Математическое моделирование кинематических свойств и управление динамикой систем с программными связями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ИБУШЕВА ОЛЕСЯ ВЛАДИМИРОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕМАТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ И УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИКОЙ СИСТЕМ С ПРОГРАММНЫМИ СВЯЗЯМИ

01 02 01 - теоретическая механика

оиз473233

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2009

003479233

Работа выполнена в Нижнекамском химико-технологическом институте (филиал государственного образовательного учреждения высшего профессиональног образования «Казанский государственный технологический университет»

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Мухарлямов Роберт Гарабшевич

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Савчин Владимир Михайлович

доктор физико-математических наук Матюхин Владимир Иванович

Ведущая организация

государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (государственный технический университет)», г Москв

Защита диссертации состоится «» Оогг^^и^. 2009 г в « /Ус» часов на заседани диссертационного совета Д 212 203 34 в Российском университете дружбы народов п адресу

117923, г Москва, ул Орджоникидзе, д 3,зал№ 1

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университ дружбы народов (117198, г Москва, ул Миклухо-Маклая, д 6)

Автореферат разослан « »^^аугплЯ^^С 2009 г Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212 203 34 кандидат физико-математических наук, доцент

Будочкина С А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Широкое внедрение робототехники в различные отрасли ауки и производства, развитие космических технологий, транспортных систем и их именение в быту объясняет интерес исследователей к задачам управления движением еханических систем К моделям управляемых механических систем можно отнести боты-манипуляторы, мобильные роботы, космические объекты и т п Большинство зникающих задач исследования механических систем можно свести к двум аимосвязанным научным проблемам - моделированию кинематики и динамики систем управлению их движением Основные результаты исследований по моделированию оцессов кинематики и динамики механических систем относятся к голономным и голономным системам, описываемым уравнениями Лагранжа второго рода

Задачами управления движением механических систем посвящено множество бот Особое место среди них занимают исследования ученых А С Галиуллина, И Зубова, Г В Коренева, П Д Крутько, И А Мухаметзянова, Р Г Мухарлямова, В Румянцева и др

Вопросы моделирования кинематики и динамики управляемых механических стем являются достаточно актуальными, но недостаточно изученными Так, например, я программирования движения управляемых механических систем эффективно пользуется решение обратной задачи качественной теории дифференциальных авнений В частности, применение метода построения автономной системы фференциальных уравнений по заданному распределению фазовых траекторий на оскости позволяет получить уравнения неголономных связей, описывающих нематические свойства плоской стационарной системы Недостаточное внимание елено задаче моделирования кинематики нестационарных систем

Обратная задача качественной теории неавтономных систем дифференциальных авнений, исследованию которой посвящена первая глава работы, по существу является вой Да и случай автономной системы подробно исследован в случае интегральных ивых, заданных алгебраическими уравнениями Предложенная в данной работе нструкция неавтономной системы дифференциальных уравнений в многомерном остранстве, полученная из условия устойчивости заданного интегрального огообразия, помогает найти решение задачи моделирования кинематических свойств стационарных систем \

J

В последнее время интенсивно развиваются методы автоматизации составления решения уравнений движения Удобные для автоматизации формы записи уравнени движения могут быть получены при использовании методов и принципов теоретическо механики Вариационные принципы механики и связанные с ними комплекс физически идей и математических методов имеют активное значение как в теоретической механик так и в различных научных и технических проблемах При создании методо автоматизированного моделирования динамики широкое распространение получил методы построения уравнений движения в форме Лагранжа, основанные н вариационном принципе Даламбера-Лагранжа Для исследования задачи управлени динамикой обычно используются не только уравнения в форме Лагранжа, а такж уравнения в форме Гамильтона в канонических переменных Канонические уравнени динамики позволяют представить уравнения второго порядка системой уравнени первого порядка, разрешенных относительно производных Разработанны аналитический метод построения уравнений движения в обобщенных координатах и канонических переменных на основе интегрального вариационного принцип Гамильтона-Остроградского удобен для решения задач автоматизации управлени динамикой систем с программными связями Актуальность предложенных методо обусловлена также тем, что они применимы к широкому классу систем

Цель диссертационной работы.

1 Разработать метод построения уравнений нестационарных неголономных связе! описывающих заданные кинематические свойства механической системы

2 Построить уравнения динамики систем с программными связями в форме Лагранж Гамильтона на основе интегрального вариационного принципа Гамильтон Остроградского

3 Разработать алгоритм определения управляющих воздействий на механическу систему, обеспечивающих стабилизацию связей

4 Построить математические модели манипуляционной и транспортной систем, использованием разработанных методов

5 Решить задачу управления движением мобильного робота с обходом подвижны препятствий

Методы исследования. В диссертации использовались такие классические методы сследования как анализ, синтез, обобщение, аналогия, а также методы классической и налитической механики, методы качественной теории дифференциальных уравнений, гории устойчивости движения, численные методы и методы компьютерной алгебры

Научная новизна. Разработан метод построения неавтономной системы ифференциальных уравнений с заданными свойствами решений Определена онструкция неавтономной системы из условия устойчивости ее решений по отношению множествам решений Разработан метод построения уравнений динамики в форме агранжа, Гамильтона для систем с голономными и неголономными программными ¡язями, используя интегральный вариационный принцип Гамильтона-Остроградского пределены условия стабилизации связей, определяющих программное движение еханической системы Разработан метод определения управляющих воздействий на еханическую манипуляционную систему, обеспечивающих устойчивость программного вижения Разработан алгоритм моделирования управляемого мобильного робота, беспечивающий устойчивость численного решения уравнений динамики Решена задача правления движением мобильного робота с обходом подвижных препятствий

Достоверность результатов. Достоверность полученных в диссертации езультатов основана на строгих математических доказательствах

Практическая значимость. Результаты диссертационной работы могут быть спользованы при исследовании устойчивости движения несвободных механических стем аналитическими и численными методами, в механике управляемого движения, ри решении задач управления роботами-манипуляторами, мобильными роботами, анспортными и космическими системами

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на ХЫН - ХЬУ Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии (Москва, Российский университет дружбы народов, 2007-2009 г г),

на VI молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения-2007" (Казань, Казанский государственный университет, 2007 г),

на заседании восьмого Всероссийского семинара по аналитической механике, устойчивости и управлению движением (Казань, Казанский государственный технический университет им А Н Туполева, 2008 г),

- на Всероссийской научно-практической конференции «Инновации и высоки технологии XXI века» (Нижнекамск, Нижнекамский химико-технологически институт, 2009 г)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах И них 3 статьи, 10 публикаций в материалах конференций Одна работа [6] опубликована журнале, входящем в Перечень рецензируемых научных журналов и изданий ВАК

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех гла] заключения и списка цитированной литературы Объем диссертационной работ составляет 114 страниц, работа содержит 24 рисунка, список литературы насчитывае 101 наименование

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбора темы, приводится сжатый обзо литературы, относящейся к теме диссертации Формулируются цель работы, отмечаете ее научная новизна и практическая значимость Кратко излагается содержани диссертации по главам, и приводятся основные результаты, полученные в работе

Первая глава посвящена задаче моделирования кинематических свойств системы В §1 вводятся основные понятия и определения, при помощи которых проводятс исследования по теме диссертации

В §2 определяется структура множества неавтономных систем дифференциальны уравнений

щ а/

dt 8xt i=Jtl дхк j

ax j dt

ГГ> 7 = 1,2, ,n, (1

'K.

dxk

s

имеющих заданные функции f,(x,t) (/ = 1,2, ,г) своими частными интегралам! Предполагается, что при любом t функции ft(x,t) всюду в области G непрерывны

обладают непрерывными частными производными (j = 1,2, ,и), Т

8Xj dt j=i

df,

V ' ^

B(1

0(х,{) - произвольная непрерывная функция, - непрерывные функцш

обращающиеся в нуль вдоль многообразия (1) и определенные в виде

/>,М=рМ//; лЕ/оУ; л/— (2)

1 V*=1

= /о/, fpfp* 1 fqfq+l frfrA > где /„ = 1, /„, = 1, функции ¿CM) (j = 1,2, ,/?) допускают есконечно малый высший предел Уравнения f,(x,t) = 0 при / = р + 1,р + 2, ,q оответствуют «перемещающимся» поверхностям, имеющим общие части M(t) редполагается, что многообразие Л/(<) обладает компактной окрестностью при всех >10 Равенства fw(x,t) = 0 при w = q + \,q + 2, ,г разделяют области, заполненные оверхностями разных типов «Подвижные» поверхности, определяемые уравнениями w(x,t) = 0, не имеют общих точек с поверхностями fs(x,t) = 0 и многообразием M{t)

В §3 определены условия устойчивости интегральных многообразий, на основе оторых строятся системы дифференциальных уравнений (1), показано, что выбором ункции P(x,t), Q(x,t) и коэффициентов a'*' (j,k = 1,2, ,n,h = 1,2, ,д) в выражении (2) ожно добиться выполнения условий устойчивости или неустойчивости интегральных оверхностей fs(x,t) = 0 и многообразия M(t) Для определения условий устойчивости, симптотической устойчивости и неустойчивости интегрального многообразия спользуется метод функций Ляпунова

§4 посвящен решению задачи построения системы дифференциальных уравнений с энными свойствами решений на плоскости из условия устойчивости этих решений ассматриваются некоторые примеры моделирования кинематических свойств инамических систем

Во второй главе рассматривается задача моделирования динамики управляемых еханических систем с программными связями Предлагается метод построения системы ифференциальных уравнений, описывающей динамику расширенной механической стемы, фазовое состояние которой определяется векторами обобщенных координат

= (?,). y = И скоростей q = {qX у = {у„), / = (?;), J = 1'2' '

= 1,2, ,т„ o = ,т2 Предполагается, что известны кинетическая энергия асширенной системы Т = T(y,y,y',q,q), потенциальная энергия Р = P(y,q,t), иссипативная функция D = D(y,y,y',q,q,t) Силы Rj соответствуют координатам q] и

рассматриваются как управляющие силы, обеспечивающие выполнение уравнени программных связей

Ф(9.0 = ЯО, Ф = (<0- А = и ,и„ (3

Ф,?+Ф,=.К0, ф,=

, Ф,=|^|.У = и, ,«, (4

Ч'(?,?.0 = У(0, 7 = 1,2, (5

Компоненты векторов избыточных переменных у,у,У, оценивающие отклонения о уравнений связей, наложенных на обобщенные координаты qJ и скорости q] исходно системы, должны удовлетворять дифференциальным уравнениям возмущений связей разрешенных относительно старших производных,

= = Ну,у,у',я,я,О, (6

ш а!

g(0, О, 0, ц, ч, I) = О, /¡(О, 0, 0, <7, д, /) = О

Уравнения (6) составляются таким образом, чтобы обеспечить асимптотическу устойчивость и стабилизацию связей

Для описания неголономных связей исходной системы Ч'(с1,с/,1) = О используютс уравнения, составленные в соответствии со структурой (1)

В §1 разрабатывается метод построения уравнений динамики несвободны механических систем в форме Лагранжа на основе интегрального вариационног принципа Гамильтона-Остроградского

\$г+стак\и = о, (7

'о

= (8 ох дх

дд дд 8: дг \у)

б = б(?,9,0 - вектор обобщенных непотенциальных внешних сил, й = - векто

управляющих сил

Интегрируя по частям второе слагаемое выражения (8) с учетом равенст

&(/„) = &(/,) = О и & = — &, выражение (7) можно представить в виде Л

ч

= 0 (10)

десь ^ = F'),

=-—- — +—+--<2 г1 =-—-—+—+— (11)

Л дд дд Эд Э^ ' Л д: 8: д: д:

Если вариации избыточных переменных определяются из уравнений (3)-(5) по равилу

ет&,=&, 0=^ (12)

о возможные перемещения исходной системы должны быть определены решением истемы т, +т2 линейных алгебраических уравнений (12) относительно п неизвестных

Следуя основной лемме вариационного исчисления, с учетом общего решения равнения (12) и выражения элементарной работы обобщенных управляющих сил в лучае идеальных связей условие (10) выполняется только тогда, когда справедливы авенства

¿"'=0% Fг = о, (13)

де Я = (лил2, ,Лщ.т>) - вектор произвольных множителей Тогда, используя принятые бозначения (9) и (11), выражения (13) можно представить в следующем виде

+ + (14)

Л дд 8д дд дд

а дТ дТ дР дО .

----+ — + — = 0, (15)

Ж ду ду ду ду

Щ+Щ=0 (16)

Л ду ду

Далее определяются выражения компонент вектора множителей Я путем ифференцирования уравнений (4), (5) с учетом уравнений (14)-(16), разрешенных тносительно старших производных

В §2 излагается метод построения уравнений динамики систем с программными вязями (3)-(5) в форме Гамильтона Канонические уравнения динамики позволяют редставить уравнения второго порядка системой уравнений первого порядка, азрешенных относительно производных

дЬ 51 дЬ - й где р =—, х =—, г =--векторы обобщенных импульсов,

дд 8у 8у

ЦУ,У,У\<1,<1>0 = Т(У,У,У',Ч,Я)-Р(У,Ч,0 ~ функция Лагранжа, Гамильтона

Разрабатывается алгоритм определения выражения вектора управляющих си й = &тX, действующих на систему с целью обеспечения стабилизации связей, наложенны на исходную систему

§3 посвящен построению уравнений динамики манипулятора в обобщенных канонических координатах и решению задачи управления движением в соответствии заданными уравнениями программных связей

В §4 этой главы определяются условия устойчивости программного движения Дл исследования условий устойчивости строится функция Ляпунова, которая включае уравнения возмущений связей Производная функции Ляпунова приводится к виду, д которого необходимо определить условия знакоопределенности Подбирая правые част! уравнений возмущений связей, можно добиться выполнения условий асимптотическо! устойчивости динамики систем

В третьей главе формулируется и решается задача управления движение мобильного робота с обходом подвижных препятствий, используя разработанные предыдущих главах методы Шасси робота моделируется трехколесной системой управление которой осуществляется моментами, приложенными к колесам задней оси I к рулевому приводу

В § 1 составляются кинематические уравнения движения по заданной траектории помощью метода построения неавтономной системы дифференциальных уравнений п заданным частным интегралам, изложенного в первой главе Полученны кинематические уравнения движения задают уравнения неголономных связей

В § 2 моделируется динамика шасси мобильного робота уравнениями Воронца, оторые обеспечивают устойчивость программного движения, определенного равнениями голономных и неголономных связей Для стабилизации связей вводятся равнения программных связей

Далее в § 3 определяются аналитические выражения управляющих сил, ействующих на систему с целью обеспечения движения мобильного робота в оответствии с заданной программой

Определение выражений управляющих моментов и построение системы ифференциальных уравнений динамики системы проводилось с помощью средств налитических вычислений программного пакета Maple Решение системы ифференциальных уравнений было получено численным методом при заданных в § 4 ачальных условиях

Представленные в § 5 результаты численных экспериментов позволяют сделать ыводы об эффективности применяемых методов На рис 1 представлена траектория вижения изображающей точки системы с обходом движущихся навстречу друг другу репятствий, полученная в результате решения уравнений динамики при заданных ачальных условиях На рис 2-5 представлены графики отклонений от уравнений связей

Рис. 2

Рис. 3

0,5 0

-0,5 -I

-2 -2.5 •3

т

/

Рис. 4

Рис. 5

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1 Определена структура множества неавтономных систем дифференциальны уравнений, имеющих заданные интегральные многообразия, и сформулировань условия устойчивости этих многообразий

2 Разработан метод построения уравнений нестационарных неголономных связей описывающих заданные кинематические свойства механической системы

3 Разработан метод построения уравнений динамики систем с программными связями форме Лагранжа, Гамильтона на основе интегрального вариационного принцип Гам ильтона-Острогр адского

4 Сформулированы условия устойчивости многообразия, определяемого уравнениям голономных и неголономных связей

5 Разработан алгоритм определения управляющих воздействий на механическу систему, обеспечивающих стабилизацию связей

6 Решена задача управления движением манипуляционной системы в соответствии заданной программой

7 Разработана математическая модель динамики управляемого мобильного робота

8 Проведен численный эксперимент решения задачи управления движением шасс мобильного робота с обходом подвижных препятствий

ПУБЛИКАЦИИ ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Ибушева, О В Программирование движения управляемых механических систем / О В Ибушева, Р Г Мухарлямов // Тезисы докладов XLI Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии - M Изд-во РУДН, 2005 -С 41-42

Ибушева, О В Обратные задачи качественной теории дифференциальных уравнений нестационарных систем / О В Ибушева // Тезисы докладов XLII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии - M Изд-во РУДН, 2006 -С 64

Ибушева, OB О построении системы дифференциальных уравнений по заданным интегралам / О В Ибушева // Тезисы докладов XLII1 Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии - M Изд-во РУДН, 2007 -С 21

Ибушева, О В О построении неавтономной системы дифференциальных уравнений, имеющей заданное интегральное многообразие / О В Ибушева // Актуальные проблемы современной науки Труды 3-го Международного форума (8-ой международной конференции молодых ученых и студентов) - Самара Изд-во СамГТУ, 2007 - С 33-36

Ибушева, О В Определение структуры нестационарных систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные частные интегралы / О В Ибушева // Материалы Шестой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2007» -Казань Издательство Казанского математического общества Казан гос ун-та, 2007 -С 88-90

Ибушева, О В О построении неавтономной системы дифференциальных уравнений по заданной совокупности частных интегралов / О В Ибушева // Вестник РУДН, сер Математика Информатика Физика -2008 -№1 -С 5-11 Ибушева, OB О построении уравнений динамики механических систем с программными связями / О В Ибушева // Тезисы докладов XLIV Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии - M Изд-во РУДН, 2008 - С 29-30

8 Ибушева, OB О построении уравнений программного движения механически систем / О В Ибушева // Устойчивость и колебания нелинейных систем управлени Тезисы докладов X Международного семинара - М Изд-во ИПУ РАН, 2008 С 117-119

9 Ибушева, О В Построение неавтономной системы дифференциальных уравнений п заданной совокупности частных интегралов в многомерном пространстве О В Ибушева, Р Г Мухарлямов // Учен зап Казан ун-та Сер Физ -матем науки

2008 -Т 150 -Кн 3 -С 133-139

10 Ибушева, О В О построении уравнений динамики систем с программными связями форме Гамильтона / О В Ибушева // Материалы Всероссийского семинара п аналитической механике, устойчивости и управлению движением - Казань КГТ им АН Туполева,2008 -С 124-125

11 Ибушева, О В Математическое моделирование динамики механических систем заданными кинематическими свойствами / О В Ибушева // Материал Всероссийской научно-практической конференции «Инновации и высокие технологи XXI века» - Нижнекамск Нижнекамский химико-технологический институ (филиал) КГТУ, 2009 - Т 1 -С 174-178

12 Ибушева, О В Управление движением колесной системы с обходом препятствий О В Ибушева // Тезисы докладов XLV Всероссийской конференции по проблема.\ математики, информатики, физики и химии -М Изд-во РУДН, 2009 -С 71-72

13 Ибушева, О В Построение уравнений динамики систем с программными связями канонических переменных / О В Ибушева // Вестник КГТУ им А Н Туполева

2009 - № 2 - С 67-70

Ибушева Олеся Владимировна «Математическое моделирование кинематических свойств и управление динамикой систем с программными связями»

Разрабатывается метод построения уравнений нестационарных неголономных связей, описывающих заданные кинематические свойства механической системы Составляются уравнения динамики систем с программными связями в форме уравнений Лагранжа, Гамильтона на основе интегрального вариационного принципа Гамильтона-Остроградского Формулируются условия устойчивости многообразия, определяемого уравнениями голономных и неголономных связей Применяются предлагаемые методы моделирования кинематики и динамики к решению задач управления движением манипуляционных систем, мобильных роботов

Ibusheva Olesya Vladimirovna «Mathematical modeling of kinematic properties and control of dynamics of systems with program constraints»

The construction method of the nonstationary nonholonomic constraints equations describing given kinematic properties of the mechanical system is developed The Lagrangian and Hamiltonian equations of the dynamics of systems with program constraints based on Gamilton-Ostrogradsky's principle are obtained The stability conditions of the variety defined by the holonomic and nonholonomic equations are formulated Suggested methods of kinematics and dynamics modeling are applied to the solution of control problems of manipulating systems and mobile robots motion

Отпечатано в типографии ООО «Гипрософт» г Москва, Ленинский пр-т, д 37А Тираж 100 экз

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ

КИНЕМАТИКИ.

§ 1. Кинематические соотношения и уравнения связей.

§2. Определение структуры множества систем дифференциальных уравнений по заданным интегральным многообразиям.

§3. Устойчивость интегрального многообразия.

3.1. Основные определения.

3.2. Определение условий устойчивости интегрального многообразия.

§4. Построение системы дифференциальных уравнений по заданным частным интегралам на плоскости.

ГЛАВА II. УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИКОЙ СИСТЕМ С

ПРОГРАММНЫМИ СВЯЗЯМИ.

§ 1. Уравнения динамики в форме Лагранжа.

1.1. Построение уравнений динамики механических систем.

1.2. Определение множителей Лагранжа.

§2. Уравнения динамики в форме Гамильтона.

2.1. Построение уравнений динамики в канонических переменных.

2.2. Определение управляющих воздействий.

§3. Управление динамикой манипуляционной системы с заданными кинематическими свойствами.

3.1. Уравнения динамики манипулятора в форме Лагранжа.

3.2. Уравнения динамики манипулятора в канонических переменных.

§4. Определение условий устойчивости программного движения.

ГЛАВА III. УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ МОБИЛЬНОГО

РОБОТА С ОБХОДОМ ПРЕПЯТСТВИЙ.

§ 1. Кинематические уравнения движения по заданной траектории.

§ 2. Уравнения динамики шасси мобильного робота.

§ 3. Определение вектора управляющих воздействий.

§ 4. Решение системы дифференциальных уравнений динамики.

§ 5. Результаты численных экспериментов.

Широкое внедрение робототехники в различные отрасли науки и производства, развитие космических технологий, транспортных систем и их применение в быту объясняет интерес исследователей к задачам управления движением механических систем. К моделям управляемых механических систем можно отнести роботы-манипуляторы [75, 91], мобильные роботы [44, 94], космические объекты [18] и т.п. Одним из эффективных методов исследования таких систем является математическое моделирование.

В настоящее время никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Это связано с большими успехами в применении и признании метода математического моделирования во всех отраслях современной науки и техники. В работе Б. Я. Советова и С. А. Яковлева [84] под математическим моделированием понимается процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. А. А. Самарский отмечает незаменимость математического моделирования для решения важнейших проблем научно-технического и социально-экономического прогресса, подчеркивает значение математического моделирования как методологии разработки наукоемких технологий и изделий. В работе [80] дается определение математической модели как «эквивалента» объекта, отражающего в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, итак далее.

Большинство возникающих задач исследования механических систем можно свести к двум взаимосвязанным научным проблемам — моделированию кинематики и динамики систем и управлению их движением. Основные результаты исследований по моделированию- процессов кинематики и динамики механических систем относятся, к голономным и неголономным системам, описываемым уравнениями Лагранжа второго рода. Основные виды дифференциальных уравнений динамики неголономных систем были получены в работах [5, 14, 73, 90]. Задачам управления движением механической системы посвящено множество работ, особое (место среди которых занимают исследования ученых А. С. Галиуллина, В. И. Зубова, П. Д. Крутько, И. А. Мухаметзянова, Р. Г. Мухарлямова и др. [1, 7, 19, 31, 33, 38, 50, 66, 67, 100]. Методы построения уравнений движения управляемых механических систем изложены в [91, 93, 95]. Исследованию динамики управляемых систем, программа движения которых задается неголономными связями, посвящены работы [25, 64, 69, 99, 101].

Уравнения динамики механической системы описывают все действительные движения этой системы, не выделяя при этом непосредственно устойчивые или неустойчивые. В связи с этим в аналитической динамике появилось новое направление исследований, а именно: установление устойчивости или- неустойчивости того или иного движения механической системы и построение устойчивых механических систем. Такого рода исследованиями занимались многие механики и математики всего мира. Трудами Н. Е. Жуковского, А. М: Ляпунова, А. Пуанкаре были созданы основные методы современной теории устойчивости [40, 45, 96]. Рассмотренные В. И. Зубовым [32, 34] методы решения проблемы устойчивости управляемого движения основаны на использовании динамических и кинематических характеристик управляемых механических систем. Эти методы применяются, в частности, для решения проблемы устойчивости многообразий. Теория устойчивости неголономных систем рассматривается в работе Ю. И. Неймарка и Н. А. Фуфаева [73]. В работе А. С. Галиуллина [15] приведены возможные постановки задач по исследованию устойчивости движения механических систем, изложены основы метода характеристичных чисел и метода функций Ляпунова, рассмотрены-приемы аналитическогопостроения устойчивых систем.

Созданный' первоначально как метод анализа устойчивости движения систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, метод функций Ляпунова нашел затем* более обширную сферу применения. В настоящее время» он является основным строгим методом* анализа разнообразных динамических свойств нелинейных систем самой различной природы и формы описания: При этом наряду с вопросами качественного исследования, имеющими целью установление условий наличия или отсутствия изучаемого динамического свойства нелинейной системы, эффективно решаются, задачи получения количественных оценок показателей, характеризующих динамику систем, а применительно к управляемым системам - задачи синтеза систем с требуемымжсвойствам» [45]. В работах [46, 48, 49, 53, 59, 62, 66, 79, 85] с использованием второго» метода Ляпунова сформулированы достаточные условия устойчивости, асимптотической устойчивости программных многообразий, условия, устойчивости на конечном интервале времени, условия» абсолютной устойчивости и устойчивости по части переменных для, механических систем, движение которых описывается дифференциальными уравнениями первого порядка.

В задачах моделирования кинематики и динамики механических систем получил широкое распространение предложенный Н. П: Еругиным [29] метод построения множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую на плоскости [4, 15, 51, 53, 58, 61]. В частности, в работе [61] рассмотрена задача построения множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные интегральные многообразия, методом, предложенным в [29], и определена конструкция систем дифференциальных уравнений из условия устойчивости этих многообразий. В работе [51] построена автономная* система дифференциальных уравнений по заданному распределению фазовых траекторий на плоскости, определены, коэффициенты, предусмотренные в конструкции системы, исходя-из вида интегральных кривых и особых точек. Изложенный в [51] метод построения динамических систем эффективно используется для программирования движения управляемых механических систем [65, 68].

Под программным движением механической системы понимается движение с заданными кинематическими свойствами. Совокупность> заранее заданных свойств, подлежащих сохранению в. процессе движения механической системы, составляет программу движения. Задачей управления является, обеспечение движение механической-системы согласно ее программе. Возможные постановки задач построения; уравнений программных движений, соответствующие методы- решения этих задач и различные приложения8 получили существенное развитие в трудах А. С. Галиуллина и его последователей [15, 17, 18, 50, 61, 64,. 55, 57]. В частности, в [15] рассматриваются механические системы, движения' которых описываются* обыкновенными* дифференциальными уравнениями. В этом случае задача-аналитического построения, систем программного движения* сводится1 к обратным задачам динамики, поставленным с дополнительным требованием устойчивости программы, движения в смысле Ляпунова (при наличии лишь начального возмущения). Такая1 трактовка задачи позволяет свести ее решение к построению соответствующих уравнений движения системы по заданным интегралам, отражающим заданные свойства (программу) движения* рассматриваемой системы. При этом необходимо обеспечить устойчивость интегралов уравнений движения. В работе [66] устанавливается связь между решением задачи управления программным движением механической системы и задачей построения систем дифференциальных уравнений первого порядка, частные интегралы которой известны.

Для решения задач моделирования динамики неголономных систем используются известные классические методы, основанные на предположении о том, что уравнения связей, наложенные на систему, выполняются как в начальный момент движения, так и при всем последующем движении. Такие методы не позволяют учитывать возможные отклонения! от уравнений связей. Поэтому при моделировании динамики механических систем необходимым условием существования требуемого программного движения является стабилизация связей. Под задачей стабилизации понимается задача выбора управлений, под воздействием которых все движения рассматриваемой системы из начальной окрестности программного движения-попадут в другую, более узкую, окрестность этого движения и в дальнейшем ее не покидают. Проблемы построения уравнений программного движения и стабилизации связей излагаются в [15, 50, 64, 71, 83, 95, 99, 101]. В частности, в [99] для стабилизации связей учитываются отклонения от уравнений связей и вводится соответствующая коррекциям правые части уравнений динамики. Уравнения программных связей, уравнений возмущений связей, рассмотренные в [64], гарантируют асимптотическую устойчивость и стабилизацию связей при численном решении.

Многие задачи теоретического и прикладного» характера, связанные, в частности, с задачами механики управляемого движения, состоят в построении математических моделей в виде дифференциальных уравнений и их систем. Основная сложность заключается, как правило; в интегрировании этих уравнений, что привело к развитию численных методов решения таких задач [8, 87]. В работах [59, 99, 101] предлагается численный метод решения дифференциально-алгебраических уравнений индекса-2.

В последнее время интенсивно развиваются методы автоматизации составления и решения уравнений движения. Удобные для автоматизации формы записи уравнений движения могут быть получены при использовании методов и принципов теоретической механики. Вариационные принципы механики и связанные с ними комплекс физических идей и математических методов имеют активное значение как в теоретической механике, так и в различных научных и технических проблемах [39, 74, 77]. При создании методов- автоматизированного моделирования, представляет интерес изложенный, в < работе [64]; аналитический, метод построения1 уравнений движения* основанный на вариационном принципе Даламбера-Лагранжа.

Математическое моделирование является быстро развивающейся областью науки и техники. Для ее: успешного развития важны- отвечающие современным-, требованиям? методы;, решения инженерных и математических задач с использованием компьютеров-; Развитие и совершенствование такой быстро развивающейся, области знания связано: с разработкой систем автоматизированного'моделирования [24]. Эти: системы реализуют множество стандартных и специальных математических операций:,, снабжены мощными графическими средствами и обладают собственными языками программирования. Все это? предоставляет широкие возможности: для работы исследователей и инженеров. Однако для эффективного компьютерного исследования; задач; математического моделирования; необходимо» оптимальное сочетание пакетов;символьных: вычислений^ и численного инструментария [24, 72] . Данным требованиям отвечает, в частности, математический пакет Maple -[3,28]. Как; видно из обзора, вопросы моделирования кинематики и динамики управляемых механических: систем являются достаточно актуальными, но недостаточно изученными. Так, например; для программирования? движения* управляемых механических систем эффективно используется^ решение обратной4 задачи качественной: теории, дифференциальных; уравнений. В частности; применение; предложенного в [51] метода; построения5 автономной системы; дифференциальных уравнении по; заданному распределению фазовых траекторий на плоскости позволяет получить уравнения неголономных связей, описывающих, кинематические свойства плоской стационарной системы. Недостаточное внимание уделено задаче моделирования; кинематических свойств, нестационарных систем. Предложенная; в данной работе: конструкция неавтономной системы, дифференциальных уравнений в многомерном пространстве, полученная из условия устойчивости заданного интегрального многообразия, помогает найти решение этой задачи. Разработанный аналитический метод построения уравнений движения в обобщенных координатах и в канонических переменных удобен для решения задач автоматизации управления динамикой систем с программными связями. Актуальность предложенных методов обусловлена также тем, что они применимы к широкому классу систем.

Объект исследования. Динамические системы, на которые наложены голономные и неголономные программные связи.

Предмет исследования. Математическое моделирование кинематических свойств и управление динамикой систем с программными связями.

Цель диссертации. Разработка методов и алгоритмов моделирования кинематических свойств и управления динамикой систем с программными связями.

Задачи исследования.

1. Разработать метод построения уравнений нестационарных дифференциальных связей, описывающих заданные кинематические свойства механической системы.

2. Разработать метод построения уравнений динамики систем с программными связями в форме Лагранжа, Гамильтона на основе интегрального вариационного принципа Гамильтона-Остроградского.

3. Определить условия стабилизации связей, определяющих программное изменение свойств фазового состояния механических систем.

4. Разработать метод определения управляющих воздействий на механическую систему, обеспечивающих стабилизацию связей.

5. Определить выражения управляющих сил, действующих на манипуляционную систему с целью обеспечения движения конца схвата манипулятора в соответствии с заданной программой.

6. Построить математическую модель управляемого мобильного робота, используя разработанные методы.

Методы исследования. В диссертации использовались такие классические методы исследования как анализ, синтез, обобщение, аналогия, а также методы классической и аналитической механики, методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости движения, численные методы и методы компьютерной алгебры.

Научная новизна. Разработан метод построения неавтономной системы дифференциальных уравнений с заданными свойствами решений. Определена конструкция неавтономной системы из условия устойчивости ее решений по отношению к множествам решений. Разработан метод построения уравнений динамики в форме Лагранжа, Гамильтона для систем с голономными и неголономными программными связями, используя интегральный вариационный принцип Гамильтона-Остроградского. Определены условия стабилизации связей, определяющих программное движение механической системы. Разработан метод определения управляющих воздействий на механическую манипуляционную систему, обеспечивающих устойчивость программного движения. Разработан алгоритм моделирования управляемого мобильного робота, обеспечивающий устойчивость численного решения уравнений динамики. Решена задача управления движением мобильного робота с обходом подвижных препятствий.

Достоверность результатов. Достоверность полученных в диссертации результатов основана на строгих математических доказательствах.

Практическая значимость. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при исследовании устойчивости движения несвободных механических систем аналитическими и численными методами, в механике управляемого движения, при решении задач управления роботами-манипуляторами, мобильными роботами, транспортными и космическими системами.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались:

- на XLIII - XLV Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии (Москва, Российский университет дружбы народов, 2007 - 2009 г.г.);

-на VI молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения-2007" (Казань, Казанский государственный университет, 2007 г.);

-на заседании восьмого Всероссийского семинара по аналитической механике, устойчивости и управлению движением (Казань, Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева, 2008 г.);

-на Всероссийской научно-практической конференции «Инновации и высокие технологии XXI века» (Нижнекамск, Нижнекамский химико-технологический институт, 2009 г.).

Степень личного участия. Основные результаты, представленные в диссертации, получены самостоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Ибушева, О.В. Программирование движения управляемых механических систем / О. В. Ибушева, Р. Г. Мухарлямов // Тезисы докладов XLI

Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии. - М.: Изд-во РУДН, 2005. - С. 41-42.,

2. Ибушева, О.В. Обратные задачи качественной теории дифференциальных уравнений нестационарных систем / О. В. Ибушева // Тезисы докладов XLII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии. - М.: Изд-во РУДН, 2006. - С. 64.

3. Ибушева, О.В. О построении системы дифференциальных уравнений по заданным интегралам / О. В. Ибушева // Тезисы докладов XLIII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии. - М.: Изд-во РУДН, 2007. - С. 21.

4. Ибушева, О.В. О построении неавтономной системы дифференциальных уравнений, имеющей заданное интегральное многообразие / О. В. Ибушева // Актуальные проблемы современной науки: Труды 3-го Международного форума (8-ой международной конференции молодых ученых и студентов). - Самара: Изд-во СамГТУ, 2007.-С. 33-36.

5. Ибушева, О.В'. Определение структуры нестационарных систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные частные интегралы / О. В. Ибушева' // Материалы Шестой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2007». — Казань: Издательство Казанского математического общества Казан, гос. ун-та, 2007. - С. 88-90.

6. Ибушева, О.В. О построении неавтономной системы дифференциальных уравнений по заданной совокупности частных интегралов / О. В. Ибушева // Вестник РУДН, сер. Математика. Информатика: Физика. - 2008. - № 1. -С. 5-11.

7. Ибушева, О.В. О построении уравнений динамики механических систем с программными связями / О. В. Ибушева // Тезисы докладов XLIV Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии. - М.: Изд-во РУДН, 2008. - С. 29-30.

8. Ибушева, О.В. О построении уравнений программного движения механических систем / О. В. Ибушева // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы, докладов; X. Международного семинара: - М.: Изд-во ИПУ РАН, 2008. - С. 117-119. 9; Ибушева, О-В. Построение неавтономной системы, дифференциальных уравнений по заданной совокупности частных интегралов, в многомерном пространстве / О. В1 Ибушева, P. Г. Мухарлямов // Учен: зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2008.-Т. 150.-Кн. 3.- С. 133-139. Ю.Ибушева,' О.В. О-построении уравнений;:динамики систем с программными связями в форме Гамильтона7 О. В; Ибушева// Материалы Всероссийского' семинара по аналитической механике, устойчивости и управлению движением. - Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева, 2008; - С. 124-125.

11.Ибушева, О.В. Математическое моделирование динамики механических систем с заданными кинематическими? свойствами / О. В. Ибушева // Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Инновации и; высокие, технологии XXI века». - Нижнекамск: Нижнекамский, химико-технологический институт (филиал) КГТУ, 2009. - Т. 1. - С. 174-178.

12.Ибушева, ОЛЗ: Управление1 движением* колесной системы с обходом препятствий / О. В; Ибушева // Тезисы докладов XLV Всероссийской конференции по. проблемам; математики, информатики, физики и химии. — М.: Изд-во РУДН, 2009. - С. 71-72.

13;Ибушева, О.В. Построение уравнений динамики систем с программными связями в канонических переменных / О. В. Ибушева // Вестник КГТУ им: А. Н. Туполева. - 2009. - № 2. -С. 67-70.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитированной литературы. Объем диссертационной работы составляет 114 страниц, работа содержит 24 рисунка, список литературы насчитывает 101 наименование.

Заключение

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

1. Определена структура неавтономной системы дифференциальных уравнений первого порядка по интегральным многообразиям, которая используется для построения уравнений нестационарных дифференциальных связей, описывающих заданные кинематические свойства механической системы.

2. Разработан метод построения уравнений динамики систем с программными связями в форме уравнений Лагранжа, Гамильтона на основе интегрального вариационного принципа Гамильтона-Остроградского.

3. Разработан алгоритм определения управляющих воздействий на механическую систему, обеспечивающих стабилизацию голономных и неголономных связей, задающих классы траекторий.

4. Решена задача управления динамикой неголономной системы, совершающей движение с обходом препятствий в соответствии с заданной программой.

5. Проведено моделирование движения мобильного робота с обходом подвижных препятствий.

1. Абрамов, Н. В. Управление системой с программными связями / Н. В. Абрамов. - М.: РУДН, 2008. - 105 с.

2. Айзерман, М. А. Классическая механика: учебное пособие / М. А. Айзерман. 2-е изд., перераб. -М.: Наука, 1980. - 368 с. 67.

3. Аладьев, В .3. Эффективеая работа в Maple 6/7 / В. 3. Аладъев М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. - 336 с.

4. Альмухамедов, М. И. О конструировании дифференциального уравнения, имеющего своими предельными циклами заданные кривые / М. И. Альмухамедов // Изв. вузов. Математика. 1965. - № 1. -С. 12-16.

5. Аппель, П. Теоретическая механика: в 2 т. Т. 2./ П. Аппель. М.: Физматгиз, 1960.-488 с.

6. Арнольд, В. И. Математические методы классической механики / В. И. Арнольд. М.: Наука, 1979. - 431 с.

7. Афанасьев, В. Н. Математическая теория конструирования систем управления: учебное пособие для втузов / В. Н. Афанасьев, В. Б. Колмановский, В. Р. Носов. -М.: Высш. шк., 1989. 477 с.

8. Бахвалов, Н. С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: учебное пособие / Н. С. Бахвалов, Н.П.Жидков, Г. М. Кобельков. М.: Наука, 1987.-600 с.

9. Беллман, Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. М.: Наука, 1976. -352 с.

10. Бутенин, Н. В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н. В. Бутенин, Ю. И. Неймарк, Н. А. Фуфаев. М.: Наука, 1976.-384 с.

11. Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики: учебник: в 2 т. Т. I: Статика и кинематика / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. 2-е изд. - М.: Наука, 1976.-272 с.

12. Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики: учебник: в 2 т. Т. II: Динамика / Н. В. Бутенин, Я. JI. Лунц, Д. Р. Меркин. 3-е изд, испр. - М.: Наука, 1985.-496 с.

13. Бутенин, Н.В. Введение в аналитическую механику / Н. В. Бутенин, Н. А. Фуфаев. 2-е изд., пер. и доп. - М.: Наука, 1991. - 256 с.

14. Воронец, П. В. Об уравнениях движения для неголономных систем / П. В. Воронец // Математический сборник. — 1901. — Т. 22. — Вып. 4. -С. 659-686.

15. Галиуллин, А. С. Аналитическая динамика: учебное пособие для ун-тов и втузов / А. С. Галиуллин. М.: Высш. шк., 1989. - 264 с.

16. Галиуллин, А. С. К задаче построения систем дифференциальных уравнений / А. С. Галиуллин // Избранные труды: в 2 т. Т. I. М.: Изд-во РУДН, 2007. - С. 219-224.

17. Галиуллин, А. С. Методы решения обратных задач динамики / А. С. Галиуллин. М.: Наука, 1986. - 224 с.

18. Галиуллин, А. С. Обратные задачи динамики / А. С. Галиуллин. М.: Наука, 1986.-224 с.

19. Галиуллин, А. С. Уравнения программного движения механизмов с неголономными связями / А. С. Галиуллин // Избранные труды: в 2 т. Т. II. М.: Изд-во РУДН, 2007. - С. 339-342.

20. Галиуллин, А. С. Устойчивость движения и вариационные принципы динамики / А. С. Галиуллин, А. А. Шестаков // Вестник РУДН, сер. Прикладная математика и информатика. 1998. - № 2 - С. 20-28.

21. Гантмахер, Ф. Р. Лекции по аналитической механике: учебное пособие для вузов / Ф. Р. Гантмахер; под ред. Е.С. Пятницкого. 3-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 264 с.

22. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. 4-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 552 с.

23. Гельфанд, И. М. Вариационное исчисление / И. М. Гельфанд, С. В. Фомин. -М.: Физматгиз, 1961.-228 с.

24. Говорухин, В. Компьютер в математическом исследовании: учебный курс / В. Говорухин, В. Цибулин. СПб.: Питер, 2001. - 624 с.

25. Добронравов, В. В. Основы аналитической механики / В. В. Добронравов. -М.: Высшая школа, 1976. — 263 с.

26. Добронравов, В. В. Основы механики неголономных систем / В. В. Добронравов. М.: Высшая школа, 1970. - 272 с.

27. Дубошин, К. Н. Основы теории устойчивости движения / К. Н. Дубошин. -М.: Изд. МГУ, 1952.-318 с.

28. Дьяконов, В. П. Мар1е7: учебный курс / В.П.Дьяконов. СПб.: Питер, 2002. - 672 с.

29. Еругин, Н. П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую / Н. П. Еругин // Прикладная математика и механика. 1952. - Т. XVI. - С. 659-670.

30. Журавлев, В. Ф. Основы теоретической механики / В. Ф. Журавлев. 2-е изд, перераб. - М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001.-320 с.

31. Зубов, В. И. Динамика управляемых систем / В.И.Зубов. М.: Высшая школа, 1982.-285 с.

32. Зубов, В. И. Проблема устойчивости процессов управления / В. И. Зубов. — СПб.: НИИ химии СПбТУ, 2001. 354 с.

33. Зубов, В. И. Теория уравнений управляемого движения / В. И. Зубов. JL: Изд-во Ленинградского университета, 1980. - 288 с.

34. Зубов, В. И. Устойчивость движения / В.И.Зубов. М.: Высшая школа, 1984.-232 с.

35. Ишлинский, А. Ю. Классическая механика и силы инерции / А. Ю. Ишлинский. -М.: Наука, 1987. 320 с.

36. Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. М.: Наука, 1978. -512 с.

37. Квитко, А. Н. Методы построения программных движений и их применение / А. Н. Квитко. СПб.: НИИ химии СПбТУ, 2000. - 76 с.

38. Крутько, П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: нелинейные модели / П. Д. Крутько. М.: Наука, 1988. - 328 с.

39. Ланцош, К. Вариационные принципы механики / К. Ланцош. М.: Мир,1965.-408 с.

40. Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 472 с.

41. Малкин, И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Малкин. М.: Наука,1966.-533 с.

42. Маркеев, А. П. Теоретическая механика: учебное пособие для университетов / А. П. Маркеев. М.: Наука, 1990. - 416 с.

43. Мартыненко, Ю. Г. Аналитическая динамика электромеханических систем / Ю. F. Мартыненко. М.: МЭИ, 1984. - 63 с.

44. Мартыненко, Ю. Г. Динамика мобильных роботов Электронный ресурс. / Ю. Г. Мартыненко // Соросовский образовательный журнал. 2000. - Т. 6.- № 5. С. 110-116. - Режим доступа: http://www.pereplet.ru/obrazovanie /stsoros/1007.html, свободный.

45. Метод функций Ляпунова в динамике нелинейных систем. Новосибирск: Наука, 1983.-312 с.

46. Мухаметзянов, И. А. Абсолютная устойчивость программного положения манипулятора при релейном управлении / И. А. Мухаметзянов // Проблемы механики управляемого движения. Пермь, 1983. - С. 94 - 99.

47. Мухаметзянов, И: А. Построение систем с асимптотически: устойчивыми программными связями / И. А. Мухаметзянов // Прикладная математика и механикам 200Г. - Т. 65; - Вып. 5. - С. 822-830.

48. Мухаметзянов, И: А. Уравнений программного движения: оптимизация и оценки / И: А. Мухаметзянов, Р: Г. Мухарлямов . М.: Изд-воУДН, 1987. -80 с.

49. Мухарлямов, Р. Г. К обратным задачам качественной теории дифференциальных, уравнений / Р. Г. Мухарлямов // Дифференциальные уравнения. 1-967.—Т.3:.- № 10. - G. 1673-1681.

50. Мухарлямов, Р; Г. Моделирование несвободных; механических систем, / Р. Г. Мухарлямов // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем; и информ. -1996.-№2,-С. 34-37.

51. Мухарлямов, Р. Г. О построении дифференциальных; уравнений оптимального движения к заданному многообразию / Р. Г. Мухарлямов // Дифференциальные уравнения; 1971.- Т. 7. — №10. - С. 1825-1834.

52. Мухарлямов, Р; Г. О построении множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по. интегральному многообразию / Р; F. Мухарлямов // Дифференциальные уравнения. 1969. - Т. 5. - № 4. -е. 688-699.

53. Мухарлямов, Р. Г. О построении множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по интегральному многообразию / Р. Г. Мухарлямов // Дифференциальные уравнения. 1969. - Т. 5. - № 4. -С. 688-699.

54. Мухарлямов, Р. Г. О построении систем дифференциальных уравнений движения несвободных механических систем / Р. Г. Мухарлямов // Дифференциальные уравнения. 2003. - Вып. 39. - № 3. - С. 343-353.

55. Мухарлямов, Р. Г. О численном решении дифференциально-алгебраических уравнений / Р. Г. Мухарлямов // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ. — 1999. — № 1 — С. 33-37.

56. Мухарлямов, Р. Г. Об уравнениях движения механических систем / Р. Г. Мухарлямов // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19. - № 12. - С. 2048-2056.

57. Мухарлямов, Р. Г. Построение множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные интегралы / Р. Г. Мухарлямов // Дифференциальные уравнения. 1967. - Т. 3. - № 2. - С. 180-192.

58. Мухарлямов, Р. Г. Построение уравнений динамики механических систем с заданными свойствами движений / Р. Г. Мухарлямов // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ. 2001. - № 1.- С. 21-31.

59. Мухарлямов, Р. Г. Редукция уравнений динамики системы с переменной массой / Р. Г. Мухарлямов // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ. 2003. - № 1 (11).- С. 34-38.

60. Мухарлямов, Р. Г. Стабилизация движения механических систем на заданных многообразиях фазового пространства / Р. Г. Мухарлямов // Прикладная математика и механика. 2006. - Т. 70. - № 2. - С. 236-249.

61. Мухарлямов, Р. Г. Управление программным движением и обратные задачи динамики систем с переменной массой / Р. Г. Мухарлямов, Ж. К. Киргизбаев. Шымкент, 2008. - 180 с.

62. Мухарлямов, Р. Г. Управление программным движением механических систем и обратные задачи динамики / Р. Г. Мухарлямов // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ. 2000. - № 1- С. 17-27.

63. Мухарлямов, Р. Г. Управление программным движением механической системы по заданной кривой в конфигурационном пространстве / Р. Г. Мухарлямов // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ. -2004.-№ 1.-С. 31-38.

64. Мухарлямов, Р. Г. Управление программным движением многозвенного манипулятора / Р. Г. Мухарлямов // Вестник РУДН. 1998. - № 1. — С. 2239.

65. Мухарлямов, Р. Г. Уравнения движения механических систем: учебное пособие / Р. Г. Мухарлямов. М.: Изд-во РУДН, 2001. - 99 с.

66. Мухарлямов, Р. Г. Уравнения динамики систем с устойчивыми программными связями. / Р. Г. Мухарлямов // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ. 1997. - № 1- С. 20-26.

67. Мухарлямов, Р. Г. Численное моделирование в задачах механики / Р. Г. Мухарлямов // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и» информ. -1995.-№ 1.-С. 13-28.

68. Мэтьюз Дж.Г. Численные методы. Использование MATLAB / Дж. Г. Мэтьюз , К. Д. Финк . М.: Вильяме, 2001. - 720 с.

69. Неймарк, Ю. И. Динамика неголономных систем / Ю. И. Неймарк, Н. А. Фуфаев. М.: Наука, 1967. - 519 с.

70. Новоселов, В. С. Вариационные методы в механике / B.C. Новоселов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1966.-73 с.

71. Охоцимский, Д. Е. Основы механики космического полета: учебное пособие / Д. Е. Охоцимский, Ю. Г, Сихарулидзе . М.: Наука, 1990. -448 с.

72. Пол, Р. Моделирование, планирование траектории и управление движением робота-манипулятора / Р. Пол. М.: Наука, 1976. - 103 с.

73. Полак, JI. С. Вариационные принципы механики. Их развитие и применение в физике / Л. С. Полак. -М.: Физматгиз, 1960. 599 с.

74. Понтрягин, Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин и др.. 4-е изд. - М.: Наука, 1990. - 176 с.

75. Сабирова, В. Р. Уравнения устойчивого движения неголономных систем / В. Р. Сабирова // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ. 2004. — № 1.-С. 39-44.

76. Самарский, А. А. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. / А. А. Самарский, А.П.Михайлов. М.: Физматлит, 2001. -320 с.

77. Себехей, В. Неустойчивость в динамических системах: приложения к небесной механике / В. Себехей. М.: Мир, 1982. - 168 с.

78. Себехей, В. Теория орбит / В. Себехей; пер. с англ. под ред. Г. Н. Дубошина. М.: Наука, 1982. - 656 с.

79. Смирнов, Е. Я. Управление движением механических систем / Е. Я. Смирнов и др.. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. - 316 с.

80. Советов, Б. Я. Моделирование систем: учебное пособие для вузов / Б. Я. Советов, С. А. Яковлев. — М.: Высш. шк., 2001. 343 с.

81. Соколов, А. В. Исследование условий асимптотической устойчивости движения управляемого электромеханического манипулятора /А. В. Соколов // Проблемы механики и процессов управления. Межвуз. сборник. Пермь, 2004, - Вып. 36. - С. 212.

82. Тарг, С. М. Краткий курс теоретической механики / С. М. Тарг. М.: Наука, 1968.-478 с.

83. Турчак, Л. И. Основы численных методов: учебное пособие / Л. И. Турчак. -М.: Наука, 1987.-320 с.

84. Уиттекер, Е. Т. Аналитическая динамика / Е. Т. Уиттекер. М.: Наука, 1964. - 586 с.

85. Уравнения Лагранжа, Воронца, Чаплыгина в задачах динамики мобильных роботов: методическое пособие / сост. М. Ф. Зацепин, Ю. Г. Мартыненко, Д. В. Тиньков . М.: Издательство МЭИ, 2005. - 32 с.

86. Чаплыгин, С. А. Исследования по динамике неголономных систем / С. А. Чаплыгин. М.: Гостехиздат, 1949. - 112 с.

87. Черноусько, Ф. Л. Манипуляционные роботы- / Ф. Л. Черноусько, И. Н. Болотник, В. Г. Градецкий М.: Наука, 1989. - 363 с.

88. Черноусько, Ф. Л. Манипуляционные роботы / Ф. Л. Черноусько, Н. Н. Болотник , В. Г. Градецкий . М,: Наука, 1989. - 363 с.

89. Черноусько, Ф. Л. Методы управления нелинейными механическими системами / Ф. Л. Черноусько, И. М. Ананьевский, С. А. Решмин. М.: Физматлит, 2006. 328 с.

90. Черноусько, Ф. Л. Принципы движения и проблемы динамики-мобильных роботов Электронный ресурс. / Ф. Л. Черноусько, В: Г. Градецкий. -Режим доступа: www.mr.rtc.ru/doc/robotics/rQ 1 .pdf, свободный. -'

91. Четаев, Н. Г. О вынужденных движениях / Н. Г. Четаев // Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд. АН СССР, 1962.- С. 329-335.

92. Четаев, Н. Г. Устойчивость движения: учебное руководство / Н. Г. Четаев.- 4-е изд., испр. М.: Наука, 1983. - 392 с.

93. Четаев, Н. Г. Теоретическая механика / Н. Г. Четаев; под ред. В.В. Румянцева, К.Е. Якимовой. -М.: Наука, 1987.-368 с.

94. Эндрюс, Дж. Математическое моделирование / Дж. Эндрюс, Р. Мак-Лоун. -М.: Мир, 1979.-272 с.

95. Baumgarte, J. Stabilization of constraints and integrals of motion in dynamical systems / J. Baumgarte // Computer Math. Appl. Mech. Eng. 1972. - V. 1. — № l.-P. 1-16.

96. Galiullin, A. S. An introduction to the theory of stability of motion / A. S. Galiullin, В. M. Tuladhar. Kathmandu, Nepal: KathmanduUniversity, 2000. - 94 p.

97. Stabilization of constrained Mechanical systems with DAEs and invariant manifolds / U. M. Ascher etc. // J. Mech. Structures and Machines. 1995. -V. 23. —№ 2. - P. 135-158.