L-матрицы и их применения в небесной механике тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

Введение

Глава 1. ¿-матрицы второго порядка

§ 1.1. Уравнения движения плоской задачи двух тел в комплексных координатах. Первые интегралы.

§ 1.2. Преобразование уравнения движения на плоскости

§ 1.3. Регуляризация уравнения движения задачи двух тел на плоскости.

§ 1.4. Матричная форма регуляризующего преобразования

§ 1.5. Регуляризация с применением произвольной обобщенной матрицы Леви-Чивита.

§ 1.6. Классификация ¿-матриц второго порядка

Глава 2. Ь-матрицы четвертого порядка

§ 2.1. Замечание о размерности пространства.

§ 2.2. /^-матрица и регуляризация уравнения движения

§ 2.3. Группа базисных единиц в М^И).

§ 2.4. Представления ¿-матриц четвертого порядка.

§ 2.5. Ранг ¿-преобразования.

§ 2.6. Исследование второго представления Ь-матрицы.

§ 2.7. Структура ¿-матриц и их параметризация

§ 2.8. Подобие ¿-матриц.

§ 2.9. Классификация ¿-матриц.

§ 2.10. Собственные и несобственные ¿-матрицы.

§ 2.11. Обращение произвольного ¿-преобразования третьего ранга.

§ 2.12. Кватернионные матрицы и ¿-матрицы.

§ 2.13. Необходимые условия регуляризующего преобразования

Глава 3. Регуляризация основных уравнений движения

§ 3.1. Регуляризация канонических уравнений возмущенной задачи двух тел.

§ 3.2. Регуляризация Аарсета-Заре уравнений движения задачи трех тел.

§ 3.3. Глобальная регуляризация Хегги канонических уравнений задачи трех тел.

§ 3.4. Глобальная регуляризация в задаче N тел.

§ 3.5. Возмущенная ограниченная задача N тел.

§ 3.6. Доказательство теоремы о билинейном соотношении в основных случаях.

Глава 4. L-матрицы восьмого порядка

§ 4.1. Представления L-матриц восьмого порядка.

§ 4.2. Совместность определяющих соотношений

§ 4.3. Образующие L-матрицы и их свойства.

§ 4.4. Базис в

§(R), построенный с помощью образующих

§ 4.5. Второе доказательство теоремы о ранге ¿-преобразования восьмого порядка.

§ 4.6. Групповые свойства элементов множества

§ 4.7. Типы и подобие L-матриц восьмого порядка.

§ 4.8. Графическое представление базиса порожденного Lматрицей.

§ 4.9. Построение L-матрицы восьмого порядка.

§ 4.10. Тождества для L-матриц восьмого порядка.

Глава 5. L-матрицы восьмого порядка и некоторые динамические системы

§ 5.1. Регуляризация уравнения движения пятимерной кеплеровой задачи.

§ 5.2. Регулярные элементы.

§ 5.3. Регуляризация канонических уравнений

§ 5.4. Параметрический изоморфизм лиевых алгебр осцилляторов и кеплеровых задач размерностей 2, 3, 5.

Глава 6. Применение L-матриц при численном интегрировании

§ 6.1. Численное интегрирование на плоскости и задача на минимакс.

§ 6.2. Нахождение минимакса.

§ 6.3. Примеры численного интегрирования с коррекцией на плоскости.

§6.4. Пространственный случай. Интегрирование с различными ^-матрицами четвертого порядка.

§ 6.5. Задача об оптимальном положении пары векторов в Ы

§ 6.6. Ортогональное преобразование, приводящее к оптимальному положению

§ 6.7. Численные результаты.

Уравнения движения в гравитационном поле принимают сингулярность всякий раз, когда расстояния между двумя и более телами обращаются в нуль [7, 44]. При соударении по крайней мере двух точек некоторые слагаемые в этих уравнениях принимают бесконечные значения. В этой связи возникают трудности численного и аналитического характера. Задачей регуляризации является преобразование сингулярных уравнений движения в уравнения, не содержащие особенностей. Сама процедура устранения особенностей называется регуляризацией.

Регуляризация уравнений важна во многих отношениях. По этому поводу процитируем В. Себехея [42] (стр. 84): "После того как проведена регуляризация, можно выполнить следующие действия:

1) доказать существование решений при произвольном выборе начальных условий;

2) построить аналитически решения, проходящие через особые точки;

3) получить решения численно до столкновения, в момент столкновения и после столкновения;

4) рассмотреть сближение с повышенной численной точностью."

Проведение численных экспериментов в звездной динамике и расчеты орбит перелета в космической динамике стимулировали развитие методов регуляризации в небесной механике. Регуляризация имеет большое значение при высокоточных численных исследованиях систем, состоящих из большого числа материальных точек, между которыми возможны частые сближения. Каждое сближение точек приводит к увеличению значения сингулярных слагаемых в уравнениях движения. Для сохранения точности вычисления в этих случаях приходится уменьшать шаг интегрирования, что ведет к большим затратам времени счета.

Заметим, что в реальности соударений материальных точек не бывает, поскольку до этого момента происходит соприкосновение поверхностей взаимогравитирующих тел. Но так как в уравнения движения заложено понятие материальной точки, то возникают теоретические особенности. Эти особенности таковы, что в соответствующих переменных они могут быть устранены.

Истинной регуляризацией мы считаем ту, при которой из уравнений движения устранены особенности, обусловленные притягивающими точками, и результирующие уравнения допускают соударения точек в конечный момент времени.

Исторически первым (1765 г.) регуляризацию выполнил Л. Эйлер [74], который применил временное преобразование для исключения особенности в уравнении движения двух точек, движущихся по одной и той же прямой. В случае движения на плоскости применение комплексного преобразования совместно с временным преобразованием позволило осуществить регуляризацию Т. Леви-Чивита (1903 г.) [84, 85]. Трехмерное уравнение задачи двух тел регуляризовал П. Кустаанхеймо (1964 г.) [82]. При этом он использовал пару комплексных переменных. Вещественная реализация соответствующего преобразования выполнена П. Кустаанхеймо и Е. Штифелем (1965 г.) [83]. В результате появилась так называемая А'¿'-матрица. В переменных Кустаанхеймо-Штифеля уравнения движения возмущенной задачи двух тел близки к линейному виду и при численном интегрировании ведут себя лучше, чем классические: повышается точность и уменьшается машинное время вычисления при использовании одного и того же численного метода.

А. Фольком [91] было показано, что /^-преобразование вытекает естественным образом из общего решения задачи двух тел, если используется "вспомогательная" независимая переменная.

Отметим, что регуляризованные уравнения пространственной задачи двух тел без применения координатного преобразования получены также М.С. Яров-Яровым [57] и Сперлингом [90]. В работе [58] М.С. Яров-Яровым выведены формулы для определения малых возмущений в регулярных координатах. Им же опубликована идея гамильто-нова анализа регуляризованных уравнений в 1966 году [59].

И.М. Беленький в [4] получил регулярное уравнение задачи двух тел в полярных координатах и вывел соотношение, определяющее регуляри-зующую функцию при заданном потенциале поля.

С помощью А"5-матрицы С. Аарсету и К. Заре [63] удалось выполнить локальную регуляризацию в задаче трех тел и Д. Хегги [76] — глобальную регуляризацию в задаче N тел и в ограниченной задаче трех тел, то есть такую регуляризацию, при которой устраняются одновременно особенности при любых парных соударениях материальных точек. До этих работ Вальдфогель [93] достиг глобальной регуляризации в плоской задаче трех тел с использованием преобразования Леви-Чивита. Работа К. Заре [94] развивает метод работы [63] на случай задачи А^-тел и целью является регуляризация парных соударений между выделенной частицей и любой частицей выделенной подсистемы частиц.

Метод работы [63] оправдал себя в численных экспериментах С. Аар-сета и Д. Хегги в задаче трех тел [62]. М. Александером [64] проведено сравнение методов регуляризации работ [63], [94], [76]. В работах С. Миккола и С. Аарсета [86], [87] развивается метод многократной регуляризации, названный методом цепной регуляризации. В этом методе, как частный случай, содержится метод работы К. Заре [94]. В последних двух работах предлагается также численный способ нахождения начальных условий орбит соударения посредством интегрирования регулярных уравнений задачи N тел. Бискончини [70] рассматривал нахождение начальных условий, приводящих к соударению в задаче трех тел, при помощи степенных рядов.

Вопросам регуляризации уравнений задачи двух тел с применением кватернионов и кватернионных матриц посвящены работы Ю.Н. Челнокова [48] - [52]. Кроме того, в статье Ю.Н. Челнокова и Я.Г. Сапункова [53] регулярные уравнения используются для построения оптимальных траекторий управляемого космического аппарата.

Использование /^-процедуры приводит к увеличению размерности динамической системы. В связи с этим М.Л. Лидов, отвлекаясь от задачи регуляризации, рассматривает в [15] преобразования, при которых происходит увеличение размерности системы и сохраняется гамильто-нова форма уравнений. /-^-переменные применялись М.Л. Лидовым и В.А. Ляховой в ограниченной задаче трех тел для определения пространственных периодических орбит, близких к орбите, проходящей через особую точку [16], [17]. Применение регулярных переменных позволило избежать вычислительных трудностей.

У. Кирхграбером [79] изучено движение ракеты с постоянной тягой в /'Гб'-переменных. В этой задаче им получены замкнутые формулы в эллиптических функциях. В работе [80] он вводит новое множество канонических элементов в КЗ-теорию посредством предварительного перехода от регулярных координат к полярным. В. Бонд [71] предложил универсальную систему регулярных элементов, хорошо приспособленную для орбит, близких к параболическим. Улучшение стабилизации интегрирования достигается посредством введения двух дополнительных элементов для времени. В результате возмущенное движение описывается системой двенадцатого порядка. В работах [65, 68] обсуждаются примеры преобразований, улучшающих численную точность интегрирования дифференциальных уравнений. А именно, рассматриваются различные виды временных преобразований, использование интеграла энергии в уравнениях, описывающих кеплерово движение, и координатное преобразование, осуществляемое с помощью Т^б'-матрицы.

Работы В.А. Шефера [54], [55] обобщают метод Себехея [89] посредством введения преобразования позиционных переменных. Эти работы посвящены совместному применению Кб'-переменных и интегралов движения. Однако, как показано в [24], уже в плоском случае этот подход дает неудовлетворительные результаты в смысле увеличения объема вычислений вектора возмущающих ускорений. Отметим также работу В. Бонда [72], в которой рассматривается регуляризация уравнений задачи двух тел в сферических координатах с использованием интегралов энергии и площадей.

В работе В.А. Кузьминых [14] находятся разложения в степенные ряды решений уравнений движения возмущенной задачи двух тел, записанных в К5-переменных. В качестве возмущений взяты притяжения (ТУ — 2)-х материальных точек, движущихся по окружностям с центрами в начале координат.

С помощью преобразований Леви-чивита и Кустаанхеймо-Штифеля Баумгарте [66] устанавливает абстрактный изоморфизм лиевых алгебр в динамических системах двумерный осциллятор-плоская задача двух тел и четырехмерный осциллятор-трехмерная задача двух тел. В работе [67] им построена группа канонических преобразований, оставляющих инвариантным гамильтониан кеплеровой задачи с эксцентрической аномалией в качестве независимой переменной. При построении этой группы возникает алгебра во(4, 2). Путем конкретизации абстрактного изоморфизма этой алгебры получается /^-преобразование, отображающее трехмерное кеплерово движение на четырехмерное движение осциллятора.

Отметим также работу Ю. Мозера [88], в которой была введена естественная регуляризация уравнений кеплерова движения в ВЛ В этой статье показано, что поверхность энергии Н = Е для отрицательных значений Е < О взаимно однозначно топологически отображается на касательное расслоение единичных векторов к выколотой сфере 5П. В качестве отображения взята стереографическая проекция и выколотая точка соответствует северному полюсу. Фазовый поток кеплеровой задачи отображается в геодезический поток на без выколотой точки. При этом сингулярные орбиты соответствуют окружностям, проходящим через выколотую точку.

К работе Ю. Мозера близко примыкают работа Е. Бельбруно [69] и заметка Ю.С. Осипова [19]. В работе [69] рассматриваются случаи положительного и нулевого значений энергии, которые приводят к геодезическим потокам на гиперболоиде и в евклидовом пространстве.

В работах М. Куммера [81] и Т. Иваи [78] рассмотрено соотношение между методами регуляризации работ [83] и [88] для трехмерной задачи двух тел.

Достаточно подробный обзор работ по регуляризации уравнений движения ограниченной задачи трех тел, не связанной с /^-преобразованием, приводится в монографии В. Себехея [42]. В ней рассматриваются глобальные регуляризации этой задачи такие, как регуляризация Биркгофа. Обобщение регуляризации Биркгофа на пространственный случай выполнено Вальдфогелем [92]. О важности ограниченной задачи трех тел для космодинамики говорится в работах М.С. Яров-Ярового [60], [61] и В.А. Егорова [8, 9], в которых рассматриваются вопросы уточнения методов численного интегрирования и качественный анализ в задаче движения космического аппарата в системе Земля-Луна.

В монографии [56] на примерах показывается повышение точности интегрирования регулярных уравнений за счет автоматического регулирования шага (в сравнении с постоянным шагом). Численное интегрирование методом Рунге-Кутты-Фельберга с матрицей Леви-Чивита и КБ-матрицей показало, что при нахождении орбит одинаковых по форме, но расположенных различно относительно системы координат, производятся различные вычислительные затраты. Это обстоятельство привело нас к развитию теории ¿-матриц и математическому обоснованию применимости их в регуляризационных задачах небесной механики.

Дадим краткое описание наших работ, в которых рассматриваются методы регуляризации уравнений движения, связанные только с ¿-матрицами. Преобразования, порождаемые ¿-матрицами 2-го, 4-го и 8-го порядков, названы ¿-преобразованиями соответствующих порядков. При этом для второго и четвертого порядков применяется нами также терминология "обобщенные преобразования Леви-Чивита" и "обобщенные /{"^-преобразования".

В работах С.М. Полещикова [21, 22, 25] поставлена и решена задача аксиоматического построения полного семейства преобразований, допускающих регуляризацию уравнений задачи двух тел и приводящих их к линейному виду, то есть обладающих свойствами преобразования Леви-Чивита и КЗ-преобразования. При этом среди определяющих соотношений одно взято в дифференциальной форме. В отличии от этого подхода в работах [30] - [32] при определении ¿-матриц второго и четвертого порядков используются только алгебраические соотношения.

Исходя из свойств, характерных для матрицы Леви-Чивита, в [31] было построено полное двухпараметрическое семейство ¿-матриц второго порядка, содержащее в себе как частный случай матрицу Леви-Чивита и позволяющих также привести уравнения задачи двух тел к линейному виду. Доказано, что эти характерные свойства появляются естественным образом из задачи приведения уравнения движения к уравнению, имеющему вид гармонического осциллятора. За определяющие соотношения взяты свойство ортогональности матрицы преобразования и свойство перестановочности двух векторов относительно операции произведения матрицы на один из этих векторов. Указан способ параметризации семейства ¿-матриц второго порядка.

Работы [30], [32] отличаются представлениями ¿-матриц четвертого порядка. В первой вводится представление ¿-матрицы по столбцам, во второй — по строкам. Наши исследования показали, что более удачным, как в методическом, так и в конструктивном плане, является сторочное представление ¿-матриц. В этих работах выделены следующие свойства классического /^-преобразования, взятые за определяющие соотношения: ортогональность преобразования и симметричность соответствующего билинейного преобразования по трем (физическим) координатам и антисимметричность по четвертой вспомогательной координате. В [25] доказана достаточность этих определяющих соотношений для проведения регуляризации уравнения задачи двух тел.

В статье [32] показывается, что соответствующая обобщенному КБ-преобразованию ¿-матрица четвертого порядка определяет четверку ко-сосимметрических ортогональных матриц четвертого порядка. В этой четверке первые три матрицы являются антикоммутативными между собой, а четвертая коммутативна с ними. Наоборот, произвольная четверка кососимметрических матриц с указанными свойствами однозначно определяет ¿-матрицу четвертого порядка.

Для описания структуры обобщенных ¿-матриц четвертого порядка вводится и используется специальный базис из 16-ти ортогональных целочисленных матриц, среди которых шесть кососимметрических и десять симметрических, в пространстве всех матриц четвертого порядка. Установлены групповые свойства элементов базиса. Показано, что первые три матрицы в четверке вполне однозначно задают ортонормиро-ванный репер в одном из двух различных трехмерных векторных пространств. Эти пространства являются линейными оболочками двух различных троек кососимметрических матриц из указанного специального базиса.

Две матрицы, взятые из различных пространств, коммутируют между собой. Четвертая кососимметрическая матрица из набора, определяющего ¿-матрицу, соответствует произвольному единичному вектору в альтернативном трехмерном пространстве. Репер, соответствующий первым трем матрицам и единичный вектор, соответствующий четвертой матрице, лежат в различных пространствах. Тем самым с помощью указанного базиса дано вполне конструктивное описание структуры всех ¿-матриц четвертого порядка.

При построении ¿-преобразования четвертого порядка исследована совместность определяющих соотношений и доказана теорема о возможных размерностях образа этих преобразований, так называемая теорема о ранге ¿-преобразования. Показано, что симметричность билинейного преобразования по первым трем координатам и антисимметричность по четвертой координате является характерным свойством ¿-преобразования. Аналогичных преобразований с симметрией по координатам и антисимметрией по другим двум координатам, а также преобразований с симметрией по всем координатам не существует. Возможно ¿-преобразование с симметрией по одной координате и антисимметрией по остальным трем координатам, но оно в задаче регуляризации сводится к случаю прямолинейного движения тела, что не представляет интереса в силу тривиальности.

Элементы ¿-матриц являются линейными функциями нескольких переменных. В работе [23] в качестве элементов матриц взяты однородные многочлены второй степени. В этом случае регуляризованные уравнения невозмущенной задачи двух тел не сводятся к линейным.

В [24] показана нецелесообразность совместного использования интеграла энергии и интеграла Лапласа в плоском случае для задачи регуляризации.

Статьи [26], [39] посвящены выводу одного тождества для усеченной ¿-матрицы четвертого порядка и проверке достаточных условий каноничности обобщенного КБ-преобразования, регуляризующего уравнения движения задачи двух тел в гамильтоновой форме.

В ходе численного интегрирования регулярных уравнений движения при одних и тех же начальных условиях и различных параметрах семейства ¿-матриц оказалось, что системы регулярных координат неравноценны между собой [27], [41]. В некоторых системах интегрирование происходит быстрее, чем в остальных. Это обстоятельство привело к задаче исправления системы регулярных координат на определенных шагах численного интегрирования.

Переход от одних регулярных переменных к другим осуществляется посредством ортогонального преобразования. Вид регулярных уравнений при этом не меняется. Эта инвариантность использована при численном интегрировании уравнений движения. При численном интегрировании использовался метод Рунге-Кутта-Фельберга пятого порядка точности, в котором для нахождения величины шага интегрирования находится покоординатный максимум модуля разности двух приращений решения. Линейность регулярного уравнения движения позволила провести некоторый анализ при варьировании длины шага численного интегрирования и указать оптимальное решение.

В работах [27], [31] изучается зависимость правой части регулярных уравнений на плоскости от углового параметра и дано применение этому параметру при численном интегрировании: разработан метод исправления системы регулярных переменных на каждом шаге интегрирования для плоского случая. Задача увеличения шага интегрирования приведена к задаче нахождения минимакса некоторого числа функций, определяемых векторным полем нормальной системы невозмущенных уравнений движения. Это приводит к сокращению числа вычислений правых частей дифференциальных уравнений и уменьшению машинного времени, особенно при интегрировании орбит низких ИСЗ, когда учитываются все гармоники геопотенциала. Даны результаты численного интегрирования уравнений движения в невозмущенном и возмущенном случаях.

Практическое применение L-матриц четвертого порядка в задаче регуляризации подробно рассмотрено в работе [41]. Как и в плоском случае, решена задача об оптимальном положении радиус-вектора и скорости для регулярных уравнений при численном интегрировании. Построено ортогональное преобразование, приводящее к этому оптимальному положению. Указанное ортогональное преобразование состоит из четырех поворотов. Один из них совпадает с L-преобразованием ранга единица. В отличии от плоского случая во всех этих преобразованиях параметры семейства L-матриц в явном виде не используются. Найденное решение минимаксной задачи позволяет сократить объем вычислений вектора возмущающих ускорений.

В работе [28] построено преобразование в восьмимерном пространстве, имеющее свойства, аналогичные свойствам L-преобразований в четырехмерном пространстве. Доказана теорема о числе симметричных и антисимметричных компонент векторов, порождающих L-матрицы восьмого порядка, ¿-матрица представляется по столбцам. Поэтому при построении ¿-матриц используется координатный подход. Доказано, что слои, образованные ¿-преобразованиями трехмерны. В работе [35] используется строчное представление ¿-матрицы восьмого порядка и по аналогии с четырехмерным случаем вводится понятие образующих.

Найденные ¿-преобразования восьмого порядка были применены при регуляризации уравнений пятимерного кеплерова движения [29, 38].

Вопрос о подобии ¿-матриц и тесно связанный с ним вопрос о классификации множества ¿-матриц рассмотрены в серии работ [32, 34, 41]. Впервые понятие ¿-подобия введено в [32], а уточнено в [34] и [41]. ¿-подобие задается произвольной ортогональной матрицей четвертого порядка. В [32] показано, что множество всех ¿-матриц делится на два несвязных множества, ¿-подобных между собой матриц. Как показано в [32], ¿-матрицы подобны между собой тогда и тогда, когда соответствующие реперы из первых трех образующих, рассматриваемых как единичные векторы трехмерных оболочек, одинаково ориентированы. В работе [41] приведены конструктивные формулы для построения ортогональной матрицы ¿-подобия и показано, что собственные матрицы ¿-подобия связывают ¿-матрицы, у которых первые три образующие лежат в одном и том же трехмерном пространстве, а несобственные — в различных трехмерных пространствах. Там же приведено разложение классической 7^5-матрицы в специальном базисе кососимметрических матриц. Кроме того, приводятся результаты сравнительного численного интегрирования регулярных уравнений движения спутника с использованием Ь-матриц из каждого класса.

Полученные результаты позволяют полностью выявить алгебраическую структуру множества всех ¿-матриц, разбивающихся на четыре несвязных между собой класса. В работе [34] показана связь между определителем ¿-матрицы и принадлежностью ¿-матрицы одному из четырех классов.

В заметке С.М. Полещикова [33] устанавливается формула, связывающая знак определителя ¿-матрицы с ее типом и ориентируемостью. В частности, из этой формулы вытекает независимость определителя Ь-матрицы от четвертой образующей.

В тезисах [40] анонсированы центральные результаты теории ¿-матриц. И, наконец, в монографии [41] излагается полная теория ¿-матриц и ее приложения в регуляризационных задачах небесной механики. При этом для ¿-матриц рассматривается только строчное представление. Эта монография является сокращенным вариантом настоящей диссертации.

Немного о содержании диссертации. Первая глава посвящена построению ¿-матриц второго порядка и изучению их свойств. В этой главе выделяются необходимые и достаточные соотношения, накладываемые на ¿-матрицы второго порядка, исходя из задачи соответствия решений уравнений кеплерова движения и двумерного гармонического осциллятора.

Вторая глава начинается с анализа реализации ¿-матриц возможных порядков. Оказывается, что требование совместного выполнения свойств ортогональности и линейности у матриц приводит только к порядкам 1,2,4,8. Это результат, известный еще Гурвицу [77]. На ¿-матрицы накладывается дополнительное свойство перестановочности векторов относительно операции умножения матрицы на вектор. Это свойство — частный случай свойства линейности и оно возникает необходимо из задачи установления соответствия между решениями уравнений кеплерова движения в трехмерном пространстве и четырехмерного гармонического осциллятора. В этой главе дается обоснование определяющих свойств для нахождения всего семейства ¿-матриц четвертого порядка. Доказанная теорема о структуре ¿-матриц четвертого порядка позволяет параметризовать их естественным образом. После построения семейства ¿-матриц вводится понятие ¿-подобия рассматриваемых матриц и решается естественная задача их классификации. На основе этой классификации приводится алгоритм обращения произвольного ¿-преобразования, порождаемого ¿-матрицей.

В третьей главе рассматривается применение ¿-матриц к регуляризации уравнений движения некоторых наиболее важных небесномехани-ческих задач. Отличием от предыдущего изложения является гамиль-тонова форма уравнений движения. Излагаются результаты локальной регуляризации Аарсета, Заре и глобальной регуляризации Хегги в задаче трех тел с более общих позиций разработанной теории ¿-матриц. Независимая и конфигурационные переменные могут быть выбраны так, что дифференциальные уравнения задачи ТУ тел будут регулярными относительно парных соударений. Таким образом, получается вещественное продолжение решения за момент таких соударений. Интересной особенностью регулярных уравнений задачи ТУ тел при глобальной регуляризации является их полиномиальная структура. Здесь же рассматривается регуляризация уравнений возмущенной ограниченной задачи ТУ тел.

В четвертой главе определяются ¿-матрицы восьмого порядка. Дается описание этих матриц посредством кососимметрических ортогональных матриц восьмого порядка, названных по аналогии с четырехмерным случаем образующими. В отличие от четырехмерного случая с помощью этих образующих удается построить базис всего пространства матриц восьмого порядка над полем вещественных чисел. Для этого базиса введено графическое представление посредством полного неориентированного графа с восемью вершинами. Исследованы некоторые свойства этого представления. Приведены наборы образующих ¿-матрицы в конкретном базисе. Для ¿-матриц восьмого порядка получены некоторые тождества и равенства, используемые далее в задаче регуляризации.

В пятой главе найденные ¿-матрицы восьмого порядка используются для регуляризации уравнений движения пятимерной кеплеровой задачи. Тем самым дается решение задачи из монографии Е. Штифеля и Г. Шейфеля [56] о применении непрерывного веторного поля на семимерной сфере. В этой же главе выводятся уравнения движения в элементах по аналогии с четырехмерным случаем. Завершается глава рассмотрением лиевых алгебр динамических систем и установлением изоморфизмов между алгебрами кеплеровых задач размерностей 2,3,5 с одной стороны и алгебрами гармонических осцилляторов размерностей 2,4,8 с другой стороны соответственно. Первые два соответствия обобщают результаты Баумгарте [66]. Последнее соответствие является новым результатом.

Последняя, шестая глава носит прикладной характер. В ней изучается влияние параметров ¿-матриц на процесс численного интегрирования методом Рунге-Кутты-Фельберга. Благодаря линейной структуре регулярного уравнения движения задачи двух тел и его инвариантности относительно ортогонального преобразования регулярных координат удается найти решение оптимизационной задачи при численном интегрировании. Полученный алгоритм решения этой задачи назван методом коррекции или исправления системы регулярных координат. Этот метод протестирован при интегрировании уравнений для нахождения орбит около пятидесяти спутников.

Отметим одну особенность регуляризации уравнений пространственного движения, основанную на ¿-преобразованиях. Эта регуляризация достигается всегда за счет увеличения числа переменных.

Заключение

В заключительной части работы отмечаются существенные моменты рассмотренной теории ¿-матриц.

-матрицы определяются равенствами для всех векторов и, у Е И". Эти соотношения используются в задаче приведения уравнения кеплерова движения к уравнению гармонического осциллятора в пространствах соответствующих размерностей. Матрицы, обладающие свойством (3.1) и линейности, могут иметь порядки 1,2,4,8. Свойства (3.2), (3.3) это модификация свойства линейности. Поэтому п в (3.1) принимает значения 1,2,4,8.

Преобразование х = ¿(и)и, порождаемое ¿-матрицей порядка п называется Ь-преобразованием порядка п.

Из (3.2), (3.3) для ¿-матрицы следует представление вида

Тогда из свойства (3.1) вытекает ортогональность матриц А\ и кососимметричность всевозможных произведений % Ф ]. Совместно с (3.2), (3.3) получаем, что элементы набора {А\,., Ар} - симметрические матрицы и антикоммутируют между собой, элементы набора {Ар+1,., Ап) - кососимметрические матрицы и так же антикоммутируют между собой. Кроме того, элементы первого множества коммутируют с элементами второго множества.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Свойства (3.1) - (3.3) совместны при п = 2 для значений р = 1,2, при п = 4 для р = 1,3 и при п = 8 для р = 1,5.

ЬТ{и)Ь( и) = ¿(^¿т(и) = |и|2£, и)у)г- = (¿(у)и)г-, г = 1 ,.,р, (¿(и)у); = -(¿(у)и)г-, г = р + 1,., п,

3.1)

3.2)

3.3) п = 2,4,8.

Размерность ¿-образа линейного пространства называется рангом ¿-преобразования. Из теоремы 1 следует, что ¿-преобразования бывают только двух рангов. В частности, ¿-преобразование любого порядка при р = 1 отображает линейное пространство на прямую. Такие ¿-преобразования для регуляризации уравнений непрямолинейного движения не подходят. Далее будет рассматриваться случай р ф 1.

При п = 4,8 для описания ¿-матриц можно ограничиться только ко-сосимметрическими ортогональными матрицами, которые вводятся формулами

Кп — А-т Кг — А{Ап, г = 1,., п — 1. Для них выполняются соотношения

КгК^ + КуК{ = 0, г,3 = 1,., п - 1, г ф з, КгКп - КпК1 = 0, г = 1,.

КгКп + КпК{ = 0, г = р + 1,., п - 1.

Матрицы Кг называются образующими ¿-матрицы. Перечислим важнейшие свойства этих образующих.

Случай п = 4. Справедливо равенство К\К2 = ±/<3. Поэтому множество {±Е,±К\,±К2,±Кз} образует группу, изоморфную или антиизоморфную группе кватернионов. Из образующих К\, К2, К4 нельзя построить базис в И).

Случай п = 8. Образующие связаны равенствами К7 = ±К\. К§, К$ = ±.К\. К§. Множество

Е, ±Ки., ±КЪ ±КХК2,., ±К6КЪ ±КгК2Кг,., ±КЬК6К7} образует мультипликативную группу 128-го порядка. Из образующих К\,., К7 можно построить базис в пространстве М$(И).

Рассмотрим линейное преобразование и = 5и и введем обозначение ¿(и) = ¿(5и)£и. Для того, чтобы ¿(и) была ¿-матрицей необходимо и достаточно, чтобы 5 £ 0(п). Тем самым на множестве всех ¿-матриц вводится действие ортогональной группы 0(п).

Теорема 2. Множество ¿-матриц второго порядка однородно относительно действия 0(2) и разбивается на две орбиты при действии специальной ортогональной группы 50(2). Множество Ь-матриц четвертого порядка разбивается на две орбиты при действии 0(4) и на четыре орбиты при действии 50(4). Множество Ь-матриц восьмого порядка распадается на четыре орбиты при действии О (8) и на восемь орбигА при действии 50(8).

В любой теории, а тем более в новой, имеются проблемы, требующие своего разрешения. На данном этапе нам представляются интересными следующие задачи, изложенной выше теории.

1. Построение конструктивных формул преобразования ¿-подобия в восьмимерном случае и обращение произвольного ¿-преобразования восьмого порядка.

2. Использование различных ¿-матриц при численном интегрировании регулярных уравнений задачи ТУ-тел.

3. Доработка метода коррекции на случай произвольных возмущений.

4. Применение регулярных уравнений ограниченной задачи ]У-тел для нахождения орбит достижения планет.

5. Для интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка (без сведения их к первому порядку) Фельбергом был предложен метод, названный им методом Рунге-Кутты-Нистрема. В этом методе величина шага интегрирования контролируется аналогично методу Рунге-Кутты-Фельберга. Поэтому при численном интегрировании регулярных уравнений методом Рунге-Кутты-Нистрема можно также ввести исправление регулярной системы координат на кадом шаге интегрирования.

1. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1977, 360 с.

2. Балк М.Б. Элементы динамики космического полета. М.: Наука, 1965, 340 с.

3. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Том 1. М.: Мир, 1980, 456 с.

4. Беленький И.М. Об одном методе униформизации решений в задачах центрального движения // ПММ, 1981, т. 45, №1, с. 34 41.

5. Белман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976, 352 с.

6. Бордовицина Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука, 1984, 136 с.

7. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1975, 800 с.

8. Егоров В. А. О некоторых задачах динамики полета к Луне // Успехи физиче-ких наук, 1957, т. 63, вып. 1а, с. 73 118.

9. Егоров В. А. Пространственная задача достижения Луны. М.: Наука, 1965, 224 с.

10. Емельянов Н.В. Методы составления алгоритмов и программ в задачах небесной механики. М.: Наука, 1983, 128 с.

11. Жубр A.B. KS-преобразования и инволюции нормированных алгебр // Вестник Сыктывкар, ун-та. 1996, вып. 2, сер. 1, с. 43 58.

12. Кантор Л.И., Солодовников A.C. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973, 144 с.

13. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Том 2. М.: Наука, 1977, 400 с.

14. Кузьминых В. А. О глобальной регуляризации орбит относительного движения в одном варианте задачи нескольких тел // ПММ, 1997, т. 61, вып. 1, с. 75 79.

15. Лидов M.JI. Увеличение размерности гамильтоновых систем, KS-преобра-зование, использование частных интегралов // Космич. ис., 1982, т. 20, вып. 2, с. 163 176.

16. Лидов М.Л. Метод построения семейств пространственных периодических орбит в задаче Хилла // Космич. ис., 1982, т. 20, вып. 6, с. 787 807.

17. Лидов M.J1., Ляхова В. А. Семейства пространственных периодических орбит задачи Хилла и их устойчивость // Космич. ис., 1983, т. 21, вып. 1, с. 3 11.

18. Мячин В.Ф. Регуляризация двойных соударений в задаче N тел и ее применение к численному интегрированию уравнений небесной механики. II // Бюлл. ИТА, 1975, т. 13, №10, с. 636 651.

19. Осипов Ю.С. Геометрическая интерпретация задачи Кеплера // Успехи матем. наук, 1972, т. 27, вып. 2, с. 161.

20. Парс Л.А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971, 636 с.

21. Полещиков С.М. Обобщение KS-регуляризации. Сборник тезисов докладов Всероссийского семинара по теории функций. — Сыктывкар: СыкГУ, 1993, с.42 44.

22. Полещиков С.М. Линейная регуляризация задачи двух тел на плоскости. Деп. в ВИНИТИ 29.10.93, №2703-В93, 9 с.

23. Полещиков С.М. Квадратичная регуляризация задачи двух тел на плоскости. Деп. в ВИНИТИ 29.10.93, №2701-В93, 12 с.

24. Полещиков С.М. Об использовании интегралов движения при регуляризации уравнений плоской задачи двух тел. Деп. в ВИНИТИ 29.10.93, №2702-В93, 12 с.

25. Полещиков С.М. О семействе KS-преобразований. Деп. в ВИНИТИ 12.11.93, №2787-В93, 27 с.

26. Полещиков С.М. Каноническая форма обобщенного KS-преобразования. Деп. в ВИНИТИ 12.11.93, №2788-В93, 12 с.

27. Полещиков С.М. Коррекция возмущающего ускорения в параметрических координатах при помощи параметра регуляризации. Деп. в ВИНИТИ 10.01.94, №52-В94, 9 с.

28. Полещиков С.М. Применение непрерывного векторного поля на семимерной сфере. Часть 1. Построение преобразования. Деп. в ВИНИТИ 18.05.94, №1249-В94, 20 с.

29. Полещиков С.М. Применение непрерывного векторного поля на семимерной сфере. Часть 2. Регуляризация дифференциального уравнения. Деп. в ВИНИТИ 18.05.94, М250-В94, 21 с.

30. Полещиков С.М., Холопов A.A. Алгебраический метод нахождения обобщенного KS-преобразования. Деп. в ВИНИТИ 18.08.95, №2464-В95, 13 с.

31. Полещиков С.М., Холопов A.A. Введение параметров в преобразвании Леви-Чивита и их применение // Астрон. журн., 1996, т. 73, №6, с. 947 952.

32. Полещиков С.М., Холопов A.A. Обобщенные /"Г¿'-преобразования 4-го порядка // Вестник Сыктывкар, ун-та, 1996, вып. 2, сер. 1, с. 201 212.

33. Полещиков С.М. Собственные и несобственные ^Г^-матрицы // Вестник Сыктывкар. ун-та, 1996, вып. 2, сер. 1, с. 259 260.

34. Полещиков С.М., Холопов A.A. Классификация А'¿'-матриц четвертого порядка // Информ. листок, 1996, Коми ЦНТИ, серия Р.41.03, №51-96, 3 с.

35. Полещиков С.М. ¿-матрицы восьмого порядка // Труды Сыктывкарского лесного института, 1997, т. 1, с. 8 14.

36. Полещиков С.М., Холопов A.A. Построение ¿-матрицы восьмого порядка // Труды Сыктывкарского лесного института, 1997, т. 1, с. 15 21.

37. Полещиков С.М. Алгебраические свойства ¿-матриц восьмого порядка // Труды Сыктывкарского лесного института, 1997, т. 1, с. 22 26.

38. Полещиков С.М. Регуляризация уравнений движения пятимерной кеплеровой задачи // Вестник Сыктывкар, ун-та, 1999, вып. 3, сер. 1, с. 223 236.

39. Полещиков С.М. Регуляризация канонических уравнений задачи двух тел с помощью обобщенной /Г¿'-матрицы // Космич. ис., 1999, т. 37, №3, с. 322 328.

40. Полещиков С.М. Теория ¿-матриц. Сборник тезисов докладов апрельской конференции. — Сыктывкар: СЛИ, 1999, с. 39-41.

41. Полещиков С.М., Холопов A.A. Теория ¿-матриц и регуляризация уравнений движения в небесной механике. — Сыктывкар: СЛИ, 1999, 255 с.

42. Себехей В. Теория орбит. М.: Наука, 1982, 656 с.

43. Соколов Н.П. Пространственные матрицы и их приложение. М.: Изд-во физ.-мат. литературы, 1960, 300 с.

44. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968, 800 с.

45. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.: Объединенное научно-техническое изд-во, 1937, 500 с.

46. Форсайт Дж, Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.:Мир, 1980, 280 с.

47. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Ред. Холл Дж., Уатт Дж. М.: Мир, 1979, 312 с.

48. Челноков Ю.Н. К регуляризации уравнений пространственной задачи двух тел // Изв. АН СССР МТТ, 1981, №6, с. 12 21.

49. Челноков Ю.Н. О регулярных уравнениях пространственной задачи двух тел // Изв. АН СССР МТТ, 1984, №1, с. 151 158.

50. Челноков Ю.Н. Кватернионные методы в задачах возмущенного центрального движения материальной точки. Деп. в ВИНИТИ 13.12.85, №8628-В85, 36 с.

51. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутника. I // Космич. ис., 1992, т. 30, вып. 6, с. 759 770.

52. Челноков Ю.Н. Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутника. II // Космич. ис., 1993, т. 31, вып. 3, с. 3 15.

53. Челноков Ю.Н., Сапунков Я.Г. Построение оптимальных управлений и траекторий космического аппарата на основе регулярных кватернионных уравнений задачи двух тел // Космич. ис., 1996, т. 34, №2, с. 150 158.

54. Шефер В. А. Линеаризация и регуляризация уравнений кеплеровского движения с помощью интегралов // Астрон. журн., 1991, т. 68, вып. 1, с. 197 205.

55. Шефер В.А. Линеаризация и регуляризация уравнений кеплеровского движения в четырехмерном параметрическом пространстве // Астрон. журн., 1993, т. 70, вып. 5, с. 1113 1119.

56. Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М.: Наука, 1975, 304 с.

57. Яров-Яровой М.С. Об интегрировании регуляризированных уравнений задачи двух тел // Диф. уравнения, 1965, т. 1, №7, с. 961 976.

58. Яров-Яровой М.С. О решении регуляризированных уравнений в теории возмущений // Диф. уравнения, 1965, т. 1, №9, с. 1204 1230.

59. Яров-Яровой М.С. О приближенном решении ограниченной задачи трех тел в окрестности одной из притягивающих масс. В кн. "Проблемы движения малых тел солнечной системы". Баку, 1966, с. 77 89.

60. Яров-Яровой М.С. Аналитическая теория движения космического корабля к Луне // Труды ГАИШ МГУ, 1967, с. 28 161.

61. Яров-Яровой М.С. О применении уточненных методов численного интегрирования в небесной механике // Труды ГАИШ МГУ, 1974, с. 179 199.

62. Aarseth S.J., Heggie D.C. The Probability of binary formation by three-body encounters // Astron. Astrophys., 1976, v. 53, p. 259 265.

63. Aarseth S., Zare K. A regularization of the three-body problem // Celestial Mech., 1974, v. 10, p. 185 205.

64. Alexander M.E. Simulations of binary-single star and binary-binary scattering // J. Comp. Phys., 1986, v. 64, p. 195 219.

65. Baumgarte J. Numerical stabilization of the differential equations of Keplerian motion // Celestial Mech., 1972, v. 5, p. 490 501.

66. Baumgarte J. Das Oszillator-Kepler Problem und die Lie-Algebra //J. reine und angew. Mat., 1978, Bd. 301, p. 59 76.

67. Baumgarte J. Die Invarianzgruppe des Oszillator-Kepler-Problems // ZAMM, 1979, Bd. 59, p. 177 187.

68. Baumgarte J., Stiefel E. Examples of transformations improving the numerical accuracy of the integration of differential equations // Lecture Notes in Math., 1974, v. 362, p. 207 236.

69. Beibruno E.A. Two-body motion under the inverse square central force and equivalent geodesic flows // Celestial Mech., 1977, v. 15, p. 467 476.

70. Bisconcini G. Sur le probleme des trois corps // Acta Mathematica, 1905, v. 30, p.49 92.

71. Bond V.R. The uniform, regular differential equations of the KS transformed perturbed the two-body problem // Celestial Mech., 1974, v. 10, p. 303 318.

72. Bond V.R. A transformation of the two-body problem // Celestial Mech., 1985, v. 35, p. 1 7.

73. Broucke R., Lass H. A note on relative motion in the general three-body problem // Celestial Mech., 1973, v. 8, p. 5 10.

74. Euler L. De motu rectilineo trium corporum se mutio atrahentium (О прямолинейном движении трех взаимно притягивающихся тел) // Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae, 1765, v. 11, p. 144 151.

75. Fehlberg E. Klassische Runge-Kutta-formeln vierter und niedregerer Ordnung mit schrittweitenkontrolle und ihre an Wendung auf warmeleitungsprobleme // Computing. 1970, 6, p. 61 71.

76. Heggie D. A global regularization of the gravitational N-body problem // Celestial Mech., 1974, v. 10, p. 217 241.

77. Hurwitz A. Uber die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen // Math. Werke II, p. 565 571.

78. Iwai T. On a "conformal" Kepler problem and its reduction //J. Math. Phys., 1981, v. 22, p. 1633 1639.

79. Kirchgraber U. A problem of orbital dynamics, which is separable in ^¿"-variables // Celestial Mech., 1971, v. 6, p. 340 347.

80. Kirchgraber U. A set of elements based on polar coordinates in the KS'-spase and its applications // Celestial Mech., 1973, v. 8, p. 251 257.

81. Kummer M. On the regularization of the Kepler problem // Commun. Math. Phys., 1982, v. 84, p. 133 152.

82. Kustaanheimo P. Spinor regularization of the Kepler motion // Ann. Univ. Turkuens. A. I., 1964, v. 73, №1, p. 3 7.

83. Kustaanheimo P., Stiefel E. Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization //J. reine und angew. Mat., 1965, Bd. 218, p. 204 219.

84. Levi-Civita T. Traiettorie singolari ed urti nel problema ristretto dei tre corpi // Annali di Mathematica., 1903, v. 9, serie 3, p. 1 27.

85. Levi-Civita T. Sur la resolution qualitative du probleme restreint des trois corps // Acta Mathematica, 1906, v. 30, p. 305 327.

86. Mikkola S., Aarseth S. A chain regularization method for the few-body problem // Celestial Mech., 1990, v. 47, p. 375 390.

87. Mikkola S., Aarseth S. An implementation of N-body chain regularization // Celestial Mech., 1993, v. 57, p. 439 459.

88. Moser J. Regularization of Keplers problem and the averaging method on a manifold // Communications on pure and applied mathematics, 1970, v. 23, p. 609 636.

89. Szebehely V. Linearization of dynamical systems using integrals of the motion // Celestial Mech., 1976, v. 14, p. 499 508.

90. Sperling H.J. The collision singularity in a perturbed two-body problem // Celestial Mech., 1969, v. 1, p. 213 221.

91. Volk O. Concerning the derivation of the A'¿'-transformation // Celestial Mech., 1973, v. 8, p. 297 305.

92. Waldvogel J. Die Verallgemeinerung der Birkgoff-Regularisierung fur das räumliche Dreikorperproblem // Bull. Astronom., 1967, v. 2, №3, p. 295 341.

93. Waldvogel J. A new regularization of the planar problem of three bodies // Celestial Mech., 1972, v. 6, p. 221 231.

94. Zare K. A regularization of multiple encounters in gravitational N-body problem // Celestial Mech., 1974, v. 10, p. 207 215.