Устойчивоподобные свойства решений и регуляризация некоторых уравнений классической и небесной механики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Устойчивоподобные свойства неавтономных линейных дифференциальных уравнений

§ 1. Определение устойчивости движения в смысле Ляпунова.

§ 2. Признаки экспоненциальной устойчивости линейного дифференциального уравнения на основании свойств диагональной доминантности.

§ 3. Экспоненциальная устойчивость неавтономного линейного уравнения с периодически диагонально доминантной матрицей.

§ 4. Признак асимптотического постоянства решений линейного неавтономного дифференциального уравнения.

§ 5. Признак асимптотического постоянства решений для бесконечномерного линейного дифференциального уравнения.

ГЛАВА 2. Устойчивость и ограниченность движения в механических системах, описываемых линейными уравнениями второго порядка

§ 1. Типы изучаемых механических систем.

§ 2. Достаточные признаки устойчивости в смысле Ляпунова нулевого решения линейного неавтономного уравнения.

§ 3. Достаточные признаки асимптотической устойчивости нулевого решения линейного неавтономного уравнения.

§ 4. Достаточные признаки неустойчивости нулевого решения линейного неавтономного уравнения.

§ 5. Признак ограниченности решений обобщенного уравнения

Льенара.

§ 6. Признак ограниченности решений линейного неавтономного дифференциального уравнения второго порядка.

ГЛАВА 3. Устойчивость программных движений тяжелой точки переменной массы

§ 1. Математические модели движения тяжелой точки переменной массы.

§ 2. Постановка задачи об устойчивости программного движения.

§ 3. Признаки устойчивости программного движения при линейном законе сопротивления среды.

§ 4. Признаки устойчивости программного движения при квадратичном законе сопротивления среды.

§ 5. Устойчивость вращательного движения тяжелой точки переменной массы.

ГЛАВА 4. Вопросы регуляризации уравнений и прочности решений в задаче двух и трех тел

§ 1. Задача JV тел

1.1. О сингулярности уравнений в задаче ТУтел.

1.2 Предельные случаи задачи N тел.

§ 2. Задача двух тел и задача трех тел

2.1 Задача двух тел.

2.2 Задача трех тел.

§ 3. Прямая задача линейной регуляризации уравнений

3.1. Прямая задача линейной регуляризации.

3.2. Алгоритм линейной регуляризации кеплеровского движения.

§ 4. Обратная задача линейной регуляризации уравнений.

§ 5. Глобальная регуляризация уравнений в задаче трех тел.

§ 6. Уравнения в вариациях кеплеровских движений.

§ 7. Прочность решений в смысле Жуковского и задача об упрочнении решений

7.1. Понятие прочности решения в смысле Жуковского.

7.2. Задача об упрочнении решений.

§ 8. Прочность эллиптической траектории кеплеровского движения. Первый подход.

§ 9. Прочность эллиптической траектории кеплеровского движения. Второй подход.

Актуальность темы и краткий обзор литературы, относящейся к теме диссертации. Диссертационная работа посвящена исследованию устойчивоподобных свойств решений и вопросам регуляризации уравнений классической и небесной механики.

Под устойчивоподобными свойствами решений дифференциальных уравнений в работе понимаются устойчивость в смысле Ляпунова, ограниченность (другими словами, устойчивость в смысле Лагранжа), прочность в смысле Жуковского, наличие асимптотического равновесия (асимптотическое постоянство решений). Указанные понятия играют важную роль в задачах классической и небесной механики.

Одной из актуальных проблем при исследовании динамических свойств линейных и нелинейных механических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами является проблема устойчивости движения в смысле Ляпунова. Теория устойчивости линейных механических систем является базовым направлением в общей теории устойчивости механических систем, представляющих огромный интерес как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения приложений. Для решения этой проблемы A.M. Ляпунов создал приемы, приведшие к двум методам исследования устойчивости движения: первому методу на базе характеристичных чисел и второму (прямому) методу, основанному на изучении взаимосвязи движений механической системы со специальными однопараметрическими семействами поверхностей, являющимися поверхностями уровня функций Ляпунова. В настоящее время оба метода получили значительное развитие и оказались эффективными при решении многих теоретических и прикладных задач устойчивости движения как линейных, так и нелинейных механических систем с распределенными и сосредоточенными параметрами. Одной из актуальных задач указанной проблемы является исследование устойчивости состояния равновесия с помощью коэффициентных признаков. Эта задача в общем виде чрезвычайно сложна и далека от своего завершения.

Теории устойчивости состояния равновесия автономных и неавтономных линейных и возмущенных линейных систем в конечномерных или бесконечномерных фазовых пространствах посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных ученых: Е.А. Барбашина, Ю.С. Богданова, Б.Ф. Былова, В.Г. Веретенникова, В.Г. Вильке, Р.Э. Виноградова, Н.И. Гаврилова, А.С. Галиуллина, И.А. Галиуллина, С.К. Годунова, Е.А. Гребеникова, A.M. Гробмана, Б.П. Демидовича, В.Г. Демина, Н.П. Еругина, В.И. Зубова, Н.А. Изобова, Г.В. Каменкова, А.Н. Колмогорова, Н.Н.Красовского. М.Г. Крейна, А.Н. Крылова, В.М. Миллионщикова, И.Г. Малкина, В.М. Матросова, В.В. Немыцкого, К.П. Персидского, И.Г. Петровского. И.М. Рапопорта, В.В. Румянцева, Ю.А. Рябова, В.М. Старжинского, В.В. Степанова, Н.Г. Четаева, А.А. Шестакова, В.А. Якубовича, Х.А. Антосевича, Р. Беллмана, С.П. Дилиберто, Т. Иосилзавы, Дж. Като, Р. Конти, В.А. Коппела, Н. Левинсона, К.Д. Пальмера, О. Перрона, Д.Х. Саттингера, А. Уинтнера, Ф. Хартмана. JI. Чезари и других ученых.

Одним из наиболее распространенных направлений исследования устойчивости движения является исследование устойчивости прямым методом Ляпунова, разработанным А. Пуанкаре [63] и A.M. Ляпуновым [48]. Прямой метод Ляпунова получил значительное развитие в многочисленных работах [5, 6, 9, 22, 26, 29, 35, 36, 40, 46, 50, 52, 66, 67, 68] и других. В настоящее время обобщенный прямой метод Ляпунова стал одним из важнейших методов исследования устойчивости движения систем с распределенными и сосредоточенными параметрами (современное состояние этого метода и литературу по этому методу можно найти в монографии [78] и в работе [29]).

Другим направлением исследования устойчивости движения линейных и возмущенных линейных уравнений является исследование устойчивости методом характеристических чисел Ляпунова (см. монографию [48], а также книги [5, 10, 26, 32, 39, 81] и др.). С помощью этого метода достаточно полно изучены приводимые уравнения, правильные уравнения и уравнения с периодическими коэффициентами.

Третьим направлением исследования устойчивости движения линейных и возмущенных линейных уравнений является исследование методами качественной теории и теории устойчивости, не связанными с теорией характеристических чисел Ляпунова. Может оказаться, что среди характеристических чисел имеется несколько чисел, равных нулю тогда, когда остальные являются положительными. Этот случай является критическим и требует рассмотрения, выходящего за рамки теории характеристических чисел. В указанном направлении существенные результаты были получены А.Н. Колмогоровым [41], А. Уинтнером [71,102], Ф. Хартманом [72], В. Коппелом [87,88], А.А. Шестаковым [77], К.П. Персидским [60], JL Чезари [73], Б.П. Демидовичем [26], см. также обзор литературы в [39].

Исследование устойчивости в смысле Ляпунова применительно к небесно-механическим уравнениям отражены в [1], а также в работах В.М. Алексеева [3], Г.Н. Дубошина [31], В.В. Румянцева [65, 66,67], А.П. Маркеева [51], Е.А. Гребеникова [23, 24], Е.А Гребеникова и Ю.А. Рябова [25], В. Себехея [69], И.А. Галиуллина [17,18] и других работах.

Основы теории прочности траекторий в смысле Жуковского заложены в докторской диссертации Н.Е. Жуковского "О прочности движения" [33]. В этой работе Жуковский поставил и в ряде случаев разрешил общую задачу о прочности траекторий уравнений первого приближения. Чтобы дать определение прочности движения, Н.Е. Жуковский, как и В. Томсон и П. Тет [99], рассматривает основное движение системы, и наряду с ним так называемое возмущенное движение. Н.Е. Жуковский одну из координат уравнения x = g(x), например я^, принимает в качестве независимой переменной, а время t рассматривает как функцию этой координаты, причем выбранная в качестве независимой переменной координата является монотонно возрастающей функцией времени. Рассматривая координаты ? • • • ? %п КЗ-К функции от х1, Н.Е. Жуковский предполагает, что в возмущенном движении функции х2,.,хп получат приращения у2,.,уп. Если во все время движения приращения у2,.,уп остаются достаточно малыми, то движение называется прочным; если некоторые из этих приращений не являются таковыми, то движение называется непрочным.

Важно отметить, что время t рассматривается Н.Е. Жуковским как функция от х, а приращение St определяется при переходе от данного движения к возмущенному. Н.Е. Жуковский пишет: "Движение, будучи прочным, может давать для St при одних возмущениях бесконечно малую величину, а при других - беспредельно возрастающую величину. Консервативное возмущение, не изменяющее полной энергии, вызывает в прочном движении бесконечно малое возмущение времени, в то время как неконсервативное возмущение вызывает бесконечно возрастающее возмущение времени". Из определения Н.Е. Жуковского следует, что речь действительно идет об устойчивости траекторий точек материальной системы, а не об устойчивости состояния движения.

Теория прочности траекторий в смысле Жуковского получила развитие в труде Дж. Синджа [98] и труде М.Ш. Аминова [4], который ввел понятие "устойчивости в смысле Жуковского" и исследовал методами A.M. Ляпунова, Дж. Синджа и Н.П. Еругина прочность в смысле Жуковского траекторий некоторых классов механических систем при консервативных и неконсервативных возмущениях. Дальнейшее развитие теория прочности получила в работах А.Ю. Кравчука, Г.А Леонова и Д.В. Пономаренко, использовавших термины "устойчивость по Жуковскому", "сильная орбитальная устойчивость", а также в работах А.А. Шестакова [79], А.С. Галиуллина и А.А. Шестакова [16]. Ряд результатов и методов, находящих применение в теории прочности траекторий в смысле Жуковского, принадлежит Н.Д. Моисееву [54,55], В.И. Зубову [37]. В диссертации О.В.

Дружининой [30] разработаны методы исследования прочности траекторий и даны приложения к задачам небесной механики.

В связи с изучением движений, отличных от состояния равновесия и периодических движений, роль понятий прочности и непрочности траекторий в смысле Жуковского в настоящее время усилилась.

Важно отметить то обстоятельство, что понятия орбитальной устойчивости и неустойчивости теряют смысл применительно к некоторым сложным движениям динамической системы, в то же время как боле строгое понятие прочности в смысле Жуковского имеет смысл для любых ее движений. В последние годы усилился интерес к проблемам неустойчивости движения. Прежде всего, это связано с наличием хаотических колебаний в детерминированных системах. Для возникновения хаотических колебаний, характеризующихся перемешиванием траекторий в фазовом пространстве, недостаточно неустойчивости в смысле Ляпунова. Оказалось, что с помощью понятия непрочности траектории в смысле Жуковского можно объяснить ряд явлений, связанных с наличием хаоса.

В настоящее время теория прочности траекторий в смысле Жуковского является перспективным направлением в теории устойчивости небесно-механических систем, имеющим свои специфические особенности по сравнению с теорией устойчивости Ляпунова.

Постановка задач аналитического построения систем программного движения, их решения, а также многие вопросы, относящиеся к программному движению механических систем, в частности, вопрос об устойчивости программного движения, довольно широко освещены в литературе (см. [13], [14], [15], [56]). Исследования в области устойчивости программного движения проводились А.Н. Крыловым и Н.Г. Четаевым, который изучал с помощью второго метода Ляпунова движение снаряда с постоянной массой. А.С. Галиуллин впервые рассмотрел вопрос об устойчивости программного движения тела переменной массы, применив первый и второй методы Ляпунова. Эти исследования были продолжены

Р.Г. Мухарлямовым, И.А. Мухаметзяновым и другими представителями основанной А. С. Галиуллиным научной школы по обратным задачам динамики.

Установление устойчивости или неустойчивости программного движения различных механических систем (анализ), а также построение устойчивых программ (синтез), составляет содержание задачи об устойчивости программного движения. Основные положения теории устойчивости применительно к программному движению содержатся в [ 14].

Вопросы регуляризации и линейной регуляризации уравнений небесной механики обсуждаются в [69]. Относительно недавно возникшее направление в небесной механике, называемое линейной и регулярной небесной механикой [80], имеет целью решение задач небесной механики в аналитической или численной форме на базе регуляризующего преобразования Кустаанхеймо - Штифеля [80]. Регуляризация, состоящая в устранении в дифференциальных уравнениях особых точек, возникающих при соударении тел, была предметом исследований многих ученых. Регуляризация Кустаанхеймо - Штифеля (KS - регуляризация), помимо своего основного назначения, позволяет установить эквивалентность между кеплеровским движением и гармоническим осциллятором; такой подход к небесной механике принято называть линейным. Он требует перехода к избыточным переменным. Пусть задана система дифференциальных уравнений второго порядка х{ =hi(t,xJ>xJ), i = \,.,n. Произведем замены независимой и зависимой переменных ds = gA(yj)dt, х( = /(у,), где s -новая независимая переменная (фиктивное время) и yi - новые координаты. Задача линейной регуляризации состоит в нахождении функций g и /, таких, чтобы в новых переменных эта система была линейной с постоянными коэффициентами у" + агуу^ + Ь0уу + с} = 0, где штрих означает дифференцирование по s; суммирование производится по повторяющимся индексам, коэффициенты atj, btj, су не зависят от yt и их производных, но зависят от s. С помощью KS - преобразования единообразно рассмотрены три типа кеплеровского движения вне зависимости от величины эксцентриситета орбиты. Невозмущенная задача двух тел описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, являющимися всюду регулярными уравнениями.

В небесной механике используется не только преобразование пространственных координат, но и преобразование физического времени -введение вместо времени других независимых переменных, причем время t фигурирует как координата, рассматриваемая в точности так же, как и геометрические координаты. Применение эксцентрической аномалии в качестве независимой переменной имеет большое преимущество, состоящее в том, что координаты движущегося тела представляются замкнутыми выражениями от эксцентрической аномалии, а ряд Фурье возмущающей функции сходится по эксцентрической аномалии быстрее, чем по средней аномалии.

Основные применения метод регуляризации нашел в космодинамике, космогонии и звездной динамике, так как в этих научных дисциплинах рассматриваются сближения и соударения, и становится необходимой регуляризация уравнений (например, в космогонии любой запуск космического аппарата приводит к тесному сближению на участках старта и финиша).

Проблема N тел и ее частный случай - проблема трех тел -принадлежит к числу наиболее важных задач небесной механики. Хорошо известно, что до сих пор эта задача не решена в конечном виде (без использования степенных рядов) и, по-видимому, не имеет такого решения. Поэтому качественные исследования в этой области давно привлекали внимание как астрономов, так и механиков и математиков.

Основными направлениями качественного анализа в задаче многих тел являются: 1) исследование устойчивости Солнечной системы; 2) исследование вопросов существования и устойчивости периодических и квазипериодических решений разных видов; 3) исследование поведения решений при парных и кратных столкновениях и близких прохождениях; 4) исследование финальных типов движений, т.е. исследование поведения решений при t -> оо; 5) исследование геометрических свойств решений; 6) исследование регуляризации дифференциальных уравнений.

Работы А Пуанкаре^ Н.Е. Жуковского, A.M. Ляпунова, Дж. Биркгофа, К. Сундмана., А.Н, Колмогорова, Ж, Шази, О.Ю. Шмидта^Г.Ф. Хильми, Ю.Д. Соколова, К.А. Ситникова, А.П. Маркеева, А. Саари, В.М. Алексеева, В.И. Арнольда, К. Маршала, Е.А. Гребеникова, Ю.А» Рябова и других ученых внесли существенный вклад в качественный анализ проблемы тел небесной механики.

Объект исследования. В работе рассмотрены следующие классы уравнений: неавтономное линейное векторное дифференциальное уравнение первого порядка; неавтономное линейное скалярное дифференциальное уравнение второго порядка; обобщенное уравнение Льенара; уравнение плоского кеплеровского движения; уравнения движения в задаче трех тел. В работе рассмотрены математические модели движения тяжелой точки переменной массы в вертикальной плоскости при линейном и квадратичном законах сопротивления среды и модель вращательного движения тела переменной массы при перемещении по криволинейной траектории.

Цель работы состоит в исследовании свойств устойчивости, ограниченности, прочности и других свойств движений некоторых классов механических систем и изучении свойств регуляризации уравнений небесной механики.

Методы исследования. В диссертации использованы: метод функций Ляпунова; метод характеристических чисел Ляпунова; метод исследования устойчивости по свойствам правых частей уравнений; метод линеаризующих преобразований; метод ^-преобразований; методы матричного анализа и некоторые другие качественные методы.

Научная новизна. В диссертационной работе доказаны новые теоремы об устойчивости и ограниченности решений дифференциальных уравнений второго порядка; получены признаки экспоненциальной устойчивости решений систем неавтономных линейных уравнений на базе свойств диагональной доминантности матриц правых частей; исследован вопрос об асимптотическом постоянстве решений; получен новый способ линейной регуляризации плоского кеплеровского движения; получен новый способ глобальной регуляризации в задаче трех тел; установлены новые признаки устойчивости движения тяжелой точки переменной массы.

Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании свойств устойчивости и прочности гравитационных, электрических, электромеханических и колебательных систем; при моделировании и численном интегрировании уравнений в небесной механике. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении курсов космодинамики, теории устойчивости и качественной теории динамических систем.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- на научном семинаре по качественной теории и теории устойчивости динамических процессов в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения (Москва, 2000, 2001, 2002гг.);

- на научном семинаре по небесной механике в Государственном астрономическом институте им. Штернберга (Москва, 2001г.);

- на XXXVII и XXXVIII Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин в Российском университете дружбы народов (Москва, 2001, 2002гг.);

- на научной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете (Рязань, 2001г.);

- на международной конференции в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения "Высшее профессиональное заочное образование на железнодорожном транспорте: настоящее и будущее" (Москва, 2001г.);

- на втором международном конгрессе "Нелинейный динамический анализ" (NDA-2) в Московском авиационном институте (государственном техническом университете) (Москва, 2002г).

- на научном семинаре по математическому моделированию динамических процессов в Российском университете дружбы народов (Москва, 2002г.)

- на кафедре теоретической механики в Московском авиационном институте (государственном техническом университете) (Москва, 2002г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1*-12*]. Близкие к теме диссертации вопросы рассмотрены в работах [13*,14*].

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Получены достаточные условия экспоненциальной устойчивости многомерного неавтономного линейного дифференциального уравнения на основании свойств диагональной доминантности матрицы правой части.

2. Доказаны теоремы об асимптотическом постоянстве решений линейной и возмущенной линейной дифференциальных систем в случаях конечного и бесконечного числа степеней свободы.

3. Получены достаточные условия устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпунова решений неавтономных линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

4. Доказана теорема об ограниченности решений обобщенного уравнения Льенара.

5. Получены достаточные условия экспоненциальной устойчивости программного движения тела переменной массы относительно скоростей при линейном и квадратичном законах сопротивления среды, а также условия экспоненциальной устойчивости вращательного движения тела переменной массы при перемещении по криволинейной траектории.

6. Предложены новые способы линейной регуляризации уравнения плоского кеплеровского движения в задаче двух тел и глобальной регуляризации уравнений в задаче трех тел.

7. Предложены новые подходы к исследованию прочности в смысле Жуковского для эллиптических траекторий кеплеровского движения.

1. Абалакин В.К, Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демич В.Г., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Наука, 1976

2. Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем. М.: Наука, 1973.

3. Алексеев В.М, Лекции по небесной механике / Библиотека «Регулярная и хаотическая динамика», гл. ред. В.В.Козлов. М.: Эдиториал УРСС,1999.

4. Аминов М.Ш. Об устойчивости некоторых механических систем//Труды КАИ. 1949. Т. 24. С. 3 69.

5. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

6. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970

7. Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики. М.: Наука, 1980.

8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969

9. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954.

10. Былое Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М. :Наука, 1966.

11. Веретенников Г.В. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1984.

12. Гантмахер Ф. Р. Лекции по теоретической механике. М.: Наука, 1966.

13. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М: Наука, 1967.21 .Гарг В.К., Дуккипати Р.В. Динамика подвижного состава (под ред. Н.А.Панькина). М.: Транспорт, 1988.

14. Голечков Ю.И. Устойчивоподобные свойства решений некоторых классов обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Дисс. . канд. физ.-матем. наук. Л.: ЛГУ,1985.

15. Дружинина О.В. О прочности движения динамической системы // Доклады РАН. 1997. Т.355. №1. С. 51-53.

16. Дружинина О.В., Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова исследования устойчивости и притяжения в общих временных системах. // Матем. сб. 2002. Т. 193. №10. С. 17 48.

17. Дружинина О.В. Развитие методов исследования качественных свойств траекторий уравнений небесной механики. Дисс. . докт. физ.-матем. наук. М.: МГУ им. Ломоносова, 2000.

18. Дубошин Г.Н. Небесная механика (аналитические и качественные методы) М.: Наука, 1964.

19. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: ИАН БССР, 1963.ЪЪ.Жуковский Н.Е. О прочности движения // Собр. соч. Т. 1. М.Л.:ГИТТЛ, 1948.

20. Захарова М.В. Об ограниченности и устойчивости движений механических систем, моделируемых нестационарными дифференциальными уравнениями второго порядка. Дисс. . канд. физ.-матем. наук. М.: МАИ, 2002.

21. Зубов В. И. Устойчивость движения, М.: Высшая школа, 1973.

22. Зубов В. И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.

23. Зубов В. И. Динамика управляемых систем. М.: Высшая школа, 1982.

24. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

25. Лященко Н.Я. Об асимптотической устойчивости решений системы дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР. 96. №2. 1954. с. 237 -239.

26. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М: Наука, 1966.51 .Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978.

27. Maccepa X.JT. К теории устойчивости. Сб. переводов «Математика», ИЛ. Т.4. 1957. С. 81-101.

28. Михайлов Ф.А. Анализ и синтез нестационарных линейных систем. М.: Машиностроение, 1977.

29. Мухаметзянов И.А. Об устойчивости программного многообразия // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9. № 5. С. 846-856.

30. Осипов Ю.С. Геометрическая интерпретация задачи Кеплера // УМН. 1972. Т. 27. Вып. 2. С. 161.

31. Персидский К.П. Избранные труды. Т. 1,2. Алма-Ата: Наука, 1972.61 .Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964.

32. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: ГТТИ, 1947.

33. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 1, 2. М.: Наука, 1971, 1972.

34. Рейссинг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974.

35. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.

36. Себехей В. Теория орбит. М.: Наука, 1982.Ю.Степанов В.В. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1959.71 .Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики М.: Наука, 1967.

37. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.1Ъ.Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.

38. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1959.

39. Четаев Н.Г. Об устойчивости вращательных движений снаряда// В кн. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 19627в.Шарлъе К. Небесная механика. М.: Наука, 1966.

40. Шестаков А.А. О понятиях орбитальной устойчивости и прочности траекторий динамических систем // Колебания, прочность и устойчивость движения в задачах механики транспортных систем. Межвуз. сб. научн. трудов. М. РГОТУПС, 1998. С. 4-8.

41. Antosiewicz Н.A. On nonlinear differential equations of the second-order with integrable forcing term// J. London Math. Soc. 1955. V.30. P. 64-67.

42. Burton T.A. The generalized Lienard equation // J. SIAM Control. 1965.V.3.P.223-230.S7.Coppel W.A. Stability and asymptotic behavior of differential equations. Boston: Heath and Co. Math. Monograph, 1965.

43. Coppel W.A. Dichotomies in stability theory. Springer, 1978. (Lect. Notes in Math., V.629).

44. Darwin G.H. Periodic orbits //Acta Math. 1987. Y.21. P.99-242.

45. Halanay A. Differential equations stability, oscillations, time lags. Part 1. New York, 1966.91 .Laplace P.S. Traite de mecanique celeste. Paris, Duprat. 1799, v.l; 1802, v.2.

46. Pollard H., Saari D. Singularities of the n-body problem //Arch. Ration. Mech. Anal. 1968.V. 30. №4. P.263-269.

47. Qian C. Boundedness and asymptotic behavior of solutions of a second-order nonlinear system//Bull. London Math. Soc. 1992. V.24. P. 281-288.

48. Schwarz H.R. Stability of Kepler motion II Computer methods in applied mechanics and engineering. 1972. V. 1. P. 279-299.

49. Synge J.L. On the geometry of dynamics// Phil/ Trans. Roy. Soc. London. Ser.A. 1926. V. 226. P. 31-106.

50. Thomson W., Tait P. Treatise on natural philosophy. V.l. London: MacMillan and Co., 1867.

51. JJrabe M. Nonlinear autonomous oscillation. New York London: Academic Press, 1967.

52. Varga R.S. Matrix iterative analysis. Hrentice-Yall, 1962.

53. Winter A. Small perturbations // Amer. J. Mats. 1945 V. 67. P. 417 -430.