Условия интегрируемости неавтономных гамильтоновых систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

р; 6 од

- э ЛПР 1993

Московский ордена Ленива, ордена Октябрьской реаашшции и ордена Трудового Красного Знамени Государственный Университет им. М. В. Ломоносова

м е х аншсо-м атекатггче ск а факультет

На правах рукописи Ш 531.01

КИРГЕТОВА Светлана Владимировна УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ НЕАВТОНОМНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ

01. 02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992

Работа выполнена «а кафедре теоретической механики механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель -

доктор физихо-математческих наук, проф. В. В. Козлов.

Официальные оппоненты -

доктор физико-математических наук А. П. Иванов, кандидат физико-математических наук Д. Л. Абрароа.

Ведущая организация - Институт машиноведения РАН.

Залдата Диссертации состоится "23 й 1933 года

в /Ь час. && мин. на заседании специализированного совета Д 053.05. 01 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, меха-шисо-катематический факультет, ауд. /б У*?

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан " 22^ ^1933 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 053.05.01 при МГУ, доктор физико-математических наук

Д. В. Трещав

ОБЩАЯ Ш>ЖГЕРКСЯт РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена вопросам интегрируемости

неавтономных гаиильтоковнх систем, содержащих малый параметр , ее

связи с существованием бесконечного числа невырожденных периодических решений Пуанкаре, вопросу сугцгствоагяйя аолиноинальиых первых интегралов неавтономная гамильтоковых систем экспоненциального взаимодействия, а такие изучение колебаний вблизи пояоае-'н'ля равновесия одного класса нелинейных колебательных скстеи.

Актуальность темы. К настоящему времени в динамике извёстао довольно много ^нптркруемых задач (одагояеркыэ задачи, эйлерово и лагранжезо двхгкекин твердого тела, движение точки в центральном поле и другие задачи). Возмояность ренекия в сел этих задач для систем с л степенями езободы ссковако на «ущзстЕоаакгш п первых незавЕсжгах илтех рглов в кнзелюатга. В этик случаях согласно теореме Яиувилгз уравнения явикения решается в квадратурах. Однако в типичной ситуации интегралы не только ке удается - экайти, но очи зоесв на существуют (речь ядет о суп^стаоЕакяг. пятегралов во всем фазовой пространстве задачи), т.к. тргег.горйк гагагьтоновьк систем, вообщэ говоря, не ложатся з:г иг^эгралькыэ икогообразия.

К числу указанных систем относятся, например, системы, близкие к интегрируемым, отличавшее я от ках каяка возмущением. Изучение подобных задач А. Пуанкаре яггавая основной проблемой динамики1. Пуанкаре зе принадлежат первые строгие результаты о кеннтег-рируеиости гамлльтоноЕЫХ скстеи. В 1850 году он доказал несуществование аналитических интегралов, которые нежно представить в виде сходящихся рядов по степеням малого параметра.

Пуанкаре указал такяв явления качественного характера в по-

1 Пуанкаре А. Новые метода небесной механики // А. Пуанкаре. Избранные труды. Т. 1. М.: Наука, 1971.

ведении разовых траекторий, ирепятствушие появление новых интегралов. Среди них - рсадекие изолированных периодических решений и расщепление асимптотических поверхностей. Невозможность продолжить локально существующие интегралы до интегралов "в целом" связана со слохным поведением фазовых траекторий на уровне тех интегралов (вроде интеграла энергии), которые азввстзш, но имеются в недостаточном числе.

В последнее время реализованы некоторые евзмоеыости метода Пуанкаре, которые позволили доказать нетпегрщф&яоеть ряда ватных задач гашяьтсяовой механики. К таким задачам, например, относится решезжаа В. В. Хаз ловим и Д. Б. Треневы«2 задача о иеинтегри-руемости гакштшюш систем с торическим пространством положений. Авторами найден -критерий интегрируемости изучаемых автономных систем. В предлагаемой диссертационной Рабате эта задача обобщена на общий шжшшшй случай.

Другим видом изучаемых в диссертационной -работе систем является системы с гамильтшш»нда, зависящие от координат и времени экспоненциально. Такие систвны можно рассматривать как обобдагше конечной периодической цепочки Тоды3, полная интегрируемость которой была установлена в работах М. Эда>4, Г. Флэшей5. С.Б.Манако-ва6. Метод всех этих работ основав ша яредстаалевиии уравнений

2 Козлов В. В. , Трещев Д. В. Об интегрируемости тамильтоновых систем с торическим пространством положений // Мат. сбор. 1988. т. 135. вып. 1, С. 119-138.

3 Тода И. Теория нелинейных решеток. Ы.: Мир, 1984.

4 Henon М. Integrals of the Toda lattice // Phys. Rev. 1974. B.9. P.1921-1923.

5 Flashka H. The Toda lattice. I. Existence of Integrals // Phys. Rev. 1974. B.9. P.1924-1925.

8 Канаков С. В. О полной интегрируемости и стохастизации в дис-

- о -

Гамильтона в виде 1-А пары Яакса. Обобщение цепочек Тоды на автономные гакильтоновы системы с экспоненциальным взаимодействием дано В. В. Козловым и Д. В. Трецезыи7. Задачи, рассматриваемые в диссертации, лежат з русле исследования этих авторов.

Третья часть работы посвящена иной проблеме, а именно, задаче устойчивости положения равновесия одного конкретного класса нелинейных колебательных сг.сгем. Обэде вопросы устойчивости сас-•тем подобного типа били изучены В. В. Козловки8 ,а. Полученные в этих работах результаты легат в основе исследования, проведенного з предлагаемой диссертационной работе.

Цель работы. Распространить полученные ранее результаты об интегрируемости периодических гймильтозовых систем и сг.стем с экспоненциальны;-! взаимодействием на обдай неавтономный случая, а также провести качественный анализ одного класса нелинейной колебательной скстеш с экспоненциальным взаимодействием.

Метод исследования. При нахо&декип условий интегрируемости рассматриваемых задач используется метод теории возмущений га-икяьтоновых систем, содержащих малый параметр. Этот метод заключается в поиске канонической замены перенежных так, чтобы иовкй гада.тьтокиан имел заданный заранее вид. Различные способы закены переменных были предложены Линдзтедтом (А.Li.ndst.fidt), Еьюкоибсю

кретеых зяшакячесгзп: системах // КЭТФ. 1974. т. 87, вьга. 2, С. 543-555.

7 Козлов В. В., Тр&г^в Д. 3. Полиномиальные пптегралы гамняьтоновцх систем с экспоненциальным взаимодействие« // Изв. АН СССР. сер. шт. 1389. т. 53, N 3, С. 537-557.

0 Козлов В. В. Об устойчивости полог,енкй равновесия в нестационарном силовом пояэ//1211, 1991. Т. 55, внл.1, С. 12-19.

9 Козлов В.В. О падения тяжелого твердого тела в идеальной хлд-еости // 1Ьг5. М СССР. МТТ. 1989, N 5, С.10-17.

Делоне (С1). Ве1аи»ау), А.Пуанкаре, йзйпеяем (Н.2е1-ре1 >, Н. М. Крылоаым и Н. Н, Боголюбовым. В настояпэй работе приманен одни из первых мэтодов, разработанный Линжитектом. Современную форму ему вридая Пуанкаре10. 3 работе такке использован известный метод теории возмуцений - принцип усреднения.

Научная новизна работа состоит в следующем:

1. Найден критерий интегрируемости по Пуанкаре кзазтономкых гамильтоновых слетам с гамильтонианом в виде тригонометрического многочлена, а также установлена связь меяду существованием большого числа невырожденных периодических ревений гамияьтоновой системы и ее неинтегрируемостью.

2. Для неавтономных гзмияьтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием получены необходимые условия неинтегрируемости по Пуанкаре, а для систем, не содержаких иаяый параметр и иыевдкх полторы степени свободы, - условия интегрируемости по Бирхгофу.

* 3. Доказана теореиа об асимптотической устойчивости положения равновесия колебательной системы

х = -е'(е*-е~*),

по отношения к координате х, а такие построена асимптотика малых колебаний этой системы.

Практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер.

Апробация работы. Результаты работы были доложены и обсуждены на научно-исследовательских сешшарах механико-математического факультета МГУ.

Структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав основного текста. Главы разбиты на параграфы, параграфы на

10 Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // А. Пуанкаре. Избранные труды. Т. 1. М.: Наука, 1971.

пункты. Обтай объем работы 84 страницы. В библиографии 37 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Первая глава предлагаемой работы посвящена задаче интегрируемости неавтономных гамкльтоновых систем с потенциалом в виде тригонометрического многочлена.

В §1 главы 1 приведена классическая схеиа теории возмущений для неавтономных гашльтоновых систем и изложен конкретный метод исследования, применяемый на протяжении всей работы - метод Яинд-шгедта.

В §2 получек критерий интегрируемости гакильтонозых систем

вида

У3= " эг" -

^ 3 3

где (г, I) б Тп+1 (пой 2к), у б К", с гамильтонианом И - Я0(у) + сН^х, £1, (2)

где Н0 = 2 I a1JУiУj ~ невырожденная квадратичная форма с постоянными коэффициентами; с - малый параметр; Е^х, £) - тригонометрический многочлен относительно х ,..., хп,*, разложение которого в конечный ряд Фурье имеет вид

й^х.г) - У ' й-'ехр[л(к, х) * *п+1п] (3)

кб2п+1

Определение. Гамильтонова система (1> с гамильтонианом (2) называется интегрируемой по Пуанкаре, если найдется и интегралов в виде степенных рядов

Г113 в Р0т(у,х,4> + сГ1(1)(у,х, П * ... , 151*11(4) коэффициенты которых - аналитические в ЕпхТп+1 функция, причем

■фтасцни Г0(1>.....?0(п) независимы.

Пусть ГО - множество целочисленных векторов £=(& .. ,,3с ).

ДЛЯ которых в (3)

Доказанный в §2 критерий интегрируемости звучит так:

ТЕОРЕМА 1 (критерий интегрируемости). Если квадратичная форма Я0 положительно определена, то гамильтонова система с функцией Гамильтона Я()+сЯ1 интегрируема по Пуанкаре тогда и только тогда, когда точки множества Зй расположены на dsn прямых, проходящих через начало координат и удовлетворяющих соотношениям

<к , к > = £ а, .к .к , = 0 (5)

р q iJ pi qJ

для любых P.qsd, p*q. Здесь icp=tкр1.....k >. Jcq=(k4l,..., kqn) -

первые n координат направляющих векторов Jcp, k^ прямых с номерами

Р и g.

Эта теорема является обобщением полученного В. В. Козловым и Д. В. Трещевым11 критерия интегрируемости для автономных гамильтоновых систем на обций неавтономный случай.

С геометрической точки зрения теорема 1 означает следующее. Рассмотрим проекции этих <1 прямых параллельно оси гап+1 на гиперплоскость К". Введем в этом подпространстве метрику <•. •> (согласно первому равенству в (5)). Тогда условие (5) означает, что проекции прямых на К™ ортогонально (в метрике <•, •>) пересекаются в начале координат.

Для доказательства достаточности в работе найден конкретный вид линейного преобразования координат, переводящего исходный гамильтониан И в независящий от времени гамильтониан В' с разделяющимися переменными. Доказательство условия необходимости в теоре-

11 Козлов В. В., Трещев Д. В. Об интегрируемости гамильтоновых систем с торическим пространством положений // Мат. сбор. 1988. т. 135. вып. 1, С. 119-138.

ке 1 основано на применении классической схемы теории возмущений (§1). Ищется каноническое преобразование координат

(у, х (вой 2п)) н-» (V. а (иой 2я)) с производящей функцией х, с), переводящее исходный гамиэьто-аиаа Я=й0+ей1 в гамильтониан К1ч,е>, аналитический по с, ре зависящий от координат и времени. Если такое преобразование удастся найти, то новая, а следовательно, и исходная система будут интегрируемы по Пуанкаре.

Оказывается, неиитегрируемость системы при невыполнении условий теоремы связана с тем, что вековое множество, на котором не определено каноническое преобразование (в сияу появления малых знаменателей) состоит из бесконечного числа различных гиперплоскостей, накапливавшихся у предельной гиперплоскости. На построенных плоскостях интегралы (4) являгзтся зависимыми, что и приводит к нешггегрируеиости системы.

В §3 главы 1 рассматривается гамяльтоновы системы с полутора степенями свободы (т. е. неавтономные систаш одной степени свободы). Теорема 1 переходит в этом случае в следующее утверждение:

ТЕОРЕМА 2. Гамильтонова система с полугора степенями свободы интегрируема по Пуанкаре тогда и только тогда, •когда точки множества Я = <т = (т, п) е 12:Уап#0} лежат на одной прямой, проходящей через начало координат.

§3 посвящен проблеме существования у изучаемых систем невырожденных периодических решений Пуанкаре.

Согласно классической теореме Пуанкаре о периодических решениях12 рассматриваемые гамильтояовы системы имеют конечное число

12 Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // А. Пуанкаре. Изб-

невырожденных периодических решений, тогда как бесконечное их число возможно лишь в случае бесконечного числа коэффициентов Фурье 9 разложении потенциала. Однако в §3 работы показано, что и в том случае, когда число гармоник конечно, возможно существование бесконечного числа невырожденных периодических решений исходной системы.

Основным результатом §3 является следующая

ТЕОРЕМА 3. Пусть множество 5П таково, что:

1) любая прямая, проходящая через начало координат, содержит не более одной пары (т, -т)ей;

2) для вершин «=<И, Н). й1> найдется бесконечно много значений целочисленного параметра ре 1 таких, что числа рМ+Мг, рИ*В1 взаимно просты.

Тогда возмуданная система при малых е*Ю имеет бесконечно много невырожденных 2п1 'Периодических решений, аналитических по с и при с=0 совпадающих с периодическими решениями невозмуденной задачи.

Вершинами множества Я называется две максимальные в лексикографическом смысле линейно независимые точки множества 91

Справедливо следующее

Замечание. Если множество Я состоит всего из четырех точек, удовлетворяющих условию 1) теоремы, то условие 2) можно опустить.

Доказательство теоремы 4 и замечания к ней основано на при-

ранные труды. Т. 1. М.: Наука, 1971.

ыенении обобщенной теоремы Пуанкаре13 к гамильтоковой системе, полученной из исходной на к-ом шаге теории возмущений. Трудность здесь состоит в том, что требуется доказать существование невырожденной критической точки для гамильтониана, усредненного вдоль траектории невозмущенной системы.

В конце параграфа показана сзязь между существованием невырожденных периодических решений гамильтоновой системы и ее неин-гегрируемостьь. Доказано, что именно рождение большого числа невырожденных периодических решений влечет неинтегрируемость задачи.

В §4 главы 1 дано приложение изложенной теории к двум конкретным задачам: к задаче о движении заряженной частицы в поле двух электрических волн и к ограниченной задаче о вращении динамически симметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. В качестве следствия указан механизм возникновения стохас-тичиости в этих двух задачах.

Во второй главе работы изучены гамильтоиовы системы с гамильтонианом, зависящим от .координат и времени экспоненциально. Потенциальная энергия Я^х, И = У(х, £) имеет вид

'/ = 2 у_-ехр[(к,х)+]<п+11], К € Кп+1. (6)

Формально постановка этой задачи близка к постановке задачи глаза 1 и допускает использование того же метода исследования. Однако полученные результаты отличаются друг от друга.

В §1 главы получено необходимое условие интегрируемости по Пуанкаре рассматриваемых систем. Как и в глазе 1 система назыза-

13 Трещев Д. В. О существовании бесконечного количества невырожден-кых периодический решений ггкильтоновой системы, близкой к интегрируемой // Геометрия, дифференциальные уравнения и механика. М.: Изд-во Иоск. ун-та, 1986, С. 121-127.

ется интегрируемой по Пуанкаре, если найдутся п интегралов в виде степенных рядов

„ г<П(у>х>п + + ... > ¿=1.....а

коэффициенты Г^11 которых являются конечными суммами экспонент £ /_<у)-ехр[(к,*)+1сп^] ,

функции f (у) аналитичны в К"=<у>. Предполагается, что функции к

п...., } независимы.

Вновь введем множество ЛИЯ: у^эЮ) - "спектр" сутшы экспонент <6). В случае п>1 необходимое условие интегрируемости по Пуанкаре дает следующая

ТЕОРЕМА 4. Пусть гамильтонова система <1) с потенциалом (6) интегрируема по Пуанкаре. Тогда точки множества расположены в пространстве Еп+1={х1>..., ха, О таким образом, что для их проекций В на пространство Кп=<х1.....хп) справедлива следующая классификация:

1. угол между любыми двумя векторами из Я равен одному кз

л»*,™«-»-,«™..». п я 2л Зя 5ж . следующих: О, ^ , , , ;

2. Пусть а. а' € В, и пусть вектор а максимальный. Тогда если

угол между а и а' равен 'Щ , то |а|=|а'|; если угол равен _

то выполнено одно из равенств: |а|=*2|<х' |. |<х|=—|а' |; если угол

\/2

с«.

равен ^ , то выполнено одно из равенств: |а{=«3'|сс' ],

|а|=-£|«'|. |«|»-||в'|. 1«1»%*'|.

¿3 VI с

При этом коллинеарным векторам в К" соответствуют коялинеар-

ные векторы в К"*1.

Взаимное расположение векторов множества 3) можно представить с помощью схемы Дынкина - графа, вершинами которого служат векторы из 51, причем две вершины а и Э соединены 4совг<р ребрами Су -

угол между векторами а и р). Каждой вершине графа14 приписан коэффициент, пропорциональный квадрату длины <а, а> соответствующего вектора аеЯ. Все возможные такие схемы привидены в тексте работы.

В §2 главы 2 рассмотрены системы полутора степеней свободы с потенциалом

V = У V еях+пС, а, п б К. (7)

МП

Для таких систем пеобходг:мое условие интегрируемости дает теоре-'ма, аналогичная теореме 8, не являющаяся ее частным случаем:

ТЕОРЕМА 5. Для интегрируемой по Пуанкаре системы потенциал (7) имеет один из следующих видов:

7 - 2 v е!с<мх+м1'

2. 7 = „^{«х+н».) + + у^-нх+п'ь + у^е2(-мх+нЧз {8)

3. V - V е4(Мх+1,1;) + V + у ег1Мх+нь) +

4 5

где ..., М, Я, И' - некоторые постоянные.

В §3 рассмотривастсл гамильтоновы системы полутора степеней свободы с гамильтонианом Я = 7+7 и потенциалом

У = 2>ки)екх, кьй. (9)

Рассматриваемая система уже не содержит малого параметра. В параграфе изучается ее интегрируемость по Биркгсфу, другими слобзми, исследуется задача о существовгнки у данной системы полиномиального по импульсу первого интеграла

Г = а.(х, М + аЛх, 1)х * ... + а ,(х, Их""1 + а (х, £)хп

О 1 п-1 п

с коэффициентами вида

14 Козлов В. В., Трещев Д. В. Полиномиальные интегралы гамильтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием // Изв. АН СССР. сер. мат. 1989. т. 53, N 3, С. 537-557.

ак = I a£(t)eBX, «Ж.

Задача о наличии у системы

и

с 2и-периодическим no х потенциалом Ия,t) полиномиального по скорости первого интеграла с 2я-периодическими по х коэффициентами был изучен В.В.Козловым15. В §3 представляемой диссертационной работы исследуется родственная задача, а именно, изучается система с экспоненциальным по координате потенциалом. Результаты этих двух работ сходны друг с другом.

В автономном случае известно, что если система с гакалътони-аном Eq*Sj интегрируема по Биркгофу, то система с гамильтонианом 3Q+cfi1 интегрируема по Пуанкаре. Однако в неавтономно«« случае это не так. Поэтому задачи об интегрируемости в §2 и §3 имеот совершенно различные решения.

В работе показано, что линейным первым интегралом x=const odsaaaor системы, для которых V=V(t).

Если система имеет квадратичный первый интеграл, то V-¥(x+at)+f(t), где a=const, fit) - произвольная функция временя.

В случае существования кубического первого интеграла потенциал системы должен удовлетворять уравнению

Vtt + ^«Vx =

При этом показано, что по теореме Ковалевской о существовании и единственности решения задачи Коши16 существует сеяейство потенциалов, зависяаих от двух произвольных функций вида О), ирн хото-

15 Козлов В. В. О полиномиальных интеграла динамических систем с 1.5 степенями свободы // Мат. заметки, 1989, т. 45, вып. 4, С. 46-52.

16 Петровский Г. Лекции об уравнениях с частными производными И.. 1961.

рых исходная система имеет нетривиальный интеграл третьей степени по скоростям.

Пусть теперь является полиномом

У = Е V. и>екх, 1,^0, (10)

причем У.^О, у^'О. Тогда условия существования у системы полиномиального первого интеграла произвольней степени дает следующая

ТЕОРЕМА 6. Пусть система с гамильтониане!! V+T и потенциалом вида (9) имеет яолинокиалькпй интеграл степени я*1. Тогда

1. если-п - нечетно, то V=V(t),

2. если п - четно, то v^ = с-ехр |а ■ ij,

y_j = c-exp^l-J) tj, с, с, an-1 = const € R.

Заключительная третья глава диссертационной работы посвящена изучению колебаний системы

х = -е4(ех-е"х). (11)

в окрестности положения ее равновесия х=0. Потенциал этой системы имеет вид (8) при v^v^Q, М-!\-Ц'-1.

В §1 доказана следующая

ТЕОРЕЫА 7. Равновесие х=0 системы (9) асимптотически устойчиво по отношению к координате.

Для этого произведена замена времени t т: T=2vfet/Z, приводящая исходную систему к виду

х" + sh(2) = - I'. (12)

где штрих означает дифференцирование по т и показано, что равновесие системы (12) асимптотически устойчиво по координате и ско-

роста ж'.

Равновесие зге исходной системы не является устойчивым по отношению к скорости х. Еолее того, поскольку система гамильтонова, а координата х асимптотически стремится к нудя, то но теореме Ли-увилля о сохранении фазовой площади17 скорость i должна неограниченно возрастать как функция времени.

В §2 главы 3 построена асимптотика малых колебаний изучаемой системы в окрестности устойчивого полонения равновесия х=0. Для этого система íi2í линеаризуется:

V'

X" * х = - £ .

Решение полученного линейного дифференциального уразнения с переменными коэффициентами может быть записано в виде

z-tfjJ^T) ♦ Сг*0(т>, (13)

где С , С2 - произвольные постоянные, a J0(rl, UQ Í т) - цилиндрические функции Бессеяя первого и второго ролов, для которых известна асимптотика при т —> ю. После подставления этой асимптотики в уравнение (13) и обратной замены времени т i—> t получена

асимптотика малых колебаний исходной системы при í —+ со

С С

х = cos(2v2et/zl ♦ sin(2v2et/2> + CXc"*'2). е е

Итак, координата вблизи устойчивого положения равновесия совершает колебания, амплитуда которых убьзает кап e"t/4, а частота неограниченно возрастает со временем.

Далее в работе эта ае асимптотика получена с помощью ВК2-матода18.

В §3 главы 3 проведено исследование поведения решения шла-

17 Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.. 1989.

18 Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М. : Наука, 1957.

\

ч

нейного уравнения (12) при т —» я. Поскольку правая часть этого уравнения на больших временах является «салой величиной, то для подобного исследования можно воспользоваться методом усреднения теории возмущений. Для этого в невозжущенной задаче введены переменные " дай ств и е- угол " I, д. В этих -переменных переписаны уравнения "возмущенного" даяяания и ж воэвущеняояу урававнию для мед-ашшй переменной применен ярищил усреднения, который -состоит в "замене уравнения его усреднением хо угяовай переменной

1 I' - - i-

Это уравнение, опясызасаее згшгодаю меяяеявой. переяенша 1 зга асимптотически бояъяаг гремеяах, лэгзсо интегрйруетса:

1 ~ Ц , c=const. Значит, I —* О при т —» откуда можно заключать, что .х —» О, apar т —» ш, что сшшосяь® соответствует результатам, полученным в §1 гяазы 3.

ЕУШКАДШ ЖПЗ?А ЛО 1ВЕ ЛКССЕУТАЩ!

1. Жиргетвва C.B. Об интегрируемости ггмильтанпвых систем с гамильтонианом в виде тригонометрического многочлена // Математические методы а механике / Под ред. Б. В. Козлова. M., 1S9D. С. 4247.

2. Киргетоза C.B. Некоторые вопросы теории возмущений га-мяльтанааьа систем с гамильтонианом в виде тригонометрического многочлена //Вест. Иоск. ун-та. Натеи.. кехан. 1991, :Н1. С. 62-В8.

3. Хиргетова С. В. Об интегрируемости неавтономных шамазшьто-новкх систем с экспоненциальным взаимодействием // Вест. ¡Уош. ун-та. Матем., ыехан. 1932, N4. С. 82-85.

4. Киргетова С. В. О полиномиальных интегральв хатощьтоапвкх систем с экспоненциальным взаимодействием // Вест. tMocac. ■рг-та.