Сплайновые методы сглаживания экспериментальных данных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА. I. СГЛАЖИВАЮЩИЕ СПЛАЙНЫ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

§1. Задача сглаживания с ограничениями.

1.1. Постановка задачи.

1.2. О единственности сглаживающего сплайна.

1.3. Аппроксимационные свойства сглаживающих сплайнов.

§2. Построение сглаживающих сплайнов методом штрафов.

2.1. О методе штрафов в задаче сглаживания.

2.2. О скорости сходимости метода штрафов.

2.3. Описание алгоритма.

2.4. Задача сжатия информации.

§3. Задача сглаживания кубическими сплайнами на основе безусловной минимизации.

3.1. Постановка задачи.

3.2. 0 выборе параметров сглаживания.

3.3. Приближенное решение задачи сглаживания

3.4. Запись системы для определения сглаживающего сплайна в терминах3 -сплайнов.

3.5. Еще одно представление алгоритма сгла -живания.

§4. Вариационная интерпретация алгоритма локального сглаживания.

4.1. Алгоритм локального сглаживания.

4.2. Функционал, минимизируемый в процессе локального сглаживания.

4.3. Качественный анализ локального сглаживания.

4.4* Связь задач локального и глобального сглаживания

§5. О краевых условиях в задачах интерполирования и сглаживания кубическими сплайнами.

5.1. Один способ задания краевых условий.

5.2. Об аппроксимации первой производной функции на концах интервала задания.

5.3. Описание алгоритма.

5.4. Краевые условия в задачах локального сглаживания.

ГЛАВА П. СГЛАЖИВАЮЩИЕ СПЛАЙНЫ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.

§1. Задача сглаживания функций двух переменных как задача об условной минимизации выпуклого функционала.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Теорема характеризации.

1.3. О единственности решения.

§2. Задача сглаживания, связанная с безусловной минимизацией выпуклого функционала.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Отыскание решения.

2.3. Запись алгоритма в терминах/3-сплайнов.

2.4. О методе штрафов в задаче условной минимизации.

§3. Вариационная интерпретация алгоритма локального сглаживания функций двух переменных.

3.1. Алгоритм локального сглаживания для случая двух переменных.

3.2. Процесс локального сглаживания - процесс минимизации выпуклого функционала.

§4. Сглаживание кривых и поверхностей.

4.1. Параметрические сглаживающие сплайны

4.2. Метод наименьших квадратов в задаче аппроксимации параметрическими сплайнами.

§5. Задачи геометрического моделирования.

5.1. 0 моделировании объектов сложной геометрии.

5.2. Построение математической модели лопатки ГТД.

5.3. Моделирование поверхностей рабочего колеса циркуляционного насоса.

5.4. Программы сглаживания кривых и поверхностей.

В последнее время широкое применение в задачах вычислительной математики получили сплайны. Хорошие дифференциальные и аппроксимационные свойства, алгоритмичность, простота делают аппарат сплайнов универсальным средством обработки информации на ЭВМ. Экспериментальная информация, носящая дискретный характер (например, значения параметров того или иного процесса в различные моменты времени или дискретноточечное описание геометрической формы объекта), с помощью сплайнов может быть преобразована к непрерывному виду, записана в виде функции, приближенно отражающей реальный процесс. Обратно, любая непрерывная функция может быть приближена с любой наперед заданной точностью сплайном.Здесь уже, в силу того, что для воспроизведения сплайна достаточно хранить лишь его коэффициенты, имеет место переход от непрерывного к дискретному.

Данные экспериментов (в физике, геофизике, медицине, технике, экономике и т.д.) всегда несут в себе погрешность, величина которой во многих случаях может быть оценена - погрешность метода, прибора обычно известна. Интерполяционный сплайн, построенный по таким данным, повторит их ошибки, и, если саму функцию он аппроксимирует, грубо говоря, с погрешностью эксперимента, то об аппроксимации ее производных сказать фактически уже ничего нельзя. Для построения сплайнов, удовлетворительно аппроксимирующих функции, заданные своими значениями с ошибкой, и их производные,целесообразно использовать онлайновые методы сглаживания.

Отметим одну проблему, в которой задачи сглаживания сплайнами играют особую роль. Это проблема генерации и описания форм объектов, имеющих сложные геометрические обводы, с помощью ЭВМ решение которой, как показала практика, возможно только на пути использования сплайнов. К таким объектам относятся корпуса судов, аэродинамические элементы летательных аппаратов, кузова автомобилей, лопасти гидротурбин и т.п. Необходимость моделирования их форм в первую очередь связана с задачами автоматизации проектирования, а также изготовления на станках с ЧПУ их конструктивных элементов, узлов и агрегатов.

Сглаживание, таким образом, во многих случаях выступает как необходимый этап в процессе обработки информации.

Впервые идею сглаживания табличных данных при помощи сплайнов, как и саму идею сплайнов, высказал И.Шенберг [393 в 1946 г. Определив сплайн К -ой степени как функцию, составленную из многочленов А -ой степени, с К-J -ой непрерывной производной, Шенберг для случая равномерной сетки построил базис в пространстве сплайнов, состоящий из финитных сплайн-функций и-(ж) (в последствии названных нормализованными 3 -сплайнами) таких, что и рассмотрел сглаживающий сплайн вида где Zi - значения, подлежащие сглаживанию. Им было показано, что эта формула точна на многочленах первой степени и переводит многочлены К -ой степени в многочлены той же степени.

Важную роль в развитии подходов к сглаживанию с помощью сплайнов сыграло открытое в 1957 г. Дж. Холидеем [35J экстремальное свойство кубических интерполяционных сплайнов. Оно было сформулировано им так: среди всех функций из С^Гя, , интерполирующих данные значения, минимум функционала

JlffalV* а. достигается на кубическом сплайне с т.н. "естественными" краевыми условиями S о 9 £ (4) = о . Это свойство обобщено затем на случай сплайнов произвольной нечетной степени [43], [40].

Опираясь на экстремальное свойство интерполяционных сплайнов, Шенберг в 1964 г. [413 формулирует задачу сглаживания как задачу о минимизации выпуклого функционала. Вслед за Э.Уиттекером [30], [44], который в 1923 г. для сглаживания табличных данных обратился к задаче о минимизации функционала е в/ /=/ где б > О , A - разделенные разности /п -го порядка,

Шенберг рассмотрел функционал

4 2 *

1(f)-a а. где - узлы сетки. Он сформулировал утверждение о том, что решением задачи о минимизации функционала 1(f) на множестве функций с интегрируемым квадратом -ой производной является сплайн степени - / с естественными краевыми условиями и что такой сплайн единствен.

В 1967 г. К.Райнш [37] показал, что для случая кубических сплайнов минимум функционала J(f) отыскивается решением системы Л -го порядка с пятидиагональной матрицей и выписал ее вид.

Задачи сглаживания в подобной постановке изучались также в работах [4], [II], [I4J, [18], [19], [28], [34], [38]. Особо следует отметить монографии П.-Ж.Лорана [18], Ю.С.Завьялова, Б.И.Квасова, В.Л.Мирошниченко [14], В.А.Василенко [4].

Другой подход к проблеме сглаживания с помощью сплайнов связан с задачей о минимизации функционала л при ограничениях Ее решением на множестве функций £] служат также сплайны. Эта задача, называемая ниже задачей сглаживания с ограничениями (или задача о сплайнах в выпуклом множестве), была впервые сформулирована Аттиа [31] в 1967 г. Им же [32] для наиболее общего случая были изучены вопросы существования, единственности, доказаны теоремы характериза-ции. Среди работ, посвященных изучению этой задачи, следует отметить [5J, [7], [I8J. Вопросы численного решения задачи сглаживания с ограничениями рассматривались в [16], [42].

Аппроксимационные свойства сглаживающих сплайнов затрагивались в [5,6], [8,9], [20].

Исследованию экстремальных свойств интерполяционных сплайнов двух переменных, а также вопросам сглаживания функций двух переменных посвящены работы [12-14]. Особо отметим подход, предложенный в [13]. Здесь минимизируемый функционал берется таким, что задача сглаживания функций двух переменных сводится к решению ряда задач сглаживания функций одной переменной (задача с расщеплением).

Предлагаемая работа посвящена вопросам сглаживания экспериментальных данных при помощи кубических сплайнов - наиболее употребительного аппарата, пригодного для решения многих задач науки и техники. Хотя задачи сглаживания кубическими сплайнами сформулированы достаточно давно, свойства их решений изучены недостаточно, а алгоритмы их построения часто носят эвристический характер.

В работе рассмотрены вопросы единственности решений некоторых постановок задач сглаживания, изучены аппроксимацион-ные свойства в задаче сглаживания с ограничениями, дана вариационная интерпретация алгоритма локального сглаживания. Приведены описание и обоснование некоторых новых алгоритмов численного решения задач сглаживания, таких как метод штрафов в задаче сглаживания с ограничениями в случае одной и двух переменных.

Алгоритмы сглаживания, приведенные в диссертации, реализованы в системе АСТРА [3], [15], [23], [24], предназначенной для автоматизации расчетно-конструкторских работ при проектировании объектов сложной геометрии, а также расчета управляющей информации при их изготовлении на станках с ЧПУ. Эффективность алгоритмов демонстрируется на примерах сглаживания поверхностей реальных объектов,таких как поверхности лопатки газотурбинного двигателя (ГТД) и т.п.

В §1 рассматривается задача сглаживания числовых данных У, заданных с погрешностями, не превышающими по абсолютной величине ^ ё О , на сетке Л : 4 < • • • <-*w в как задача о минимизации функционала 4

J(/)=Jl(I) а. при ограничениях

2)

2 Л' . на классе функций Wj /ь] и его подклассах W/[Л, 4] , ь состоящих соответственно из периодических функций и функций таких, что - > - } где Дг > ^ - фиксированные числа.

Известно, что решениями во всех трех случаях являются кубические сплайны из соответствующих классов.

Достаточные условия единственности в классе рассмотрены в [18]. Единственность сглаживающего сплайна произвольной степени для трех типов граничных условий изучалась в [5J.

Формируемые в диссертации достаточные условия единственности в отличие от [5], где рассуждения ведутся в терминах разрывов старших производных сплайна, обладают достаточной наглядностью и могут служить в качестве практических критериев единственности.

ТЕОРЕМА I. Задача минимизации функционала (I) при ограничу» о чениях (2) имеет единственное решение в классе /<2,6], если среди функций, удовлетворяющих (2), не найдется ни одного многочлена нулевой степени, в классе W//^// - ни одного многочлена степени ниже второй и в классе - многочлена степени ниже третьей.

В этом же параграфе исследуются аппроксимационные свойства сглаживающих сплайнов.

Пусть - значения некоторой периодической функции С в узлах равномерной сетки А, заданные приближенно так, что

В [20J показана сходимость первой производной сплайна к первой производной приближаемой функции в норме С[и сходимость второй производной в норме при & О , где

4 /пая: у %-ypz^: с>/ и при некоторых условиях на последова-£ £ тельность сеток. Оценка для нормы разности первых производных, приведенная в [6], носит теоретический характер и может быть уточнена.

Для погрешности аппроксимации самой функции и ее производных сглаживающим сплайном в случае равномерной сетки в работе приводятся оценки

1' - « ir^f^W /* W

J/2 2L3 $(<f-Л) IIeta,*}] - £г >

И f'-S'l * JZT A •£„ где S = /пах: , Л - шаг сетки. Из вида оценки для погрешности аппроксимации первой производной функции следует, что задачи дифференцирования табличнозаданннх функций с использованием сглаживающих сплайнов становится корректной. Действительно, величина /f^ при А-+-О не возрастает.

В §2 рассматривается вопрос об использовании метода штрафов в задаче построения сглаживающих сплайнов: минимизировать F(£) при 1 Zz ^ • • v Ч где fte) -Jf(S)9 Л - (£fj . -JSfo). Впервые такой подход был предложен в [43J. Однако неудачный выбор неизвестных, в качестве которых были взяты величины Л; , /У/,

У (здесь = £ О^г) -т.н. моменты сплайна), привел к системе линейных уравнений -го порядка с матрицей, имеющей шестидиагональную структуру.

Выберем в качестве неизвестных величины . .^ и/^ тогда соответствующая система будет иметь порядок У/ и матрицу с пятидиагональной структурой. Вместо степенной функции штрафа, используемой в [43], целесообразно взять составную полиномиальную функцию типа "срезки"

А/

V(Z) = ^а,), (4) где CZJ = (Л; - Л/- £ - , О - параметр штрафа, что значительно сокращает счет и повышает его точность.

Для случая /)- Л? ^ £>(•**>) - в работе доказана

ТЕОРЕМА 2. Оценка скорости сходимости метода штрафов с функцией штрафа (4) в задаче (3) при достаточно больших имеет вид

5) г где Z* - решение задачи (3), К - константа ( /С зависит

Оценка (5) позволяет указать величину параметра штрафа £ , при которой реализуется решение заданной точности. Приводится алгоритм отыскания сглаживающего сплайна методом штрафов.

§ 3 посвящен задаче сглаживания, связанной с минимизацией функционала

Kfh/l/M* l/fc^-tfj? (6) а. г-г

2 2 где Р->0. Известно, что в классах

W/lфункционал (б) достигает минимума на сплайнах из этих же классов и такие сплайны единственны. Зависимость решения от параметра сглаживания § = J/ - - - - = J// в ^У481® сглаживающего сплайна с естественными краевыми условиями, как показано в работе, устанавливают следующие неравенства справедливое при j < и где ]| J II, - у?) , Ю, /1/ - моменты сплайна, интерполирующего значения ^ о< = = ^ (/9 jt/гА.} р лг£ = (о, . ., o)rf

Неравенства (7) и (8) позволяют указать те у, при которых среднеквадратичное уклонение Z от £° меньше заданной величины.

В этом же параграфе рассматривается вопрос о построении приближенного решения. Кроме того, приводятся еще две формы записи системы для определения сглаживающего сплайна, используемые при построении сглаживающих сплайнов двух переменных.

В §4 рассматриваются вопросы локального сглаживания при помощи кубических сплайнов, получившего в силу простоты реализации широкое применение в практических задачах. Локальное сглаживание состоит в многократном применении формул локальной аппроксимации, в общем случае имеющих вид г где QO*) - кубические 3 -сплайны, а ^ CZ) - некоторые линейные функционалы. В простейшем случае » и формулы (9) совпадают с [391 .При этом (9) точны на многочленах первой степени. При специальном выборе формула (9) точна на многочленах третьей степени.

Для случая периодических краевых условий и равномерной сетки в работе дается вариационная интерпретация алгоритма локального сглаживания. Выписывается вид минимизируемого в процессе локального сглаживания функционала. Также рассматривается вариант локального сглаживания с ограничениями. Устанавливается близость между локальным и глобальным сглаживанием (т.е. подходами, развитыми в §§ 1-3). В работе также показано на примере формул, точных на многочленах первой степени, что в процессе локального сглаживания в первую очередь происходит подавление высокочастотных гармоник - шумов.

В §5 рассматривается вопрос о выборе краевых условий в задачах интерполяции и сглаживания кубическими сплайнами. Предлагается вслед за [45] в краевых соотношениях величины , Jfg выбирать из условий минимума функционалов z'UjVx сю)

2. или

А/

L (и) я/ где % - величины разрывов третьей производной сплайна. При этом изменение характеристик сплайна вблизи его концов приобретает плавный характер. В работе показаны существование и единственность интерполяционных сплайнов с такими краевыми условиями.

Порядок аппроксимации первой производной функции на концах отрезка £&J в задаче интерполяции устанавливает

ТЕОРЕМА 3. Пусть » тогда в случае функционала (10)

IOct*), S-a,*.

Для функционала (II) и fc*) е

I - 4 ос*3)

Здесь же приводится алгоритм построения интерполяционного сплайна с указанным свойством. Даются рекомендации по выбору краевых условий в задачах локального сглаживания.

Во второй главе, состоящей из пяти параграфов, изучаются вопросы, связанные с задачами сглаживания функций двух переменных ^> J) ? ~ Га > £]*[с, </J, приближенно заданных в узлах сетки л - * Л^ , где Л^ : <z - < . . . . . . tjb*0^ величинами

В §1 второй главы рассматривается задача сглаживания в следующей постановке: пусть погрешности задания /сх9^) в узлах Л по абсолютной величине не превышают £ О . Найти функцию, минимизирующую функционал

CL С где <о > О , при ограничениях

I U Су, • • - , и/,/-/-, ./7 . (13)

Известно, что если в качестве допустимых выбрать множество W/'^/S?/ и его подмножества V/z^LQ 1 , являющиеся обобщениями на случай двух переменных множеств — р

Vv£* » то решениями во всех трех случаях будут кубические сплайны двух переменных из этих же множеств.

Пусть Xе - множество сплайнов из

Jp'2[Q] I доставляющих минимум Jf(S) без учета ограничений (13). Точно так же определяются X с W*' IbcJ и уХ с /£>/ . Показано, что если € X » то

5Ж . Также для е X где - постоянные (случай не имеет такой простой интерпретации). Теорема единственности, доказанная в работе, имеет следующую формулировку

ТЕОРЕМА 5. Задача минимизации функционала (12) при огра-нияениях (13) имеет единственное решение в классах W^'l^-й?-/ ,

Wи » если среди функций из этих классов, удовлетворяющих (13), не найдется ни одной, принадлежач/ —> щей соответственно X, X и X.

В §2 рассматривается задача сглаживания, связанная с безусловной минимизацией квадратичного неотрицательного функционала где ^(Х) Дан формулой (12), Qy > & • Известно, что решениями на классах wr/Ql , W/-*IQJ ,Wf-m будут кубические сплайны двух переменных из этих же классов.

Для определения сглаживающего сплайна записывается система относительно неизвестных - SC-z;?jfrимеющая блочно-пятидиагональную матрицу. Для ее решения применяется блочный метод Зейделя. При этом задача размерности At/1 заменяется последовательностью задач размерности At (или /Ч ). Для случая равномерной сетки и периодических краевых условий устанавливается положительная определенность матрицы системы, а следовательно и сходимость метода Зейделя. Даются расчетные формулы для систем относительно неизвестных и - коэффициентов 3 -сплайнов.

В параграфе показывается возможность использования описанного подхода для решения задачи сглаживания функций двух переменных с ограничениями методом штрафов.

§ 3 посвящен рассмотрению задачи локального сглаживания функций двух переменных при помощи формул локальной аппроксимации, точных на многочленах третьей степени. В случае равномерных сеток Лес » Ag и периодических краевых условий показано, что процесс локального сглаживания соответствует минимизации квадратичного неотрицательного функционала методом покоординатного спуска, выписывается его вид.

В §4 второй главы рассматривается вопрос о построении параметрических сглаживающих сплайнов одной и двух переменных. Там же излагается подход к построению эрмитова параметрического кубического сплайна методом наименьших квадратов.

В §5 обсуждается использование алгоритмов сглаживания в задачах моделирования объектов сложной геометрии. В качестве примеров приводятся результаты сглаживания поверхностей лопатки ГТД и лопатки рабочего колеса циркуляционного насоса. Даются краткие характеристики программ, включенных в математическое обеспечение системы АСТРА.

Заключение

В диссертации рассмотрены основные подходы к сглаживанию экспериментальных данных с помощью кубических сплайнов. Исследованы аппроксимационные свойства решений. Обоснованы существующие алгоритмы построения решений, а также предложены некоторые новые.

Основными результатами диссертации являются:

1. Оценка погрешности аппроксимации первой производной функции в равномерной норме, заданной значениями с погрешностями, сплайном - решением задачи сглаживания с ограничениями. Из вида оценки следует корректность задачи численного дифференцирования с помощью сглаживающих сплайнов.

2. Алгоритмы построения решений задач сглаживания с ограничениями в случаях функций одной и двух переменных с использованием метода штрафов. Оценка скорости сходимости метода штрафов в этой задаче (случай одной переменной).

3. Неравенства, устанавливающие зависимость решения задачи сглаживания, связанной с безусловной минимизацией выпуклого функционала, от параметра сглаживания.

4. Вариационная интерпретация алгоритмов локального сглаживания в случае функций одной и двух переменных при помощи формул локальной аппроксимации, точных на многочленах первой и третьей степени.

5. Исследование аппроксимационных свойств краевых соотношений, выбираемых из условий минимума некоторых выпуклых функционалов, в задаче интерполирования кубическими сплайнами.

6. Разработка методики применения алгоритмов сглаживания в задачах моделирования объектов сложной геометрии. Решение ряда практических задач моделирования.

1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. -М.: Мир, 1972. - 316 с.

2. Буренков В.И. О точных постоянных в неравенствах для норм промежуточных производных функций, заданных на отрезке. -Тез. докл. Междунар. конф. по теории приближений функций. Киев, 1983, с. 222.

3. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск: Наука, 1983. - 224 с.

4. Вершинин В. В. О сглаживающих сплайнах и их производных. -Новосибирск; Б.и. 1980. 20 с. -(Препринт/Институт математики СО АН СССР).

5. Вершинин В.В. О производных сглаживающих сплайнов. -В кн.: Методы сплайн-функций (Е&чиелительные системы, вып. 87), Новосибирск, 1981, с. 35-42.

6. Вершинин В.В. О сплайн-отображениях. -В кн.: Метода сплайн-функций (Вычислительные системы, вып. 87), Новосибирск, 1981, с. 35-42.

7. Вершинин В.В., Павлов Н.Н. О приближении производныхс помощью сглаживающих сплайнов. -В кн.: Методы сплайн-функций в численном анализе (Вычислительные системы, вып. 98). Новосибирск, 1983, с. 83-91.

8. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.- 208 с.

9. Гроссман К., Каплан А.А. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации. Новосибирск: Наука, 1981.- 181 с.

10. Завьялов Ю.С. Экстремальное свойство кубических много-звенников и задача сглаживания. -В кн.: Вычислительные системы, Новосибирск, 1970, вып. 42, с. 89-108.

11. Завьялов Ю.С. Экстремальное свойство бикубических многозвенников и задача сглаживания. -В кн.: Вычислительные системы, Новосибирск, 1970, вып. 42, с. 109-158.

12. Завьялов Ю.С., Имамов А. Алгоритм с расщеплением решения задачи сглаживания сплайн-функциями многих переменных. -В кн.: Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1976, 7, № б, с. 52-61.

13. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн-функций. -М.: Наука, 1980. 350 с.

14. Zavjalov Yu.S., Skorospelov V.A., Gamidov Y.M., Pav -lov N.N., Turuk P.A. Adaptive system ASTRA fox geometric information processing. In: Advances in CAD/CAM. Amsterdam a.o., 1982,p.399-W.

15. Ковалков А. В. Об одном алгоритме построения сплайнов с дискретными ограничениями типа неравенств. Новосибирск; Б.и. 1983. - 15 с. - (Препринт/ВЦ СО АН СССР; 385).

16. Ланкастер П. Теория матриц. -М.: Наука, 1982. 269 с.

17. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. -М.: Мир, 1975. 496 с.

18. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1977. 456 с.

19. Морозов В.А. 0 задаче дифференцирования и некоторых алгоритмах приближения экспериментальной информации. -В кн.: Вычислительные методы и программирование. -М., 1970, с. 46-62.

20. Павлов Н.Н., Скороспелов В.А. Аппроксимация поверхностей лопасти гидротурбины. -В кн.: Методы сплайн-функций (Вычислительные системы, вып. 72). Новосибирск, 1977, с. 56-64.

21. Павлов Н.Н. К вопросу об аппроксимации пространственных кривых кубическими параметрическими сплайнами. -В кн.: Методы сплайн-функций (Вычислительные системы, вып. 72). Новосибирск, 1977, с. 45-49.

22. Павлов Н.Н., Скороспелов В.А. Автоматизация расчета управляющих программ для обработки рабочих колес циркуляционных насосов на пятикоординатном станке с ЧПУ. -В кн.: Методы сплайн-функций (Вычислительные системы, вып. 81). Новосибирск, 1979, с. 63-73.

23. Павлов Н.Н., Скороспелов В.А. Моделирование кривых и поверхностей в системе автоматизации геометрических расчетов. -В кн.: Методы сплайн-функций (Вычислительные системы, вып.86). Новосибирск, 1981, с. 44-59.

24. Павлов Н.Н. 0 граничных условиях в задаче сглаживания кубическими сплайнами. -В кн.: Методы сплайн-функций (Вычислительные системы, вып. 97). Новосибирск, 1981, с. 53-61.

25. Павлов Н.Н. Сглаживание кубическими сплайнами и метод штрафов. -В кн.: Методы сплайн-функций (Вычислительные системы, вып. 98). Новосибирск, 1983, с. 92-102.

26. Atteia М. Fonctions-spline avec contraintes lineaires type inegalite, 6e Congres de L'AFIRO, Nancy, mai 1967» 1.42j t1.54.

27. Atteia M. Fonctions-spline definies sur un ensemble convexe. -Numer.Math., 1968, Вd 12, S.192-210.

28. Birkhoff G-., Boor C.de. Error bounds for spline interpolation. -J.Math.and Mech., 1964, v.13, p'. 827-836.

29. Farah J.L. Towards an unified approach to data smoothing. -Lect.Notes Math., 1982, No1.909, p.59-72.

30. Holladay J.C. Smoothest curve approximation. -Math. Tables Aids Computation, 1957, vol.11, No.60, p.233-24-3.

31. Luche Т., Schumaker L.L. Computation of smoothingand interpolating natural splines via local basis. -SIAM , « * < . .

32. J.Numer Anal., 1973, vol.10, No'.6, p.1027-1038.37* Reinch C.H. Smoothing by spline functions. -Numer. Math., 1967, vol.10, N0.3, p.177-183.

33. Reinch C.H. Smoothing by spline functions II. -Numer. Math., 1971, vol.16, No.5, p.451-454.

34. Schoenberg I.J. Contribution to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions. -Quart. Appl.Math., 1946, vol.4, p.45-99.

35. Schoenberg I.J. On best approximation of linear operators. Kon.Neder.Akad.Wetensch., Proceedings, Ser.A, 67 (1964), 155-163.

36. Schoenberg I.J. Spline functions and the problem of graduation. -Eroc.Nat.Acad.Sci., 1964, vol.52, p.947-950.

37. Utreras Florencio I. On computing robust spline and applications. -SIAM J, on Scient.and Stat.Computing, 1981, vol.2, p.153-163.

38. Walsh J.L., Ahlberg J.H., Nilson E.N. Best approximation properties of the spline fit. -J.Math.Mech., 1962, vol.11, Ho.2, p.225-234.

39. Wittaker E.T. ЕгоC.Edinburgh Math.Soc., 1923» vol.41, P.63-75.

40. Young J.D. An optimal cubic spline. -The Logistics Review, 1970, vol.6, N0.29, p.33-37.