Интегрируемость и стохастичность в консервативных динамических системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Г / ' О | / / Л ! ? - V ■

(гц • ^ - / { и « а

УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

физический факультет

(На правах рукописи)

Симаков Николай Николаевич

УДК 530.1

ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ И СТОХАСТИЧНОСТЬ В КОНСЕРВАТИВНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Специальность 01.04.02 - Теоретическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -кандидат физ.-мат. наук А. В. Борисов

Ижевск 1999

Оглавление

1. Интегрируемые задачи вихревой динамики. 9 1.1. Движение двух точечных вихрей внутри цилиндрической области. 9

1.1.1. Алгебраическая классификация.........................9

1.1.2. Бифуркационный анализ............................................11

1.1.3. Симплектические координаты....................................12

1.1.4. Бифуркационные диаграммы задачи..............13

1.1.5. Возможность динамического коллапса..........................15

2. Неинтегрируемые задачи вихревой динамики. 19

2.1. Движение двух точечных вихрей вне круговой области во внешнем стационарном течении......А: . • • • .................19

2.1.1. Общие уравнения движения. . . ......................19

2.1.2. Движение двух точечных вихрей в набегающем с постоянной скоростью потоке..................................20

2.1.3. Стационарные конфигурации..................23

2.2. Неинтегрируемость задачи о движении трех точечных вихрей в цилиндрической области........................29

2.3. Стационарные конфигурации в задаче о движении трех вихрей внутри цилиндрической области....................33

3. Неинтегрируемость и сценарии развития стохастичности в динамике твердого тела с одной неподвижной точкой. 42

3.1. Бифуркации удвоения периода в динамике твердого тела......42

3.1.1. Состояние проблемы хаотизации периодических процессов в динамических системах через последовательность бифуркаций кратного увеличения периода..............42

3.1.2. Методика построения последовательности бифуркаций удвоения периода периодических решений уравнения Эйлера-Пуассона.............................45

3.1.3. Результаты численных экспериментов..........................57

3.2. Численное доказательство неинтегрируемости уравнений Эйлера-

Пуассона....................................................................60

3.2.1. Постановка задачи........................60

3.2.2. Построение сепаратрис отображения Пуанкаре........62

3.2.3. Результаты численного эксперимента.............63

7 о

Список литературы.

Введение.

Диссертационная работа посвящена исследованию динамических эффектов, наблюдающихся в консервативных динамических системах из различных разделов математической физики. Их исследование имеет значение, как для теории так и для приложений.

Первые две главы диссертации посвящены исследованию задач вихревой динамики. Теория вихревого движения имеет давнюю историю. На ее основе Декарт пытался объяснить движение планет, построить модель Вселенной [2]. Математическое описание процессов, связанных с движением завихренности в жидкости было предложено в 1858 г. Г. Гельмгольцем [44]. Первые исследования были в основном направлены на создание объясняющей инерцию и гравитацию "вихревой теории материи" (эфиродинамика, атом Кельвина и т.д.). В настоящее время интерес к вихревой динамике связан с изучением природных процессов в атмосфере и в океане, с исследованием процессов отрыва потока, сопротивления движению тел в жидкости и т.д. Задачи изучения движения точечных вихрей, в областях с твердыми неподвижными границами, возникли на раннем этапе исследования вихревых структур. Простейший случай движения одного точечного вихря в идеальной жидкости, ограниченной одной плоскостью, рассмотрен Г. Гельмгольцем [47]. При этом используется метод зеркальных отображений, в котором влияние границы заменяется взаимодействием с вихрем противоположной по знаку интенсивности, зеркально симметрично расположенным к исходному, что позволяет обеспечить выполнение граничных условий. Такой способ инверсии широко используется при решении задач гидродинамики.

Общая теория движения вихрей в произвольной области была заложена в работах Э. Рауса [45] и детально разработана Ц.Ц. Линем [46]. Согласно этой теории, движение N точечных вихрей с интенсивностями к\. ..к^ в односвя-занной области описывается гамильтоновой системой с N степенями свободы, в которой роль сопряженных переменных выполняют декартовые координаты особенностей.

1 дН . 1 дН .

К* ОУг кг ОХг

Интегрируемость этих систем зависит от числа вихрей и от вида области, в которой происходит движение.

На плоскости движение вихрей интегрируемо, если число вихрей не превышает трех. Задача о движении двух точечных вихрей на плоскости была полностью изучена Г. Гельмгольцем [34], который установил, что в общем случае два вихря совершают равномерное вращательное движение вокруг центра

завихренности с координатами

N N

12 кхХх kiУi

Х = Ц-= (0.2)

12 ^г 12 к{

¿=1 1=1

и частотой

п = ^ («■»)

где г расстояние между вихрями, являющееся интегралом движения. В случае вихревой пары центр завихренности находится на бесконечности, а два вихря движутся поступательно. Задача о движении трех вихрей значительно сложнее. Бе интегрируемость была отмечена Гребли [35] и Пуанкаре [36]. В работе [35] содержится анализ различных траекторий системы, в [36] указан полный набор некоммутативных интегралов. Классификацию пуассоновых структур, а так же бифуркационный анализ движения вихрей можно найти в работе [37]. Система четырех вихрей на плоскости уже неинтегрируема. Неинтегрируемость ограниченной постановки задачи была доказана в [38]. В работе [56] особое внимание уделено развитию методов численного анализа рассматриваемых систем, что позволяет получить результаты о поведении системы, недоступные для современных аналитических методов.

В замкнутой односвязанной области, уравнения движения вихрей значительно усложняются. В работе [39] методом расщепления сепаратрис показана неинтегрируемость системы двух вихрей в области, которая не обладает вращательной симметрией.

Задача о движение двух точечных вихрей в цилиндрической области интегрируема и изучалась в работах [40, 41]. В первой главе диссертации дается новый более полный анализ этой задачи, основанный на качественных методах исследования приведенной системы [37]. Излагаемый подход опирается на представлении уравнений движения на алгебре Ли и изучении регуляри-зованной системы. Данный метод позволяет исследовать проблему взаимного слияния (коллапса) вихрей, и дает более ясное геометрическое представление о структуре приведенного фазового пространства задачи.

Во второй главе диссертации методом расщепления сеператрис доказана неинтегрируемость ограниченной постановки задачи о движении трех вихрей внутри цилиндрической области. Исследована устойчивость особых точек системы, описывающей взаимное движение вихрей, в зависимости от значения интеграла момента.

В работе так же исследовано движение вихрей за цилиндром при наличии набегающего потока. Эта модель впервые была рассмотрена Фепплем [55] и ей уделялось значительное внимание, в виду ее математической простоты и связи с моделями вихревых дорожек. Наиболее простой является задача о движении

симметричной вихревой пары за цилиндром. Линии тока, такой модели хорошо согласуются с экспериментом для течений с числом Рейнольдса В.е = ^ в интервале 5 < Ее < 30.

Во второй главе также получены уравнения движения N вихрей вне цилиндрической области при наличии внешнего потенциального течения. Выполнен качественный анализ этой задачи для случая двух вихрей произвольной интенсивности. Найдены стационарные вихревые конфигурации и исследована их устойчивость в зависимости от скорости набегающего потока.

Третья глава диссертации посвящена качественному исследованию динамических эффектов, сопровождающих развитие хаоса в неинтегрируемых гамиль-тоновых системах. На сегодняшний день известен ряд сценариев развития критических явлений (перехода к стохастичности). Эти сценарии не зависят от конкретного вида динамической системы и в этом смысле являются универсальными.

Одним из наиболее известных сценариев развития хаоса в системе является сценарий Фейгенбаума. Впервые универсальность Фейгенбаума была обнаружена в классе одномерных диссипативных отображений отрезка на себя [5]. Особенный интерес представляет наличие универсальности в классе двухмерных отображений сохраняющих площадь, которые представляют поведение гамиль-тоновых систем с двумя степенями свободы. Этот вопрос достаточно полно изучен на примере простейших модельных отображений в работах [7, 8, И]. Особый интерес вызывает изучение последовательности бифуркаций удвоения в реальных динамических системах, для которых фактически невозможно применение одних лишь аналитических методов исследования.

В третьей главе работы, рассмотрена классическая задача о движении тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой, которое описывается уравнениями Эйлера-Пуассона

М = М х АМ - д (г х 7), 7 = 7 х АМ, М, 7 е И3, (0.4)

где А - обратный тензор инерции; М, 7 - соответственно векторы кинетического момента и единичного орта вертикали в системе координат жестко связанной с телом; г = (х, у, г) - радиус-вектор центра масс в этой же системе координат; ¡л - вес тела. В работе исследован сценарий перехода к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения при изменении параметров системы и полной энергии. Показано, что развитие локальной неустойчивости в системе и увеличение стохастического слоя сопровождается бесконечной последовательностью бифуркаций удвоения, обладающей универсальным асимптотическим поведением.

Уравнения Эйлера-Пуассона (3.7) могут быть сведены на уровне геометрического интеграла С = (т>7) и интеграла площадей К = (М, 7) к двухстепенной гамильтоновой системе с гамильтонианом

Н = 1/2 (АМ,М) -/х(г,7). (0.5)

Для таких систем возможна визуализация движения при помощи сечения Пуанкаре.

Важным для приложений, является нахождение и исследование устойчивости частных, опорных решений, которые определяют общую структуру фазового портрета системы. В реальных динамических системах, как правило, решение этой задачи невозможно без применения численных методов исследования.

В третей главе работы, также исследовано строение фазового портрета отображения Пуанкаре, в зависимости от значения энергии и параметров системы. В работе показано, что в динамике твердого тела можно выделить класс периодических решений, поведение которых определяет общую структуру фазового портрета системы. Этот класс периодических решений был получены продолжением по энергии периодических решений из конуса Штауде (на решениях из конуса Штауде достигается экстремум гамильтониана при фиксированных значениях первых интегралов).

Проблема интегрируемости и неинтегрируемости в динамике твердого тела занимает одно из центральных мест. Особенно много усилий было потрачено на поиски интегрируемых случаев. Многое было сделано русскими учеными (C.B. Ковалевская, С.А. Чаплыгин, A.M. Ляпунов, Н.Е. Жуковский, В.А. Стеклов). Впоследствии в работах Пуанкаре, Кирхгофа было показано, что интегрируемые случаи являются изолированными в пространстве параметров. Строгое доказательство неинтегрируемости в при различных значениях параметров системы (0.4) содержится в работах [25, 27, 28, 30, 33]. В третьей главе диссертации приведено численное "доказательство" неинтегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона, для тех значений параметров, при которых не известно аналитического доказательства. Это доказательство основано на явлении расщепления сепаратрис (поверхностей заполненных траекториями, асимптотически приближающимися к гиперболическим периодическим решениям при t ±оо). Расщепление сепаратрис является одним из динамических эффектов, препятствующих интегрируемости уравнений движения динамических систем и приводящим к стохастичности. В интегрируемых системах сепаратрисы, исходящие из двух различных гиперболических периодических решений, сдвоены или вообще не имеют общих точек. В общем случае эти сепаратрисы расщепляются и можно показать, что в случае трансверсального пересечения сепаратрис система не имеет полного набора аналитических интегралов [3].

В аналитическом подходе исследование расщепления сепаратрис сводится к вычислению интеграла Пуанкаре-Мельникова, который возникает при анализе величины расщепления в первом порядке теории возмущения вблизи интегрируемого случая. В некоторых случаях его удается вычислить с помощью вычетов [4]. Более сложной с аналитической точки зрения является ситуация, когда расщепление сепаратрис имеет более высокий порядок по малому параметру или экспоненциально мало. В этом случае для анализа существует мало конструктивных критериев. Численные методы позволяют изучать поведение

сепаратрис в этой ситуации, а так же вдали от интегрируемых случаев. В работе выполнен численный анализ площади между участками пересекающихся сепаратрис. Эта величина инвариантна относительно канонических преобразований (в отличие от угла между сепаратрисами в точке их пересечения) и была предложена С. В. Болотиным в качестве меры неинтегрируемости (стохастич-ности). В работе построен график зависимости площади от параметров системы. Из полученного графика следует, что точное интегрирование уравнений Эйлера-Пуассона возможно только в известных классических интегрируемых случаях.

Глава 1.

Интегрируемые задачи вихревой динамики.

1.1. Движение двух точечных вихрей внутри цилиндрической области.

1.1.1. Алгебраическая классификация.

Движение системы N точечных вихрей внутри цилиндрической области в отсутствии диссипации описывается гамильтоновой системой 2И уравнений [34]

а 2т

N

-к а

= 1 ^01

N

+ Е

0=1 - —

(1.1)

где га — ха + гуа, Ха,Уа декартовы координаты вихря, ка его интенсивность. Эта система имеет два независимых первых интеграла: интеграл момента

N

И — ^ кагага

а=1

и гамильтониан

Н = ~1Г 47Г

N а=1

а* - гаг*а

N

+ какр\ъ.

а„0=1

2а - гр

й —

(1.2)

(1.3)

При N <2 указанных интегралов достаточно для полного интегрирования задачи. Рассмотрим другое представление задачи. В качестве динамических переменных, аналогично [42], введем квадрат взаимного расстояния между вихрями, квадраты расстояний вихрей до центра области и площадь, натянутую на вихри и центр области.

Р\2 = _ (г2 - К) . Д = 5*2 Л Р\ — 212*, Р2 = 22*2.

(1.4)

Уравнения движения могут быть записаны как гамильтонова система, определяемая скобкой Ли-Пуассона вида

{А,Р1} = -йг(Р12-Р1-Ра), {Д>Рз} = (Р12 - А - р2) , (1.5)

и гамильтонианом

* = -ь И + **1п Л + ьь 1п а2,12+(/4)(а2.,2)] • (1.6)

Скобка Ли-Пуассона является вырожденной и обладает двумя центральными функциями. Первая (линейная) функция представляет собой интеграл момента

£> = к\р\ + к2р2, (1.7)

другая возникает из геометрического соотношения Герона, связывающего площадь треугольника с его сторонами.

^ = (4А)2 + р\ + р\р\2 - 2 (рхРг2 + Р2Р12 + Р1Р2) • (1.8)

В общем случае, алгебра Ли Пуассона, порождаемая структурой (1.5) является прямой суммой алгебры К, натянутой на вектор £) и некоторой трехмерной алгебры. Оказывается, что тип трехмерной алгебры определяется знаком произведения интенсивностей. Действительно, выберем базисные вектора в виде

в! = Ау/\к1к2\, е2 = ^ (р!2 - Р1 ~ Р2) \l\hhе3 = ^ {кхрх - к2р2). (1.9)

Коммутационные соотношения принимают вид

{еье2} = зтд{к1к2)еъ, {ез,ег} = е2, {е2,е3} = е1. (1.10)

При условии к\к2 > 0 получим в соответствии с классификацией Бьянки [43] алгебру 50(3), а при условии кхк2 < 0 алгебру 50(2,1). Такая структура алгебраического разложения приводит к тому, что динамика приведенной системы будет эквивалентна движению некоторой "изображающей" точки на симплекти-ческом листе, который в случае к]_к2 > 0 является двумерной сферой с радиусом, определяемым значением линейной функции Казимира

+ '(1-11)

а в случае к\к2 <0 двухполостным гиперболоидом

е? + е2 " е23 = - QD) . (1.12)

При D = 0 гиперболоид вырождается в конус с вершиной в начале координат.

В силу граничных условий в обоих случаях реальное движение вихрей финитно и определяется условием

0 < pi < а2, 0 < р2 < а2. (1.13)

Условие (1.13) выделяет на симплектическом листе некоторую область. Эта область возможных движений (ОВД) есть часть сферы или гиперболоида ограниченная плоскостями е3 = const. Заметим, что введенные координаты описывают взаимное движение и легко обобщаются на случай N вихрей, с правой линейной частью скобок Ли-Пуассона.

1.1.2. Бифуркационный анализ.

Запишем первые интегралы движения вихрей в виде

D = к\Х\ + к2х2, ^ 14v

Н = к\ ln(xi) + к\ ln(x2) - kik2 (1п(:гз) - 1п(а:гз + Х\Х2)), где для удобства введены координаты

xi = а2 - ръ х2 = а2 - р2, х3 = рг2. (1.15)

Для того, чтобы получить более полное представление о возможных типах движениях изучим фазовый портрет регуляризованной системы. Если ввести новое регуляризованное время

dr = ± 8А 1б)

dt xix2xz(a2x3 + ххх2)'

то уравнения движения принимают вид

„2 _2 а _ / „2 _2

Х\ — к2Х¿2 — kiX^X2i

¿з = х3(а2х3(к1х2 - к2хг) + xix2(ki + к2)(х2 - Xi)).

В пространстве хг,х2,х3 уровень линейного интеграла момента задает плоскость. Неравенства £1,2,3 > 0 выделяют на �