Интегрируемость и стохастичность в задаче N-тел тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

1 ВВЕДЕНИЕ

2 О ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧИ iV ТЕЛ И НЕКОТОРЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ

3 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ N ТЕЛ В СЛУЧАЕ БОЛЬШИХ СКОРОСТЕЙ БЕЗ СБЛИЖЕНИЙ

3.1 ОДИНОЧНЫЕ ТЕЛА.

3.2 ОГРАНИЧЕННАЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ.

3.3 ДВОЙНЫЕ ПОДСИСТЕМЫ.

3.4 ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

3.5 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАНЕТНЫХ СИСТЕМ ОТНОСИТЕЛЬНО СОСЕДНИХ ЗВЕЗД.

4 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ В СЛУЧАЕ БОЛЬШИХ СКОРОСТЕЙ С ОДНИМ СБЛИЖЕНИЕМ

4.1 ПОРОЖДАЮЩИЕ РЕШЕНИЯ.

4.2 ПОСТРОЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ И СХОДИМОСТЬ ПИКАРОВСКИХ ИТЕРАЦИЙ.

5 СВОЙСТВА ПОРОЖДАЮЩИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ

5.1 МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ СФЕР

5.2 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОРБИТЫ ПРИ ГРАВИТАЦИОННОМ МАНЕВРЕ.

5.3 О МАКСИМАЛЬНОЙ СКОРОСТИ, СОВМЕСТИМОЙ С ЗАХВАТОМ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКУЮ ОРБИТУ

5.4 КЕПЛЕРОВЫ ОРБИТЫ СОУДАРЕНИЯ.

5.5 МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПОРОЖДАЮЩИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ.

5.6 О СТРУКТУРЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ

В ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ.

5.7 ДОСТИЖИМЫЕ КЕПЛЕРОВЫ ОРБИТЫ В СЛУЧАЕ ПЛАНЕТ С НУЛЕВЫМИ НАКЛОНАМИ И ЭКСЦЕНТРИСИТЕТАМИ.

5.8 ДОСТИЖИМЫЕ КЕПЛЕРОВЫ ОРБИТЫ В СЛУЧАЕ ОДНОЙ ПЛАНЕТЫ С НЕНУЛЕВЫМ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТОМ ОРБИТЫ

5.9 ВОЗМОЖНОСТИ ПЕРЕХОДА МЕЖДУ КЕПЛЕ-РОВЫМИ ОРБИТАМИ В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ.

5.10 ПРИМЕРЫ ПОРОЖДАЮЩИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ И ИХ СВОЙСТВА.

6 О ТРАЕКТОРИЯХ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ ПОРОЖДАЮЩИМ СТОХАСТИЧЕСКИМ ДВИЖЕНИЯМ

6.1 МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПО ПОРОЖДАЮЩИМ РЕШЕНИЯМ.

6.2 ПРИМЕРЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ ТРАЕКТОРИЙ

6.3 О ВОЗМОЖНОСТИ ПОСТРОЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ, БЛИЗКИХ К ПОРОЖДАЮЩИМ РЕШЕНИЯМ

ГЛАВА 7 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными целями настоящей работы было развитие методов решения небесномеханической задачи N тел. а также получение качественных свойств и количественных характеристик некоторых типов траекторий, в том числе представляющих интерес для астрономии и механики космического полета.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Метод получения точных решений задачи N тел для всех значений времени в случае больших энергий вне тесных сближений, оценки области применимости этого метода. Сходимость пикаров-ских итераций для всех значений времени. Интегрируемость задачи N тел в случае больших энергий вне тесных сближений.

2. Метод получения точных решений ограниченной задачи трех тел для всех значений времени в случае больших энергий с одним сближением.

3. Свойства и методы построения порождающих стохастических движений в гравитационном поле Солнечной системы. В том числе: метод построения порождающих недетерминированных движений: априорные оценки возможностей гравитационных маневров; области достижимости порождающих стохастических траекторий; характеристики некоторых семейств порождающих траекторий.

4. Методы построения стохастических траекторий, соответствующих порождающим движениям, позволяющие обосновать применимость порождающих движений. Апробация этих методов на семействах стохастических решений ограниченной задачи трех тел.

Прокомментируем эти положения.

1. Представлена конструктивная методика, позволяющая получать как траектории с произвольной точностью для всех значений времени, так и оценки различных характеристик движений, их качественные свойства, а также оценки области применимости разработанных методов. Представлены оценки области применимости в ряде конкретных ситуаций. В частности, дано списание областей, где задача N тел интегрируема в классическом смысле слова. Эти области устроены сравнительно просто, занимают большой обьем в пространстве начальных данных и параметров. Параметры, соответствующие интегрируемым случаям, имеют умеренные размеры и вполне могут встречаться в астрономических задачах. В частности, интегрируема задача о движении Солнца, планеты и пролетающей звезды при значениях параметров того же порядка, что и в реальности.

2. Методика получения решений в случае с одним сближением является развитием методики в случае без сближений. Комментарий к п.1 в основном можно отнести и к п.2, за исключением "интегрируемости в классическом смысле слова".

3. Конструктивность предлагаемых методов построения порождающих стохастических движений иллюстрирует программа "Странник", позволяющая находить быстрые экономичные перелеты с гравитационными маневрами в Солнечной системе. Найденные траектории могут представлять интерес для проектирования космических экспедиций. Свойства порождающих движений, любопытные сами по себе, позволяют рационально организовать поиски траекторий с нужными свойствами в необъятном множестве "хаотических" движений. Для предварительного рассмотрения возможностей космических экспедиций, выбора схем траекторий, числа маневров и последовательности планет, с которыми происходят сближения, можно проводить априорные оценки элементарными методами. Интересной представляется возможность достижения произвольной орбиты из широкого естественного множества с помощью только пассивных гравитационных маневров.

4. Предлагаемый конструктивный алгоритм позволяет установить существование траекторий неупрощенной задачи N тел, близких к построенным порождающим стохастическим движениям. Этот алгоритм использует отрезки траекторий, полученные с помощью численного интегрирования неупрощенных уравнений движения. Теоретические соображения свидетельствуют о том, что во многих случаях итерации должны сходиться. Приведенные численные примеры демонстрируют эффективность построения стохастических решений в ограниченной задаче трех тел. Использование дополнительных соображений (интеграл Якоби) позволяет объяснить наблюдаемую хорошую сходимость итераций.

Полученные результаты допускают дальнейшее развитие во многих направлениях. Речь идет об уточнении областей применимости разработанных методов и применении этих методов в различных конкретных задачах. Конкретизируем это утверждение.

На базе рассмотренной модификации метода Пикара возможно построение эффективных численных алгоритмов и программ, по крайней мере такая попытка представляется целесообразной. Расширение области применимости метода на другие варианты задачи N тел, а не только на рассмотренные в главе 4 случаи с одним сближением, представляется перспективным. Как известно, во многих случаях динамическая эволюция в задаче трех и большего числа тел приводит к распаду. Это позволяет надеяться на получение полного описания движений в таких случаях. Возникает желание обобщить классическое понятие интегрируемости на ситуации, аналогичные рассмотренным в главе 4.

Структура получаемых порождающих стохастических движений сложна. Однако данное ее математическое описание позволяет исследовать множество возможных движений, ориентироваться в "хаотическом лесу", составленном из деревьев - графов. Прежде всего представляются интересными многочисленные оптимизационные задачи механики космического полета.

Обоснование применимости ТГС-аппроксимаций, конечно, никак нельзя считать завершенным. Более эффективная программная реализация метода построения неупрощенных траекторий позволит уточнить область применимости порождающих решений и степень близости порождающих решений к точным. Далека от полного решения также интригующая задача об обосновании на бесконечном интервале времени в рассматривамых стохастических случаях.

1. Алексеев В.М. Обмен и захват в задаче трех тел. 1956. Доклады Академии Наук СССР, т. 108, N4, с.599-602.

2. Алексеев В.М. Квазислучайные динамические системы. I. Квазислучайные диффеоморфизмы. 1968. Математический сборник, т.76, N1, с.72-134.

3. Алексеев В.М. Квазислучайные динамические системы. II. Одномерные нелинейные колебания в периодически возмущаемом поле. 1968. Математический сборник, т.77, N4, с.545-601.

4. Алексеев В.М. Квазислучайные динамические системы. III. Квазислучайные колебания одномерных осцилляторов. 1969. Математический сборник, т.78, N1, с.3-50.

5. Алексеев В.М. Финальные движения взадаче трех тел и символическая динамика. 1981. Успехи математических наук, т.36, N4, с.161-176.

6. Алексеев В.М. Лекции по небесной механике. 2001. Ижевск. 156с.

7. Антонов В.А. Соотношение упорядоченности и беспорядка в движении тела в гравитирующей системе. 1983. Докторская диссертация. Ленинград, 161с.

8. Арнольд В.И. Малые знаменатели. III. Малые знаменатели и проблемы устойчивости в классической и небесной механике. 1963. Успехи математических наук, т.18, N6, с.81-192.

9. Арнольд В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы. 1964. Доклады АН СССР, т. 156, N1, с.9-12.

10. Батраков Ю.В., Емельянов Н.В. О поверхности влияния планеты. 1995. Астрономический Вестник, т.29, N 3, с.266-274.

11. Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. 1977. М.: Наука.

12. Белецкий В.В., Хентов А.А. Резонансные вращения небесных тел. 1995. Нижний Новгород. Нижегородский гуманитарный центр. 430 с.

13. Биркгоф Дж. Динамические системы. 1941 (1927). M.-JL, Госте-хиздат.

14. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотичесие методы в теории нелинейных колебаний. 1963. Физматгиз.

15. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. 1990. М., Наука, 296с.

16. Быкова JI.E., Тимошенко JI.B. Околоземные астероиды: сближения с большими планетами, трансформация орбитальных элементов. 1998. Труды Томского госуниверситета. Астрономия и геодезия, вып. 16, с. 183-238.

17. Ван дер Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. 1935. Связьиздат.

18. Вашковьяк М.А. Эволюция орбит в ограниченной круговой двукратно осредненной задаче трех тел. 1. Качественное исследование. 1981. Космические Исследования, t.XIX, вып.1, с.5-18.

19. Вашковьяк М.А. Эволюция орбит в ограниченной круговой двукратно осредненной задаче трех тел. 2. Количественные характеристики. 1981. Космические Исследования, t.XIX, вып.2, с.165-177.

20. Вашковьяк М.А. Эволюция орбит астероидов, не принадлежащих основному поясу. 1981. Космические Исследования, t.XIX, вып.4, с.528-538.

21. Всехсвятский О.К . Гулиев А.С. Система колец Урана — пример эруптивной эволюции спутников планет. 1981. Астрономический журнал, т.58. вып.З. с.630-635.

22. К.Г.Георгиев, О.В.Папков. Траектории полета к Юпитеру с использованием гравитационного поля Марса. 1978. Космические Исследования, t.XVI, N1, с.38-43.

23. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. 1971. М. Наука, 444с.

24. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. 1979. М., Наука, 442с.

25. Джаблави А.И., Кузнецов Э.Д., Холшевников К.В. Оптимизация одноимпульсных полетов. 1995. Космические Исследования, т.ЗЗ, N6, с.646-651.

26. Дубошин Г.Н. (ред.) Справочное руководство по небесной механике и астродинамке. 1976. М., Наука, 864с.

27. Дубровин Б.А., Кричевер И.М., Новиков С.П. Интегрируемые системы. I. 1985. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-4. М., ВИНИТИ, с.179-285.

28. Емельяненко В.В. Динамическая эволюция комет и метеорных роев. 1993. Докторская диссертация. Челябинск, 310с.

29. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. 1984. М., Наука.

30. Иванов В.В., Кривов А.В., Денисенков П.А. Парадоксальная Вселенная. 175 задач по астрономии. 1997. Издательство Санкт-Петербургского университета. 144с.

31. Казимирчак-Полонская Е.И. Основные задачи исследования сближений комет с большими планетами. 1961. Труды ИТА АН СССР, вып.VII, с.3-18.

32. Казимирчак-Полонская Е.И. Обзор исследований тесных сближений короткопериодических комет с Юпитером (1770-1960). 1961. Труды ИТА АН СССР, вып.УИ, с.19-190.

33. Казимирчак-Полонская Е.И. Движение кометы Вольфа в сфере действия Юпитера в 1922г. и представление ее наблюдений в 1925г. 1961. Труды ИТА АН СССР, вып.УИ, с. 191-312.

34. Казимирчак-Полонская Е.И. Численная теория движения кометы Вольфа на интервале 1884-1984 гг. 1982. Труды ИТА АН СССР, вып.XVIII, с.3-77.

35. Кастель Г.Р. Современное состояние исследования трангнепту-новых обьектов. 2000. Материалы конференции "Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века", ИПА РАН, Санкт-Петербург, с.283-284.

36. Коган А.Ю. Орбиты с периодическими облетами Луны и их применение в радиоинтерферометрии со сверхдлинной базой. 1986. Космические Исследования, t.XXIV, вып.1, с.52-57.

37. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамиль-тоновой механике. 1983. Успехи математических наук, т.38, N1, с. 3-67.

38. Козлов В.В. О группах симметрий динамических систем. 1988. Прикладная математика и механика, т.52, N4, с.531-541.

39. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. 1954. Доклады АН СССР, т.98, N4, с.527-530.

40. Колмогоров А.Н. Общая теория динамических систем и классическая механика. 1961. Серия "Современные проблемы математики". Международный математический конгресс в Амстердаме 1954 г. (обзорные доклады). Гос.изд-во физ.-мат. литературы, М., с.187-208.

41. Корнфельд И.П., Синай Я.Г. Фомин С.В. Эргодическая теория. 1980. М., Наука, 384с.

42. Собрание трудов акад. А.Н.Крылова, т.VII, 1936.

43. Кузнецов Э.Д., Соколов JI.JI. Нелинейная эволюция орбиты спутника баллона. 2001. Космические Исследования, т.39, N6, с.648-656

44. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. 1984. М., Мир.

45. Ляпунов A.M. Собрание сочинений, т. I. 1954. Изд. АН СССР.

46. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. 1952. Гостехиздат.

47. Мерман Г.А. К вопросу об исследованиях Шази в задаче трех тел. 1954. Бюллетень института теоретической астрономии АН СССР, 5:9(72), с.594-605.

48. Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения. 1968. Успехи математических наук, т.23, N4, с.179-238.

49. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. 1987. М., Наука, 424с.

50. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. 1975. М., Мир, 304с.

51. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. 1990. М., Наука, 448с.

52. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. 1970. М., Наука, 280с.

53. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды (в трех томах), т. I 1971, 772с., т. II 1972, с.8-452. М., Наука.

54. Сафронов B.C. Эволюция допланетного облака и образование Земли и планет. 1969. М., Наука, 224с.

55. Себехей В. Теория орбит. 1982. М., Наука, 156с.

56. Странные аттракторы. Сборник статей. 1981. Серия: Математика. Новое в зарубежной науке. Перевод под ред. Я.Г.Синая и Л.П.Шильникова. М., Мир, 256с.

57. Ситников К.А. О возможности захвата в задаче трех тел. 1956. Математический сборник, т.32(74), N3, с.693-705.

58. Соколов Л.Л., Холшевников К.В. Об интегрируемости задачи N тел. 1986. Письма в "Астрономический журнал", т. 12, N7, с.557-561.

59. Соколов Л.Л., Холшевников К.В. О точном решении задачи N тел в области больших энергий. 1987. Труды Астрономическойобсерватории Ленинградского университета, т.41, вып.63, с.175-193.

60. Соколов JI.J1. О построении аналитических решений задачи N тел. 1990. Аналитическая небесная механика, под ред. К.В.Холшевникова. Изд. Казанского университета, с.11-17.

61. Соколов Л.Л., Титов В.Б., Холшевников К.В. О свойствах некоторых движений космического аппарата вблизи Юпитера. 1990. Вестник Ленинградского Университета, серия 1, вып.З, с.107-112.

62. Соколов Л.Л., Титов В.Б. Траектории КА с гравитационными маневрами. 1991. Вестник Ленинградского Университета, серия 1, вып.З, с.111-114.

63. Соколов Л.Л. Решения задачи трех тел и случайные процессы. 1991. Вестник Ленинградского Университета, серия 1, вып.4, с.30-38.

64. Соколов Л.Л. О решении неинтегрируемых задач динамики. 1997. Proceedings of the International Conference "Structure and Evolution of Stellar Systems", Petrozavodsk, Karelia, Russia, 13-17 August 1995. St.Petersburg, 1997, p.16-22.

65. Соколов Л.Л. Орбиты соударения и квазислучайные движения. 2000. Материалы конференции "Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века", Санкт-Петербург, ИПА РАН, с.225-226.

66. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. 1968. М., Наука, 800с.

67. Суханов А.А. Двойные облеты планет в космических полетах. 1993. Препринт 1858 ИКИ РАН, М., 38с.

68. Томанов В.П., Кузьмин С.В., Аксеновский А.Г. Захват межзвездных комет. 1994. Астрономический вестник, т.28, N2, с.83-94.

69. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. 1937. ОНТИ НКТП СССР, Гл. ред. технико-теоретической литературы. M.-JL, 500с.

70. Хильми Г.Ф. О возможности захвата в задаче трех тел. 1948. Доклады Академии Наук СССР. t.LXII, N1, с.39-42.

71. Холшевников К.В., Мищук Ю.Ф. Влияние звездных сближений на планетные орбиты. 1983. Вестник Ленинградского Университета, N 7, с. 72-81.

72. Холшевников К.В. Асимптотические методы небесной механики. 1985. Учебное пособие. Издательство Ленинградского университета, 208с.

73. Холшевников К.В. Об интегрируемости в небесной механике. 1990. Аналитическая небесная механика, под ред. К.В.Холшевникова. Изд. Казанского университета, с.5-10.

74. Цицин Ф.А., Чепурова В.М., Генкин И.Л. Реликтовый резервуар кометных тел как источник пыли в Солнечной системе. 1989. Кометный циркуляр, N 405, с.5-7.

75. Шевченко И.И. Исследование некоторых проблем устойчивости и хаотического поведения в небесной механике. 2000. Докторская диссертация. Санкт-Петербург, 257с.

76. Шмидт О.Ю. О возможности захвата в небесной механике. 1947. Доклады Академии Наук СССР, 582, с.213-216.

77. Шустер Г. Детерминированный хаос. 1988. М., Мир, 240с.

78. Batrakov Yu.V., Kudiellka V. On possible transfer of interstellar comets to the family of NEO. 1993. Тезисы докладов конференции "Астероидная опасность-93", ИТА РАН МИПАО, Санкт-Петербург, с.56-57.

79. Bekker L. On capture orbits. 1920. Monthly Notices Royal Astron. Soc., v.809, p.590-597.

80. Belorizky D. Recherches sur l'application pratique des solutions g£n6rales du ргоЫёте des trois corps. 1933. J. des Observ., 16, p.109-132, 149-172, 189-211.

81. Bolotin S.V., Mac-Kay R.S. Periodic and Chaotic Trajectories of the Second Species of the A^-Center Problem. 2000. Celestial Mechanics a.nd Dynamical Astronomy, v.77, p.49-75.

82. Bruno A.D. On periodic flybys of the Moon. 1981. Celestial Mechanics, v.24, p.255-268.

83. Hills J.G., Dissly R.W. Close encounters between star-planet systems and stellar intruders. II. Effect of the mass and impact velocity of the intruder. The Astronomical Journal, v.98, N 3, p.1069-1082.

84. Laplace P.S. Exposition du Systёrлe du Monde. 1796. Paris.

85. Laskar J. Large-scale chaos and marginal stability in the Solar system. 1996. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, v.64, N2, p.115-162.

86. Longuski J.M., Williams S.N. Automated design of gravity-assist trajectories to Mars and the outer planets. 1991. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, v.52, p.207-220.

87. Mullary A.A., Orlov V.V. Encounters of the Sun with nearby stars in the past and future. 1996. Earth, Moon and Planets, 72, p. 19-23.

88. Oort J.H. The structure of the cloud of comets surrounding the solar system and hypothesis concerning its origin. 1950. Bull, of the Astron. Inst, of the Netherlands, v.ll, N408, p.91-110.

89. Patel M.R. et al. A Uranus-Neptune-Pluto opportunity. 1995. Acta Astronautica, v.36, N2, p.91-98.

90. Smale S. Diffeomorphisms with many periodic points. 1965. Differential and Combinatorial Topology (ed. S.S. Cairns). Princeton University Press, p.63-80.

91. Sokolov L.L. Families of Integrable and Stochastic Trajectories in the АГ-Body Problem. 1995. Astronomy and Astrophysics Transactions, v.7, N4, p.275-276.

92. Sokolov L.L. On Conditions of the A^-Body Problem Integrability. 2001. Proceedings of the International Conference "Stellar

93. Dynamics: from Classic to Modern", held in Saii't Petersburg, August 21-27, 2000, ed. L.P.Ossipkov, I.I.Nikiforov, p.243-247.

94. Sokolov L.L. On the Comet Capture Conditions. 2001. Proceedings of the International Conference "Stellar Dynamics: from Classic to Modern", held in Saint Petersburg, August 21-27, 2000, ed. L.P.Ossipkov, I.I.Nikiforov, p.255-259.

95. Sukhanov A.A. Trajectory design for the mission "Hannes". 1996. Acta Astronautica, v.39, N1-4, p.25-34.

96. Sundman K.F. Memoire sur le ргоЫёте des trois corps. 1912. Acta math., 36, p. 105-179.118| Torbett M.V. Capture of V^ = 20km/c interstellar comets by three-body interactions in the planetary system. 1986. The Astronomical Journal, v.92, N1, p.171-175.

97. Valtonen M.J., Innanen K.A. The capture of interstellar comets. 1982. The Astrophysical Journal, v.255, p.307-315.

98. Weissman P.R. et al. Close Approachess of Stars to the Solar System. 1997. Bulletin of the American Astronomical Society, v.29, N3, 29th DPS Meeting Abstracts, p.1019.