Бифуркации предельных циклов дифференциальных уравнений, обладающих конечной группой симметрии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НИЖЕГОРОДСКИМ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Н.И.Лобачевского

Ой

2 3 № $95

На правах рукописи

Николаев Евгений Викторович

БИФУРКАЦИИ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ОБЛАДАЮЩИХ КОНЕЧНОЙ ГРУППОЙ СИММЕТРИИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание \ченоп степени кандидата фишко-математических наук

Нижний Новгород» 1995

Работа выполнена в Институте математических проблем биоюгии РАН.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Э.Э. Шноль

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

А.И.Нейштадт

кандидаг физико-математических наук, В.В.Быков

Ведущая организация - Московский государственный университет

им, М.В.Ломоносова

Зашита состоится ¿ИсУ-Я- 1995г. в 14зп часов на заседании

Диссертационного совета K063.77.0i ь Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского по адресу: 603600 г.Нижний Новгород, ГСП-206 проспект Гагарина. 23.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.ИЛобачевского.

Автореферат разослан " <¿0 " 1995г.

Учёный секретарь Диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент__В.И.Лукьянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Интерес к чисто математическим и прикладным задачам, и коюрых присутствует та или иная группа симметрии, существует довольно давно.

В теории дифференциальных уравнении источником таких задач издавна служили уравнения классической физики. Последние часто ока зывакнсл инвариантными относительно непрерывных групп преобразовании (например, подгрупп группы движении), что гюшоляет находить их частные решения. Возможность "частичного интегрирования" уравнений, допускающих непрерывные oiuumm • 17,0 " '."Z ¡¿¡,

H.XnCpuiriMuo, Оя4 (»>{: !• тр), премч обуславливала интерес к

групповому анализу дифференциальных уравнений.

Теория динамических систем с дискретными симметриями развита значительно меньше. Отметим, что конечные группы симметрии могут порождаться исходной (естественнонаучной) задачей или возникать в процессе математического исследования.

Пример первого рода - известная система Лоренца, возникшая из гидродинамической задачи (о конвекции жидкости). Серию разнообразных примеров доставляют системы связанных нелинейных осцилляторов. Конечная группа симметрии здесь связана с архитектурой связен между осцилляторами.

Примеры второго рода возникают, в частности, в теории бифуркаций. Так, задача о потере устойчивости автоколебаний вблизи резонанса порядка q сводится к двумерной модельной системе с симметрией, отвечающей циклической группе Z^ (см. В.И.Арнольд. 1477 |||). Недавно вычснилось. чго. система Лоренца может играть роль (симметричной) нормальной формы при изучении некоторых бифуркаций коразмерности 3 в системах с симметрией или без неё (см. А.Л.Шнльников, Л.П.Шильников, Д.В.Тураев. 1993 (14|).

К настоящему времени теория бифуркации с симметрией получила наибольшее развитие для стационарных решений (си В.И Юдоглгч. 1967 [9|; D.Riielle, 1973 |1э|, iM.Golubitsky, Stewart I., SchaelTei D.. 19X8 ||2]; и др.).

Результаты, относящиеся к исследованию бифуркаций периодических решений (неподвижных точек отображений) в задачах с симметрией, до сих пор имели фрагментарный характер (см. P.Cliossat, M.Golubitsky, 1988 |10|; B.Fiedler, 1988 [111; и др.) и не давали ясного ответа на ряд принципиальных вопросов: о структуре спектра мультипликаторов, о сводимости бифуркационных задач с симметрией к задачам без симметрии и т.д. Вместе с тем, важность изучения периодических процессов, в том числе обладающих теми или иными свойствами симметрии, хорошо известна. Этими двумя обстоятельствами обусловлены выбор темы диссертации и её актуальность.

Цель работы состояла в изучении локальных бифуркаций невысоких коразмерностей (I и 2) предельных циклов в семействах обыкновенных дифференциальных уравнений, обладающих конечной группой симметрии.

Научная новизна работы. В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Предложена классификация периодических орбит по типам их пространственной и "пространственно-временной" организаций. Эти классы (Р, Б и РЯ) исчерпывают все типы периодических орбит с нетривиальными собственными симметриями (которые не обязаны совпадать с полной группой симметрии исходной системы, а образуют лишь её подгруппы).

2. Решена задача о спектре мультипликаторов и ¿'-циклов, встречающихся в типичных однопараметрических семействах симметричных векторных полей. Изучение мультипликаторов /"¿Чмклов опирается на результаты для Г- и ¿'-циклов. Однако заесь требуется учёт специфики собственной симметрии Л$Чщкла. В частности, случаи, в которых подгруппы, образующие собственную симметрию АУ-цикла, являются коммутативными или некоммутативными - принципиально различны.

3. Доказана теорема о факторизации векторного поля в окрестности произвольного ¿"-цикла, позволяющая сводить исследование бифуркаций этого цикла к анализу бифуркаций некоторого предельного цикла в семействе вспомогательных векторных полей без симметрии.

4. Разобраны бифуркации циклов коразмерностей 1 (полностью) и 2 (частично) в системах с простейшими (инволютивными) симметриями -зеркальной и центральной, допускающими два типа циклов - И и в. Проведённый здесь анализ позволил выявить многие важные особенности (кратность мультипликаторов, сводимость к вспомогательным несимметричным задачам и др.) бифуркаций циклов произвольных симметричных систем.

5. Изучены все бифуркации коразмерности 1 для Л-, и /¿^циклов в системах с диэдральной группой симметрии Йу. Показано, что уже в случаях коразмерности 1 некоммутативность (при ^¿.У) приводит к двукратным комплексным и вещественным мультипликаторам без жордановых клеток. Первый случай реализуется для /^циклов (в этом случае может рождаться 3-тор, "рассечённый" некоторым числом 2-торов). Двукратный вещественный мультипликатор встречается при исследовании бифуркаций Г- и циклов. Отвечающая ему модельная система - частный случай "резонансной" модельной системы, возникающей в упомянутой выше задаче о резонансе порядка у. Все коэффициенты и параметр здесь - вещественны. Это обстоятельство позволило провести полный бифуркационный анализ соответствующих модельных систем.

/Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре "Аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений," (МГУ,

1992); на VIII конференции "Качественная теория дифференциальных уравнении" (СГУ, Самарканд, 1992); на семинаре НИИ ПМК при ИНГУ (Нижний Новюрод.

1993); н рамках семестра "CRM Fall Special Semester oil Spatial and Temporal Dynamics" (Centre de Recherches Mathématiques. Umveisité de Montréal. Canada. 1993); на факультете Département de Mathématiques et de Statistique (Université de Montréal, 1993); на коллоквиуме (Stafcolloquium) (University of Groningen. The Netherlands, 1993).

Публикации. По материалам диссертации опубликованы 4 работы:

1. ,\Чко!пс\- £.У. On bifurcations оГ closed orbits in the presence " i'.____ »

symmetry//Preprmt. Institute of M^—r.r.;—; hooiw« «•* SIu'^v. О*»! !* 5-35. Р-:'—!^.«. i ri/

> Viv.'vi'i L. У. Geometrical features of a vector field with built-in ли involution and bifurcations of a symmetric limit cyc!e//Preprint. Institute of Mathematical Problems of Biology. ONTI. P.l-16. Pushchino; 1993.

3. Nikokev £.V. Periodic motions in systems with a finite symmetry group//Preprint. Institute of Mathematical Problems of Biology. P. 1-29. Pushchino: 1994.

4. Николаев £.B. Бифуркации предельных циклов дифференциальных уравнении, допускающих инволютивную симметрию//Мат. сборник. I995.T. IS6(4).C. 143-160.

Структура диссертации. Диссертация состоит ш введения, трех глав и списка литературы. Работа изложена на 7S страницах машинописного текста, включающих 5 рисунков и список литературы и) 45 наименовании.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении дан кратки!! об юр работ, относящихся к теме диссертации, изложена структура и основные результаты работы.

Глава I. Общие конструкции §1. Вводные замечания н определения В работе рассматриваются семейства дифференпиты!;.;-; уравнен»!

4=Лг,г.), (1)

dt

инвариантные относительно линейного представления HG~*GL(Rl) конечной группы О. 7(^)Д.г,е)=ДД^).г,е).^с<7, ,reR'\ где eeR^- параметр.

Предполагается, что Г- точное и ортогональное представление О. Hg)='\d -тождественный оператор только тогда, когда - единица в (7(мы часто пишем Д£).г=£Т) и в RA выбрано скалярное произведение ( v,_r)=(jnvçî), v, reR1 и

§2. Симметрия предельного цикла Основные определения. Пусть С - предельным цикл (1) и - отвечающее ему периодическое решение с (минимальным) периодом 2it.

Очевидно, что симметрия О никак не сказывается на бифуркациях предельных циклов уравнения (I) таких, что ^С^Сяля всех gi G. бифуркации таких циклов происходят так же, как и в системах без симметрии. Отличие состоит лишь в том, что одни и те же события происходят со всеми циклами орбиты GC=\gC, gz Q одновременно. Такими циклами мы не интересуемся.

Пусть Н- максимальная подгруппа G(H^G) такая, что АС-Слли всех //еН. Аналогично найдётся такая макешныьиая подгруппа Лс<У, что k.r(/)s.r(/) для всех ке А'. Очевидно K'zH. Простые рассуждения показывают, что К - нормальный делитель Н, причём факторгруппа Н) К изоморфна циклической группе Ъпг

Таким образом, с любым циклом С симметричной системы всегда ассоциированы две подгруппы ff и К полной группы симметрии G такие, что преобразования из ,/У переводят цикл С в себя, а элементы ¿еЛ"сохраняют каждое периодическое решение л</), ассоциированное с С. Пара (Н,К) называется (собственном) симметрией S цикла С, S={ff,A).

Пусть Fix К - стационарное подпространство полгруппы К, т.е. совокупность таких элементов ,veRA, что кх=.г для всех кьК.

При К мы называем цикл С F-циклам (ChFix //) и обозначаем Q. При К=<е> и //:; Ът (гя> 2) цикл С называется S-цнкмш и обозначается С\. Цикл С с S=(//,A'). где К*<е> и Н* А' называется FS-цикюм и обозначается CFS (факторгруппа Н/К определяет геометрию цикла C]s: порядок т этой группы задаёт число конгруэнтных частей этого цикла).

Разрушение симметрии пси бифуркациях. Рассмотрим семейство предельных циклов C[z). В момент бифуркации цикла ЦО) с симметрией S от него может ответвиться некоторое число предельных циклов или инвариантных торов, обладающих симметрией S, которая "не богаче" S. В случаях, когда S беднее исходной симметрии S говорят, что в результате бифуркации произошло разрушение симметрии (английский термин: symmerrу breakrfomi). Когда бифуркации в семействе С{г) отсутствуют - доказывается, что S не зависит от е.

§3. Отображение Пуанкаре предельного цикла С с S-( Н.К\ Изучение поведения траекторий системы с "непрерывным временем" в окрестности предельного цикла С обычно сводится к анализу дискретном динамической системы, порождённой итерациями отображения Пуанкаре RI-SL цикла С, где I - трансверсальная секущая к С в точке с. /\с)~-с.

ОСНОВНАЯ ЛЕММА. (/) секущую I можно выбрать так, что kl-Z и коР=Рок, дм всех ке К.

(и) существует такое отображение что P=Q", причём k° Q—Q° к, где к и

кчК. Здесь k =hJthaA н ha такой элемент //, что /)=.*{гУ2п/т).

Равенство P=Q", означающее, что из отображения Пуанкаре Р цикла С можно извлечь корень т-ой степени, играет важную роль. В простейшем случае

//sZj и A=<c> это равенство известно давно (J.W.Swift, K.Wiesenfeld. 1ОД4 ¡16|). В общем виде оно докатано з (B.Fiedler. |1Ш |11|). "Симметрия" отображения Q в вышеуказанном смысле ранее не рассматривалась.

§4. Мультипликаторы предельных циклов симметричных систем Мультипликаторы предельного цикла С, с точностью до единичного, совпадают с собственными значенными линеаризации dP отображении Пуанкаре этого цикла (dP=rt\c)/Px, i\c)=c).

Изучение бифуркаций предельных циклов начинается с анализа критических мультипликаторов, лежащих на единичной Опи п

ЗНаЧИТМ1-ил»_..--.; ¡Wi„ и ИГ плл—г-т^ „.,pwiwi>H4T Гц.яо^Нн»

iit-ucL-innc«- •Jvnrr.-co ¡¡pov-ip.iHcrsa в окрестности критического цикла при изменении параметров исходной системы.

Хорошо известно, что в типичной, неустранимой малым шевелением ситуации, симметрия может приводить к кратным собственным значениям dP, либо налагать некоторые запреты на спектр оператора dP. В этом параграфе рассматриваются эти, а также некоторые другие особенности мультипликаторов индивидуальных предельных циклов, а также циклов, встречающихся в типичных однопараметрических семействах векторных полей с произвольной конечной труппой симметрии G.

При изучении бифуркаций F (или /3)-циклов существенны сведения о линейных операторах, перестановочных с операторами 7ц>), »е//(или gc.A).

Обозначим через ^7- - множество всех линейны* операторов А в R' ,

коммутирующих с элементами заданного представления Тгруппы С.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейный оператор А,~.Аг называется типичным по отношению к возмущениям масса Af, если для любою ¿ted 7- алгебраическая кратность соответствующих собственных значений операторов Л и AK=A+>:ft, где е - сколь угодно мало, совпадает.

Типичные операторы образуют всюду плотное множество в ^ Обозначим через 1 - максимальное инвариантное подпространство А. отвечающее его вещественному собственному значению р или комплексно-сопряжённой паре собственных значений (ц,//). Ъ.спн АеАг, то l/yi - инвариантно относительно всех 7{g), gaff. В теореме 1 доказываются следующие спектральные свойства типичных операторов из линейного пространства > (/) типичный линейный оператор AzAr не имеет жордановых клеток. (/'/) для вещественного ц реализуется неприводшюе подпредстанление Гц— Т\Ь Более того, комплексификацая этого подпредстпвлення - непрнводима. (///) для комплексной пары возможны два случая.: (а) подпредставление

Ту, - неприводимо\ {6) Ги есть сулит двух изоморфных неприводимых подпредставлепий. Эти подпредстпвлення комплексно-неприводнмы.

Случай /"-ццклов. Рассмотрим отображение Пуанкаре произвольного цикла Ст с симметрией 5=(Д/У), где Н^6'и Н*<е>.

Предположим, что секушая I к <Гр выбрана так, что 7(Л)Х=1, йе // Тогда 7{Л)°Р=Р° ДА) и 7\/1)гИ^(/РДА), Ле// Таким образом, задача о спектре линеаризации отображения Пуанкаре г!Р произвольного /'-цикла может быть сведена к задаче о спектре линейного оператора ^ Н*"1-*)^"1, коммутирующего с элементами Д/г), каН.

Рассмотрим теперь однопараметрическое семейство линейных операторов

коммутирующих с элементами 7[Л), hG.fi, и пусть при е=0 оператор Ап

кмеет собственные значения, лежащие на единичной окружности.. Тогда в типичном семействе А^ все индивидуальные операторы за исключением, быть может, изолированных значений параметра е - типичны. Поскольку условие принадлежности собственного значения А^, единичной окружности отвечает коразмерности 1, то в типичном однопараметрическом семействе такими собственными значениями могут быть: (а) одно у-кратное собственное значение ц=1 или ц=-1; либо (Ь) одна у-кратная комплексная пара (ц,£), где |(||=1.

В отличие от задач без симметрии у здесь может быть больше 1: его значение определяется размерностью неприводимого подпредставления

Случай ¿"-циклов. Рассмотрим отображение Пуанкаре Р.1->1 произвольного .£цикла С, с симметрией 5=(//,<(•>), где Н=Ът (см. выше).

Пусть А. - собственное значение линеаризации (¡0, отвечающее собственному вектору где 1/&=с£А,с)/1~х и <г=С,П1. Мы

называем собственные значения цеЯрес г!Р и ХеБрес ассоциированными друг с другом, если ц=Х'" и X также называется - т-корнем из ц.

Задача о типичных мультипликаторах индивидуального цикла С% (или семейства ^циклов Се) может быть сведена к задаче о собственных значениях типичного оператора (¿0 (типичного семейства </&)• При этом, типичное семейство состоит из матриц, не обладающих какими-либо специальными свойствами, которые могли бы быть обусловлены коммутированием с элементами представления Т.

Следующая теорема показывает, что для бифуркаций ¿"-циклов при чётном т одна из стандартных бифуркаций {удвоения периода) запрещена.

ТЕОРЕМА 2. В типичном однопараметрическш/ семействе (1) отрицательные мультипликаторы З-циклов при чётных т встречаются при изолированных значениях параметра в. При этом они всегда двукратны и не имеют жордлновых клеток.

Случай ЛУ-пиклов. Чтобы разобраться с мультипликаторами произвольного /ЗЧшкла Ср5 с симметрией 8=(ДЛ) в случае коммутативной подгруппы Н достаточно воспользоваться результатами лп.4.1 и 4.2. Если Н - не коммутативна,

то каждым раз необходимо заново учитывать специфику спектра //¡7, обусловленную соотношением к" « ие к* к (см. выше).

$5. Геометрическая конструкция для цикла С с Н~А\ 2т

Симметрия в~(//,ЛЗ, //? в простейшей ситуации отвечает случаю Я=К* Важность этого частного случая обусловлена двумя причинами:

1) результатам §3 можно придать точную геометртнескую интерпретацию;

2) при К=<е> этот случай покрывает теорию бифуркаций ¿'-циклов.

Теорема о факторизации. Рассмотрим гладкое ориентированное многообразие Ш (возможно с краем <?Ш) на котором задано пг"—-— Я—К*. Предположи« — л- ™ -.мСояпо. гт.--5ьи.»»»

1л;|вно- не (','",Л/,7С), где М- база расслоения

(А/=Н^т-Мле7/1\) и к:Ш-*А/ - накрытие (7С:.г->-^Л-.г, .хеШ) (см. Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко, 1979 |5|). Тогда к2т-х=Х„;кх и к°К=К°к для всех .ге7Г(, к<=К. Обозначим через Уе« Ш - множество гладких векторных полей на И и рассмотрим подмножество \tect//ШсУеа 7,1 ^-инвариантных векторных полей: для любого /еУес имеем Д.кх)=А,/{х), где /г,:Т7/1-*ТП, Ь^Н и ТШ - касательное расслоение над 771.

Ниже предполагается, что ¿„^п^а^-еУ и \\г+2к//п), где л\/>

отвечает циклу С с 5=(//,Х) и Н=К* Выберем трансверсальную секущую 1п к С и пусть 1у=Я(10).

ТЕОРЕМА 3. (/) накрытие 7С порождает взаимно-однозначное отображение К: \'ес!у/М<->Уес1Л'Л/

(/'/) отображение Пуанкаре ()/векторного ноля где /е\'ес1//№, гладко

эквивалентно т-корню Qf из отображения Пуанкаре р. 0°Я ° О/ (/») Х ° 0/=0/° к, дня всех к(-. А'.

Ну) предельный цикл Са1И с в={Я,Л) является т-лнетной накрывающей преданного цикла С/=1Г(С) с §/={А\А), причём мультипликаторы С/являются т-коршши н> мультипликаторов С.

Рассмотрим семейство циклов С?с№, отвечаюи'.се семейству векторных полей /¡.гЛ'ес[//II. Тогда при перехоле. от к во-первых, извлекаются /«-корни из всех мультипликаторов С^. р/Е)->Х/е). Во-вторых, каждое проектируется на векторное поле |:

Таким образом, каждой бифуркации С„ отвечает некоторая бифуркации цикла (£а=11(С„) в семействе векторных полей^ с меньшей симметрией.

Н-пашототш. Чтобы воспользоваться теоремой 3 ллм исходной системы (I) необходимо, прежде всего, убедиться в существовании окрестности V! цикла С такой, что (/) Д/;)7Л='Й для всех ЛеЯ (и) действие на ОТ свободно. Это

проделано в этом пункте. Мы называем каждую такую окрестность Н-полноторием цикла С.

Применяя стандартные топологические соображения к накрытию (7/1,Л/,тс) (см. (5|), где Ж - //-полноторий, можно показать, что (а) если del 7[п„)~1, то Л/ - ориентируемое многообразие, диффеоморфное Ш; (£) если del Д<70)=-), то M - неориентируемое многообразие, Л/=М2* S4'-. Здесь М- - лист Мёбиуса и - (Л'-2)-мерный единичный шар.

§6. Основные этапы исследования локальных бифуркаций предельных циклов симметричных семейств Напоминание: случай несимметричных семейств. Изучение бифуркаций циклов Q. обычно сводится к изучению бифуркаций неподвижных точек cs отображения. Пуанкаре >Х цикла Q.

Предположим, что некоторые (критические) мультипликаторы Q пересекают единшную окружность при е=0, где eeV - достаточно »¡алая окрестность точки е=0. Обозначим через dPe линеаризацию РЕ в ct.

Инвариантное подпространство Ц, оператора dP^ называется центральным, если оно отвечает всем критическим мультипликаторам С„.

Инвариантное многообразие й£(е)с £ отображения Рг, называется центральным, если касательное пространство к И-'с(0) в св совпадает с UB (далее зависимость !VC от е там, где это удобно делать, часто опускается).

Исследование бифуркаций циклов в случае dim Яс=1 естественно проводить изучая ограничение отображения Пуанкаре Ръ на fVc-

При dim 2 мы ограничимся анализом модельных систем дифференциальных уравнений, который состоит в следующем.

1. Отображение /'е ограничивается на

2. Офаничение Pf;. Ua~*Ua (или некоторая его степень) приближённо заменяется отображением единичного сдвига по траекториям подходящей (модельной) системы: duldl-j(ir,z), ле U0 (см. Ю.И.Неймарк, 1972 17|). Положение равновесия //=0 этой системы отвечает циклу Св.

3. В модельной системе, после её предварительной нормализации до требуемого порядка, изучаются бифуркации положения равновесия а= 0.

н. Инвариантным множествам, рождающимся в малой окрестности //=0, сопоставляются инвариантные множества исходного семейства (1), расположенные в малой окрестности цикла С0.

Особенности анализа бифуркаций циклов симметричных семейств. Рассмотрим цикл Са с S=(//,A) и пусть Не - центральное многообразие отображения Пуанкаре Ps цикла Q, eeV. Уточнение теоремы, доказанной в работе (D,Ruelle, 1973 ¡151), приводит к следующему результату.

Пусть kzK, и пусть Тв - представление /'на V0 (см. выше).

ТЕОРЕМА -I. (/) при каждом EeV omoöpa.vreiifie Пуанкаре /e-ß/'' никла Ct с S-I И.К'). //- [, имеет вб.ппи слоен неподвижной точки сп {при <:t локальное (г-гла<!кое центральное многообразие /'¿(е) такое, что оно йвтется Т^-инвариантным. T0(k\U'^{ s)-!!'c(e.) для всех ke А. (//) еде P?j=P& \ и 0f. Щ.

(/'/'Л д)я каждого ер]' существует такая С-гладкая карта еде

V - малая окрестность точки Ос- Ua, для которой qe° T0(k)~ к- А.

(/>) отображения /"s:ii-> i. Q^el-*"!, Pz{?e0<?e"1 • такие, что Р^ФеУ", r„m°Qi.=Qz°ra(k), ''

H-™..«..- - ______ ^^иснмя и — "_____. ..о.^шла шитч^"" ;; .. „

3 (улл>. iru-ли""- ;тсоСли^,;;.ю построить модельное отображение лля ¿>е; (¿) использовать то, что Pz=(Qе)"'; ('') наконец, необходимо учесть симметрию модельной системы при AV<е> (в зависимости от ситуации, удобно изучать модельную систему дифференциальных уравнений либо для Рс, либо для (?z).

Глава 2. Бифуркации предельных циклов в системах, допускающих инволютивную симметрию В этой главе рассмотрены все бифуркации коразмерности 1: однократный мультипликатор 1 ¡гг.! -!, однократная пара мультипликаторов ечр( _г га,, - иррационально. Из бифуркации коразмерности 2 мы ограничились анализом тех, которые отвечают вырождениям: дз\ кратный мультипликатор I или -I: пара мультипликаторов 1 и -1; однократная пара мультипликаторов е\р(-2.T/M.J. где а, =p/t? н q отвечает сильному резонансу.

Внимательны]! анализ перечисленных выше вырождений показа!, что исходные бифуркационные задачи как для F- так и для ¿'-циклов могут быть сведены к анализу молельных сисгем. ранее полностью или частично наследованных (по другому неводу) разными авторами.

S1. Особенности бч<,..оканий циклов при наличии простейшеп группы симметрии inecb рассмотрены общие особенности бифуркаций /-инвариантных предельных циклов в семействах векторных полей с группой симметрии Z2s</1 /=id>, где /- линейное инволютивное преобразование R1.

Заметим, что F- и ¿"-циклы исчерпывают все типы циклов с нетривиальной симметрией S, встречающиеся в системах с инволюцией. Здесь могут также встречаться пары циклов Ci= !С\. расположенные jеркально-симметрнчно относительно Fix Zi=K +. где R,=H,"T R1- и /=idi+:(-id).

Аналогично циклам, инвариантный юр Т называется /втором Тр, если Tj--cR4 либо ¿"-тором Ts. если AS=TS и TsDR'1+=0. Пара различных торов Ъ=/Г| называется зеркальной парой.

Многие особенности бифуркаций циклов симметричных систем усматриваются уже на примере группы симметрии Zl,

Так, хорошо известно, что симметрия влияет на бифуркации двояко.

Бифуркации, редко встречающиеся (имеющие высокую коразмерность) к ........

без симметрии, могут стать типичным» (имеющими низкую корамс-рноиь) в системах с симметрией. Наоборот, некоторые бифуркации, типичные в системах без симметрии, могут стать невозможными при наличии симметрии. Обе эти возможности реализуются в для группы Ъъ

Пример I. В семействах общего положения двукратный мультипликатор |лп=1 без жордановой клетки отвечает вырождению коразмерности 4 (см. |2|, (3|), а при наличии инволючивной симметрии коразмерность этого вырождения может понизиться до 2. В частности, это всегда так в И3 для Ср и для при /=-й. Приведём два противоположных примера.

Пример 2. Стандартная бифуркация удвоения периода для .^-циклов невозможна (А.КЦг, 1983 |13|; .Ш^П, К.УЛехецГеШ, 1984 |16|), поскольку отрицательные мультипликаторы ^-циклов всегда чётнокрапшы.

Пример 3. Бифуркация рождения инвариантного 2-тора возможна в ЛА при и отвечает случаю коразмерности 1 (см. |2|, |3|). Однако, если система обладает центральной симметрией (/=-¡(1), то эта бифуркация для ^-циклов в Л3 невозможна - необходимо, чтобы было Л'>4.

§2. Локальные бифуркации /"-циклов с Ъ-Пч.Тт) Пусть ио - центральное подпространство (!Р0 и секущая I к /"-циклу выбрана гак, что Ниже /и*'к1, и /1Ри~ЛР(\и^

Коразмерность 1. В случае р0=1 и [и--\А от критического /"-цикла С„ ответвляется зеркальная пара циклов. При этом, цикл С0 сохраняется. В случае р„=-1 и /\у=-\й в малой окрестности Са рождается .£цикл удвоенного периода. При И1_2=ехр(±2идоа) («0 - иррационально) и /и=Чс1 в малой окрестности Са рождается 2-тор Т5.

Коразмерность 2. Двукратный мультипликатор 1. Случай /и=-1<1 приводит к

и анализ бифуркаций аналогичен случаю двукратной -1 без симметрии

(см. |2|, |3)). Если то и анализ бифуркаций сводится к случаю

пары мультипликаторов I и -1 без симметрии (см. |3|). Соответствующие утверждения сформулированы в предложениях 4Р и 5Р.

Двукратный мультиачикатор ма~-1. Случай /и=-И приводит к е/Ри= и анализ бифуркаций аналогичен случаю двукратной -1 без симметрии (см. |2|,

Р|). Если /и=(п .), то с/Ни—Ай и анализ бифуркации аналогичен случаю пары

мультипликаторов ехр(±2лл>|) и ехр(±2я*п) без симметрии (с.м. |3|). Соответствующие утверждения сформулированы в предложениях № и 7Р.

Пара мультипликаторов I и -I. Пусть ^ Тогда при

бифуркации разбираются аналогично случаю, рассмотренному в предложении 5Р,

а при /и=-1(1 или /[,—( | - аналогично случаю, рассмотренному в предложении V 0 Ь

7И. Соответствующие утверждения сформулированы в ппглт»-........ "г .. "Г.

"■^¡щц«1,1И1| «ЯГИ! ■»■> мучм (Ноедложсми» !"К) ягтгТОХ.г«и

тгггтпгм^рпчпоыу случаю сильного резонанса 1:4 (см. |2|, |3|). В $3 в качестве примера доказано предложение 9 Р.

§4. Локальные бифуркации .У-циклов с 5=^1,<») Коразмерность 1. Пусть .У-цикл Са имеет мультипликатор р„= 1 и Х„ - ассоциировано с ним (см. выше). Тогда: если Х0=1, то при е=0 сливается и исчезает (рождается) пара ^-циклов; если Хп=-1, то от Сп ответвляется зеркальная пара циклов. Напомним, что мультипликаторы Б-циклов не могут приобретать однократных значении -1. Следовательно, стандартная бифуркация удвоения периода для Б-циклов не реализуется (см. теорему 2). Если ц, 2=ехр(±2лл.)0) (о„ -иррационально), то в малой окрестности Са рождается 2-тор Т5.

Коразмерность 2. Пусть 1/а - центральное подпространство с/Р^

Двукратный мультипликатор ца= 1. Пусть л/Ъ^д ^ спучае

|| (матрицы л^ и вычислены в разных базисах 1/„) анализ

бифуркаций соответствует случаю двукратного \0=1 без симметрии. Отвечающая этому случаю модельная систем;- полностью щучена (см. |2|, |3|). Если

^ |)' то анал'1Л бифуркаций сводится к случаю двукратного А0=-1 без

симметрии; ^ | приводит к ///\j~id и отвечает паре 1 и -1 без

симметрии (предложения 4Б - 65).

Двукратный мультипликатор рп=-1. Здесь (10и=[' ° | и анализ

10 -')

бифуркаций сводится к случаю сильного резонанса 1:4 в системе без симметрии (предложение 75).

Резонанс 1:3. Сформулированный в предложении SS случай отвечает паре мультипликаторов pi,:=)l2.t=e'<p(±2rt.'/3) и аналогичен случаю сильного резонанса 1:3 без симметрии (см. [2|, [3]).

B_¿5 в качестве примера приведено доказательство предложения 3S.

Глава 3. Случай простейшей некоммутативной группы симметрии В этой главе рассматриваются локальные бифуркации коразмерности 1 предельных циклов в системах с диэдральной группой симметрии 0„. Напомним, что эта группа является полной группой преобразований правильного й-угольника и может быть задана своими образующими л, b и соотношениями:

<SI. Бифуркации /"-циклов с S—(1)<ЛР>/) Здесь перечислены все критические мультипликаторы, встречающиеся в типичных однопараметрических семействах /"-циклов с S=(D/,,D//): однократный ц0=±1, однократная пара (m0,í¡/0), |10=ехр(2ял»0); двукратный р0=±1 без жордановой клетки, двукратная пара (р„,//0) без жордановой клетки. Проанализированы отвечающие им бифуркации. Наиболее интересная из них отвечает двукратной паре (ц„,/},,).

ТЕОРЕМА 5. Пусть при е=0 F-цикл с симметрией S=(D,;,D„) имеет двукратную пару мультипликаторов (/f0,/¡0), /|0=ехр(2гсЖ>о), щ - иррационально и п>3, причёл/ Тогда (/) модельная система имеет вид

Здесь q=n, если п - нечётно и q=njl, если п - чётно\ Х^-г+к^, Ci, ¿je С; Л\, A¡, ч В - комплексные коэффициенты, зависящие от параметра ее К; fiS.p\,p\\z) -многочлен с комплексными коэффициентами, deg B{p\,pc,¿)>2. Условия невырожденности для (2) имеют видa¡ai(a>--a\2)-tO, (a2-a¡)Bi+(¿2-/>i)B2*0 и В\*Ъ, где aj= Re Aj, ¿f=lm Л/(/=1,2) и ¿?i=Re В, Вг= 1ш В взяты при е=0. (//) в (2), помимо положения равновесия 0, при малых б могут существовать два S-цикла с симметрией S=(Z„,<e>) и D,,-инвариантный 2-тор Т-. Тор Т- содержит 2 q циклоег. в случае нечётных п половину этих циклов составляют F-hukj/ы с S=(Zi,Zj), другую половину - S-циклы с S=(Z>,<e>). При n=2q асе циклы па Т2 являются FS-HUKjiaMU с S=(Zi©Z2,Zi). Других изолированных инвариантных множеств (2) в малой окрестности Ve равновесия 0<='|при малых е#0 неиг. любая траектория либо покидает Vg, либо стремится к 0 пли одному из циыов.

Случай я=4 резко выделяется среди прочих, т.к. в этом случае уравнения (2) содержат три слагаемых степени 3, что существенно затрудняет полное исследование системы (2) (при п*4 таких слагаемых всего два). Этот случай нами не рассматривается.

Используя теорему Крылова-Боголюбова (см. |4|), утверждениям теоремы 5 можно придать следующий смысл. 2-тору в (2) отвечает 3-тор в (1); циклам в (2) отвечают 2-торы в (I).

В §2 проведено полное исследование системы (2).

R « показывается, что анализ бифуркаций .f-шгклов с S=(7.„,<e>) при //¿3 практически полностью аналогичен случаю простейшей группы симметрии '¿¡.

§4. Бифуркации /ГУ-циклов с S-(D».Z<,)

Здесь перечислены все критические ц0, встречающиеся в типичных однопараметрических семействах /If-циклов с S=<!»- i.

"ii-r-...»« imim м)мпют""~ ___«.норов (u-.п-г "wvypnrT'TTf:

"KCv^uiuuoii KjieiK.ii (в этом списке отсутствует однократны]"] мультипликатор Ho=-l, см. теорему 2). Проанализированы отвечающие им бифуркации.

Наиболее интересный и содержательный результат этого параграфа отвечает двукратному единичному мультипликатору без жордановой клетки.

Заметим, что двукратный мультипликатор р„= I в несимметричной ситуации отвечает случаю коразмерности 4; симметрия S=(D//,Z/j) (точнее -некоммутативность группы D/j) понизила эту коразмерность до I!

На этом примере видна ещё одна примечательная особенность теории бифуркаций с симметрией, которая состоит в следующем.

Кратный спектр линеаризации отображения Пуанкаре, обусловленный симметрией, приводит, вообще говоря, к усложнению аналига соответствующей бифуркации: порядок модельной системы дифференциальных уравнений можег быть достаточно высоким. Однако симметрия оставляет "в живых" сравнительно небольшое число резонансных мономов этой системы, гем самым частично уравновешивая сложности, обусловленные кратностью спектра.

Наконец, отметим, что рассматриваемая здесь задача приводит к аналшу модельной системы, возникающей в задаче о потере устойчивости автоколебаний вблизи резонанса порядка п (В.И.Лрнольд, 1977 |l|).

Отличие нашего слуияч состоит в следующем. Псе коэффициенты "'/-резонансных" нормальных форм в ||| - ком/иексньк. В нашем же случае аналогичные нормальные формы имеют действительные коэффициенты и вещественный параметр, что существенно облегчает проведение полного бифуркационного анализа.

Сформулируем полностью соответствующие предложения.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ IFS. Пусть при е=0 FS-цикл С„ имеет двукратный мультипликатор ц„=1 и л=3. Тогда

(/) модельное отображение имеет вид. /\(г)=(1+е)г^Bz1, где z - комплексное; е, В - действительные и условие невырожденности имеет вид В*0.

(//) в момент е=0 от С0 транскритически ответвляются 3 седловых S-цикла с симметрией S=(Zi,<é>).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2FS. Пусть при е=0 FS-цикл С0 имеет двукратный мультипликатор р0=1 ип= 4. Тогда

(г) модельное отображение имеет вид. где

Z - комплексное; с, A, ¿V-R и условия невырожденности имеют («) в момент е=0 в случае \/l\<\ ß\ от Са транскритичесмш образом ответвляются 4 седловых цикла, а при \л\>\В\ закритически (или докритически) - 8 циклов, 4 из которых - седловые, остальные - не седловые. Все ответвляющиеся цимы являются S-циклами с симметрией S=(Z¿,<é>).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3FS. Пусть при е=0 FS-цикл С„ имеет двукратный мультипликатор ц0=1 um5. Тогда (/) модельное отображение имеет

вид. Fe(í)=( 1 +E)cb-z4(M2)+Bz"~l, где Z - комплексное; е, Вф 0 - действительные и А(/)=ХА/У - многочлен с действительными коэффициентами, deg Д/)>2.

(О) в момент е=0 от С0 ответвляется X)„-инвариантный двумерный тор Т2, на котором расположены 2п S-циклов с S—(Zi,<e>).

Список цитированной литературы (11 Арнольд В.И. Потеря устойчивости автоколебаний вблизи резонанса и версальные деформации эквиварианткых векторных полей//Функ. анализ и его прил. 1977. Т. 11 (2). С. 1-10.

|2| Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 197S.

[3J Арнольд В.И., Афрашювнч B.C., Ильяшенко Ю.С., ШшышковМП. Теория бифуркаций. Динамические системы 5. Итоги науки и техники. Совр. пробл. матем. Фундам. направления. М.: ВИНИТИ, 1986.

|4) Боголюбов H.H., Мшпропольскш) Ю.А. Асимптотические метода в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

|5| Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.

[61 Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.:Наука, 1983.

(7| Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972.

(S] Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.:Наука, 1978.

|9) Юдович В.И. Свободная конвекция и ветвление//ПММ.1967.Т31(1).С.101-111. 110) Chossnl P., Go/ubiisky М. Iterates of maps with symmetry//SlAM J. Math. Anal. 198S. V,19(6). P.1259-1270.

Ill) Fiedler B. Global bifurcation of periodic solutions with symmetry. New York: Springer-Verlag, 1988.

[12| Go/ubitsky M., Stewart /, Schneffer D. Singularities and groups in bifurcation theory. Berlin: Springer-Verlag, 19SS.

1131 Ktic A. Period doubling bifurcation in a two-box model of the brusselator//

Aplikace matematiky. Ceskoslovenskä Akademie Ved. 19S3. V.2S(5). P.335-343.

[14) Shil'nikov A.L, Shil'nikov LP., Titrttev D. V. Norma! forms and Lorenz attractors//

Int. Journal of Bifurcations and Chaos. 1993. V.3(5). P.l 123-1139.

(15| Ruelte D. Bifurcations in the presence of a symmetry group//Arch. Rational Mech.

Anal. 1973. V.51. P. 136-152.

1161 Swift J IV nt wn»H -fr-'-H;^ U „/¡.undue iw™'«'

Kcvirw t —— V.32(7;. P.;t>5-70s.