Методы качественного исследования гамильтоновых систем, близких к интегрируемым тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

. ¿13 l; -

i s-

Москов er -¿1 ордена Ленина, Ордока Трудового Красного Зча;.:з:::; :: ордена 0:'Л'л5рзс::оЛ газод-™;: госуда?с?геш:кЛ унигзрохсо? ■"'■о:::: ".3..1о:.;о;:ооона

» »TV/ I тр » » J> гчти ( ц ^рг,,,.^,^... . , , tr-

IIa прапах рукописи

Метода качсстьемногс "селслсзагпгя гаг.сгльтоноЕцх спстс;.:, к ;:н7о,

01.02.01 - теоретическая г:з;сан;:::а

дпссертадгп: на сомскапи-» учоноЛ степс:-::: доктора фхзкко-л<ате :/.ат::чесy.:zc >:ау;с

Yc4 13 «•

1 слота зыполкона на кс$одро теоретической механика :.:охги-:-::-:о-:.'Лто:.:ат::ческого факультета ".ооновского государствен!!« ул^ворсхтота М.З.Ло:.;о"ссога.

оппополта - доктор фкз^'.о-глате.-латотескях наук, А.II.Марксов ; •

- чле:-:-:;орр. РАЯ, профессор А.Т.Ооменко

- доктор (¿хз;:хо-:.:ате:.:ат;:ческкх наук, профессор Ю.Г.Павле::ко.

Ведущая органкзащя - Вычислительна: центр РАН

'Защита дпссертад:::: сос :о::тся ¡2 МСИЛ 12Э2 г. в 16 час ::а засола:-::-::: спсд::сл::з:гроБа:-::-:-?о Совета Д.053^05.01 Ж по :.:с::ан::::с пр:: Московском государственном университете ил. М.Б.Ломоносова по ц-рссу: 11280-9, Госквг, 1о:п:::с:с:о гори,' У.ГУ, :.:о:са:-::и-:о-:.:ато:.'Лтпчес:с?. факультет, с.уд. 16-10.

Автореферат разослан « 1992 г.

С д::ссертац;:о:: :.:о::и:о ознакомиться з бпблиотоке кеханшео-у.ате;.:атнчоскзго уакультота г.!ГУ эта").

спепиелпзпревгклогп Совета

Д.СЗЗ.ОГпр:: Щ) . 'В.В.^Ао/

. „ "' | ОБДЛЯ ХАРЛК73?:'СГ;ССЛ РАБОТЫ.

¿¿д./

Актуальное тт> тоу'. Кс1с нззестно, типичная га^льтонопа спстома ляется неинтегр::руе.\:о" как з с.'.^слз ::свог"о,:^:ост:: :галс:: рссзнпя язнсм виде наг:р™ср, с помогцбэ квадратур , та:-: :: в с:-.теле ответим достаточного количества неаавхсг:;::: пори:;: интегралов, кчнна заключается з сло;:а:ом позс^снни Сазових траекторий, полузаем в сЗ>из:гческол литературе название хаотичности пли стохас-яеости. Такое голодание дел застреляет во-первнх, уделять особое зшание вопросам качественного анализа, а во-вторых, рассглтр::-1ТЬ некоторые специальные хотя и достаточно ~прокко классы :сте:.:. Гамильтонэвн системы, близкие к :штегрпруз:.":м, образует ;:гл кз таких классов. Широков распространение таг.;::: систем з прядениях сочетается с возможности) их подробного анализа. Папом-2.:, что А.Пуаккарз назвал задачу исследования га:л::л1-.то::овн:: сис-близких к :п1тегр:груе:.:км "основной задачей дц::а:.алаГ.

Цель пабот:.'. Анализ траекторий гампльтоковнх с:: с тс:.:, близких пктегрируэмкм, а так:::е исследование этих с::сте:.: с точ:и зрения зуга вопросов. сзяз.ч::н1!х с услозкпмя их полно:: интегрируемости.

. Сгзегние результаты диссертации такозы.

1. Налден крдтзр:::; дзллсИ интегрируемости обратимой гааЕЛЬТО-ово;: система с тор.."озх::л пространством поло:::ени:;, б:пд1зариант-ол кннетпческо;: энерглгГ :: лотопдиельпол энергией, яа"тя.™е::ся р::гоно:.;етр1гческ:г,: полиноме:.:. С:ода относитсяв частности, задача

д-энмекип частиц с периодическим потбкцяслса.

2. Получена полная классификация интегрируемых гамлльтоновых истем с экспоненциальным взаимодействием - обобщенных цепочек 'ода.

3. Для аналитических систем обнхкоЕенннх дидаеренциальннх ураз-

нений введен нови": инвариант - число Ковалевской. Показано, чт у вполне интегрируемых обобщенных цопочек Тоды число Ковалевск максимально.

4. Наедены необходимые условия сохранения инвариантных ыног образа!; га\:нльтоновой системы при малом возмущении системы.

5. Найдены условия, при которых инвариантный резонансный то интегрируемой по Лнувиллю гамнльтоновой с;:сто:лы при возмущении но распадается полностью, а пороздает семейство гиперболических инвариантных торов возмущенной системы. Показано, что наличие гдааьчьтоновой системы большого количества гиперболических торо несовместимо с ее интегрируемостью.

6. Показано, что расщепление поверхностей, асимптотических гиперболическому тору интегрируемой гакильтоновой системы, сое во;здаотся роздением большого количества семейств гиперболпчеси торов.

?.' Найдены условия применимости теории KAM в системах с удг «км взаимодействием.

Плаутическая ценность. Диссертация носит теоретический xaj тер. Ее результат могут быть использованы при изуче^ш пробло интегрируемости гамильтоновых систем; при последовавши траектс систем, близких к интегрируемым,а также при анализе механизма нпкно^енпя стохастпчности. Результаты главы 5 могут оказаться лезаюли при изучении гнтенсивно обсуждаемого математиками и ф! ками гипотетического явления - диффузии Арнольда.

Аттт\*чЧ".:г;я ту.боты. Результаты диссертации докладывались:

- на заседаниях семинара ".Динамические системы классической ш кика" под руководегзоы В.З,Козлова и С.В.Болотина в 1938-1290

- ко семинаре по дхнашяеекид системам под руководством Д.З.'Аз

ова п А.М.Степина в 1989 г.

• на семинаре под руководством В.В.Румянцева и Ю.А/Архангельского I 1988 г. и 1992 г.

■ на семинаре ЛИЛП под руководством В.<2.Лазуткина в 1989 г.

• на семинаре ИШ АН СССР под руководством А.Ю.Кплишжого я иМ.Югимова в 1992 г.

• на семинаре по классической динамике под руководством В.Г.'Деми-1а в 1992 г.

Публикации.- Основные результаты диссертации опубликована в 5отах, лерэчисленных в конце автореферата.

Структура диссертанта. Диссертация излолсена на 209 страницах I состоит из о глав и одного добавления.' Библиография содержи-Э1 наименование

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дается обзор работ, относящихся к теме диссертации и излояены основные результаты диссертации.

Оставшуюся часть работы условно модно разбить на две части.' Первая часть главы 1-3 посвящена проблеме полкой интегрируемости гамильтоновшс систем, близких к интегрируемым. При определенных ограничениях на вид функции Гамильтона удается получить классификацию интегрируемых случаев. Результаты первой части получены автором совместно с В.В.Козловым [2— 4]. Во второй части

глава 4-6 исследуются задачи, связанные с существованием и

* '

свойствами инвариантных многообразий гачильтоновых систем. К таким многообразиям относятся, в частности, инвариантные торы, а-также поверхности, асимптотические к шал. Результаты, содержащиеся в главах 4-6, получены автором в статьях. [5,б].

где

Ктизко;': к интегрируемой называется гамнльтонова система

V -ЪН/гХС: , i> k = i.....m ,

= н,<.%)+£ ил»,. г,£). а;

Псрсмекнне н значение з обдаст:: пространства P.m,

переменкие X обнчно предполагается углозк:.::: (то есть Х. = .ипи хоти з г-азад 2 и 3 мн будем считать, что Х<£;-2'п. Параметр ■ является малнм. *1у:;;;:;:1Л /—/ предполагается аналитической по see аргумента:.: класса и з главз ^ .

В ncpEOii главе рассматривается гам;:льтоногы системы, близкие к ;штегр::руе:д;ч, , что j-j0 -■положительно определенная квадратична? С-орма с постоянннми козогдцнентамн: / ; "L

"о Л jTTTi Jk ¿ij <Г^ ' jk fcj

a I-!t - j-i^ (_3i) тригонометрическни полном. При зто:.г (¡"упкцдя играет роль кинетическоГ: энерг:п:, а ¿Ц, — роль потенциала. С 'г/, имеет з::д

.¿<т,х>

скобка-.:;: < 5 > обозначено стандартное снадярноа ..роиззед! п::о в .л!"' , а множество iii с2"', очезпдно, конечно и анза] антно относительно ;н:зол2д:н: Т -*- -Т .

Спг.-.о:.:: такого в::да часто встречается в приложениях. В част-пост::, при (,)=<,> (то есть прд = z

П - ZL ^. 'X• - X • } получаем :--~асе::ческнн вариант системы i jU 4 u

Гроес-лсв?, дородо известной в теоретической сизине.

рассматриваемо систему интегрируемой по Пуанкаре, оедд нг_"„'.;тсл >~>\ пор:дд; интегралов в виде стеденггд: рядоз

хя * г—С" О

аналитическими коэффициентами, причем функции Ь0 , ..., ~0 >чти всюду независимы. Основным результатом главы I является Теорема 1.1 [2]. Гамильтонова система с гамильтонианом д+^Н^ интегрируема по Пуанкаре тогда и только тогда, когда >чки множества Щ. расположены на с1ип прямых, ортого-ально в ыетрике ( , ) пересекающихся в начале коорд:пгат.

Следствие. При П >2. система Гросс-Иевё коинтегр:грусма по ¡гаккаре.

Из теорем: 1.1 так:::о следует, что рассматриваемая система ин-эгрируема по Пуанкаре тогда и только тогда, когда после подае-здей линейной замени переменные в гамильтониане И, разделяются.

Объектом исследования второй глаш являются гом^гльтоновы снс-емы с гамильтонианами вида

у= й ^ > -да - отличные от нуля зеществен._^е числа, с^ - ненуловыо

¡ектори аз Й • Множество назовем спектром с::с-

•емы.

Такие системы называются обобщенными цепочками Тоды. В частности, в случае

т .

шеем периодическую цепочку Тоды. Поиском интегрируемых обобщенна цепочек Тоды занимался ряд математиков: И.Бно, Г.Флаи'ка, З.В.Манаков, О.И.Богоявленский, М.Ольшанецки.!, А.и.Переломов,

Б.Костант, Е.К.Скляшш, М.Адлер, П.ван Мёрбеке и др. В . ззультг те било найдено большое количество интегрпруе.-.т случаев, но эг дача о полной классификации интогрируешх обобщешшх цепочек Тс была решена лишь в работе [3], которая составляет основу второй главы.

Назовем обобщенную цепочку Тодк интегрируемо!! по Биркгофу, с она имеет /п полиномиальных по импульсам у интегралов, коэЭД цкенты которых являются конечными суммами экспонент

причем требуется, чтобы старшие однородные по у формы этих ш тегралов были почти всюду независимыми.

Оказывается, что любой интегрируемой обобщенной цепочке Тод! могло сопоставить схему Дшшша. Схема Дынкина представляет со( оснащенный граф - набор ворялн, некоторые пары которых соединв! одним, двумя, тремя или четырьмя ребрами, причем каадой вершин< I пппсано положительное число. Вершшш в схеме Дынкина обозначг ют вокторы множества XXI ; количество ребер, соединяющих две В! 'шяш, равно и сг^с^ где Ср - угол между соответствующими в( тора-.щ; числа над вершинами обозначают квадраты длин векторов. Удаотся показать, что в интегрируемых цепочках углы пршшл ют значения из множества [0,Т/£ ,2Т/$}37Г/у ^Зг/^ ,7г} , Т1 что величины М сс> ^ являются целыми. В частности, если па] вершин не соединена ребром, то угол • = 7Г/2. , если пара верши соод'.гнена четырьмя ребрами, то считается, что у> =0 .

Пракэу во внимание следующие обстоятельства^

а) Сзойство интегрируемости обобщенной цепочки Тэды согранж с.1 при домнот-снип всех векторов спектра Щ. на одно и то же ■доЗстащгельноо число, так что схемы Дьшкина интегрируемых цедо'

шределв1гы с точностью до пропорциональности чисел, приписанных ¡ершинагл.

б) Если множество Ш. расположено на прямой, проходящей через 1ачало координат, то соответствующая цепочка интегрируема по Виркгофу.

в) Если множество Щ разбивается на два подмножества

Л , и Шг - Ш) таких, что любой вектор множес-

тва перпендикулярен (в метрике< , >) • любому вектору множества , то интегрируемость- цепочки со спектром равносильна интегрируемости двух цепочек со спектрами )Х11 и соответственно.

г) Если цепочка со спектром № интегрируема, то любая цепочка со спектром XI с Ш- также оказывается интегрируемой.' Кнтегри- . руемая по Биркгофу обобщенная цепочка Тоди, теряющая иптпгрируе- , мость при добавлении к ее спектру любого ненулевого вектора, называется полной.

Из пункта в) следует, что достаточно рассматривать множества , не распадающиеся нр два ортогональных друг другу подмно-кества. Соответствующие обобщенные цепочки Тоды назовем неприводимыми.

Теорема 2,2, [3]. Спектр Ж интегрируемой по Биркгофу полной неприводимой, обобщенной цепочки Тоды либо расположен на одной прямой, проходящей.Зерез начало координат, либо задается схемой Дынкина типа а.- л. ' "

Обобщенные цепочки Тоды не являются системами, близкими к интегрируемым, но становятся таковыми в результате замены переменных. } Х~*-Х , .что позволяет использовать при их исследовании методы теории возмущений. .

i/C Vví

t) — с----o — O

lililí l 0—o-o—o—c—o—o I/ 0a

L L L Z 2. o—o—a—o~o

J l

o , , o ! ¿ i I i

O — o - - - o — o *

i 1 1 i l 0 — 0 — O-o —o

í

л

j ' V,—o~

.y

¿i

¿i ¿i

J l i l 1 l l 1 »—, ¿i

3

L 1 2. '1 2

O—0—0—O—o

ГК-

о^Ч

и - .и

12 Z Z 2/i o—O----o—ó( '

¿2

PKC.

Перейдем к обсуждению результатов третьей глаг::.

отыскания новых пнтегрт.:руемых задач механики и теорета ческой (Тизикн широко используется метод Ковалевской. Он состс б отыскании полкопараметрпчееккх семейств мероморфных реяена! опирается на следующий экс.торггменталькый факт; системы, о Ала; .vene большим количеством гака семейств, как правило, оказывг сг. пнтс-грпруемымп.

С ovoií точки зрения б третьей главе исследуются гамильток; спсгемк с гамильтонианами вида (2). Систему с функцией Гамил ^'„-д назовем обобщенной цепочкой Тода, если выполнены сл1 условия:

I) векторы , ....л^^таковн, что любая их подсистема лз щ

■ т+{

"к— 1 1

кторов линейно независима и 2_^ р5 0-5 = О , где всо р? > О ,

(^векторы группируются в семейства (ь-{)

лото, что к&'ашй вектор из тлеет одинаковое направле-¡е с а к I а- | « I а, | и1) идля всех 5 , ..., т+^ . Отметим, что обобщенные цепочки Годы в главе 3 понимаются в злее узком смысле,. чем в главе 2.

Рассмотрим задачу об условиях существования у обобщенной це-эчки Тоды к различных семейств формально мороморфных решений

00 5 г

оэффициенты которых зависят от 2.т - 1 "свободных" параметров, йнстанта $ называется числом Ковалевской рассматриваемой истемы.

Числа Ковалевской можно определит! для широкого масса систем (иффэренциалькых уравнений. Б частности, для систем; из П полн-юмиальных автономных обыкновенных дифференциатьных уравнений. З---^(г) , 2 € . числом Ковалевской называется количество различных 1/1- I) - параметрических формально' мороморфных решений

= с < ап А1>о.

В третьей главе получены следующие результаты. Теорема 3.1,(4]. Неравенство к > к0 имеет место тогда и только тогда, когда существует множество 1<с {4,2,..., 1} , состоящее из ¡(0 элементов, такое,- что

(I) для любого индекса „■><=; 2 множество л:;йо

пусто, либо содержит единственный вектор o.s/2. ;

(2) для любых и LilitJ t ач ^ F~

выполняются соотношения

2<а6,сц>

-— tf- - /

<as,as> ' •

Следствие. k ^ т.4 У .

Теорема 3.1 позволяот классифицировать, обобщенные цепочки 1 с числом Ковалевской k-rn+L. Цепочку назовем полной, ее ".и i гамильтониану (2) нельзя добавить слагаемое L( ехр <£,ос> } и / tl^j^H) , l^O , не нарушая условий l)- iuJ,a тш условий (I), (2)теоремы 3.1 при k.= ni+L. Ясно, что любая с тонная цепочка, для которой ¿ = получается из некото;

полной цепочки, если отбросить часть векторов вида CLs/2 , {¿.

Пусть Щ-1. Тогда согласно теореме 3.1 набор векторов [с полной одномерной цепочки Тоды с максимальным числом Ковалеве!

= 2. совпадает с одни.: из трех множеств i) ' 3)-2yi.,-/K,yJ( ; ¡1IX

Случаи 2 и 3 мог. и о но различать, так как после кано пческой мены X - X , ij -*■ - у соответствующие гамильтонианы пере) дят друг в друга.

Теорема 3.2,[4]. Рассмотрим полную цепочку Тоды с числом К< ловской l^-ni + l. Если m^'l , то схема Дынкнна сзстеш В( ров , £ = i i... > А/ изомор1-на одной из схем а.-к. (см.рш

л "00

III Sil

о — оно с — о~о

н

Видно, ч'.-о набор схем Д:;нк;:на из теоремы 2.2 практически ci задаст с г.нг-.л.тнчпыи набором из теоремы 3.2. Отличие состоит . е том, что exeva л. из первого набора г-о второ« наборе замене] -"¿с сu. а н. .ялляохнеся ее частными случаями. Итак, мы с:

13 проиллюстрировала тесную связь между свойством интэгрируемос-I и наличием большого количества иолнопарамотрических семейств эрмально мероморфных решений.

Глава 4 посвяцепа исследованию слодующсЛ задачи. Пусть на мио-зобразии М с скмплектическоп структурой задана ^ошльтоно-а система с гамильтонианом Н1 , ¿¿(-¿с,£<>). Гамильтоново векторов поло на Л! обозначим символом .5. Пусть с: М ин-ариантное многообразие невозмуценной системы (А¡'нва-иантность многообразия понимается в том смысле, что векторов поле касается Ц . Отсюда, в частности,следует, что „ состоит „з траекторий невозмущенноа системы. Требуется найти еобходимые условия того, что у возмущенно:! систеш будет сущест-ювать инвариантное многообразна ^ сМ , даффеоморфное и •ладко зависящее от параметра <£ ,

Пусть А/ - компактное многообразие, С?0 : /V—1"/А - вложение, [«вариантность подмногообразия [_ - 00(А/) С <М по отношен:») с невозмущенноЗ система означает, что существует векторное поле й из // такое, что

го есть отображение (?0 переводит £ в Н„ . Предположи«!,

что Оо моано. продолжить до семейства отображений : Д/ —>- А1 гак, что остается верным равенство

В этом случае отображение -назовем продолжаемым относительно возмущения Н^. Отображение 0о назовем вполне продолмаемкл, осли оно продолжаемо относительно любого возмущения.'

Предположим, что существует возмуцегше пол? £ и семейство отображений такие, что при малых ¿ выполняется

равенство

13 этом случае отображение С?„ назовем £ -продолжаемым относит! ко H¿ . Отображение назовем вполне ¡1 -продолжаемым, если I ^ -продолжаемо для любого возмущения. Очевидно, любоо продол; емод отображение является также £ -продолжаемым.

Эффект ^ -продолжаемости отображения соответствует тоьг что инвариантное многообразие Ц = 0С(Л1) не разваливается, а лишь слегка деформируется при возмущении системы.

Напомним, что векторное поле и на М называется локально ггшильтоновым, если 1-форма а)(* ,Ц) замкнута. Два касателы вектора , <~ /ХМ называются косоортогоь лышми, есл!

Векторноо поло и на М назовем полем -симметрия гаыши няана Н , если оно локально гамильтоново и выполняется равенс

(ЛАЩ^-о .

Здесь Ъи - дифференциальный оператор, соответствующий векто] 1.-.лу паю Ц .

Определению. Отображение 0„ будем называть невырожденным, ¿ели любоо поле ^ -симметрия гамильтониана Нс касас:ся пода гообразия . Отображение С[а назовем -неБыродденным, ее. .'шбоо поле -симмэтр:1й гамильтониана Н0 , косоортогоналыюо касато..ыюму расслоению , касается

Основной в главе 4 является

Тоорома 4.1, [б]. Пусть поле £ сохраняет меру ул на /V гакуи, что мера любого открытого подмножества Д/ положительна . Тогда выполняется следутвда утверждения.

¡х) '¿глх С'п ьпэлна продолжаемо, то оно ыевырождено, ис,:и С'0 вполне -продолжаемо, то оно £ -;;«выродцено.

б) Если продолжаемо (соответственно, $ -продолжаемо) относительно возмущения /-¡£ , то для любого- Ц - поля /_ -симмет-рий (соответственно, поля -симметрия, косоортогонального Т7_ ) гамильтониана существует функция : А/К такая, что

В частности, если поток на Д/, соответствующий полю £ , эргоди-чен, то

Теорема 4.1 дает необходимые условия различных видов продолжаемости отображения , или наоборот, достаточные условия, отсутствия такой продолжаемости. Например, если 0д является -вырожденным, то теорема утверздает, что при как угодно малом возмущении инвариантное многообразие Ц , Еообщэ говоря, развалится в том смысле, что возмущенная система не будет иметь близкое к и диффеоморфное ему инвариантное многообразие ¿_г , гладко зависящее от £ .

Теорема 4,1 применяется к случаю /V =Т~П. Оказывается, что необходимые условия продолжимости, следующие из теоремы 4.1, кок правило, довольно близки к соответствующим достаточным условиям, следующие из теорем теории Колмогорова-Арнольда-».'озера (КА.".').

В пятой главе изучается судьба резонансных инвариантных торов интегрируемой гамильтоновой системы после возмущения система. Всякий резонансный тор расслаивается на ьерезонансные инвариантные торы меяьпей размерности. 2ца А.Пуанкаре было известно, что практически все эти торы при возмущении системы разваливаются. Однако с другой стороны, если резонансный тор расслоен на периодические решения (инвариантные нере'зонансные одномерные торы), то, как яра-

вило, коночное число таких решений не исчезнет, а в слегка деформированном виде будет существовать у возмущенной системы. В главе 5 этот результат А.Пуанкаре обобщается следующим образом. Показано, что если резонансный тор расслоен на нерезонансные инвариантные торы произвольной размерности, то, как правило, конечное число таких торов не разруиится при возмущении.

Рассмотрим гамнльтонову систему с гамильтонианом вида (I). Пе-рсмснноз ОС. будем считать угловыми. Цри ¿-0 система интегрируема и и, сс являются для нее переменными типа действие-угол, базовое пространство невозмущенной системы расслоено на инва-

Г-г- »1 , ,

риантиые /71-мерные торы 1! , движение по ко-

торым происходит с частотами \)(и)- ЪИ0/^ц. Рассмотрим один из таких торов 1ио . Пусть V -У( и") - соответствующие частоты.

«У

Сопоставим вектору У подгруппу группы (Xт +) такую,

что для любого доктора Т 6 юле ем <1>,Т > = 0.

,_!П ^

Тор называется иерезонансным (резонансным), если под-

группа ау тривиальна (нетривиальна).

Полопсим I- •тпкц» , П = »г - I . Любая траектория: невозму-

пг"1

ценной системы, расположенная на тор-1 £ ц<> , всюду плотно за-

| /л

полняет некоторый П. -мерный тор, лежащий в , причем через

ка'хдуто точку (ц\"Х°) тора Ту«' проходит нерезонансный инва-риаятный П -мерный тор Л ^ х* .

Од-чием условия, при которых не разрушится, а лишь

немного деформируется при малом возмущении систзг :. Введем для' отого операцию < • >оу усреднения, соответствующую вектору частот V , следующим образом. Лш любой нейрерывной функции

определил функцию с помощью равенства

Пусть ра1 .о.т.ениа Фурье функции ^ имеет вид

тсТп т Тогда мо;:шо показать , что

I <т. х>

о"1

Определенно. Вектор ¿< назовем сгмш Д-нерозопацсным, если - С~ и существуют положительные постоянные

С, Л/ такие, что для люОого лектора Т<= 2. 4 сУ зыгапгя-ется неравенство ;<У,Т>| > С / Т / ~ ^ . Основным результатом главы 5 является Теорема 5.1. Пусть выполнены следующие условия:

1) невозыущепная система невыро;эдена, то есть определитель матрицы . П - ^ отличен от нуля

2) вектор частот У сильно /1 -нерэзопансен ;

3) точка является критической для функция

причем матрица Гессе \д/ = Уи/^^г (ОС.0) такова, что мат-

рица и/Л игзет ^ собственных значений, ни одно из которых но ясляотся положительным вещественным числом или нуле:.:.

Тогда при матах £ ^ О существует аналитическое по <£ при £>0 , гладкое по в точке <£ =С ссмойство инвариантных торов "Т1?(£) . исходной гамильтонозой

сплоаь заполненных условно-периодическими ре~он;:я:.:п, лр.тчом т. л, . —л

Отметим, что торы ТТ,» (¿) , ¿> О являются экспоненциально

о *

неустойчивыми. Это определяется условием 3 (:,:::^эр':о~пу теоремы 5.1. Каздай тор (£) , £>0 обладает парой.

риантных асимптотических лагранжевых поверхностей Л. таких, что любое решение., расположенное на поверхности У\ СЛ.) экспоненциально быстро приближается к тору при -¡;—- оо -*•+со) ,

В пятой главе доказаны также изоэнерготический и неавтономный аналоги теоремы 5.1«

А.Пуанкаре заметил, что в точках фазового .пространства Гамильтон овой системы, расположенных на .невырожденных периодических траекториях, любые два первых интеграла зависимы. Это наблюдение допускает следующее обобщение. В точках фазового пространства га-мнльтоновой системы, расположенных на гиперболическом инвариантном Л-мерном торе, любые Л + 1 первых интегралов зависимы. Таким образом, наличие большого количества гиперболических торов может препятствовать интегрируемости систеш. Используя эти соображения, в главе 5 исследовано влияние на интегрируемость систем, рассмотренных в первой главе, рождения семейств гиперболических торов .

«а

Основным объектом исследования главы 6 являются инвариантные лагралжевы поверхности, асимптотические к гиперболическим торам.

Определение. Инвариантный д-мерный тор У гамильтоновой системы с гамильтонианом , .заданной, на симплектическо.м мно- • гообразик (/М,и>) (0 ^ П< 1П - ¿¡->п М/2 ) назовем гиперболическим, если в окрестности тора /V на М суг .ствуют координаты ^, ^ , 2:+ такие, что

(2) и) - д ¿х 4. с/ Лс1 2. + ;

(3) : ^О , ¿± = 0} ;

где постсшшй вектор Уе tQn для любого О ^ к е .Z удовлетворяет условиям сильной нерезонансности

i<v,biz * ¡кг?

с не зависящими от к поло:хительными постоянными 6L , ß : квадратная матрица постоянна и невыроздена ; для любого X med2.ТГ собственные знамения матрицы Q(jx) + Q (зс) пологгштельнл. Координаты , ОС , ¿_ , назовем каноническая! дяя /V.

Гиперболические тори являются весьма распространешигм объектом в гамкльтоновой механике. Появляются они в следующих ситуациях.

(i) Иредаоло."лс.{, что гамильгоиова система имеет ft первых интегралов таких, что действие группы сикмотрий, пороздонноЛ гамяльто-Н0В1В.И потоками этих интегралов, на некоторой области фазового пространства изоморфно действию Я -мерного тора. Тогда порядок системы в этой области молаю понизить на П. и свести задачу к исследованию гамильтоново2 сг^теш с ГП-П степенями свободы. При этом положениям равновесия редуцированной системы, характеристические числа которых не легат на млимой оси, как правило, соответствуют гиперболические торы исходной системы.

(и) Гиперболические торы выживают при малом возмущении системы.

(¿Ii) В окрестности неустойчивого положения равновесия, как правило, существуют семейства гиперболических торов.

(hl) Торы из пятой главы являются гиперболически,«

при I > 0 .

Зсякпй гиперболически:.! тор hl лехлт в пересечении двух лаграл-£овых инвариантных асамптотичесicjx поверхностей (сепаратрис) Дх таких, что траектории, расположенные на /\*(f\) г.кслоиогииашю быстро прнблгспаятся в тор7 /V при i -*■ -<*> (Т + . Б интегрируемых системах устойчивая (/. J неустойчивая (//усепараг;;:,а

нередко оказываются с двоенными. При. возмущении системы они,, кал правило, расщепляются и трансверсадьно-пересекаются,. Эффект расщепления к трансверсального пересечения сепаратрисл асимптотических к гиперболическим периодическим- решениям^ впервые обнарушш ¿.Пуанкаре. Он де указал на то,, что. это., явление препятствует интегрируемости системы.

В § 2 главы б получены достаточные условия расщепления и трансверсального пересечения сепаратрис,, асимптотических к гшторболи-ческим торам. Приведем точную формулировку.

Пусть функции ^ ,..., являются инволютивными первыми интегралами гачильтоновой системы с П1 степенями свобода и гамильтонианом Ив [1^ = ...-^-О} - их нулевой совместный.уровень. Пусть' /\fdMj - П-мерной'гиперболический тор. Пусть /1 Г)А - двоякоасиг-штотическая к // Л7-мерная поверхность, по которой сдвоены /\ и Д . Будем считать, что в точках позерхности А \ А/ функции Р ' независимы.

Пусть И-Н0-*-бИ1 + 0(£г) - возмущенный, гамильтониан. 3 силу тоороми Граффа при малых £ у возмущенной системы близко к А/ <: существует гиперболический тор Д/, ледащий в пересечении двух 7, асимптотических лагран^еЕых поверхностей .

Пусть Х(ЦсА - двояютаскмптотическая к /У траектория .нсвозмущенной системы. Рассмотрим следующие выражения:

где символом [ , ] обозначена скобка Пуассона; а функция }{?■)

в координатах, канонических для Д/ , удовлетворяет уравнению

■! : ' • -

•Теорема-6,1. I. Пределы (3) существует.

2. Если хотя бы для одного' Л^в^/П выполняется условие ] ¿0 , то поверхности Л* при мала £ расщепляются и ■не образуют в пересечении двоякоасимптотической лагранкево": поверхности.

3. Если 11 = ...~1т-0 и ранг матрицы {1^) равен - т-1- . то при малйх ¿ поверхности и трансверсально на

уровне энергии пересекаются по двоякоасимптотической траектории ^г(^) , причем X,—1- <5* ' при £ —— О .

Замечание. Если . то условие тия/; ( [¿¿) ~ т-1 '

$>,1= 1У..1!П равносильно условию ¿'~Л,т .

В.2.Козлов заметил, что в системах й полутора степенями свободы, , близких к интегрируемым» условие расщеплешхя и трансверсатьного пересечения сепаратрис» . асимптотических к гиперболическое периодическому решенйю» совпадает с условием рождения вблизи возмущенных сепаратрис бесконечного количества невыровненных периодических решений, берущих начало на резонансных двумерных торах невозмущенной системы» 3 § 3 установлен многомерный аналог этого результата.

• Рассмотрим гамальтонову систему -с 2/п. -мерным фазовым пространством М^хТ"*^*>..*])£ , = (здесь Б с]?'- П-мер-кДя область, X). - двумерные .обдаст::, Координатами на

б" » Т". являются соответственно 1} у мсЛ2УГ} (р;/'^-),причем переменные I а (р , а такгаэ р^ а канонически сопря:гена. Гамильтониан системы имеет вид

. Н-ад + фи^р^ ..

Даннат система интегрируема по Лиув:1ллв и функции I /,.,., . И^ Н^ являются ее первыми интегранами в инво.тгддг,:. Пари переменных (Рр^-) в гамильтониане Я отделяются. Предиолсхг:.!,

что системы с одной степенью свободы и гамильтонианами А/| имеют в точках (р°,сь) гиперболические положения равновесия, из которых выходят петли сепаратрис . Можно считать, что И- ¡у. ~ 0.

Тогда функция М- принимает "внутри" петли & (вблизи нее) зна-чеши постоянного знака О: .

, « '

Введем характеристические числа Q. , ^ ¡<с следующим образом:

.г,. М

В силу гиперболичности положении равновесия (рГ,) величины вещественны.

Исходная гашльтоиова система имеет семейство инвариантных Д -мерных торов

Если ¿¿Ь д 1уд,г(1Уо и вектор частот (О с/льпо нерезо-

нансен, то тор является гиперболическим. Положит.! 1'" 0 ,

V = гн°/д1 (о) .

Часть устойчивой сепаратрисы тора сдвоека с некоторой частью неустойчивой сепаратрисы. Полученная двоякоасимптническая лаграпжева поверхность имеет вид У\=[о] ...х ^ . Рас-

смотрим гамильтонову систему с гамильтонианом (-¡^ , являющуюся возмущенном исходной: И .

Всякой аналитической на фазовом пространстве Л| функции Р такой , что Р и = О , вектору $ € £_п и двоякоасиотготической траектории невозмущенной системы сопоставим величину

-оо *■

Здесь Ж к - подгруппа в +) , порожденная вектором к .

Символ (р лад операцией усреднения < • означает, что

усреднение производится з переменных (р. Условие ~0

обеспечивает сходимость жтсгрзла.

Теорема 6.2. Пусть компоненты вектора $ взаимно прости (в случае считаем к-И) , <к,\>>>0; 0<1О,к..//^/

и выполнены следующие условия:

1. ¿ет

2. ^¿ОЛН^О , Ж некоторой траехто-

рип гсЛ, где" Н'^^Н*- ;

3. Величины ; отрицательны, г;/; -определитель празого нн-тлего главного минора матрЛлл

Тогда возмущенная система :л.:еот неограниченно расту:;ее при ¿-» + 0 количество глгдх:зс по семейств Д-мерных инвариантных гиперболических торов X/" (<£) , 0 < £.< £д, , Л'с /V'. > 0 , причем при ¿-»+0 , //-•-•<-со торы неограниченно прибли-

'га:зтся к поверхности А ■

Замечания, а. При выполнении условий теоремы С.2 сепаратрисы тора , первоначально сдвоенные по А , расщепятся при возмущении, удовлетворяющем условия:.: теоремы.

б. Условия 2 и 3 теорегы 5.2, ло-влд'.л.'.олу, являзтся услсл:л::.:л общего положения. По крайней мэре , в случае С = ^ ото удается проверить.

3 добавлении изучается вопрос о применимости теор:п: ПЛ.'.; к с нетепл с упругими отражениями. 3 прилохг:-::кд часто возникает оптуа-дии, при которнх б механических система:: прснсисслт уд'.;.а. В :-:е/г-торых случаях с достаточной степенью точ-изетп '-::: улары о 'листать абсолютно упругий:. С помещвю опродололлал у/л^т.зиил ура.л-п:.-:-; движения систем с упругими отражениями соуларолл;::.:::

стазить в гамильтоновой форме. При этом функция Гамильтона оказывается лиаь непрерывной, точнее, кусочно-аналитической.

Известно, что теория КАМ не работает в случае систем малой гладкости. Однако, как правило, результаты КАМ-теории остаются справедливыми для систем с упругими отражениями. Впервые это бил отмечено Ивановым и Маркеевым. В добавлении получены общие форму лкровки теорем типа КАМ для кусочно-аналитических гамильтонианов

Основная идея довольно естественна и состоит в следующем. В системах с упругими отражениями потеря аналитичности гамилиониа на происходит на гиперповерхностях, в фазовом пространстве, соответствующих состоянию удара. Фазовый поток уравнений Гамильтона, как правило, пересекает эти поверхности траневерсально и индуцирует отображения этих поверхностей друг на друга. Отображения ок зызаются каноническими на уровне энергии и аналитическими, если аналитическими являются поверхности ударов. К этим отображениям уже применимы стандартные методы теории КАК!.

ЛИТЕРАТУРА. ..

1. Трещев Д.В. О существовании бесконечного количества невырожденных периодических решений гамильтоновой системы, близкой • к интегрируемой// Геометрия, дифференциальные уравнения и меха-кика. .V..: Кзд-во МГУ. 1986. С. 121-127.

2. Козлов З.Б., Трещев Д.В. Об интегрируемости гамильтоновых систем с торическим пространством положений// Матем. сб. 1988. Т. 135 177 . Вып. I. С. 119-138.

3.' Козлов В.В., Трещев Д.В. Полиномиальные интегралы гаыильто новых систем с экспоненциальным взаимодействием// Изв. АН СССР, Сер.. мат. 1989. Т. 53. Вып. 3. С.- 537-556.

ВВЕДЕНИЕ.

С1ЖСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ГЛАВА I. Об интегрируемости гамильтоновых систем с торичес-ким пространством положений,

§ I. Постановка задачи. Критерий интегрируемости.

§2. Вековое множество и его структура.

§ 3. Доказательство теорем о неинтегрируемости.

§ 4. Некоторые обобщения.

ГЛАВА II. Полиномиальные интегралы гамильтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием.

§ I. Строение интегрируемых систем,

§ 2. Необходимые условия интегрируемости,

§ 3. Теория возмущений.

ГЛАВА III. Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды.

§ I. Числа Ковалевской,

§ 2. Обобщенные цепочки Тоды.

§ 3. Основные результаты.

§ 4. Доказательство теоремы 3,1.

§ 5. Однозначные решения и полиномиальные интегралы.

ГЛАВА IV. О сохранении инвариантных многообразии гамильтоновых систем при возмущении.

§ I. Теорема о продолжаемости.

§ 2, Доказательство теоремы о продолжаемости.

§ 3, Некоторые приложения.

ГЛАВА V, Механизм разрушения резонансных торов гамильтоновых систем,

§ I. Резонансные торы и теория KAM.

Рад задач математики, механики и физики сводится к исследованию гамильтоновых систем - дифференциальных уравнений вида

Д "дН А Ц± п где > ^ = * ~ локальные координаты на фазовом пространстве, Н X)-гладкая функция - функция Гамильтона.

Вид уравнений (1) сохраняется только при некотором специальном классе замен переменных - при канонических (симплектических) заменах. В связи с этим полезно иметь в виду инвариантное (не апеллирующее к локальным координатам) представление уравнений (1) , А именно, гамильтоновой системой часто называют тройку

М,и>,Н), (2) где - четномерное гладкое многообразие - фазовое пространство; (л) - замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма на М симплектическая структура; Н • М — гладкая функция Гамильтона, Уравнения движения имеют вид

2 = $$кх<Лн(2) > 2 ем , (3) где векторное поле $<рйс| Н удовлетворяет равенству в левой и правой частях которого стоят 1-формы.

В силу теоремы Дарбу в окрестности любой точки на М существуют локальные координаты >X) , в которых форма Ы равна А о!х , Такие координаты называются каноническими (симплекти-ческими). Несложно проверить, что в канонических координатах уравнения (3) принимают вид (1) .

Гамильтоновы уравнения часто определяют с помощью скобки Пуассона - структуры, в определенном смысле двойственной к симплекти-ческой. Напомним, что скобкой Пуассона называется билинейная ко-сосимметрическая опершая { , } ^ С0°°—С°° , удовлетворяющая правилу Лейбница, тождеству Якоби и некоторому свойству невырожденности [б] . Здесь С°° - пространство функций, гладких (дифференцируемых бесконечное число раз) на М. Всегда в дальнейшем мы будем считать первичной симплектическую структуру, а скобку Пуассона будем задавать формулой

Г, = О)Ь).

Б канонических координатах (у > ЭС) имеем:

Говорят, что функции р , (а находятся в инволюции, если

Среди всех гамильтоновых систем выделяются системы, обладающие свойством интегрируемости. Существует довольно много различных определений интегрируемости причем большинство систем удовлетворяют (или не удовлетворяют) одновременно всем определениям интегрируемости, которые для них имеют смысл. Мы в дальнейшем будем пользоваться различными вариантами определения: интегрируемости по Лиувиллю, которое требует наличия на М полного набора (в количестве почти всюду независимых инволютивных первых интегралов.

В силу теоремы Лиувилля любой компактный некритический совместный уровень интегралов интегрируемой системы является несвязным объединением некоторого количества -мерных инвариантных торов, причем решения системы обматывают эти торы условно-периодическим образом[7], Следовательно, локально (в окрестности любого компактного некритического уровня первых интегралов) фазовое пространство интегрируемой системы расслаивается на лиувиллевы торы, на которых происходит условно-периодическое движение. Отметим, что глобальное исследование топологической структуры интегрируемых гамильтоновых систем является сложной, и содержательной задачей, более или менее решенной лишь в случае > >

В окрестности лиувиллева тора интегрируемой системы (2.) можно ввести координаты типа действие - угол такие, что ц; = с11лЛу и Н~Н(1)Лэтом переменные I являются первыми интегралами, "нумерующими" лиувиллевы торы, а углы у являются координатами на этих торах. Уравнения движения в координатах 1У легко решаются и решения имеют вид

Итак, интегрируемые системы устроены относительно просто. Однако, уже А.Пуанкаре было известно, что интегрируемость является редким исключением из общего правила, ] . Траектории неин-тегрируемых систем ведут себя довольно сложным образом. В частности, характерным свойством таких траекторий является, так называемая, стохастичность, то есть, нерегулярность поведения. В ряде случаев это приводит к необходимости использования в качестве наиболее адекватного аппарата исследования таких систем теории вероятности, [ЦБ935, 2].

Задача исследования произвольной неинтегрируемой системы без использования ЭВМ представляется необозримой. Тем не менее, есть класс систем, поддающихся довольно подробному анализу. Это - системы, близкие к интегрируемым.

Рассмотрим гамильтонову систему

1>*Тт, Цл<*х , Нц>х,£)) , (4) где J)dJJm - область значений переменных у ^Г — ГЛ.-мерный тор [ОС = и гамильтониан Н имеет вид

H = H.ty)+£HtC%,xA) . (5)

При нулевом значении малого параметра £ система интегрируема и переменные ^ , ОС являются для нее переменными типа действие-угол.

Гамильтоновы системы вида (4)¿(5) естественно назвать близкими к интегрируемым. При ненулевых значениях параметра £ интегрируемость, как правило, теряется, , однако системы(4^(5) поддаются исследованию различными методами теории возмущений. Этим обстоятельством и распространенностью таких систем в приложениях объясняется большой интерес, проявляемый к ним. Достаточно напомнить, что А.Пуанкаре назвал озадачу изучения систем (4)>(5) основной задачей динамики.

Настоящая диссертация непосредственно связана с решением этой задачи. Основное содержание диссертации условно можно разбить на две части. Первая часть (главы I - III) посвящена проблеме интегрируемости систем вида (5). При определенных ограничениях на вид функций Нв ) Н^ удается получить классификацию интегрируемых случаев. Результаты первой части получены автором совместно с В.В.Козловым [¿0-32] . Во второй части (главы IV - VI) исследуются задачи, связанные с существованием и свойствами инвариантных многообразий гамильтоновых систем, К таким многообразиям относятся, в частности, инвариантные торы, а также поверхности, асимптотические к ним. Результаты, содержащиеся в главах IV-VI получены автором в статьях [ 6i ь 62] ,

Перейдем к более подробному обсуждению содержания диссертации.

В первой главе рассматривается система (4) Д 5) упричем предполагается, что Н0 - положительно определенная квадратичная форма с постоянными коэффициентами

- тригонометрический полином. При этом функция Нв играет роль кинетической энергии, а ¿Н^ - роль потенциала. Функция Н^ имеет вид

НЛХ)=^Н1еит'Х> (?)

1 г<аШ 1 > где скобками < > У обозначено стандартное скалярное произведение в ¡Цт* а множество Й(1с2 , очевидно, конечно и инвариантно относительно инволюции —— Т" .

Системы такого вида часто встречаются в приложениях. Например, , ) = < ,> (т.е. = получаем классический вариант системы Гросс-Невё, хорошо известной в теоретической физике.

Назовем рассматриваемую систему интегрируемой по Пуанкаре, если найдется 171 первых интегралов в виде степенных рядов коэффициенты которых - аналитические функции на К?**1 X * II ^ причем

Г-а) г-сиг) функции гв } у Ге почти всюду независимы.

Положим £ =: 1 и рассмотрим гамильтонову систему с гамильтонианом Н0+ ¡-¡^ , Эта система называется интегрируемой по Биркгофу, если найдется полный набор (в количестве № ) полиномиальных интегралов по импульсам с аналитическими и 27Г-периодическими по ОС^ ОС коэффициентами, причем их старшие однородные формы почти всюду независимы.

Можно показать, что система с гамильтонианом + интегрируема по Биркгофу тогда и только тогда, когда система с гамильтонианом Не + £ Н^ интегрируема по Пуанкаре. Основным результатом главы I является

Теорема 1.1. Гамильтонова система с гамильтонианом Н^^ёН^ (6) (.*?) интегрируема по Пуанкаре (по Биркгофу) тогда и только тогда, когда точки множества расположены на о( ^ Ш. прямых, ортогонально в метрике ( > ) пересекающихся в начале координат.

Следствие. При Щ > 2. система Гросс-Невё неинтегрируема по Пуанкаре (по Биркгофу),

Из теоремы 1.1 также следует, что рассматриваемая система интегрируема по Пуанкаре (Биркгофу) тогда и только тогда, когда в некоторых канонических координатах ОС КУ^ЙГ) ? получающихся из координат (^>Х М0б(<2.ТГ) с помощью линейной замены, гамильтониан /-/ имеет вид ^ то есть переменные разделяются.

Доказательство теоремы 1.1 опирается на классическую схему теории возмущений и является развитием идей А.Пуанкаре [ 51 гл.у] . При этом, в сущности, используются следующие соображения. I, Пусть функции ($) являются первыми интегралами нашей системы. ю переменных у , следуя Пуанкаре I т

Тогда функции не зависят от утловых переменных X )

2. В пространстве переменных Ц , следуя Пуанкаре [51] , можно о построить вековое множество первого порядка о^ к , соответствующее множеству инвариантных торов {(^Х); невозмущенной системы, разрушающихся в первом приближении по £ На множестве ¿у функции г0 (у), го (Ч) оказываются зависимыми.

3. Если бы множество ^ было устроено достаточно сложно, то вековое множество было бы так велико, что аналитические функции г-И) зависимые на . должны были бы быть зависимы

О 1 6 ' * ' ми всюду. В нашем случае )SfL - конечно и, следовательно, ß^ довольно тощее множество. Поэтому В.В.Козлов предложил рассмотреть вековые множества более высоких порядков ^Д,. соответствующие торам, разрушающимся во втором, третьем и т.д. порядках по г: ^ / малому параметру. На этих множествах функции г^ } также оказываются зависимыми.

4, Чтобы оценить величину векового множества ß=U ß» . пришлось к>Л * 5 проанализировать классическую схему теории возмущений до конца (во всех порядках по £ ) , что до сих пор, по-видимому, никому не удавалось сделать.Оказалось, что если множество ¡Oft устроено не так, как предписано в теореме I.I, то рассматриваемая система не может обладать первыми интегралами ($) , независимыми при L—0 , в силу свойств множества В> .

Объектом исследования второй главы являются гамильтоновы системы (1) с фазовым пространством ft^lljjv*)-- gefi"^«"1} и гамильтонианом вида

H--TW , {g)

V = Z. V^.x», где ХГ» - отличные от нуля вещественные числа, (X, - ненулевые векторы из

Такие системы называются обобщенными цепочками Тоды. В частности, в случае

5-1 имеем периодическую цепочку Тоды. Интегрируемость периодической цепочки Тоды в случае /72-3 была установлена М.Эно [79] в результате численных экспериментов. Затем Г.Флашка [7^] и О.В.Манаков [¿¿] получили соответствующий строгий результат, а также показали, что периодическая цепочка Тоды интегрируема по Лиувиллю для любого . Эти работы положили начало деятельности, связанной -с поиском среди обобщенных цепочек Тоды интегрируемых. Усилиями ряда авторов [69 60,№,67] было найдено большое количество интегрируемых случаев, но задача о полной классификации интегрируемых обобщенных цепочек Тоды была решена лишь в работе , которая составляет основу второй главы.

Назовем систему (£) > ( 9) интегрируемой по Биркгофу, если она имеет /71 полиномиальных по импульсам у интегралов, коэффициенты которых являются конечными суммами экспонент причем требуется, чтобы старшие, однородные по ^ формы этих интегралов были почти всюду независимыми (как функции на 1?2т) в

Отметим, что все известные интегрируемые цепочки Тоды являются интегрируемыми по Биркгофу. Множество ни.« К>-> назовем спектром системы (1)) (9). Вектор из $1 назовем максимальным, если он имеет наибольшую длину среди всех векторов одинаково направленных с ним.

Теорема 2.1. Предположим, что гамильтонова система (4)Д9) интегрируема по Биркгофу. Пусть максимальный вектор из и вектор (X. £ линейно независим с СХ^ . Тогда

Уб-гМо,-!,-^-}.

Следствие. Если система интегрируема по Биркгофу, то угол между любыми двумя векторами из ХЩ равен одному из следующих'. О,Т/2,

27Г/3 > УК/Ч > 5ТГ/6 , Т .

Используя теорему 2,1, молено получить классификацию интегрируемых по Биркгофу обобщенных цепочек Тоды. Оказывается, что любой интегрируемой цепочке Тоды можно сопоставить схему Дынкина. Схема Дынкина представляет собой оснащенный граф - набор вершин, некоторые пары которых соединены одним, двумя, тремя или четырьмя ребрами, причем каждой вершине приписано положительное число. Вершины в схеме Дынкина обозначают векторы множества ш ; количество ребер, соединяющих две вершины, равно Ц , где (р - угол между соответствующими векторами; числа над вершинами обозначают квадраты длин векторов. В частности, если пара вершин не соединена ребром, то угол у = > если пара вершин соединена четырьмя ребрами, то в дальнейшем будем считать, что . Примем во внимание следующие обстоятельства, а. Свойство интегрируемости обобщенной цепочки Тоды сохраняется при домножении всех векторов спектра на одно и то же положительное число, так что схемы Дынкина интегрируемых цепочек определены с точностью до пропорциональности чисел, приписанных вершинам, б. Если множество ЮЯ расположено на прямой, проходящей через начало координат, то соответствующая: система (1) , ) интегрируема по Биркгофу. в. Если множество ж разбивается на два подмножества таких, что любой вектор множества ¿3(1 перпендикулярен (в метрике < > >) любому вектору множества » то интегрируемость системы (1) >(9) со спектром: равносильна интегрируемости двух систем со спектрами и

Ид соответственно. г. Если система со спектром интегрируема, то любая система со спектром XI СГ Ж1 также оказывается интегрируемой, йнтегрируемая по Биркгофу обобщенная цепочка Тоды, теряющая свойство интегрируемости при добавлении к ее спектру любого вектора, не ортогонального спектру, называется полной.

Из пункта в. следует, что достаточно рассматривать множества , не распадающиеся на два ортогональные друг другу подмножества. Соответствующие обобщенные цепочки Тоды назовем неприводимыми.

Теорема 2.2. Спектр интегрируемой по Биркгофу полной неприводимой обобщенной цепочки Тоды либо расположен на одной прямой, проходящей через начало координат, либо задается схемой Дынкина типа а) - л). о—о----о—о а) 1 и

17

Л * -О-

-о I о к

У)

11111 о— о—о—о—о и о—о —о—о—о—о—о к г)

11112. о—о=го—о —о ж)

X / к)

I {{ I I I I I

О—О—о —о—о— о—о—о 1

8)

2 А

V и г /У,

О -- О—О^ чу!

Л)

11111 о—о—о=о—о в) 1 рис.4.

Теорема 2,2 дает лишь необходимое условие интегрируемости. Однако об интегрируемости цепочек, отвечающих схемам а) - л) известно довольно много. В случаях а) - ж) интегрируемость установлена в работах [69, «б]. Система со схемой Дынкина и) проинтегрирована Скляниным [¿6], Цепочка, соответствующая графу к) является новой. Ее интегрируемость установлена в статье [3{] (ем. также главу П)ф Функция Гамильтона цепочки со схемой Дынкина з) в подходящих канонических переменных имеет вид т , т-1 и н = I г. <£ + £ ехр(хг х5+1) + ехр (- Х2) +

Если или ^ То полная интегрируемость этой системы установлена в работах [69,66]. В общем случае, когда Ы^ФО вопрос о ее интегрируемости остается открытым. Ответ на него, по-видимому, положительный. Цепочка, отвечающая схеме л), по-видимому, неинтегрируема. В работах [6^,66] проинтегрированы "усеченные"варианты этой системы, отвечающие схемам

I * ь ъ 3 1 о-о о о--О -О

Эти схемы получаются из л) отбрасыванием двух вершин.

Доказательство теоремы 2.1 опирается на анализ векового множества и аналогично доказательству теоремы 1.1. Доказательство теоремы 2.2 использует сведения из теории корневых систем

Перейдем к обеувдению результатов третьей главы.

Для отыскания новых интегрируемых задач механики и теоретической физики широко используется метод Ковалевской [2^], Он состоит в поиске полнопараметрических семейств мероморфных решений и опирается на следующий экспериментальный факт: системы, обладающие большим количеством таких семейств, как правило, оказываются интегрируемыми [67? 70) & 2,1],

С этой точки зрения в третьей главе исследуются гамильтоновы системы (i), (9) . Систему назовем обобщенной цепочкой

Тоды, если выполнены следующие условия: векторы Ötj>.>таковы, что любая их подсистема из YK векторов линейно независима и ^ = ^ > г,13;е все Р$ > ^ *

1)векторы ötj,,., группируются в семейства (S-i, .^ttl+i) такие, что каждый вектор Ötj из F^ имеет одинаковое направление с а, и 1а.к/а$|;

Iii) Vs^O для всех 5 =

Отметим, что обобщенные цепочки Тоды в главе III понимаются в более узком смысле, чем в главе II.

Рассмотрим задачу об условиях существования у обобщенной цепочки Тоды fc различных семейств формально мероморфных решений вида Alse€ , lM*o, М >о, коэффициенты которых зависят от 2.W.-1 "свободных" параметров. Константа fc называется числом Ковалевской рассматриваемой системы,

Числа Ковалевской можно определить для широкого класса систем дифференциальных уравнений. В частности, для системы из /1 полиномиальных автономных обыкновенных дифференциальных уравнений

2 = -fU) , г € €п числом Ковалевской называется количество различных (/I - i) -параметрических формально мероморфных решений nb-fic^, с,е€\ t сн*о.

5 -~fn

В третьей главе получены следующие результаты. Теорема 3.1. Нерезво ЬЛ „ То ТоГда и Только тогда, когда существует множество I С [i)2.> . Ш-+1J % состоящее из элементов такое, что:

1) для любого индекса множество либо пусто, либо содержит единственный вектор && /£ ^

2) для любых 5^1 и 4 < 1 £ выполняются соотношения а5.а5>

Следствие, к $ + .

Рассмотрим более подробно обобщенные цепочки Тоды с максимально возможным числом Ковалевской (& - №.+ 1). В этом случае условия (I) и (2) теоремы 3.1 принимают следующий вид:

1) для любого £ 4171+1 множество \ либо пусто, либо состоит из одного вектора <2¿/2. .

2) для любых двух линейно независимых векторов и <Х, { $ $ ^ 171+ 1 ? выполняется соотношение ( Ю) .

Эти два свойства позволяют классифицировать обобщенные цепочки Тоды с числом Ковалевской ¡71+1 . Цепочку назовем полной, если к гамильтониану (9) нельзя добавить экспоненциальное слагаемое цехр<?>х>, Уо, и^лО, не нарушая условий ¿) - Ш) > а также условий (Г) , (2) теоремы ЗД при & = Ясно, что любая обобщенная цепочка, для которой {(-/71+1. получается из некоторой полной цепочки, если отбросить часть векторов вида ? 1 £ Ь 4 №■ +1 .

Пусть 171=1. Тогда, согласно теореме 3.1, набор векторов [би} полной одномерной цепочки Тоды с максимальным числом Ковалевской к- 2. совпадает с одним из трех множеств

1}-2/и,2/1 ; 2) -уи.у" ,2/. • ЗМ/.,-Д/( ; ум>0.

Случаи 2) и 3) можно не различать, так как после канонической замены ОС —» - ЭС > ^ *" у соответствующие гамильтонианы переходят друг в друга.

Теорема 3.2. Рассмотрим полную цепочку Тоды с числом Ковалевской & = + Если , то схема Дынкина системы векторов изоморфна одной из следующих схем: 1

11 1 о—о-¿1

О I

О-О1 1

Л * / с1 с1 о—о—о—о—о

17

I/ о! а)

1111(1 о— о— о—<|>—о—о

1) I I

О--О— г а

-о—-О-о о2 , 12 2 о— ои

I г N

3> г-)

I I ч о ч

111111

-о-о-С-о—о—о

11 I сI

-о2 о

2 2 -о—о ъс г 2 2/| и) ж

Чг *> I оI о-Л) Ь 3

05

Ж) рмс. 1 .

Классификация обобщенных цепочек Тоды с максимальным числом Ковалевской оказывается почти совпадающей с классификацией цепочек, удовлетворяющих необходимым условиям интегрируемости по Биркгофу главы II. Действительно, отличие состоит лишь в том, что схема л) главы II заменена в главе III на две схемы л) и м), соответствующие, между прочим, интегрируемым цепочкам. Таким образом, все цепочки, удовлетворяющие теореме 3.2, интегрируемы по Биркгофу за исключением случая з) , в котором вопрос об интегрируемости пока остается открытым.

В третьей главе рассмотрен также вопрос об условиях однозначности решений системы ({) ^ (9) в плоскости комплексного времени. При этом используется метод Ляпунова, основанный на рассмотрении уравнений в вариациях,[37]. Оказалось, что необходимое условие однозначности общего решения при комплексных имеет вид

ЧжЧпг ^ •

1. Абловиц M. , Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М. : Мир, 1987.

2. Алексеев В. М. Квазислучайные динамические системы I, II, III // Матем. сб. 1968. Т. 76. Вып. 1, С. 72-134; 1968. Т. 77. Вып. 4. С. 545-601; 1969. Т. 78. Вып. 1. С. 3-50.

3. Арнольд R iL Доказательство теоремы А. й Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // УЖ 1963. Т. 18. Вып. 5. С. 13-40.

4. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // УЖ 1963. Т. 18. Вып. 6. С. 91-192,

5. Арнольд В. И. 0 неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы // ДАН СССР. 1964. Т. 156. Вып.1. С. 9-12.

6. Арнольд В. й. , Козлов В. В. , Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 3. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР)". М. , 1985.

7. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М. : Наука, 1989.

8. Бибиков Ю. Н. Усиление одной теоремы Мозера /./ ДАН СССР. 1973. Т. 213. Вып. 4. С. 766-769.

9. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. М.-Л. : Гостехиздат. 1941.

10. Богоявленский О. И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М, : Наука. 1980.

11. Болотин C.B. Условие интегрируемости по Лиувиллю гамильтоно-вых систем // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. , мех. 1986. Вып. 3. С. 58-64.

12. Болотин С. В. Двоякоасимптотические к инвариантным торам движения в теории возмущений гамильтоновых систем // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 3. С. 497-501.

13. Болсинов A.B., Матвеев C.B., Фоменко А. Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности // УЖ 1990. Т. 45. Вып. 2.С. 49-78.

14. Борн М. Лекции по атомной механике. Харьков-Киев: Науч. -техн. изд. Украины. 1934.

15. Бурбаки Е Алгебра. Модули, кольца, формы. М.: Наука. 1966.

16. Бурбаки Е Группы и алгебры Ли. М.: Мир. 1972.

17. Гальперин Г. А. , Земляков А. Е Математические бильярды. М.: Наука. 1990.

18. Гийемин В. , Стернберг С. Геометрические асимптотики. М.: Мир. 1981.

19. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки: Сб. , посвященный памяти С. В. Ковалевской. М.-Л.: Изд-во АН СССР. 1940.

20. Дубровин Б. А. 5 Новиков С. П. , Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1979.

21. Дубровин Б, А. , Новиков С, Е , Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. М.: Наука. 1984.

22. Журавлев В. Ф. Уравнения движения механических систем с идеальными односторонними связями /./ БММ. 1978. Т. 42. Вып. 5. С. 781-788.

23. Иванов А. Е , Маркеев А. Е О динамике систем с односторонними связями /./ ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 4. С. 632-636.

24. Ковалевская с. В. Научные работы. М.: Изд-во АН СССР. 1948.

25. Козлов В. В. О несуществовании аналитических интегралов канонических систем, близких к интегрируемым // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. , мех. 1974. Вып. 2. С. 77-82.

26. Козлов В. В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // УМЕ 1983. Т. 38. Вып. 1. С. 3-67.

27. Козлов В. В. Расщепление сепаратрис и рождение изолированных периодических решений в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы // УМЕ 1986. Т. 41. Вып. 5. С. 177-178.

28. Козлов В. В. К теории возмущений гамильтоновых систем с некомпактными инвариантными поверхностями // Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем., мех. 1988. Вып. 2. С. 55-61.

29. Козлов В. В. О группах симметрий динамических систем // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 4. С. 531-541.

30. Козлов В. В. , Трещев Д. В. Об интегрируемости гамильтоновых систем с торическим пространством положений // Матем. сб. 1988. Т. 135(177). Вып. 1. С. 119-138.

31. Козлов RR, Трещев Д. В. Полиномиальные интегралы гамильтоно-вых систем с экспоненциальным взаимодействием // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1989. Т. 53. Вып. 3. С. 537-556.

32. Козлов В. В. , Трещев Д. В. Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды // Матем. заметки. 1989. Т. 46. Вып. 5. С. 17-28.

33. Козлов В. В. , Трещев Д. В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ. 1991.

34. Колмогоров А, Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1954. Т. 98. Вып. 4. С. 527-530.

35. Корнфельд И. IL , Синай Я. Г. , Фомин С. В. Эргодическая теория. М, : Наука. 1980.

36. Лазуткин В. Ф, Расщепление сепаратрис стандартного отображения Чирикова / Деп. ВИНИТИ 6372-84 от 24. IX. 1984.

37. Ляпунов А. М. Об одном свойстве дифференциальных уравнений задачи о движении тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку // Собр. соч. М. : Изд-во АН СССР. 1954. Т. 1. С. 402-417.

38. Манаков С. В. О полной интегрируемости и стохаетивации в дискретных динамических системах // ЖЗТФ. 1974. Т. 67. Вып. 2. С. 543-555.

39. Марке ев А. П. О качественном анализе систем с идеальной неу-держивающей связью // ПММ, 1989. Т. 53. Вып. 6. С. 867-872.

40. Мельников В. К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях // Тр. моек. мат. о-ва. 1963. Т. 12. С. 3-52.

41. Мельников В. К. о некоторых случаях сохранения условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1965, Т. 165. Вып. 6. С. 1245-1248.

42. Мельников В. К. Об одном семействе условно-периодических решений системы Гамильтона // ДАН СССР. 1968. Т. 181. Вып. 3. С. 546-549.

43. Мозер Ю. Лемма о гиперболических неподвижных точках диффеоморфизмов // УМН. 1974. Т. 29. Вып. 2. 228-232.

44. Мозер Ю. О разложении условно-периодических решений в сходящиеся степенные ряды // УЖ 1969. Т. 24. Вып. 2. С. 165-211.

45. Нейштадт А. И. О разделении движений в системах с быстро вращающейся фазой .// ПММ. 1984. Т. 48. ВЫП. 2. С. 197-204.

46. Нейштадт А. И. Скачки адиабатического инварианта при переходах через сепаратрису и происхождение люка Кирквуда 3:1 // ДАН СССР.1987. Т. 295. Вып. 1. С. 47-50.

47. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978.

48. Переломов А. М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. Цепочка Тоды. / Препринт 111. М.: ИТЭФ. 1983.

49. Переломов А. М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М.: Наука. 1990.

50. Пидкуйко С. И. , Отепин А. М. Полиномиальные интегралы Гамильто-новых систем // ДАН СССР. 1978. Т. 239. Вып. 1. С. 50-51.

51. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Т. 1-3. В кн.: Избр. труды. Т. 1-2. М.: Наука. 1971-1972.

52. Пуанкаре А. О задаче трех тел и об уравнениях динамики // Избранные труды. Т. 2. М.: Наука. 1972.

53. Рашевский IL К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М. ,* Наука. 1967.

54. Рыбникова Т. А. , Булатская Т. Ф. , Родников L В. О стабилизации вращения гелиоцентрического спутника с солнечным парусом // Космич. исслед. 1988. Т. 26. С. 625.

55. Рыбникова Т. А. , Трещев Д. В. Существование инвариантных торов в задаче о движении спутника с солнечным парусом // Космич. исслед. 1990. Т. 28. С. 309-312.

56. Степин А. М. Интегрируемые гамильтоновы системы // Качественные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений и нелинейных колебаний. Киев; Ин-т математики АН УССР. 1981. С. 116-143.

57. Серр Ж. -П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир. 1969.

58. Суслов Г. К. Теоретическая механика. Гостехиздат. 1944.

59. Тода М. Теория нелинейных решеток. М.: Мир. 1984.

60. Трещев Д. В. О существовании бесконечного количества невырожденных периодических решений гамильтоновой системы, близкой к интегрируемой // Геометрия, дифференциальные уравнения и механика. М.: Изд-во МГУ. 1986. С. 121-127.

61. Трещев Д. В. Механизм разрушения резонансных торов гамильтоно-вых систем // Матем. сб. 1989. Т. 180. Вып. 10. С. 1325-1346. ,

62. Трещев Д. В. О сохранении инвариантных многообразий гамильто-новых систем при возмущении // Матем. заметки. 1991. Т. 50. Вып. 3. С. 123-131.- 20-7

63. Трофимов ЕЕ,. Фоменко А. Т. Интегрируемость по Лиувиллю гамильтоновых систем на алгебрах Ли // УЖ 1984. Т. 39. Вып. 2. С. 3-56.

64. Уиттекер Е. Т. Аналитическая динамика. Е , Л.: Гостехиздат. 1941.

65. Уиттекер Е. Т. , Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Т. 1. М.: Физматгиз. 1963.

66. Adler М. , van Moerbeke P. Completely integrable systems, Euclidean Lie algebras and curves // Adv. Math. 1980. V. 38. P.267.317.

67. Adler M. , van Moerbeke P. Kowalewski's asymptotic method, Kac-Moody Lie algebras and regularization /./ Comrnun. Math. Phys. 1982. V. 83. P. 83-106.

68. Birkgoff G. D. Proof of the ergodic theorem // Proc. Nat. Aoad. Sci, USA. 1931. V. 17. P. 656-660.

69. Bogoyavlensky 0. I. On perturbations of the periodic Toda lattices // Commun. Math. Phys. 1976. V. 51. P. 201-209.

70. Bountis T. , Segur H. , Vivaldi F. Integrable Hami1tonian systems .and the Painleve property ././ Phys. Rev. A. General Physics. 1982. V. 25. no. 3. P. 1257-1264.

71. Calogero F. Exactly solvable one-dimensional many body problems // Letters al Nuovo Cimento. 1975. V. 13. no. 11. P. 411-416.

72. Chang Y. F. , Greene J. M. , Tabor M. , Weiss J. The analitic structure of dynamical systems and self-similar- natural boundaries // Phys. D. 1983. V. 8. no. 1. P. 183-207.

73. Dieudonne J. Treatise of analysis. New York: Academic Press. 1969.

74. Douady R. Une demonstration directe de Гecvivalence des theorernes de tores invariants pour diffeomorphismes et champs de vecteures // c. r. Acad. sci. Paris A. 1982. no. 295. P. 201.

75. Flashka H. The Toda lattice. 1. Existence of integrals // Phys. Rev. 1974. V. 9. P. 1924-1925.

76. Graff S. M. On the conservation of hyperbolic tory for Hami 1 tonian systems // J. Differ. Equat. 1974. V. 15. no. 1. P. 1-69.

77. Helgason S. Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces. New York- Academic Press. 1978.

78. Holmes P. J. , Marsden J. E. Melnikov's method and Arnold diffusion for perturbations of integrable Hamiltonian systems //J. Math. Phys. V. 23. 1982. no. 4. P. 669-675.

79. Henon M. Integrals of the Toda lattice // Phys. Rev. 1974. V. 9. P. 1921-1923.

80. Kostant B. The solution of a generalized Toda lattice and representation theory // Adv. Math. 1979, V. 34. P. 195-338,

81. Kozlov V. V. s Treshchev D. V,' Billiards. A genetio introduction to the dynamics of systems with impacts, Arner. Kfoth. Soc. Translations of Mathematical Monographs V.89. 1991.

82. Lazutkin V, F, , Schachmanski LG, , Tabanov M. B. Splitting of separatrices for standard and semistandard mappings // Phys, D. 1989, V. 40, P, 235-248.

83. Moser j. Three integrable Hamiltonian systems connected with isospectral deformations // Adv. Math, 1975. V. 16, P. 197-220.

84. Olshanetsky M, , Perelomov A. Explicit solutions of classical generalized Toda models // Invent. Math. 1979, V. 54. no. 3. P, 261-269.

85. Salamon D, , Zehnder E. KAM theory in configuration space // Comment, Math. Helv. 1989, V. 64. no. 1. P, 84-132,

86. Sklyanin E, K. Boundary conditions for integrable quantum systems. Preprints / LOMI, L. 1986.

87. Takens F. A C1counterexample to Moser's twist theorem // Indag. Math. V. 33, no, 4, 1971. P. 379-386,

88. Yoshida H. Necessary condition for the existence of algebraic first integrals. 1,11 // Cel. Mech. 1983, V. 31. no. 4, P. 363-379;, P. 381-399.

89. Wiggins S. Global bifurcations and chaos. Analitical methods Applied Mathematical Sciences. N. Y. -Berlin. Springer-Verlag. 1988.

90. Zehnder E. An implicit function theorem for small divisor problems // Bull. Amer, Math. Soc. 1974, V, 80, no. 1. P. 174-179,

91. Zehnder F. Generalised implicit function theorems with ■implications to some small divisor problems 1,11 /7 Coinm. Pure AppL Math. 1975. V. 28. no. 1. P. 91-140. ; 1976. V. 29. no. 1. P. 49-111.Основные результаты диссертации.

92. Найден критерий полной интегрируемости гамильтоновых систем с торическим пространством положений,, биинвариантной кинетической" энергией и малым потенциалом в виде тригонометрического полинома". •

93. Получена полная классификация "интегрируемых систем с экспоненциальным взаимодействием обобщенных цепочек Тоды.;

94. Для аналитической системы" .дифференциальных уравнений введен новый инвариант число Ковалевской. Показано, что числа Ковалевской .интегрируемых обобщенных цепочек Тоды максимальны.

95. Найдены условия сохранения инвариантных многообразий гамиль-тоновой системы при возмущении системы.