Метод Ковалевской и поиск условий интегрируемости динамических систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

1 Квазиоднородные системы

1.1 Необходимые определения. Показатели Ковалевской.

1.2 Построение формального общего решения.

1.3 Теоремы об инвариантах.

1.4 Связь с теорией Зиглина и теоремой Пуанкаре

2 Системы с экспоненциальным взаимодействием

2.1 Понятие систем с экспоненциальным взаимодействием.

2.2 Вычисление показателей Ковалевской.

2.3 Алгебраическая неинтегрируемость псевдоевклидовых систем с экспоненциальным взаимодействием.

2.4 Системы с экспоненциальным взаимодействием в пространстве с метрикой Минковского.

3 Тензорные инварианты квазиоднородных систем

3.1 Обозначения и некоторые замечания.

3.2 Тензорные инварианты. Теорема Козлова

3.3 Теорема о резонансах на показателях Ковалевской.

3.4 Метод поиска тензорных инвариантов

4 Интегрируемость по Биркгофу систем с потенциалом экспоненциального вида

4.1 Интегрируемые по Биркгофу системы с экспоненциальным взаимодействием

4.2 Метод Ковалевской. Первые интегралы.

Структура работы и полученные результаты

В настоящей работе мы будем изучать квазиоднородные системы ОДУ. Симметрия таких уравнений, связанная с инвариантностью относительно растяжений, позволяет легко провести тест на однозначность общего решения, но, что более интересно, в этом случае возможно сформулировать конструктивные утверждения об инвариантах системы. При рассмотрении формальных полнопараметрических рядов, представляющих общее решение квазиоднородных ОДУ можно получить информацию о степенях однородности первых интегралов, полей симметрий и других тензорных инвариантов.

Помимо введения работа содержит четыре главы и приложение. Оригинальными являются результаты, полученные в главах 2, 3 и 4.

В первой главе мы дадим определение квазиоднородных уравнений и связанных с ними понятий, таких как матрица и показатели Ковалевской. Все определения и теоремы будут проиллюстрированы на простейших примерах. Далее мы приведем известные результаты, составляющие основу ставшей уже классической теории X. Иошиды. И в заключение обсудим представление общего решения вблизи особой точки в виде полнопараметрических обобщенно-степенных рядов, ветвление решений и связь с классическими результатами, такими как теорема Пуанкаре о вырождении периодических решений и теорема Зиглина о ветвлении решений и неинтегрируемости гамильтоновых систем. Квазиоднородные системы являются прекрасной моделью для демонстрации метода Ковалевской и обсуждения лежащих в его основе идей, поэтому глава достаточно объемна.

Вторая глава посвящена системам с экспоненциальным взаимодействием. Изучение таких систем является весьма популярной темой последних десятилетий. В связи с появившимися в космологии приложениями таких систем встает вопрос о возможности перенесения полученных результатов на псевдоевклидов случай. Мы предъявим методику вычисления показателей Ковалевской произвольных систем с экспоненциальным взаимодействием. Используя эту методику, мы докажем ряд утверждений, из которых, в частности, последует невозможность обобщения на псевдоевклидов случай условий интегрируемости евклидовых систем. Мы покажем также, что знаконеопределенность псевдоевклидовой метрики принципиальна и приводит к ветвлению решений и алгебраической неинтегрируемости. Таким образом, в главе 2 мы применим существующие на сегодня методы исследования к определенному классу систем, что будет служить демонстрацией понятий и методов, описанных в главе 1.

Основным результатом третьей главы будет доказательство теоремы о резонан-сах на показателях Ковалевской. Сформулированное там утверждение включает почти все известные сейчас теоремы о связи показателей Ковалевской со степенями однородности тензорных инвариантов квазиоднородных систем. Кроме доказательства теоремы и обсуждения некоторых следствий, мы предъявим алгоритм, по которому можно находить полиномиальные инварианты, либо ряды, представляющие собой тейлоровские разложения инвариантов вблизи некоторых точек. Предлагаемый алгоритм мы продемонстрируем на примере поиска первого интеграла в простой системе с двумя степенями свободы. Обсудим также связь между ветвлением решений и несуществованием голоморфных тензорных инвариантов.

В качестве демонстрации теории, развитой в главе 3, в четвертой главе мы вернемся к рассмотрению систем с экспоненциальным взаимодействием и найдем полный набор первых интегралов гамильтоновой системы с четырьмя степенями свободы. Вопрос интегрируемости этой системы открыт уже давно и важен для завершения классификации интегрируемых систем.

Приложение содержит иллюстрации к введению и некоторые громоздкие формулы, которые, будучи выписаны в основном тексте, затруднили бы понимание.

Интегрирование систем ОДУ

Задача интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений относится к классическим, возникла вместе с самим понятием дифференциального уравнения и всегда была важна для приложений.

Первоначально задача понималась буквально: найти явные формулы для неизвестных функций. Уже позднее было введено понятие интегрируемости в квадратурах. При сведении задачи к квадратурам центральную роль играют симметрии исследуемых уравнений. Для того, чтобы свести решение к вычислению интегралов и обращению функций, система должна обладать достаточно богатой группой симметрий. Для автономных разрешенных относительно производной систем уравнений первого порядка, а именно такие системы мы будем изучать, это утверждение формулируется в виде теоремы Ли.

Теорема (С. Ли). Пусть в n-мерном фазовом пространстве имеется векторное поле v(x) и п — 1 векторных полей и\. .ип-\, коммутирующих с ним: [г>, Uj] = 0. Если поля щ образуют разрешимую алгебру Ли, то система уравнений х = v(x) интегрируется в квадратурах.

Гамильтонов вариант теоремы Ли — теорема Лиувилля. Интегрируемая по Ли-увиллю гамильтонова система допускает коммутативную алгебру полей симметрий максимальной размерности на совместном уровне первых интегралов.

Напомним, что первым интегралом системы ОДУ называется такая функция фазовых переменных, что ее значение постоянно на фазовых траекториях системы. Согласно теореме о выпрямлении локально уравнения всегда допускают полный набор интегралов, поэтому задача о существовании достаточного числа первых интегралов имеет практическую ценность либо вблизи особой точки, либо в окрестности периодического решения, либо в достаточно большой области фазового пространства.

Итак, для интегрирования системы необходимо указать такой набор ее первых интегралов (инвариантных многообразий), чтобы векторное поле системы при ограничении на их совместный уровень удовлетворяло условиям теоремы Ли. Можно это сделать или нет, составляет как раз проблему интегрируемости.

Неинтегрируемость

Строгие результаты о неинтегрируемости появились после безуспешных попыток решить многочисленные актуальные проблемы динамики. А. Пуанкаре был первым, кто указал на препятствующие интегрируемости эффекты — расщепление сепаратрис и рождение изолированных периодических решений. Пуанкаре впервые связал неинтегрируемость со сложным поведением траекторий в фазовом пространстве. «Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет однозначного интеграла. », — писал он о пересечении сепаратрис, обнаруженном им в задаче трех тел.

Открытие» феномена динамического хаоса уже в современное время вызвало взрыв интереса к классическим проблемам. Использование вычислительной техники позволило увидеть сложное поведение фазовых траекторий и такие объекты как странные аттракторы диссипативных уравнений и стохастические слои гамильтоновых систем. В фазовом пространстве стохастических систем существуют множества ненулевой меры, в которых траектории локально неустойчивы, что проявляется как чувствительность к заданию начальных данных и приводит к экспоненциальному разбеганию первоначально близких точек. Компьютерные эксперименты позволили убедиться, что сам факт детерминистического описания некоторого физического явления системой ОДУ (или даже простым отображением с дискретным временем) еще не означает, что модель способна давать предсказания. Предсказуемость возможна лишь для интегрируемых систем, в которых нет динамического хаоса. Все вышесказанное переводит проблему исследования интегрируемости и неинтегрируемости ОДУ на новый уровень и делает ее принципиальной для приложений.

Сделаем оговорку: неинтегрируемость системы ОДУ вовсе не обязательно означает невозможность изучения с помощью такой математической модели какого-либо физического явления. Для нас становится невозможным предсказывать состояние системы для произвольных моментов времени (и начальных данных), что вовсе не означает невозможность исследования свойств фазового потока и сопоставления их с физическими эффектами. Подобные исследования требуют изучения хаотического поведения как такового.

Метод Ковалевской

Не существует универсального способа отделить интегрируемые уравнения от неинтегрируемых. Задача классификации интегрируемых нелинейных уравнений, видимо, не будет решена в обозримом будущем. В классический период каждая нетривиальная интегрируемая система входила в «золотой фонд» и тщательно изучалась. С некоторыми оговорками, это справедливо и сейчас.

Тестов на интегрируемость немного. Предложенный С. В. Ковалевской метод занимает особое место, потому что первое же его применение обернулось успехом: был найден новый интегрируемый случай в задаче о движении твердого тела с неподвижной точкой [4]. Система уравнений Эйлера-Пуассона, которая изучалась Ковалевской имеет вид:

1ш = 1ш х ш + х г, 7 = 7 х w, где (X — масса тела, wjGE3- вектор угловой скорости и постоянный единичный вектор, направленный вверх в неподвижной системе координат, ц — масса тела, г 6 Е3 - радиус-вектор центра масс. Уравнения записаны в жестко связанной с телом системе координат, в которой диагонален тензор инерции I = diag(/i, I2,13). Без преувеличения можно сказать, что это самая знаменитая задача механики, конкурировать с ней по популярности может разве что проблема трех тел.

Функции Е = (1ш,ш)/2 — fi(r, 7), Я = (1ш, 7) и G = (7,7) — первые интегралы и для интегрируемости не хватает одного дополнительного интеграла. До работы Ковалевской были известны случаи интегрируемости Эйлера-Пуансо: г = 0, дополнительный интеграл М = (Iu,uj)\ и Лагранжа: Д = /2, гх = гу — 0, интеграл — W3. Новый интегрируемый случай был найден из наблюдения, что в задачах Эйлера-Пуансо и Лагранжа общее решение уравнений мероморфно на комплексной плоскости времени. Ковалевской было проведено исследование, направленное на поиск условий, при которых общее решение представляется формальным ме-роморфным рядом. Подобное представление оказалось возможным еще в одном случае: 1\ — /2 = 2/3, rz = 0. При таких значениях существует интеграл Ковалевской: (uj\ — ь)\ — a7i)2 + (2и)!Ш2 — сгуг)2, где а = //(г2 + г2)//3. Позднее А. М. Ляпунов [5] показал, что общее решение ветвится на комплексной плоскости времени во всех случаях, исключая перечисленные интегрируемые ситуации.

В приложении приведены данные численного моделирования уравнений Эйлера-Пуассона. Показаны фазовые портреты интегрируемых ситуаций, типичные хаотические фазовые портреты, а также пересечение сепаратрис в неинтегри-руемой ситуации.

В дальнейшем появилось много других примеров интегрируемых систем, в которых существующие первые интегралы продолжались в комплексную область как однозначные функции своих аргументов. При этом общее решение представляется однозначными функциями. Естественным образом появляется задача о связи между однозначностью общего решения и существованием достаточного числа однозначных первых интегралов системы ОДУ — так называемая задача Пенлеве-Голубева [б]. Упоминавшиеся исследования Ляпунова решают эту задачу для уравнений Эйлера-Пуассона: однозначность общего решения эквивалентна интегрируемости и существованию полного набора однозначных первых интегралов.

Такая постановка задачи представляется весьма интересной. Известно, например, что между к эллиптическими функциями существует к — 1 алгебраическое соотношение, если периоды этих функций совпадают. В работе [22] введены алгебраически интегрируемые гамильтоновых системы, имеющие полный набор полиномиальных первых интегралов. Тем не менее однозначность общего решения (даже на алгебраической римановой поверхности) не является необходимым условием интегрируемости. Задача Пенлеве-Голубева связана с построением формальных полнопараметрических разложений общего решения, исследованием их сходимости и комплексно-аналитических свойств.

Если для линейных ОДУ особенности решений совпадают с особенностями коэффициентов, то для нелинейных уравнений это не так. Уже простейшее нелинейное уравнение х = х2 имеет решение с подвижной1 особенностью: х = l/(t0 — t). В приведенном примере подвижная особенность представляет собой простой полюс и решение однозначно. Однако, в общем случае решение системы ОДУ ветвится, причем характер ветвления логарифмический.

Пенлеве классифицировал уравнения вида х = R(x,x,t), где R — рациональная функция х и х с мероморфными по t коэффициентами. С точностью до диффеоморфизма2 можно предъявить пятьдесят уравнений, не имеющих подвижных критических точек [6]. При этом шесть уравнений не сводятся к квадратурам или уравнению первого порядка: х = 6х2 + t, х — 2х3 + tx + a, х = х2х~1 + е* (ах2 + Ъ) + e2t (сх3 + dx~l) , х = + ^я3 + 4tx2 + 2 (t2 - а) х + Ьх~х, .2/ 1 1 \ X (х-1 f ( Ь\ X ,х (х + 1)

X = х2 — +-7 - т + --ТГ2- \ах + -) +c- + d- '

2х х — 1J t t2 V ж / t х — 1 х2 (\ 1 1 \ . (\ 1 1 = - +-г +-г - ® т + :-г +

2 \х х — 1 х — t J \t t — 1 х — t x (x - 1) (x - t) ( t t- 1 ,t(t-l) + „ , [ a + b— -+- c--+ d v > t2{t-iy \ x2 {x-iy (x-tf

Общие решения четырех из этих уравнений — мероморфные функции, два из уравнений Пенлеве имеют логарифмические точки ветвления.

Зависящей от начальных данных с некоторыми дополнительными ограничениями

В зарубежной литературе принята следующая терминология. Говорят, что система обладает свойством Пенлеве, если на комплексной плоскости независимой переменной особенности ее решений только полюса. Если же имеются алгебраические точки ветвления, то говорят о слабом свойстве Пенлеве. В этом случае решение однозначно на римановой поверхности, задаваемой алгебраическим соотношением. В отечественной литературе поиск условий, при которых общее решение не имеет других комплексных особенностей, кроме полюсов, называют тестом Ковалевской.

С современной точки зрения идею метода Ковалевской можно выразить следующим образом: решение системы нелинейных ОДУ голоморфно на соответствующей римановой поверхности; голоморфная функция устроена достаточно просто, поэтому сложное поведение в действительной области обусловлено сложным строением римановой поверхности. Стохастическое поведение возникает при проходе по некоторому контуру, соответствующему действительному времени на этой сложной поверхности. Сам метод состоит в подборе таких значений параметров системы, при которых существуют формальные полнопараметрические ряды, удовлетворяющие уравнениям и содержащие в качестве особенностей только полюса и алгебраические точки ветвления. Существование таких рядов и соответствующих параметров, конечно, не доказывает интегрируемости. Даже для того, чтобы говорить о мероморфности (в случае полюсов) решения необходимо доказать их сходимость. Однако, при таких значениях параметров поиск полного набора первых интегралов имеет более всего шансов оказаться успешным. Часто это можно строго сформулировать в виде некоторых утверждений, необходимых для существования первых интегралов или полей симметрий определенного класса. Соответственно, метод Ковалевской может использоваться для доказательства неинтегрируемости.

Все сказанное относилось динамическим системам, представляющим собой ОДУ, однако, возникающие в физике динамические системы чаще представляют собой дифференциальные уравнения с частными производными. Интегрирование таких уравнений либо исследование их решений гораздо более сложная задача. Тем не менее, разработанный в последние десятилетия метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) позволяет интегрировать нелинейные эволюционные уравнения. В связи с этим часто возникает вопрос: возможно ли предложить конструктивный способ распознавания интегрируемых с помощью МОЗР уравнений. Как одна из попыток ответа возникла так называемая ARS-гипотеза [27], суть которой сводится к тому, что для интегрируемости по МОЗР нелинейного эволюционного уравнения любая его редукция к ОДУ должна обладать свойством Пенлеве. В качестве примера приведем, пожалуй, самое известное из интегрируемых эволюционных уравнений — уравнение Кортевега-де Фриза (КДФ): щ = биих - иххх.

Для независящих от t решений и = и{х) получаем уравнение, интегрируемое в эллиптических функциях: ихх = Зи2 + а, а е R.

Особенности эллиптических функций — полюса, образующие на комплексной плоскости решетку, следовательно, полученная редукция выдерживает тест Ковалевской на мероморфность. Рассмотрение еще одного типа решений уравнения КДФ в виде бегущих волн и = и(х — at) также приводит к уравнению, интегрируемому в эллиптических функциях: и" = 3и2 + аи + р, а, /3 € Е.

Сепаратриса в этом уравнении представляет собой солитонное решение уравнения КДФ.

После появления ARS-гипотезы появились примеры, показывающие, что необходимо несколько ослабить требования, по крайней мере, требовать слабого свойства Пенлеве. В физической литературе применительно к ОДУ вместо исторически оправданных названий иногда применяют термины «ARS-свойство» и «ARS-тест».

1. Емельянов К. В., Цыгвннцев А. В. Показатели Ковалевской систем с экспоненциальным взаимодействием // Матем. сборник. — 2000, Т. 191, №10, с. 39-50.

2. Емельянов К. В. К вопросу о классификации интегрируемых по Биркгофу систем с потенциалом экспоненциального вида // Матем. заметки. — 2000, Т. 67, №5, 797-801.

3. Борисов А. В., Емельянов К. В. Неинтегрируемость и стохастичность в динамике твердого тела. — Ижевск: Изд. УдГУ, 1995. 56 стр.

4. Ковалевская С. В. Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки // В кн. Научные работы. — М.: Наука, 1948. 153-220.

5. Ляпунов А. М. Об одном свойстве дифференциальных уравнений задачи о движении тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку //В кн. Собр. соч. Т. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1954. 402-417.

6. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М.-Л: Гостехиздат, 1950. 436 стр.

7. Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. — М.-Л.: Гостехиздат, 1953. 287 стр.

8. Тода М. Теория нелинейных решеток. — М.: Мир, 1984. 262 стр.

9. Богоявленский О. И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. — М.: Наука, 1980. 319 стр.

10. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики //В кн. Совр. пробл. мат. Фундаментальные направления, Т. 3. - М.: ВИНИТИ, 1985. 304 стр.

11. Козлов В. В. Тензорные инварианты квазиоднородных систем дифференциальных уравнений и асимптотический метод Ковалевской-Ляпунова // Ма-тем. заметки. 1992. Т. 51. №2, 46-52.

12. Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. — Ижевск: Изд. УдГУ, 1995. 429 стр.

13. Козлов В. В., Трещев Д. В. Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды // Матем. заметки. — 1989, Т. 46, №5, 17-28.

14. Козлов В. В., Трещев Д. В. Полиномиальные интегралы гамильтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием // Изв. АН СССР, Сер. матем. — 1989, Т. 51, №3, 537-556.

15. Козлов В. В., Фурта С. Д. Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений. — М.: Изд. МГУ, 1996, 244 стр.

16. Зиглин С. Л. Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамильтоновой механике. 1,11 // Функц. анализ и его прил. — 1982, Т. 16, №3, 30-41; 1983, Т. 17, №, 8-23.

17. Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. — Ижевск: Изд. дом «Удмуртский Университет», 1999.

18. Flashka Н. The Toda lattice. I. Existence of integrals // Phys. Rev. 1974, №9, 1924-1925.

19. Bogoyavlensky О. I. On perturbation of the periodic Toda lattice // Commun. Math. Phys.-1976, v. 51, N 3, 201-209.

20. Adler M., van Moerbeke P. The Toda lattice, Dynkin diagrams, singularities and Abelian varietes // Invent, math. 103, 223-278 (1991).

21. Adler M., van Moerbeke P. Kowalewski's asymptotic method, Kac-Moody Lie algebras and regularization // Commun. Math. Phys. — 1982, v. 83, 83-106.

22. Adler M., van Moerbeke P. A systematic approach towards solving integrable systems //In Perspectives in Mathematics. — New York: Academic Press, 1987. 254 p.

23. Adler M., van Moerbeke P. Completely integrable systems, Euclidean Lie algebras and regularization // Adv. Math. 1980, v. 38, 267-317.

24. Sklyanin E. К. Boundary conditions for integrable quantum systems. Preprint. — LOMI. L., 1986. 36 p.

25. Yoshida H. Necessary condition for the existence of algebraic first integrals // Celestial mechanics. — 1983, v. 31, 363-399.

26. Yoshida H. A criterion for the non-existence of an additional analytic integral in Hamiltonian systems with n degrees of freedom // Phys. Lett.A. — 1989, v. 141, №3-4, 108-112.

27. Ablowitz M. J., Ramani A., Segur H., A connection between nonlinear evolution equations and o.d.e.'s of P-type. // J. Math. Phys., 1980, v. 21, 715-721.

28. A. Tsygvintsev. On the existence of polynomial first integrals of quadratic homogeneous systems of ordinary differential equations. //J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001) 2185-2193

29. Pavlov A. E. The Mixmaster Cosmological Model as a Pseudo-Euclidean Generalized Toda Chain // Regular and chaotic dynamics. — 1996, №1, 111-119.

30. Bountis Т. C. Drossos L. B. Evidence of a natural boundary and nonintergability of the mixmaster Universe model. // J. of Nonlinear Sci. — 1997, v. 7, 45-55.

31. Borisov A. V., Dudoladov S. L. Kovalevskaya Eponents and Poisson Structures. // Regular and chaotic dynamics. — 1999, v. 4, №3, 13-20.