Нестационарные аналоги уравнения Себехея для обратных задач механики и их некоторые приложения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

«г -1 9.3,

казахсшГсрдша трудового красного знамени

государственный университет им. АЛЬ-ФАРАЕМ

На правах рух сглаз

• Омаропа Гулькара Тукеновна

НЕСТАЦИОНАИШ АНАЛОГИ УРАДОШИЯ СЕБЕШ ДЛЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ И ИХ НЕКОТОРЫЕ прилотаия

Специальность 01.02.01-творвтичаокая ютхагшм

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-матей&тических наук

АЛМА-АТА' - 1992

Работа выполнена » Астрофизическом институте им.В.Г.Фесан-кога Акадеши-наук Республики Казахстан

Неучшй руководитель - доктор физико-математических наук, профессор В.Г.Демин

Научимй ксисузьтвн? - кандидат физико-математических наук, Т.С.Кожанов.

Офщишыш сткшнгы - доктор физяис-и&тештичесхих наук, • профегсср И.Л.Генхкн,

- дсггтор фкзиао-*;агеиатичесиих наук, прсфгссор АД.Калыбаев.

Ведущая ордошгфм - Институт теоретической астроношш

Российской Академии наук.

Злчата соетшзтск 1993 г. в О часов

>!В весодшии специализированного совета К 05в.01,09 в Казахской госуд&ртсЕнном университете им.Аль-Фароби ' по адресу: 460012« г.А.'ша-Ат*, ул .Масамчи, 39/47, «,уд._

С диссертацией место ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан

Х992 года.

Ученый секретарь специализированного совета а

«ацяидат фкз.-им, каух А.К.Тоыилин

- з • лктеристаял" работу

г. и v« г г!

¡зиалио'

Актуальность тр.уы. Динамическое истслкоссзпа гакснсо Кеплера привело И.Ньютона к постановке исторически пврпоП сбратнсЯ за-

сопор-ают движения согласно законам Киллера. Различии?! обрлтнш задачам механики поов»с;оно бопьпое количество исследований, связанных с имена:«! а.Бертрана, й.Лагралжа, Г.Гальмгольца, У.Гаииль-тона, А.Пуанкпрэ, Э.Картона, О.К.Суслова, И.В.Иукопакего, С.А.Чап-лип'.т, И.В.Мещерского, М.Ш.М/шова, В.к.Сгла, АХ.Г&пиуялша, В.Себехея и других.

И настоящее время.под обратной задачей, в частности, поиилд-¡от следующий круг проблем:

- определение действующих нл механическую систему сил н моментов сил по закону ее движения;

- построение дифференциальных уравнений дри.чения по их первым интегралам и чгети доЯсТяувцих cw.il

- восстановление состаза, структуры, параметров и связей кг-ханической системы по егдадним свойствам ее движения.

Интерес к обратной задаче п указанных се постановках возрос за последние два десятилетия г свят! с интенсивный освоением космического пространства и изучением при помочи искусственниг набес-них тел гравитационных, электромагнитных и других силоэь'х полей Луны, Земли, планет Солнечной система. Так, в частности, в Сойди-; ненных Штатах Америки существует государственная пргремма по изучению гравитационных полей плачет земной группы в связи с проектами посадок космичесних аппаратов на Марс и Взнеру.

В связи с этим особенно важное значение приобрела задача восстановления потенциала по заданному семейству орбит. Для целого ряда исследовоний отправной точкой стала работа В.Себехея, ,

чи механики - о' определении сила, под дай*

которой плзкето ■

ъ которой выведено уравнение в частных производных для потенциала аптоноккоя консервативной система с двумя степенями свободы, совместимого с движением по заданному однопараметрическоцу семейству шюских орбит. Обычно ото уравнение называют уравнением Себехея.

Ьместг с тем в современной механике существуют актуальные задачи , свяоанпныс с необходимостью восстановления нестационарного потенциала по заданному семейству эволюционирующих во времени орбит. В качестве примера можно указать на поиски модельных задач для проблем небесной мезаники тел переменной массы. Б этой связи возникает потребность в получении нестационарных аналогов уравнения Себехпя.

Цель работы. Исследуется задача восстановления нестационарного потенциала по заданному семейству эволюционирующих во времени плоских орбит в некоторых нестационарных задачах механики. Находятся соответствующие, аналоги уравнения Себехея и даются их приложения в виде модельных задач для динамики гравиткрующих систем.

Методы исследования. При получении нестационарных аналогов уравнения Себехея привеняется аналог метода Н.П.Еругина построения дифференциальных уравнении по заданному интегрально^ многообразию, использованный В.Себехеем для получения уравнения в частных производных относительно искомого потенциала.

Научная новизна. Б работе впервые получены нестационарны» аналоги уравнения Себехея для обратных задач механики и даны их приложения в виде модельных задач для динамики гравитирувдих систем.

Научная и практическая ценность. Полученные нестационарные аналоги уравнения Себехея в некоторых задачах механики дают возможность постанавливать нестационарны?. потенциал по заданному од-нопараметрическому семейству эволюционирующих во времени плоских

- ь -

орбит различных типов. Результаты нсследовпния ногут бить использованы в теории орбит искусственник небесных тел, а тгкда служить основой для интерпретации структур!и« и диетических сссбгпасгтеП реально наблвдаемых нестацискарнпх грааитпрукыях систем. "

- нестационарные аналоги ур-.внения Себехея а некоторых ¿ад г-чах иеханкп:, не сбладящих инзегралои ьнергик, но дмускрючах другие интегралы длижения;

- иовуя обоС'^енпуо модель гут ;-вда,*У кз<5*сной 1-зхан:!«я тел пе-ряменнпЗ 1л.ссн, определятся дьагзмю по семейству гпол.^цйс'.г.вруо-щнх кпазжоннческих орбит;

- учет ррг.дения снстгмм кссрдиг.г.т при поссс*иозл-.'!«йд :ист»ипс-нернсго потенциала г.о заданному одаюпар'вгэтрйчмуо:«;.' - у згс-лсцпонйруг!'1их во времени агоокзх орС«т.

/•пробамя ра^отк. Осмоли:,рззульт.гт*: дисее;зддевздоО p.'.Ooru до:<ладисалпсь и одсуздшгс» ка. роллолочу^а У 1.22 '-'о^ду:;хродггсго Астрскотеского Союза no -rev» "Хпос и предсказуемость з механике и гвездчоЯ динашке" (Дйла, Индия., 1990), на й<я:с»мс« совещании "Динампка грзппгируоднх систги ч молоды аидлаткческса нгбееной ягуаники" ^Ллкн-Ата, IS67), на Кпесоюксм гпиецдепк "»¡рай-ламы физики и дккакикн звездных систем" (Таг-ксчг, I'Jb'J), ня. 2-ой Всесоюзной rc-ijsреии::;; "¡Ьихсстесиля грав."£гз::ка* (Ьолгяг^гд, ¡£>J) ка XX Республиканской •.«.»жвуосвако? научно'; млкЬггзшли по ткяв и ячханике IAjw i-Ati} 19b9), ка научных конвенциях Астрофизического института им. Ь.Г.^есвнкова АН РК на научных семинарах лаборатории дикздики граьнтирупиих систем Астрофизического института им.Ц.Г.*а«Н!'Ое& aii Hi (Ajiye-Aia.IOifl-1992), на научном семинара кафедры теоретической рехеиухи Клзах-ского го','ударстреинного Университета. им,Аль-»»ряСи{ Алма-Ате , i'SJ2),

Лиспер'пц." ' наполнилась н рампах tsmu "Усто/чи!;'."-!. и --'юл^

цая создал састяи и их подсистем" и включена в научные плс.тл ла-борсгор.;:: дшшшн грзиигкрукдкх е;:стег.? к ксшзлексниэ научкиа планы Аегсофязичйского клстетута иы.В.Г.С'есенксвй АН РК.

Публитгги» Основное содержали« диссертации опубликовано в ра 6сх:л [I - б].

Обгт,.» истоу;геурл рьбот». Диссертация состоит из введения, че гяаа, оа:;лв«ки,я, списка литература из 03 наименований. Об-щкА сбмм р&богн ьО сураакц.

краиой сщег'лшие Вя ввалстш дан кратхиа сСгор лиюр^гур.ч, обоснована дхтувль-»сгть дисеертацис.'шой р.чбсти, с^рцулироасис цог.ь рг.Осга, нагели кс2;;адо-ч;кия к обг,зя постановка отдачи. 0-лйчсия. ковиапа рабо-г долог«;» о2 ь^тксг сздердакго. !?•:• н> п Г'лдг»-:. яоомдоиа уравксшш Себзхея - линейному уравнена» с чяепш производных псрзого порядка для. потенциала автоьу-гюй кскюрв&ткЕНсй системы с двумя оюпенгчи свобода, порс-г.'д?_г-",{тс садалнс; сдлсш;рм*ехрячсскоь сеуэйетво соп& плос-

ких орби? и ккгг.:;его вид

щ+щ -2(1^} о

-4

где Я ~ постоянная онергик. Здесь и д&лез индексы в правых частях обоэиач&и? д/ффвреа^фовмше частик!.- образом хю прямоугольном координата« А' и у соответственно.

Представлено подробное,изложение уравнения Себех^я, поскольку ыгтод его получения гфнменгн в задачах, исследованных п диссертаций. Кроме того, дай аналитический оО^ор рлбог, в которых обнару-хьиы гз-клые свойства этого урввночиг к предложены его интересные тректосчи. !!ричедр:ш "гимеры применения уравнения СеСехея.

I»»ста»«он»гяиэлогам урл.'»:<!?мч '>-

Ояхея. В то время как уравнение Себехгл полугно па. б.чсо интеграла энергии, обратная ряд™ уяхгшини о восстаяоялтиии потенциала по заданному семеПств.у орбит лрздетлчлле? такяс интерес к для и?~ стационарных зядяч квхеники, как правило, ¡:е обллдагяих иитегсл» лои энергии, но допускштдчх другие интеграли движения.

Показало, что в нестационарной задаче, еодер.'-адей ::н? гграл момента количества деижзния С , восстановление нзетацпонарного потенциала 17=и(х,у 1 { ) по заданному однспаракотрическсцу с®— меЧству//;£/у/0=и=сгя.*£ эволюционирующих во времени плоски'' орбит сводится к линейно^ уравнении в частных производных первого порядна для искомого нестационарного потенциала, которея кмзет вид:

тТ7 /п «г Лх^-2/Ху/%/у +Л»Л

Сг -;- ч-

{т./х 4 у/> )-

+2с с/ *) +У(•£/»»~3х1уу)

*У»*»Л + "£ . (Л/Х*уЛ)г

А у/ху+у2/^ л л

4 Г г/, «Л/ ^ ■

Полученное уравнение можно рассматривать как нестационарный аналог уравнения Себехея. Ь'го реиенке методом характеристик продемонстрировано на семейство эволюционирующих квазиконических орбит.

Мл ее указано на следующее оостоятельство. Эволюция орбит может быть связана не только с нестационарностыо потенциального поля сия, но и с присутствием в задаче днссипативных факторов типа сил трения. В этом слу че полезно с самого начала выделить в уравнениях движения силы трония и поставить задачу восстановления вида потенциального поля сил как составном части силового поля за-

- в -

дачи.

ПскЕ-окао, что б тскоП обобщенной постановке задача восстановления нестационарного потенциала U- ) по заданному однопсфаматрцчзскому сгивйству f(% y,t)»W » ccnst эволюционирующих со врек-ии плоских орбит saicso соодится к линейному уравнению в частных производных нерпого порядка для искомого нестационарного потенциала. В отличиз о? предыдущего уравнения оно построено на базе интеграла вида

е:-с р (-J oíd) el íj (% i - ух) = Const }

где uC—cCft) - взлсч;ша, у о'цеч случае завксадая от

врашн к характеризующая собой действие дополнительных сил типа хрвкия. Таким сорЁЗи:,'., получай eqc ода! нзетационариий аналог ура.-снашя Себохвя.

Трегья рл.-.яа поезяцена ойраиша оадьчаа н&босной механики •»•з* взр&етэяй г/ассы.

Как у:-с. от^вчадось виги, в совраменнои квханнхэ существуют un задачи, еоизаинче с нсоЗходи-остью ьсссъ-аноелвния нз-syfet7.otap:<»i,o nc?c-u¡y.<ua по заданному сокейстеу оволкциошфукгдах ;:s ррс>и*>ш üpíu?. Mü-üi'i у.чагыь, »¡шф'/мьр, на поиски ыоцеьных за-Д8Я мя пр&Зд« HsSseHof; мохглнки i-ел nspsKdhKOíi массы. Су^ест-1*уа? цолкй pj-д кидЕгънкх ьздач, псвольауышх в качьствв проьлку-дииякка. Тпк, хсраяо извести апериодическое движение по воиичагкску сечсшя, а также модельные схемы. оснеженные на спи-р&зе&ИА»;;л: траекториях. 1)ти мод&лшнг задачи построены путем простого подбор».. >.ЖДЫХ добавочных сил достаточно простой функциональной структуры к иыптонопсчпму п;тиуачегч-тыи! дгух тел пвре-иакт',' vr.eeи.

Однако поиск подобного рода нодэльннх задач более последователен и прздлочтитолен с точки зрения постановки соответотвуд-щнх обратных задач небесной механики.

На основе аналога уравнения Себехе«. з обобщенной нестационарной задаче с добавочной силой трения получена новая обобц'-н-кап модельная задача, описываемая уравнением вида

Г = _ 7 ыг- -Г + Ц^—^ ) г

р гъ ^ ре р с г 1

где 7" - относительный радиус-вектор ггл'ориально.Ч ясчк», '( - некоторая достаточно произвольная Фуинцяя ьрек'.-нк. Здесь ьведя-ны обозначения

С-Ск)-йг>*£-г* ■7 2Уг \

и > 1 е * " и 'ее-! '

Г' '[ _ С^ _ 2_/ _ 2 и ё _ л е ,

/ - ^ + е. в г4-

Движение в эамкях этой аздачи происходит по семе?стпу гв<5д*вио-ннруг-дих кеазикснических орбит

I (г, % {.)' г 1 ~у») - сак и,

где рt\i) - постоянные задачи» характеризующие размера и ориентацию орбиты в нзизмзняомой плоскости, - ово-

лкционируйщкй эксцентриситет, характеризующий изменение Форш орбиту со времэнем.

Показано, что предложенная новая обобщенная модельная задача содержит в себе как частные случаи выссуказанные известные модельные задачи.

В четвертой главе рассмотрена задача восстановления нестационарного потенциала XJ= JJ(У-,У/i ) по заданному однопгфймзт-рическсму семейстиу fix v~i)='V.^con5t -эволюционируЕЦИх во вреыо-н>т плоских орбит во вращающейся с постоянной угловой скорость» системе координат. Решен частный случай обратной задачи. Показано, что если искомый потенциал допускает интеграл вида

X У - УХ -*-С0(%г-*-уг) =&. - const,

где сд - модуль угловой скорости сражения, посто-

янная интегрирования, то ота задача сводится к линейному уравнению в частных производных первого порядка для искомого потенциала, которое также можно рассматривать как нестационарный аналог уравнения Себехея.

На основе полученного уравнения найден нестационарннГ! потенциал вращающегося звездного бара г его экваториальной плоскости по заданному семейству эволюционирующих во времени петлеобразных орбит в форме "вссьмярок".

р заключении приведены основные результата и выгоды, полученные в диссертации:

- II -

1. Получены аналоги уравнения Сабзкея в nstiOTcpux нвстгиио-нарных задачах меха wie«, uo обладающих интегралом энергии, но до-пусказдих другие интеграла двкмгнил.

2. Продемонстрировало регтанин аналога ур-жпппя Собйхея. ч нестационарной задача, обяадшщвЯ интегрален mommwa количества движения, на секайсиа эсолкц«ошфуч':;!пс-«Е?.зйист:чеснах opíar.

3. На оснопв аналога урягие^.^я «ioS»>xi»a 'я •ctffifovsjniOil псстационарной задаче, с добавочной -сихсЯ <?*rsinin по.'.Т^на новая обобщенная модельная задача.кавзспсЯ '"эл пзретно.1 юсси, опр-1Двлягю.ап дпккпш'.з .no .с-майсму апелацнокируп::;::« КЕчзшсоии-ческих орЗцт. Прздлсзенкая «/здс-'аи&п з.-.дача. созгрхкт s сабе ув-л частниа случая та?г:э ûîciscïii-fj задач:* ьак аясриездчйо-ясз дакяснге по •хиаг-сг.ясчу .я:,г.гниэ» \ iwta иэдолъню сх-ши, оз-•иоводаув .»а.cnt«prjrf.3:«i»:a -?рздк?орипх.

л. jv.2-" гр№,!г;:пя ciictwj ;гоорд5'ч-.т при зосетаиаалз~

нии •HecTMÇicr.f.vusre потенциала по заданному однепйрпмзтричгеиему свойству ээшкзгштруткда оо зрзкгни плоских орби?» tí результате получено лянвй'.юа ур*ы'?.н'.:п в час?!:;« произведших перг.сга порядка, для искомого нестационарного потенциала, кстероз тап*:-» »ото раз- ' склтрквать как нэсгациояарний аналог уравнения Сейехзл.

Ь. На основе нв«йцисн>.рного ви&ясг» уравнекйл Сабвхяд, полученного во вргцчвя'ейся сисикэ координат, ¡:c?.:*4í пегзнцизл вручающегося зваэдного Сара в fro экваториальной пяосисоги по падай -ноцу сензйстпу зволгциоиирущнх петлгобразных opS-.í в феруз "soot ■ ыерок".

-Ii -

Овпоыиз результата диссвртыр-ш спублкковии в р&ботсх:

, I. Омзрепа Г.Т., Котиков Т.С, К спрзд-элениэ потенциала врс-с£&;:п:ея пирэьдкек гяласткз // Слопшк АН ifoeCCP. Алма-Ата. 1987,

У 3.

2. Cj-арова Г .Т., Когса-гов Т.С. К ураыкмша Себахек для нвота-

scAa'î къо'зслсЯ у'-хьникк ц гзаэдкэЯ дж?хлки // В кн.: бг соголанозмтолыаг: гравитарукд:»: оиотак". Ата. 1с с,100-105.

3. Ксг.с.кса Т.С,, Оилгавс, Г«Т. Ci одной чг.стпо.1 орбите звезд s цогащаалаису пело ÍLyeTcpt // Могсмятаха и ысхснлка. Тезиса докладе:; IX ?оепу0лш»:с".о?. кжзугоискоГ; клучноя гоь^зрат^ш по мз.-rswr.-as,? ï; кохьдше. Ллк.г-Д'/а. 1У8Э. Ч.Ш. С.26.

4. (&:,,роЕ£. Г.Т. К обратной задаче Дг.лпса // Н&гвркаки 2-й r.ccöoaiuoü Kc::í3poKa:iü по кьпеешкекоятргок<-из:сю. Волгоград, ШЭ. С.&Х. '

б. Qt-'ïr.-эьи Г.Т, h çecpiKt созцучс-ьного деихснпя звездаого сара И В kh.î "Вопроси нзбаенос иеханлки к звездной динг^жп". Алкала. 1950, С Í6-49. ' '

б. Кскйлоо T.Ü.," Сьарозь Г.Т, 0 пстенцн-ик оггцйонарних звег-ískks са-пйк и изесотик ш кдзсср. ад^а-ата. 1920,