Условия алгебраической интегрируемости гамильтоновых систем с однородным потенциалом тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

/7 П . / / 1 • ■ ' ■' л

И -.....7 / —» / /

Московский Государственный университет им. М.В.Ломоносова механико-математический факультет

(На правах рукописи) УДК 531.01

ПОНОМАРЕВА Мария Юрьевна

УСЛОВИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ С ОДНОРОДНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

(специальность 01.02.01 - теоретическая механика)

Научный руководитель член-корр. РАН, проф. Козлов В.В.

Москва - 1999 г.

СОДЕРЖАНИЕ:

стр.

Введение..............................................................................3

ГЛАВА I. Метод Ковалевской для квазиоднородных

систем дифференциальных уравнений......................9

§ 1.1. Квазиоднородные системы......................................9

§ 1.2. Метод Ковалевской и показатели Ковалевской .... 11

§ 1.3. Квазиоднородные уравнения Гамильтона................13

§ 1.4. Гамильтоновы системы с двумя степенями свободы 17 ГЛАВА II. Гамильтоновы системы с однородным

потенциалом третьей степени....................................21

§2.1. Вводные замечания..................................................21

§2.2. Постановка задачи и основной результат..................23

§2.3. Доказательство основного результата......................25

§2.4. Случаи алгебраической интегрируемости................38

ГЛАВА III. Гамильтоновы системы с однородным

потенциалом четвертой степени................................47

§3.1. Постановка задачи и основной результат..................47

§3.2. Доказательство основного результата......................48

§3.3. Случаи алгебраической интегрируемости................75

Заключение ...........................................................79

Список литературы..........................................................81

Введение

Точное интегрирование уравнений движения - одна из наиболее популярных и трудных проблем динамики; только небольшое число задач удалось точно проинтегрировать. К сожалению, до сих пор нет общего критерия, который позволил бы определить свойство системы быть вполне интегрируемой (обсуждение этих вопросов см. в [1. 2])-

Важным направлением исследований прошлого столетия является изучение интегрируемых систем классической механики, но эта проблема осталась актуальной и в наше время. Под интегрируемыми системами подразумеваются гамильтоновы системы с т степенями свободы, обладающие т независимыми интегралами движения, попарные скобки Пуассона которых равны нулю (см. [3]).

Задача интегрирования гамильтоновых систем (не записанных еще в канонической форме) обсуждалась уже в работах Бернул-ли, Клеро, Даламбера, Эйлера, Лагранжа, связанных с применением идей и принципов Ньютона к различным задачам механики. Интегрируемыми считались лишь те задачи, которые можно было решить с помощью конечного числа алгебраических опереций и квадратур - вычислений интегралов известных функций. Однако наибо-

лее актуальные задачи динамики (например, задача п тел) оказались непроинтегрированными.

Позже Гамильтон и Якоби разработали общий метод интегрирования уравнений динамики, основанный на введении специальных канонических координат. Идея метода Гамильтона-Якоби восходит к работам Пфаффа, Коши по теории характеристик. Согласно этому методу задача интегрирования канонических уравнений Гамильтона сводится к отысканию производящей функции канонического преобразования, удовлетворяющей нелинейному уравнению Гамильтона-Якоби (см. [4]). Наиболее эффективным способом решения уравнения Гамильтона-Якоби является метод разделения переменных (см. [4]). Этод метод неинвариантен по своей сути и требует большой изобретательности при выборе подходящих переменных. Поэтому, применяя этот метод, часто использовали обратный путь, то есть сначала находили какую-либо замечательную подстановку, а затем разыскивали задачи, в которых она могла быть с успехом применена. Например, в качестве такой подстановки Якоби ввел эллиптические координаты. С помощью эллиптических координат (и их вырождений) Якоби и его последователями решен ряд новых задач динамики, среди которых задача о геодезических на квадриках и задача о движении точки по многомерной сфере в силовом поле с квадратичным потенциалом. Впоследствии Лиувилль и Штеккель указали доволно общий вид гамильтонианов, допускающих разделение переменных. Теперь такие системы называют системами Лиувилля и системами Штеккеля (обсуждение этого вопроса см. в [5]).

При решении уравнений вращения свободного твердого тела и уравнений задачи двух неподвижных гравитируюгцих центров Эйлер впервые столкнулся с проблемой обращения эллиптических интегралов. Явное интегрирование уравнений движения в других классических задачах привело к более сложным абелевым функциям. В работах Ковалевской и ее последователя Кеттера техника интегрирования дифференциальных уравнений в абелевых функциях достигла большого совершенства.

Практически во всех проинтегрированных задачах известные первые интегралы оказались либо рациональными функциями, либо полиномами. Поэтому они продолжаются в комплексную область изменения канонических переменных как однозначные голоморфные или мероморфные функции фазовых переменных. Однозначный гамильтониан порождает комплесифицированную гамильтонову систему. При этом решения, как функции комплексного времени, часто оказываются мероморфными. В качестве примеров можно указать задачу Якоби о движении точки по трехосному эллипсоиду, волчок Ковалевской, случай Клебша в задаче о движении твердого тела в идеальной жидкости. В связи с этим возникла задача о соотношении между существованием однозначных голоморфных интегралов и ветвлением решений в комплексной плоскости времени; ее постановка восходит к Пенлеве. Результаты в этом направлении можно найти в [1, 2, 6].

Таким образом, появляются два разных подхода к вопросу интегрируемости. С одной стороны можно утверждать, что динамическая система вполне интегрируема, когда она допускает достаточное

число независимых и однозначных первых интегралов. С другой стороны, под интегрируемыми системами можно понимать такие системы, которые допускают решения вполне конкретного вида, в частности, в виде мероморфных функций комплексного времени. Такие системы часто называют алгебраически интегрируемыми. В некоторых работах (см., например, [7]) под алгебраически интегрируемыми системами понимаются гамильтоновы системы с полиномиальными правыми частями, поверхности уровня инволютивных интегралов которых параметризуются абелевыми торами, а их решения выражаются через мероморфные функции на этих торах.

Такой подход к этой проблеме, восходящий к Ковалевской, связан с изучением поведения решений в плоскости комплексного времени. В классической работе Ковалевской [8] "Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки" исследуется вопрос интегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона. Ковалевская заметила, что в известных интегрируемых случаях (случай Эйлера и случай Ла-гранжа) решения являются мероморфными функциями времени. Она задалась целью найти все возможные условия, при которых решения также являются мероморфными функциями времени. Проводя исследование исходя из этого условия, она получила еще один интегрируемый случай, который в настоящее время носит ее имя. Метод Ковалевской развит в работах Ляпунова [9], Иошиды [10,11] и других авторов. Интересные применения метода Ковалевской к различным задачам динамики можно найти в работах [12, 13]. Как показано в работах Иошиды, метод Ковалевской особенно эффективен для ква-

зиоднородных систем дифференциальных уравнений. Данная работа посвящена исследованию одной из таких систем.

В первой главе дается определение квазиоднородных систем и в качестве примера рассматривается гамильтонова система с однородным потенциалом. Также обсуждается метод Ковалевской и, в частности, его применение к гамильтоновым системам с двумя степенями свободы и однородным потенциалом. В результате исследований выяснилось, что для гамильтоновых систем, потенциальная энергия которых является однородным многочленом первой и второй степеней, задача решается в элементарных однозначных функциях. А для гамильтоновых систем, потенциальная энергия которых является однородным многочленом пятой степени и выше, вопрос алгебраической интегрируемости решается просто: решения таких систем ветвятся в плоскости комплексного времени. Таким образом, реальный интерес представляют гамильтоновы системы с потенциалами третьей и четвертой степеней.

Вторая глава посвящена исследованию гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, потенциальная энергия которых являестя однородным многочленом третьей степени. Такие системы описываются гамильтонианом

I

Н = ~(у\ + у\) + ах\ + Ъх\х2 + йх 2

где а, Ь, и й- вещественные коэффициенты. В результате применения метода Ковалевской получены следующие соотношения на эти коэффициенты, при которых возможна алгебраическая интегрируемость: 1) Ь = 0; 2) а = 0, 26 = с?; 3) Ь = 3(1. Затем проведено явное ин-

тегрирование в этих трех случаях. Причем первый случай является тривиальным (переменные разделяются), второй - был известен ранее (например, см. [14]), а третий является обобщением также ранее известного случая: а = О ,Ь = 3с1 (см. [14]).

В третьей главе проводится исследование гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, потенциальная энергия которых является однородным многочленом четвертой степени. Они задаются гамильтонианом

Н = + 2/1) + ах I4 + Ьх ^х2 + сх г2х22 + с/ж24,

где а, Ь, с, и (I - вещественные коэффициенты. Аналогично предыдущей главе с помощью метода Ковалевской получены соотношения на коэффициеныты а, 6, с, и (¿, при которых возможна алгебраическая интегрируемость: 1) Ь = 0, с = 0; 2) Ъ = 0, с = 6а, с? = а; 3)6 = 0, с = 2а, <1 = а. Также проведено явное интегрирование в этих случаях.

В заключении проведена систематизация всех полученных результатов.

Таким образом, в результате проведенных исследований получена полная классификация алгебраически интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, потенциальная энергия которых является однородным многочленом обобщенных координат. Более того, среди полученных алгебраически интегрируемых случаев один является новым (Ъ = Зс? и а - произвольное вещественное число).

Глава 1

Метод Ковалевской для квазиоднородных систем дифференциальных уравнений

§1.1 Квазиоднородные системы

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

¿г = ■ (г = 1,-- -,71), (1.1)

где - рациональные функции х — (а^, • ■ •, жп). Система

(1.1) называется квазиоднородной, если существует множество рациональных чисел #1, • • ■, <7п таких, что система (1.1) является инвариантной относительно подстановки

Х{—► а9*Х{, t—> оГ11, г = 1,---,гг (1.2)

для произвольной постоянной а. Другими словами, система (1.1) является квазиоднородной, если тождества

^(ад1хь---,а9пхп) = (г = 1,---,п) (1.3)

справедливы при всех значениях х и а. Дифференцируя (1.3) по а и полагая а = 1, получаем

П др.

1, •■•,£„) = + - ■ ■ ,хп), (1.4)

ц-I ОХj

что является алгебраической системой линейных уравнений для определения неизвестных д\, • • •, дп. Числа д\, ■ ■ ■, дп называются показателями квазиоднородности. Если • • •, Еп(х) линейны,

то есть уравнения (1.1) являются линейными дифференциальными уравнениями, то не существует такой подстановки (1.2), относительно которой система (1.1) инвариантна. Таким образом, квазиоднородность подразумевает нелинейность системы дифференциальных уравнений.

Примером квазиоднородной системы дифференциальных уравнений служит система с однородными квадратичными правыми частями, то есть д\ = • • • = дп = 1. В частности, в этот класс попадают уравнения Эйлера-Пуанкаре, описывающие геодезические на группах Ли с левоинвариантной метрикой. Популярный пример из динамики - задача Кирхгофа о движении твердого тела в безграничном объеме идеальной жидкости. Другие примеры квазиоднородных систем дают уравнения задачи многих гравитирующих тел; система Хенона-Хейлеса, описывающая движение звезды в галактике с цилиндрической симметрией; а также уравнения Эйлера-Пуассона, описывающие вращение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки.

§1.2 Метод Ковалевской и показатели Ковалевской

В классической работе Ковалевской [8] решена задача об условиях мероморфности полного решения уравнений вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Метод Ковалевской развит в работе Ляпунова [9], что позволило решить более общую задачу об однозначности общего решения как функции комплексного времени. В работе Иошиды [10] показано, что для квазиоднородных систем вида (1.1) задача об однозначности общего решения может быть практически доведена до конца.

Итак, проведем исследование системы (1.1) согласно [10] по методу Ковалевской. Любая квазиоднородная система (1.1) имеет частные решения следующего вида:

Х\ = С]^ , ■ ■ •, хп = сп. (1.5)

Постоянные коэффициенты сх, • • •, сп удовлетворяют алгебраической системе уравнений

• -,с„) = дщ, (г = 1, • • •, п). (1.6)

Так как решения уравнений (1.6) являются в общем случае комплексными числами, то частные решения (1.5) следует рассматривать как аналитические функции комплексного времени I. Фиксируем решение с = (с1, • • •, сп) алгебраической системы (1.7), то есть фиксируем частные решения (1.5). Выпишем уравнения в вариациях для этого частного решения:

(!£■ п №

^ = (< = 1, ...,„). (1.7)

Дифференцируя тождества (1.3) по X], получим равенство

г) V ЗТ^-

• • •, а?»хп) = ■ ■ ■, хп). (1.8)

Полагая а = = сх, ■ • •,хп = сп в (1.8), перепишем уравнения

(1.7):

§ = (' = 1.-,п). (1-9)

Легко показать, что эта линейная система имеет частные решения

Ь = Ы = (1-10)

где р является собственным значением, а (р = ((р1, • • •, срп) - собственным вектором матрицы К = |размера п х п с матричными элементами

КЦ = + (1-П)

где - символ Кронекера (8^ = 0, если г ф у, и ёц = 1). Если матрица К диагонализируема или ее каноническая жорданова форма является диагональной матрицей, то выражения (1.10) с п собственными значениями р\, • • •, рп представляют п независимых решений уравнений в вариациях (1.9). Матрица К впервые появилась в работе [8]. Поэтому она называется матрицей Ковалевской, а ее собственные значения - показателями Ковалевской.

Предположим, что все д^ - целые положительные числа. Можно показать (см. [10]), что если общее решение системы (1.1) представляется однозначными (мероморфными) функциями комплексного времени, то показатели Ковалевской являются целыми (соответственно целыми неотрицательными) числами. Помимо этого условия для алгебраической интегрируемости системы (1.1) согласно методу

Ковалевской необходимо, чтобы все эти решения зависели от необходимого числа произвольных параметров. Более точно, уравнения (1.1) должны допускать решения вида

х

гд*(ъ + + + ■ ■ • + + ■■■), («. = 1, • ■ ■,п),

зависящие от п — 1 произвольного параметра (ввиду автономности системы (1.1), еще один свободный параметр возникает при замене

£ на £ — ¿о)-

¡1.3 Квазиоднородные уравнения Гамильтона

Рассмотрим теперь гамильтонову систему с гамильтонианом

(1.12)

1 .2

Н = -у2 + У(х),

где х — - • • ,хп) - обобщенные координаты, у = (у1,'--,уп) - обобщенные импульсы, а У(ж) - однородный многочлен степени к > 3. То есть рассматрим следующую систему дифференциальных уравнений

Х{ —

Уг =

У г,

дХг '

(г = 1,

п

а9* Ъ, у г

Выполним замену жг-причем дх = ■ • ■ = дп = д и /1

t

а

-1

(1.13)

I (г = 1, • • •, п),

а9+1Хг

к-1дУ

Ох; '

= /„ = /. Тогда

9 + 1 = /,

/ + 1 = </■(*-!),

то есть 9 =-¿2, /

Таким образом, рассматриваем уравнения

2 к

Гамильтона с квазиоднородным гамильтонианом степени к =

Н(а9х,а^у) = акН(х,у),

к-2 (1.14)

где д и / являются показателями квазиоднородности по координатам и импульсам соответственно.

Найдем показатели Ковалевской для системы (1.13). Частные решения этой системы будем искать в виде

х% ~ р' ~ Р+1'

(г = 1, • • •, п).

■> } 1

Для постоянных с — (сх, • • • , сп) и а = (а\, получаем следующую систему алгебраических уравнений

(1.15) согласно (1.6),

(д +

дУ,

дхЛС)'

То есть а = —дс, а вектор с удовлетворяет алгебраической системе

дУ

дх

(с) = -д(д + 1)с*.

(1.16)

Матрица Ковалевской для системы (1.13) согласно (1.11) будет иметь вид:

\

К\г =

5 0 1 0

о д 0 1

д +1 0

02У(с) •

0 д + 1

(1.17)

/ 2пх2п

где В2У(с) - гессиан потенциальной энергии, вычисленный при х = с. Показатели Ковалевской р = (/>1, • • • ?уоп) удовлетворяют характеристическому уравнению

с^ (рбц 1 у

= 0,

(1.18)

то есть обращается в нуль следующий определитель размера 2п х 2п:

А =

Р- 9 0 -1 0

0 р-д 0 -1

Р-9- 1 0

D2V(C) •

0 р-9- 1

(1.19)

Для поиска определителя блочной матрицы можно использовать формулу Шура (см. [15]):

det

( \ А В

С D

det(-CB + DA), если АВ = В А и detB ф 0.

В нашем случае, очевидно, АВ = В А и detB ф 0. Следовательно, определитель (1.19) размера 2п х 2п можно свести к определителю размера п х п

А = \(р-д-1)(р-д)Еп+П2У(с)1

где Еп - единичная матрица размера пхп. Рассмотрим фиксированное решение алгебраической системы

дУ

dxi

(di, ■ ■ ■ ,dn) = di,

(1.20)

где вектор d = (d\, ■ ■ ■, dn) связан с вектором с = (ci, • • •, сп) из (1.16) соотношением

d = [-g(g + l)}^c.

Тогда D2V(c) = —g{g + 1 )D2V(d), а характеристическое уравнение (1.18) примет следующий вид:

I (р-9- 1 )(Р - д)Еп - 9(9 + l)D2V(d)\ = 0. (1.21)

15

Найдя с