Условия интегрируемости неавтономных гамильтоновых систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Московский ордена Ленина, ордена Октябрьской резолюции и ордена Трудового Красного Знамени Государственный Университет им. М. В. Ломоносова

механико-матекатическй факультет

На правах рукописи УЗ® 531.01

КИРГЕТОВА Светлана Владимировна УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ НЕАВТОНОМНЫХ ГАМИЛКГОЖШХ СИСТЕМ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992

Работа выполнена на кафедре теоретической механики механико-математического факультета МГУ им. К. В. Ломоносова

Научный руководитель -

доктор физико-математческих наук, проф. В. В. Козлов.

Официальные оппоненты -

доктор физико-математических наук А. П. Иванов, кандидат физико-математических наук Д. Л. Абраров.

Ведущая организация - Институт машиноведения РАН.

Защита диссертации состоится "2-3 " 1993 года

в час. ¿^¿Р нин. на заседании специализированного совета

Д 053. 05.01 ори Московском государственном университете им. Ы. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан " " 1ддз г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 053. 05. 01 при МГУ, доктор физико-математических наук

Д. В. Трещев

I

V

ОБЩАЯ ХЛРЖГЕРЙСТЖА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвятцепа вопросам интегрируемости

неавтономных гамильтоновнх систем, содержащих малый парат,!етр , ее

связи с существованием бесконечного числа невырожденных периодических решений Пуанкаре, вопросу существования. долпяомнальных первых интегралов неавтономных гамильтоксвых систем экспоненциального взаимодействия, а таксе изучение колебаний вблизи полойэ-'ния равновесия одного класса нелинейных колебательных систем.

Актуальность темы. К настоящему времени в динамике известно довольно много интегрируемых задач (одяокерпыэ задачи, эйлерово и лагранжево двиненил твердого тела, дшгаениэ точки в центральном поле и другие задачи). Возмояностъ решения всех этих задач для систем с п степенями свободы ссновако на существовании п первых независимых иятехрглов с иизолюции. В эт!Гх случаях согласую теореме Лиувплхя уравнения движения решится в квадратурах. Однако в типичной ситуации интегралы не только не удается • найти, но очи вовсе не существуют (речь идет о существовали!* интегралов во всем фазовом пространстве задачи), тл:. TDaey.vopr.si гамкльтоновых систем, вообще говоря, не ложатся кг иЕтегральныа многообразия.

К числу указанных систем относятся, например, системы, близкие к интегрпруекым, стлпчаащяеся от епх малым возмущением. Изучение подобных задач А.Пуанкаре гтьзваз основной проблемой динамики1. Пуанкаре ае принадлежат первые строгие результаты о неянтег-рируемости гамильтонсЕых систем. В 1££'0 году он доказал несуществование аналитических интегралов, которые могло представить в виде сходящихся рядов по степеням малого параметра.

Пуанкаре указал такзе явления качественного характера в по-

1 Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // А. Пуанкаре. Избранные труда. Т. 1. М. : Наука, 1971.

ведении фазовых траекторий, препятствующие появлению иових интегралов. Среди них - рождение изолированных периодических решений и расщепление асимптотических поверхностей. Невозмсаягость продолжить локально существующие интегралы до интегралов "в щелок" связана со сложным поведением фазовых траектория на уровне тех интегралов (вроде интеграла энергии), которые известны, но имеются в недостаточном числе.

В последнее время реализованы некоторые возможности метода Пуанкаре, которые позволили доказать неивтегрл£д>еыость ряда ватных задач гаиильтпновой механики. К таким задача«, например, откосится решрвняя В. В. Зколовым и Д. В. Трещевьаг2 задана о иеинтегри-руемости гадашыгошжых систем с торическим пространством положений. Авторами найден критерий интегрируемости изучаемых автономных систем. В предлагаемой диссертационной работе эта задача обобщена на общий иваигиноьшый случай.

Другим видом изучаемых в диссертационной -работе систем являются системы с гамильтонианом, зависящим от координат и времени экспоненциально. Такие оиетвмы можно рассматривать как обобщение конечной периодической■цепочки Тоды3, полная интегрируемость которой была установлена в работах Ы. Эно4, Г. Флашхи5, С.В.Манако-ва6. Метод всех этих работ основан <иа представлениии уравнений

2 Козлов В. В. , Трещев Д. В. Об интегрируемости гамильтоновых систем с торическим пространством положений // Мат. сбор. 1988. т. 135. вып. 1, С. 119-138.

3 Тода М. Теория нелинейных решеток. U.: Мир, 1984.

4 Henon М. Integrals of the Toda lattice // Phys. Rev. 1974. B.9. P.1921-1923.

5 Flashka H. The Toda lattice. I. Existence of Integrals // Phys. Rev. 1974. B.9. P.1924-1925.

6 Ыанаков С. В. О полной интегрируемости и стохастизации в дис-

Гамильтона в виде Ь-А пары Яакса. Обобщение кепочек Тоды на автономные гамияьтоновы системы с экспоненциальным взаимодействием дано 3. В. Козловым и Д. В. Трещевш7. Задачи, расс?<атриваемые в диссертации, лежат в русле исследования этих азторов.

Третья часть работы посвящена иной проблеме, а именно, задаче устойчивости положения равновесия одного конкретного класса нелинейных колебательных сг.степ. Обпдае вопросы устойчивости систем подобного типа были изучены В. В. Козловым0 •3. Полученные. з зтих работах результата лежат в основе исследования, проведенного в предлагаем?;! диссертационной работе.

Цель работы. Распространить полученные ранее результаты об интегрируемости периодических ганильтоновых систем п сгстги с экспоненциальным взаимодействием на обдай неавтономна случай, а также провоста качественный анализ одного класса нелинейной колебательной системы с экспоненциальным взаимодействием.

Метод исследования. При нахождении условий ингегрлруег.'ости рассматриваемых задач используется иетод теории зозмущэкий га-!лг:льтояовых систем, содержаще: калиЛ параметр. Этот ¡.тетод згкло-чается в поиске канонической замени переменных так, чтобы новый гаглит.ьтониан имел заданный заранее вид. Различпке способу замены переменных были предлозены Лиадзтедтом (А.1лгк151е<11). Еьшокбси

Еретншг щгпаетчесхиг: системах // ЙЭТФ. 1974. т. 67, вып. 2, С. 543-555.

7 Козлоз В. В., Тре™ез Д. В. ПолинокиальЕие нмтегралы гамильтонових систем с экспоненциальный взаимодействуем // Изв. АН СССР. cap. tiar. 1889. т. 53, N 3, С.537-557.

0 Козлов В. В. Об устойчивости положений равновесия в нестационарном силовом пох-з // ЕЕ!, 1991. Т. 55, вып. 1, С. 12-19.

3 Козлов В.Б. О падении тяжелого твердого тела в идеальной хкд-еостя // Изв. ÄS СССР. НТТ. 19SS. N 5. С.10-17.

(S.Newsoab), Делоне <Ch. Delaunay), А.Пуанкаре, Цзйлалем (H.Zei-pel), Я. M. Крыловым и H.H. Боголюбовым. В настоящей работе прииане: одна из первых методов, разработанный Лиидвтедтом. Современна форму ему придал Пуанкаре10. В работе таксе использован известны метод теории возмуиений - принцип усреднения.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Найден критерий интегрируемости по Пуанкаре кэавтономкы гамильтоновых систем с гамильтонианом в виде тригонокетрическоп многочлена, а также установлена связь между существованием боль шого числа невырожденных периодических решений ганпльтонозой сис темы и ее неинтегрируемостью.

2. Для неавтономных гамильтоновых систем с экспоненциальны взаимодействием получены необходимые условия неиитегрируемости п Пуанкаре, а для систем, не содержащих калий параметр и иыеящк полторы степени свободы, - условия интегрируемости по Биркгофу.

3. Доказана теореаа об асимптотической устойчивости полове кия равновесия колебательной системы

х = -е1(ех-е"х),

по отношении к координате х, а также построена асимптотика малы колебаний этой системы.

Практическая ценность работы. Работа носит теоретический ха рактер.

Апробация работы. Результаты работы были доложены и обсужде ны на научно-исследовательских семинарах механико-математическог факультета МГУ.

Структура работы. Диссертация состоит из введения и тре глав основного текста. Главы разбиты на параграфы, параграфы г;

10 Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // А. Пуанкаре. Изс ранные труды. Т. 1. М.: Наука, 1971.

пункты. Обета объем работы 84 страницы. В библиографии 37 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Первая глава предлагаемой работы посвящена задаче интегрируемости неавтоношых гамильтоновых систем с потенциалом в виде тригонометрического многочлена.

В §1 главы 1 приведена классическая схема теория возмущений для неавтономных гамильтоновых систем и изложен конкретный метод исследования, применяемый на протяжении всей работы - метод Линд-штедта.

В §2 получек критерий интегрируемости гакильтонозых систем

3-ЩД

К=-Бг- (1)

ь 1 3 3

где (х, е ТТ"*1 (ио(1 2п), у € К", с гамильтонианом П = Я0(у) + сН^х, £), (2) где Н0= 2 Е а1^У1УJ ~ невырояденная квадратичная форма с постоянными коэффициентами; с - малый параметр; С) - тригонометрический многочлен относительно х1..... *п>разложение которого

в конечный ряд Фурье имеет еид

^{я.П = ) Ь--ехр|"п(.Ч, х) * *п+1п] '.

(3)

й<=1п+1

Определение. Гомильтонова система (1) с гамильтонианом (2) называется интегрируемой по Пуанкаре, если найдется п интегралов в саде степенных рядов

¥1И _ г011' С у. х,«) + с^'Чу.х, П + ... , 1^1<п(4) коэффициенты которых - аналитические в КпхТп+1 функции, прячем функции 11.....(п1 независимы.

Пусть 51! - множество целочисленных векторов Е=(к.....

для которых в (3)

Доказанный в §2 критерий интегрируемости звучит так:

ТЕОРЕМА 1 (критерий интегрируемости). Если квадратичная форма Я0 положительно определена, то гамильтонова система с функцией Гамильтона HQ+cHi интегрируема по Пуанкаре тогда и только тогда, когда точки множества ЗЛ расположены на dsn прямых, проходящих через начало координат и удовлетворяющих соотношениям

<к ,к > = У а. ,к ,к , - 0 (5)

р q 1J pi qJ

для любых p.qsd, p*q. Здесь к = (к ,.....к ), к =(к ,.....к ) -

р pz pn q qi qn

первые П координат направляющих векторов Яр, прямых с номерами Р ид.

Эта теорема является обобщением полученного В. В. Козловым и Д. В. Трещевым11 критерия интегрируемости для автономных гамильтоно-вых систем на общий неавтономный случай.

С геометрической точки зрения теорема 1 означает следующее. Рассмотрим проекции этих d прямых параллельно оси на гиперплоскость IR". Введем в этом подпространстве метрику <•, •> (согласно первому равенству в (5)). Тогда условие (5) означает, что проекции прямых на Rn ортогонально (в метрике <*, *>) пересекаются в начале координат.

Для доказательства достаточности в работе найден конкретный вид линейного преобразования координат, переводящего исходный гамильтониан И в независящий от времени гамильтониан Н' с разделяющимися переменными. Доказательство условия необходимости в теоре-

11 Козлов В. В., Трещев Д. В. Об интегрируемости гамильтоновых систем с торическим пространством положений // Мат. сбор. 1988. т. 135. вып. 1, С. 119-138.

i:e 1 основано на применении классической схемы теории возмущений (§1), Ищется каноническое преобразование координат

(у, х (mod 2я)) I—> (v.u (nod 2я>) с производящей функцией S(v, х. с), переводящее исходный гаишьто-нкан ff=H0+cffj в гамильтониан K(v,c>, аналитический по с, ре зависящий от координат и времени. Если такое преобразование удастся найти, то новая, а следовательно, и исходная система будут интегрируемы по Пуанкаре.

Оказывается, иеиитегрируемость системы при невыполнении условий теоремы связана с тем, что вековое множество, на котором не определено каноническое преобразование (в силу появления малых знаменателей) состоит из бесконечного числа различных гиперплоскостей, накапливающихся у предельной гиперплоскости. На построенных плоскостях интегралы (4) является зависимыми, что и приводит к неинтегрируемости системы.

В §3 главы 1 рассматриваются гэмильтоеоеы системы с полутора степенями свободы (т.е. неавтономные снстекы одной степени свободы). Теорема 1 переходит в этой случае в следующее утзерндение:

ТЕОРЕМА 2. Гамильтонова система с полутора степенями свободы интегрируема по Пуанкаре тогда и только тогда, когда точки множества 3t = {т = (га, n) е Z2:Vnn*0> лекат на одной прядай, проходящей через начало координат.

§3 посвящен проблеме существования у изучаемых систем невырожденных периодических решений Пуанкаре.

Согласно классической теореме Пуанкаре о периодичесхих решениях12 рассматриваемые гамильтоновы системы имеют конечное число

12 Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // А. Пуанкаре. Изб-

Невырожденных периодических решений, тогда как бесконечное их чи ело возможно лишь в случае бесконечного числа коэффициентов Фуры в разложении потенциала. Однако в §3 работы показано, что и в toi случае, когда число гармоник конечно, возможно существование бес конечного числа невырожденных периодических решений исходной сис темы.

Основным результатом §3 является следующая

ТЕОРЕМА 3. Пусть множество 5П таково, что:

1 ) любая прямая, проходящая через начало координат, содержи не более одной пары (т.-т)еЗЛ;

2) для вершин e=(tt, Si, (i=(M1, Wj) найдется бесконечно мног значений целочисленного параметра pç 1 таких, что числа рМ*М1 pN+N1 взаимно просты.

Тогда возмущенная система при малых с*0 имеет бесконечн много невырожденных 2п1-периодических решений, аналитических по и при е=0 совпадающих с периодическими решениями невозмущенно задачи.

Вершинами множества Я называются две максимальные в лексикс графическом смысле линейно независимые точки множества SL

Справедливо следующее

Замечание. Если множество Я состоит всего из четырех точек удовлетворяющих условию 1) теоремы, то условие 2) можно опустит*

Доказательство теоремы 4 и замечания к ней основано на прг

ранные труды. Т. 1. М. : Наука, 1971.

менении обобщенной теоремы Пуанкаре13 к гамильтоновой системе, полученной из исходной на к-ом шаге теории возмущений. Трудность здесь состоит в том, что требуется доказать существование невырожденной критической точки для гамильтониана, усредненного вдоль траектории иевозмущенной системы.

В конце параграфа показана связь между существованием невырожденных периодических решений гамильтоновой системы и ее неин-'тегрируемостьь. Доказано, что именно рождение большого числа невырожденных периодических решений влечет неинтегрируемость задачи.

В §4 главы 1 дано приложение изложенной теории к двум конкретным задачам: к задаче о движении заряженной частицы в поле двух электрических волн и к ограниченной задаче о вращении динамически симметричного тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. В качестве следствия указан механизм возникновения стохас-тичности в этих двух задачах.

Во второй главе работы изучены гамильтоновы системы с гамильтонианом, зависящим от координат и времени экспоненциально. Потенциальная энергия Я1(х, И = 7(х,1) имеет вид

V - 2 у_-ехр[(к,х)+кп+^], & е ¡Рп+1. (6)

Формально постановка этой задачи близка к постановке задачи главы 1 и допускает использование того же метода исследования. Однако полученные результаты отличаются друг от друга.

В §1 главы получено необходимое условие интегрируемости по Пуанкаре рассматриваемых систем. Как и в главе 1 система называ-

13 Трещев Д. В. О существовании бесконечного количества невырожденных периодических решений гамильтоновой системы, близкой к интегрируемой // Геометрия, дифференциальные уравнения и механика. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986, С. 121-127.

ется интегрируемой по Пуанкаре, если найдутся п интегралов в виде степенных рядов

F(n » Fg1' (у, х, t) + cFj1 Ну, х, t) * ... , i=1.....n,

коэффициенты которых является конечными суммами экспонент £ f_(y)-exp[(k,x)+Jcn+1ij ,

функции fjy) аналитичны в Rn=<y>. Предполагается, что функции к

F<n.....независимы.

Вновь введем множество №={R: - "спектр" суммы экспо-

нент (6). В случае п>1 необходимое условие интегрируемости по Пуанкаре дает следующая

ТЕОРЕМА 4. Пусть гамильтонова система (1) с потенциалом (6) интегрируема по Пуанкаре. Тогда точки множества И располосени в пространстве Rn+1={Xj.....*n> i) таким образом, что для их проекций Я на пространство Rn=<Xj.....хп> справедлива следующая классификация:

1. угод между любыми двумя векторами из Я равен одному ез

____„__.„. п я 2тг Зп 5тг . следующих: О, £ , -j , -j , -g ;

2. Пусть а, а' е Я, и пусть вектор а максимальный. Тогда если

О—

угол между а и а' равен , то |а|- |а' |; если угол равен ^ ,

то выполнено одно из равенств: |aj=v2|a'|. |сс|=—|а' |; если угол

V2

равен , то вьшолнено одно из равенств: |,

|a|=J|a'l. I«le3||a'|.

При этом коллинеарным векторам в R" соответствуют коллинеарные векторы в Rn+1.

Взаимное расположение векторов множества Я можно представить с помощью схемы Дынкина - графа, вершинами которого служат векторы из Я, причем две вершины а и 0 соединены 4cosz#> ребрами (ip -

тол между векторами а и /3). Каждой вершине графа14 приписан коэф-щциент, пропорциональный квадрату длины <а, а> соответствующего ¡ектора аеЛ. Все возможные такие схемы привидены в тексте работы.

В §2 главы 2 рассмотрены системы полутора степеней свободы с ютенциалом

У = У v епх+п\ ш, п б R. (7)

" вп

1ля таких систем необходимое условие интегрируемости дает теорема, аналогичная теореме В, не язляющаяся ее частным случаем:

ТЕОРЕМА 5. Для интегрируемой по Пуанкаре системы потенциал 17) имеет один из следующих видов: L. V = Е укеНМх+М1)

2. V = v e2(Mj<+Nt) + v eHx*Ht + у е~Мх+нЧ + у е2С-мх*нЧ) (8)

3. 7 = V e4iMx*Nt> ♦ V g3(Hx + Mt) + v e2(Mx+Nt) +

л + e-MX+N't

4 5

где Vj.....v5, H.N.N' - некоторые постоянные.

В §3 рассмотриваются гамильтоновы системы полутора степеней свободы с гамильтонианом Я = Т*У и потенциалом

У = £ vkmekx, keR. (9)

Рассматриваемая система уже не содержит малого параметра. В параграфе изучается ее интегрируемость по Биркгофу, другими словами, исследуется задача о существовании у данной системы полиномиального по импульсу первого интеграла

F = а. (х, t) + a,(x,t)x * ... + а ,(х, tlx"-1 + а (х. t)xn

О 1 п-1 п

с коэффициентами вида

14 Козлов В. В., Трещев Д. В. Полиномиальные интегралы гамильтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием // Изв. АН СССР. сер. мат. 1989. т. 53, N 3, С. 537-557.

ак = £ a£<t)ea\ шей.

Задача о наличии у системы

х = -V

X

с 2п-периодическим no х потенциалом 7(я, £) полиномиального по скорости первого интеграла с 2п-периодическими по х коэффициентами был изучен В. В; Козловым15. В §3 представляемой диссертационной работы исследуется родственная задача, а именно, изучается система с экспоненциальным по координате потенциалом. Результаты этих двух работ сходны друг с другом.

В автономном случае известно, что если система с гамильтонианом Я0+Ях интегрируема по Биркгофу, то система с гамильтонианом ffp+eflj интегрируема по Пуанкаре. Однако в неавтономно« случае это не так. Поэтому задачи об интегрируемости в §2 и §3 ииеот совершенно различные решения.

В работе показано, что линейным первым интегралом i=const обладает системы, для которых IT=V(t).

Если система имеет квадратичный первый интеграл, то V=Vlx*at)+flt), где a=const, fit) - произвольная функция времена.

В случае существования кубического первого интеграла потенциал системы долген удовлетворять уравнению

V.. + IV-V > = О.

tt XX

При этом показано, что по теореме Ковалевской ~о существовании и единственности решения задачи Коши16 существует семейство потенциалов, зависящих от двух произвольных функций вида (9), при хото-

15 Козлов В. В. О полиномиальных интеграла динамических систем с 1.5 степенями свободы // Мат. заметки, 1989, т. 45, вып. 4, С. 46-52.

16 Петровский Г.- Лекции об уравнениях с частными производными 11., 1961.

рых исходная система имеет нетривиальный интеграл третьей степени по скоростям.

Пусть теперь х, £) является полиномом

V= £ v. U)ekx, l.n&O, (10)

R

причем vn#0. Тогда услозия существования у системы полино-

миального первого интеграла произвольной степени дает следусщая

ТЕОРЕМА 6. Пусть система с гамильтонианом V+T и потенциалом вида (9) и:.;еет погл-;кок::алы-:мй интеграл степени nil. Тогда

1. есяи-п - нечетно, то f=Vit).

2. если п - четно, то vm = с-ехр |а

y_j = c-exp^(-i) tj, с, с, an-1 = const e R.

Заключительная третья глава диссертационной работы посвящена изучение колебания системы

•г = -е1(ех-е~х). (11)

з окрестности положения ее равновесия х=0. Потенциал этой системы имеет вид (8) пш r,=v„=0, Й=ЙГ=Й'=1.

1 4

В §1 доказана следующая

ТЕОРЕМА 7. Равновесие х=0 системы (9) асимптотически устойчиво по отаосешш к координате.

Для этого произведена замена времени t —> т: x=2v£~et/2, приводящая исходнуо снстеиу к виду

г" + sh(r) = - I', (12)

где штрих означает дифференцирование по т и покапано, что равновесие системы (12) асимптотически устойчиво по координате и ско-

роста х'.

Равновесие ле исходной системы не яЕЛяется устойчивым по отношению к скорости z. Более того, поскольку система гамильтоноза, а координата х асимптотически стремится к ку-ио, то по теореме Ли-увилля о сохранении фазовой площади17 скорость i долкна неограниченно возрастать как функция времени.

В §2 главы 3 построена асимптотика чалых колебаний изучаемой систег.ь: в окрестности устойчивого подонеиия равновесия х=0. Для этого скстез.и (12) линеаризуется:

X" ♦ X = - | .

Решение полученного линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами может быть записано в виде

х = CjJ0(t) ♦ C2W0<т), (13)

где С,, С2 - произвольные постоянные, a J0lt), й0(т) - цилиндрические функции Бесселя первого и второго pesos, для которых известна асимптотика при т —» ю. После подставления этой асимптотики в уравнение (13) и обратной замены времени т i—> t. получена

асимптотика малых колебаний исходной системы при t —» ta

С С

х = cos(2v2et/z) + sin(2v2et/2) + 0(e~t/2).

Итак, координата вблизи устойчивого положения равновесия совершает колебания, амплитуда которых убывает как e"t/4, а частота неограниченно возрастает со временем.

Далее в работе эта ае асимптотика получена с помощью ВК5-метода18.

В §3 главы 3 проведено исследование поведения решения кели-

17 Арнольд В.И. Математические методы классической механики. Ы., 1989.

18 Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. 1!.: Наука. 1967.

N

гейного уравнения (12) при -г —»я. Поскольку правая часть этого сравнения на больших временах является ягаяой величиной, то для годобногв исследования молено воспользоваться методом усреднения теории возмущений. Для этого в невозмущенной задаче введены переменные "действие-угол" 1,!?. В этих переменных переписаны уравне-тя " возмущенного" движения и ж вюзиуцешюиу ураваешиэ для мед-аегшой переменной применен принта усреякешш, который состоит в згтжие уравнения его усреднением по угзювай яережеяяой «р:

Это уравнение, описывающее эвшгэдно медленной • переменясь I йа аси?лгготт1чески бояьаэж временах, яегэсо х*нтеграруется:

I = ^ , С=С01К1. Значит, I —» О при т —»откуда можно заключить, что х —» О, при т —► -что дюшоезью соответствует результатам, пояученпыи в §1 гяааы 3.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ЛО 1ШЕ ШКШТАЦИИ

1- Киргетова С. В. Об интегрируемости гамильтогажых • систем с ггмаяьтдаиаком в виде тригонометрического многочлена // Математические методы в механике / Под ред. В. В. Козлова. М., 1990. С. 4247.

2. Киргетова С. В. Некоторые вопросы теории возмущений га-мкльтоаоаых систем с гамильтонианом в виде тригонометрического многочлена // Вест. Моск. ун-та. Матем., механ. 1991, Н1. С. 62-Б8.

3. Киргетова С. В. Об интегрируемости неавтономных гзквшьто-новкх систем с экспоненциальным взаимодействием // Вест. Моск. ун-та. Матем., механ. 1992, N4. С. 82-86.

4. Киргетова С. В. 0 полиномиальных интегральв хаиоиштоиоЕых систем с экспоненциальным взаимодействием // Вест. ¡Моок. -ун-та.

- IB -

Матем., иехан. 1992, М5. С. 89-32.