Развитие методов исследования качественных свойств траекторий уравнений небесной механики тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Некоторые вопросы об устойчивости движения.

§1. Устойчивость в смысле Ляпунова инвариантного множества траекторий

§2. Замена переменных и теорема о сохранении устойчивости в смысле Ляпунова

§3. Структура устойчивого в смысле Ляпунова минимального аттрактора

§4. Достаточный признак неустойчивости многопараметрического семейства периодических движений.

§5. Существование неустойчивого в смысле Ляпунова семейства периодических движений в ньютоновой задаче трех тел.

§6. Несохранение асимптотической устойчивости в целом состояния равновесия при малых возмущениях.

§7. Критерий асимптотической устойчивости состояния равновесия механической системы

§8. Неустойчивость в смысле Ляпунова состояния равновесия по первому приближению.

§9.Коэффициентные признаки асимптотической устойчивости нестационарного линейного уравнения.

Глава 2. Некоторые вопросы о прочности траекторий уравнений небесной механики

§ 1. Орбитальная устойчивость полутраектории

§2. Прочность полутраектории в смысле Жуковского.

§3. Теоремы о существовании ортогональной репараметризации.

§4. Связь прочности полутраектории в смысле Жуковского с орбитальной устойчивостью ее положительной полуоболочки.

§5. Обобщение теоремы Пуанкаре-Бендиксона.

§6. Орбитальная устойчивость эллиптической периодической траектории гамильтоновой системы.

§7. Теорема о прочности в смысле Жуковского траекторий уравнений небесной механики.

§8. Исследование асимптотической орбитальной устойчивости периодической орбиты с помощью ассоциированных уравнений первого приближения

§9. Исследование асимптотической прочности периодической орбиты методом последовательных приближений

§10. Обобщение понятия орбитальной устойчивости траектории. Прочность в смысле Пуанкаре полуоболочки движения.

§11. О построении зон геометрической прочности и непрочности в задачах небесной механики ОКФ-методом.

§12. О построении зон геометрической прочности и непрочности в задачах небесной механики ОФС-методом.

Глава 3. Алгоритмы упрочнения решений в задачах небесной механики

§ 1. Задача об упрочнении решений.

§2. Регуляризация уравнений и упрочнение решений.

§3. Упрочнение кеплеровых решений с помощью временного элемента.

§4. Упрочнение решений в возмущенной задаче Кеплера с помощью аномалий

§5. Упрочнение решений в задаче трех и многих тел путем замены лагранжиана

§6. Упрочнение решений гамильтоновой системы с помощью перехода к переменным "действие - угол"

Глава 4. Развитие качественных методов исследования прочности траекторий в смысле Жуковского.

§ 1. Уравнение возмущенной траектории и уравнение в вариациях Жуковского

§2. Принцип сведения задачи о прочности траектории к задаче об устойчивости движения

§3. Редукция n-мерного уравнения в вариациях Жуковского к эквивалентному (п- 1)-мерному уравнению.

§4. Асимптотическая прочность и непрочность траектории по первому приближению

§5. Асимптотическая прочность траекторий на базе показателей прочности

§6. Коэффициентные признаки асимптотической прочности и непрочности траекторий.

§7. Теоремы о прочности траекторий на базе функций Ляпунова

§8. Теоремы об асимптотической прочности траекторий на базе свойств якобиана

§9. Локализация прочных траекторий методом сопровождающего координатного полиэдра.

§10. Прочность в смысле Жуковского траекторий голономных консервативных систем с гладкими связями

§11. Усреднение на бесконечном интервале на базе асимптотической прочности движения в смысле Жуковского.

Глава 5. Асимптотические, геометрические и устойчивоподобные свойства решений в задаче многих тел.

§ 1. Ньютонова и обобщенная математическая модели задачи многих тел небесной механики

§2. Качественные свойства движений в обобщенной модели задачи многих тел Ю.Д.Соколова

§3. Геометрические свойства интегральных множеств в обобщенной модели задачи многих тел.

§4. Геометрические свойства интегральных множеств в ньютоновой модели задачи многих тел.

§5. Асимптотические свойства движений в обобщенной модели задачи многих тел Ю.Д.Соколова

§6. Исследование качественных свойств решений обобщенным прямым методом Ляпунова.

§7. Прочность траекторий в смысле Жуковского в ньютоновой задаче многих

§8. Прочность по первому приближению правильной конфигурации относительных состояний равновесия в задаче N тел равной массы

§9. Теоремы об устойчивости в смысле Пуассона в задаче многих тел.

Обзор устойчивоподобных понятий, результатов и методов качественной небесной механики, относящихся к теме диссертации

Начиная с А.Пуанкаре [84], [85], качественным изучением решений векторных уравнений вида = g(x), g: Z)-»R", DczR", (1) at получивших название динамических уравнений, или уравнений небесно-механического типа [35], занимались многие исследователи [9], [12], [22]-[35], [37]—[40], [45], [46], [62], [69], [77], [81], [89], [91], [102]- [109], [133], [136], [137], [144], [153], [ 157]—[ 159], [161], [162], [178]-[180], [190]. Независимую переменную t в (1) можно интерпретировать как время, а переменные xi,x2,.,x„ - как координаты движущейся точки в «-мерном пространстве R". Предположим, что правая часть уравнения (1) непрерывна в рассматриваемой области DczR" и удовлетворяет в ней некоторым условиям, обеспечивающим единственность решения.

Хорошо известно, что уравнения (1) при дополнительных условиях порождают динамические системы в смысле Биркгофа [12]. Динамической системой в смысле Биркгофа называется однопараметрическая группа ф(t,p), где ieR=(-co,+co), преобразований пространства R" на себя, удовлетворяющая условиям: 1) (p(t,p)=p (начальное условие), 2) ф(t,p) непрерывна по совокупности переменных (t,p), 3) 4>(t\,q>{t2,p))=4?(t\+t2,p) (свойство группы). Если фе Cf, r> 1, то динамическая система называется гладкой. Отображение ф(t,p) при фиксированном р называется движением, а при фиксированном t - переносом вдоль траектории; при фиксированном р множество точек {ф(t,p): /eR} будем называть траекторией этого движения и обозначать через С(р). Аналогично множества {ф(^): ¿eR+} и {ф(t,p): teR } называются положительной и отрицательной полутраекториями и обозначаются через С+(р) и С (р). Множества Н(р) = С(р), Н+(р) = С+(р) и

Н~{р) = С~{р) называются соответственно оболочкой, положительной полуоболочкой, отрицательной полуоболочкой движения динамической системы.

Основоположникам геометрической (качественной) теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости движения А.Пуанкаре [84], [85], Н.Е.Жуковскому

38], [39], А.М.Ляпунову [59], [60], И.Бендиксону [133], Дж.Биркгофу[12] принадлежат фундаментальные результаты и методы исследования, положившие начало дальнейшим исследованиям как в России, так и за рубежом.

Современные методы качественной небесной механики базируются на достижениях геометрической теории динамических систем, теории устойчивости движения, теории нелинейных колебаний, КАМ-теории. Фундаментальный вклад в развитие названных теорий внесли А.Н.Колмогоров, Н.М.Крылов, Н.Н.Боголюбов, Н.Г.Четаев, В.В.Румянцев, Н.Н.Красовский, Е.А.Барбашин, В.И.Зубов, Н.П.Еругин, В.В.Степанов, В.В.Немыцкий, И.Г.Петровский, А.А.Андронов,

Ю.А.Митропольский, А.М.Самойленко, Е.А.Гребеников, Ю.А.Рябов, В.В.Козлов, В.М.Матросов, В.И.Арнольд, М.Г.Крейн, И.Бендиксон, Дж.Биркгоф, П.Пенлеве, О.Перрон, Т.Леви-Чивита, Ф.Хартман, С.Лефшец, Т.Иосидзава и другие ученые. Существенное развитие качественные методы Ляпунова, Пуанкаре и Жуковского получили в работах названных ученых, а также в работах Г.Н.Дубошина, Н.Д.Моисеева, М.Ш.Аминова, Ю.Д.Соколова, Г.Ф.Хильми, В.Г.Демина, Е.П.Аксенова, А.С.Галиуллина, Р.Г.Мухарлямова, В.М.Алексеева, А.П.Маркеева, И.А.Герасимова, Ю.С.Богданова, Б.П.Демидовича, Г.А.Леонова, Ю.В.Малышева, Т.Ура, Н.Бхатиа, К.Зундмана, Ж.Шази, Д.Саари, К.Маршала, Дж.Баумгарте, В.Себехея и других ученых.

Тридцатые и сороковые годы нашего столетия были ознаменованы плодотворной деятельностью двух крупных научных школ: научной школы ГАИШ (В.В.Степанов, Н.Д.Моисеев, Г.Н.Дубошин, Н.Ф.Рейн и другие) и казанской научной школы (Н.Г.Четаев, К.П.Персидский, И.Г.Малкин, Г.В.Каменков, М.Ш.Аминов и другие). Ученые этих школ внесли существенный вклад в развитие теории устойчивости Ляпунова и теории прочности траекторий уравнений небесной механики. В частности, М.Ш.Аминов продолжил исследование Н.Е.Жуковского о прочности траекторий движения механических систем с конечным числом степеней свободы, а В.В.Степанов, Н.Д.Моисеев и Г.Н.Дубошин и другие получили важные результаты по теории устойчивости в целом, поперечной и продольной устойчивости, орбитальной устойчивости, по методу контактных характеристик, по ограниченным проблемам двух и трех тел. Возникшие в более поздний период научные школы по качественной теории, теории устойчивости и теории нелинейных колебаний в Москве, ТСиеве, Свердловске (ныне Екатеринбург), Минске, Ленинграде (ныне Санкт

Петербург), Самарканде, Горьком (ныне Нижний Новгород) внесли дальнейший крупный вклад в развитие названных теорий.

Изучение фазового портрета траекторий в окрестности особой точки на плоскости (случай п=2) впервые проведено Н.Е.Жуковским [39] и А.Пуанкаре[84], а затем их исследования продолжили И.Бендиксон [133] и многие другие ученые. Исследование фазового портрета траекторий в окрестности особой точки при любом п проводилось А.Пуанкаре [84], Э.Пикаром (см.[77]), А.М.Ляпуновым [59], Ж.Адамаром [126], О.Перроном (см.[77]), И.Г.Петровским [81], В.В.Немыцким [73] и другими учеными.

Изучение окрестности особой точки при любом п с точки зрения устойчивости в смысле Ляпунова существенно продвинуто учеными Казанской научной школы (Н.Г.Четаев [111]-[113], К.П.Персидский [80], И.Г.Малкин [61], Г.В.Каменков [43]), Горьковской научной школы (А.А.Андронов и А.А.Витт [5]), научной школы ГАИШ (В.В.Степанов [77], [101], Н.Д.Моиееев [67]-[69], Г.Н.Дубошин [32]-[34], Н.Ф.Рейн [86]), научной школы В.В.Степанова и В.В.Немыцкого (Б.П.Демидович [31], А.Ф.Филиппов (см.[77]), Ю.В.Малышев [62], Р.Э.Виноград (см.[77]), Ю.К.Солнцев (см.[77]), Д.М.Гробман [17], А.А.Шестаков [114], [115], П.Н.Папуш [79],М.Б.Кудаев [51]), Ленинградских научных школ (А.А.Марков [159], В.И.Зубов [40], В.А.Плисс [82]).

Приведем некоторые результаты качественных исследований Дж.Биркгофа и его последователей. Дж.Биркгоф [12] положил основание общей теории динамических систем, выделив в них центральные и рекуррентные движения. Он продолжил качественные исследования А.Пуанкаре и наряду с Н.Е.Жуковским, А.М.Ляпуновым и А.Пуанкаре явился основоположником качественной теории динамических систем.

Приведем определение устойчивости движения в смысле Лагранжа. Движение ф(/,/?) называется положительно (отрицательно) устойчивым в смысле Лагранжа, если полуоболочка Н+{р) (полуоболочка Я (р)) является компактным множеством. Движение, одновременно положительно и отрицательно устойчивое по Лагранжу, называется устойчивым в смысле Лагранжа. В работах Дж.Биркгофа и его последователей рассмотрены односторонне и двусторонне устойчивые в смысле Лагранжа движения.

Важные результаты в области качественной теории динамических систем получены В.В.Немыцким [73]—[77]. Он ввел понятие седла в бесконечности^7] уравнения (1) и установил, что для того чтобы динамическая система в смысле Биркгофа могла быть топологически отображена на семейство параллельных прямых, необходимо и достаточно, чтобы она была неустойчивой в том смысле, что ни одна положительная и ни одна отрицательная полуоболочка движения не содержится в некотором компактном множестве, и чтобы динамическая система не имела седла в бесконечности.

Исключительное значение в небесной механике имеют движения, устойчивые в смысле Пуассона. Движение называется устойчивым в смысле Пуассона, если, каковы бы ни были Т>§ и 8>0, движение возвратится в е-окрестность своего начального положения как для положительных, так и для отрицательных значений /', удовлетворяющих неравенству >Т.

Среди движений, устойчивых в смысле Пуассона, особо важную роль играют рекуррентные движения. Рекуррентное движение есть такое движение, в котором каждая точка возвращается в свою окрестность в течение промежутка времени Т, общего для всех точек траектории.

С рекуррентными движениями тесно связано понятие о минимальных множествах. Множество А называется минимальным, если оно непусто, замкнуто и инвариантно, причем никакое истинное его подмножество не обладает этими свойствами. Всякое движение минимального множества является рекуррентным и всякое рекуррентное движение принадлежит некоторому минимальному множеству. Простейшими случаями минимальных множеств, состоящих из одного движения, являются состояние равновесия и периодическое движение. Если же минимальное множество А содержит более одного движения, то оно содержит континуум рекуррентных движений, каждое из которых всюду плотно в А. Значение минимальных множеств для динамических систем определяется следующими двумя результатами Дж.Биркгофа: всякое инвариантное компактное множество движений М содержит по крайней мере одно минимальное множество; для всякого такого множества М и для любого 8>0 можно найти такое число Т, что дуга любого движения, принадлежащего М, соответствующая интервалу времени от ? до (+Т, содержит точки, находящиеся на расстоянии меньше е от некоторого рекуррентного движения. Следовательно, все движения, устойчивые в смысле Лагранжа хотя бы в одну сторону, не могут в сторону их устойчивости находиться произвольно долго вдали от рекуррентных движений.

Множество центральных движений (центр) определяется как замыкание множества всех устойчивых в смысле Пуассона движений. Среди рекуррентных движений можно выделить класс почти периодических движений. В рекуррентных движениях возвращение каждой точки в окрестность своего начального положения имеет относительно равномерный характер; в почти периодическом движении имеет место относительно равномерное возвращение всего движения в окрестность уже пройденного пути. Движение ср(/,/?) называется почти периодическим, если для любого б>0 существует такое />О, что в каждом промежутке (а,а+/) длины / имеется число х, обладающее свойством: р[ф(Н-т,/?)-ф(Г,/?)]<е У/еК. Всякое почти периодическое движение принадлежит некоторому минимальному множеству, все остальные движения которого имеют тот же почти периодический характер. Для изучения почти периодичности устойчивого в смысле Лагранжа движения <р((,р) в [159] предложены Б-свойство: для каждого е>0 можно найти такое 5>0, что из неравенства ф(/?,^)]<5 следует неравенство р[ф(?1 И,р), ф(р,?2+0]<Б ^/ГеЛ, и -свойство: последнее неравенство выполняется для всех />0, и движение отрицательно устойчиво в смысле Лагранжа. А.А.Марков [159] доказал, что для почти периодичности необходимо и достаточно выполнения ^-свойства (или аналогичного ^-свойства) и установил связь между почти периодичностью и Ь+вустойчивостью относительно множества В: точка р называется положительно Ь+в устойчивой относительно множества В (символ Ь+в), если для всякого числа е>0 можно найти такое число 5>0, что для каждой точки даВ такой, что р(р,д)<Ь, выполняется неравенство р[ф(1,р), ф(^,<?)]<£ Если В инвариантно, то множество точек, устойчивых Ь+в, также инвариантно; в этом случае, если точка р является

-устойчивой, то движение ф((,р) называется Ь+в -устойчивым. А.А.Марковкм доказано, что если в компактном инвариантном множестве В все движения Ь+в-устойчивы, то множество В устойчиво в смысле Ляпунова. В.В.Степанов [77] установил, что если все траектории динамической системы в Я" устойчивы в смысле Ляпунова, то возможно одно из двух: либо система гомеоморфна семейству параллельных прямых, либо все ее движения являются почти периодическими. Кроме того, он дал топологическую характеристику оболочки почти периодического движения.

Квазипериодические, или условно периодические функции, имеющие конечный частотный базис, являются частным случаем почти периодических функций, которые имеют бесконечный частотный базис. В задачах небесной механики квазипериодическим называется такое решение, в котором позиционные переменные (большая полуось, эксцентриситет, наклонность и др.) выражаются квазипериодическими функциями, а угловые переменные (долгота перицентра, долгота узла, средняя аномалия и др.) выражаются в виде суммы "и? + квазипериодическая функция", где п -среднее угловое изменение для данной переменной. В соответствии со свойствами квазипериодических функций движение по орбите, соответствующей квазипериодическому движению, происходит в компактном множестве пространства и обладает тем свойством, что через определенные интервалы времени тело возвращается сколь угодно близко к любой внутренней точке этого множества. Вопросы существования и построения квазипериодических решений в небесной механике рассмотрены Е.А.Гребениковым и Ю.А.Рябовым в [28].

Во многих задачах небесной механики динамические уравнения (1) обладают интегральным инвариантом [85], [45], [77]. Основное свойство уравнений (1), обладающих интегральным инвариантом, сформулировано А.Пуанкаре и носит название "теоремы возвращения". А именно, если рассмотреть движения, обладающие интегральным инвариантом и заполняющие компактную область М из Я", то в случае наличия интегрального инварианта почти все движения будут устойчивыми в смысле Пуассона, а множество М будет центром.

Исследования устойчивости в смысле Ляпунова [59] применительно к небесно-механическим уравнениям отражены в [1], а также в работах А.А.Маркова [159], Г.Н.Дубошина [32]—[35], В.В.Румянцева [87], [88], [90], А.П.Маркеева [63], Е.А.Гребеникова [25]—[29], В.Себехея [94], Дж.Хагихара [ 153] и других работах.

В докторской диссертации А.М.Ляпунов [59] поставил и разрешил общую задачу об устойчивости движения. В ней А.М.Ляпунов предложил два метода решения задач об устойчивости. К первому методу относятся все те способы решения, которые приводят к непосредственному исследованию возмущенного движения и в основании которых лежит разыскание общих или частных решений дифференциального уравнения возмущенного движения (к/Ж = g{t, х), х еЯ". Эти решения приходится, вообще говоря, искать в виде бесконечных рядов по целым положительным степеням произвольных постоянных или же рядов другого типа. Здесь основным методом, восходящим к А.М.Ляпунову и А.Пуанкаре, является следующий метод сравнения. Рост нормы |х(7)| решения x(t) при »+со определяется по шкале ростов, заданной семейством функций ех', и за индекс принимается число А,, называемое характеристическим показателем решения. Вместо исследуемой системы dx/dt=g(t,x) рассматривается система dy/dt=F(t,y) (называемая системой первого приближения), для которой известно асимптотическое при t—>оо поведение решения и исследуемая система рассматривается как возмущенная добавлением к F(t,y) вектор-функции f(t,x)::=g(t,x) - F(t,x). При некоторых свойствах системы первого приближения и достаточной малости f[t,x) часто удается получить информацию о поведении решений возмущенной системы и о соотношениях между показателями решений [17] обеих систем.

Второй (прямой) метод - метод вспомогательных функций - основывается на рассмотрении некоторых непрерывных функций V(t,x) переменных х=(хь .,х„) и времени t, обращающихся в нуль при х=0 и удовлетворяющих определенным условиям. Второй метод оказался эффективным методом исследования не только устойчивости, но и методом исследования геометрической картины и асимптотических свойств траекторий, если использовать так называемые обобщенные функции Ляпунова. Основы второго метода выражены в полученных А.М.Ляпуновым четырех теоремах: теоремы об устойчивости, теоремы об асимптотической устойчивости, первой теоремы о неустойчивости, второй теоремы о неустойчивости [59], [89], [91].

С помощью второго метода А.М.Ляпунов решил задачу об устойчивости по первому приближению, независимо от членов высшего порядка в функциях gs(tj,\,.,xn)\ сам А.М.Ляпунов в решении этой задачи видел свое главное достижение. В ряде критических (сомнительных) случаев, когда первое приближение не решает вопроса об устойчивости, А.М.Ляпунов дал решение задачи об устойчивости движения.

А.М.Ляпуновым рассмотрены следующие пять основных понятий устойчивости движения: 1) понятие устойчивости, 2) понятие асимптотической устойчивости, 3) понятие условной устойчивости, 4) понятие неустойчивости, 5) понятие абсолютной неустойчивости.

Приведем определение понятия устойчивости в смысле Ляпунова в формулировке Н.Г.Четаева [112].

0}. Если при всяком заданном числе А, как бы оно мало ни было, может быть выбрано число ?с>0 так, чтобы при всяких возмущениях хю,.,х/г0, удовлетворяющих неравенству + ••■ + х^0 < А,, и при всяком (, превосходящем выполняется 2 2 неравенство х} + •■• + х < А, то невозмущенное движение уетоичиво в смысле Ляпунова, в противном случае - неустойчиво в смысле Ляпунова.

Перейдем теперь к следующим модификациям понятия устойчивости в смысле Ляпунова, используемых в небесной механике [155].

02. Пусть ¿обЯ1 - произвольно, но фиксировано. Решение х=х(0, х(О)=х0 уравнения (1) называется двусторонне устойчивым в смысле Ляпунова относительно множества В, если С(х0)с1б и для каждого £>0 существует 5=5(е)>0 такое, что И0-Я0|<е, 'еЯ, если;/(0<=£ \/7еЯи |х(г0)-< 8•

О у Решение х=х(/), х(0)=хо уравнения (1) называется строго двусторонне устойчивым в смысле Ляпунова относительно множества В, если С(хо)аВ и для каждого е>0 существует 5=5(е)>0 такое, что |х(0 - уЦ) | < е, ¿еЯ, если у{()^В У/еЯи неравенство |х(?0) - у^0)| < 8 имеет место для некоторого значения ¿0еЯ.

04. Решение х((,р) называется двусторонне почти устойчивым в смысле Ляпунова, если оно определено при всех ¿еЯ и если для каждого е>0 существуют измеримое положительной меры множество АаВ{р,г) и число Т>0, такое, что для деА и для всех ?еЯ можно найти так, чтобы с/(х(г, <?), х(/], р)) < е, \t~t\l<Т.

В определениях 02 и 03 число 8 зависит не только от числа е, но и также от выбора изучаемого решения. Из определений 02 и 03 следует, что строго двусторонне устойчивое решение является двусторонне устойчивым в смысле Ляпунова. Но обратный факт не имеет место. При А=В{р,Ъ) и Т= 0 в определении 04 имеет место двусторонняя устойчивость в смысле Ляпунова.

Рассмотрим скалярное уравнение х=соз х и пусть В={-п/2<х<п/2}. Уравнение имеет решения х=п/2, х=-%/2, х=ап^(1-1), где ? - произвольное число. Множество В компактно и инвариантно. Легко проверить, что любое решение х=х(()=ш^((-1) устойчиво в смысле Ляпунова относительно В. Но уравнение не имеет строго устойчивых в смысле Ляпунова решений относительно В в силу наличия свойства х(7)—»я/2(--л:/2) при i—И-оо(-оо). Для того чтобы решение х(1) было сторого устойчивым относительно В, необходимо, чтобы выполнялось неравенство lim inf|j>(i) - х(0| > 0 при i—>+оо для каждого решения x(t)*y(t) в В для всех t.

В [155] показано, что 1)если В есть оболочка движения x=x(t) и В компактно, то решение x(t) уравнения (1) строго устойчиво в смысле Ляпунова относительно В тогда и только тогда, когда x(t) почти периодично (в смысле Бора). Обычная устойчивость в смысле Ляпунова не гарантирует свойства почти периодичности. Это следует из рассмотренного выше примера, где каждое решение x(i)=arctg(i-1) уравнения плотно на множестве В\ —7i/2<x<tc/2 ; 2}плотное на В решение уравнения (1) строго устойчиво в смысле Ляпунова относительно В тогда и только тогда, когда оно почти периодично (в смысле Бора), причем в этом случае каждое решение в В почти периодично. Из 2) следует, что если плотно лишь одно решение и оно строго устойчиво на В, то то же самое справедливо для всех решений из В.

В [164], [165] доказано, что 1) если устойчивое в смысле Лагранжа решение х(/) уравнения (1) двусторонне устойчиво в смысле Ляпунова и уравнение (1) обладает интегральным инвариантом, то оно почти периодично в смысле Бора. Это утверждение несправедливо, если для уравнения не выполнено условие divg^O. В самом деле, например, все решения вида x=arctg(i+c) уравнения x=cos х устойчивы в смысле Ляпунова, но не почти периодичны. Утверждение также несправедливо, если опустить требование устойчивости в смысле Лагранжа;

2) если положительно (отрицательно) устойчивое в смысле Лагранжа решение уравнения (1) положительно (отрицательно) устойчиво в смысле Ляпунова и это уравнение обладает интегральным инвариантом, то решение двусторонне устойчиво в смысле Ляпунова и почти периодично;

3) если уравнение (1) обладает интегральным инвариантом и решение x(t) положительно слабо орбитально устойчиво и положительно устойчиво в смысле Лагранжа, то решение устойчиво в смысле Лагранжа и положительно устойчиво в смысле Пуассона;

4) если уравнение (1) обладает интегральным инвариантом и решение уравнения (1) положительно устойчиво в смысле Лагранжа и двусторонне почти устойчиво в смысле Ляпунова, то это решение рекуррентно;

5) если решение уравнения (1) удовлетворяет условиям утверждения 4) и положительно устойчиво в смысле Ляпунова относительно полутраектории С+(р), то оно почти периодично.

Большой вклад в теорию устойчивости А.М.Ляпунова был внесен В.В.Румянцевым и его учениками [92]. В.В.Румянцев является основоположником важного самостоятельного направления в теории устойчивости движения - теории устойчивости движения по отношению к части переменных. Хотя постановка задачи о частичной устойчивости и принадлежит А.М.Ляпунову, но сам он не занимался этой задачей. Пусть задана система дифференциальных уравнений вида x = f(t,x,y), y=g(t,x,y), (2) где f: R+xDxR"'—>R", g: R+xDxRm->Rw и D - область в R", содержащая начало.

05. Предположим, что./(?,0Д))=£-(/,0,0)=0 для всех ieR+ и функции/и g таковы, что через каждую точку множества R+xDxR"' проходит единственное решение системы. Пусть z=(x,y)eR"+"', где пит- целые положительные числа. Обозначим через z(t,to,Zo)=(x(t,to,Zo), y(t,to,zQ)) решение системы (2), начинающееся в точке z0 в начальный момент t0. Решение z~0 системы (2) называется положительно устойчивым относительно х\,.,хт, или, короче, х-устойчивым, если для любых е>0 и существует число 5=5(s,/0)>0 такое, что из |z0|<5 следует, что x(t,t0,x0)<8 V/>/0

Приведем одну из теорем В.В.Румянцева [92], [98]: если существует функция F:R xDxR ->R класса С такая, что для некоторой функции Хана а и любых значений (t,x,y)eR+xDxRm выполнены условиям V(t,x,y)>a(|х|), F(/,0,0)=0; V(t, х, у) <0, то решение z=0 системы (2) положительно устойчиво по отношению к х. Теорема В.В.Румянцева обобщает теорему Ляпунова об устойчивости, в которую она переходит при т=п.

Проведенные исследования показали большое методологическое сходство в изучении вторым методом полной устойчивости (по всем переменным) и частичной устойчивости (по части переменных). Однако в решении ряда аналогичных вопросов применительно к задачам полной устойчивости и частичной устойчивости имеются определенные различия. Установлен принцип [92], позволяющий сводить исследование задачи частичной устойчивости к задаче исследования полной устойчивости некоторой вспомогательной системы, и наоборот: исследование задачи полной устойчивости сводить к задаче исследования частичной устойчивости для вспомогательной системы. Два типа устойчивости (полная и частичная) тесно свя

14 заны между собой и взаимно дополняют друг друга при решении прикладных задач.

Рассмотрим теперь понятие устойчивости движения при постоянно действующих возмущениях. Это понятие введено Г.Н.Дубошиным [32] и очень важно для задач небесной механики. Устойчивость в смысле Ляпунова означает, что рассматривается устойчивость относительно мгновенно действующих возмущений. Однако реальная физическая система, например, планетная система, находится под постоянным воздействием небольших возмущающих сил, учесть которые при составлении уравнения движений практически невозможно. Поэтому исключительно важное значение имеет изучение устойчивости рассматриваемого движения относительно постоянно действующих возмущений. Это значит, что надо рассматривать изменения не только начальных условий, но изменение и самих уравнений движения. Сам А.М.Ляпунов не занимался изучением влияния малых возмущающих сил на устойчивость движения. Такая задача рассмотрена в работах Н.Г.Четаева [111], Г.Н.Дубошина [32], Н.А.Артемьева [8] и других ученых. Наряду с уравнением вида

1) рассмотрим возмущенное уравнение — = g(x) + R(t, х), где R(t,x) - некоторая dt неизвестная вектор-функция, характеризующая возмущение силы, относительно которой известно лишь то, что она достаточно мала и удовлетворяет условию, обеспечивающему существование движений в окрестности невозмущенного движения.

06. Невозмущенное движение х=ф(7) уравнения (1) называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях или устойчивым при ПДВ, если для каждого числа е>0 существуют два других числа 5]=5i(s)>0 и б2=52(е) таких, что каждое решение x=iy(/) возмущенного уравнения, удовлетворяющее при P=tQ неравенству |1|/(Го)-ф(^о)|<5ь удовлетворяет при t>t0 неравенству |у(/)-ф.(0|<е, какова бы ни была вектор-функция R(t,x), удовлетворяющая на множестве [t>t{h |х-ф(0|<5} неравенству \R(t,x)\<b2.

Важность понятия устойчивости при ПДВ проиллюстрируем на рассмотрении проблемы трех тел. Пусть под действием Солнца т\ и Юпитера т2 движется астероид }щ. Предположим, что массы Солнца, Юпитера и астероида соответственно равны 1, т, О, а движение Юпитера круговое. Тогда уравнения движения астероида во вращающихся осях, отнесенных к центру инерции тх и т2, можно записать в . dU . . dU виде x - lay =-, у + 2ax =-, где a - угловая скорость Юпитера относительно

Эх ду неподвижных осей координат, U = ^а2(х2 + у2) + +к2

С 1 >

1 т н-v r2 r2 j к:2 - постоянная тяготения, г\ и г2 - расстояния астероида от Солнца и Юпитера соответственно. Отбросим в правых частях уравнений члены, происходящие от действия Юпитера, то есть положим т=д. Таким образом придем к задаче двух тел. Если соответствующая эллиптическая орбита астероида ш3 (т.е. траектория изображающей точки (х, у, х, у) в четырехмерном пространстве) оказалась бы устойчивой при ПДВ (здесь устойчивость при ПДВ рассматривается по отношению к специальному типу возмущений, происходящих от Юпитера), то это значит, что при достаточно малой массе т Юпитера возмущенная орбита астероида т2 при всех 1>0 будет лежать в любой сколь угодно малой окрестности невозмущенной эллиптической орбиты. Более того, если на астероид т3 будут действовать возмущения от каких-либо других планет достаточно малой массы, движение которых при всех значениях />0 совершается по орбитам, достаточно удаленным от Солнца, то в случае устойчивости при ПДВ возмущенная орбита астероида также будет находится в сколь угодно малой окрестности невозмущенной эллиптической орбиты.

Задача теории устойчивости Ляпунова заключается в исследовании заданного невозмущенного движения, которое позволило бы установить, каким из перечисленных свойств устойчивости обладает исследуемое невозмущенное движение. В силу того, что дифференциальные уравнения в общем случае не интегрируются в конечном виде, то А.М.Ляпунов поставил главной задачей нахождение таких способов, которые позволяли бы решать задачу в неинтегрируемом случае. Совокупность этих способов и составляет общую теорию устойчивости движения, созданную А.М.Ляпуновым [59] и дополненную трудами отечественных и зарубежных ученых [5], [8], [9], [11]-[13], [17], [18]- [20], [22]-[24], [26], [30], [32], [36], [37], [40], [43], [44], [50], [52], [61]-[63], [70], [71], [77], [80], [87]-[93], [109], [112]-[П5], [119], [121], [137], [144], [147], [154], [159], [160], [178], [190] и др.

Основы теории прочности траекторий в смысле Жуковского заложены в докторской диссертации Н.Е.Жуковского "О прочности движения" [38]. Наряду с А.Пуанкаре и А.М.Ляпуновым Н.Е.Жуковский является основоположником качественных исследований дифференциальных уравнений [38], [39]. Общую задачу о прочности траекторий уравнений первого приближения поставил и в ряде случаев разрешил Н.Е.Жуковский в работе [38]. Чтобы дать определение прочности движения, Н.Е.Жуковский рассматривает, как и В.Томсон и П.Тет [176], основное движение системы и наряду с ним так называемое возмущенное движение. Н.Е.Жуковский одну из координат уравнения (1), например хь принимает в качестве независимой переменной, а время Г рассматривает как функцию этой координаты, причем выбранная координата в качестве независимой переменной является монотонно возрастающей функцией времени. Рассматривая координаты х2,.,хп как функции от хь Н.Е.Жуковский предполагает, что в возмущенном движении функции х2,.,х„ получают приращенияу2,.,уп- Если во все время движения приращения у2,.,уп остаются достаточно малыми, то движение называется прочным; если некоторые из этих приращений не являются таковыми, то движение называется непрочным.

Важно отметить, что время / рассматривается Н.Е.Жуковским как функция от х, а приращение Ы определяется при переходе от данного движения к возмущенному. Н.Е.Жуковский пишет: "Движение, будучи прочным, может давать для Ы при одних возмущениях бесконечно малую величину, а при других - беспредельно возрастающую величину. Консервативное возмущение, не изменяющее полной энергии, вызывает в прочном движении бесконечно малое изменение времени, в то время как неконсервативное возмущение вызывает бесконечно возрастающее изменение времени". Из определения Н.Е.Жуковского следует, что речь действительно идет об устойчивости траекторий точек материальной системы, а не об устойчивости состояния движения.

Э.Раус [167], как и Н.Е.Жуковский [38], использовал понятия об основном движении и возмущенном движении. Согласно этому Э.Раус вводит координаты qj в основном движении и координаты в возмущенном движении. Независимой переменной является время Г. Далее Раус определяет понятие малости возмущений Возмущения ^ рассматриваются как малые, если имеется положительное число, превосходящее абсолютные значения всех £,у и такое, что его квадратом можно пренебречь. Движение называется устойчивым, если возмущения будучи малыми в начальный момент времени, остаются малыми и при дальнейшем движении. Если хотя бы одна из величин ^ становится не малой, движение называется неустойчивым. Э.Раус рассматривает возмущения общего вида. Очевидно, что понятие устойчивости в смысле Э.Рауса и понятие прочности движения в смысле Н.Е.Жуковского - различные понятия. Прежде всего, в определении Э.Рауса речь идет об устойчивости состояния движения, в то время как в определении Н.Е.Жуковского - о прочности траекторий движения, описываемых точками материальной системы. Далее, движение динамической системы может быть неустойчивым в смысле Э.Рауса, но прочным в смысле Н.Е.Жуковского.

А.М.Ляпунов [59] ввел общее определение понятия устойчивости движения, охватывающее как определение Э.Рауса, так и определение Н.Е.Жуковского. Общее определение устойчивости формулируется так.

О-). Пусть 1) задана система к дифференциальных уравнений второго порядка движения механической системы, 2) выбрано некоторое частное решение этих уравнений, определяющее движение системы, которое назовем невозмущенным, и 3) даны функции Фь Ф2, ., Ф„ от времени обобщенных координат ., и обобщенных скоростей ■ ■■,<) к- Невозмущенное движение называется устойчивым по отношению к величинам Ф\, Ф2, ., Фп, если, задавая произвольно положительные числа Ь\, Ь2, ., Ьп, мы можем определить при всяких как бы малы они ни были, такие положительные числа Е{, Е2,., Ек, Е[, Е'2,Е'к, что при всяких начальных возмущениях .,гк, е[,.,е'к, удовлетворяющих условиям |е5| < Е3, Е'з (5=1,2и при всяком превосходящем , выполнены неравенства

Ф, - Ф}°> ¿р

Ф2 - Ф<°> ь2,

Ф -Ф п п

0) ьп.

Если, в частности, положить п=2к и взять Фг=Ч2, Ф\гЧь Фк+\~Ч\,

Фк+2=Я2, ФигЧь то получим определение устойчивости невозмущенного движения относительно обобщенных координат и скоростей. Ранее приведенное определение 0\ является частным случаем общего определения 01.

А.М.Ляпунов отметил, что в уравнениях возмущенного движения можно заменить время г1 другой переменной, являющейся монотонно возрастающей функцией времени. Выбирая за независимую переменную одну из координат точек системы, монотонно возрастающую вместе с возрастанием времени /, и приравнивая остальные координаты к функциям Ф^ Ляпунова, убеждаемся в том, что определение прочности в смысле Н.Е.Жуковского следует из общего определения А.М.Ляпунова как частный случай.

Н.Е.Жуковский в работе [38] писал: "Мы думаем, что наша точка зрения представляет некоторые преимущества перед точкой зрения Рауса. С одной стороны, рассматривая одну из координат как независимое переменное, мы выражаем возмущенное движение числом уравнений на единицу меньшим против того числа, которым должен пользоваться Раус. С другой стороны, так как неконсервативное возмущение дает для 5/ обыкновенно беспредельно возрастающую величину, то устойчивых движений с точки зрения Рауса почти не существует". Это утверждение Н.Е.Жуковского следует понимать, что класс прочных движений шире класса устойчивых движений в смысле Рауса.

Теория прочности траекторий в смысле Жуковского получила развитие в труде Дж.Синджа [96] и труде казанского механика М.Ш.Аминова [4], который ввел понятие "устойчивости в смысле Жуковского" и исследовал методами А.М.Ляпунова, Дж.Синджа [96] и Н.П.Еругина [36] прочность в смысле Жуковского траекторий некоторых классов механических систем при консервативных и неконсервативных возмущениях.

В работе [4] М.Ш.Аминов рассматривает пространство конфигураций и изучает поведение возмущенной траектории относительно невозмущенной траектории. Для этого ставятся в соответствие точки этих кривых. Метрика действия пространства <2 определяется равенством: йз =А{и+Н)Тш где и - силовая функция, к - постоянная энергии, Т - кинетическая энергия, I - время, ¿¿-элемент действия. Если рассматривать консервативные возмущения, т.е. возмущения, для которых не изменяется полная энергия системы, то в пространстве конфигураций £Т невозмущенной и возмущенной траекториям будут соответствовать две соседние геодезические линии (геодетики) это пространства. Пусть О и 0[ - произвольно выбранные начальные точки на невозмущенной и возмущенной геодетиках. Тогда точки Р и Р\ на этих геодетиках считаются соответственными, если 0Р=0\Р\. Так как выбрано соответствие точек не по времени, а по действию, то соответственными точками этйх геодетик будут точки, равноудаленные от некоторых выбранных начальных точек. Точки О и О! выбираются так, чтобы отрезок 00\ был ортогонален к невозмущенной геодетике. Тогда при достаточно малых начальных возмущениях при ОР=0\Р\ с точностью до второго порядка малости отрезок РР\ будет также ортогонален к невозмущенной траектории. Поэтому в основу определения соответствия точек принимается также ортогональное соответствие.

Определение устойчивости, данное М.Ш.Аминовым, формулируется так.

0$. Пусть в точках О и Р имеем:

Г с\ да v ^ у а ^а ^ в точках о^ и рхЯ г/у

4 у о v (ь у

7 Ф с п + . Если для каждого числа е>0 можно

5 Ля найти другое положительное число 5<е так, чтобы при выполнении неравенств

4ра>

5, сЬ ,

4 у0 5, где а=1,2и при всех ОР^уз0 (50-значение функции действия в начальной точке) выполняются неравенства е> с!р( г/5 е, где а=1,2то невозмущенное движение М.Ш.Аминов называет устойчивым в смысле Жуковского. В противном случае невозмущенное движение называется неустойчивым в смысле Жуковского.

Дальнейшее развитие теория прочности траекторий получила в работах А.З.Брюма и А.Я.Савченко [16], использовавших термин "устойчивая параметризация", А.Ю.Кравчука, Г.А.Леонова и Д.В.Пономаренко [49], [55], использовавших термины "устойчивость по Жуковскому", "сильная орбитальная устойчивость", А.А.Шестакова [120], А.С.Галиуллина и А.А.Шестакова [19], [20]. Ряд результатов и методов, находящих применение в теории прочности траекторий в смысле Жуковского, принадлежит Н.Д.Моисееву [67], В.И.Зубову [41], Г.А.Леонову [53], [54]. Многие результаты В.И.Зубова об орбитальной устойчивости, полученные методом ортогональных сечений траекторий, являются фактически результатами о прочности в смысле Жуковского.

В связи с изучением движений, отличных от состояния равновесия и периодических движений, роль понятий прочности и непрочности траектории в смысле Жуковского в настоящее время усилилась.

Важно отметить то обстоятельство, что понятие орбитальной устойчивости и неустойчивости теряет смысл применительно к некоторым сложным движениям динамической системы, в то же время как более строгое понятие прочности в смысле Жуковского имеет смысл для любых ее движений. В последние годы усилился интерес к проблемам неустойчивости движения. Прежде всего это связано с наличием хаотических колебаний в детерминированных системах. Для возникновения хаотических колебаний, характеризующихся перемешиванием траекторий в фазовом пространстве, недостаточно неустойчивости в смысле Ляпунова. Оказалось, что с помощью понятия непрочности траектории в смысле Жуковского можно объяснить ряд явлений, связанных с наличием хаоса.

В настоящее время теория прочности траекторий в смысле Жуковского является перспективным направлением в теории устойчивости небесно-механических систем, имеющим свои специфические особенности по сравнению с теорией устойчивости Ляпунова.

Вопрос о возможности наделения свойствами устойчивости и прочности действительных движений, выделенных тем или иным вариационным принципом аналитической динамики, рассматривался А.С.Галиуллиным и А.А.Шестаковым в работе [20]. В работе, в частности, показано, что способ варьирования при выделении действительных движений с помощью принципа Лагранжа не совместим с условием изохронности определения устойчивости в смысле Ляпунова, поэтому действительные движения, выделенные этим принципом, не могут быть устойчивыми в смысле Ляпунова. Что касается прочности в смысле Жуковского и орбитальной устойчивости, то движения, выделенные принципом Лагранжа, могут обладать указанными свойствами. Поэтому этот вариационный принцип оказался исходным для последующих исследований, посвященных прочности и орбитальной устойчивости траекторий. В частности, представление этого принципа в форме Якоби [124] позволило применять при решении соответствующих задач дифференциально-геометрические методы [4], [12], [20], [58], [96]. В трудах В.Томсона и П.Тета [176], Н.Е.Жуковского [38], М.Ш.Аминова [4] на базе вариационного принципа Лагранжа получены дифференциальные уравнения в вариациях возмущенных траекторий и изучены соответствующие задачи об устойчивоподобных свойствах.

В работах В.В.Степанова [101] и Н.Д.Моисеева [67], [68] была введена и изучена геометрическая прочность полутраекторий динамической системы (1) (под названием "устойчивость в смысле Якоби"). Этот тип прочности был предметом изучения Н.Д.Моисеевым и его учениками в ряде задач небесной механики. В.В.Степанов и Н.Д.Моисеев предложили методы изучения геометрической прочности полутраекторий небесно-механических систем, которые в последующем называются методом определяющих функций В.В.Степанова (сокращенно методом

ОФС) и методом определяющих контактных функций Н.Д.Моисеева (сокращенно методом ОКФ).

Перейдем к обзору некоторых понятий и результатов теории орбитальной устойчивости траекторий и инвариантных множеств. Понятие орбитальной устойчивости для периодической траектории встречается у П.Лапласа [156] и А.Пуанкаре [84], [85] без названия этого понятия. Термин "орбитальная устойчивость" и определение понятия впервые находим у Н.Д.Моисеева [67].

Различные версии определения орбитальной устойчивости индивидуальной полутраектории содержатся в работах Н.Д.Моисеева [67], С.Лефшеца [56], Б.П.Демидовича [30], причем Н.Д.Моисеев предложил топологический вариант понятия, а Б.П.Демидович - метрический вариант понятия.

Различные подходы к определению понятия орбитальной устойчивости полуинвариантного и инвариантного (как компактного, так и некомпактного) множества содержатся в работах В.И.Зубова [41], Н.П.Бхатиа и Г.Сеге [137], А.А.Шестакова [116], [117], Ю.В.Малышева [62], Т.Ура [180], Дж.Ауслендера [128], [129], О.Хаека [ 13 6] и других ученых.

Основными типами орбитальной устойчивости замкнутого множества AcR" динамической системы ф: R" —> R" является орбитальная устойчивость множества относительно его метрических окрестностей, относительно его топологических окрестностей и относительно совокупности двух окрестностных фильтров множества^.

Первый тип орбитальной устойчивости введен и изучен В.И.Зубовым [41], второй тип орбитальной устойчивости изучен Н.П.Бхатиа и Г.Сеге [137], третий тип орбитальной устойчивости введен и изучен Дж.Ауслендером [128].

Рассмотрим непрерывную динамическую систему ф: R+xR" —> R", порожденную уравнением (1), и замкнутое инвариантное множество ylcR", т.е. С{х)аА, где xgA, а С(х) - траектория точки х уравнения (1).

Понятия положительной пролонгации, или положительного продолжения, Р+ (х) точки xgR" и положительной пролонгации Р^(х) точки xeR" относительно множества DczR" введены Т.Ура [180] и определяются соответственно с помощью формул if(x) = ПH+{U), Р+{х)= f]H+(D^U), UeN(x) UeN(x) где Н+(х) - положительная оболочка множества U и N(x) - фильтр окрестностей точКИ xg r .

Для двумерного случая понятие пролонгации введено А.Пуанкаре [84] и использовано И.Бендиксоном [133] для качественного изучения уравнения (1) на плоскости R. Из определений вытекает, что 1) С+(х) и со(х) с Р^(х), 2) (х) = Р*„ (х),

3) Рр(х) = 0, х g D , 4) у g Р£(х) тогда и только тогда, когда существуют последовательности {xn}cD, {i„}c=R такие, что х„—>х, t„>0, ф(t„jc„)-*y.

В [128] доказано следующее предложение: множество А орбитально устойчиво тогда и только тогда, когда положительная пролонгация Р^и(х) точки х относительно множества R"U является компактным подмножеством множества А. Если множество А компактно, то условие предложения приводится к совпадению множества с его положительным продолжением, т.е. к равенству Pf (А) = А, которое является необходимым и достаточным условием Т.Ура [180] положительной орбитальной устойчивости компактного множества^. Для некомпактного орбитально устойчивого множества условие Т.Ура не выполняется.

В настоящей работе будут введены и изучены понятия метрической и топологической орбитальной устойчивости полутраектории, которые являются существенно различными понятиями, а также понятие прочности полутраектории в смысле Пуанкаре.

В основу понятия прочности в смысле Пуанкаре полутраектории С+(х) и полу

4* оболочки Н (х) движения cp^R —>R динамической системы (1) положено указанное выше условие Т.Ура. Ввиду того, что имеющее важное значение в качественной теории динамических систем понятие пролонгации впервые было введено и рассмотрено А.Пуанкаре, представляется целесообразным назвать прочностью в смысле Пуанкаре полутраектории свойство совпадения полуоболочки движения по этой полутраектории с положительной пролонгацией полуоболочки. Приведем определенйе прочности в смысле Пуанкаре замкнутого инвариантного множества.

Оу. Замкнутое инвариантное множество AcR" называется прочным в смысле Пуанкаре,, если оно совпадает со своей положительной пролонгацией, т.е. А = Р?{А).

Понятия устойчивости в смысле Ляпунова, прочности в смысле Жуковского, орбитальной устойчивости, прочности в смысле Пуанкаре, геометрической прочности, устойчивости в смысле Лагранжа, устойчивости в смысле Пуассона полутраектории будем называть устойчивоподобными понятиями. Эти устойчивоподобные понятия играют важную роль в задачах небесной механики. Если при изучении качественного свойства траектории уравнений небесной механики одно устойчивоподобное понятие окажется слишком жестким и ограничительным, то другие устойчивоподобные понятия дают возможность изучить это качественное свойство более адекватно.

Пусть - множество всех устойчивых в смысле Ляпунова полутраекторий, Ц/ - множество всех прочных в смысле Жуковского полутраекторий, С10 - множество всех орбитально; устойчивых полутраекторий и 0,Р - множество всех прочных в смысле Пуанкаре полутраекторий. Тогда

2£ с=Ц/ причем каждое предыдущее множество является истинным подмножеством последующего множества.

Метод интегральных многообразий нелинейных динамических систем рассматривается в [14], [15], [28], [29], [66]. Задаются два дифференциальных уравнения -точное и приближенное - разность между правыми частями которых есть асимптотически малая величина и устанавливается соответствие между интегральными многообразиями этих уравнений. В [149] теория периодических интегральных поверхностей применена к изучению эволюции свободных орбит спутников при движении вокруг сплюснутой Земли. При условии существования некоторого семейства периодических поверхностей исследована орбитальная устойчивость орбит. В [28] рассмотрен вопрос об устойчивости в задаче о движении вблизи треугольной точки либрации в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел, уравнения движения в которой имеют вид х-2у = их, у+2х = иу, У=С/г, где 17 = С/(х, у, г) - силовая функция.

Метод усреднения в небесной механике, восходящий к П.Лапласу [156], получившему с помощью усреднения теорему об отсутствии вековых возмущений первого порядка у больших полуосей, использовался затем в задачах небесной механики в работах К.Гаусса, Ш.Делоне, Г.Хилла, А.Пуанкаре, Н.Д.Моисеева и других ученых. Затем методы усреднения получили большое распространение в нелинейной механике (точнее, в теории колебаний). .Однако методы усреднения применялись без математического обоснования. Лишь Н.Н.Боголюбов [14] получил основополагающие результаты по обоснованию метода усреднения и установил связь между точными и усредненными уравнениями, состоящую в существовании замены искомых функций новыми функциями, определяемыми усредненными уравнениями различных порядков. Обоснование метода усреднения в многочастотных системах принадлежит Е.А.Гребеникову [26], В.И.Арнольду [7] и другим ученым.

Постановка задач аналитического построения систем программного движения, их решения, а также многие вопросы, относящиеся к программному движению механических систем, в частности, вопрос об устойчивости программного движения, довольно широко освещены в литературе (см. [18], [70], [71]). Исследования в области устойчивости программного движения проводились Н.Г.Четаевым, который изучал с помощью второго метода Ляпунова движение снаряда с постоянной массой. А.С.Галиуллин впервые рассмотрел вопрос об устойчивости программного движения тела переменной массы, применив первый и второй методы Ляпунова. Эти исследования были продолжены Р.Г.Мухарлямовым, И.А.Мухаметзяновым и другими представителями основанной А.С.Галиуллиным научной школы по обратным задачам динамики.

Установление устойчивости или неустойчивости заданного программного движения различных механических систем (анализ), а также построение устойчивых программ (синтез), составляет содержание задачи об устойчивости программного движения. Основные положения теории устойчивости применительно к поставленной задаче устойчивости программного движения содержатся в [18].

Вопросы линеаризации и регуляризации уравнений небесной механики обсуждаются в [94]. Относительно недавно возникшее направление в небесной механике, называемое линейной и регулярной небесной механикой [123], имеет целью решение задач небесной механики в аналитической или численной форме на базе регу-ляризирующего преобразования Кустаанхеймо-Штифеля [123]. Регуляризация, состоящая в устранении в дифференциальных уравнениях особых точек, возникающих при соударениях тел, была предметом исследований многих ученых. Регуляризация Кустаанхеймо-Штифеля (АЗ-регуляризация), помимо своего основного назначения, позволяет установить эквивалентность между кеплеровым движением и гармоническим осциллятором; такой подход к небесной механике принято называть линейным. Он требует перехода к избыточным переменным. Пусть задана система дифференциальных уравнений второго порядка х. = /г,{/, Ху, г = 1, ., п.

Произведем замены независимой и зависимых переменных ds=g~l(yj)dt, х;=Дуу), где ^ - новая независимая переменная (фиктивное время) и yj - новые координаты. Задача линеаризации заданной системы состоит в нахождении функций gvi.fi таких, чтобы в новых переменных (^у,) эта система была линейной с постоянными коэффициентами у"- + а^У^ + Ь^у- + =0, где штрих означает дифференцирование по суммирование производится по повторящимся индексам, коэффициенты а,у, Ь^, не зависят от ^у и их производных, но зависят от Можно обобщить постановку задачи о линеаризации, требуя, чтобы коэффициенты преобразованных уравнений были бы функциями только от С помощью ЛЗ-преобразования единообразно рассмотрены три типа кеплерова движения вне зависимости от величины эксцентриситета орбиты [123]. Невозмущенная задача двух тел описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, являющимися всюду регулярными уравнениями.

В линейной и регулярной небесной механике употребляется не только преобразование пространственных координат, но и преобразование физического времени -введение вместо времени других независимых переменных, причем время / фигурирует как координата, рассматриваемая в точности так же, как и геометрические координаты.

Применение эксцентрической аномалии в качестве независимой переменной имеет большое преимущество, состоящее в том, что координаты движущегося тела представляются замкнутыми выражениями от эксцентрической аномалии, а ряд Фурье возмущающей функции сходится по эксцентрической аномалии быстрее, чем по средней аномалии.

Регуляризация уравнений небесной механики часто приводит к упрочнению решений этих уравнений. Этот вопрос будет рассмотрен в главе 3 настоящей работы.

В настоящее время в небесной механике исключительно важную роль играет новое направление, получившее название КАМ-теории (теории Колмогорова-Арнольда-Мозера). Теорема А.Н.Колмогорова [47] этой теории произвела переворот в представлении о динамике гамильтоновых систем, близких к интегрируемым. А.Н.Колмогоров установил типичность квазипериодических движений га-мильтоновых систем. Пусть задана гамильтонова система с гамильтонианом H(p,q,£)=HQ(q)+zH\{p,q,z), аналитически зависящая от канонически сопряженных переменныхр и q, где переменные p=(ph.,pm) mod 2к принадлежат w-мерному тору Т, a q=(qx,.,qm) принадлежат открытой области пространства R'". Предположим, что о д Н0 о невозмущенная система невырождена в точке q : det —j- {q 0 и что частоты dq

П ^ ^ (\ п о = X{q ) = —-(q ) диофантовы на инвариантном торе {q=q } невозмущенной сис-dq темы.

А.Н.Колмогоров [47] установил следующий фундаментальный факт: инвариантный нерезонансный тор {q-q0} невозмущенной системы не разрушится при возмущении, а лишь слегка деформируется и будет по-прежнему нести квазипериодические движения с частотами X. Мозер [7] доказал теорему о сохранении квазипериодических движений для обратимых систем, а также показал, что теорема А.Н.Колмогорова остается справедливой также в случае достаточно гладкой зависимости Н от фазовых координат. Изоэнергетический вариант теоремы А.Н.Колмогорова, важный для задач небесной механики, формулируется так. Рассмотрим систему с гамильтонианом Ни предположим, что инвариантный тор {q=q°} невозмущенной системы лежит на уровне энергии {Я0=/г}, причем невозмущенная система изоэнергетически невырождена на этом торе и частоты X(q°) диофантовы. Тогда на уровне энергии {H=h} возмущенной системы лежит инвариантный тор, близкий к исходному, частоты на котором kX(q°) пропорциональны исходным и k=l+0(e). С помощью методов КАМ-теории В.И.Арнольд [7] продвинул решение задачи об устойчивости Солнечной системы.

Проблема N тел и ее частный случай - проблема трех тел - принадлежит к числу наиболее важных задач классической небесной механики. Хорошо известно, что до сих пор эта задача не решена в конечном виде (без использования степенных рядов) и, по-видимому, не имеет такого решения. Поэтому качественные исследования в этой области давно привлекали внимание как астрономов, так и механиков и математиков.

Основными направлениями качественного анализа в задаче многих тел являются: 1)- исследование устойчивости Солнечной системы; 2) исследование вопросов существования и устойчивости периодических и квазипериодических решений разных видов; 3) исследование поведения решений при парных и кратных столкновениях и близких прохождениях; 4) исследование финальных типов движений, т.е. исследование поведения решений при t—»со; 5) исследование геометрических свойств решений.

Работы А.Пуанкаре [84], [85], Н.Е.Жуковского [38], [39], А.М.Ляпунова [59], [60], Дж.Биркгофа [12], К.Зундмана [173], А.Н.Колмогорова [47], [48], Ж.Шази [143], О.Ю.Шмидта [122], Г.Ф.Хильми [106], [107], Ю.Д.Соколова [99], [100], К.А.Ситникова [97], А.П.Маркеева [63], А.Саари [168], [169], В.М.Алексеева [3], В.И.Арнольда [7], К.Маршала [158], Е.А.Гребеникова [28], [29], Ю.А.Рябова [28], [29] и других ученых внесли существенный вклад в качественный анализ проблемы А^тел небесной механики.

Обозначим через П, Т и / силовую функцию, кинетическую энергию и момент инерции системы относительно OeR3 в ньютоновой модели задачи многих тел. В [102] показано, что fâ<lIT.

В [162], [168], [169] были установлены следующие предложения об асимптотических свойствах функций r{f) : : = min rtj (t), R(t) : : = шах r(j (/), 'i 7 'j j где г,у(/)-взаимное расстояние между телами m¡ и rrij.

1) Если /к0, то функция r(t) ограничена; если h=0, то r(t)=0(t2'3) при t—»+oo; если к>0, то r(t)=0(t) при t—>+oo.

2) Если /к0, то R{t)>at при »оо; если h=0, то R(t)>bi2ß. Здесь а и b - положительные постоянные.

3) Если функция r{t) отграничена от нуля, то R(t)=0(t), ¿-»+оо; если R(t)=0(t), í—»oo, то среднее значение r{t) ограничено снизу.

4) Соотношение t~}R(t)-* 0 при »+оо имеет место тогда и только тогда, когда r(í)-»0 при f-»+ад.

5) Справедливо свойство: r(t)R (t) = 0(t ),t->+со. Если h<0 и функция r{t) ограничена, то r{t)R2{t) = 0(t2), t-^+cc.

6) Если /г=0, то или а) 3с>0 n{t)~cfm и 3d>0 I{t)~^df4n или 6)r(t)=0(t2ß) и Л0~| с/Г4/3-»оо при >-Ьоо.

7) Если h>О, то или а) Я(/)~аГ' для некоторого а>0, или б) r(t)=0(t2ß). В первом случае 1({)=Ы2 + at logt +0(t lgt), i—»+-со, во втором случае I(t)>ht2+afm.

8) В ньютоновой задаче многих тел могут представиться две возможности: или 1 7/1 t R(t)->+со при i—» со или г г® ¡t + 0(t ), i = 1,2,.,7V, где вектор со, может быть нулевым.

Геометрические свойства решений в ньютоновой модели задачи N тел исследованы в работах [98], [150], [157], [198]. Наиболее полные результаты о топологии траекторий в плоской проблеме N тел получены С.Смейлом [98]. В этом направлении много вопросов остаются открытыми. В работах И.У.Уолкера [184]—[186] получены признаки устойчивости в проблеме многих тел.

П.Лаплас [156] первый поставил задачу об устойчивости планетной системы и первый получил результаты на пути решения этой задачи. Результаты Лапласа были дополнены Лагранжем.

Теорема Лапласа об устойчивости планетной системы формулируется следующим образом. Пусть выполнены условия: 1) движение всех планет происходит в одном направлении; 2) массы всех планет mk (£=1,2,.,7V) одного порядка;

3) большие полуоси орбит а* являются колеблющимися и ограниченными функциями времени te(t0,T), мало изменяющимися около некоторых средних значений;

4) в некоторый начальный момент времени /0 все эксцентриситеты и наклоны h{to) малы. Тогда e^t) и ik(t) являются малыми функциями для всех значений te(t0,T).

Теорема Лапласа в сочетании с теорией вековых возмущений второго порядка позволяет лишь утверждать, что на конечном хотя, быть может, и весьма большом промежутке времени (тем большем, чем меньше массы планет) движение планет имеет квазипериодический характер. Такие движения были названы лагранжевыми движениями в планетной задаче.

Н.Г.Четаев [113] рассмотрел следующую постановку задачи об устойчивости планетной системы. Допустим, что установлена устойчивость в смысле Лапласа планетной системы для идеализированной ньютоновой модели.

Будем говорить, что планетная система устойчива в смысле Н.Г. Четаева, если она устойчива в смысле Лапласа и устойчивость сохраняется при учете всех других сил, действующих на планеты (например, сил, возникающих вследствие отличия формы планет от шаровой, сил сопротивления среды, сил притяжения малых планет и комет, а также звездных скоплений и т.д.).

Устойчивость Солнечной системы в смысле Н.Г.Четаева важна и ценна для небесной механики, так как только такая устойчивость гарантирует сохранение того "порядка" в Солнечной системе, который наблюдается в настоящее время. Кроме того, если окажется, что система обладает устойчивостью в смысле Н.Г.Четаева относительно всех или многих категорий реально действующих сил, то это будет означать, что теория движения системы материальных точек действительно может быть применена к реальной планетной системе, так что истинное движение планет можно аппроксимировать идеальной ньютоновой моделью гравитирующих тел.

Новые пути решения проблемы устойчивости траекторий больших планет под действием силы солнечного тяготения и малых взаимных сил тяготения наметились в работах А.Н.Колмогорова, В.И.Арнольда, Ю.Мозера, Е.А.Гребеникова и Ю.А.Рябова и других ученых.

Наконец, перечислим методы, используемые для изучения устойчивоподобных и геометрических свойств решений уравнения (1) небесно-механического типа.

Первый метод А.М.Ляпунова изучения устойчивоподобных понятий. Обзор по этому методу содержится в [37]; см. также [17], [30], [56], [80], [109].

Обобщенный первый метод А.М.Ляпунова изучения устойчивоподобных свойств. Этот метод развит в [13], [77], [110] и других работах для изучения устойчивоподобных свойств состояния равновесия и инвариантных множеств динамической системы.

Второй метод А.М.Ляпунова, называемый также прямым методом А.М.Ляпунова. Обзор по этому методу содержится в [89], [91]; см. также [92]—[94], [109], [112], [119].

Обобщенный прямой метод А.М.Ляпунова изучения устойчивоподобных и геометрических свойств решений. Рассматривается вспомогательная функция меняющая знак, и с помощью незнакопостоянной производной — Г(рс), определения ной в силу изучаемой системы, исследуется устойчивоподобные понятия для этой системы. Топографический метод А.Пуанкаре стал в настоящее время составной частью обобщенного прямого метода А.М.Ляпунова и как самостоятельный метод утратил свое значение. Метод нейтральных поверхностей В.В.Немыцкого [74]—[76] и метод определяющих контактных функций Н.Д. Моисеева [67] - [69] являются разновидностями обобщенного прямого метода Ляпунова. Этот метод развит в работах [50]-[52], [62], [74], [75], [79], [92], [ 119] и др.

Метод интегральных многообразий развит в работах [14], [17], [18], [27]—[29], [66], [70], [71], [149]; см. также [1].

Метод усреднения позволяет оценить тот промежуток времени, в течение которого разность решений точных и усредненных уравнений остается достаточно малой. Н.Н.Боголюбов [14] получил основополагающие результаты по обоснованию метода усреднения и установил связь между точными и усредненными уравнениями, состоящую в существовании замены переменных искомых функций новыми функциями, определяемыми усредненными уравнениями различных порядков. Обоснование метода усреднения для небесно-механических систем дано в [26]. Метод усреднения использовался в [15], [28], [29], [66] и др.

Метод полной интеграции изучения устойчивоподобных понятий используется в случае, когда общее решение изучаемой системы можно выразить в квадратурах. Обзор по этому методу содержится в [69]; см. также [44], [105], [109].

Метод неполной интеграции изучения устойчивоподобных понятий используется в случае, когда общее решение изучаемой системы неизвестно, а для изучения устойчивоподобного свойства используется некоторое число первых интегралов без использования остальных первых интегралов. Обзор по этому методу содержится в [69]; см. также [1], [44], [105], [109], [173]. К этому методу можно отнести и метод бесконечных рядов, состоящий в нахождении общего решения исследуемого уравнения в виде бесконечного сходящегося ряда. Обзор по этому методу содержится в [69]; см. также [44], [105], [109], [173].

Метод интегральных инвариантов использовался для изучения устойчивоподобных свойств в работах [12], [106], [107], [153], [157], [164], [165] и др.

Топологические методы (методы теоретико-множественной и алгебрайческой топологии) для исследования устойчивоподобных и геометрических свойств решений использовались в работах [9], [12], [17], [98], [105], [141], [150], [109] и др.

Тополого-аналитические методы, основанные на комбинированном применении топологических и аналитических методов, для исследования устойчивоподобного понятия того или иного типа использовались в работах [17], [105], [109] и др.

Тензорные и дифференциально-геометрические методы для исследования того или иного устойчивоподобного свойства применялись в работах [96], [4], [58], [103], [174], [175] и др.

Методы КАМ-теории для исследования устойчивоподобного свойства того или иного типа рассмотрены в [1], [7], [28], [47], [48] и др.

Итак, нами рассмотрены некоторые устойчивоподобные понятия, результаты и методы качественной небесной механики, относящиеся к теме настоящей работы. Перейдем к общей характеристике данной работы, посвященной развитию методов исследования качественных свойств траекторий уравнений небесной механики.

Общая характеристика диссертации

Актуальность темы. Развитие методов исследования качественных свойств траекторий уравнений небесной механики является актуальной задачей небесной механики. В работе рассматриваются следующие качественные свойства траекторий: устойчивоподобные свойства (понятия) - устойчивость в смысле Ляпунова, прочность в смысле Жуковского, орбитальная устойчивость, прочность в смысле Пуанкаре траекторий динамических систем в смысле Биркгофа и конкретных небесно-механических систем; геометрические свойства траекторий в целом в проблеме N тел; финальные (асимптотические) свойства траекторий при ><х> в проблеме//тел.

Понятие прочности в смысле Жуковского характеризуется свойством близости по метрике изображающих точек репараметризованных по времени невозмущенной и возмущенной полутраекторий, а не свойством близости синхронных точек невозмущенной и возмущенной траекторий, как это формулируется в определении устойчивости в смысле Ляпунова. Понятие прочности в смысле Пуанкаре траекторий состоит в совпадении невозмущенных траекторий со своими положительными продолжениями (пролонгациями).

Понятие прочности в смысле Жуковского для таких видов траекторий, как состояние равновесия и периодические траектории, совпадае т с понятием орбитальной устойчивости. Устойчивая в смысле Ляпунова полутраектория является прочной в смысле Жуковского, прочная в смысле Жуковского полутраектория является орбитально устойчивой, а орбитально устойчивая полутраектория является прочной в смысле Пуанкаре.

В то время как теория устойчивости Ляпунова достигла высокого уровня развития, теория прочности Жуковского не получила должного развития и многие вопросы в ней оказались открытыми. В связи с этим актуальной задачей качественной небесной механики является дальнейшее расширение и углубление понятийной базы теории прочности Жуковского, развитие методов исследования прочности в этой теории и нахождение признаков прочности траекторий в смысле Жуковского небесно-механических систем в конфигурационном и фазовом пространствах.

Для многих задач небесной механики, в том числе и задачи исследования устойчивости периодических орбит, понятия устойчивости и асимптотической устойчивости в смысле Ляпунова являются слишком жесткими понятиями. Асимптотическая устойчивость периодической траектории просто нереализуема в ряде важных случаев. Исследование вопроса об устойчивости планетной системы требует привлечения менее ограничительных устойчивоподобных понятий, например, орбитальной устойчивости траекторий. Поэтому актуальной задачей небесной механики является разработка новых устойчивоподобных понятий, менее жестких, чем понятие устойчивости в смысле Ляпунова. Такими устойчивоподобными понятиями являются прочность в смысле Жуковского и в смысле Пуанкаре, геометрическая прочность, различные типы орбитальной устойчивости (метрическая, топологическая и относительно совокупности двух фильтров).

Актуальность изучения новых устойчивоподобных свойств усиливается тем фактом, что, например, решения классических уравнений Кеплера неустойчивы в смысле Ляпунова, но прочны в смысле Жуковского.

Актуальность разработки нового качественного направления небесной механики - теории прочности Жуковского - возросла в связи с необходимостью изучения сложных траекторий. Исследование хаотических колебаний в детерминированных системах показало важность и актуальность понятия непрочности полутраектории в смысле Жуковского, так как это свойство сопутствует в таких системах хаотическим колебаниям.

Необходимость использования понятия прочности траектории в смысле Жуковского обусловлена также тем, что процедура регуляризации уравнений небесной механики вместе с временным преобразованием часто приводит к уравнениям, имеющим прочные в смысле Жуковского траектории, что является полезным особенно в случаях, когда решения первоначальных уравнений неустойчивы в смысле Ляпунова.

Важным направлением качественной небесной механики является решение задач регуляризации уравнений Кеплера, а также уравнений проблемы многих тел. В этом направлении Е.Штифелем и Г.Шейфеле на базе преобразования Кустаанхей-мо-Штифеля решены многие задачи регулярной небесной механики. Полученные результаты представляют значительный интерес для звездной динамики, астродинамики и теории численного интегрирования.

Представляется актуальным изучать такой тип регуляризации уравнений небесной механики, как упрочнение решений, ставящее своей целью нахождение такого преобразования времени или времени и координат в исходном уравнении, при котором заданное неустойчивое решение становится устойчивым в смысле Ляпунова для преобразованного уравнения. Если указанное преобразование осуществимо, то траектория изучаемого решения является прочной в смысле Жуковского для исходного дифференциального уравнения. В этой связи актуальное значение имеет нахождение алгоритмов упрочнения решений в таких задачах небесной механики, как невозмущенная и возмущенная задача Кеплера, проблема трех тел, проблема N тел и другие задачи.

Исследование асимптотических (финальных) свойств решений при ¿~>оо и исследование геометрических свойств решений проблемы N тел при N>3 также является актуальной задачей качественной небесной механики и звездной динамики. Хотя в указанных направлениях получены многочисленные результаты (Ю.Д.Соколов, Г.Ф.Хильми, Г.А.Мерман, К. А.Ситников, В.М.Алексеев, Е.А.Гребеников, Ю.А.Рябов, Ю.В.Батраков, С.Смейл, Д.Саари, В.Себехей, Г.Поллард и другие ученые), многие вопросы здесь остались нерешенными.

Объектом исследования являются общие динамические системы, а также дифференциальные уравнения 1) в возмущенной и невозмущенной задачах Кеплера, 2) в ньютоновой модели N тел, 3) обобщенной модели N тел Ю.Д.Соколова, 4) голономных консервативных систем с конечным числом степеней свободы.

Целью работы является развитие теории прочности траекторий уравнений небесной механики, исследование асимптотических и геометрических свойств решений проблемы многих тел небесной механики, а также решение некоторых задач теории устойчивости Ляпунова и теории орбитальной устойчивости.

Методы исследования. В диссертации использованы различные методы качественной теории и теории устойчивости Ляпунова, методы многомерной дифференциальной геометрии, а также разработанные или усовершенствованные автором диссертации методы исследования прочности и качественных свойств полутраекторий.

Научная новизна работы состоит 1) в разработке совокупности основных понятий теории прочности Жуковского - нового направления небесной механики, в разработке совокупности понятий орбитальной устойчивости и прочности в смысле Пуанкаре траекторий динамических систем, а также в установлении иерархии ус-тойчивоподобных понятий: устойчивости в смысле Ляпунова, прочности в смысле Жуковского, орбитальной устойчивости и прочности в смысле Пуанкаре траекторий общих динамических систем; 2) в разработке методов исследования теории прочности Жуковского; 3) в модификации, усовершенствовании и развитии ряда методов качественной небесной механики; 4) в алгоритмах упрочнения решений в невозмущенной и возмущенной задачах Кеплера, в ньютоновой проблеме N тел и других задачах небесной механики; 5) в решении задач о финальных и геометрических свойствах решений в классической ньютоновой модели и обобщенной модели Ю.Д.Соколова проблемы N тел небесной механики; 6) в решении ряда задач теории устойчивости Ляпунова; 7) в решении ряда задач орбитальной устойчивости движения.

Практическая значимость результатов и методов исследования состоит в том, что они могут найти применение в астродинамике и звездной динамике при изучении качественных свойств траекторий. Результаты могут быть также использованы при чтении курсов небесной механики, аналитической динамики, теории устойчивости и качественной теории динамических систем.

Достоверность полученных результатов базируется на корректности постановок исследуемых задач, строгом и обоснованном использовании аналитических и качественных методов, на их сравнении с результатами, полученными с помощью других методов. В диссертации даны полные математически корректные доказательства утверждений.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [1*]-[21*]. По теме диссертации и родственным к теме вопросам опубликованы работы [1*]-[60*] (см. список литературы, с. 281-286).

Личный вклад автора в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично диссертантом. В совместно опубликованных работах А.А.Шестакову принадлежат постановки задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах МГУ им. М.В.Ломоносова, ВЦ РАН, ГАИШ, РГОТУПС, РУДН, а также на различных научных конференциях.

Структура работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Главы состоят из параграфов, некоторые параграфы разбиты на пункты. В каждом параграфе принята сквозная нумерация формул и утверждений. При ссылках на формулы или утверждения, не входящие в текущий параграф (текущую главу), используется двойная (тройная)нумерация . Например, ссылка на лемму 3.5 означает ссылку на лемму 5 параграфа 3 этой же главы, а ссылка на теорему 4.7.5 - на теорему 5 §7 главы 4.

Обозначения. Приведем список некоторых обозначений, используемых в работе. - равно по определению;

Я, Я" - множество всех действительных чисел, всех неотрицательных действительных чисел и всех неположительных действительных чисел соответственно; го'°°)' К" - «-мерное евклидово пространство; х| или ||х|| - норма элемента.пространства К";

Х(() - множество всех взаимно однозначных и взаимно непрерывных отображений о множества на таких, что о(?о) = Аь ф : К+хК"—»Я" - динамическая система в смысле Биркгофа; ф(?,х): или (рх\ Я+—>11" - движение динамической системы, соответствующее решению ф(^,х) уравнения (1);

С(х), С+(х), С~(х) - траектория, положительная полутраектория, отрицательная полутраектория точки х е И." соответственно; ос(х), со(х) - альфа-предельное и омега-предельное множество точки хе Я" соответственно;

Н(х), Н+(х), Н~(х) - оболочка, положительная полуоболочка, отрицательная полуоболочка точки хе Я" соответственно; сЬс х = —--производная по времени ш х,у) или х у - скалярное произведение векторов х и у; у *

А или А - матрица, транспонированная к матрице А; А, дА - замыкание и граница множества А соответственно;

В(х,г) или Вг(х) - открытый шар радиуса г>О с центром в точке хеЯ"; дя Dg или gx - матрица Якоби вектор-функции ^(х); Эх

Сг - класс гладкости порядка г>0. Динамическая система ср класса С^ называется непрерывной, если г= 0, и гладкой, если г> 1; <з(*), с(») - функции Хана.

Благодарности. Автор выражает благодарность научному консультанту, руководителю семинара по теории устойчивости и качественной теории динамических процессов РГОТУПС доктору физико-математических наук профессору

A.А.Шестакову за внимание к работе, постановки задач и обсуждения полученных результатов. Автор выражает благодарность руководителям научных семинаров по аналитической механике и теории устойчивости МГУ им. М.В.Ломоносова академику В.В.Румянцеву, по нелинейному анализу Вычислительного Центра РАН доктору физико-математических наук профессору Е.А.Гребеникову, по динамическим системам классической механики МГУ им. М.В.Ломоносова члену-корреспонденту

B.В.Козлову, а также коллективу кафедры теоретической механики Российского университета дружбы народов и участникам семинара по аналитической и качественной небесной механике Государственного астрономического института им. П.К.Штернберга за обсуждения, советы и замечания.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении диссертации перечислим основные результаты, выносимые на защиту.

I. Развитие методов исследования в новом направлении качественной небесной механики - теории прочности Жуковского: метода уравнений в вариациях Жуковского вдоль репараметризованной траектории, а также методов, не использующих уравнений в вариациях Жуковского, в частности метода показателей прочности, качественного метода изучения прочности в смысле Жуковского с помощью свойств правой части уравнения и ее якобиана.

II. Развитие методов качественной небесной механики: метода определяющих контактных функций Н.Д.Моисеева, метода определяющих функций В.В.Степанова, метода семейств функций Ляпунова, метода нейтральных поверхностей В.В.Немыцкого исследования окрестности состояния равновесия, метода усреднения на бесконечном интервале на базе прочности траекторий.

III. Разработка ряда фундаментальных устойчивоподобных понятий: определение понятия прочности, асимптотической прочности, равномерной прочности в смысле Жуковского полутраектории динамической системы; конкретизация понятия прочности в смысле Жуковского для случая голономной консервативной системы; определение понятия прочности в смысле Пуанкаре полутраектории и полуоболочки движения; определение понятия орбитальной устойчивости относительно совокупности двух фильтров для полутраекторий динамических систем.

IV. Результаты о прочности траекторий уравнений небесно-механического типа: доказательство принципа сведения задачи о прочности в смысле Жуковского ограниченной полутраектории к задаче об устойчивости движения в смысле Ляпунова; доказательство ряда теорем об асимптотической прочности и непрочности по первому приближению ограниченной полутраектории, когда возмущения удовлетворяют некоторым условиям малости; доказательство теорем об асимптотической прочности и непрочности в смысле Жуковского ограниченных полутраекторий на базе свойств вогнутости и выпуклости некоторой скалярной функции, а также свойств слабой и строгой диагональной доминантности матрицы уравнений в вариациях Жуковского; доказательство теорем об асимптотической прочности и непрочности в смысле Жуковского неограниченной полутраектории с помощью свойств правой части уравнения и ее якобиана; доказательство признаков существования и асимптотической прочности периодических траекторий, в частности, обобщение теоремы Пуанкаре - Бендиксона.

V. Результаты о геометрических устойчивоподобных и асимптотических свойствах решений в проблеме N тел: доказательство теорем о финальных движениях в проблеме N тел; доказательство теоремы о том, что бифуркационное множество в обобщенной проблеме N тел определяется множеством центральных конфигураций; доказательство теорем о прочности траекторий в ньютоновой проблеме N тел и о прочности по первому приближению конфигурации относительных состояний равновесия в проблеме N тел равной массы.

VI. Результаты об орбитальной устойчивости траекторий уравнений небесной механики: доказательство неосуществимости орбитальной устойчивости в целом оболочки рекуррентного движения;, доказательство теоремы об орбитальной устойчивости периодической эллиптической траектории методом КАМ-теории для гамильтоновых стационарных систем с двумя степенями свободы; доказательство теоремы о связи прочности полутраектории в смысле Жуковского с орбитальной устойчивостью полу обол очки движения; доказательство признаков асимптотической орбитальной устойчивости периодической траектории.

VII. Результаты об упрочнении решений уравнений небесной механики: алгоритмы упрочнения решений невозмущенного и возмущенного уравнений Кеплера, алгоритм упрочнения решений в проблеме ./V тел (в частности, npnTV^ 3).

VIII. Результаты об устойчивости движения в смысле Ляпунова: обращение теоремы И.Г.Малкина об устойчивости в смысле Ляпунова многопараметрического семейства периодических движений; доказательство теорем о несохранении свойства асимптотической устойчивости в целом и о плотности свойства экспоненциальной устойчивости состояния равновесия при малых С^-возмущениях гладкой нелинейной динамической системы, доказательство существования в ньютоновой задаче трех тел семейства неустойчивых периодических решений (в синодической системе координат), периоды которых отличаются от периода порождающего решения на величины порядка малого параметра.

Перспективными направлениями развития темы диссертации являются:

1) развитие теории прочности траектории в смысле Жуковского в критических случаях, когда задача о прочности не решается уравнениями в вариациях Жуковского (членами первого порядка);

2) нахождение признаков асимптотической прочности и непрочности в смысле Жуковского неограниченных полутраекторий уравнений небесно-механического типа;

3) установление признаков прочности в смысле Пуанкаре полутраекторий уравнений небесно-механического типа;

4) дальнейшее исследование финальных, устойчивоподобных и геометрических свойств траекторий в проблеме N тел небесной механики.

1. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демин В.Г., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике (под ред. Г.Н.Ду-бошина). М.: Наука, 1976.

2. Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демин В.Г. Общее решение задачи о движении искусственного спутника в нормальном поле притяжения Земли // Сб. "Искусственные спутники Земли", 1961, № 8.

3. Алексеев В.М. Лекции по небесной механике / Библиотека "Регулярная и хаотическая динамика", гл. ред. В.В.Козлов. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

4. Аминов М.Ш. Об устойчивости некоторых механических систем // Тр. Ка-занск. авиац. ин-та, 1949, т. 24, с. 3 69.

5. Андронов A.A., Витт A.A. Об устойчивости по Ляпунову // ЖЭТФ, 1933, т. 3, вып. 3.

6. Андронов A.A., Понтрягин Л.С. Грубые системы // ДАН СССР, 1937, т. 14, № 5, с. 247 250.

7. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 3. Динамические системы-3. М.: ВИНИТИ, 1985.

8. Артемьев H.A. Осуществимые движения // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1939, №3, с. 361 367.

9. Барбашин Е.А. Метод сечений в теории динамических систем // Матем. сб., 1951, т. 29, №2, с. 233 -280.

10. Ю.Батраков Ю.В. О периодических решениях третьего сорта в общей задаче трех тел // Бюлл. Ин-та теор. астрономии АН СССР, 1955, т. 6, №2, с. 121 126.

11. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954.

12. Биркгоф Дж. Динамические системы. М.: Гостехиздат, 1941.

13. Богданов Ю.С. Исследование дифференциальных систем с помощью обобщенных характеристичных чисел // Дисс. . докт. физ.-мат. наук. Л., 1966.

14. Боголюбов H.H. Избранные труды. Т. 1. Киев: Наукова думка, 1969.

15. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

16. Брюм А.З., Савченко А.Я. Об орбитальной устойчивости одного периодического решения уравнений движения гироскопа Ковалевской // ПММ, 1986, т. 50, вып. 6, с. 967-973.

17. Былое Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966.

18. Галиуллин A.C., Мухаметзянов H.A., Мухарлямов Р.Г., Фурасов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971.

19. Галиуллин A.C., Шестаков A.A. Об определениях устойчивости механических систем // Тез. докл. XXXII науч. конф. ф-та физ.-мат. и ест. наук. Часть 2. М.: РУДН, 1996, с. 15- 16.

20. Галиуллин A.C., Шестаков A.A. Устойчивость движения и вариационные принципы динамики // Вестн. РУДН. Сер. Прикл. матем. и информатика. 1996, № 2, с. 20-28.

21. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

22. Герасимов H.A., Мушаилов Б.Р. Методы Пуанкаре и Ляпунова в небесной механике. М.: Изд-во МГУ, 1992.

23. Герасимов И.А., Мушаилов Б.Р., Ракитина Н.В. Качественные исследования движений в ограниченной эллиптической задаче трех тел при соизмеримости первого порядка // Астроном, вестн., 1994, т. 28, № 4 5, с. 186 - 200.

24. Герасимов И.А., Винников Е.Л., Мушаилов Б.Р. Канонические уравнения в небесной механике. М.: МГУ ГАИШ, 1996.

25. Голубев В.А., Гребеников Е.А. Проблема трех тел в небесной механике. М.: Изд-во МГУ, 1985.

26. Гребеников Е.А. Некоторые качественные исследования дифференциальных уравнений небесной механики //Дисс. . докт. физ.-мат. наук. М., 1966.

27. Гребеников Е.А. Существование интеграла Якоби дифференциальных уравнений ограниченной круговой ньютоновой задачи многих тел // Матем. моделирование, 1998, т. 10, №6, с. 118- 122.

28. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. М.: Наука, 1971.

29. Гребеников Е.А., Митропольский Ю.А., Рябов Ю.А. Введение в резонансную аналитическую динамику. М.: Янус-К, 1999.

30. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

31. Демидович Б.П. Об орбитальной устойчивости ограниченных решений автономной системы I, II // Дифференц. уравнения, 1968, т. 4, №4, с. 575 588; № 8, с. 1359 - 1373.

32. Дубошин Г.Н. К вопросу об устойчивости движения относительно постоянно действующих возмущений//Труды ГАИШ. 1940, т. 14, вып. 1,с. 153 164.

33. Дубошин Г.Н. Небесная механика (аналитические и качественные методы). М.: Наука, 1964.

34. Дубошин Г.Н. Небесная механика // Механика в СССР за 50 лет. Т. 1. М.: Наука, 1968, с. 321 -362.

35. Дубошин Г.Н., Моисеев Н.Д., Степанов В.В. О качественных методах современной небесной механики // Успехи астрон. наук. ГАИШ, сборник второй. М.-Л.: ГТТИ, 1940, с. 3-28.

36. Еругин Н.П. Приводимые системы // Труды Матем. ин-та им. В.А.Стеклова, 1946, т. 13.

37. Еругин Н.П. Первый метод Ляпунова // Механика в СССР за 50 лет. Т. 1. М.: Наука, 1968, с. 67- 86.

38. Жуковский Н.Е. О прочности движения // Ученые записки Московского университета. Отд. физ.-мат. 1882, вып. 4, с. 1 104.

39. Жуковский Н.Е. Кинематика жидкого тела // Матем. сб., 1876, т. 8, вып. 1, с. 1-79; вып. 2, с. 163 238.

40. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.

41. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М.: Высшая школа, 1982.

42. Зубов В.И. Новая форма уравнений движения в небесной механике // Доклады РАН, 1995, т. 341, № 1, с. 13 16.

43. Каменков Г.В. Избранные труды. Т. 1,2.- М.: Наука, 1971, 1972.

44. Коддингтон ЭЛ., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.

45. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела // М.: Изд-во МГУ, 1980.

46. Козлов В В., Фурта С.Д. Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1996.

47. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона//ДАН СССР, 1954,т. 98, № 4, с. 527-530.

48. Колмогоров А.Н. Общая теория динамических систем и классическая механика // Международный матем. конгресс в Амстердаме. М.: Физматгиз, 1961, с.187 208.

49. Кравчук А.Ю., Леонов Г.А., Пономаренко Д.В. Критерии сильной орбитальной устойчивости траекторий динамических систем I, II // Дифференц. уравнения, 1992, т. 28, №9, с. 1507 1520; 1995, т. 31, № 3, с. 440-445.

50. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

51. Кудаев М.Б. Классификация многомерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом функций Ляпунова // Дифференц. уравнения, 1965, т. 1, № 3, с. 346 356.

52. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964.

53. Леонов Г.А. Критерий орбитальной устойчивости траекторий автономных систем // Вестн. ЛГУ. Сер. матем., мех., астрономия. 1987, вып. 1, с. 26 29.

54. Леонов Г.А. Об орбитальной устойчивости траекторий динамических систем // ПММ, 1990, т. 54, вып. 4, с. 515-519.

55. Леонов Г.А., Пономаренко Д.В. Критерии орбитальной устойчивости траекторий динамических систем // Изв. вузов. Сер. матем. 1993, № 4, с. 88 94.

56. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1961.

57. Лукьянов Л.Г. Об устойчивости в первом приближении треугольных лагран-жевых решений ограниченной эллиптической задачи трех тел // Бюлл. Ин-та теор. астрономии АН СССР, 1969, т. 11, № 10, с. 693 704.

58. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961.

59. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Харьков: Изд-во Харьковского Матем. Об-ва, 1892, 250 с.

60. Ляпунов A.M. Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех телах // Сообщения Харьковского Матем. Об-ва, 2 серия, 1889.

61. Малкин И.Г. Об устойчивости периодических движений динамических систем // ПММ, 1944, т. 8, вып. 4, с. 327 331.

62. Малышев Ю.В. Методы обобщенных функций Ляпунова // Дисс. . докт. физ.-мат. наук. Свердловск, 1991.

63. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978.

64. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972.

65. Мерман Г.А. Качественные исследования в задаче трех тел//Бюлл. Ин-та теор. астрономии АН СССР, 1965, т. 6, № 10, с. 687 712.

66. Митропольский Ю.А., Хома Г.П. Математическое обоснование асимптотических методов нелинейной механики. Киев: Наукова думка, 1983.

67. Моисеев Н.Д. Очерки развития теории устойчивости. M.-JL: ГИТТЛ, 1949.

68. Мухарлямов Р. Г. Построение множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные интегралы // Дифференц. уравнения, 1967, т. 3, № 2, с. 180 193.

69. Мухарлямов P.P. О построении множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по интегральному многообразию // Дифференц. уравнения, 1969, т. 5, № 4, с. 688 699.

70. Мышее A.B. Порядок, хаос и фракталы в небесно-механических системах // Изв. АН. Сер. физическая. 1998, т. 62, № 9, с. 1907 1913.

71. Немьщкий В.В. О некоторых методах качественного исследования "в большом" многомерных автономных систем // ТММО, 1956, т. 5, с. 455 482.

72. Немьщкий В.В. Некоторые методы исследования в целом характеристик уравнения — = -^4 Н Вестн- мгу> 1961> № 5> с- 25 43dx Р\х,у)

73. Немыцкий В В. Топологическая классификация особых точек и обобщенных функций Ляпунова // Дифференц. уравнения, 1967, т. 3, № 3, с. 359 370.

74. Немыцкий В.В. Колебания в автономных системах // V летняя матем. школа. Киев: Изд-во АН УССР. 1968, с. 436 472.

75. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1949.

76. Осипов Ю.С. Геометрическая интерпретация задачи Кеплера // УМН, 1972, т. 27, вып. 2, с. 161.

77. Папуш П.Н. Изучение расположения интегральных кривых, заполняющих область, содержащую одну особую точку // Матем. сб., 1956, т. 38(80), № 3, с. 337- 358.

78. Персидский К.П. Избранные труды. Т. 2. Алма-Ата: Наука, 1946.

79. Петровский И.Г. О поведении интегральных кривых системы дифференциальных уравнений в окрестности особой точки // Магем. сб., 1934, т. 41, № 1, с. 107- 156.

80. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.: Наука, 1964.

81. ЪЪ.Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. 3. Непрерывные группы. М.:1. Наука, 1988.

82. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. M.-JL: ГТТИ, 1947.

83. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 1,2.- М.: Наука, 1971, 1972.

84. Рейн Н.Ф. Об устойчивости в смысле Якоби шести периодических орбит копенгагенской проблемы // Труды ГАИШ, 1940, т. 14, вып. 1, с. 116 126.

85. Румянцев В.В. Об устойчивости движения гиростатов // ПММ, 1961, т. 25, вып. 1, с. 9-19.

86. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. М.: Вычислительный Центр АН СССР, 1967.

87. Румянцев В В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения // Механика в СССР за 50 лет. Т. 1. М.: Наука, 1968, с. 7 - 66.

88. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутника-гиростата // Современные проблемы небесной механики и астродинамики. Труды Конф. по общим вопросам небесной механики и астродинамики. М.: Наука, 1973, с. 171 178.

89. Румянцев В.В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения // Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, № 5, с. 739 776.

90. Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987.

91. РушН., АбетсП., ЛалуаМ. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.

92. СебехейВ. Теория орбит. М.: Наука, 1982.

93. Сибирский К.С. Введение в топологическую динамику. Кишинев: РИО МССР, 1970.

94. Синдж Дж. Тензорные методы в динамике. М.: ИЛ, 1947.

95. Ситников К. А. О возможности захвата в задаче трех тел // Матем. сб., 1953, т. 32, №3, с. 693 -705.

96. Смет С. Топология и механика // УМН, 1972, т. 27, вып. 2, с. 77 120.

97. Соколов Ю.Д. О некоторых случаях пространственного движения в обобщенной задаче N тел // Сб. трудов ин-та матем. АН УССР. 1949, № 12.

98. Соколов Ю.Д. Особые траектории системы свободных материальных точек. Киев: Изд-во АН УССР, 1951.

99. Степанов В В. Об устойчивости по Якоби // Астрономический журнал, 1936, т. 13, № 5, с. 435 -449.

100. Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики. М.: Наука, 1967.

101. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. M.-JL: ОНТИ НКТП, 1937.

102. ХейлДж. Колебания в нелинейных системах. М.: ИЛ, 1966.105 .Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

103. Хильми Г.Ф. Проблема п тел в небесной механике и космогонии. М.: Изд-во АН СССР, 1951.

104. Хильми Г.Ф. Качественные методы в проблеме п тел. М.: Изд-во АН СССР, 1958.

105. Холшевников К.В. Преобразования Ли в небесной механике // Труды Томского гос. ун-та. Сер. астрон., 1973, вып. 1, с. 21 44.

106. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.

107. Челышева Л.А. Топологические свойства инвариантных множеств динамических систем // Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Кишинев, 1968.

108. Четаев Н.Г. Об устойчивых траекториях динамики // Учен. зап. Казанского ун-та, 1931, т. 21, вып. 4, № 1, с. 3 8.

109. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: ГИТТЛ, 1955.

110. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962.

111. Шестаков A.A. Некоторые теоремы о неустойчивости в смысле Ляпунова // ДАН СССР, 1951, т. 79, № 1, с. 25 28.

112. Шестаков A.A. Об асимптотическом поведении многомерных систем дифференциальных уравнений. М.: ВЗИИТ МПС СССР. Ученые записки. Труды кафедры высшей матем. и теор. мех., 1961, вып. 7, с. 3 104.

113. Шестаков A.A. О степенной асимптотике неавтономной однородной и квазиоднородной системы // Дифференц. уравнения, 1975, т. 11, № 8, с. 1427 1436.

114. Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1990.

115. Шмидт О.Ю. Четыре лекции о теории происхождения Земли. М.: Изд-во АН СССР, 1951.123 .Штифелъ Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М.: Наука, 1975.

116. ЯкобиК. Лекции по динамике. М.-Л.: ОНТИ НКТП, 1936.

117. Яров-Яровой М.С. Аналитическая теория движения космического корабля к Луне // Дисс. . докт. физ.-мат. наук. М., 1967.

118. Hadamard J. Sur certaines propriétés des trajectoires en dynamique // J. Math. Pures et Appl., 1897, 3(5 serie), p. 331 387.

119. Antosiewicz H., Dugundji J. Parallezable flows and Liapunov's second method // Ann. of Math., 1961, v. 73, p. 543 555.

120. Auslander J. Filter stability in dynamical systems // SIAM J. Math. Anal., 1977, v. 8, №4, p. 573 579.

121. Auslander J., Seibert P. Prolongations and stability in dynamical systems // Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 1964, v. 14, p. 237 267.

122. Baumgarte J. Numerical stabilization of the differential equations of Keplerian motions // Celest. Mech., 1972, v. 5, p. 490 501.

123. Baumgarte J. Eine kanonische Transformation für die Kepler-Bewegung, welche ohne Dimensionserhöhung die Zeit in die exzentrische Anomalie überführt// Zeitschrift für angewandte mathematik und physik, 1979, v. 30, p. 143 147.

124. Baumgarte J., Stiefel E. Stabilization by manipulation of the Hamiltonian // Celest. Mech., 1974, v. 10, № 1, p. 71 85.

125. Bendixson I. Sur les courbes définiés par des équations différentielles // Acta Math., 1901, v. 24, p. 1 88 (русский перевод главы I: О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями // УМН, 1941, т. 9, с. 191 - 211).

126. Bhatia N.P. Criteria for dispersive flows//Math. Nachr., 1966, v. 32, p. 89- 93.

127. Bhatia N.P. Attraction and nonsaddle sets in dynamical systems // J. of Differential Equations, 1970, v. 8, № 2, p. 229 249.

128. Bhatia N.P., Hajek O. Theory of dynamical systems. Technical Note BN-606. University of Maryland, 1969.

129. Bhatia N.P., Szegö G.P. Stability theory of dynamical systems. Berlin: SpringerVerlag, 1970.

130. Bohl P. Uber differentialungeichungen // J. fur die reine und angewandte mathematik, 1913, v. 144, № 4, 284 313.

131. Borg G. A condition for the existence of orbitally stable solutions of dynamical systems II Kungl. Tekn. Hogsk. Handl., Stockholm, 1960, v. 153.

132. Brauer F. Perturbations of nonlinear systems of differential equations (IV) // J. Math. Anal, and Appl., 1972, v. 37, p. 214 222.

133. Cabrai H.E. On the integral manifolds of the TV-body problem // Invent. Math. 1973, v. 20, p. 59-72.

134. Chazy I. Sur l'allure du mouvement dans le problème des trois corps // J. Mathem. Pures et Appl., 1929, v. 8.

135. Christov O. On the stability of Lyapunov's periodic solutions of a mechanical system with two degrees of freedom // J. of Theor. And Appl. Mech. Sofia. 1993, v. XXIV, № 2, p. 27 32.

136. Coppel W.A. Stability and asymptotic behaviour of differential equations. Monograph. Boston: Heath and Co., 1965.

137. Coppel W.A. Dichotomies in stability theory. Berlin: Springer-Verlag, 1978.

138. Deprit A., Henrard J. A manifold of periodic orbits // Advances in Astronomy and Astrophysics. Ed. by Z. Kopal. Academic Press, 1968, v. 6, p. 1 124.

139. Darwin G.H. Periodic orbits // Acta Math., 1897, v. 21, p. 99 242.

140. Deysach E.G., Sell G.R. On the existence of almost periodic solutions // Michigan Math. J., 1965, v. 12, p. 87 -95.

141. Diliberto S.P., Kayner W.T., Freund R.J. The application of periodic surface theory to the study of satellite orbits // Astronom. J. 1961, v. 66, № 3, p. 118- 128.

142. Easton R. Some topology of the 3-body problem // J. of. Differential Equations, 1971, v. 10, p. 371 377.

143. Elmabsout B. Sur l'existence des certaines configuration d'équilibre relatif dans le problème des n corns // Celest. Mech., 1988, v. 41, p. 131 151.

144. Hadjidemetriou J.D. The existence of families of periodic orbits in the TV-body problem // Celest. Mech., 1977, v. 16, p. 61 76.

145. Hagihara Y. Stability in celestial mechanics. Tokyo: Kasai, 1957.

146. Hartman P., Olech C. On global asymptotic stability of solutions of differential equations // Trans. Amer. Math. Soc., 1962, v. 104, № 1, p. 154 178.

147. Hartman P., Wintner A. Integrability in the large and dynamical stability // Amer. J. of Math. 1943, v. 62, № 2, p. 273 278.

148. Laplace P.S. Traite de mecanique celeste. Paris, Duprat. 1799, v. 1 ; 1802, v. 2.

149. Marchai C. Qualitative methods and results in celestial mechanics // Long-time predictions in dynamics. Eds. V. Szebehely, B.D.Tapley. Dordrecht Holland: Reidel Publishing Company, 1976. P. 181 208.

150. Marchai C. Regularization of the singularities of the TV-body problem // Applications of modern dynamics to the celestial mechanics and astrodynamics. Ed. V. Szebehely. 1982, p. 201 235.

151. Markoff A.A. Stabilitat im Liapounoffschen Sinne und Fastperiodizitat // Math. Zeitschrift, 1933, bd. 36, p. 708 738.

152. Massera J.L. Contributions to stability theory // Ann. of Math., 1956, v. 64, p. 182-206.

153. Pollard H. Mathematical introduction to celestial mechanics. N.J.: Prentice-Hall Inc., 1966.

154. Pollard H. The behavior of gravitational systems // J. Math, and Mech., 1967, v. 17, №6, p. 601 -611.163 .Pollard H., Saari D. Singularities of the «-body problem // Arch. Ration. Mech. and Analysis, 1968, v. 30, &4, p. 263 269.

155. Putnam C.R. On future and past stability in incompressible systems // J. Math, and Mech., 1957, v. 6, № 5, p. 669-672.

156. Putnam C.R. Unilateral stability and almost periodicity // J. Math, and Mech., 1960, v. 9, №6, p. 915-917.

157. Ricci G., Levi-Civita T. Methoda de calcul differential absolu et leurs applications // Math. Ann, 1900, v. 54, p. 125 201.

158. Routh E.J. Treatise on the stability of a given state of motion. London: MacMillan and Co, 1877.

159. Saari D. Expanding gravitational systems // Trans. Amer. Math. Soc, 1971, v. 156, p. 219- 240.

160. Saari D. The «-body problem of celestial mechanics // Celest. Mech, 1976, v. 14, p. 11 17.

161. Schwarz H.R. Stability of Kepler motion // Computer methods in applied mechanics and engineering, 1972, v. 1, p. 279 299.

162. Sell G.R. Periodic solutions and asymptotic stability // J. of Differential Equations, 1966, v. 2, p. 143 157.

163. Smith R.A. Some applications of Hausdorff dimension inequalities for ordinary differential equations // Proc. of the Roy. Soc. of Edinburgh Sect. A (Math.), 1986, v. 104, parts 3-4, p. 235 -289.

164. Sundman K.F. Mémoire sur le problème des trois corps // Acta Math, 1912, v. 36.

165. Synge J.L. On the geometry of dynamics II Phil. Trans. Roy. Soc. London, ser. A. 1926, v. 226, p. 31 106.

166. Synge J.L. Mechanical models of space with positive-definite line-element // Ann. of Math, 1935, v. 36, p. 650 656.

167. Thomson W., Tait P. Treatise on natural philosophy. V. 1. London: MacMillan and Co, 1867.

168. Tonelly L. Sulle orbite periodiche // Rendiconti dei Lincei. 1912, v. 21, nota la -p. 251, nota 2a p. 332.

169. Ura T. Sur les courbes definies par les équations différentielles dans l'espace à m dimensions II Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (3), 1953, v. 70, p. 287 360.

170. Ura T. Sur le courant extérieur à une region invariante; prolongements d'une caractéristique et l'ordre de stabilité II Funkc. Ekv, 1959, v. 2, p. 143 200.

171. Ura T. On the flow outside a closed invariant set; stability, relative stability and saddle sets//Contributions to differential equations, 1964, v. 3,№3,p. 249 294.

172. Varga R.S. Matrix iterative analysis. N.J.: Prentice-Hall Inc., 1962.

173. Vejvoda O. On the existence and stability of the periodic solution of the second kind of a certain mechanical system // Czechoslovak Math. J, 1959, 9(84), p. 390 415.

174. Walker I. W., Gordon Emslie A., Roy A.E. Stability criteria in many body systems, I // Celest. Mech, 1980, v. 22, p. 371 402.

175. Walker I. W., Roy A.E. Stability Criteria in Many Body Systems, II // Celest. Mech., 1981, v. 24, p. 195 -225.

176. Walker I. W., Roy A.E. Stability criteria in many body systems, III // Celest. Mech., 1983, v. 29, p. 117-148.

177. Walker I.W. Stability criteria in many body systems, IV // Celest. Mech., 1983, v. 29, p. 149- 178.

178. Whittaker E.T. On periodic orbits // Monthly Notices of the Roy. Astronomical Soc., 1902, v. 62, p. 186 193.

179. Xia Z. Central configurations with many small masses // J. of Differential Equations, 1991, v. 91, № l,p. 168.

180. Yoshizawa T. Stability of sets and perturbed systems // Funkc. Ekv., 1963, v. 5, p. 31-69.

181. Yoshizawa T. Stability theory and the existence of periodic solutions and almost periodic solutions // Appl. Math. Soc., 1975, v. 14.

182. Работы автора по теме диссертации и близким к теме вопросам

183. Признаки асимптотической прочности и непрочности движения динамической системы // Доклады РАН, 1997, т. 355, № 4, с. 476 478.

184. Исследование прочности по Жуковскому траекторий гладких динамических систем с помощью функций Ляпунова // Доклады РАН, 1998, т. 362, №2,с. 198-201. *

185. Критерий асимптотической устойчивости состояния равновесия механической системы с частичной диссипацией // Вестн. РУДН. Сер. Прикладная математика и информатика. 1996, № 2, с. 29 31.

186. Критерий устойчивости в смысле Ляпунова семейства периодических решений//Доклады РАН, 2000, т. 371, №3, с. 329-332.

187. О структуре устойчивого в смысле Ляпунова аттрактора (совм. с А.А.Шестаковым) II Доклады РАН, 2000, т. 371, № 6, с. 770-772.

188. Устойчивость линейных и возмущенных линейных систем с сосредоточенными и распределенными параметрами. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М.: РУДН, 1994.

189. Признаки прочности и непрочности движений голономной консервативной системы // Оптимальное функционирование, сохранение устойчивости и надежность систем железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РГОТУПС,1996, с. 79-81. *

190. Еругинские чтения III". Брест, 1996, с. 71. *

191. Достаточный признак асимптотической прочности неограниченного движения динамической системы (совм. с Л.А.Шестаковым) // Тез. докл. матем. конф.

192. Еругинские чтения III". Брест, 1996, с. 72.

193. Теорема о прочности движения на базе свойства вогнутости (совм. с А.А.Шестаковым) II Тез. докл. XXXIII науч. конф. ф-та физ.-мат. и ест. наук. Матем.секции. М.: РУДН, 1997, с. 33.

194. Метод показателей исследования динамической прочности инвариантного множества (совм. с А.А.Шестаковым) // Колебания, прочность и устойчивость движения в задачах механики транспортных систем. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РГО1. ТУПС, 1998, с. 27 32.

195. Показатели прочности инвариантного множества нестационарного дифференциального уравнения (совм. с А.А.Шестаковым) // Тез. докл. Международной матем. конф. "Еругинские чтения V". Могилев, 1998, с. 25.

196. Критерий асимптотической прочности множества траекторий динамической системы // Тез. докл. Международной матем. конф. "Еругинские чтения V". Могилев, 1998, с. 26.

197. Об исследовании асимптотических свойств обобщенным прямым методом Ляпунова (совм. с А.А.Шестаковым) // Устойчивость, прочность и надежность систем подвижного состава железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РГОТУПС, 1999, с. 14 16.

198. Финальные свойства движений в ньютоновой и обобщенной задачах многих тел // Устойчивость, прочность и надежность систем подвижного состава железнодорожного транспорта. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РГОТУПС, 1999, с. 58 -63.