаточно, чтобы это свойство было справедливо для решения задачи (62)-(64) для уравнения теплопроводности.

Следствие Если область Q в RN такова, что расходится ряд (66) (инте-грал(67)), то для задачи (56)-(58) справедливо неравенство

К*о,01 < С2ехр{-С: Г* cap(^?)<ir}, (68)

Ja о Т

где хо - производная точка Q, ао > 0,Ci > 0,Съ > 0, постоянные С\ и аа зависят от Ai, Ао,N и ]xoj.

Из теоремы 3.3 следует устойчивость решений задачи (56)-(58) по отношению к изменению коэффициентов а& уравнения (56) и начальной функции.

Пусть Q - та же область в RN , N > 3 что и в задаче (56)-(58). Вместе с ней рассмотрим в цилиндре D — Q х [0, оо) другую задачу

ii(®)tti - uu = 0 в D (69)

Ul|s = 0,S = öQx(0,oo) (70)

ui|t=o = '"i(x),ie(5,|ui(s)|^M (71)

где

и для ограниченных и измеримых в Q коэффициентов ajt(x) выполнено нераг венство параболичности (6), с теми же постоянными Ajj,Ai,tii(x) - ограниченная и непрерывная в Q функция.

Теорема 3.4 1. Если область Q 6 RN, N ^ 3 такова, что расходится ряд (66), (интеграл (67)), то решения краевых задач (56)-(58) и (69)-(71)) имеют пределы

lim и(х, t) = 0, lim и^х, i) = 0 (73)

i—>оо t—юо

х 6 Q равномерно относительно х на каждом компакте К в Q.

2. Если существует один из пределов (73), то для области Q расходится ряд (66) (интеграл (67)) и тогда существует и другой предел в (73).

Основные результаты ДИССЕРТАЦИИ

На основе предложенных общих подходов были получены новые, неулучшае-мые результаты о стабилизации решений задач Коши и первой краевой задачи для параболических уравнений.

Подводя итоги проведенного исследования кратко сформулируем новые результаты, которые выносятся на защиту:

1. С помощью построения растущих положительных обобщенных решений (антибарьеров) соответствующих суперпараболических неравенств, доказаны теоремы о стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений с дивергентным оператором в классах ограниченных функций, при этом впервые указаны точные достаточные условия стабилизации, зависящие от числа измерений.

2. С помощью построения растущих положительных обобщенных решений (антибарьеров) получены точные достаточные условия стабилизации решения задачи Коши с дивергентным оператором в классах функций, имеющих степенной порядок роста те > 0 на бесконечности.

3. Установлены точные достаточные условия на младшие коэффициенты параболического уравнения с дивергентным оператором, в классах начальных функций, растущих как ехр (о]х|) на бесконечности, при которых решение задачи Коши стабилизируется.

4. Получены точные достаточные условия на младшие ограниченные коэффициенты, зависящие от х и от t параболического уравнения с недивергентным оператором, которые гарантируют стабилизацию решения задачи Коши, в классе начальных функций, имеющих на бесконечности следующий рост:

ехр(а|х|"), 0 < n < 1

5. Получены точные достаточные условия на коэффициенты, зависящие от х и от t, причем коэффициент при с(х, i), при и(х, t) в уравнении является неограниченно растущим, при выполнении которых решение задачи Коши стабилизируются, для любой начальной функции Мо(х), удовлетворяющей условию роста ехр (а|х|*), 1 < к < 2. на бесконечности.

6. Установлены необходимые и достаточные условия стабилизации решения задачи Коши Aü-b(|i|)u-ut = 0, u|i=o = Мо(®)> которые выражаются в терминах расходимости некоторого несобственного интеграла от 6([х|).

7. Установлены необходимые и достаточные условия стабилизации решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности с ограниченной начальной функцией, которые выражаются в терминах расходимости некоторого ряда интеграла из емкостей.

8. Установлены необходимые и достаточные условия стабилизации решения первой краевой задачи для параболического уравнения с ограниченной начальной функцией, которые выражаются в терминах расходимости некоторого ряда (интеграла), включающего винеровские емкости.

Автор выражает глубокую благодарность своему Учителю академику В.А. Ильину за постановку задач, постоянное внимание к работе, ценные советы и консультации в ходе её выполнения.

Автор благодарит также академика А. М. Ильина и академика Б. И. Моисеева за внимание и ценные советы.

Автор приносит благодарность всем участникам семинара кафедры общей маг тематики, и особенно члену корреспонденту И. А. Шишмареву, и профессору И. С. Ломову.

Автор считает своим долгом поблагодарить профессора В. В. Жикова, профес-

сора В.А. Кондратьева и профессора Ю. А. Алхутова за постоянную поддержку

и внимание.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшим коэффициентом. // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. S* 4. С. 506-515.

2. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшим коэффициентом и растущей начальной функцией. // ДАН РАН 2004. Т. 397. № 4. С. 439-441.

3. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с коэффициентом младшего порядка и растущей начальной функцией. // Труды семинара И.Г. Петровского, 2003. Т. 23. С. 127-148.

4. Денисов В.Н. О поведении решений параболических уравнений при больших значениях времени. // УМН, 2005. Т. 60, № 4 С. 145-212.

5. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшими коэффициентами // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12. Л* 4. С. 79-97.

6. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшими коэффициентами и с полиномиально растущей начальной функцией. // Труды конференции Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы образования. Физ.мат. лит. 2003. С. 239-245.

7. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшими коэффициентами и с экспоненциально растущей начальной функцией. // Труды МИАН им. В.А. Стехлова, 2008. Т. 261 С. 97-100.

8. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Копш для недивергентного параболического уравнения с младшим коэффициентом в классах растущих начальных функций. И ДАН РАН 2010, Т.430, № 5, с. 586-588.

9. Денисов В.Н. Стабилизация решения задачи Коши для недивергентного параболического уравнения с растущими младшими коэффициентами. // Труды МИАН им. В. А. Стеклова, 2010, т. 270, с. 97-109

10. Денисов В.Н. Условия стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения в классах растущих начальных функций. // Труды конференции Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология Москва, 2008, с. 118-132

11. Denis ov V. N. Stabilization of a solution to the Cauchy Problem for a Nondivirgence Parabolic Equation with Growing Lower order coefficients. // Proceeding of the Steklov Inst. of Math.2010,v.270, pp.91-103.

12. Денисов В.Н. Достаточные условия стабилизации решения задачи Коши для недивергентного параболического уравнения с младшими коэффициентами. //Современная математика. Фундаментальные направления, 2010, т. 36, с. 61-71

13. Денисов В.Н. О необходимых и достаточных условиях стабилизации решения задачи Копш для параболического уравнения с младшими коэффициентами. // ДАН РАН, 2010, т. 433, № 4, с. 452-454

14. Dentsov V. N. On necessary and eufficient condition of stabilization o£ solution of the first boundary value problem for parabolic équations // International Conférence "Tikhonov and Contemporary Mathematics"2006, section 1, p 54-55

15. Денисов В.Н. Необходимые и достаточные условия стабилизации решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности // ДАН РАН 2006. Т. 407. № 2. С. 163166.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N00510 от 01.12.99 г. Подписано в печать 25.02.2011 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 150 экз. Заказ 079. Тел. 939-3890. Тел/Факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение

1 Постановка задач и обзор известных результатов.

2 Основное содержание работы.

1 Условия стабилизации для дивергентного уравнения

1.1 Некоторые свойства решений эллиптических уравнений в одномерном и двумерном случаях.

1.2 Доказательство теоремы 1.2.

1.3 Некоторые свойства решений эллиптических уравнений в М^ при N >

1.4 Доказательство теоремы 1.3.

1.5 О неулучшаемости условий теорем 1.2 и 1.3.

1.6 О решениях эллиптических уравнений в Кд7 со степенным ростом на бесконечности.

1.7 Принцип максимума для обобщенных решений задачи Коши в классах растущих функций

1.8 Доказательство теоремы 1.7.

1.9 Доказательство теоремы 1.9.

1.10 О неулучшаемости условий на младшие коэффициенты в теоремах 1. и 1.9.

1.11 Доказательство теоремы 1.10.

1.12 О точности условий в теореме 1.

2 Стабилизация в недивергентном случае

2.1 Необходимые и достаточные условия стабилизации решения задачи Коши для уравнения с радиальным потенциалом.

2.2 Некоторые свойства суперрешений эллиптических уравнений в N ^

2.3 Доказательство теоремы 2.2.

2.4 О растущих суперрешениях для эллиптических недивергентных уравнений в N > 3.

2.5 О стабилизации суперрешений параболических уравнений.

2.6 Доказательство теоремы 2.3.

2.7 Доказательство теоремы 2.4.

2.8 Доказательство теоремы 2.5.

2.9 О точности условий теоремы 2.4.

2.10 Точность условий теоремы 2.5.

3 Условия стабилизации первой краевой задачи

3.1 Формулировка результатов.

3.2 Лемма о возрастании.

3.3 Итерационное неравенство и его следствия.

3.4 Оценка снизу тепловой емкости цилиндра через винеровскую емкость основания.

3.5 Доказательства теорем 3.1 и 3.2.

3.6 Свойства тепловых потенциалов и параболических емкостей для параболического уравнения.

3.7 Доказательство достаточности теоремы 3.

3.8 Доказательство необходимости теоремы 3.3.

3.9 Доказательство следствия 3.1 теоремы 3.3 о стабилизации решения краевой задачи в конусе.

3.10 Доказательство теоремы 3.4.

1 Постановка задач и обзор известных результатов

Настоящая работа посвящена вопросам, связанным с нелокальным поведением (при большом времени) решений задач Коши и первой краевой задачи для параболических уравнений второго порядка.

Систематическое исследование по качественной теории уравнений параболического типа стало возможным благодаря фундаментальным работам, посвященным обоснованию вопросов разрешимости задачи Коши и смешанных задач для таких уравнений.

Из огромного числа работ по корректности постановки упомянутых выше задач отметим работы В.А. Ильина [1], A.M. Ильина, A.C. Калашникова, O.A. Олейник [2], O.A. Ладыженской ,В.А Солонникова , H.H. Уральцевой [3], Е.М. Ландиса [57]. Среди зарубежных ученых отметим фундаментальные работы Д. Аронсона [4], Фридмана [5], Г. Либермана [6]. Работа А.Н.Тихонова [7] явилась первой работой, в которой изучалась стабилизация решений уравнения теплопроводности. Эта работа открыла новое направление в теории уравнений в частных производных, которое интенсивно развивается в настоящее время.

В данной работе изучается стабилизация решений задач Коши для параболических уравнений второго порядка, как дивергентного, так и недивергептного типа в зависимости от поведения на бесконечности младших коэффициентов уравнений для различных классов начальных функций, включающих в том числе и растущие функции .

Мы изучим также необходимые и достаточные условия на неограниченную область в M.N, при которых решение первой краевой задачи для параболического уравнения без младших членов стабилизируется к нулю для любой ограниченной начальной функции.

Приведем список применяемых далее обозначений и определений (см. [2]-[4]).

D = Rn х (0, оо) = {х, t : х е R*. t > 0}, D = M.N x [0, oo) = {x, t : x G RN, t > 0}. Щь.ь] = {x,t-.xe Rn, к <t<t2}— слой в R+,

С¡) — ограниченная область в М^, {х £ Ж1* : \х—х'о| < й} открытый шар в с центром в точке Хо, радиуса Я, ВК — замкнутый шар в частности

Я = Я(0,т], VT>0, х G MN : \х - х0\ < R}, BR = В\ о я

Объем шара Вхг?: где лг площадь сферы единичного радиуса в а(х) = Ог/к(ж), а(х, = £) — квадратные матрицы размера N х N с вещественными коэффициентами. n n о = ЪкСх)^, (а(х, ОС, 0 = ^^ ~~ г, к=1 квадратичные формы, порожденные матрицами а(х) и а(х, ¿) соответственно. Всегда будем предполагать симметричность матриц а{х) и а{х, £), т.е. ащ(х) = акг(х), сцк(х, ¿) = (*, & =

УС/ = (С/Ж1, ., ихы)— градиент скалярной функции 17(ж),

С/. = = дХг' Х*Х"! дХгдХк

Для вектора = (Ьх(ж), ., Ъ^{х)) полагаем n

Ь(х) ■ Vи = (6(х), УС/(а;)) = ^ ^ (ж) , 1 а для вектора ¿) = (Ь](х, - - -, ЬлК®» £)) полагаем N ь(®, о • Vи = (Ь(х, г), чи(х)) = 1 г = |ж| — расстояние в евклидовом пространстве от точки ж до О, Г = Г (г) — функция, зависящая от г,

Пусть £1 — произвольная область в Мдг+1, под пространством И/21'°(П) будем понимать (см. [3]) пополнение множества финитных бесконечно дифференцируемых функций Со°(П) по норме

I а2(х, г) + (V/, V/)) ¿гЛ .п

1/2 где как обычно (V/, V/) — скалярный квадрат вектора (/^ . (х, у) — скалярное произведение в аналогично И/21,1(0) — есть пополнение множества функций Со°(Г£) по норме

Н/Ни^сп) = п

1/2

Пусть ал) дивергентный оператор второго порядка, где х — ., х^) € М", Щк(х) — ограниченные и измеримые функции в М^. Аналогично определим оператор

1.2) с ограниченными и измеримыми коэффициентами в £) = М^ х (0, оо). При этом мы всегда предполагаем, что для (1.1) выполняются условия: (*(*)*, 0 < или, соответственно для (1.2), условия

1.3)

1.4) где Л0 > 0, Аг > 0, Мх е К* Уt > О, е

Будем рассматривать и недивергентные операторы вида: n

А(х) = £

1,к=1 n д2

А(х, 4) = £ ^ г, к=1

1.5)

1.6) где для матриц а(х) = ац^х), а(х, Ь) — щк(х, ¿) выполнены условия (1.3) (соответственно (1.4)).

В х (0, оо) будут рассмотрены обобщенные решения и(х, £) параболического уравнения с коэффициентами зависящими от х: Ь(х) = (^(я), ., Ь^(х)), с(х), с дивергентным огь-ератором (1.1):

Ь(х)и + (Ь(х), V«) + с(х)и — щ = О,

1.7) удовлетворяющее условию и(х, 0) = uq(x), х е RN, (1.8) где щ(х) — заданная функция. Точные условия на (1.7) и (1.8) даны ниже.

В х (0, оо) будут изучены обобщенные решения и(х, t) параболического уравнения с коэффициентами зависящими от (ж, t): агь{х, t), b(x, t) = (Ъх{х, i), ., t)), c(x, t), с дивергентным оператором (1.2):

L(x, t)u + (b(x, t), Vu) + c(x, t)u - щ = 0, (1.9) удовлетворяющее условию u(x, 0) = u0(x), x e (1.10)

Коэффициенты (1.7) (соответственно (1.9)) являются ограниченными и измеримыми в M.N (в D), функция щ(х) — непрерывна в M.N и удовлетворяет определенному условию роста на бесконечности (например ограничена |и0(ж)| < М или |и0(ж)| < М( 1 + l^l)"1 и т. д.), при этом предполагается, что решения и(х, t) удовлетворяют аналогичному условию роста^ И,

Под обобщенным решением задачи Коши (1.7), (1.8) (или (1.9), (1.10)) в DT = RjV х (0, Т), Т > 0 будем понимать (см. [3], [4]) функцию и(х, t), которая при всех R > 0 принадлежит пространству И^'^Дк х (0, Т)) и удовлетворяет интегральному тождеству

J [(aVii, Vr]) — [т)(Ь, Vu) + curj\ — щи] dxdt =

RjV +1 J ио(х)т)(х, 0)dx, (1-11) для всех функций rj(x. t) из WI'1{Dt) с ограниченным носителем, удовлетворяющих условию г)(х, Т) = 0. Будем говорить, что функция и(х, t) является обобщенным решением задачи Коши (1.7), (1.8), (1.9), (1.10) в области D, если при каждом Т > 0 она является обобщенным решением в области Др. Известно (см., например, [3] — [5]), что если функция щ(х) является ограниченной (точнее, если щ(х) G L°°(mN)) и если ее норму обозначить через ||^o||l=°(mw)! т0 ограниченное решение задачи Коши (1.7), (1.8) ((1.9), (1.10)) существует, единственно, принадлежит классу С(М++1) и где С не зависит от щ.

Случай неограниченных начальных функций рассмотрен, например, в [2], [4], [5]. В области х (0, оо) рассмотрим классические решения параболиче, ского уравнения с недивергентным оператором (1-5):

Lи = А(х)и + (b{x), Vu) + с(х)и — ut = 0, (1-12) удовлетворяющее начальному условию и(х, 0) = гю(а:), х € (1.13) Аналогично рассматривается задача Коши с оператором (1.6)

Lu = А(х, t)u + (b(x, t), V«) + c(x, t)u - ut = 0, (1.14) u{x, 0) = Uq{x), x e RN. (1.15)

Под классическим решением задачи (1.12), (1.13) (или (1.14), (1.15)) мы понимаем (см. [2], [5]) такую функцию и(х, t), которая непрерывна в D, имеет непрерывные производные, входящие в (1.12) (или (1.14)), удовлетворяет в D уравнению (1.12) (или (1.14)) и соответствующему начальному условию при t = 0. Ради краткости рассмотрим случай (1.14), (1.15).

Будем предполагать в дальнейшем, что оператор (1.6) является равномерно параболическим, т.е. выполненяются неравенства (1.4), коэффициенты уравнения (1.14) непрерывны и ограничены в D, и, кроме того, удовлетворяют условиям Гельдера: aik(x, t) - aik(x0, t0)\ < А[\х - х0р + 11- ¿о|7/2], (а)

Ibifo t) - bi{x0, i)| < A\x - хор, (Ь) c(œ, t) - c(xo, £)| < A\x - ar0p, (c) для (x, I) € D, (х'п, ¿o) € -D и некотором 7 : 0 < 7 < 1. Аналогичные условия накладываются и на коэффициенты уравнения (1.12).

Если решение и(х, t) удовлетворяет условию роста и(х, t)I < Сгес*Ы\ (1.16) в слое Я[0>г] для Т > 0, т.е. и{х, t) из тихоновского класса, то задача Коши (1.14), (1.15) имеет единственное решение (см., например [2], [5]). Мы далее будем считать, что начальная функция и0(х) и соответствующее ему решение и(х, t) удовлетворяют условию (1.16), и что коэффициент с(х, t) удовлетворяет неравенству с(х, t) < 0, [с(гг) < 0]. (1.17)

Определение. Пусть и(х, t) — решение задачи Коши (1.7), (1.8) (или (1.9), (1.10), (1.12), (1.13), (1.14), (1.15)). Будем говорить, что решение и(х, t) стабилизируется в точке x Е , если существует конечный предел lim и(х, t) = А(х). (1.18) t—>00

Если предел (1.18) существует равномерно по х на каждом компакте К в Шм (равномерно по х во всем Rw), то будем говорить, что решение стабилизируется равномерно по х на любом компакте К в R-^ (равномерно по х во всем R-^).

В главах 1 и 2 настоящей работы мы будем изучать условия на коэффициенты параболического уравнения (1.14) (или соответственно (1.7), (1.9), (1-12)) при которых решение соответствующей задачи Коши стабилизируется к нулю lim и(х, t) = 0, (1.19) t—уоо равномерно относительно х на любом компакте К в ~RN, при любой начальной функции щ(х) из некоторого класса единственности решения этой задачи Коши.

Отметим, что изучение задачи о стабилизации решения задачи Коши идет в основном по двум линиям: изучение влияния на стабилизацию младших коэффициентов уравнений, при любой начальной функции щ(х) из заданного класса; и строения начальных функций, обеспечивающее стабилизацию решения, когда младшие коэффициенты не оказывают влияния на явление стабилизации.

В ряде работ других авторов (см. обзоры [8], [9], [10]) изучались условия, которые гарантируют существование равномерного во всем M.N предела (1.19). В настоящей работе, в отличие от упомянутых работ, мы отказываемся от равномерности во всем Шм предела (1.19), и это приводит, как будет видно из результатов нашей работы, к расширению классов коэффициентов и начальных функций, для которых существует предел (1.19), равномерно относительно х на каждом компакте К в R^.

В настоящей работе мы приведем обзор некоторых результатов о стабилизации, в которых изучается влияние младших коэффициентов уравнений. Обзоры работ по другим проблемам стабилизации задачи Коши и краевых задач содержится в работах [81, [9], [10].

Первой работой по стабилизации является работа А.Н. Тихонова [7]. В 1938 году А.Н. Тихонов в [7] установил следующие результаты.

Пусть Q — ограниченная область в Шм и пусть D = Q х (0, оо) — прямой цилиндр с основанием Q С RN, и(х, t) — непрерывная в D функция, удовлетворяющая уравнению теплопроводности: г) ff

Au-—- =0 в D, (1.20) ot и условиям и{х, t) = (f(X, l), х е S = dQ x (0, oo), t > 0, (1.21) и(х, 0) = ф{х\ xeQ, (1.22) где ф(х), (ß(x, t) непрерывные функции, удовлетворяющие условию ф(х) = !р(х, 0), х G Q.

I. Если функция и(х, t) непрерывна в D и удовлетворяет в D уравнению (1.20) и условию и(х, t) = 0, х Е S, t > t0 > 0, (1.23)

1.24) то lim и(х, t) = 0 t—Voo равномерно по х € Q, каковы бы ни были значения и(х, t) при t < toll. Если ip(x, t) — ip(x) — т.е. граничная функция не зависит от t, то решение удовлетворяющее (1.20)—(1.22) имеет предел lim и{х, t) = V(x), (1.25) t—Voo равномерно по х G Q, где V(x) — решение задачи

AV = 0, в Q, V\s = v{x). (1.26)

В дальнейшем сформулированные выше результаты А.Н. Тихонова из [7] обобщались во многих работах (см., например, [11]-[14]). А. Фридман доказал в [12], {13] теоремы о равномерном стремлении к нулю при t —> оо решений краевых задач в полуцилиндре и в расширяющейся области, неоднородных параболических уравнений второго порядка вида (1.14) (содержащих "слабые" нелинейности) при условии, что граничные функции стремятся к нулю при t —¥ оо. Там же сформулированы и доказаны теоремы, обобщающие результаты А.Н. Тихонова на общие неоднородные линейные уравнения, заданные в полуцилиндре D = Q х (0, оо).

Результаты работ [12], [13] и ряда других работ систематизировали в главе 6 монографии [5].

Хорошо известно ([14]), что решение задачи Коши для уравнения теплопроводности

А и — щ = 0, в D, u\t=o = и0(х), х € М^ с начальной функцией щ(х), которая стремится к нулю при [х| —> оо, само стремится к нулю при t —> оо.

Тот же результат имеет место и для уравнений с постоянными коэффициентами n n у^ aikuXtXk + ЪгиХ1 +си — щ = 0, г, к—1 г=1 при условии, что с < 0. Это легко следует из явной формулы для решения. Однако, как было установлено в работе A.M. Ильина ]15], подобное утверждение о существовании предела lim и(х, t) = 0 решения задачи Коши уже не имеет места для параt—yoo болического уравнения (1.14) с переменными коэффициентами, зависящими от х и t, даже если выполнено условие с(х, t) < 0.

A.M. Ильину принадлежит следующая теорема (см. [15], с. 117). Если и(х, t) является решением уравнения (1.14), удовлетворяющим условиям

1. и(х, 1) = lio(x) —^ 0 при |ж| —> оо,

2. уравнение (1.14) является равномерно параболическим (т.е. выполнены неравенства (1-4)),

3. коэффициенты bi(x, t) ограничены в полосе H[i,t], VT > 1, \bi(x, i)| < M при М < г0, г0 > 0, n ай(х, t) + Ьг(х, t)xi) > 5 > О i= 1 для любого t > 1 и |а;| > 5q > О,

5. с(ж, t) < 0, (ж, t) е D, то lim и(х, t) = 0 равномерно по i в В [15] на примерах показано, что при невыt—>оо полнении хотя бы одного из условий 1) — 5) теоремы, утверждение может оказаться неверным.

В §12 работы [2] получен ряд результатов о стабилизации решений краевых задач и задачи Коши для параболических уравнений вида (1.14). Так как мы обобщим некоторые результаты из [2], то для удобства читателя приведем обзор ряда результатов из §12 работы [2].

Предположим, если не оговорено противное, что коэффициенты уравнения (1.14) ограничены, а коэффициент с(х, 1.) удовлетворяет неравенству с(х, t) < 0, и что рассматриваемые решения и ио(ж) ограничены |п(ж, ¿)| < М, |uo(x)| < М.

Теорема 1. ([2], §12). Пусть и(х, t) является решением задачи Коши (1.14), (1-15) или решением уравнения (1.14) в цилиндре D = Q х (0, оо), где Q — ограниченная область в M.N, удовлетворяющим начальному условию и(х, 0) = щ(х), х е Q и одному из краевых условий u\s = 0, t > 0 или i{u) = ^ + аи^ =0, t > 0, где S = dQ х (0, оо) — боковая поверхность цилиндра D, а(х, t) < 0, v — направление в МЛ', составляющее острый угол с направлением внутренней нормали к границе области Q. Пусть с(х, t) < -со < 0, (х, t) 6 D, (1.27) где со — постоянная. Тогда lim и(х, t) = 0, (1.28) t—foo равномерно по х Е Q.

В теореме 2 §12 [2] установлено, что условие (1-27) может быть отброшено и заменено на с(х, t) < 0 в случае первой краевой задачи. Тогда существует предел (1.28).

В теореме 4 §12 [2] доказано, что если и(х, t) — решение задачи Коши (1.14), (1-15) с ограниченной начальной функцией щ(х) и если существует такая положительная в M.N функция V(x), что x,t)V + (b(x,l),W) + c(x,t)V-Vt< 0 в D, (1.29) lim V(x) = +oo, (1.30) ъ то lim и(х, t) = 0, (1.31) i->oo ъ n равномерно по х на каждом компакте К в

Теорема 4 носит условный характер, в том смысле, что требуется еще указать условия, гарантирующие существование функции V(x), обладающей свойствами (1.29), (1.30).

В §12 [2] установлена теорема 5, которая утверждает, что если

1. и(х, t) — ограниченное решение задачи Коши (1.14Л (1-15) с ограниченной начальной функцией щ(х)

2. коэффициент с(х, t) удовлетворяет, неравенству (1.27) для х G Q\, где Q\ — ограниченная область в M.N,

3. в M.N существует функция V(x), удовлетворяющая (1.29) при |а;| > R, t > 0, и такая, что выполнено (1.30), то решение задачи (1.14), (1.15) имеет предел (1.31), равномерно по х на каждом компакте К в M.N.

Легко видеть, что достаточным условием существования функции V(x) в теореме 5, обладающей свойствами (1.29), (1.30) является расходимость следующего интеграла оо / г \

J г ехр | - J J dr = +oo, (1-32) r \ r ) где N

J2 ац(х, t) + bi(x, t)xi q{y) = sup -, o,t>o E aik{^ t)Sp i, k=1 при этом в качестве функции V(x) в теореме 5 следует взять функцию

N /г \

V(|®|) = J г ехр I - J ^dy J dr. (1.33)

R \ R )

В работе Р.З. Хасьминского [16] дана классификация дифференциальных операторов с коэффициентами, зависящими только от х, вида

N „

Ai^AOzO + ^b^) —, (1.34)

1 1 относительно принадлежности оператора Ai(a;) одному из классов (Л2), (Лз) определения классов Ait i = 1, ., 3, мы приведем ниже), и устанавлена связь между стабилизацией решения задачи Коши (1.12), (1.13) и принадлежностью оператора Ai(x) одному из классов (^4i), г = 1, 2, 3.

Пусть Q — некоторая ограниченная область в с достаточно гладкой границей QQ.

Определение. Будем говорить, что оператор (1.34) принадлежит классу (Ai), если в области Q существует не менее двух различных ограниченных решений внешней задачи Дирихле для эллиптического уравнения

Ai(a?)u = О, 16»ЛГ\(3.

Определение. Оператор К\{х) принадлежит классу (А2), если Ai(a;) ^ и уравнение

Ai(®)u = -1, xzRN\Q не имеет положительного решения.

Определение. Оператор Ai(a;) принадлежит классу (Л3), если Ai(rr) ^ (А\) и Ai(s) £ (Л2).

Оператор Лапласа в пространстве размерности 2 дает пример оператора класса (yli), оператор Лапласа в R3 дает пример оператора класса (Л2)- Примером оператора из класса (Аз) может служить одномерный оператор

92 , г ^ 9

В работе [16] установлены следующие результаты. Пусть и(х, 0) = и0(х) и функция и0(х) финитна в JRn. Тогда справедливы теоремы: оо

1. Если hi(x) € то lim и(х, t) = 0 и f \и(х, t)\dt < со.

4—>оо q оо

2. Если Ki{x) G (А2), то lim и(х, t) = 0, но при с(х) = 0 и щ(х) > 0, I и(х, t)dt = t—ЮО Q

00.

3. Пусть начальная функция щ(х) ограничена (но может быть не финитна).

Тогда, если Ai(a;) € (Л3) и с(х) = 0, то lim и(х, t) = I u0(x)p(x)dx, t—foo J

RN где р{х) > 0 — единственное решение сопряженного уравнения А\р{х) = 0 такое, что / p(x)dx = 1.

4. Пусть начальная функция щ(х) ограничена (но может быть не финитна). Тогда, если Ai(:r) € (А2) или Ai(x) G (А3) и с{х) < 0, и с(х) О, то lim и(х, t) =

00

О.

Если коэффициенты уравнения (1.14) зависят от ж и от t, то картина зависимости поведения решения задачи Коши (1.14), (1.15) от поведения коэффициентов уравнения (1.14) оказывается более сложной. Это видно из цитируемых ниже результатов работы [17].

Рассмотрим дифференциальный оператор а

Лх(ж, t) = А(х, + Чх, (1.35)

Будем считать, что коэффициенты уравнения (1.14) ограничены в D и выполнено условие (1.4).

В §1 работы [17] доказан аналог теоремы 1 из [16] для случая коэффициентов, зависящих от х и от t. В теореме 1 работы [17] установлено, что если существует функция V = V(|a:|) > 0, такая, что

Аг(х, t)V(N) < 0, при |ж| > R > 0, t > 0 (1.36) lim V(|z|)=0, (1.37) х|—>00 U lim и0(х) = 0, (1.38) х|—ЮО то решение задачи (1.14), (1-15) имеет предел lim и(х, t) = 0 (1.39) t-юо равномерно по х на каждом компакте К в M.N.

Замечание. Достаточным условием существования функции V(x), обладающей свойствами (1.36), (1.37), является сходимость следующего интеграла оо / г \

Jг exp 9i(p)dp I dr < оо, (1-40) го \ го / где n

J2 ац(х, t) + bi(x, t)xi й(г) = Г inf г=1 i, fc=l при этом в качестве функции в теореме 1 из [17] следует взять функцию

9i(fi)dp^ dr.

Предполагая, что для некоторых ограниченных областей Q и Qi в Ж7^, Q С Qi справедливы соотношения с(х, t) < —со < 0, при х е Q, с(ж, t) = 0, при xeRN\Qu авторы работы [17] устанавливают теорему 2, в которой утверждается, что решение задачи (1.14), (1-15) имеет предел lim и(х, t) > О, t—>оо если существует функция У(|а;|), для которой выполнены условия (1.36), (1.37) и, кроме того, inf щ(х) > 0.

Если же и(х, t) — решение задачи Коши (1.12), (1.13), с(х) < 0, и существует предел lim «о(ж) = к, то lim и(х, t) = w(x), где w(x) — единственное решение х|->оо t-юо уравнения

Ki{x)w + c(x)w = 0, для которого существует предел lim w(x) = k. х\—>оо

Отметим интересные результаты работы В.В. Жикова [19], в которой были получены достаточные условия на коэффициенты уравнения (1-14) для любого начального значения щ{х) G Lco(RN), гарантирующие справедливость теоремы о "равностабилизации" , т.е. существование предела lim (и(х, t) - v(x, t)) = 0, (1.41) где v(x, t) — решение задачи с постоянными коэффициентами n n aikvXiXk + ^ \vx. -Vt = 0, (1.42) i,k=1 i= 1 v(x, 0) = p(x)u0(x), (1.43) p(x) — периодическая с периодом 1 функция по каждому аргументу (xi, ., xN).

Предполагая, что коэффициенты параболического уравнения (1.14) являются гладкими и периодическими функциями периода 1 по каждому аргументу (х1}., х^), с(х, t) ~ 0, и что вектор b — (bi, ., bn) мало отличается от постоянного вектора Ь1, оо / г ж|) = J г ехр | - J ы го т.е. имеет вид Ь = Ъ1 + е, где Ъ1 = (Ь\, ., Ь]^) — постоянный вектор. Тогда найдется параболический оператор вида (1.42) с постоянными коэффициентами и гладкая периодическая функция р(х) такая, что если и(х, ¿) — решение задачи Коши а у(х, I) — решение задачи (1.42), (1.43), то для любой функции щ(х) Е существует предел (1.41).

Теорема о равностабилизации позволяет получить критерий стабилизации решения задачи Коши для уравнения с младшими членами, выражающийся в терминах существования соответствующих данному уравнению пределов средних от начальной функции. В самом общем случае критерий поточечной (равномерной) стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения второго порядка без младших коэффициентов в классе ограниченных начальных функций был получен в работе В.В. Жикова [18].

В работе [20] был впервые получен критерий стабилизации рашения задачи Коши для уравнения теплопроводности с ограниченной начальной функцией. В [21] результаты [20] перенесены на некоторые параболические уравнения с постоянными и переменными младшими коэффициентами.

Более подробный обзор работ, когда изучается строение начальных функций, обеспечивающее стабилизацию решения задачи Коши, когда младшие члены не оказывают влияния на явление стабилизации см. в [9].

Замечание. Согласно терминологии, введеной Н. Мейерсом и Дж. Серринном [22] функцию у(х) > 0, удовлетворяющую условиям (1.36), (1-37) называют барьером, отвечающим оператору Ах (ж, 1,).

Если функция ь(х) > 0 удовлетворяет условиям то функция у(х) называют антибарьером, отвечающим оператору А^ж, ¿) на бесконечности [22].

Хорошо известно ([22]), что если оператор Лх имеет барьер, то он не может иметь антибарьер. Явные условия на коэффициенты, гарантирующие существования барьера или антибарьера даны в работе [22]. В случае оператора Лапласа барьер существует при N > 3, а антибарьер при N <2.

Используя концепцию барьера (антибарьера) для уравнения (1.14), мы можем дать другую, эквивалентную, формулировку результатов, цитированных выше работ [2], [16], [17] в терминах существования антибарьера (барьера) для уравнения (1.14).

В главе 1 настоящей работы мы перенесем концепцию антибарьера с классических решений суперпараболических неравенств на случай обобщенных решений соответствующих суперпараболических неравенств с дивергентным эллиптическим оператором (1.1), имеющим независящие от £ коэффициенты. На этом пути мы получим ос

А^ж, £)и — щ = 0, = щ(х),

Аг{х, £)^<0, |а;|>Д, £>0, Нт у(х) — +сю,

1.44)

1.45) новные результаты главы 1 в классах ограниченных или степенным образом растущих на бесконечности начальных функций.

В главе 2 построим классические антибарьеры для уравнения (1.14) с точным порядком роста на бесконечности, обусловленным соответствующим поведением на бесконечности младших коэффициентов этого уравнения (1.14). Начальные функции при этом будем брать из классов функций, порядок роста которых согласован с порядком роста соответствующих антибарьеров. На этом пути будут получены основные результаты о стабилизации решения задачи Коши (1.14), (1.15) в классах экспоненциально растущих начальных функций.

Глава 3 посвящена вопросу о влиянии неограниченной области <2 на свойство стабилизации к нулю решения первой краевой задачи для параболического уравнения где оператор Ь(х) определен в (1-1), и0(х) — непрерывная и ограниченная в ф функция, Б = 9(3 х (0, оо) — боковая поверхность цилиндра П.

В работе [23] доказано, что если решение и(х, £) уравнения (1.14) в нециллиндри-ческой области

Отметим, что область Zt в каждом сечении t = t0 является ограниченной. Из условия ip(t)\"ip'(t)\ < /3 следует, что возможно логарифмическое расширение области Zt при i —У оо. Окончательный результат получен A.M. Ильиным в [24], который доказал, что ф(Ь) должно расти не быстрее, чем логарифм. Точным классам единственности для параболических уравнений и систем посвящена работа [25]. Достаточные условия на область Q, при которых решение первой краевой задачи стабилизируется к нулю, посвящена работа Ф.Х. Мукминова [26]. Эта тематика получила значительное развитие в работах JI.M. Кожевниковой (см. [27] и имеющиеся там ссылки).

В главе 3 мы установим, что если область M.N\Q имеет бесконечную емкость, [28], то решение смешанной задачи (1.46) стабилизируется к нулю при t —> оо. Установлена также необходимость этого условия на емкость M.N \ Q.

L(x)u — ut = 0, в D = Q х (0, оо), < «|s = 0, jAt=o = Ио(х), х G Q,

1.46)

Zt = {х, t : t > 0, |z| < ф(1)}, ФШ'(г)\ < Р, ф{£) е СЧО, оо], удовлетворяющее условиям и\агг = 0, и|4=0 = и0(х), где ь.о(х) — непрерывная и ограниченная в Zo функция. Тогда

1. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений. // УМЫ, 1960, т. 15, вып. 2, с. 97-154

2. Ильин A.M., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа. // УМН, 1962, т.17, вып. 3, с. 3-146.

3. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. // Москва, Наука, 1967.

4. Aronson D.G. Non-negative solutions of linear parabolic equations. // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3). 1968, v. 22, N 4, p. 607-694

5. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. // Москва, Мир, 1968

6. Lieberman G.M. Second order parabolic differential equations. // World science, 2005

7. Тихонов A.H. Об уравнении теплопроводности для нескольких переменных. // Бюллютень МГУ, математика и механика, 1938, т.1, N 9, с. 1 49

8. Гущин А.К., Михайлов В.П., Муравей A.JI. О стабилизации решений нестационарных граничных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных. // Динамика сплошной среды. 1975, N 23, с. 57-90

9. Денисов В.Н. О поведении решений параболических уравнений при больших значениях времени. // УМН, 2005, т. 60, N 4, с. 145-212

10. Денисов В.Н., Репников В.Д. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений. // Дифференциальные уравнения, 1984, т. 20, N 1, с. 20-41

11. Fulks W. A note on the steady state solutions of the heat equations. // Proc. Amer. Math. Soc., 1956, v. 7, N 5, p. 766-771

12. Friedman A. Convergence of solutions of parabolic equations to a steady state. // J. Math and Mech, 1956, v. 8, N 1, p. 57-76

13. Friedman A. Asymptotic behaviour of solutions of parabolic equations of any order. // Acta Mathem, 1961, v 106, N 1-2, p. 1-43

14. Krzyzanski M. Scer l'allure asymptotique des solutions d'équation de type parabolique. // Bull Acad. Polon. Sei., 1956, Sei cl III, N 4, p. 247-251

15. Ильин A.M. О поведении решения задачи Коши для параболического уравнения при неограниченном возрастании времени. // УМН, 1961, т. 16, N 2, с. 115-121

16. Хасьминский Р.З. Эргодические свойства возвратных дифузионных процессов и стабилизация решений задачи Коши для параболических уравнений. // Теория вероятностей и ее прилож. 1960, т. 5, N 2, с. 196-214

17. Ильин A.M., Хасьминский Р.З. Асимптотическое поведение решений параболических уравнений и эргодическое свойство неоднородных дифузионных процессов. // Матем. сборник, 1963, т. 60, N 3, с. 368-392

18. Жиков В.В. О стабилизации решений параболических уравнений. // Матем. сборник, 1977, т. 104, N 4, с. 597-616

19. Жиков В.В. Асимптотическое поведение и стабилизация решений параболических уравнений второго порядка с младшими членами. // Труды ММО, 1983, т. 46, с. 69-98

20. Решшков В.Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений. // ДАН СССР, 1964, т. 157, N 3, с. 532-535

21. Репииков В .Д., Эйдельман С.Д. Необходимые и достаточные условия установления решения задачи Коши. // ДАН СССР, 1966, т. 167, N 2, с. 298-301

22. Meyers N., Serrin J., The exterior Dirichlet problem for second order elliptic partial differential equations. // J. Math and Mech, 1960, v. 9, N 4, p. 513-538

23. Черемных Ю.Н. Об асимптотике решений параболических уравнений. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1959, т. 23, N 6, с. 913-924

24. Ильин A.M. Об одном достаточном условии стабилизации решения параболического уравнения. // Мат. заметки, 1985, т. 37, с. 851-856

25. Житомирский Я.И. Задача Коши для параболических систем линейных уравнений в частных производных с растущими коэффициентами. // Изв. вузов, матем., 1959, N 1, с. 55-74

26. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решения первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка. // Матем. сборник, 1980, т. Ill, N 4, с. 503-521

27. Кожевникова JI.M. Классы единственности решений первой смешанной задачи для параболического уравнения щ = Au с квазиэллиптическим оператором А в неограниченных областях. // Матем. сборник, 2007, т. 198, N 1, с. 59-101

28. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. // Москва, Наука, 1966

29. Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations. // Amer. J. Math., 1958, v. 80, N 4, p. 531-954

30. Aronson D.G. Bounds for the fundamental solution of a parabolic equations. // Bull. Amer. Math. Soc., 1967, v. 73, N. 6, p. 890-896

31. Osada H. Diffusion processes with generator of generalized divirgence forms. // J. Math. Kyoto Univ., 1987, v. 72, p. 597-619

32. Zang Qi. S. Gaussian bounds for the fundamental solutions of V(AVu) + BVu — щ = 0.// Manuscripta Math., 1997, v. 93, p. 381-390

33. Смирнова Г.Н. Задача Коши для параболических уравнений, вырождающихся на бесконечности. // Матем. сборник, 1966, т. 70, N 4, с. 591-604

34. Эйдельман С.Д., Порпер Ф.О. О поведении решений параболических уравнений второго порядка с диссипацией. // Дифференциальные уравнения, 1971, т. 7, N 9, с. 1684-1695

35. Pinchover Y. On uniqueness and nonuniqueness of the positive Cauchy problem for parabolic equations with unbounded coefficients. // Math. Zeitsh., 1996, bd. 223, p. 566-586 •

36. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. // Москва, Наука, 1973

37. Мукминов Ф.Х. О равномерной стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения. // Матем. сборник, 1990, т. 131, N 11, с. 1486-1509

38. Гущин А.К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения. // Матем. сборник, 1982, т. 119, N 4, с. 451-507

39. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. // Москва, Наука, 1989

40. Гарнетт Б. Ограниченные аналитические функции. // Москва, Мир, 1987

41. Gilbarg D., Serrin J. On isolated singularities of solutions of second order elliptic differential equations // J. Anal. Math. 1954/56, v. 4, p. 309-340

42. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ ч. 1, 2. // Изд. МГУ, 2005

43. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. // Москва, Наука, 1973

44. Stampacchia G. Le problème de Dirichlet pour les equations elliptiques du second ordre a coefficients discontinuous. // Ann. Inst. Fourier, 1965, v. 15, N 1, p. 189-258

45. Крейн М.Г., Рутман M.A. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха. // УМН, 1948, т. 3, N 1, с. 3-95

46. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. // Москва, Наука, 1971

47. Красносельский М.А., Соболевский П.Е. О неотрицательной собственной функции первой краевой задачи для эллиптического уравнения. // УМН, 1961, т. 16, N 1, с. 197-199

48. Эванс Л.К. Уравнения с частными производными. // Новосибирск, 2003

49. Кондратьев В.А. Об асимптотических свойствах решений нелинейного уравнения теплопроводности. // Дифференциальные уравнения, 1988, т.34, N 2, с. 246-255

50. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. // Москва, ИЛ. 1949

51. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. // Москва, Наука, 1983

52. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. // Москва, ИЛ. 1954

53. Харди Г.Г., Литтлвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. // Москва, ИЛ. 1948

54. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. // Москва, Факториал Пресс, 2005

55. Харди Г. Расходящиеся ряды. // Москва, Факториал Пресс, 2006

56. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ в евклидовых пространствах. // Москва, Мир, 1974

57. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. // Москва, Наука, 1971

58. Watson N.A. Thermal capacity. // Proc. London Math. Soc., 1978, v.37, p. 372-662

59. Ландис Е.М. Необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки для задачи Дирихле для уравнения теплопроводности. // ДАН СССР, 1969, т. 185, N 3, с. 517-520

60. Кайзер В., Мюллер Б. Устранимые множества для уравнения теплопроводности. // Вестник МГУ, сер. мат. мех., 1973, N 5, с. 26-32

61. Lanconelli Е. Sur problema di Dirichlet per l'equasione del calore. // Ann. Mat. Pura ed Amol, 1973, v. 77, p.83-114

62. Алхутов Ю.А. Устранимые особенности решений параболических уравнений второго порядка. // Математические заметки, 1991, т. 50, N. 5, с. 9-17

63. Gariepy R., Ziemer W.P. Thermal capacity and boundary regularity. // J. Diff. Equations, 1982, v. 45, p. 374-388

64. Ziemer W.P. Behavior at the boundary of solutions of quazilinear parabolic equations. // J. Diff. Equations, 1980, v. 35, p. 291-305

65. Evans L.C., Gariepy R.F., Wiener criterion for the heat equation. // Arch. Ration. Mech and Anal., 1982, v. 78, N 4, p.193-194

66. Littman W., Stampacchia G., Wainberger N.F. Regular points for elliptic equations with discontinious coefficients. // Ann. Scoula Norm. Sup. Piza, 1963, v. 17, p.43-77

67. Денисов B.H. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшим коэффициентом. // Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, N 4, с. 506-515

68. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшими коэффициентом и растущей начальной функцией. // ДАН РАН, 2004, т. 397, N 4, с. 439-441

69. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с коэффициентом младшего порядка и растущей начальной функцией. // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 2003, т. 23, с. 125-148

70. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшим коэффициентом. // Фундаментальная и прикладная математика, 2006, т. 12, N 4, с. 79-97

71. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшим коэффициентом и с экспоненциально растущей начальной функцией. // Труды МИАН им. В.А. Стеклова, 2008, т. 261, с. 97-106

72. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для недивергентного параболического уравнения с младшим коэффициентом в классах растущих начальных функций. // ДАН РАН, 2010, т. 430, N 5, с. 586-588

73. Денисов В.Н. Стабилизация решения задачи Коши для недивергентного параболического уравнения с растущими младшими коэффициентами. // Труды МИАН им. В.А. Стеклова, 2010, т. 270, с. 97-109

74. Денисов В.Н. Условия стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения в классах растущих начальных функций. // Труды конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология Москва, 2008, с. 118-32

75. Денисов В.Н. Достаточные условия стабилизации решения задачи Коши для недивергентного параболического уравнения с младшими коэффициентами. // Современнная математика. Фундаментальные направления, 2010, т. 36, с. 61-71

76. Денисов В.Н. О необходимых и достаточных условиях стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с младшими коэффициентами. // ДАН РАН, 2010, т. 433, N 4, с. 452-454

77. Денисов В.Н. Необходимые и достаточные условия стабилизации решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности. // ДАН РАН, 2006, т. 407, N 2, с. 163166