Методы исследования локальных бифуркаций коразмерности два в неавтономных и дискретных динамических системах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Муртазина Сария Аширафовна

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛОКАЛЬНЫХ БИФУРКАЦИЙ КОРАЗМЕРНОСТИ ДВА В НЕАВТОНОМНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 м чао 2012

Уфа - 2012

005013653

005013653

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Юмагулов Марат Гаязович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Ильясов Явдат Шавкатович,

доктор физико-математических наук, профессор

Красносельский Александр Маркович

Ведущая организация: Институт математики и механики

Уральского отделения РАН г. Екатеринбург

Защита состоится 6 апреля 2012 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 в Учреждении российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан 1 марта 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В общей теории динамических систем важное место занимают системы, описываемые дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Такие уравнения возникают при изучении колебательных процессов в механике, физике, биологии, химии, экономике и др. Теория дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами являются хорошо развитой составной частью общей теории дифференциальных уравнений, благодаря работам A.M. Ляпунова, А. Пуанкаре, H.H. Боголюбова, В. Г. Веретенникова, И.Г. Малкина, Ю.А. Митропольского, В.А. Плисса, М. Розо, Ж. Флоке, Л. Чезари, И. 3. Штокало, В.А. Якубовича и многих других математиков.

Одной из наиболее актуальных задач в теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами представляется исследование поведения системы в окрестностях стационарных и периодических решений. Здесь особо актуальными представляются исследования поведения системы в предположении, что стационарное или периодическое решение является негиперболическим. В этом случае в системе могут происходить различные бифуркационные явления, возникать новые периодические или квазипериодические решения, становится возможным хаотическое поведение системы. Исследованию этого случая посвяшены работы В.И. Арнольда, М.А. Красносельского, A.M. Красносельского, А.П. Кузнецова, С.П. Кузнецова, B.C. Козякина, H.A. Магницкого, Ж.К. Хейла, Л.П. Шильникова и других математиков. Здесь получен ряд важных результатов, связанных с признаками бифуркаций и субфуркаций, построением периодических решений, анализом их устойчивости, исследованием вопросов синхронизации и др. При этом большая часть полученных результатов относится к задачам о бифуркациях коразмерности один. Существенно меньше изучены задачи о локальных бифуркациях коразмерности два и выше. Здесь особо актуальными являются получение достаточных признаков различных сценариев бифуркаций, разработка методов приближенного построения возникающих колебаний, исследование их устойчивости.

Цель работы. Разработка качественных и приближенных методов анализа бифуркационных явлений коразмерности два в динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами, получение достаточных признаков основных сценариев локальных бифуркаций, исследование устойчивости возникающих колебаний.

Методы исследования. В работе использованы методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории нелинейных колебаний, нелинейного анализа, приближенного решения операторных уравнений, теории Флоке, малого параметра, метод функционализации параметра, метод Ньютона-Канторовича, метод Розо исследования устойчивости.

Научная новизна определяется впервые проведенными исследованиями, в результате которых разработан математический аппарат для анализа локальных бифуркаций коразмерности два в неавтономных и дискретных динамических системах. При этом получены следующие новые научные результаты:

1. Разработан новый операторный метод исследования бифуркационного поведения основных сценариев бифуркационного поведения двупарамет-рических неавтономных динамических систем и их дискретных аналогов в окрестностях стационарных решений;

2. Получены новые достаточные признаки локальных бифуркаций коразмерности два неавтономных динамических систем и их дискретных аналогов;

3. Разработаны и обоснованы асимптотические формулы, позволяющие определить основные гармоники вынужденных и субгармонических колебаний неавтономных динамических систем в задачах о бифуркации коразмерности два;

4. Проведен анализ устойчивости вынужденных и субгармонических колебаний, возникающих в неавтономных динамических системах при би-фуркиях коразмерности два;

5. Предложены асимптотические формулы в задаче о локализации языков Арнольда неавтономных динамических систем и их дискретных аналогов в основных резонансах.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. В ней предложены и обоснованы аналитический и приближенный методы исследования задачи об основных сценариях локальных бифуркаций коразмерности два в дифференциальных уравнениях с периодическими коэффициентами. Предлагаемые методы могут быть использованы для анализа бифуркационных явлений в системах, описываемых неавтономными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Полученные результаты доведены до расчетных и асимптотических формул.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на региональной научно-технической конференции "Новые программные средства для предприятий Урала"(г. Магнитогорск, декабрь 2004 г.); всероссийской школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании" (г. Уфа, 30 октября-3 ноября 2007 г.); научно-практической конференции "Прикладная математика и информационные технологии в науке и образовании "(г. Сибай, 23-24 мая 2008 г.); международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы"(г. Стерлитамак, 24-28 июня 2008 г.); международной научной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ"(г. Уфа, 13-17 декабря 2010 г.); научном семинаре по дифференциальным уравнениям математической физики Института математики с ВЦ УНЦ РАН (руководители: д.ф.-м.н., профессор Л.А. Калякин и д.ф.-м.н., профессор В.Ю. Новокшенов.); научных семинарах кафедры прикладной математики и информационных технологий Сибайского института (филиала) Башкирского государственного университета (руководитель - д.ф.-м.н., профессор Юмагулов М.Г.); научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета (руководители: д.ф.-м.н., профессор Султанаев Я.Т и д.ф.-м.н., профессор Юмагулов М.Г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах (1]-[14], при этом статьи [1]-[4] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Личный вклад соискателя. Постановки основных задач принадлежат научному руководителю. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. При выполнении работ |2], [3], [6], [7], [9] и [11], опубликованных в соавторстве, соискатель принимал участие в разработке и обосновании предлагаемых методов исследования. Из результатов этих работ в диссертацию автором включены только результаты, полученные им лично.

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Общий объем работы составляет 128 страниц. Библиография содержит 92 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цель и основные задачи исследования, приводится обзор литературных источников, кратко излагается содержание работы.

Основным объектом исследования работы является система дифференциальных уравнений, зависящих от скалярного или векторного параметра ¡1 с Т-периодической по t правой частью:

x' = f(x,t,n), x£Rn, ¡л S Rk, (1)

где функция f(x, t, /i) непрерывна по t и непрерывно дифференцируема по х и р. Пусть система (1) при всех значениях параметра ц имеет нулевую точку равновесия х = 0, т.е. f(0,t,[ï) = 0. Уравнение (1) может быть представлено в виде

х' = A(t, ц)х + а(х, t, ц), (2)

где A(t, ц) = /.£(0, t, ц) - матрица Якоби вектор-функции f(x, t, /i), вычисленная в точке х = 0, а нелинейность а(х, t, fi) равномерно по t и fj, удовлетворяет соотношению ||a(a;,ijx)|| = 0(||х||2) при ||z|| -> 0; здесь и ниже через || • || обозначена евклидова норма векторов в пространстве RN.

Обозначим через V(/i) матрицу монодромии линейной системы

x' = A(t,n)x. (3)

Пусть при fj, = цо система (3) имеет один или несколько мультипликаторов, равных по модулю 1; тогда точка равновесия х = 0 системы (1) при ц = [iо является негиперболической. В этом случае значение Цо будем называть точкой бифуркации системы (1).

В частности, при близких к /хо значениях ц у системы (1) в окрестности точки равновесия х = 0 могут возникать Т-периодические решения (вынужденные колебания), кТ-периодические решения при к ^ 2 (субгармонические колебания), квазипериодические решения и др. Описанию возможных сценариев бифуркационного поведения дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, получению достаточных признаков того или иного сценария бифуркации, разработке схем приближенного исследования бифуркаций, исследованию устойчивости возникающих колебаний и посвящена диссертационная работа.

В первой главе приводятся необходимые сведения из теории дифференциальных уравнений с периодическими правыми частями, из теории локальных бифуркаций, описываются основные сценарии таких бифуркаций. Основное содержание главы составляет обоснование метода качественного и приближенного исследования задачи о бифуркациях малых решений операторных уравнений. Глава носит вспомогательный характер. Приведем некоторые необходимые сведения из первой главы, относящиеся к указанному методу.

Рассматривается операторное уравнение

х = В{ц)х + Ь{х,ц), х <=Rn, neRm, (4)

где матрица B(fi) непрерывно диффиренцируемо зависит от параметра ц, а нелинейность b(x,fi) содержит слагаемые второй и более высоких степеней по х: b(x, /i) = 0(||z||2) при ||х|| -» 0.

Пусть е € Rn - некоторый ненулевой вектор. Значение /хо параметра fi называют правильной точкой бифуркации уравнения (4) по направлению вектора е, если существуют непрерывные функции ц = ц(е) и х — х(е) такие,

что: /х(0) = Цо, х(0) = 0; ||ж(£) — ее|| = о(е) при е —» 0; при этом для каждого е ^ 0 вектор х(е) является решением уравнения (4) при ß — ß(s)-

Правильные точки бифуркации уравнения (4) имеет смысл искать лишь среди тех (iQ, при которых матрица В(р!о) имеет собственное значение 1. Рассматриваемые в работе задачи о вынужденных колебаниях таковы, что приводят либо к уравнению вида (4), зависящего от скалярного параметра ß, и с матрицей В (ß), имеющей при некотором ß = ßо простое собственное значение 1, либо к уравнению вида (4), зависящего от двумерного параметра fi, с матрицей B(ß), имеющей при некотором ц = /хо полупростое собственное значение 1 кратности 2. При этом в работе основное внимание уделяется разработке операторной схемы приближенного исследования задачи о точках бифуркации вынужденных колебаний системы (1) для второго случая, т.е. для бифуркации коразмерности 2.

Пусть параметр ß является двумерным, т.е. ß = (a,ß), где а и ß - скалярные параметры. Положим ßo = (ао, ßo), Во = B(ao,ßo)- Пусть матрица В о имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2. Пусть е, д, е*, д* -линейно независимые собственные векторы операторов Во и BJ, отвечающие полупростому собственному значению 1. Эти векторы можно выбрать исходя из соотношений:

(е>е*) = (д,д*) = 1, (е,Л = (я,О=0. (5)

Положим

0= (В'аЫе,е*) (B'ßЫе,е') [(B'a(ß0)e,g*) (B'ß(ß0)e,g*) ¡'

Здесь В'аи B'ß- операторы, полученные дифференцированием оператора B(a,ß) по а и ß соответственно.

Теорема 1. Пусть det Q ф 0. Тогда ßo является правильной тонкой бифуркации уравнения (4) по направлению вектора е.

Во второй главе приводятся новые достаточные признаки бифуркаций вынужденных и субгармонических колебаний системы (1), а также получены асимптотические формулы для возникающих колебаний.

Пусть система (3) при ц = Цо имеет один или несколько мультипликаторов равных по модулю 1, т.е. матрица V(jiq) имеет собственные значения вида е±2Ш, где 0 < в < -. В диссертации основное внимание уделяется рассмотрению случаев, когда матрица V(¡iq) имеет:

51) простое собственное значение 1;

52) пару простых собственных значений e±2lr(?l, где 0 ^ в ^ i и 0 рациональ-

Р

но: в = — несократимая дробь.

Ч

Во обоих случаях предполагается, что остальные собственные значения матрицы V(fio) не равны 1 по модулю.

В зависимости от этих случаев возможны различные сценарии локальных бифуркаций в окрестности состояния равновесия системы (1).

В случае S1) коразмерность бифуркации равна одному; в этом случае естественным будет предположение, что параметр ц является скалярным. Здесь основным сценарием бифуркации является возникновение у системы (1) в окрестности точки равновесия х — 0 при переходе параметра ц через цо (т.е. либо при /i < /хо, либо при /х > Ца) ненулевых Т-периодических колебаний малой амплитуды. Данная бифуркация соответствует следующему понятию.

Значение fio параметра /х назовем тонкой бифуркации вынужденных колебаний системы (1), если каждому е > 0 соответствует такое /х = /х(е). при котором система (1) имеет ненулевое Т-периодическое решение x(t,s), причем /х(е) —► )1q и max ¡|x(t,£)|| —► 0 при е —> 0.

В случае S2) коразмерность бифуркации равна двум. Поэтому здесь естественным будет предположение, что параметр /х является двумерным, т.е. fi = (а, р), где а и Р - скалярные параметры. Здесь в окрестности точки равновесия х = 0 при переходе параметра fj, через /хо могут возникать или исчезать периодические решения различных периодов кТ, где к ^ q. Данная бифуркация соответствует следующему понятию.

Значение ¡J.Q параметра /t назовем бифуркацией субгармонических колебаний периода qT системы (1), если каждому е > 0 соответствует такое

ß = ß(e), при котором система (1) имеет ненулевое qT-периодическое решение x(t, е), причем ß{e) —> ßo и mpc |¡x(í, er)|| —»0 при е —> 0.

Рассмотрим сначала случай S1). Обозначим через е и е* - собственные векторы, соответствующие простому собственному значению 1 матриц V(ßo) и V*(ßo) соответственно; здесь V*(ß) - транспонированная к V(ß) матрица. Векторы е и е* можно выбрать в соответствии с равенствами |[е|[ = 1, (е,е*) = 1. Обозначим через x0(t, р) решение задачи Коши

г' = A(t,ß)x, ) *(0) = е, J

и положим

£о = {[xo(T,ß)}'^,e') .

Теорема 2. Пусть выполнено условие S1 и 0. Тогда Ца является точкой бифуркации вынужденных колебаний системы (1).

Рассмотрим теперь случай S2). Положим B(ß) = Vq{ß)\ тогда матрица B(ßo) (а вместе с ней и транспонированная матрица B*(ßо)) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2. Обозначим через е, g и е", д* соответствующие линейно независимые собственные векторы матриц B(ßо) и B*(ßо). Векторы е, д, е* и д* будем считать выбранными в соответствии с соотношениями (5). Пусть xo(t,ß) - решение задачи Коши (7). Положим

с = ( (Ka(<lT,ß)l^,e') ([х'фТ^)Ъ=1те*)\ V д') ({х'фт, ß)]^ д*) ) •

Теорема 3. Пусть выполнено условие S2 и (о ф 0. Тогда ßo = (öq, ßo) является точкой бифуркации субгармонических колебаний периода qT системы

(D-

Во второй главе работы также приведены асимптотические формулы для существующих в условиях теорем 2 и 3 бифурцирующих решений. Полученные в работе асимптотические формулы используют квадратичную и кубическую нелинейности, входящие в правые части основных дифференциальных

уравнений. Здесь ограничимся приведением асимптотических формул для уравнения (2), когда нелинейность а(х, Ь, ц) представима в виде

где аг(х, р.) содержит квадратичные по х слагаемые, а нелинейность а3(х, ц) удовлетворяет соотношению а$(х, ¿, /х) = 0(||х||3) при ж —» 0 равномерно по £ и д.

Теорема 4. Существующие в условиях теоремы 2 бифурцирующие решения х(Ь,е) системы (1) и соответствующие значения параметра ¡х{е) предста-вимы в виде:

х(г,£)=£е(г)+£2е1(4) + еп(4,е), ц(е)=ц0 + ец1+ци{е)- (9)

Здесь е(Ь) = хо{Ь,цо)\ для функции е^Ь) и числа ¿ц в диссертации также получены расчетные формулы, а функции ец(£,е) удовлетворяют соотношениям \\цпШ — 0(г2); шах |[ец(£,е)|| = 0(е3) при е —» 0.

Теорема 5. Существующие в условиях теоремы 3 бифурцирующие решения х(Ь,е) системы (1) и соответствующие значения параметра ц(е) = (а(г), Р(е)) представимы в виде:

Здесь e(t) = 2г0(г, До); для функции ej(í), чисел ai, /?i в диссертации также получены расчетные формулы, а функции скц(е), Ai(£)i en(¿i е) удовлетворяют соотношениям ||ац(е)|| = 0(е2), ||/?ц(е)|| = 0(е2), тах (|еп(£,£)(| = 0(е3) при е —» 0.

Полученные во второй главе асимптотические формулы вида (10) позволяют получить приближенные представления языков Арнольда - множеств соответствующих рационально синхронизированным соотношениям параметр ров а и (3. Функции а = а(е) и /3 = /Э(е) на плоскости параметров (а,/3) описывают некоторую кривую, начинающуюся в точке (»о, Ра)- Эту кривую

а(х, t,n)=a2(x,t,n) + аз (ж, t, /х),

(8)

x(t,e) = ee(í) + e2ei(í) + en (í,e), а(е) = а0 + + <*п(е), /3(е) = /%+£/?! + Ai(e)-

(10)

называют кривой синхронизации. Она получена в предположении, что в качестве направления бифуркации выбран один из собственных веторов, отвечающим полупростому собственному значению 1 кратности 2 матрицы В(цо), а именно вектор е. Для различных собственных векторов получаются разные кривые синхронизации. Совокупность этих кривых и образует язык Арнольда.

Основной задачей исследования в третьей главе является анализ устойчивости бифурцирующих решений, возникающих в условиях теорем 2 и 3. Ограничимся рассмотрением случая S1). Здесь основным объектом исследования является система (2), в котором матрица A(t,fi) представима в виде

Предполагается, что постоянная матрица А0 имеет простое собственное значение 0, матрицы А^Ь) и являются Т-периодическими, причем

тах||А2(*,д)|| = 0(\ц — ¿¿о|2), при цо\ О-

Предлагаемая схема анализа устойчивости использует методы М. Розо. исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Определим число

т

Теорема 6. Пусть нелинейность а(х, /л) имеет вид (8). Тогда при всех малых значениях е > 0 бифурцирующие решения х(1,е) системы (2), существующие в условиях теоремы 2, асимптотически устойчивы, если Т] < О, и неустойчивы, если ц > 0.

Здесь а^ж, - матрица Якоби квадратичной нелинейности а2(х, д).

Автор выражает благодарность своему научному руководителю М.Г. Юмагулову за неоценимую помощь в работе.

A{t,n) =А0 + {ц- ца)А\(£) + A3{t,n).

о

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В рецензируемых изданиях из списка ВАК

1. Муртазина CA. Бифуркации вынужденных колебаний в системах автоматического регулирования // Вестник Тамбовского университета: общие проблемы управления и их приложения (ОПУ-2009): материалы международной конференции Колмогоровские чтения, Тамбов, 2009. Т. 14. Вып. 4. С. 773 - 775.

2. Вышинский А. А.. Ибрагимова Л. С., Муртазина С. А., Юмагулов М. Г. Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах // Уфимский математический журнал, Уфа, 2010. Т 2, № 4. С. 3 - 26.

3. Юмагулов М.Г., Вышинский A.A., Нуров И.Д., Муртазина С.А. Операторный метод исследования локальных бифуркаций многопараметрических динамических систем // Вестник Санкт-Петербургского госуниверситета: прикладная математика, информатика, процессы управления, С.-Петербург, 2009. Серия 10. Вып. 2. С. 146 - 155.

4. Муртазина С.А. Исследование устойчивости вынужденных колебаний в многопараметрических системах // Вестник Тамбовского университета: общие проблемы управления и их приложения (ОПУ-2011): материалы международной конференции Колмогоровские чтения - V, Тамбов, 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 1135 - 1137.

В других изданиях

5. Муртазина. С.А. Метод малого параметра в задачах приближенного построения малых автоколебаний. //Новые программные средства для предприятий Урала: сборник трудов региональной научно-технической конференции, Магнитогорск, 2004. Вып. 3. С. 199 - 201.

6. Вышинский A.A. Муртазина С.А. Приближенное исследование бифуркации малых решений операторных уравнений // Новые программные

средства для предприятий Урала: сборник научных трудов, Магнитогорск, 2006. Вып. 5. С. 100 - 102.

7. Вышинский А. А., Муртазина С. А. Асимптотические формулы в задаче о бифуркациях нелинейных колебаний // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании: материалы Всероссийской школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых, Уфа, 2007. С. 20-21.

8. Муртазина С.А. Алгоритмы приближенного построения периодических колебаний в дву параметрических системах автоматического управления //Создание и внедрение корпоративных информационных систем (КИС) на промышленных предприятиях РФ: сборник трудов Международной научо-технической конференции, Магнитогорск, 2007. Вып. 2. С. 300 -301.

9. Юмагулов. М.Г.. Муртазина С.А. Коразмерность бифуркации векторных полей //Прикладная математика и информационные технологии в науке и образовании: материалы научно-практической конференции, Сибай, 2008. С. 102 - 109.

10. Муртазина С.А. Асимптотические формулы в задаче о бифуркации вынужденных колебаний в многопараметрических системах управления // Прикладная математика и информационные технологии в науке и образовании: материалы научно-практической конференции, Сибай, 2008. С. 59 - 65.

11. Юмагулов. М.Г., Муртазина С.А. Бифуркация вынужденных колебаний в многопараметрических системах управления // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: труды международной научной конференции. Стерлитамак, 2008. Т.З. С. 51 - 55.

12. Муртазина С.А. Признаки бифуркации вынужденных колебаний в дву-параметрических системах // Уральский регион Республики Башкор-

тостан: человек, природа, общество: материалы региональной научно-практической конференции, Сибай, 2009. С. 365 - 369.

13. Муртазина С. А. Бифуркация субгармонических колебаний в многопараметрических динамических системах // Дифференциальные уравнения и их приложения: труды Всероссийской научной конференции с международным участием, Стерлитамак, 2011. С. 113 115.

14. Муртазина С.А. Расчет устойчивости вынужденных колебаний многопараметрических динамических систем // Математическое и программное обеспечение систем в промышленной и социальной сферах: международный сборник научных трудов, Магнитогорск, 2011. Ч. 1. С. 198 - 203.

Муртазина Сария Аширафовна

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛОКАЛЬНЫХ БИФУРКАЦИЙ КОРАЗМЕРНОСТИ ДВА В НЕАВТОНОМНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицезия на издательскую деятельность ЛР № 021319 от 05.01.1999 г.

Подписано в печать 29.02.2012 г. Формат 60 х 84/16. Уч.-изд. л. 0,9. Тираж 100. Заказ № 112.

Редакционно-издательский цетр Башкирского государственного университета

450074, РБ, г. Уфа, ул. 3. Валиди, 32. Отпечатано на множительном участке РИЦ Сибайского Института (филиала) БашГУ 453833, РБ, г. Сибай, ул. Белова, 21. Тел. (34775)5-15-37.

61 12-1/748

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Муртазина Сария Аширафовна

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛОКАЛЬНЫХ БИФУРКАЦИЙ КОРАЗМЕРНОСТИ ДВА В НЕАВТОНОМНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ

СИСТЕМАХ

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Юмагулов М. Г.

Уфа - 2012

Оглавление

Введение ..............................................................3

1 Операторный метод исследования бифуркационных задач 11

1.1 Задача о вынужденных колебаниях..........................11

1.2 Бифуркации отображений и периодических орбит..........20

1.3 Бифуркации малых решений операторных уравнений ... 24

1.4 Доказательства основных утверждений......................41

2 Исследование основных сценариев бифуркаций вынужденных колебаний 58

2.1 Признаки бифуркации вынужденных колебаний............58

2.2 Асимптотические формулы....................................68

2.3 Алгоритм локализации языков Арнольда....................85

2.4 Доказательства основных утверждений......................88

3 Устойчивость бифурцирующих решений 100

3.1 Задача об устойчивости бифурцирующих решений.....100

3.2 Основные положения метода исследования устойчивости . 101

3.3 Анализ устойчивости бифурцирующих решений......105

3.4 Доказательства основных утверждений...........114

Заключение..............................118

Литература. .............................119

Введение

Актуальность темы. В общей теории динамических систем важное место занимают системы, описываемые дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Такие уравнения возникают при изучении колебательных процессов в механике, физике, биологии, химии, экономике и др. Теория дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами является хорошо развитой составной частью общей теории дифференциальных уравнений, благодаря работам A.M. Ляпунова [33], [34], А. Пуанкаре [47], H.H. Боголюбова и Ю.А. Митро-польского [10], [11], [29], [72], В. Г. Веретенникова [14], [15], И.Г. Малкина [40], [41], В.А. Плисса [44], [45], М. Розо [48], Ж. Флоке, Л. Чезари [56], И. 3. Штокало [59], В.А. Якубовича [61] и многих других математиков.

Одной из наиболее актуальных задач в теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами представляется исследование поведения системы в окрестностях стационарных и периодических решений. Здесь особо актуальными представляются исследования поведения системы в предположении, что стационарное или периодическое решение является негиперболическим. В этом случае в системе могут происходить различные бифуркационные явления, возникать новые периодические или квазипериодические решения, становится возможным хаотическое поведение системы. Исследованию этого случая посвящены работы Андронова A.A. [1-3], В.И. Арнольда [4], [5], М.А. Красносельского [25], A.M. Красносельского [24], А.П. Кузнецова и С.П. Кузнецова [30], [31], [70], B.C. Козякина [21], [22], H.A. Магницкого [35], [36], [37], М.Т.Терехина [52], Ж.К. Хейла [55], [65], [66], Л.П. Шильникова [58], [74] и других математиков. Здесь получен ряд важных результатов, связанных с признаками бифуркаций и субфуркаций, построением периодических решений, анализом их устойчивости, исследованием вопросов синхронизации и др. При этом большая часть полученных результатов относится к задачам о бифуркациях коразмерности один. Существенно

меньше изучены задачи о локальных бифуркациях коразмерности два и выше. Здесь особо актуальными являются получение достаточных признаков различных сценариев бифуркаций, разработка методов приближенного построения возникающих колебаний, исследование их устойчивости.

Основной целью диссертационной работы является разработка качественных и приближенных методов анализа бифуркационных явлений коразмерности два в динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Разработка операторных методов исследования основных сценариев бифуркационного поведения многопараметрических неавтономных динамических систем в окрестностях стационарных решений;

2. Получение достаточных признаков основных сценариев локальных бифуркаций коразмерности два в неавтономных динамических системах и их дискретных аналогах;

3. Получение асимптотических формул для вынужденных и субгармонических колебаний неавтономных динамических систем в задачах о бифуркации коразмерности два;

4. Анализ устойчивости вынужденных и субгармонических колебаний, возникающих в неавтономных динамических системах при бифуркациях коразмерности два.

Краткое содержание работы.

Основным объектом исследования работы является система дифференциальных уравнений, зависящих от скалярного или векторного параметра /л, с Т -периодической по i правой частью:

ж'=/(ж, г, , же^, ¡1еВк) (1)

где функция /(ж, /х) непрерывна по £ и непрерывно дифференцируема по х и д. Пусть система (1) при всех значениях параметра ¡1 имеет нулевую точку равновесия х = 0, т.е. /(О, /¿) = 0. Уравнение (1) может быть представлено в виде

х' = ¡1)х + а(х, д), (2)

где /¿) = /¿(0, /1) - матрица Якоби вектор-функции /(ж, ¿, /2), вычисленная в точке х = 0, а нелинейность а(ж, ¡1) равномерно по £ и [1 удовлетворяет соотношению ||а(ж,£, /х)|| = 0(||ж||2) при ||ж|| —>• 0; здесь и ниже через || • || обозначена евклидова норма векторов в пространстве Я".

Обозначим через матрицу монодромии линейной системы

х'= А{г,[л)х. (3)

Пусть при ¡1 = /хо система (3) имеет один или несколько мультипликаторов, равных по модулю 1; тогда точка равновесия х = 0 системы (1) при ц = до является негиперболической. В этом случае значение до будем называть точкой бифуркации системы (1).

В частности, при близких к до значениях д у системы (1) в окрестности точки равновесия х — 0 могут возникать Т-периодические решения (вынужденные колебания), кТ-периодические решения при к ^ 2 (субгармонические колебания), квазипериодические решения и др. Описанию возможных сценариев бифуркационного поведения дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, получению достаточных признаков того или иного сценария бифуркации, разработке схем приближенного исследования бифуркаций, исследованию устойчивости возникающих колебаний и посвящена диссертационная работа.

Работа состоит из трех глав.

В первой главе приводятся необходимые сведения из теории неавтономных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами, из теории локальных бифуркаций динамических систем, описываются основные сценарии таких

бифуркаций. Также приводятся модели динамических процессов описываемых дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Основное содержание главы составляет обоснование метода качественного и приближенного исследования задачи о бифуркациях малых решений операторных уравнений. Глава носит вспомогательный характер.

Первая глава состоит из четырех параграфов. В параграфе 1.1 приводятся известные сведения из теории систем с периодическими коэффи-циетами. В параграфе 1.2 приводится постановка задачи о бифуркациях в окрестностях стационарных решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, зависящих от параметров, описываются необходимые условия локальных бифуркаций и их основные сценарии. В параграфе 1.3 главы излагаются операторные методы исследования задачи о локальных бифуркациях динамических систем.

Основные результаты работы содержатся во второй и третьей главах. Во второй главе приведены новые достаточные признаки бифуркаций вынужденных и субгармонических колебаний системы (1), а также получены асимптотические формулы для возникающих колебаний. Приведем основные результаты второй главы.

Пусть система (3) при ¡2 — цо имеет один или несколько мультипликаторов равных по модулю 1, т.е. матрица V(fio) имеет собственные

значения вида е±21тдг, где 0 < в ^ -. В диссертации основное внимание

Át

уделяется рассмотрению случаев, когда матрица V{¡iо) имеет:

51) простое собственное значение 1;

52) пару простых собственных значений е±2уг^г, где 0 ^ в ^ — и в

2

р

рационально: в =--несократимая дробь.

q

Во обоих случаях предполагается, что остальные собственные значения матрицы V(fio) не равны 1 по модулю.

В зависимости от этих случаев возможны различные сценарии локальных бифуркаций в окрестности состояния равновесия системы (1).

В случае 31) коразмерность бифуркации равна одному; в этом случае естественным будет предположение, что параметр д является скалярным. Здесь основным сценарием бифуркации является возникновение у системы (1) в окрестности точки равновесия х = 0 при переходе параметра д через до (т.е. либо при д ^ до, либо при д ^ До) ненулевых Т-периодических колебаний малой амплитуды. Данная бифуркация соответствует следующему понятию.

Значение до параметра д назовем точкой бифуркации вынужденных колебаний системы (1), если каждому £ > 0 соответствует такое д = д(б:), при котором система (1) имеет ненулевое Т-периодическое решение , причем д(е) —> д0 и шах ||ж(£, г)|| —> 0 при г —> 0.

В случае Б2) коразмерность бифуркации равна двум. Поэтому здесь естественным будет предположение, что параметр д является двумерным, т.е. д = (а, Р), где а и ¡3 - скалярные параметры. Здесь в окрестности точки равновесия х = 0 при переходе параметра д через до могут возникать или исчезать периодические решения различных периодов кТ, где к ^ q. Данная бифуркация соответствует следующему понятию.

Значение до параметра д назовем бифуркацией субгармонических колебаний периода с[Г системы (1), если каждому е > 0 соответствует такое д = д(е), при котором система (1) имеет ненулевое дТ-периоди-ческое решение причем д(е) —»• до и тах \\xit, £:)|| —»• 0 при

£ —>■ 0 .

В параграфе 2.1 приведены достаточные признаки того или иного сценария бифуркации системы (1) в виде теорем, которые являются одними из основных утверждений данной работы.

Рассмотрим сначала случай 31). Обозначим через еже*- собственные векторы, соответствующие простому собственному значению 1 матриц У(до) и У*(до) соответственно; здесь У(д) - транспонированная к У(д) матрица. Векторы е и е* можно выбрать в соответствии с равенствами ||е|| = 1, (е, е*) = 1. Обозначим через д) решение задачи

Коши

х' = A(t, ц)х, ж(0) = е,

и положим

6=

Теорема 0.1 Пусть выполнено условие S1 и ^о 0. Тогда ¡iq является точкой бифуркации вынужденных колебаний системы (2.1).

Рассмотрим теперь случай S2). Положим В{¡j) — Vq(/i); тогда матрица B{fiо) (а вместе с ней и транспонированная матрица B*(¡iо)) имеет полупростое собственное значение 1 кратности 2. Обозначим через е, g и е*, д* соответствующие линейно независимые собственные векторы матриц B{¡iо) и В*(fio). Векторы е, д, е* и д* будем считать выбранными в соответствии с соотношениями

Теорема 0.2 Пусть выполнено условие и (о ^ 0 . Тогда /хо = («о, ¡Зо) является точкой бифуркации субгармонических колебаний периода дТ системы (1).

В параграфе 2.2 второй главы приведены асимптотические формулы для существующих в условиях теорем 0.1 и 0.2 бифурцирующих решений. Полученные в работе асимптотические формулы используют квадратичную и кубическую нелинейности, входящие в правые части основных дифференциальных уравнений. Здесь ограничимся приведением асимптотических формул для уравнения (2.2), когда нелинейность а(х, ¡л) представима в виде

а(ж, t, /л) = ü2(x, í, ¡л) -f а3(ж, t, /л),

(5)

где a,2{x,t,ii) содержит квадратичные по х слагаемые, а нелинейность оз(ж, í, >l¿) удовлетворяет соотношению \\аз(х, t, /¿)|| = 0(||ж||3) при х —> 0 равномерно по t и ¡i.

Теорема 0.3 Существующие в условиях теоремы 0.1 бифурцирующие решения x(t,e) системы (1) и соответствующие значения параметра ¡i{e) представимы в виде:

x(t,e) = ee(t) + £2ei(t) + ец(г,е), = ßo + e ßi + ßii(e). (6)

Здесь e(t) = x(t, ¡jlq) ; для функции e\(t) и числа в диссертации также получены расчетные формулы, а функции рп(£), eu(t,e) удовлетворяют соотношениям ||/in(^)|| = 0{е2) , max ||en(í, в)|| = 0(е3) при е —0 .

Теорема 0.4 Существующие в условиях теоремы 0.2 бифурцирующие решения x{t,e) системы (1) и соответствующие значения параметра ц{е) = (a(£),ß(e)) представимы в виде:

x(t, £) = ee(t) + £2ei(t) + en(t, e), a(e) = a0 + £аг + ац(е)} = ßo + eßi + /?п(е)-

Здесь e(t) = x(t,ßо); Для функции e\(t), чисел ai, Д в диссертации также получены расчетные формулы, а функции огц(£), ßn(£)> ец(í, £:) удовлетворяют соотношениям ||ап(е)Ц = 0(£2), ||/?ц(£)|| = 0(е2), max ||en(í, г)|| = 0(е3) при е—>0.

В параграфе 2.3 приведен алгоритм локализации языков Арнольда системы (1).

Основной задачей исследования в третьей главе является анализ устойчивости бифурцирующих решений возникающих в условиях теорем 0.1 и 0.2. Предлагаемая схема анализа устойчивости использует общие методы исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, восходящие к Л. Чезари, Ж.К. Хейлу, И.З. Штокало и М. Розо, основные положения которого изложены в параграфе 3.2. Критерии устойчивости приведены в параграфе 3.3.

Ограничимся приведением критерия устойчивости бифурцирующих решений для случая S1). Здесь основным объектом исследования является система (2), в которой матрица A(t,fi) представима в виде

A{t, ti) = Ao + {/j,- ¡ю)A1(t) + A2(t, /i).

Предполагается, что постоянная матрица Aq имеет простое собственное значение 0, матрицы Ai(t) и A2(t, ¡1) являются Т-периодическими, причем max||A2(i,/i)|| = 0{\ц - ¿¿0|2), при |/i-/io| -*0. Определим число

т

m = ( J[Mi-^i(r) + Û2x(e(r), г, Цо)]дте, е*). о

Теорема 0.5 Пусть нелинейность a(x,t,/i) имеет вид (5). Тогда при всех малых значениях £ > 0 бифурцирующие решения x(t, е) системы (2), существующие в условиях теоремы 0.1, асимптотически устойчивы, если щ < 0, и неустойчивы, если щ > 0.

Здесь a2x(x,t,fi) - матрица Якоби квадратичной нелинейности a2(x,t,/i).

Глава 1

Операторный метод исследования бифуркационных задач

В этой главе приводятся необходимые сведения из теории дифференциальных уравнений с периодическими правыми частями, из теории локальных бифуркаций, описываются основные сценарии таких бифуркаций. Основное содержание главы составляет обоснование метода качественного и приближенного исследования задачи о бифуркациях малых решений операторных уравнений.

1.1 Задача о вынужденных колебаниях

В этом параграфе приводятся некоторые вспомогательные сведения из теории дифференциальных уравнений с периодическими правыми частями и из теории дискретных динамических систем без специальных ссылок (см. [4], [9], [16], [20], [25], [39], [38], [58], [61], [62], [64]).

1.1.1. Оператор сдвига и периодические решения дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

ж' = /(г,а;), хеЯн, (1.1)

для которой преполагаются выполненными следующие условия:

PI. /(ж, i) определена при всех х G RN и t 6 R1;

Р2. каждое начальное условие x(to) = жо однозначно задает решение x(t) уравнения (1.1), определенное при всех t Е (—00, 00);

РЗ. /(ж, t) является Т-периодической по t: /(ж, t + Т) = /(ж, t).

Условия Р1 и Р2 могут быть заменены более слабыми предположениями, в частности, предположением, что вектор-функция f(x,t) определена не для всех х Е RN, а только для х Е О,; здесь fi Е J?^ -некоторая ограниченная или неограниченная область.

решение уравнения (1.1), удовлетворяющее начальному условию

Точка жо € двигаясь по траектории системы (1.1), за время от ¿о до £ перейдет в новую точку х\. Оператор II(£, ¿0) перехода от жо к Ж1 называется оператором сдвига по траекториям системы (1.1) за время от £о Д° ^ (см- Рис- !)•

Пусть

ж (t) = p(t;to,xo)

(1.2)

x(to) = Ж'о.

(1.3)

А

Жо —

Рис. 1 (оператор сдвига)

Этот оператор, очевидно, определяется равенством

U(t,t0)xQ = p(t]t0,x 0).

(1.4)

При изучении системы (1.1) одним из основных является вопрос о ее Т-периодических решениях. В этой связи особый интерес представляет оператор сдвига по траекториям системы (1.1) за время от to = 0 до t = Т, т.е. оператор U (Т, 0), который переобозначим

U(T) = U(T,0). . (1.5)

Верна следующая фундаментальная

Теорема 1.1 Для того, чтобы решение x(t) уравнения (1.1) было Т-периодическим, необходимо и достаточно, чтобы точка х(0) была неподвижной точкой оператора (1.5):

U{T)x( 0) = ж(0). (1.6)

Рассмотрим теперь линейную систему

x' = A(t)x, xeRN, (1.7)

где A(t) непрерывна и Т-периодична. Решение x{t) уравнения (1.7), удовлетворяющее начальному условию

х(0) = xq (1.8)

можно записать в виде

x(t) = V(t)x0, (1.9)

где оператор-функция V(t) - это фундаментальная матрица решений линейной системы (1.7), т.е. V(t) - это решение задачи Коши

V' = A(t)V V(0) = I.

Оператор-функция V(t) - это оператор сдвига по траекториям линейной системы (1.7) за время от 0 до í, т.е. V(í) = V(0, t). Явный вид матрицы V(t) можно получить в редких случаях, например, когда система (1.7) - система уравнений с постоянными коэффициентами, т.е. когда имеем систему

х' = Ах. (1.10)

Ее решения определяются формулой

x{t) — емх0,

т.е.

V{t) = eAt. (1.11)

В силу теоремы 1.1, основную роль в задачах о периодических решениях уравнения (1.1) играет оператор сдвига U(T) за время от 0 до Т. В частности, для линейных уравнений (1.7) основную роль играет оператор VÍT), который называют оператором монодромии. Для системы (1.10) с постоянным�