Исследование локальных бифуркаций дифференциальных уравнений задач небесной механики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Ж

л

Беликова Оксана Николаевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ БИФУРКАЦИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЗАДАЧ НЕБЕСНОЙ

МЕХАНИКИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное

управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа - 2011

1 7 МАР 2011

4840851

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информационных технологий Сибайского института (филиала) ГОУ ВПО "Башкирский государственный университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Юмагулов Марат Гаязович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Киселев Олег Михайлович,

доктор физико-математических наук, профессор

Мухамадиев Эргаш Мирзоевич

Ведущая организация: Институт математики и механики

Уральского отделения РАН

Защита состоится 18 марта 2011 г. в 15 : 00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 в Учреждении российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан м февраля 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

С. В. Попенов

Общая характеристика работы Актуальность темы. Дифференциальные уравнения задач небесной механики и, в особенности, классической задачи N тел занимают одно из центральных мест в общей теории динамических систем. Несмотря на относительную простоту формулировок и прозрачность основных формул эти уравнения представляют собой чрезвычайно сложный объект исследования, привлекающий повышенное внимание многих поколений ученых - математиков, механиков, физиков и др. Благодаря работам И.Ньютона, Л.Эйлера, Ж.Лагранжа, П.Лапласа, К.Якоби, А.Пуанкаре, А.М.Ляпупова и др. разработан ряд, ставших уже классическими, методов исследования, нашедших многочисленные приложения в математике, небесной механике, астрономии и других науках. Существенный вклад в изучение таких уравнений внесли В.И.Арнольд, Г.Н.Дубошин, В.В.Козлов, А.П.Маркеев, К.Маршал, Р.Монтгомери, К.Симо, А.Шенсине и др.

Неугасающее внимание к исследованию дифференциальных уравнений задач небесной механики связано не только с тем, что они находят свое применение при изучении движения небесных тел. Эти уравнения демонстрируют огромпое многообразие качественного поведения решений, от самых простых - стационарных решений (точек либрации) - до сложных хаотических движений. Дифференциальные уравнения задач небесной механики зависят от различных параметров, что может приводить к тем или иным сценариям бифуркационного поведения.

Одной из наиболее актуальных как с теоретической, так и практической точек зрения представляется исследование бифуркаций в окрестностях стационарных решений дифференциальных уравнений ограниченной задачи трех тел и различных ее модификаций. Здесь разработан ряд эффективных методов исследования, решены многие важные теоретические и практические задачи. Большой вклад, в разработку и развитие этих методов впесли исследования В.И.Арнольда, Е.А.Гребеникова, В.Г.Демина, В.П.Евтеева, А.П.Маркеева, Э.М.Мухамадиева, А.И.Нейштадта, Ю.А.Рябова, В.Себехея и др. Заметим, что большая часть исследований и разработанных методов относится к дифференциальным уравнениям круговой задачи трех тел, зависящим от одного параметра. Значительно меньше изучались бифуркации в окрестностях стационарных решений дифференциальных уравнений эллиптическйй задачи трех тел, зависящих от двух или большего числа параметров, в частности, от эксцентриситета кеплеровской орбиты е и параметра масс Соответствующие бифуркации, как правило, имеют коразмерность равную двум, что

значительно усложняет их исследование. Здесь особо важны получение признаков возникновения периодических и субгармонических колебаний и разработка методов построения возникающих колебаний.

Цель работы. Разработать методы качественного и приближенного исследования задачи о локальных бифуркациях в окрестностях стационарных решений дифференциальных уравнений плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел и ее модификаций; на их основе получить признаки возникновения периодических и субгармонических колебаний, получить и обосновать асимптотические формулы для возникающих решений.

Методы исследования. В работе использованы общие методы качественной теории дифференциальных уравнений, нелинейного анализа, методы приближенного решения операторных уравнений, методы теории Флоке, метод функционализацш параметра исследования бифуркационных задач, метод Ньютона-Канторовича.

Научная новизна определяется впервые проведенными исследованиями, в результате которых разработан математический аппарат для анализа бифуркационных явлений в динамических системах, зависящих от двух параметров. При этом получены следующие новые научные результаты:

X. Проведен детальный анализ основных сценариев локальных бифуркаций в окрестностях стационарных решений дифференциальных уравнений плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел и некоторых ее модификаций;

2. Разработан операторный метод исследования бифуркационного поведения дифференциальных уравнений задач небесной механики в окрестностях стационарных решений, приводящий к достаточному признаку бифуркации периодических и субгармонических колебаний и процедуре построения возникающих решений;

3. Доказано существование нестационарных периодических решений в окрестностях треугольных точек либрации дифференциальных уравнений плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел и некоторых ее модификаций;

4. Разработаны и обоснованы асимптотические формулы для бифурцирующих решений дифференциальных уравнений плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Предлагаемые в работе методы могут быть использованы для анализа бифуркаци-

онных явлений в динамических системах, зависящих от двух параметров. Полученные результаты доведены до расчетных и асимптотических формул.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на региональной научно-технической конференции "Новые программные средства для предприятий Урала"(г. Магнитогорск, декабрь 2006 г.); международной математической конференции "Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика" (г. Уфа, 1-5 июня 2007 г.); научно-практической конференции "Прикладная математика и информационные технологии в науке и образовании"(г. Сибай, 23-24 мая 2008 г.); международной научной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ"(г. Уфа, 1-5 декабря 2008 г.); научных семинарах кафедры алгебры и геометрии Магнитогорского государственного университета (руководитель - д.ф.-м.н., профессор Смолин Ю.Н.); научном семинаре по дифференциальным уравнениям математической физики Института математики с ВЦ УНЦ РАН (руководители: д.ф.-м.н., профессор Л.А. Калякин и д.ф.-м.н., профессор В.Ю. Новокшенов.), научных семинарах кафедры прикладной математики и информационных технологий Сибайского института (филиала) Башкирского государственного университета (руководитель - д.ф.-м.н., профессор Юмагулов М.Г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [11-|6], при этом статьи [1|-[2] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Личный вклад соискателя. Постановки основных задач принадлежат научному руководителю. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. При выполнении работ [1], [2], [4] и [5], опубликованных в соавторстве, соискатель принимал участие в обосновании предлагаемых методов исследования. Из результатов этих работ в диссертацию автором включены только результаты, полученные им лично.

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Общий объем работы составляет 115 страниц. Библиография содержит 74 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цель и основные задачи исследования, приводится обзор литературных источников, кратко излагается содержание работы.

В первой главе приводятся общие сведения из теории динамических систем и ло-

кальиых бифуркаций, а также основные динамические модели, возникающие в задачах небесной механики. Приводятся известные результаты относительно признаков локальных бифуркаций и используемые в диссертации схемы их приближенного исследования. Глава носит вспомогательный характер. Приведем некоторые необходимые сведения из первой главы.

Основным объектом исследования в первой главе является система дифференциальных уравнений, зависящих от скалярного или векторного параметра fi с Т-периодической по í правой частью:

a? =*f(x,t,n), xeRN, p.&Rk. (1)

Пусть система (1) при всех значениях параметра ц имеет нулевую точку равновесия х = О, т.е. /(О, í, р) = 0. Уравнение (1) может быть представлено в виде

х' = A{t,fi)x + a{x,t,fi), (2)

где A(t,fx) — /¿(0, í, fi) - матрица Якоби вектор-функции /(х, £, /<), вычисленная в точке х — 0, а нелинейность a{x,t,fi) равномерно по f и ц удовлетворяет соотношению |ja(i,t,/i)|| = 0(||х[|2) при ||х|| —> 0; здесь и ниже через || • || обозначена норма векторов в пространстве RN.

Обозначим через V(fi) матрицу монодромии линейной системы

x'^A(t,fi)x, (3)

т.е. V(/i) = X{fi,T), где X(fi,t) - фундаментальная матрица решений системы (3). Пусть при ¡i — fia система (3) имеет один или несколько мультипликаторов, равных по модулю 1; тогда точка равновесия х = 0 системы (1) при р = ¡iq является негиперболической. В этом случае значение будем называть точкой бифуркации системы (1) в задаче о вынужденных колебаниях. Этот термин охватывает различные сценарии бифуркационного поведения системы (1). В частности, при близких к fio значениях ц у системы (3) в окрестности точки равновесия х = 0 могут возникать Т-периодические решения (вынужденные колебания), п!Г-периодические решения при п ^ 2 (субгармонические колебания), квазипериодические решения и др. Описанию возможных сценариев бифуркационного поведения дифференциальных уравнений некоторых задач небесной механики, получению достаточных признаков того или иного сценария бифуркации, разработке схем приближенного исследования бифуркаций и посвящена диссертационная работа.

В первой главе приводится также операторная схема приближенного исследования задачи о точках бифуркации вынужденных колебаний системы (1). Эта задача различными способами может быть сведена к эквивалентной задаче о бифуркациях в окрестности нулевого решения операторного уравнения

х = В(ф)х + Ь(х,ф), х е Rn, феВГ, (4)

где матрица В{ф) гладко зависит от параметра ф, а нелинейность Ь(х, ф) содержит слагаемые второй и более высоких степеней по х: Ь(х, ф) = о(||х||) при х —► 0. При этом матрица В(фо) имеет собственное значение 1 (простое или полупростое кратности 2).

Пусть е 6 RN - некоторый ненулевой вектор. Значение фа параметра ф называют правильной точкой бифуркации уравнения (4) по направлению вектора е, если существуют ¿о > 0 и определенные при 5 е [0, Дз) непрерывные функции ф = ф{5) и х = x(S) такие, что ф(0) = ф0 и х(0) = 0, при этом ||х(<5) — 5е\\ = о(<5) при 5 —* 0 и для каждого 5^0 вектор х(5) является решением уравнения (4) при ф = ф(5).

Правильные точки бифуркации уравнения (4) имеет смысл искать лишь среди тех фо, при которых матрица В(фо) имеет собственное значение 1. Рассматриваемая в работе задача о вынужденных колебаниях такова, что приводит к уравнению вида (4) с матрицей В(фо), имеющей при некотором ф = фа полупростое собственное значение 1 кратности 2. Параметр ф в этом случае является двумерным. Пусть ф — (а, /3), где а и /3 - скалярные параметры. Положим В(а,/3) = В(ф), ф0 = (ао,А)) и В0 = В(а0,Ро).

Пусть е, д, е*, д* - линейно независимые собственные векторы операторов В0 и Вд, отвечающие полупростому собственному значению 1. Эти векторы можно выбрать исходя из соотношений: (е, е") = (д, д') = 1, (е, д") = (д, е*) = 0. В работе используется следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть оператор Во = В(ао,/?о) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 3. Пусть det(Q) ф 0, где

Г ЮК/аде.е') {Щао,(Зо)е,е') [ (B'a(a0,l3a)e,g') (B¿(a0l ft)e,5*) ' Тогда фо является правильной точкой бифуркации уравнения (i) по направлению собственного вектора е.

Здесь В'а и В'р - операторы, полученные дифференцированием оператора В(а,/3) по а и (S соответственно.

Приведем схему получения асимптотических формул для существующих в условиях теоремы 1 решений х(5) уравнения (4) и соответствующих значений двумерного параметра тр = {а(6), /3(8)). Пусть Н0 является собственным подпространством оператора Во, отвечающим полупростому собственному значению 1 кратности 2. Пространство ДА' может быть представлено в виде = #о® где На - дополнительное к На инвариантное для Во подпространство. По построению существует оператор (1 — Во)'1 : Н° —» Я0. Определим действующий в пространстве ЙЛ' оператор

Г0у = /ю + Л°, уея", ЫеНо, /г°еН°, (6)

где

= + Му)д, = (/ - Во)'1 (у + ШВ'а(с*о,р0)е + -ШЭДов, ро)е) . Здесь функционалы 7„(г/) и 1р{у) - это компоненты вектора 3{у) = (^(у), у)), который вычисляется по формуле /(у) = -<2_1С(з/)> где <2 - матрица (5) и ({у) = ((у, е'), (у,д'))т.

Полученные в работе асимптотические формулы используют квадратичную и кубическую нелинейности, входящие в правые части основных дифференциальных уравнений. Здесь ограничимся приведением асимптотических формул для операторного уравнения (4), учитывающих только квадратичные слагаемые.

Теорема 2. Пусть нелинейность Ь(х,а,0) в уравнении (4) представляется в виде

Ь{х, а, 0) = 62(1, а, ¡3) + Ьз{х, а, /3), (7)

где Ь2(х, а, 0) содержит квадратичные по х слагаемые, а нелинейность Ь$(х, а, 0) удовлетворяет соотношениях) Ьз(х,а,0) = 0(||1||3) при х —» 0. Тогда существующие в условиях теоремы 1 решения х(8) уравнения (4) и соответствующие значения параметра ф = (а(£), /3(5)) вычисляются по следующим формулам:

х(б) = 6е + 82е2 + о{82), а(8) = а0 + 8а2 + о(8), /3(6) = Д, + + о(<5),

где

е2 = Г0Ь2, а2 = Ъ{Ь2), Дг = ^з(&2), Ъ2 = Ь2(е,ао,0о)-

Основным объектом исследования во второй главе являются дифференциальные уравнения некоторых задач небесной механики. При этом основное внимание уделено дифференциальным уравнениям плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел, которые

в координатах (£, г;) Нехвила 1 имеют вид

■(£2 +^/2 V [({-!)» + ,»]»/»Й 1})' (8)

Г," + 2£' - р ( Г, + ^Д 7г2)3/277 _ 1)2Д+ ^2)3/2^ 1 т1

где р = ---, и, = -, 0 < гд1 < т0, 0 < и < 1, е - эксцентриситет

1 + есоз£ та + т1

кеплеровской орбиты, I - истинная аномалия, тщ,гп1 - массы активно гравитирующих тел, штрихами обозначены производные по <.

Система (8) имеет пять стационарных решений - точек либрации: три из них Ь\, и ¿з лежат на одной прямой (прямолинейные точки либрации), а две другие и £5 образуют с телами гпа и тп1 равносторонние треугольники (треугольные точки либрации). Треугольные точки либрации имеют координаты Ь4 и — • Коорди-

наты прямолинейных точек либрации, в отличие от треугольных, зависят от значения параметра р, и явно не выписываются. Найти их можно лишь приближенно.

Система (8) содержит два параметра - эксцентриситет е ^ 0 и параметр масс 0 < ц < 1. При этом система (8) является неавтономной с 2я"-периодической правой частью. При изменении параметров е и р. поведение системы, вообще говоря, меняется, что может сопровождаться различными бифуркациями, в частности, в окрестностях точек либрации. Основной задачей, рассматриваемой во второй главе, является исследование вопроса об основных сценариях бифуркаций вынужденных колебаний системы (8) в окрестностях точек либрации Ь\,... ,£5, а также определение необходимых условий соответствующих бифуркаций. В качестве точек бифуркации рассматриваются значения е = 0 и р. € (0,1).

От системы (8), путем введения новых переменных «1 = щ — Т], щ = щ = Т}', перейдем к нормальной системе:

«'1 = «з, и'2 = И4,

=**+/> (»1 - Р + ~ [(Ц1 _ + ^3/2 ("1 ~ 1)) . (9)

и'4 = —2и3 + р + (и?7и1)з/2"2 " [(щ-^ + и^) ' т.е. к системе вида

1 Координаты Нехвила - это прямоугольная система координат 0£г], такая, что в качестве независимой переменной рассматривается истинная аномалия кеплеровской орбиты, связанная с реальным временем.

v' = F{u,e,ii,t), и e R4, (10)

где F(u,e,/j.,t) - вектор-функция, определяемая правой частью системы (9). При е = 0 (круговой случай) система (10) является автономной:

u' = F0(«,/t), B6R4

(И)

здесь д) - вектор-функция, определяемая правой частью системы (9) при р = 1.

Точки либрации системы (8) соответствуют постоянным решениям системы (10). В частности, треугольные точки либрации ¿4 и £5 соответствуют решениям

■ 1 ■ ■ 1 "

h h

2 11 i? 2

0 0

0 0

vt =

В работе изучены основные сценарии бифуркационного поведения системы (10) в окрестностях треугольных точек либрации. Ограничимся здесь приведением основных результатов, полученных для точки

Перенесем начало координат системы (10) в точку либрации т.е. произведем в ней замену к = и — В результате система (10) примет вид

h' = А(е, p,t)h + а(е, fi,t,h), где h € R4, a(e,/i,t,h) = 0(||/i||2) при ||х|| ->0,

(12)

A{e,/i,t) =

0 0 3

Г

1 о о 1

Зл/З

р( 1 -2/1) 0 2

Зу/3 . . 9

-р{ 1 - 2ц) -р

-2 0

4 "" 4

Состояние равновесия к = 0 системы (12) соответствует точке либрации 114 системы (10) На первом этапе исследования системы (12) рассмотрим случай е — 0, т.е. систему

h' = A0(/i)h + a(/i, h),

(13)

где Л б Й4, а(А Л) = 0(|!Л||2) при ]|х|| -» О,

М?) =

О 3

з-Уз

■2м)

О О

(1 -2м)

9 4

1 О О 1 О 2 -2 О

Система (13) является автономной системой дифференциальных уравнений и соответствует круговой задаче. Поведение системы (13) в окрестности решения /1 = 0 определяется поведением собственных значений матрицы Аа(м). Характеристическое уравнение для матрицы Ао(м) имеет вид:

27 " ' - (14)

А4 + Л2 + —/1(1 - М) = 0. Корни биквадратного уравнения (14) определяются по формулам

1

(15)

Ах, 2,3,4 = ±-^7)

Здесь следует различать три случая:

51) 1 - 27/2(1 - м) < 0; 52) 1 - 27/2(1 ~ц) = 0; 53) 1 - 27/х(1 - м) > 0.

В работе обсуждаются все эти случаи. В каждом случае определяется топологический тип точки либрации. Имеют место следующие утверждения.

Теорема 3. Пусть выполнено условие в1). Тогда при всех малых е > 0 точка равновесия /г = 0 системы (12) является гиперболической.

Теорема 4. Пусть выполнено условие Б2) или БЗ). Тогда Л, = 0 является негиперболической точкой равновесия системы (12). При этом значение {0,мо) векторного параметра (е, ¡1) при любом Мо, удовлетворяющем условию Э2) или вЗ), является точкой бифуркации системы (12) в задаче о вынужденных колебаниях.

Из второго утверждения следует, что малейшее изменение параметров ей ¡1 системы (12) вблизи точки (0, Мо) может привести к качественному изменению фазового портрета этой системы в окрестности решения К — 0, т.е. к тем или иным сценариям бифуркации. Приведем некоторые из результатов второй главы, полученных при изучении таких бифуркаций, при этом ограничимся рассмотрением случая ЭЗ), являющегося основным в работе.

Наряду с системой (12) будем рассмотривать линейную систему

Н' = А(е,ц,г)К (16)

Обозначим через К(е, матрицу монодромик системы (16), т.е. У(с,11) = Х(е,р,Т), где а ¿) — фундаментальная матрица решений системы (16).

Пусть мо удовлетворяет соотношению ЭЗ). В этом случае система (16) имеет две пары мультипликаторов вида е*2**1^', е±2**а0»)>. Здесь возможны различные ситуации, связанные с тем, каковыми являются показатели Флоке А^о)« и Дз(/х0)г системы (16). В работе основное внимание уделяется случаю, когда одно из чисел Дх(/хо) и рационально, а другое - иррационально. В этом случае возможны два основных сценария бифуркации: бифуркация субгармонических колебаний (этот сценарий соответствует рациональному показателю Флохе) и бифуркация квазипериодических колебаний (соответствует иррациональному показателю Флоке). В случае бифуркации субгармонических колебаний при

переходе векторного параметра (е, /и) через точку (0,^) в окрестности точки к = 0 могут

Р

возникать или исчезать периодические решения с периодами 2тгд; здесь -г - рациональный

Я

показатель Флоке. В случае квазипериодических колебаний при переходе векторного параметра (е, м) через точку (0, р0) в окрестности точки к = 0 могут возникать или исчезать длшшшериодические или квазипериодические колебания.

Во второй главе работы рассмотрены также вопросы об основных сценариях бифуркационного поведения системы (10) в окрестностях прямолинейных точек либрации VI, щ, Описан топологический тип этих точек при различных значениях параметра д. Заметим, что в отличие от треугольных точек либрации, прямолинейные точки можно найти только численно. Поэтому описание основных сценариев бифуркаций в окрестностях этих точек проводилось на основе компьютерного моделирования.

Основной задачей исследования в третьей главе является задача о бифуркации субгармонических колебаний в окрестностях треугольных точек либрации плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел.

Будем говорить, что значение (0,/хо) векторного параметра (е, ц) является точкой бифуркации субгармонических колебаний периода 2тгк (к ^ 2) системы (12), если существуют е = е(5) и ц = /¿(5), зависящие от некоторого малого параметра <5 > 0 и такие, что:

а) при е = е(6) и /х = /¿(¿) система (12) имеет нестационарное 2я-А;-периодическое решение Л = Л);

Ь) шах II Л(4,5)11 0 при 5 —> О.

Приводятся достаточные условия бифуркации, устанавливающие, что при определенных значениях параметра масс ¡1 и экцентрисистета с в окрестностях треугольных точек либрации возникают нестационарные 27Г&-периодические решения.

Рассмотрим систему (10) в предположении, что параметр ц определен равенством

1

Собственные значения (15) соответствующей матрицы Ао(цг) будут равны

, 1. . 1. . ^3. . у/3. = -г, Л2 = --г, М = —г, Л4 = ——1.

Рассматриваемый случай отвечает приведенной выше ситуации ЭЗ). Значения параметров £ = 0 и ц = Ц2 будут бифуркационными в окрестностях точек либрации v^ и системы (12). Основным сценарием бифуркации является возникновение у системы (10) в окрестностях точек либрации и г)5 нестационарных 47Г-периодических решений, т.е. бифуркация удвоения периода.

Основным утверждением третьей главы является следующая

Теорема 5. Значение (0,^2) является тонкой бифуркации субгармонических Аж-периодических колебаний системы (8) в окрестности точки либрации 114.

Для доказательства этой теоремы система (12) ассоциируется с дискретной динамической системой, описываемой уравнением:

К« = 0,1,2,..., (17)

где е й4, и(*, £, ¡г) : Я4 —» Я4 - оператор сдвига по траекториям системы (12) за время от 0 до Т, где Т = 2тг. Неподвижные точки оператора У(*,е,/*) определяют начальные значения Т-периодических решений системы (12). Так как /(0, t, Е, ц) = 0 (здесь /(0, е, ¡1\ - правая части системы (12)), то система (17) при всех значениях двумерного параметра имеет неподвижную точку Н — 0, т.е. С/(0, с, /х) = 0. Задача о локальных бифуркациях системы (12) в окрестности решения Л = 0 в естественном смысле равносильна аналогичной задаче для системы (17). Оператор {/(*,е,/^) представим в виде

и{к,е111) = У{е,ф + у{е,1лМ (18)

здесь д) = Х{е,ц,Т), где - фундаментальная матрица решений системы

(16), а нелинейность v(e, ¡1, К) удовлетворяет соотношению:

||и(е,р,Л)|| =о(||Л||) при ||Л|[ —» 0.

Задача о бифуркации субгармонических 4 7г-периодических колебаний системы (12) в окрестности решения Л = 0 равносильна соответствующей задаче о локальных бифуркациях операторного уравнения

Л = Уг(е,/!)Л + {;(с,Л/1), (19)

здесь

й(е, /1, И) = У(е, ¡1, Ь.) + и(е, ц, У(е, ц)Л + у(е, ц, Л)). При е = 0 и ц = цг оператор V2 (е, /¿) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2.

Для доказательства теоремы 5 используется достаточный признак, приведенный в теореме 1. Проверка этого достаточного признака (т.е. соотношения (1е1(0) ф 0) потребовала решения ряда специальных задач для дифференциального уравнения (12), а также необходимость выбора соответствующих собственных векторов оператора У2(0,№), по направлению которых решается задача о правильных точках бифуркации операторного уравнения (19).

Вторая группа результатов третьей главы содержит схему получения асимптотических формул для приближенного представления возникающих в теореме 5 47г-периодических решений системы (12). Предлагаемая схема позволяет получать асимптотические (по степеням малого параметра 5^0) формулы вида

Л* = £е1+<52С1+^3<2+Ф3), е5 = 6щ+627]2 + о(62), щ = ц2 + 8в1 + &Ч2 + о{Р).

Эти формулы получены на основе соответствующих равенств, некоторые из которых приведены в теореме 2; при этом в качестве основного рассматривается операторное уравнение (19).

В работе также рассмотрены аналогичные вопросы о бифуркации субгармонических колебаний системы (8) периода 27гш при тп ^ 3. Получены аналогичные теореме 5 утверждения.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю М.Г.Юмагулову за неоценимую помощь в работе.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В рецензируемых изданиях из списка ВАК

1. Юмагулов М.Г., Беликова О.Н. Бифуркация периодических решений плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел // Астрономический журнал, 2009 г., т.86, Лг<2. С. 170-174

2. Юмагулов М.Г., Беликова О.Н. Бифуркации периодических решений в окрестностях треугольных точек либрации задачи трех тел // Известия вузов. Математика. 2010 г., №6. С. 82-89

В других изданиях

3. Беликова О.Н. Итерационная процедура численного исследования периодических решений ограниченной эллиптической задачи трех тел. // Сборник научных трудов "Новые программные средства для предприятий Урала вып. 5. Магнитогорск, 2006. С. 91-92

4. Беликова О.Н., Юмагулов М.Г. Периодические решения плоской ограниченной задачи трех тел. // Труды Уфимской международной математической конференции "Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика 1-5 июня 2007 г.

5. Беликова О.Н., Юмагулов М.Г. Семейство периодических решений в окрестностях точек либрации ограниченной задачи трех тел. // Материалы научно-практической конференции "Прикладная математика и информационные технологии в науке и образовании Сибай, 2008 г. С. 98-101

6. Беликова О.Н. Сценарии бифуркаций в окрестностях треугольных точек либрации ограниченной эллиптической задачи трех тел. // Материалы региональной научно-практической конференции "Уральский регион Республики Башкортостан: человек, природа, общество". Сибай, 2009 г. С 352-356.

Введение

1. Динамические системы: модели, бифуркации, методы исследования

1.1 Локальные бифуркации динамических систем

1.1.1 Динамические системы: вводные сведения

1.1.2 Основные сценарии локальных бифуркаций

1.2 Операторные методы исследования задачи о бифуркациях

1.3 Дифференциальные уравнения некоторых задач небесной механики

1.3.1 Ограниченная задача трех тел

1.3.2 Задача Хилла

2. Исследование основных сценариев локальных бифуркаций

2.1 Бифуркации в окрестностях треугольных точек либрации

2.1.1 Постановка задачи

2.1.2 Переход к нормальной системе.

2.1.3 Исследование круговой задачи

2.1.4 Исследование эллиптической задачи

2.2 Бифуркации вынужденных и субгармонических колебаний.

2.3 Бифуркации в окрестностях прямолинейных точек либрации

2.4 Бифуркации в модели Хилла.

3. Бифуркации субгармонических колебаний

3.1 Бифуркация удвоения периода.

3.1.1 Постановка задачи

3.1.2 Основное утверждение.

3.2 Доказательство теоремы 3.

3.2.1 Переход к операторному уравнению.

3.2.2 Построение собственных значений и векторов

3.2.3 Вычисление производных оператора У(е, ц)

3.2.4 Проверка достаточного условия бифуркации

3.3 Приближенное исследование бифуркации

3.3.1 Асимптотические формулы для бифурцирующих решений: операторная схема.

3.3.2 Асимптотические формулы для субгармонических колебаний

3.4 Бифуркация 2дк-периодических решений (к>2)

3.4.1 Доказательство теоремы 3.3.

3.4.2 Замечания

Актуальность темы.

Дифференциальные уравнения задач небесной механики и, в особенности, классической задачи N тел занимают одно из центральных мест в общей теории динамических систем. Несмотря на относительную простоту формулировок и прозрачность основных формул эти уравнения представляют собой чрезвычайно сложный объект исследования, привлекающий повышенное внимание многих поколений ученых - математиков, механиков, физиков и др. Благодаря работам И.Ньютона, JI. Эйлера [63], Ж. Лагранжа [70], П. Лапласа [67], К. Якоби, А. Пуанкаре [42], A.M. Ляпунова [29] и др. разработан ряд, ставших уже классическими, методов исследования, нашедших многочисленные приложения в математике, небесной механике, астрономии и других науках. Существенный вклад в изучение таких уравнений внесли В.И. Арнольд [3], Г.Н. Дубошин [15] - [16], В.В. Козлов [5], А.П. Маркеев [37], К. Маршал [39], Р. Монтгомери, К. Симо, А. Шенсине [45] и др.

Неугасающее внимание к исследованию дифференциальных уравнений задач небесной механики связано не только с тем, что они находят свое применение при изучении движения небесных тел. Эти уравнения демонстрируют огромное многообразие качественного поведения решений, от самых простых - стационарных решений (точек либрации) - до сложных хаотических движений. Дифференциальные уравнения задач небесной механики зависят от различных параметров, что может приводить к тем или иным сценариям бифуркационного поведения.

Одной из наиболее актуальных как с теоретической, так и практической точек зрения представляется исследование бифуркаций в окрестностях стационарных решений дифференциальных уравнений ограниченной задачи трех тел и различных ее модификаций. Здесь разработан ряд эффективных методов исследования, решены многие важные теоретические и практические задачи. Большой вклад в разработку и развитие этих методов внесли исследования В.И. Арнольда [4], Е.А. Гребеникова [10], В.Г. Демина [14], В.П. Евтеева [13], [17], А.П. Маркеева [32], Мухамадиева Э.М. и Икромова А. [19], [40], А.И.Нейштадта [5], Ю.А. Рябова [11], В. Себехея [44] и др. Заметим, что большая часть исследований и разработанных методов относится к дифференциальным уравнениям круговой задачи трех тел, зависящим от одного параметра. Значительно меньше изучались бифуркации в окрестностях стационарных решений дифференциальных уравнений эллиптической задачи трех тел, зависящих от двух или большего числа параметров, в частности, от эксцентриситета кеплеровской орбиты г и параметра масс ¡1. Соответствующие бифуркации, как правило, имеют коразмерность равную двум, что значительно усложняет их исследование. Здесь особо важны получение признаков возникновения периодических и субгармонических колебаний и разработка методов построения возникающих колебаний.

В настоящей работе основной целью является разработка методов качественного и приближенного исследования задачи о локальных бифуркациях в окрестностях стационарных решений дифференциальных уравнений некоторых задач небесной механики, зависящих от двух параметров. При этом ставится задача на основе этих методов получить признаки возникновения периодических и субгармонических колебаний, получить и обосновать асимптотические формулы для возникающих решений.

Краткое содержание работы.

Работа состоит из трех глав.

В первой главе приводятся общие сведения из теории динамических систем и локальных бифуркаций. Обзорно рассматриваются известные результаты относительно признаков локальных бифуркаций. Глава носит вспомогательный характер.

Первая глава состоит из трех параграфов. В первом параграфе приводятся известные сведения о дискретных и непрерывных динамических системах, описываются необходимые условия локальных бифуркаций и описываются их основные сценарии. Во втором параграфе излагаются операторные методы исследования задачи о локальных бифуркациях динамических систем. В третьем параграфе главы приводятся необходимые сведения о некоторых дифференциальных уравнениях задач небесной механики, изучаемых в настоящей работе.

Основные результаты работы содержатся во второй и третьей главах. Во второй главе изучаются дифференциальные уравнения плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел и модифицированной задачи Хилла. Приведем основные результаты второй главы.

Дифференциальным уравнениям плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел в координатах (4, г}) Нехвила имеют вид

V - Р if ^ + (£2\^2)3/2^ [(£ 1)2+ ^3/2 К ^ п и ( ¡1 — 1 Ц \

Г) + = р ^ + ^2 + 7fy3/2V - + ^3/2^ ;

1) где р — --- ¡1 = ———, 0 < ш\ ^ то, 0 < ¡j, < 1, г

1 + е cos t то + mi эксцентриситет кеплеровской орбиты, t - истинная аномалия, 77?o,77ii - массы активно гравитирующих тел, штрихами обозначены производные по t.

Система (1) имеет пять стационарных решений - точек либрации: три из них L\, Ь2 и Z/з лежат на одной прямой (прямолинейные точки либрации), а две другие L4 и образуют с телами то и mi равносторонние треугольники (треугольные точки либрации). Отметим, что треугольные точки либрации могут быть явно выписаны, а координаты прямолинейных точек зависят от значения параметра /л и явно не выписываются.

Система (1) содержит два параметра - эксцентриситет 00 и параметр масс 0 < ¡1 < 1. При этом система (1) является неавтономной с 27т-периодической правой частью. При изменении параметров е и ¡л поведение системы меняется, что может сопровождаться различными бифуркациями, в частности, в окрестностях точек либрации.

Если при е = 0 и некотором ¡1 = до какая-нибудь из точек либрации Ь^ является негиперболической точкой равновесия системы (1), то значение %о = (0, До) векторного параметра х = (е, д) будем называть точкой бифуркации системы (1) в задаче о вынужденных колебаниях в окрестности точки ь,.

Этот термин охватывает различные сценарии бифуркационного поведения системы (1). В частности, при близких к до значениях /1 у системы (1) в окрестности точки равновесия х = 0 могут возникать 27т-периодические решения (вынужденные колебания), 2ттк-периодические решения при к ^ 2 (субгармонические колебания), квазипериодические решения и др. Описанию возможных сценариев бифуркационного поведения дифференциальных уравнений некоторых задач небесной механики, получению достаточных признаков того или иного сценария бифуркации, разработке схем приближенного исследования бифуркаций и посвящена диссертационная работа.

Основной задачей, рассматриваемой во второй главе, является исследование вопроса об основных сценариях бифуркаций вынужденных колебаний системы (1) в окрестностях точек либрации 1,1,., 1/5, а также определение необходимых условий соответствующих бифуркаций. В качестве точек бифуркации рассматриваются значения хо = (0, До) векторного параметра

X = (е, ц), где /¿о £ (0,1) - некоторые специально вычисляемые значения параметра масс ц.

В пункте 2.1.2 описывается переход от системы (1) к нормальной системе вида и' = и <Е И4, (2) где Р(и, е, ц, - вектор-функция, определяемая правой частью системы (1). При е = 0 (круговой случай) система (2) является автономной. Точки либрации системы (1) соответствуют постоянным решениям системы (2), в частности, точка либрации соответствует постоянному решению г>4: 1 у 4 — 2 О О

Перенесем начало координат системы (2) в точку . В результате система (2) примет вид

Ы = А(е, /х, + о(е, /х, /г), где к € Я4, = 0(||Л||2) при ||х|| О,

О 0 10

3)

А(е,ц,г) = 0 0

0 1

Зл/З

Зл/З 4 р(1-2М) 0 2 р( 1 - 2/х) 9

-2 0

4 г/ 4'

Состояние равновесия /г = 0 системы (3) соответствует точке гл* системы

2)

В пункте 2.1.3 исследуется система (2) при £ — 0, т.е. круговая задача. Дифференциальные уравнения этой задачи автономны и зависят только от одного параметра ¡i. Эти уравнения имеют вид: h! — A0(fi)h + a(/z, К) где h <Е R4, а{у,,К) = 0(\\h\\2) при ||ж|| О,

Л>М = о о 3 о о

О 1

О 2

1 о

9 4

-2 О

Поведение системы (4) в окрестности решения h = 0 определяется поведением собственных значений матрицы Ао{/л). В данном пункте описывается поведение этих собственных значений при различных значениях параметра О < ¡i < 1.

В пункте 2.1.4 анализируется эллиптическая задача (3). В этом пункте сформулированы и доказаны следующие утверждения

Теорема 0.1. Пусть выполнено условие 1 — 27¿¿(1 — ¡i) < 0. Тогда при всех малых е > 0 точка равновесия h = 0 системы (3) является гиперболической.

Теорема 0.2. Пусть для значения ¡jl — fio выполнено условие 1 — 27/^(1 — fi) ^ 0 . Тогда h = 0 является негиперболической точкой равновесия системы (3). При этом значение (0,/¿о) векторного параметра является точкой бифуркации системы (3) в задаче о вынужденных колебаниях.

Из второго утверждения следует, что малейшее изменение параметров е и /х системы (3) вблизи точки (0,/¿о) может привести к качественному изменению фазового портрета этой системы в окрестности решения h = 0, т.е. к тем или иным сценариям бифуркации. В данном пункте описываются основные сценарии бифуркаций.

Во втором параграфе второй главы изучаются бифуркации вынужденных и субгармонических колебаний системы (3). Будем говорить, что значение (О, до) векторного параметра (e,/¿) является точкой бифуркации субгармонических колебаний периода 2ттк (к ^ 2) системы (3), если существуют £ — е(6) и ¡i = fi(ó), зависящие от некоторого малого параметра 6 ^ 0 и такие, что: a) при е = £{5) и ¡i = ц(д) система (3) имеет нестационарное 2тгк-периодическое решение h = h(t, 5); b) maxjj/?,(¿, 0 при <5 0.

При к = 1 приведенное определение трансформируется в понятие бифуркации вынужденных колебаний.

Здесь формулируются и доказываются следующие утверждения

Теорема 0.3. Ни при, каких ¡ло £ (0,1) значение (0, /¿о) векторного параметра (e, ¡i) не является точкой бифуркации вынужденных колебаний системы (3).

Теорема 0.4. Пусть (0,/io) ~ точка бифуркации субгармонических 2жq-периодических (q ^ 2) колебаний системы (3). Тогда fio является одним из корней уравнений р р р шЛи) = - или Ш2(и) = -, где <7^2 и 0 < - < 1. q q q при некотором натуральном, р. п „1 Ц 1 У27кА - 16/с2 +16

Следствие 0.1. Числа — —--у=-, где к ^ 2, уоовле

2 6л/3 к2 творяют необходимому условию бифуркации субгармонических 27тк -периодических (к ^ 2) колебаний системы (3).

В пункте 2.3 второй главы рассмотрены также вопросы об основных сценариях бифуркационного поведения системы (2) в окрестностях прямолинейных точек либрации. Описан топологический тип этих точек при различных значениях параметра [л. Заметим, что в отличие от треугольных точек либрации, прямолинейные точки можно найти только численно. Поэтому описание основных сценариев бифуркаций в окрестностях этих точек проводилось на основе компьютерного моделирования.

В последнем пункте второй главы описываются основные сценарии бифуркационного поведения в модифицированной модели Хилла.

Основной задачей исследования в третьей главе является задача о бифуркации субгармонических колебаний в окрестностях треугольных точек либрации плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел. Значения

1 \/2 „ параметров £ = 0 и /л = /i2 = ---— будут бифуркационными в окрестно

1 о стях точек либрации L4 и L5 системы (1). Основным сценарием бифуркации является возникновение у системы (1) в окрестностях точек либрации нестационарных 4-7Г-периодических решений, т.е. бифуркация удвоения периода. В пункте 3.1.2 первого параграфа третьей главы формулируется одно из основных утверждений работы:

Теорема 0.5. Значение (0, /-¿2) векторного параметра (е, ¡л) является точкой бифуркации субгармонических Атт -периодических колебаний системы (3).

Следствие 0.2. Значения е = 0 и ¡1 = (л2 образуют точку бифуркации субгармонических 47т -периодических колебаний системы (1) в окрестности треугольной точки либрации L4 .

Другими словами, существуют функции е = е(6) и ¡л — ¡л{5), зависящие от некоторого малого параметра б ^ 0 и такие, что: a) при е = £{6) и д = /¿(5) система (1) имеет нестационарное 47г-периодическое решение £ = 5) и г) = 5); b) тах\\(ф,5)7г]{г,5))-Ь4\\ О , е{5) -> 0 и /¿(5) при <5^0.

В параграфе 3.2 проводится доказательство теоремы 0.5. В следующем параграфе 3.3 приводится операторная схема построения бифурцирующих решений £ = £(£,£) и 77 = 5) системы (1), а также соответствующих значений параметров £ = и д = ц{5).

Последний параграф 3.4 третьей главы посвящен вопросу о бифуркации субгармонических колебаний системы (1) периода 2-кт при га ^ 3. В нем обсуждается аналог теоремы 0.5, а также некоторые замечания к исследованию задач о вынужденных колебаниях дифференциальных уравнений пространственной ограниченной задачи трех тел.

Заключение

В настоящей диссертационной работе исследованы следующие задачи:

1. Проведен детальный анализ основных сценариев локальных бифуркаций в окрестностях стационарных решений дифференциальных уравнений ограниченной эллиптической задачи трех тел и некоторых ее модификаций;

2. Разработан операторный метод исследования бифуркационного поведения дифференциальных уравнений задач небесной механики в окрестностях стационарных решений, приводящий к достаточному признаку бифуркации периодических и субгармонических колебаний и итерационной процедуре построения возникающих решений;

3. Доказано существование нестационарных периодических решений в окрестностях треугольных точек либрации дифференциальных уравнений плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел;

4. Разработаны и обоснованы асимптотические формулы для бифурциру-ющих решений плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел.

1. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — М.: Физматгиз, 1959. — 560 с.

2. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. -288 с.

3. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Москва-Ижевск: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика 2000. - 400с.

4. Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.5. Динамические системы V. // М.: ВИНИТИ, 1986. С. 5-218.

5. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985. - 304 с.

6. Балк М.Б. Элементы динамики космического полета. М.: Наука, 1965. - 340 с.

7. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1967, - 223 с.

8. Бобровски Д. Введение в теорию динамических систем с дискретным временем. — Москва-Ижевск: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика Институт компьютерных исследований, 2006. — 360 с.

9. Брур X. В., Дюмортье Ф., Стрин С., Таксис Ф. Структуры в динамике. Конечномерные детерминированные системы. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 336 с.

10. Гребешков Е.А. Об устойчивости лагранжевых треугольных решений ограниченной эллиптической задачи трех тел // Астрон. ж., 1964, т. 41, вып. 3. С. 567.

11. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. М.: Наука, 1971. - 444 с.

12. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 560 с.

13. Демин В.Г., Евтеев В.П. Эллиптическая задача трех тел. Душанбе Дониш, Тадж. гос. ун-т им. В.И.Ленина, 1988. 133 с.

14. Демин В.Г., Косенко И.И., Красилъников П. С., Фурта С.Д. Избра-ные задачи небесной механики. М.: РХД, 1999. 210 с.

15. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука, 1978. - 456 с.

16. Дубошин Т.Е. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968. - 799 с.

17. Евтеев В.П. Периодические решения плоской эллиптической задачи трех тел. // Космические исследования. 1988. т.26., вып.5. С. 785-787.

18. Ибрагимова Л. С, Юмагулов М.Г. Функционализация параметра и ее приложения в задаче о локальных бифуркациях динамических систем. // Автоматика и телемеханика. 2007. № 4. С. 3-12.

19. Икромов А. О 67Г-периодических решениях плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел в окрестностях точек либрации // Космические исследования. 1984. 22, вып.З. С. 335-340.

20. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1975. - 740 с.

21. Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в теорию динамических систем. М.: МЦНМОб, 2005. - 464 с.

22. Козякин B.C., Красносельский М.А. Метод функциоиализации параметра в задаче о точках бифуркации // Доклады Академии наук СССР, 1980, т.254, №5. С. 1061-1064.

23. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравений. М.: Наука, 1966. - 332 с.

24. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближённое решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. - 456 с.

25. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. - 512 с.

26. Леонгпович A.M. Об устойчивости лагранжевых периодических решений ограниченной задачи трех тел // Доклады Академии наук СССР, 1962, т. 143, №3. С. 525-529.

27. Лукьянов Л.Г. Об устойчивости в первом приближении треугольных лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел. // Бюлл. ИТА, 1969, т. 11, №10 (133). С. 693

28. Ляпунов A.M. Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех телах. Собр. соч., т. 1. М.; JL: Изд-во АН СССР, 1954.

29. Ляпунов А. М. Собрание сочинений. — M.-JL: Гостехиздат, 1956. — Т.2. 542 с.

30. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956. - 491 с.

31. Маркеев А. П. Исследование устойчивости лагранжевых решений плоской эллиптической задачи трех тел. Препринт ИПМ, № 1, 1973, деп. № 5828-73.

32. Маркеев А.П. Исследование устойчивости лагранжевых решений плоской эллиптической задачи трех тел // Прикладная математика и механика, 1970, т.34, вып.6. С. 997-1004.

33. Маркеев А.П. К задаче об устойчивости лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел // Прикладная математика и механика, 1973, т.37, вып.4. С. 753-757.

34. Маркеев А.П. Об "диффузии Арнольда"в многомерной задаче об устойчивости треугольных точек либрации, Препринт Института прикладной математики АН СССР, 1974, № 109, 27 с.

35. Маркеев А. П. Об устойчивости треугольных точек либрации в круговой ограниченной задаче трех тел // Прикладная математика и механика, 1969, т.ЗЗ, вып.1. С. 112-114.

36. Маркеев А.П. Об устойчивости треугольных точек либрации в эллиптической ограниченной задаче трех тел // Прикладная математика и механика, 1970, т.34, вып.2. С. 227-232.

37. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и крсмодинамике. А/1.: Наука, 1978, 312 с.

38. Маркеев А.П., Сокольский А.Г. Численное исследование устойчивости лагранжевых решений эллиптической ограниченной задачи трех тел // Прикладная математика и механика, 1974, т.38, вып.1. С. 49-55.

39. Маршал К Задача трех тел. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

40. Мухамадиев Э.М., Муратов Ю., Икромов А. О периодических решениях плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел в окрестностях точек либрации // ДАН Тадж. ССР, 1984, т.27, №4. С. 186-189.

41. Относительные равновесия. Периодические решения / Сб.работ. -Москва-Ижевск: Институт компьтерных исследований, 2006. 324 с.

42. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики, тт. 1,2 М.: Наука, 1971, 1972. - 771 с, 999 с. 392 с.

43. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М. -Л.: ГИТТЛ, 1947. - 392 с.

44. Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трёх тел. М.: Наука, 1982. - 656 с.

45. Симо К., Смейл С.; Шенсине А. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 304 с.

46. Сокольский А.Г. Доказательство устойчивости лагранжевых решений при критическом соотношении масс // Письма в астрономический журнал, 1978, т.4, № 3. С. 148-152.

47. Сокольский А. Г. Об устойчивости автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансе первого порядка.- Прикладная математика и механика, 1977, т. 41, вып. 1, с. 24-33.

48. Сокольский А.Г. Об устойчивости лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел при критическом соотношении масс // Прикладная математика и механика, 1975, т.39, вып.2. С. 366-369.

49. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968. - 808 с.

50. Уиттекер Э. Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: Гостехиздат, 1937.

51. Фихтепгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. М.: Наука, 1970. - 800 с. - М.; Л.: Гостехиздат, 1937.

52. Юмагу лов М.Г. Операторный метод исследования правильной бифуркации в многопараметрических системах. // Доклады Академии наук. 2009. Т. 424, № 2. С. 177-180.

53. Беликова О.Н. Итерационная процедура численного исследования периодических решений ограниченной эллиптической задачи трех тел. // Сборник научных трудов "Новые программные средства для предприятий Урала вып. 5. Магнитогорск, 2006. С. 91-92

54. Юмагулов М.Г., Беликова О.Н. Бифуркации периодических решений в окрестностях треугольных точек либрации задачи трех тел // Известия вузов. Математика. 2010 г., №6. С. 82-89

55. Юмагулов М.Г., Беликова О.Н. Бифуркация периодических решений плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел / / Астрономический журнал, 2009 г., т.86, №2. С. 170-174

56. Юмагулов М.Г., Беликова О.Н. Периодические решения плоской ограниченной задачи трех тел. // Труды Уфимской международной математической конференции "Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика 1-5 июня 2007 г.

57. Bruns H. Uber die integrate des vielko rper-problems // Acta Mathemat-ica, 1887, t.ll, p. 25-96.

58. Deprit, A. Deprit-В artholome. Stability of the triangular Lagrangian points // Astron. J., 1967, v.72, pp. 172-179.

59. Deprit A., Deprit-Bartholome. Stability of the triangular Lagrangian points.- Astron. Journ., 1967, v. 72, K°- 2, p. 173.

60. Euler L. De motu rectilineo trium corporum se inutuo attrahentuin. -Novi Comm. Acad. Sci. Jmp. Petnop, 1767, t.ll, pp. 144-151.

61. Gascheau G. Examen d'une classe d'équations différentielles et application a un cas particulier du problème des trois corps. Compets Rendus, 1843, v. 16, p. 393.

62. Hill G.W. Researches in the Lunar Theory // The Collected Mathem. Works. V.l. Washington, 1905. P.284.

63. Lagrange J.L. Eassais sur le problem des trois corps. Paris, 1772.

64. Laplas P.S. Mecanique celeste. Boston, 1832.

65. Littlewood J. E. On the equilateral configuration in the restricted, problem of three bodies.- Proc. London Math. Soc, 1959, v. 3, № 9, pp. 343-372.

66. Littlewood J. E. The Lagrange configuration in celestial mechanics.- Proc. London Math. Soc, 1959, v. 3, № 9, pp. 525-543.

67. Lagrange J.L. Eassais sur le problem des trois corps. Paris, 1772.

68. V.S. Kozyakin and M.A.Krasnoselskii, The method of parameter func-tionalization in the Hopf bifurcation problem, Nonlinear Analysis, 11, Vol. 2, 1987. P. 149-161

69. Painleve P. Memoire sur le integrales premieres du probleme des N corp.i- Paris ¡Bulletin Astronomique, 1898, t.15.

70. Perko L. Periodic solutions of the restricted problem that are analytic continuations of periodic solutions of Hill's problem for small ¡j, > 0. // Celestial Mechanics.- 1983,- Vol. 30. P. 115-132.

71. Routh E. J. Proceedings of the London Mathematical Society, 1875, vol.6.