Применение сплайнов в методе Адамса решения дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ
|
Хассан Инаам Р.
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Санкт-Петербург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2008
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.07
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
ХАССАН ИНААМ Р
ПРИМЕНЕНИЕ СПЛАЙНОВ В МЕТОДЕ АДАМСА РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
01 01 07 — Вычислительная математика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
1 8 СЕН 20СЗ
Санкт-Петербург 2008
003446151
Работа выполнена на кафедре вычислительной математики математике-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета
Научный руководитель доктор физико-математических наук,
профессор БУРОВА Ирина Герасимовна
Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,
профессор ЖУК Владимир Васильевич
Защита состоится 2 октября 2008 г в 14 часов на заседании совета Д 212 232 49 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр 28, математико-механический факультет, ауд 405
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им М Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб, 7/9
доктор физико-математических наук, профессор ВАГЕР Борис Георгиевич
Ведущая организация Научно- исследовательский
Вычислительный центр Московского государственного университета им М В Ломоносова (НИВЦ МГУ)
Автореферат разослан
2008 г
диссертационного совета, профессорА А Архипова
Ученый секретарь
/
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы При численном решении задачи Кошп обычно предпочтение отдают одногаа-говым методам ввиду устойчивости вычислений, возможностью легко менять шаг ceTMi и отсутствием предваритетьного построения начала таблицы
Методы Адамса сейчас употребляются реже методов Р>нге-К\тта в связи с необходимостью вычисления начала таблицы и выбора более крупного шага интегрирования из-за меньшей точности при одинаковом порядке приближения Ингерпо 1яционные методы Адамса точнее зкетрапо 1яциошп,1х, обладают >сюичивос1ью, по хреиуюх решения одного уравнения или сислемы п зависимости от решаемой задачи
Полиномиальные интерполяционные сплайны, позволяющие решать интерполяционную задачу Эрмита с помощью линейной комбинации базисных сплайнов и значения ирибтжаемой функции и ее производных в ■узлах сетки рассматривались в работах Ю К Демьяновича и И Г Буровой Оценки погрешности решения задачи Коши численными методами с привтечением производных функции пол>ч(ны в работах С М Лозинского
Предс1авляехся ак1уа1ытым посфошъ неявные одпотаговые mliоды по свойствам аналогичные интерполяционным методам Адам<а, по облагающие свойством точности на некотором заданном множестве функций что позволит в ряде случаев существенно уменьшить погрешность решения задачи Коши
Цель диссертационной работы
Це 1ью диссертации является построение одношаговых методов четвертого шестого и восьмого порядков для численного решения задачи Коши получение оценок погрптгасхи решения на таге ceiKH cot хавление алгоришов и охладка (оответствующих программ, построение новых семейств неполиномиальных эрмитовых сплайнов первой, второй и третьей высоты и определение погрешности приближения этими сплайнами
Методы исследования
В диссертации используются методы теории функций вещественного переменного, методы линейной алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений Для посхроепня базисов минимальных сплайнов применен мех од аппрокеимационных соотношений
Достоверность и обоснованность
Достоверность результатов подтверждена доказанными теоремами и проведенными многочисленными тестами Результаты численных экспериментов приведены в диссертации
Результаты, выносимые на защиту
1 Построены семейства неполиномнальных сплайнов первой, второй и третьей высоты четвертого, шестого и восьмого порядков аппроксимации соответственно, приближения этими сплайнами обладают свойством точности на заданном множестве экспоненциальных и полиномиальных функций, носители базис-
пых сплайнов занимают два соседних сеточных промежутка, получены выражения для погрешности приближения
2 ПоС1роены следующие неявные одноптаговые меюды численного решения задачи Коти для дифференциального уравнения первого порядка (а также систем дифференциальных уравнений первого порядка)
2 1) с погрешностью пятого порядка на каждом сеточном промежутке,
2 2) с погрешностью седьмого порядка на каждом сеточном промежутке,
2 3) с погрешностью девятого порядка на каждом сеточном промежутке
В каждом из перечисленных случаев получены представления и оценки погрешности для нескольких разновидностей предлагаемых методов
Научная новизна
Все результаты диссертации являются новыми Выделим основные
1 Построены минимальные неполиномиальные интерполяционные сплайны первой, второй и третьей высоты четвертого, шестого и восьмого порядков аппроксимации со свойс1вом ЮЧНОС1 и на iu.ro юром заданном мпожес1ве экспоненциальных и полиномиальных функций Приближения этими сплайнами обладают локальным интерполяционным базисом и удобны для решения интерполяционной задачи Эрмита Получены выражения для погрешности приближения минимальными иеполиномиальными сплайнами
2 Построены неявные однопны овые методы численного решения задачи Ко-ши для дифференциального уравнения первого порядка (а также систем дифференциальных уравнений первого порядка) дающие погрешность пятого, седьмого и девяюго порядков на каждом си 1 очном промежу!ке Получено предс1авле-ние и оценки погрешности для ряда разновидностей этих методов на сеточном промежутке
Теоретическая и практическая значимость
Работа носит теоретический характер и представляет теоретический и практический интерес, может быть использована как в исследовательских, так и в обучающих целях Полученные результаты могут быть применены для создания высокоэффекшвттых алгоршмов решения различных прикладных задач Результаты могут быть использованы при решении задач интерполяции п аппроксимации вещественных функций одной и многих переменных при сжатии и последующем восстановлении с заданной погрешностью больших объемов графической информации, при численном решении задачи Коши а также при построении параллельных форм алгоритмов перечисленных здесь задач
Апробация работы
Основные резулыахьт были доложены на следующих конференциях
1 Процессы управления и устойчивость XXXVIII международная научная конференция аспирантов и студентов С -Петербург Россия, 9-12 апреля 2007 г
2 Нелинейный динамический анализ - 2007 Международный конгресс С-Пе1ербург Россия 4-8 июня 2007 г
3 Процессы управления и устойчивость XXXIX международная научная конференция аспирантов и студентов С -Петербург Россия, 7-10 апреля 2008 г
4 Космос, астрономия и программирование (Лавровские чтения) международная научная конференция С-Петербург Россия, 20-22 мая 2008 г
Публикация результатов
Основные результаты опубликованы (см раздел "Список опубликованных работ по теме диссертации" в конце автореферата) в работах (1-8]
В работе [1] научному руководителю принадлежат идея построения неявного одношагового метода решения задачи Коши для одного уравнения первого порядка с помощыо неполниомиальпых сплайнов первой высоты, формулировка леммы и идея ее доказательства Диссертанту принадлежат проверка справедливости усверждетгия леммы, вывод расчешых формул и сосывлеиие алгорис-мов, проведение численных экспериментов, в том числе составление и отладка программы и получение численных результатов
В работе |2] научному руководителю принадлежит методика построения неявного метода решения задачи Коши для одного уравнения первого порядка с помощью неполиномиальных сплайнов нулевой высоты Диссертанту принадлежат вывод расчетных формул и составление алгоритмов, проведение численных экспериментов, в том числе составление и отладка программ и получение численных резулыашв
В работе |3| научному руководителю принадлежат методика построения неполиномиальных сплайнов ненулевой высоты, обладающих свойством точности приближения на достаточно широком множестве функций методика построения неявных одношаговых методов решения задачи Коши для системы дифференциальных -уравнений первого порядка с помощью неполипомиальных сплайнов первой и второй высоты Диссертанту принадлежат вывод формул базисных неполипомиальных сплайнов первой высоты двух видов обладающих свойством точности приближения на функциях 9,(х) = е~'х, г = 0, 1, 2, 3 а сакже на функциях <р{х) = 1, х, ех, е~х, пытюд формул базисных неполиномиальных сплайнов второй высоты обладающих свойством точности приближения на ц>г(х) = е~'х, г = 0, 1, , 5, а также обладающих свойством точности на функциях ¡р(х) = 1, х, ех, е~х, е2х, е~2х, получение расчетных формул для методов пятого и седьмого порядков приближения на шаге сетки а также составление алгоритмов, проведение численных экспериментов, в том числе составление и отладка программ и полу чение численных результатов
В работе [4] научному руководите но принадлежат методика построения неполипомиальных сплайнов ненулевой высосьг (в юн числе первой, вшрой и третьей), приближение с помощью которых обладает свойством точности на некотором множестве достаточно гладких функций, идея и методика построения неявных одношаговых методов решения задачи Кошп для системы уравнений первого порядка с помощью неполипомиальных сплайнов ненулевой высоты, методика построения оценки погрешности приближения функции неполппомиальными сплайнами ненулевой высоты и методика нахождения оценки погрешности построенных неявных одиошаювых методов решения задачи Копти «л таге се1ки Диссер1атпу принадлежа! получение неполиномиальных базисных сплайнов восьмого порядка аппроксимации третьей высоты двух видов приближение с помощью которых обладает свойством точности на функциях <р}(х) = е~зх, ] = 0, 1, , 7, а также на функциях
(р(х) = 1, х, ех, е~х, е2х, е~2х, е3х, е~3х получение оценок погрешностей неявных одношаговых методов седьмого и девятого порядков на шаге сетки для решения задачи Коттги в случае одного уравнения первого порядка, вывод расчетных формул II составление алгоритмов
В работе [5] руководителю принадлежат методика построения неполиномиальных сплайнов первой высоты, приближение с помощью которых обладает свойством точности па достаточно широком множестве функций методика получения погрешностей неполиномиальными сплайнами, методика получения расчетных схем неявных одношаговых методов решения задачи Кошн для системы уравнений Диссертанту принадлежат получение формул аппроксимации неполиномиальиыми сплайнами чехверюго порядка первой высохы, приближение с помощью которых обладает свойством точности на функциях 1р,{х) = е-11, г = 0, 1, 2, 3, <р,(х) = егх, г = 0, 1, 2, 3 а также на функциях Iр(х) = 1, х, ех, е~х, получение оценок погрешностей методов решения задачи Коши полученных с помощью этих сплайнов, составление и отладка программ решения дифференциальных уравнений как с помощью построенных методов так и с помощью метода Рунге-Кутты четвертого порядка, проведение численных экспериментов, сравнение рез>льтатов теоретической и численной погрешности
С1а1ья 3 опубликована в журнале, входящем в перечень ВАК на момент публикации
Диссертация объемом 162 страницы состоит из введения четырех глав, разбитых на разделы и параграфы и списка литературы, содержит 22 таблицы, 19 рисунков
1 Первая глава носит вспомогательный характер В ней рассматриваются основные сведения об интерполяционных минимальных неполиномиальных сплайнах, об интерпотяционном методе Адамса решения задачи Коши и методах Рунге-Кутты
Во второй, третьей и четвертой главах предлагаются методы численные решения задачи Коши с помощью мшшмальпых неполиномиальных сплайнов первой высоты
Пусть N,71,171 — целые числа, N >2, а < Хо < х1 < <хх = X <Ь
Будем решать задачу Копти
Предположим, что /,(х, У\,Уг, , Уп) ~ достаточно гладкие функции своих аргументов, а решение этой задачи (у1(х),у2(х), ,уп(х)) сутцес1вуе1, единственно и у, е С'т+1)[а,Ь] Рассмотрим интегральное тождество
Структура и объем работы
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
у',=Мх,У1(х),у2(х), ,Уп{х)), хе[х0, X], Уг{х0)=У°, 4 = 1,2, ,п
п
г = 1,2, ,п
(1)
х■
Обозначим иг{х) = у[(х)
б
2 Во второй главе рассматривается нримепешге сплайнов четвертого порядка аппроксимации
Подышегральпое выражение иг (х) именим на сооиюптепие
йк(х) = ик(х,)л3 0(х) + ик(х]+1)ы3+1 о(я)+
+и'к(х])ш]Л(х) + и'к(х3+1)ш]+1Л(х), где базисные функции и>3,(х) находим из условий
щ(х) = ик(х), ик(х) = ¡р,(х), г = 0,1,2,3
Имеем
Уг{х] + \) = у1{х]) + 1й,[х)(1х+ I Г,(х)4х,
где г,(х) = и,(х) — й,(х) Теперь
Уг(Х] + 0 =У,{х3) + },{х„У1{х]), , Уп(х3))ь3А + +Мх]+1,У1(х]+1), ,уп(х3+1))у3+1,0+
+Р,{х3)у]Л + #,(^+1)^+1,1 + У Г,{х)(1 X,
где
ч 9Мх,У1{х), ,у„(х))
Рг(х) =-ш-+
А д/,(х,%(х), ,Уп(х)) , , , . , ..
г = 1, ,п, и*,, = 1и>к,,,(х)с1х, + 1, в = 0,1
X,
Следовательно неявный метод решения рассматриваемой задачи Коши можно 1аписа 1Ь в виде
т/г+1 = у1 + Мх3,у1, ,у>п)у, 0 +Мх3+иу{+\ ,у>п+1 К+10+
+ 1,1, г = 1,2, ,п, (2)
где искомыми являются числа у^, в работе показано, что ^ можно рассматривать как нриб гаженное значение уг{х3)
2 1 Оценка погрешности при п = 1, <*з,(:г) = х1-1
В этом случае обозначим д{х,у) = ¡\{х,у) Решаем задачу у' = д{х,у), у(хо) = Уо Вычисляя интегралы от базисных функций ал,,,(г), получаем =
^+1,0 = 'г/2, = -ил-1,1 = Л2/12
Погрешность г(х) принимает вид
х,
г(х) = й{х) - и{х) = У и™(1){х3-Ь)ъ<ИизЯ{х)+
+3 I и™(Ь)(х3-^2<ИизЛ(х)- ! ulv{t){x]-t)3dt
Применяя теорему о среднем к полученному выражению, далее интегрируя г(х) по промежутку [х3,2^+1], снова применяя теорему о среднем к полученному выражению, интегрируя и возвращаясь к переменной у, получаем
Я = / г{х)йх = Лв + ~ " ¡УУ(Ь)) ,
Х1
где £з находятся между х3 н х3+1
Поэтому
40
где
Иг/У||[^,х,+1] = тах |2/У(г)| Заметим, что — у(х3+1)| = 0, если у(х) = 1, х, х2, х3, х4
2 2 Оценка погрешности при п = 1, ¡рг(х) = е 1Х, г = 0,1, 2,3 В этом случае получаем
—27ек + 6/г + 5 - 18еЛ/г 4- 27е2'* - 5еЗЛ " 6(-1 + е")3 '
_ (2 + ЗеА + 6екИ - бе2'1 + е^е''' У]1~ 6(—1 + е*1)2
_ 27еЛ — 5 + 18е2Л/г - 6е3/,Л - 27е2;1 + 5е3'1
--—6(—1 + еЛ)3 '
-Зе2'1 + 6еЛ - 1 + 6е2Л/г - 2е3'1 1"-6(—1 + еЛ)2-
Обозначим р(х) = и1У(ж) + Ъи"'(х) + 11и"(ж) + &и'(х)
Очевидно, что однородное дифференциальное уравнение р(х) = 0 имеет фупдаменыльную сисхему решений <рг(х) = е~'х, г = 0,1,2,3 В диссертации получена оценка
х]
г{х) = й(х) - и(х) = I ^-(1 - е1~х>)3<и и>3д{х)+
Х3 + \
■dt
Применяя теорему о среднем к потученному выражению, далее интегрируя г(х) по промежутку [xj,xj+i], снова применяя теорему о среднем к полученному выражению, интегрируя и возвращаясь к переменной у, получаем
R =
J r(x)d.
x =-q-vj.o +-2- зЛ ~ ~6~ 3'
где f,, г = 1,2,3 находятся между x3 и
д(х) = yv(x) + 6ylv(x) + 11 у"'(х) + 6у"(х),
Fl = " Г'" + Зе" " Л " у • Ъ = 4(е" -1)3'
Г _ ^ЗЬ 32 П. 85
Рз__е __е + Зе --Л
При равномерной сетке на промежутке [а,£>] при О < Л < 1 получаем
- у{х3+1)\ < ^Щу1 + 6у™ + 11у"' + 6г/'||[х^+1], * « 2 68
Заметим что — у{х]+1)\ = 0, если у(х) = 1, е-1, е~2х, е-31
2 3 Оценка погрешности при у^х) = 1, </>2(2) = х, 1Рз{х) = ех, ф^х) = е~ и п = 1
В этом случае имеем = ^+1,0 = Л/2,
йе*1 - 2е'1 + 2 + /г кек-2ек + 2 + к
уз1 =-^—Г>-' ^+1.1 =
2{eh - 1)
2(eh - 1)
Обозначимр(х) = и1У(х)—и"(х) Нетрудно видеть что однородное дифференциальное у равнение р(х) = 0 имеет фундаментальную систему решений ^¡(х) = 1, <рг(х) = т> <Рз(х) = ех, 1р4(х) = е~х По гучаем
г(х) = й(х) — и(х) = J p(t) jm
xj+i
-1+
xj+I
e^j-') - et4-1!)'
dt U!jfl(x) +
dt и
'nW- / p(t)
t-x + -
dt
Применяя теорему о среднем к полученному выражению, интегрируя г(х) по промежутку [х3,х]+1] п снова применяя теорему о среднем к полученному выражению, интегрируя п возвращаясь к переменной у, получаем
1
R = У r{x)dx =
-h2 + e~h + eh -2\ .-.h -2-j 2^
где q(x) = yv{x) — у"'(х), а Сь Сз находятся между х3 и xJ+l
Отсюда при 0 < h < 1 справедчива оценка
w+1 - y(xJ+1)| < h5 К || 2/v - y"' ||[ljlIj+ll, К « ^(e-1 + e) « 0 066
Заметим, что \yJ+1 — y(2-J+i)| = 0, если y{x) = 1, x, ex, e~x
2 4 ГТусть JV — цетое число N > 2, x0 < xi < < xp¡ = X Предполагаем, что существует решение задачи Коши
у' = д{х, у{х)), у(хо) = 2/о. хв [х0, X], (3)
где д{х,у) — "етырежды непрерывно дифференцируемая функция по своим api умептам
Приближение у3 к решению задачи (3) будем определять с помощью метода Vj+i =У] +
+ (з'Лх3, У,) + g'y{Xj, Vj)g(x}, у,)) v}í +
+ (tfifo+i. 2/j+i) + 9y(xJ+u V]+iMx]+i, y3+i)) Uj+1,1 (4)
Пусть h = xJ+1 — Xj
Теорема 1 При сформулированных выше предположениях для погрешности решения задачи Коши (3) на промежутке с помощью метода (4) справедливо неравенство
1) \Уз+1 - У&3+i)l < li/l5llyV||fe,xJ+1], если Vj,0 = vJ+lfl = h/2, vj,i = i = л2/12
2) |y,+1 - y{x,+1)| < h5K\\yv + 6yIV + IV + 6y"||tlj,Ij+l]l К « 2 68, при
-27eh + 6h + 5 - 18ehh + 27e2h - bezh
Vl'° 6(e" - 1)3
_ (2 + 3eh + 6ehh - 6e2A + e3h)e-h Vhl ~ 6(ел - 1)2 '
_ 27 eh - 5 4- 18e2hh - 6e3hh - 27e2h + 5езл V>+lfi -6(e" -1)3 '
—Зе2Л + 6ел - 1 + 6e2hh - 2e3k
vj+i,i =
6(e" - l)2
3) Iу3+1 - у(х3+1)I < Н*К\\у* - 6у™ + 11 у"1 - б2/"||[*^+1], при -5 + 27ел + 18е2Н11 - 6е3,1/1 - 27е2Л + 5езл
«}0 = —
6(ел- I)3 —Зе2Л + бе'1 - 1 + 6е2Л/г - 2езл
-6(ел - I)2 +27ек - 6/г - 5 + 18елЛ - 27е2к + 5е№
_ (2 + Зе'1 + бе11 к - 6е2к + езк)е-к
6(ел _ 1)2 >
причем ЛГ та 0 16, если О < /г < О 3, Л" та О 03, если 0 3 < /г < 1
4) \у]+1-у(х3+1)\<11Ч< №-у"'\\1Х],Х]+1], К та 0 066, при
кек - 2ек + 1г + 2 кек - 2ек + к + 2 у3,о = = /г/2, , ^ 1 =-~1)-' Ч'+м =--2(еЛ - 1)-
3 В третьей главе рассмотрено применение сплайнов шестого порядка аппроксимации
Подынтегральное выражение иг(х), х Е [2^,2^+1] в (1) заменим на соотношение
йг(х) = и,(х3)ш3А{х) + и,(х3+1)и}3+10(х) + и'г{х3)ш]Л(х)+ +и',(х3+1)ш]+1Л(х) + и"(х3)и3,2(х) + и" (х3+1)л3+12(х), где функции и>]к(х), к = 0,1,2, находим из условий
й,(х) = г/,(г), и,(х) = ц>,(х), в = 0, 1, 2, 3, 4, 5
При этом предполагаем, что определитель системы уравнений, возникающий при таком подходе, отличен от нуля Имеем
2.7 + 1
' 'х.
где г,{х) = и,(х) — йг(х) Положим у{ та уг(х3) После интегрирования и отбрасывания погрешности получаем неявный метод нахождения у{+1
В случае одного уравнения решаем задачу у' = д{х,у), у(хд) = Уо Будем находшь у3+1 та у{х3+{) Неявный меюд нахождения у3+1 принимае1 вид
Уз+1 = У}+9{Хз,у,)у1,о+д(х]+иу]+1)у]+1А+С]У3г1 + 0]+1У3+1Л+д]у]2 + 0]+^}+1а,
(5)
где
Як = д'Цхк, Ук) + д'ууЫ, Ук)д2(хк, Ук) + 2д"у{хк,Ук)д{хк, ук) + д'у{хк, ук)вк, Ск = д'х{хк,Ук) + д'у{хк,Ук)д{хк,Ук), У шк^(х)йх, к = 3,3 + 1, 8 = 0,1,2
3 1 Приведем значения узл при некоторых (р,(ж), г — 1,2, ,6 3 11 Наиболее простые выражения получаются при <р,(х) = хг~1, г = 1,2, ,6
В этом случае вычисляя интегралы от базисных функций шзл{х), имеем при Л = х3+1 — х3
Чо = и,+1,о = узЛ = ^Л2, = -^Л2, = = ^/г3
312 При <р, = г = 1,2, ,6, получаем
—325ек + П00е2к + 47 - 300еЛ/г + 600е2/,/г + 60/г - 47е5Л - НООе3'1 + 325е4Л
о =
60(еЛ - 1)
(6)
-47+325е" - 1МОе2/1+ЗООе4',/г - 60е5ЛЛ - 600еЗЛ/г + 47е5Ч1100е3/> - 325е4Л ---60(е* - I)5 '
(7)
—27е-Л 4- \текк 4- 160е'1 + е~2к + 40 - 60/1 - 225е2к + 59е3'1 - %е4к ,0,
^ =--40(еЛ — I)5-' (8)
_ -225с2'1 + Ь9ек + 160е3'1 - 8 + 40е*к - 180е№/г + 60е4А/г 4- е6к - 27е5к
40(е" - 1)
4 '
(9)
Зе_2Л - 30е-Л - 20 - 60Д + 2езк + 60еЛ - 15е2к 120(еЛ - I)3
= -^3-• (Ю)
2 - 20е3/> - 15еЛ + 60е2Л + 60еЗЛ/г + Зе5к - 30е4Л = 120(е" - I)3 (И)
3 13 Приведем еще значения ь3<, при <р\{х) = 1, <Р2{х) = х, <£ъ(х) = еЛт, 1^4(ж) = е^'1*, ^>5(1) — е2Ах, <рь{х) = е~2Ах, где А > 0 Вычисляя инте-1ралы от базисных функций ш3^(х), имеем
И
4,0 = ^+1 о = 2>
_ 3еЗАкАк + Зе2АНАИ + 3елкАк + 3АН - 7еЗАк + 9е2Ак - 9елк + 7 ~ 4А2(еАк - I)3
ЗезлМ/г + Зе2ЛМ/г + ЗеллЛ/г + 3Ак - 7езлл + 9е2Ак - Эе4" + 7 «7+М = -^Д " 4А2(ел/1 - I)3 '
Аке2М - Зе2М + 4А1геАк + 3 + Ак = ~ 4А3(еАк — I)2
3 2 Оценка погрешности при п = 1, = х'-1, г = 1,2, ,6 В этом
случае после ряда преобразований получаем для х € [2^,2^+1]
Я-
■\71-1
J г(х)с1х ■■
1440
2880
840
Л
где г = 1,2,3,4 между х3 и х3+1, отсюда
\у,+1 - у(х3+1)\ < К » 0 0031,
где
1ИЛ![.,.,♦,]= >У11(*)1
Заметим, что — У3+\\ = 0 сети у(х) = 1, х, х2, х3, хж5, х6, а
ыкже их ганенеинои комбинации
3 3 Теорема 2 В предположении д е С6[хо, X] х Л, для погрешности решения задачи Коиш у' = д(х, у{х)), у{хо) = уо, х 6 [хо, А'] с помощью метода (3) на промежутке [х3,х3+1] справедливо первенство
\Уз+1 - УЫ\ < к « 0 0031,
здесь
Если к = J,] + 1, в = 0,1,2 задаются формулами (б)-(11), то \у,+1 - < К1г7\\ут1 + 15уУ1 + 85/ + 225<Л + 274у'" + 120у"\\[Х],
где К— некоторая константа, К > 0
4 В четвертой главе рассматривается применение сплайнов восьмого порядка аппроксимации Подынтегральное выражение иг(х), х € [2^,2:^+1] в соотношении (1) (с учетом замены иг(х) = у[(х)) заменим па соотношение
й,{х) = иг{х3)ш3] о (ж) + и,( х3+1)и;3+ио(х) + и[{х3)и3 л(х) + «¡(^+1)^+1 ¡(х)+
+и"(х3)ш3,2{х) + и"{х3+1)ш3+^2{х) + и'"(х3)и)3, з(х) + и"'(х3+1)ш3+1, з(ж), где базисные функции Л: = 0,1,2 находим из условий
йг(х) =иг(х), и,(х) = <р3(х), 5 = 1,2, ,8
Положим у1 кз уг(х3) После итпсгрироватпгя и 01брасьгванил погретттност получаем неявный метод нахождения у1+1
В случае одного уравнения решаем задачу у' = д{х,у), у(хо) = Уо Будем находить у3+1 и у{х}+1) В рассматриваемом случае неявный метод нахождения у3+1 принимает вид
Уз+\ =У]+ + Л+1^+1 о + В]у]Л + ^+1^+1,1+
+С3У3< 2 + ^+1^+1,2 + + (12)
где
Ак = д{хк,Ук), Вк = д'х{хк,Ук) + д'у(хк,Ук)д{хк,1 Ск = д'хЛхк, Ук) + д'уу(хк, Ук)д2(хк, Ук) + 2д"у{хк,ук)д{хк, Ук) + д'у{хк, ук)Вк, °к = д'"1Х{хк, Ук) + 3 д'"ху(хк, Ук)д(хк, Ук) + 3 д"'уу(хк, ук)д2(хк, ук)+
+9ууу(хк> Ук)д3{хк, Ук) + з д'уу{хк, Ук)д(хк, Ук)(Вк + 3 д1у{хк, ук)Вк+ +д'у{хк, Ук){Ск + д'у(хк, Ук)Вк))
У ШкЛх)^' + 5 = 0,1,2,3
Х1
4 1 Значащи у]<а при шьоторш фг(х), г = 1,2, ,8 Пусть функции <р,(х) — достаточно гладкая, строго монотонная и производная от нее не обращается в н>ть на [хо, А'] Предполагаем, что вронскиан системы функций ¡р,(х), г = 1, 2, ,8 отличен от нутя на промежутке [хо, X]
4 11 Наиболее простые выражения потучаются прп |/>,(х) = х*-1, г = 1,2, ,8В этом случае вычисляя интегралы от базисных функций шЬ1{х), получаем
Ч>.о = = 2' = У3+1,1 =
/г3 /г4 /г4
412 Прн (рг{х) = е-1-1-1'1, г = 1,2, ,8 имеем
=--ГТ-¡Г^319 + т19е2Н ~ 30625еЗЛ - 2793ек + 8820е2/1Л-
-14700еЗЛ/1 - 2940екк + 420/г - 11319е5'1 + 2793е6'1 - 319е7Л + 30625е'ш), (13)
= —9пТГТ-м7(2793еЛ ~ 8820е5Л/г + 2940е6,1Л - Ш19е2"-
~ 1 I б I
—420е7,1Ь - 319 + 30625е№ + 14700е4,1Л + 11319е5(1 - 2793е6'1 + 319е7'1 - 30625с4'1),
(14)
V, 1 =-;—--гтт(8е~3'' + 1638е'1 + 2900е-Л - 190е~2/1 - 9891+
5 2520(—1 + е'1)6
+44940е2Л/г - 24360еЛ/г+4620/г + 54117е2/1+537е6Л - 4934е5Л+21475е4Л - 65660е3'1),
(15)
(4934еЛ + 9891е6Л - 1638е5Л - 54117е4Л - 24360е5ЛЛ+
^+1,1 =
2520(—1 + еЛ)6
+44940е4,7г+4620е6'1/4 - 537+65660еЗЛ - 21475е2Л - 2900е7'1 + 190е8'1 - 8е9к), (16)
и, 2 =--тт--гттг(—875е'1 + 322е~к - 38е-2'1 - 1260екк + 420Л + 2е~зк-
3' 420((—1 + ек)5)
-539 - Не5'1 + Шве2*1 + 103е4Л - 462е3'*), (17)
"7+12 = ,4-ггт(103е'1 - 420е5кЬ + 1260е4ЛЛ - 539е5к - 462е2Л-
3 ' 420(—1 + ек)ъ
-11 - 875е4Л + 1498е3'1 + 322е6Л + 2е8Л - 38е7Л), (18
4е'з;' + 105 - 42е~2к + 2Ъ2е~к + 420Л + Зе^ - 28езк + 126е2Л - 4206^ 2520(—1 + еЛ)4
_ 3 + 126е2к - 28ек - 420е3'1 + 105е4'' - ШелкН + Аеп - 42е6к + 252е5к _ 2520(—1 + ен)4
(20)
4 13 При (|51(х) = 1, <р2(х) = х, <р3(х) = еЛх, <р^х) = е Ах, ^>ь{х) = е2Ах, <р6(х) = е~2Лх, <рт{х) = еЗАг, <Рв(г) = е~ЗАх, где А > 0, после интегрирования получаем
к
(91 + 9г) „ (91 + д2)
4,0 - Ъ+1,0 - 2 > 4Л - 36^2 (елл __ 1)5 ' V«- ЗМ2(еЛЛ_1}5-
где 91 = ЗЗе5ЛМЛ - 85е5ЛЛ + 51е4ЛЛА/г -I- 276АезллЛ - 490е3/1\ = 276е2ЛкАН -+- 490е2ЛЛ + 51елМ/г - 65елл + 65е4ЛЛ +- ЗЗАЛ + 85
_ I3 _
~ 6А3(ел" - I)4'
где ?з = 3еыкАН - 10е4ЛЛ + 18АеЗАкН - 10езлк + 18е2АкАН 4-18еАкАН + 10елл + 3 АН + 10,
94 __ ___94
3'3 36А4(елл — I)3' 36А4(ел"-1)3'
где 94 = ЗА/г +11 + 27елл + 27еАкАН + 27е2ЛЛАН - 27е2Ак - 11езлл + 3АеЗАкИ
4 2 Оценка погрешности при я = 1, = а;'-1, г = 1,2, ,8 имеет вид
|%+1 - 2/(^+1)| < ИяК\\у1Х\\, К « 000058
4 3 Пус1Ь ЛГ — целое чисто, N > 2, Хо < XI < < х^ = X Рассма1рива<.м решение задачи Коши
у' = д{х, у{х)), у{х0) = г/о, х е [х0, х\ (21)
Теорема 3 В предположении д 6 С8[го, X] х Л для погрешности решения задачи Коши (21) па промежутке [х^а^-ц] методом (12)
для ь3,0 = г^+1,0 = ^ х = 1 =
/г3 /г4 /г4
,2 —
справедливо неравенство
42-4+1,2-У-'3 ~ 1680' ^^ 1680'
1й+1 - !/(*,+01 < Л9^||г/1Х!1[х,,х,+1], К « 0 000058
Если Ьк я, к =;/,:/ + 1, в = 0,1,2,3 задаются формулами (13)-(20), то существует некоторая константа К, К > 0, что
\Уз+1 ~ У(хз+\)\ < ^Кх х \\у1Х+28уЩ11+322ут+1960у™ + 6769уу + 13132у™ + 13068г/"'+5040у"||11^+1]
Список опубликованных работ по теме диссертации
[1] Бурова И Г , Хассан ИнаамР Применение сплайнов ненулевой высоты к решению задачи Коши // Процессы управления и устойчивость Труды 38-й междунар науч конф аспирашов и С1удешов СПб , 0-12 апреля 2007 г / Под ред А В Платонова, Н В Смирнова — СПб Изд-во С -Петерб ун-та, 2007 С 124—126
[2] Бурова И Г , Хассан Инаам Р О решении задачи Коши с помощью неполиномиальных минимальных сплайнов // Нелинейный динамический анализ — 2007 Тезисы докладов международного конгресса, С -Петерб , 4-8 июня
2007 г - СПб Изд-во С -Петерб ун-та, 2007 С 263
[3] Бурова И Г , Хассан Инаам Р Применение минимальных интерполяционных сплайнов к решению задачи Коши // Вестн С -Петерб ун-та Сер 1 , 2007 Вып 4 С 114-117
[4] Бурова И Г , Хассан Инаам Р О построении некоторых одношаговых методов для решения задачи Коши // Космос астрономия и программирование (Лавровские чтения) Тр междунар науч конф Санкт-Петербург, 20-22 мая
2008 г — СПб Изд-во С -Петерб ун-та, 2008 С 194-199
[5] Бурова И Г , Хассан Инаам Р Об оценках погрешностей некоторых одношаговых методов для решения задачи Коши с помощью неполиномиальных сплайнов // Методы вычислений Вып 22 СПб 2008 С 17-26
[0] Хассан Инаам Р О решении задачи Лотки-Волътерра // Процессы управления и усюйчивос!ь Тр 39— й междунар науч конф аспирашов и студентов СПб , 7-10 апреля 2008 г — СПб Изд-во С -Петерб ун-та, 2008 (апрель) С 176-180
[7] Хассан Инаам Р О реализации метода сплайновых аппроксимаций для решения задачи Коши в среде МАРЬЕ // Космос, астрономия и программирование (Лавровские чтения) Тр междунар науч конф Санкт-Петербург, 20-22 мая 2008 г - СПб Изд-во С -Петерб ун-та, 2008 С 255-258
[8] Хассан Инаам Р О решении задачи хищник-жертва // Методы вычислений Вып 22 СПб 2008 С 105-111
Подписано в печать 06 08 2008 Формат бумаги 60 х 84 1/16 Бумага офсетная Печать ризографическая Уел печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ 4267 Отпечатано в отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр 26
Введение
Глава I. Основние сведения о решении задачи Коши. и построении неполиномиальных сплайнов ненулевой высоты.
1.1. Методы решения задачи Коши.
1.1.1. Экстраполяционный метод Адамса и другие . многошаговые методы.
1.1.2. Методы разложения в ряд Тейлора.
1.1.3. Методы Рунге-Кутта.
1.2. О построении сплайнов нулевой высоты.
1.2.1. Построение решения ассоциированного . . . дифференциального уравнения.
1.2.2. Оценка погрешности.^.
1.3. О построении сплайнов ненулевой высоты
1.4. О построении сплайнов ненулевой высоты в случае ipa(t) = ipa(t), а = 0, l,.,m
1.5. Применение сплайнов ненулевой высоты для . . . решения задачи Коши.
Глава II. Решение задачи Коши с помощью базисных сплайнов четвёртого порядка аппроксимации первой высоты . 37 2.1. О построении сплайнов четвертого порядка аппроксимации первой высоты.
2.1.1. Случай щ(х) = (р*(х).
2.1.2. Решение задачи Коши для одного уравнения
2.1.3. Решение задачи Коши для системы уравнений
2.2. Погрешность приближения сплайнами четвертого порядка аппроксимации первой высоты и погрешность решения задачи Коши.
2.2.1. Погрешность приближения сплайнами при pi(x) = хг~г.
2.2.2. Погрешность решения задачи Коши при . . (Pi(x) = х1-1.
2.2.3. Погрешность приближения сплайнами при щ(х) =
2.2.4. Погрешность решения задачи Коши при . . щ{х) = e-V-V*.
2.2.5. Погрешность приближения сплайнами при pi(x) = 1, (f>2(x) = X, (р3(х) = еАх, </74(ж) = е~Ах
2.2.6. Погрешность решения задачи Коши при . . ipi(x) = 1, ср2(х) = х, (р3(х) = еЛх, (р4(х) = е~Ах
2.2.7. Погрешность приближения сплайнами при
Pi(x) = e^-V*.
2.2.8. Погрешность решения задачи Коши при . . <р£х) =
2.3. Результаты численных экспериментов.
2.3.1. Решение простейших дифференциальных . . уравнений
2.3.2. Решение систем дифференциальных уравнений
2.3.3. Решение жестких уравнений
Глава III. Решение задачи Коши с помощью базисных сплайнов шестого порядка аппроксимации второй высоты
3.1. Построение базисных сплайнов шестого. порядка аппроксимации второй высоты.
3.1.1. Базисные сплайны шестого порядка аппроксимации второй высоты при (fii(x) = хг~г
3.1.2. Базисные сплайны шестого порядка аппроксимации второй высоты при (fi{x) — е-^-1^.
3.1.3. Базисные сплайны шестого порядка аппроксимации второй высоты при ср(х) = екАх
3.2. Погрешность приближения сплайнами шестого порядка аппроксимации второй высоты.
3.2.1. Случай ср{(х) = xl~l
3.2.2. Оценка погрешности решения задачи Коши
3.2.3. Случай cpi(x) = е~^х
3.2.4. Оценка погрешности решения задачи Коши
3.2.5. Случай <fi(x) = 1, х, екАх,к = ± 1, ±
3.2.6. Случай tpi(x) =
3.3. Результаты численных экспериментов
Глава IV. Решение задачи Коши с помощью базисных сплайнов восьмого порядка аппроксимации третьей высоты
4.1. Построение базисных сплайнов ш8,з(%)
4.1.1. Базисные сплайны восьмого порядка аппроксимации третьей высоты при (pi(x) — хг~г.
4.1.2. Базисные сплайны при cpi(x) =
4.1.3. Базисные сплайны при.
Pi(x) = 1, (Р2(х) = х, (р(х) = еАкх.
4.2. Погрешность приближения сплайнами Ш8,з(х) при pi(x) = xi-1.
4.3. Погрешность решения задачи Коши при tpi(x) = хг~г
4.4. Погрешность приближения сплайнами а>8,з(ж) при р{(х) = е-Ь-Ъ*
4.5. Погрешность решения задачи Коши при
Vъ(х) =
4.6. Результаты численных экспериментов
Первые численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений изобрели еще Ньютон и Эйлер. К началу XX века были уже известны ставшие теперь классическими методы Адамса и Рунге-Кутта. Текущий период характерен бурным развитием вычислительной техники и усиленным применением ЭВМ и численных методов для решения все более и более расширяющегося круга задач. Изменение требований породило новую волну конструирования и исследования численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, не ослабевшую и сегодня. Ранее известные методы были детально изучены и обобщены, построены новые классы методов, созданы методы, ориентированные на решение задач со специальными свойствами, например, так называемых жестких систем. Большой прогресс достигнут и в разработке удобных для пользователей, эффективных и надежных программ. Этим вопросам посвящено огромное число журнальных публикаций, множество монографий, как узкоспециальных, так и общего характера, а также учебных пособий (некоторые из них включены в список литературы). На русский язык были переведены монография Штеттера (1973)(см. [44]), сборник обзорных лекций, прочитанных на летней школе в Англии (редакторы Холл и Уатт, (1976)(см. [43] и др.). Одним из наиболее известных и применяемых методов решения задачи Коши является метод Рунге-Кутта. Этому методу посвящено множество работ (см. [45], [46], [47], [50], [52], [53], [54]).
При численном решении задачи Коши обычно предпочтение отдают одношаговым методам, которые обладают устойчивостью вычислений, возможностью легко менять шаг сетки и отсутствием предварительного построения начала таблицы.
Как известно, интерполяционные методы Адамса точнее экстрапо-ляционных, обладают устойчивостью, но требуют решения одного уравнения или системы в зависимости от решаемой задачи. В статье [64] приводятся оценки погрешности неявных одношаговых методов четвертого порядка, аналогичных по способу построения интерполяционным методам Адамса. Традиционно построение методов Адамса основано на замене подыптегралной функции интерполяционными полиномами Лагранжа или Эрмита (см. напр. [30], [35] ).
В ряде случаев применение сплайнов при приближении функций имеет ряд преимуществ по сравнению с использованием интерполяционных многочленов.
В математике интенсивное изучение сплайнов началось, фактически, только в середине XX века, когда в 1946 году Исаак Шёнберг [59] впервые употребил этот термин в качестве обозначения для рассмотренных им функций с "кусочными" свойствами.
К настоящему моменту существует большое количество статей и серия монографий, посвященных теоретическим исследованиям и практическому применению сплайнов (см. [1], [17], [19], [25], [29], [31], [33], [34], [39], [55] и библиографию в них).
Стремление к разработке более экономичных методов приводит к использованию функций с малым носителем (локальных функций — см.
20]) с теми или иными минимальными свойствами. Наиболее часто применяются пространства с базисом из функций, носители которых имеют минимальную кратность перекрытия (обычно именуемую кратностью накрытия). К ним относятся Б-сплайиы (см. [26], [28]), сравнительно недавно разработанные интерполяционные минимальные сплайны (см. [11], [23]), а также ряд конечно-элементных аппроксимаций (см., например, [40]). Подобные аппроксимации называются минимальными [33] и позволяют значительно снизить трудоемкость вычислений [21]. Сплайн В. С. Рябенького [38] был, по-видимому, первым интерполяционным минимальным сплайном.
В работах Буровой И.Г. и Демьяновича Ю.К. (см., например, [6], [11]) рассматривались построение и свойства непрерывных и непрерывно дифференцируемых заданное число раз минимальных полиномиальных и тригонометрических интерполяционных сплайнов со свойством "точности" соответственно на алгебраических и тригонометрических полиномах заданной степени. Отличительная черта этих сплайнов заключается в том, что аппроксимация строится отдельно на каждом сеточном интервале в виде линейной комбинации базисных сплайнов с коэффициентами, равными значениям приближаемой функции в нескольких соседних узлах сетки. При этом интерполирующая функция строится достаточно просто, поскольку решение интерполяционной задачи в точке не зависит от поведения функции в достаточно удаленных узлах сетки.
В данной работе предложены неявные одношаговые методы четвертого, шестого и восьмого порядков для решения задачи Коши и устанавиваются оценки погрешности. Предлагаемые методы основаны на известном интегральном тождестве и приближенной замене подынтегральной функции неполиномиальными минимальными эрмитовыми сплайнами (см. [8], [11], [15]). Для оценки погрешности на сеточном интервале применен метод, описанный в работе [7]. Построенные таким образом методы обладают точностью на некотором заданном множестве функций, что позволяет в ряде случаев существенно уменьшить погрешность решения задачи Коши.
Диссертация содержит четыре главы (48 параграфов).
Первый параграф главы I носит вспомогательный характер и посвящен основным сведениям о численных методах решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, в том числе приведены схемы методов Адамса и Рунге-Кутта (см. напр. [35]). Во втором параграфе первой главы излагаются сведения о построении неполиномиальных сплайнов нулевой высоты (см. [8], [11])- Следуя работе [33] под высотой будем понимать количество производных функции, используемых в приближении. Описывается построение решения ассоциированного дифференциального уравнения и методика получения оценки погрешности приближения сплайнами нулевой высоты (см.[7]). В третьем параграфе приводится построение неполиномиальных сплайнов непулевой высоты с помощью системы образующих функций ipi(x) (см.[15]). В четвертом параграфе рассматривается построение сплайнов ненулевой высоты в случае <Pi(x) = <рг(х), г — 0,1,.,га, где <р(х) — заданная функция. В пятом параграфе изучается применение сплайнов ненулевой высоты для решения задачи Коши.
В главе II рассматривается вопрос о построении неполиномиальных сплайнов четвертого порядка аппроксимации первой высоты, обладающих свойством точности на функциях ipiix). Получено приближенное решение задачи Коши для одного уравнения и для системы уравнений. Дано представление погрешности приближения сплайнами четвертого порядка аппроксимации первой высоты и оценка погрешности решения задачи Коши при (fi{x) = жг-1, при фг{х) — е-(г-1)х, при ipi(x) = а также при <fi(x) = 1, ср2(х) = х: <рз(х) = еАх, <р4(х) = е~Ах.
Приведены результаты численных экспериментов и получены представления для погрешностей решений дифференциальных уравнений. Проведено сравнение полученных численных решений с результатами счёта по известным схемам Рунге-Кутты и Адамса.
В главе III рассматривается решение задачи Коши с помощью неполиномиальных базисных сплайнов шестого порядка аппроксимации второй высоты. В начале главы приводится построение этих базисных сплайнов. При этом получены базисные сплайны шестого порядка аппроксимации второй высоты при (fii(x) = ж*-1, при <pi(x) — г = 1, ., 6, а также при tpi(x) в виде cpi(x) = 1, <р2(х) = х, (рз(х) = ipi(x) - е~Ах, ips(x) = е2Ах, щ(х) = е~2Ах.
Даны оценки погрешности приближения сплайнами шестого порядка аппроксимации второй высоты. Более подробно рассмотрен случай <Pi(x) = ж*-1, а также рассмотрен случай <fi(x) = Получена оценка погрешности решения задачи Коши в случае применения полиномиальных сплайнов, а также порядок погрешности в случае применения экспоненциальных сплайнов и при <pi(x) = 1, ж, екЛх,к = ±1, ±2 и при ifi(x) = е(г-"1)-'г. Получены результаты численных экспериментов. Третий параграф посвящен решению ряда уравнений и систем; полученные результаты подтверждают численую устойчивость полученных схем.
В главе IV рассмотрено решение задачи Коши с помощью неполиномиальных базисных сплайнов восьмого порядка аппроксимации третьей высоты. Получены базисные сплайны восьмого порядка аппроксимации третьей высоты при (pi(x) = жг-1, при щ(х) = при (fi(x) = 1 ,ip2(x) = х,(р(х) = eAkx,k = ±1,±2, ±3,A > 0. Выведена оценка погрешности приближения этими сплайнами. Подробно рассмотрено получение погрешности приближения сплайнами восьмого порядка аппроксимации третьей высоты при <pi(x) = хг~1. Получена погрешность решения задачи Коши при tpi(x) — хг1, и порядок погрешности при cpi(x) = Приведены результаты численного решения уравнений, которые показывают справедливость сделанных теоретических выводов.
Нумерация формул в диссертации — своя в каждой главе. Нумерация теорем, лемм, таблиц и рисунков единая.
Основными результатами диссертации являются следующие
1. Получена оценка погрешности четырежды непрерывно дифференцируемой функции неполиномиальными сплайнами четвертого порядка аппроксимации первой высоты, обладающими свойством точности на функциях:
1) <pi(x) = е-^"1)*, * = 1, 2, 3, 4,
2) (pi(x) = i = 1, 2, 3, 4,
3) <pi(x) = 1, (p2(x) = ж, <рз(х) = e®, (ж) =
2. Дана оценка погрешности шесть раз непрерывно дифференцируемой функции неполиномиальными сплайнами шестого порядка аппроксимации второй высоты, обладающими свойством точности на функциях:
1) п(х) = е"^, i = l,2,. ,6,
2) <pi(x) = 1, = х, <р3(х) = ех, у?4(ж) = еа;, = е2х, <рб(х) = е2а;.
3. Получена оценка погрешности восемь раз непрерывно дифференцируемой функции неполиномиальными сплайнами восьмого порядка аппроксимации третьей высоты, обладающими свойством точности на функциях:
1) <р{(х) = е-**-1*, i = l,2f.,8,
2) <pi(x) = 1, <p2(x) = x, (p3(x) = ex, y>4(:r) = e-*, (p5(x) = e2*, y>6(®) = 4>ч{х) = e3x, <p8(x) = e~3x.
4. Получен неявный одношаговый метод решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка (а также систем дифференциальных уравнений первого порядка), обладающий сходимостью порядка 0(h5) на каждом сеточном промежутке [xj, Xj+1] длины h. Получено представление погрешности метода на промежутке [xj, a^+i] и оценки погрешностей решения задачи Коши для четырёх разновидностей этого метода.
5. Получен неявный одношаговый метод решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка (а также систем дифференциальных уравнений первого порядка), обладающий сходимостью порядка 0(h7) на каждом сеточном промежутке [xj, Xj+1]. Получено представление погрешности для трех разновидностей этого метода на промежутке [xj, Xj+1] и получена константа в оценке погрешности решения задачи Кошп с помощью этого метода в случае применения полиномиальных сплайнов ненулевой высоты.
6. Получен неявный одношаговый метод решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка (а также систем дифференциальных уравнений первого порядка), обладающий сходимостью порядка 0(h9) на каждом сеточном промежутке [xj, Xj+1]. Получено представление погрешности для трех разновидностей этого метода на промежутке [xj, Xj+i] и получена константа в оценке погрешности решения задачи Коши с помощью этого метода в случае применения полиномиальных сплайнов ненулевой высоты.
Основные утверждения, полученные в диссертации
Рассмотрим задачу Коши у' = д(х,у(х)), у(хо)=уо, (1) предполагая, что её решение у(х) существует и единственно на отрезке [яг0, X], х0 < X.
Пусть функция д 6 С4[ж0, X] х R1 , где х £ [ж0, X], у 6 R1.
На промежутке [жо, X] введём сетку узлов xq < х\ < . < xjy = X и обозначим yj приближенное значение решения у(х) задачи (1) в точке xji Уз ^ y{xj)i отыскиваемое с помощью методов вида: yj+i = У] + yj)vj, о + g(xj+ь yj+i)vj+i,o+ (9x(xj: У]) + 9y(xj, yj)g{xj, yj)) vjr\-+ {g'xixj+ь Vj+i) + 9y{xj+1, yj+i)g(xj+b yj+1)) Vj+1,1, (2) где числа Vjtо, Vj+i;o, Vj,i, Ч/+1,ь задают рассматриваемый метод (см. ниже).
В дальнейшем полагаем h = xj+i—xj, не отмечая в этом обозначении зависимость от j (для краткости изложения).
В диссертации доказаны следующие теоремы Теорема 1. При сформулированных выше предположениях для погрешности решения задачи Коши (1) на промежутке [xj,xj+1] с помощью метода (2) справедливо неравенство
V \Уз+1 ~ у{хз+01 < если vjfi = vj+lfi = h/2, v3, i = ~vj+i,i = h2/l2.
2) \yj+i~y{xj+i)\ ^ + +ll^' + ey'll^.^j], К a 2.68, при
- ~27ek + 6h + 5 ~ 18ekh + 27e2k ~ 5e3k
Vjfi ~ ~ 6(eh - 1)3 (2 + Seh + 6ehh - 6e2h + еш)е~н 41 ~ 6(eh l)2 ' 27eh - 5 + 18e2hh - Qe3hh - 27e2h + 5e3h Vj+1'°~ —6(eh - 1)3 ' -3e2h + 6eh- 1 + 6e2hh - 2e3h VjW~ 6(eh — l)2
3) fc+i - y(xj+i)\ < h5K\\yv - 6?/IV + IV" - 6</"||[x.,Xj+l], при
- ~5 + + 18e2hh - 6e3/lfr - 27е2Л + 5e3/l 0 6(e/l - 1)3 > —3e2h + 6eh - 1 + - 2езл ~ - l)2 +27ел - Qh - 5 + 18ел/г - 27e2h + 5e3/l 6(e* - 1)3 '
- (2 + 3eft + 6eA/i - 6e2h + e3/l)e~/l 6(eh — l)2 причём К & 0.16, если 0 < h < 0.3, К va 0.03, если 0.3 < h < 1.
4) \Vj+i-y(xj+i)\ <h5 К \\yv-y'"\\[Xj,Xj+1], K = $5(e-1+e)t* 0.066 при
Vj,o = Vj+1,0 = h/2, heh - 2eh + h + 2 - 2eh + h + 2
41 ~ 2(eh - 1) ' 2(eft - 1) '
Теорема 2. В предположении, что g € С6[#о> -X] х il; для погрешности решения задачи Коши у' = д(х,у(х)), у(хо) = уо, ж £ -X] с помощью метода
Уз+i = yj + 9{xj, Vj)vj,о + ^Oj+ъ yj+i)vj+lt0+ +GjVjt 1 + Gj+l^+i,! + QjVj, 2 + Qj + 1^+1,2, где
Qk=g"x{Xk: Ук)+9уу(хк, Ук)д2(хк, JfcjGjfc,
Gk = д'х{хк,ук) + 9у{хк,Ук)д{хк,Ук), k = j, j + l. на промежутке [xj,xj+1] справедливо неравенство yj+i ~ y(xj+i)\ < Kh7 || уш ||, К « 0.0031, здесь
Vj,o = vj+ifi = vjti = ^h2, vi+1>1 = Vj,2 = Vj+i,2 = ^O^3'
Если
- 1 ~60(e?l — l)5 X x(-325e/l+H00e2/l+47-300e/l^+600e2/l^+60^-47e5/l-1100e3/l+325e4/l), 1
Vj+lfi ~ ~ 60(eh — l)5 X x(-47+325e/l-1100e24300e4/l^-60e5,l^-600e3/l^+47e54ll00e3/l-325e4/i),
--1—-(-27e^4-180e'l/i+160e/4^-2/440-60/?r-225e2/'-b59e3^e4'1),
40(e/l —l)5 1
40 (e^— 1У x (—225e2/l + 59eh + 160e3h - 8 + 40e4/l - 180e3h/i + 60eAhh + e6h - 27e5/l), 1 3e~2/l - 30e-fe - 20 - 60fo + 2e3h + 60eh - 15e2/t ~ 120 (eh - l)3 ' 1 2 - 20e3/l - 15e/l + 60e2/l + 60e3ftft + 3e5fe - 30e4/l fj+1,2 - jgo (ел - l)3 ' mo yj+l - y(xj+l) I < Kh7 II /« + 15yyl + 85/ + 225ylv + 274/' + 120/ ||,
1.1 = -XKTJt—Тйх где К— некоторая константа, К > 0.
Теорема 3. В предположении, что g £ С^яо, X] х R для погрешности решения задачи Коши у' = д(х,у(х)), у(хо) = уо, х £ с помощью метода
Vj+i = Уз + AjVj, о + + Bj4 1 + ^+1^+1,1+
C3vi, 2 + Cj+ivj+h2 + D]Vj,3 + Dj+iVj+i^, где
Ak = g(xk, ук), Вк = д'х(хк, ук) + g'y(xk, yk)g(xk, yk), Qfc = УкНд'ууЫ, yk)g2(xk, ук)+2д%у(хк, yk)g(xk, Ук)+д'у(хк, yk)Bk,
Dk = g'"xx(xki Ук) + зд'х'Ху(хк, Ук)д(хк, ук) + Зд"'уу(хк, ук)д2(хк, ук)+ +д'ууу{хк, ук)дъ(хк, у к) + 3 дуу(хк, ук)д(хк, z/jfc)(BJfc + 3 д"у(хк, Ук)Вк+ д'у(хк, ук)(Ск + д'у(хк, Ук)Вк))} к = j, j + 1, h 3 3 если vjtо = Vj+i.0 = Uj-д = —h2, vj+lA = -—/г2, i3 /i4 h4
Vj, 2 = ^i+1,2 = ГТ, = T^TT, Vj + 1,3 =
84' 1680' ' 1680' справедливо неравенство
Vj+i - y(xj+1)| < h9K || г/к ||, К « 0.000058. ifo/m A; = j,^' + 1, s = 0,1, 2,3 задаются формулами (4-21)-(4-28), то существует некоторая константа К, К > 0, что yj+1-y(xj+1)\ < h9Kx х II ^к+28ууш4^22ууп+1960ууЧб769уу+13132^1у+13068г////+5040г/// || . т
Научная новизна. Неполиномиальные минимальные сплайны для построения расчётных схем типа Адамса ранее не применялись. Если линейная комбинация производных от используемых неполиномиальных минимальных сплайнов является решением дифференциального уравнения, то предлагаемые схемы точны на этом пространстве сплайнов. Основные результаты были доложены на следующих конференциях и семинарах:
1. Процессы управления и устойчивость. XXXVIII международная научная конференция аспирантов и студентов, С.- Петербург, Россия, 9-12 апреля 2007 г.
2. Нелинейный динамический анализ - 2007. Международный конгресс, С.- Петербург, Россия, 4-8 июня 2007 г.
3. Процессы управления и устойчивость. XXXIX международная научная конференция аспирантов и студентов, С.- Петербург, Россия, 7-10 апреля 2008 г.
4. Космос, астрономия и программирование (Лавровские чтения): международная научная конференция, С.- Петербург, Россия, 20-22 мая 2008 г.
Основные результаты второй главы
Объединим основные результаты второй главы, сформулированные в леммах 2, 4, 6, 8 и сформулируем их в теореме 1.
Пусть N — целое число, N > 2, хо < х\ < . < xn = X. Предполагаем, что существует решение задачи Коши
У' = 9(х,у(х)), у(хо) =2/о, х е [:х0, X], (*) где д(х,у) — четырежды непрерывно дифференцируемая функция по своим аргументам.
Приближение yj к решению задачи (*) будем определять с помощью метода:
Уз+1 = Уз + yj)vjfi + g{xj+1, yj+1)vj+ii0+ (ff'xfa, Уз) + g'y{xj, yj)g(xj, Vj)) Vjj+ (g'x(xj+1, yj+i) + 9y(xJ+1, 2/j+i)) Vj+1,1. (**)
Пусть h = Xj+1 — Xj.
Теорема 1. Ярг/ сформулированных выше предположениях для погрешности решения задачи Коши (*) на промежутке [xj, Xj+1] с помощью метода (**) справедливо неравенство
V \Уз+1 ~ y{xj+i)l < mh5\\yV\\[^i+ih если = vj+i,o = h/2, Vj,i = -Vj+1,1 = h2/12.
2) \yj+\ — y(xj+\)| < к5К\\уу + 6yIV + lly'" 4- §y"\[[xj,xj+1]) Къ 2.68, при
-27eh + 6h + 5 - 18ehh + 27e2h - бе3'1 (2 + 3eft + 6ehh - 6e2h + e3h)e~h 41 " 6{eh l)2 ' 27eh - 5 + 18e2/t/i - 6e3hh - 27e2/t + 5e3h Vj+1'°~ —Q(eh — l)3 —3e2h + 6e^ - 1 + 6e2/l/t - 2e3/t 6(ел — l)2
3) |yj+1 - 2/(xJ+1)| < h5K\\yv - 6yw + 11 y'" - 6y"\\[Xj,Xj+lh при
-5 + 27eh + 18e2kh - 6e3kh - 27e2h + 5e3h 40 ~ б(ел - l)3 ' —3e2h + 6eh - 1 + 6e2kh - 2e3/l ^M - — 6(ел - l)2 ' +27e/l - 6ft - 5 + 18efo/i - 27е2/г + 5e3/t Wi+1'° ~ 6{eh - l)3 ' (2 + 3eft + бе^Я - 6e2h + e3h)e~h Vj+1A ~ 6(eh - l)2 ' причём, К & 0.16, если 0 < h < 0.3, К & 0.03, если 0.3 < h < 1.
4) \yj+i - y(xj+1)| < h5 К \\yv - y'"\\[Xj,Xj+l], к « 0.066, при v3,0 = vj+1,0 :: h/2, heh -2eh + h + 2 heh -2eh + h + 2
2{eh — 1) ' 2{eh-l)
2.3. Результаты численных экспериментов 2.3.1. Решение простейших дифференциальных уравнений Пример 1. Будем решать уравнение у' = —2[у — sin(a;)) + cos(:c), х £ [0,20], с начальным условием ?/(0) = 0. Очевидно, решение этой задачи у{х) = sin(:c).
Ниже приведены результаты численных экспериментов, проведенных в среде Maple при значении параметра Digits=25. Используем следующие обозначения:
Rhi — max \y(xi) — y(xi) | — погрешность, вычисленная на равномер-[0,20] ной сетке, построенной на промежутке [0,20] при hi = 0,1, h2 = 0,01. Здесь Xi = 0,1 hf~i, к — 1,2, у — приближенное решение задачи Коши при применении <fi(x) вида:
1. срг(х)=х\г = 0,1,2,3,
2. tpi(x) = х\ г = 0,1, ip2(x) = еАх, ср3(х) = е~Ах
3. (pi(x) = e~ix, i = 0,1,2,3 .
1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972.- 316 с.
2. Бурова И. Г. Интерполяция минимальными сплайнами и вариационно-разностные методы: учебное пособие. СПб: Изд-во СПбГУ, 1998. 52 с.
3. Бурова И. Г. Минимальные вещественные и комплексные сплай-Hbi//International Conference OFEA'2001 Optimization of Finite element Approximation Splines and Wavelets. June 25-29 2001
4. Бурова И. Г. Optimization of finite element approximations & splines and wavelets // Proc. of the 2-nd Intern, conference OFEA-2001. St.Petersburg (Russia). June 25-29.2001. St.Petersburg, 2002. C.56-64.
5. Бурова И. Г. Об аппроксимации квадратичными и кубическими минимальными сплайнами // Методы вычислений. Вып. 20. СПб. 2003. С. 5-24.
6. Бурова И.Г. О построении тригонометрических сплайнов // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 2. С. 9-14.
7. Бурова И. Г. Приближения минимальными сплайнами максимального и минимального дефекта // Вестн. С.Петербург, ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 1 С. 9-13.
8. Бурова И. Г. Приближения неполиномиальными сплайнами максимального дефекта. Изд-во СПбГУ. СПб., 2007. 40 с.
9. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. О построении сглаженных сплайнов с минимальным носителем // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1983. № 13. С. 10-15.
10. Бурова И.Г., Дел1ъянович Ю.К. Граничные минимальные сплайны и их применение: Курс лекций. СПб.: Изд-во Петерб. гос. ун-та путей сообщ., 1996. 88 с.
11. Бурова И. Г., Демьянович Ю. К. Теория миниимальных сплайнов. СПб., 2000. 316 с.
12. Бурова И. Г., Демьянович Ю.К, О сплайнах максимальной гладкости // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2005. Вып. 2. С. 5-9.
13. Бурова И.Г., Евдокимова Т.О. О гладких тригонометрических сплайнах второго порядка // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер 1. Мат., мех., астр. 2004. Вып. 3. С. 13-19.
14. Бурова И.Г., Евдокимова Т.О. О гладких тригонометрических сплайнах третьего порядка // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер. 1. Мат., мех., астр. 2004. Вып. 4. С. 12-23.
15. Бурова И. Г., Тимофеев В. А. Построение сплайнов ненулевой высоты // Методы вычислений. Вып. 21. СПб., 2005. С. 31-39.
16. Ваг ер Б. Г., Серков И.К. Сплайны при решении прикладных задач метеорологии и гидрологии. Л.: Гидрометеоиздат, 1987. 160 с.
17. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск, 1983. 215 с.
18. Воронкова А. И., Даугавет И.К., Марданов А.А. Практикум по численным методам. СПб., 2003. 80 с.
19. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 208 с.
20. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М., 1984. 303 с.
21. Демьянович Ю.К. Об аппроксимации пространствами локальных функций // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1977. №1. С. 35-41.
22. Демьянович Ю.К. О построении пространств локальных функций на неравномерной сетке // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР. 1983. Т. 124. С. 140-163.
23. Демьянович Ю.К. Локальная аппроксимация на многообразии и минимальные сплайны. СПб., 1994. 356 с.
24. Демьянович Ю. К. Биортогональная система для минимальных сплайнов и решения задач интерполяции // Докл. РАН 2001. Т. 377, N 6. С. 739-742.
25. Жук В.В., Натансон Г.И. К теории кубических периодических спланов по равноотстоящим узлам//Вестн. Ленингр.ун-та. 1984.Т1.С.5-11.
26. Завьялов Ю.С., Квасов В.И., Мирошниченко В.К. Методы сплайн-функций. М. 1980. 352 с.
27. Калиткин Н. Н. Численные методы. М., 1978. 512 с.
28. Квасов Б.И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2006. 416 с.
29. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближений. М., 1984. 352 с.
30. Лозинский С.М. О формулях квадратур и одношагових методах численного и ктегрировашие, использующих преизводние. Вестн. С.-Петерб. ун-та. Ж 1. 1975. С. 73-101.
31. Малоземов В.Н., Певный А.Б. Полиномиальные сплайны. JL, 1986. 120 с.
32. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. СПб, М.-Краснодар. 2003. 832 с.
33. Михлин С.Г. Вариационно-сеточная аппроксимация // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР., 1974. Т. 48. С. 32-188.
34. Морозов В.А. Теория сплайнов и задача устойчивого вычисления значений неограниченных операторов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1971. Т. 11. №3. С. 545-558.
35. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений: Учеб. пособие.— 2-е изд., испр. и доп.— СПб.:Изд-во СПбГУ., 1998. 472 с.
36. Ортега ДжПул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М., 1986. 288 с.
37. Рябенький B.C. Об устойчивости конечно-разностных уравнений: Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1952.
38. Рябенький В. С. Метод разностных потенциалов для некоторых задач механики сплошных сред. М., 1987. 320 с.
39. Стечкин С.В., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М., 1976. 248 с.
40. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.М., 1980. 512 с.
41. Хайрер Э., Нёрсетт СВаннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи: Пер. с англ.— М.:Мир., 1990. 512 с.
42. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально- флгебраические задачи: Пер. с англ.- М.:Мир., 1999. 685 с.
43. Холл, Уатт Соверменные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Пер. с англ. редакторы Дж. Холл и ДЖ. Уатт. М.: Мир, 1979. 312 с.
44. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений: Пер. с англ. — М.: Мир, 1978. 451 с.
45. Alexander A. Diagonally implicit Runge Kutta methods for stiff ODEs. SIAM J. Numer. Anal., Vol. 14, No. 6, December 1977, pp. 1006-1021.
46. Butcher J. C., Cash J.R. Towards efficient Runge Kutta methods for stiff systems. Journal of Computational and Applied Mathematics. Vol. 45, 1993, pp. 203-212.
47. Butcher J. C., Johnston P.B. Estimating local truncation errors for runge-Kutta methods. SIAM J. Numer. Anal, Vol. 27, No. 3, June 1990, pp. 753-761.
48. Butcher J. C., Jfckiewicz Z. Implementation of diagonally implicit multistage integration methods for ordinary differential equation. SIAM J. Numer. Anal., Vol. 34, No. 6, December 1997, pp. 2119-2141.
49. Cooper J. G., Jfckiewicz Z. Error estimates for general linear methods for ODEs. SIAM J. Numer. Anal., Vol. 18, No. 1, February 1981, pp. 65-82.
50. Frank R., Schneld J., Christopher W. Stability properties of implicit Runge-Kutta methods . SIAM J. Numer. Anal., Vol. 22, No. 3, June 1985, pp. 497-512.
51. Gear C. Numerical initial value problems in ODEs. Prentic-Hall. Inc., 1971.
52. Hundsdorfer W.H., Spijker M. N. On the algebraic equations in IRK methods . SIAM J. Numer. Anal., Vol. 24, No. 6, June 1987, pp. 583593.
53. Lambert J. D. Comoutational methods in ODEs. John Wiley & Sons., 1991.
54. Lubich Ch., Nipp K., Stoffer D. Runge-Kutta solutions of stiff differential equations near stationary points. J. Numer. Anal., Vol.2, No. 4, Augest 1995, pp. 1296-1307.
55. Morozov V.A., Gerbennikov A.I. Methods for solution of ill-posedproblems: algorithmic aspect. -M.: Mosco University Press, 2005. 325 pp.
56. Ortega J. M, Rheinboldt W. C. Iterative solution of non-linear equations in several variables. Academic Press. New Yourk , 1970. 288 c.
57. Ortega J. M, Willimas G. Numerical methods for differential equations. Pitman Publishing Inc. , 1981.
58. Prothero A., Robinson A. On the stability and accuracy of one-step methods for solving stiff systems of ODEs, Math. Сотр., Vol. 28, No. 125, Junary 1974, pp. 145-162.
59. Schoenberg I.J. Contributions to the problem of approximation of equidistant date by analytic function // Qaurt. Appl. Math., 1946. Vol. 4. Pt A. P. 45-99; Pt B. P. 112-141.
60. Работы автора по теме диссертации:
61. Бурова И. Г., Хассан ИнаамР. Применение минимальных интерполяционных сплайнов к решению задачи Коши // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1., 2007. Вып. 4. С. 114-117.
62. Бурова И. Г., Хассан Инаам Р. Об оценках погрешностей некоторых одношаговых методов для решения задачи Коши с помощью неполиномиальных сплайнов // Методы вычислений. Вып. 22. СПб.2008. С. 17-26.
63. Хассан Инаам Р. О решении задачи Лотки-Вольтерра // Процессы управления и устойчивость: Тр. 39— й междунар. науч. конф. аспирантов и студентов. СПб., 7-10 апреля 2008 г. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008 (апрель). С. 176-180.
64. Хассан Инаам Р. О решении задачи хищник-жертва // Методы вычислений. Вып. 22. СПб. 2008. С. 145-151.
