Разложение гамильтониана планетной задачи по всем элементам тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

Введение

1 Представление Гамильтониана в координатах Якоби

1.1 Координаты Якоби.

1.2 Кинетическая и потенциальная энергия в кординатах Якоби

1.3 Представление гамильтониана в координатах Якоби в виде суммы невозмущенной и возмущающей части.

1.4 Гамильтониан для случая двух планет.

2 Оскулирующие элементы

2.1 Различные системы оскулирующих элементов

2.2 Скобки Пуассона в различных системах оскулирующих элементов.

2.2.1 Общий случай перехода от канонической системы к некононической.

2.2.2 Отсутствие перемешивания импульсов и координат

2.2.3 Переход между неканоническими переменными при отсутствии перемешивания элементов первой и второй группы.

2.3 Нахождение скобок Пуассона в различных системах оскулирующих элеметов для задачи одного притягивающего центра.

2.4 Нахождение скобки Пуассона в различных системах оскулирующих элементов для планетной задачи.

2.4.1 Матрицы Пуассона для случая двух планет.

2.4.2 Сингулярности скобок Пуассона.

3 Представление гамильтониана в оскулирующих элементах

3.1 Невозмущенная часть.

3.2 Функциональные свойства гамильтониана.

3.3 Представление гамильтониана рядом Пуассона по всем элементам

3.4 Случай двух планет.

3.5 Анализ свойств представления гамильтониана рядом Пуассона

3.5.1 Оценка границ суммирования.

3.5.2 Оценка числа коэффициентов.

4 Вычисление коэффициентов разложения гамильтониана

4.1 Выбор постоянных.

4.2 Вычисление коэффициентов по интегральному представлению в элементах ху^.

4.2.1 Область интегрирования.

4.2.2 Вычисление hi в подынтегральном выражении

4.2.3 Выбор радиусов vs.

4.2.4 Генерация случайных чисел.

4.3 Вычисление коэффициентов по интегральному представлению в элементах у^.

4.3.1 Область интегрирования.

4.3.2 Вычисление fi2 в подынтегральном выражении

4.4 Практическая реализация метода

Изучение эволюции планетных систем, и прежде всего Солнечной, представляет собой одну из фундаментальных задач небесной механики. Вплоть до середины XX века исследование задачи проводилось в основном аналитическими методами. На этом пути были получены важные результаты. Перечислим их.

• Предложенный И.Ньютоном метод малого параметра разрабатывался многими астрономами, доведен до совершенства А.М.Ляпуновым и А.Пуанкаре. Практическое применение метода позволило представить элементы планетных орбит рядами по степеням параметра р, равного отношению масс Юпитера и Солнца. Доказано отсутствие вековых возмущений первого и второго порядков в больших полуосях [40].

Метод малого параметра описывает поведение планетной системы лишь на временном промежутке, меньшем (в лучшем случае ненамного превышающем) промежуток сходимости соответствующих рядов. Согласно [25] и [26] длина последнего обратно пропорциональна /i. Таким образом, классические ряды типа Леверье теорий движения планет можно с успехом использовать в эфемеридной службе. л

Но они не пригодны даже на временах порядка , на которых строится астрономическая теория климата ледникового периода, не Я —4 говоря уже о космогонических временах порядка ц ~ ji .

• Предложенный П.Лапласом и Ж.Лагранжем метод осреднения претерпел многочисленные модификации (К.Гаусс, Ш.Делоне, А.Линд-стедт, Х.Цейпель, Н.М.Крылов, Н.Н.Боголюбов, Н.Д.Моисеев, Н.Ф.Рейн, В.М.Волосов, Е.А.Гребеников, Г.И.Хори, А.Депри и др.) и, хотя и не доведен до совершенства, позволил установить следующее. При условии сходимости соответствующих рядов большие полуоси планетных орбит изменяются на малую вместе с /л величину на бесконечном промежутке времени. Ряды метода малого параметра сходятся на временах порядка /л~1. Ряды метода осреднения сходятся на множестве положительной меры фазового пространства при малых /л. Асимптотический характер рядов позволяет делать уверенные выводы о поведении системы на промежутке времени At ~ /х-1, и несколько менее надежные при At ~ /л"2.

• Качественными методами теории дифференциальных уравнений установлено, что близкие в начальную эпоху к плоским круговым орбиты вечно остаются таковыми при условии малости изменения больших полуосей [21, 35, 36].

Итак, аналитические методы к середине XX века показали устойчивость планетных систем типа Солнечной при At ~ /л-1 и высокую вероятность устойчивости при At ~ )л~2. Времена порядка д-3 и выше остались недоступными.

С семидесятых годов века на помощь аналитике приходят численные методы. Шаг интегрирования пропорционален наименьшему из периодов обращения принятых во внимание планет. Поэтому на временах порядка возраста Солнечной системы (5 • 109 лет) исследована только система планет-гигантов и Плутона, оказавшаяся устойчивой [41, 44]. Что касается всей системы от Меркурия до Плутона, то ее рассмотрение требует на два порядка больше машинного времени. Поэтому результаты до самого последнего времени были получены лишь для At ~ 108 лет. Недавно Ито и Таникава продлили интегрирование до 5 миллиардов лет.

Эти работы показали большую изменчивость орбит внутренних планет по сравнению с внешними (см. также работу [58]). Однако надежность результатов для всей планетной системы пока невысока, что отмечается самими авторами.

Численным моделированием найдена степень малости ju, нужная для устойчивости орбит планет-гигантов [50]. Последняя сохраняется при < 1/36, а при больших значениях параметра система распадается менее чем через 104 лет. Замечательно, что этот результат согласуется не только качественно, но и количественно с аналитическими оценками малости параметра (/j < 1/30), при которых еще не происходит перекрытия резонансных зон при небольших порядках резонансности [22, 23].

Таким образом, численные методы решили вопрос об устойчивости движения планет-гигантов на космогонических временах. Но вопрос об эволюции орбит планет земной группы и произвольных планетных систем типа Солнечной остался открытым.

В шестидесятые годы XX века аналитическая небесная механика получила новые мощные средства: КАМ-теорию и метод преобразований Хори-Депри. КАМ-теория гарантирует, что близкие в начальную эпоху к плоским круговым орбиты вечно остаются таковыми для множества положительной меры фазового пространства при условии достаточной малости fi. JI.JI. Соколов и К.В. Холшевников [22, 23] показали, что "достаточная малость" достигается при планетарных массах, хотя до массы Юпитера дотянуть не удалось.

В восьмидесятые годы работами Ж.Ласкара открывается новый период применения аналитических методов в задаче об эволюции Солнечной системы. Ласкар реализует давнюю идею, приводит уравнения движения к виду, не содержащему быстрых переменных. Формулы замены и гамильтониан в новых переменных найдены аналитически. Система в осредненных элементах решена численно. Так как шаг здесь может быть выбран порядка 250 лет, удалось продлить интервал интегрирования до десятков миллиардов лет [46, 47]. Подтверждена устойчивость орбит планет-гигантов. Но планеты земной группы оказываются на границе устойчивости, а устойчивость орбиты Меркурия и вовсе под вопросом. Результаты эти требуют проверки и уточнения.

В настоящей работе сделан первый шаг в попытке продвинуться дальше в вопросе об эволюции планетных систем типа Солнечной на космогонических временах, используя мощный арсенал аналитических средств. "Солнечный тип" означает, что число планет N — порядка 10 или меньше; их массы малы по сравнению с массой Солнца (центральной звезды); орбиты близки к плоским круговым; орбитальные горы удалены друг от друга на конечное расстояние. Орбитальным тором будем называть множество, заметаемое орбитой при независимом изменении аргумента перицентра и долготы узла от 0 до 2л. В Солнечной системе эти условия выполнены при N = 8 — малой массы Плутон должен быть исключен из числа планет.

Метод решения задачи эволюции Солнечной системы делится на несколько шагов. Первый шаг состоит в получении разложения гамильтониана задачи в ряд Пуассона по всем переменным. В качестве последних берутся стандартные кеплеровские элементы. В дальнейшем используется гамильтонов формализм без сложных канонических элементов. Это возможно, т.к. метод Хори-Депри использует лишь скобки Пуассона [26], а последние, как показано в диссертации, легко вычисляются для любого набора фазовых переменных [31, 32].

Второй шаг состоит в вычислении производящей функции осредня-ющего по быстрым переменным преобразования Хори-Депри и гамильтониана в средних элементах с точностью до /Д а в дальнейшем — до /j? -ь /А Алгоритм использует стандартные процедуры с рядами Пуассона. Особого отношения требуют только малые знаменатели, но в планетных системах типа Солнечной их немного. Производящая функция позволяет найти и оценить отклонения оскулирующих элементов от средних (периодические возмущения).

Третий шаг состоит в численном интегрировании системы в средних элементах. Шаг интегрирования существенно (приблизительно в раз) увеличивается, поскольку независимой переменной вместо времени t фактически является "медленное время" [it. Кроме того, порядок системы дифференциальных уравнений в средних элементах составляет 2/3 от порядка исходной системы при сохранении интеграла энергии и трех интегралов площадей [27].

Полное решение поставленной задачи выходит за рамки кандидатской диссертации. Поэтому было решено ограничиться первым шагом, то есть получением разложения гамильтониана.

В классических методах коэффициенты ряда обычно находят, виртуозно используя различные специальные функции [1, 13, 24]: сферические, бесселевы, гипергеометрические, коэффициенты Ганзена, полные и неполные эллиптические интегралы, полиномы Тиссерана, полиномы и операторы Ньюкома и другие, что чрезвычайно усложняет алгоритм. Сейчас благодаря использованию ЭВМ стало возможным исключить преобразования подобного типа. Широко применяются пуассонов-ские процессоры [7, 15] — специализированные системы для операций над рядами Пуассона. Они позволяют наиболее трудоемкие операции, с которыми приходится сталкиваться при построении аналитических и полуаналитических теорий движения, теперь перекладывать на средства специализированного программного обеспечения. Часто используются итерационные методы, например метод Бруке и метод Пикара [7]. В последнее время в разложении возмущающей функции начинает применяться метод преобразования Фурье [45].

В этой работе предлагается еще один способ. Произвести разложение гамильтониана в ряд Пуассона по всем оскулирующим переменным, вычисляя коэффициенты разложения по интегральным формулам. Это занимает много машинного времени. Однако однократность процедуры делает этот недостаток терпимым с учетом мощности современных ЭВМ. Облегчает работу и наличие большого числа нулевых коэффициентов, вытекающее из известных свойств гамильтониана планетной задачи. Хотя, как оказалось, для достижения высокой точности он не годится. Однако он может служить первым приближением для упоминавшихся методов, использующих итерационные процедуры. К тому же, как показано в диссертации, он дает много ценной информации о скорости сходимости разложения. Цели работы

1. Выполнить теоретическое построение для первого шага. Выделить невозмущенную часть гамильтониана планетной задачи. Получить интегральные выражения для вычисления коэффициентов разложения возмущающей части в ряд Пуассона.

2. Разработать вычислительный алгоритм нахождения коэффициентов разложения.

3. Реализовать вычисления коэффициетнов на примере двупланетной задачи Солнце-Юпитер-Сатурн.

Научная и практическая значимость работы

Разработан алгоритм и программное обеспечение нахождения коэффициентов разложения гамильтониана N-планетной задачи в ряд Пуассона по всем оскулирующим элементам в системе координат Якоби. При наличии значительных вычислительных средств алгоритм легко реализуется в конкретных задачах, что показано на примере задачи Солце-Юпитер-С атурн.

В настоящей работе являются новыми и выносятся на защиту следующие результаты:

1. Разработана методика разложения гамильтониана в ряд Пуассона по всем оскулирующим элементам в системе координат Якоби. Рассмотрены различные системы элементов и выбраны наиболее подходящие для планетной задачи. Получены матрицы Пуассона, которые понадобятся при построении осредняющих преобразований.

2. Разработан вычислительный метод нахождения коэффициентов. a) Получены соотношения для вычисления коэффициентов в виде кратных интегралов в комплексной области. b) Разработан оптимальный способ вычисления подынтегральной функции. c) Для оптимизации вычислений коэффициентов разработан метод нахождения радиусов интегрирования d) Написан комплекс программ для получения коэффициентов.

3. Получены близкие к точным оценки коэффициентов в двупланетной задаче Солнце-Юпитер-Сатурн, обеспечивающие точность представления гамильтониана ~ //"" при произвольном а. Вычислен соответствующий массив коэффициентов для о — 2.

Апробация работы

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на:

1. Семинарах кафедры небесной механики СПбГУ 1997-2001 гг.

2. Ученом совете ИПА РАН в 2001 г.

3. Зимней ежегодной конференции 'Физика космоса" (Екатеринбург) в феврале 1999 г., 2000 г. и 2002 г.

4. Всеросийской астрономической конференции (Санкт-Петербург), август 2002 г.

Содержание работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы.

Заключение

Диссертация связана с изучением эволюции Солнечной системы на космогонических временах и посвящена первому шагу в решении задачи, разложению гамильтониана по всем элементам в ряд Пуассона. Основными результатами работы являются следующие:

1. Разработана методика разложения гамильтониана двупланетной задачи Солнце-Юпитер-Сатурн. Методика годится для любого числа планет. В данной работе она реализована для N = 2, для экономии машинного времени. Для выбранных систем элементов найдены матрицы Пуассона. Оценена область сходимости, получены оценки необходимого числа коэффициентов. Получены оценки коэффициентов сверху.

2. Разработан вычислительный алгоритм нахождения коэффициентов разложения в виде интегральных соотношений, использующий метод Монте-Карло. a) Получены соотношения для вычисления коэффициентов в виде кратных интегралов в компексной плоскости. b) Разработан оптимальный способ вычисления подынтегральной функции. c) Для оптимизации вычислений коэффициентов разработан метод нахождения радиусов интегрирования. d) Написан комплекс программ для получения коэффициентов.

3. Получены значения коэффициентов для задачи Солнце-Юпитер-Сатурн, обеспечивающие точность представления гамильтониана ~ {1а при произвольном а.

Предложенный способ решения задачи эволюции Солнечной системы на космогонических временах планируется довести до конца в кооперации с сотрудниками ИПА РАН, СПбГУ, УрГУ с использованием результатов, полученных в диссертации. Интегральный способ определения коэффициентов разложения гамильтониана предполагается дополнить итерационным способом, опирающимся на возможности пуассоновского процессора [7, 15, 14]. Задача будет решаться в двух системах оску-лирующих элементов: третьей и четвертой по нашей нумерации. Знаменатели, появляющиеся в процессе нахождения производящих функций метода Хори - Депри, согласно результатам диссертации являются дробно-линейными функциями элементов первой группы четвертой системы элементов и потому легко могут быть разложены в ряд Пуассона. Возможное исключение представляют "малые знаменатели", но их так мало, что с ними можно будет разобраться индивидуально. Переход к гелиоцентрическим или барицентрическим координатам требует лишь незначительной модификации алгоритма.

Диссертант считает своим долгом выразить глубокую признательность научному руководителю профессору К.В.Холшевникову за внимание к работе и ряд ценных идей, доценту Э.Д.Кузнецову за замечания и полезные советы, а также сотрудникам кафедры небесной механики СПбГУ и сотрудникам ИПА РАН за доброжелательность.

Работа была выполнена при поддержке РФФИ (грант 99-02-17820) и Ведущей научной школы (грант 00-15-96775)

1. Аксенов Е.П. Специальные функции в небесной механике. М.: Наука, 1986.

2. Антонов В.А., Тимошкова Е.И., Холшевников К.В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М.: Наука, 1988. 270с.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989. 472 с.

4. Бабаев И.О., Красинский Г.А. Разложение силовой функции несферического тела в произвольной системе координат // Бюлетень ИТА. 1978. Т. 14. N6. С. 334-341

5. Батраков Ю.В., Проскурин В.Ф. Возмущения первого порядка в движении искусственных спутников, вызываемые сжатием Земли// Искусственные спутники Земли. 1959. вып.З С. 32.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600с.

7. Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики. М.: Наука, 1980. 206 с.

8. Бусленко Н.П. и др. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). М.: Физматгиз, 1962. 332 с.

9. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Физматгиз, 1960. 296 с.

10. Герасимов И.А., Чазов В.В., Рыхлова JI.B., Тагаева Д.А. Построение теории движения тел Солнечной системы основаной на универсальном методе вычисления возмущающей функции // Астрономический вестник. 2000. Т. 34. N6. С. 509-516.

11. Глебова Н.И. и ф.(ред) Астрономический ежегодник на 2001 год. СПб, Изд ИПА РАН, 2000. 723 с.

12. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. М.: Мир, 1998. 704 с.

13. Дубошин Г.Н. Небесная механика: Основные задачи и методы. М.: Наука, 1975. 800 с.

14. Емельянов Н.В. Методы составления алгоритмов и программ в задачах небесной механики // М.: Наука, 1983.

15. Иванова Т.В. Пуассоновский процессор PSP // Препринт ИТА РАН 1997. N64. СПб. 46 с. .

16. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. 576 с.

17. Кнут, Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2. Получисленные алгоритмы. М.: Мир, 1972. 728 с.

18. Красинский Г.А. Основные уравнения планетной теории. В кн.: Малые планеты/Под. ред. Н.С. Самойловой-Яхонтовой, М.: Наука, с. 81-107.

19. Ксанфомалити Л.В. Внесолнечные планетные системы // Астрономический вестник. 2000. Т. 34. N6. С. 529-544.

20. Петровская М.С. Улучшение сходимости разложения планетного потенциала— основные принципы// Астрономический журнал. 1986. Т. 63. С. 356-364.

21. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике. М.: Наука, 1965. 572с.

22. Соколов Л.Л., Холшевников К.В. О представимости решений задачи трех тел условно-периодическими функциями, I// Астрономический журнал. 1980. Т. 57. N 1. С. 168-177.

23. Соколов Л.Л., Холшевников К.В. О представимости решений задачи трех тел условно-периодическими функциями, II// Астрономический журнал. 1980. Т. 57. N2. С. 388-396.

24. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968. 800 с.

25. Холшевников К.В. Сходимость классических разложений небесной механики // Астрономический журнал. 1984. Т. 61. N3. С. 556-563.

26. Холшевников К.В. Асимптотические методы небесной механики. Л.: изд. ЛГУ, 1985. 208 с.

27. Холшевников К.В. Сохранение формы интегралов площадей при осредняющих преобразованиях// Астрономический журнал. 1991. Т. 68. N3. С. 660-663.

28. Холшевников К. В. Даламберовские функции в небесной механике // Астрономический журнал. 1997. Т. 74. N 1. С. 146-153.

29. Холшевников К.В., Тублина O.K. Координаты в кеплеровском движении как даламберовские функции // Астрономический журнал. 1998. Т. 75. N3. С. 476-480.

30. Холшевников К.В. Гамильтониан планетной и спутниковой задачи как даламберовская функция// Астрономический журнал. 2001. Т. 78. N7. С. 669-672.

31. Холшевников К.В., Греб А.В. Скобки Пуассона в кеплеровских элементах // Вестник СПбГУ. 2000. Сер. 1. вып. 1. С. 149-153.

32. Холшевников К.В., Греб А.В. Неканоническая параметризация скобок Пуассона //Астрономический вестник. 2001. Т. 35. N5. С.457-462.

33. Холшевников К.В., Греб А.В., Кузнецов Э.Д. Разложение гамильтониана в ряд Пуассона по всем элементам (теория) // Астрон. вестн. 2001. Т. 35. N3. С. 267-272.

34. Холшевников К.В., Греб А.В., Кузнецов Э.Д. Разложение гамильтониана двупланетной задачи в ряд Пуассона по всем элементам: оценка и прямое вычисление коэффициентов // Астрономический вестник. 2002. Т. 36. N 1. С. 75-87.

35. Холшевникова O.K. Устойчивость плоских круговых орбит осред-ненной планетной задачи// Вестник ЛГУ. 1989. Сер. 1, вып. 2. С. 108-109.

36. Шарлъе К. Небесная механика. М.: Наука, 1966. 628 с.

37. Шор В.А. (ред.): 1999 Эфемериды малых планет на 2000 год. СПб. Изд. ИПА РАН. 2000. 1062 с.

38. Brumrerg V.A., Chapront J. Constraction of a General Planetary Theory of the First Order // Celes. Mech. V. 3. N 2. P. 197-221.

39. Dermott S.F., Nicholson F.D. Masses of the satellites of Uranus// Nature (ISSN 0028-0836). 1986. V. 319. P. 115-120.

40. Duriez L. Theoreme de Poisson en variables heliocentriques// Astron. Astrophys. 1978. V.68. P. 182-194.

41. Ito Т., Tanikawa K. Long-term stability of our Solar system // Proc. 32-nd Symp. Celest. Mech. Hayama, Kanagawa, Japan. 2000. P.47-96.

42. Harper D., Taylor D.B. New Masses of Saturn's Inner Satellites from Ground-Based Observations // Bulletin of the American Astronomical Society. 1992. V. 24. P. 944.

43. Kelch J. Small worlds: exploring the 60 moons of our Solar system. Englewood Cliffs. Messner. 1990.

44. Kinoshita H., Nakai H. Long-Term Behavior of the Motion of Pluto over 5.5 Billion Years // Earth, Moon and Planets. 1996. V.72. P. 165-173.

45. Klioner S.A. Numerical Fourier Expansions of the Planetary Disturbing Function // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2000. V. 77 N3. P. 215-238.

46. Laskar J. Stability of the Planetary Three-Body Problem. I. Expansion of the Planetary Hamiltonian // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1995. V. 62. P.193-217.

47. Laskar J. Large-scale chaos and marginal stability in the Solar system // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1996. V. 64. N2. P. 115-162.

48. Matsumoto M., Nishimura T. Mersenne Twister: A 623-dimentionally equidistributed uniform pseudorandom number generator // ACM Transactions on Modeling and Computer Simulations. 1998. V. 8. N1. P.3-30.

49. Moisson X. Solar system planatery motion to third order of the masses // Astron. Astrophys. 1999. V.341. P. 318-327.

50. Nacozy P. On the stability of the Solar system // Astron. Journ. 1976. V. 81. N9. P. 787-791.

51. Perryman M.A.C. Extra-solar planets// Rep. Prog. Phys. 2000. V.63. P.1209-1272.

52. Press W.H. et al. Numerical recipes in Fortran 77: the art of scientific computing. Numerical recipes in Fortran 90: the art of parallel scientific computing. Cambridge: Cambridge University Press. 1992.

53. Rawlins D. Some simple results regarding gravitational disturbance by exterior planets with historical applications // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1970. V. 147. P. 177.

54. Schneider J. The extrasolar planets encyclopaedia. http://www.obspm.fr/planets.

55. Simon J.L. et al. Numerical expressions for precession formulae and mean elements for the Moon and the planets // Astron. Astrophys. 1994. V. 282. P. 663-683.

56. Simon J.L., Bretangon P. Second Oder Perturbations of the Four Large Planets// Astron. Astrophys. 1978. V. 69. N3. P. 369-372.

57. Standish E.M., Newhall X X, Williams J.G. and Folkner W.F. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE403/LE403 // JPL IOM. 1995. V.314 P.10-127.

58. Sussman G.J., Wisdom J. Chaotic evolution of the solar system// Science. 1992. V. 257. P. 56.