Вопросы алгебраической интегрируемости динамических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

САДЭТОВ Семен Тигранович

удк 531.38+531.о1+517.925.53 вопроси алгебраической интегрируемости

динамических систем

01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1992

Работа шшднена на кафедре теоретической механики механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова

Научны!: руководитель

Официальные оппоненты

Бегущая организаций

За^чита состоится

доктор физико-математических на;

профессор В. В. Козлов

доктор физико-математических нц

чл.-изрр. РАН ¿.Т.Фоменко

кандидат физико-математических наук А.А.Буров-

Ростовский государственный университет, кафелра вычислительной математики и математической физики

1392 i

в 16-33 часов на заседании специализированного Совета м 353.05. Л при московском государственном университете им. М.Б.Ломоносова по адресу: Ц28ЭЭ, Москва, Ленинские горы. Главное здание МГУ, сектор "А", ауд.

С диссертацией иэжно ознакомиться в читальном зале библиотеки механлю-ыатематического факультета МГУ.

Автореферат разослан С&^о 1ЭЭ2 г.

ученый секретарь специализ1фованного Совета моктор физико-математических наук, м.н.с.

А-В.Тр

........ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

...... I

( • Диссертационная работа посвящена проблеме поиска интегри-гемых случаев динамических систем; в первую очередь - с квадра-[чной правой, частью. Интегрируемые случаж являются редким искклю-:нием и поэтому привлекают особое внимание исследователей.

Актуальность темы. I. Ряд интегрируемых случаев уравнений фхгофа (1) был найден Р.Клебшем, А.М.Ляпуновнм, В.А.Стекловым, .А.Чаплыгиным. А.МЛяпуновым и В.А.Стекловым были найдены все гучая существования дополнительного квадратичного интеграла, даако, это не решает всей проблемы. Например, в частном случае иегрируемрсти Чаплыгина дополнительный интеграл имеет четверню степень. С.П.Новиковым и И.Шмельцером (19811 было установлено, ?о уравнения (1) допускают вложение в алгебру Ли 3). (При М,р>-0 ^ гамильтоновость была первоначально замечена В.В.Козловым L98D.) В динамически неаимметричном случае Q^Q^a^ .В.Козловым Д.А.Онищенко (1982) было установлено явление расщепления сепа-1трис. При наличии динамической симметрии (3> данный метод непо-зедственно непрж. меним, ибо отсутствуют использованные в нем зоякоасимптотические траектории. Из сказанного выше следует, что зи С1,=(Хг наиболее естественной будет постановка задачи о допол-иельнпм рациональном интеграле. Все же, при малых - С, -02 г*О юдотворен этот метод [lj, где расщеплены другие сепаратрисы.

Л. Интегрируемость по Лиувиллю AiouviKe1,1855/ (Иошиде [2]) гределена с пренебрежением особыми подмногообразиями коразмерно-

2 (I), на которых интегралы (либо l-формы) зависимы. В частнос-I, до работы автора отсутствовали строгие результаты, позволяющие ?верждать, что при расширении конфигурационного многообразия

] Козлов В.В. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа// SRort 5wwunLcdttons. ICM. Sectio« 13. Warszawa, 1982. Vi. .] Iosftida H. Wecessar^ condttion |bt "Ае extstence cf afge&Küc >st inte^ra^s. 1Д // Сe£. Mee¥>. 4983. V.31,>4. Р. 365-399.

неинтегрируемой по Лиувиллю системы дополнительной степенью свободы не монет быть получена система, интегрируемая по Лиувиллю.

г 00

Отметим, что в енекошактном -дифференцируемом случае это ыоже иметь место.

ТТель работы. I. Решение вопроса о наличии интегрируемых случаев уравнений Кирхгофа в предположении симметрии (2),(3).

II. Получение аналога леммы Пуанкаре (о спаривании показателей Ляпунова) для уравнений на алгебрах Ли.

§. доказательство наследуемости свойств интегрируемости по Лиувиллю и Иошвде при ограничении на особые инвариантные подмног образия. Качественное исследование движения в системе, интегрир} мой по Иопшде.

Научная новизна. 1.1 Доназано отсутствие новых интегрируег, случаев уравнений Кирхгофа (1) в предположении симметрии

а/ (2) , С3) — общих;

б/ (2) ,(3) , & = 0 — и общих, ж частных (на уровне<М,р>«о

1.2 В предположениях (2) , О) получен дополнительный 6ой стег ни полиномиальный £1-интеграл , см. (5).'

1.3 Получено естественное расширение случая Ляпунова до случ £2-интегрируемости (7); условия (8) - замыкание его в пространс ве параметров.

Ц.1 Получен аналог теоремы В.В.Крзлова [з]. Он состоит в то» что показатели Ковалевской уравнений на алгебре Ли спарены при ограничении на орбиту, проходящую через точку Х0, см. стр; 8.

][.2 Получен аналог теоремы Х.Иошиды для случая отсутствия предположения независимости в точке х^

Ж'1 Наследуемость свойства интегрируемости по Лиувиллю при ограничении на особые многообразия доказана для размерности конфигурационного многообразия не более трех в категориях: (Миа£,

[3]Козлов В.В. Тензорные законы сохранения квазиоднородных систем и метод Ковалевской-Ляпунова/Датем. заметки. 1992.

5.2 Наследуемость свойства интегрируемости по ;;оавде доказана в коразмерности 2 - в категориях <ГАСд , > (£/\па(! » ; в произвольной коразмерности - только , КАб,

1.3 Замечено, что подкова Сме:ла не допускает инБарп£нг.-.Ож. 1-$орш. Доказано, что интегрируемость по ;;ошаде ^ре:1ЯтстЕуег вложению подковы Смейла (хотя и не препятствует эргодичности).

Применяе?лые методы. I. При исследовании условие пнтегр/ру-е...ости ураьк-да!^ 1-ирхгофа пз..иен.-е?с,: метод Гюссона.[4] .

I. Аналог теоремы Иошиды доказывается применение!.: метода младших однородных форм Зиглина [б!, основанного на алгебраической лемме , к частным решениям Иошиды £2] .

Ш.1 При доказательстве наследуемости интегрируемости ло Лиувиллю трудности появляются , если подалогообразпе лехит во множестве неопределенности интегралов, это множество раздувается

Лекала 1 (§3.4.11 представляет собос метод гиглина[5] отбрасывания зависимых членов, уточненные посредством алгоритма Евклида, с подсчетом градуированных колеп, которым принадлайат разложения в ряды Тейлора и Лорана.

%2 При доказательстве наследуемости интегрируемости по Иоаиде клячевои является лемма 3 (§3.4.3). утверждаюцая, что в категории 1-циклы слоя оодего положения различают в когомоло-гиях 1~£ормы из комплекса относительных дифференциальных |орм слоения (порожденного полем * рациональных функции на многообразии! В ее

инвариантный "

доказательстве, использузуем язык комплексов 1г-модулей, посредством

[4] НиаелЕ. Кес&е-иЕм (1** ¡»Л^^л/е* а£д«бпл.1}цм Лхл» твц»«п»<иЛ ¿'и* лйЬъ ¿'т, »а*^кмЛ.Л ^ех.р^л. 1906.9. П-т.

[5] Зшглдн С.Л. Ветвление решении и несуществование паршх. -нгагрьл* в гампльтокоьой ¡механикеЛ .//?ункц. анализ. 1982.Вып.З.С.30-41.

[63 Ша$аревич ".?. Основы алгебраической геометрии. 1.1,2. .'Л.,1938.

теорем л.:>;..ронакп [7] и лем.ы 7 (о степенной оценке сверху и сш

ант е гралw 1-£орш <о вдоль 1-циклах^) при стремлении F к осо-

tlT) , „

бог,у слоя ^отсутствие соотношений =а/»(г,г)на сло(

общего положения выводится из теоремы Чжоу to рациональности мер* iopiHOi. на коглзлексно:.. проективном алгебраическом ыногоо<

разип). Отличное от аьторского(М1?«оп^^доказательство ле;,.кы7 ,р< лпзуюлее схе;..у, намеченную в [з] , приведено в §3.5.4 и опирается разрешение особенностей слоения в коразмерности 1.

Ш.З Несуществование у подковы Смейла инвариантной. 1-формы доказывается методов, предложенным автору В.В.Козловым (cu.fgjj х основанным на обращении 1-£орш в нуль на каздои невыроаденнои периодическое траектории.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретические характер. Г. ¿"-интегралы могут быть использованы для построения теории возмущении, а такие для получения приближенных форм; (при мал их импульсах) в виде об рдения квадратур.

jeias о jнарвалии .¿оказателеи Ковалевской i.oxer быть полезна, если размерность орбиты, проходящей через точку *0 > г.зньзе, чем размерность орбиты обдего положения.

]Й. Теоремы о наследуемости позволяют без вычислений вывеет; яапоимео,

не,интегрируемость,'трехкоглюнентно;. задачи £нга-!<1иллса с гамильт аланом 2И = рЬ рг ♦ f4 * * * <£

[б] Hiionafce. Н. (1954). Разрешение особенностей алгебраических многообразий над полей характеристика нуль. Математика. Период, переа. ин. статвп.19э5,9,*5,с.З-70; 10,^1, с.3-89; 1966, 10,J«2. [з]Арно.хьд З.Л., ¿арченко А.Н., Гусэнн-Задз с.Ъ ЗзоЗанлэзги дифференцируемых отшбраженип..1/:Онодромия и асспллтотики интеграл - М.: Наука, 1934. - 336 с.

[э] Арнольд в.Л., Козлов В.В., Меиштадт А.И. Иатематнческие аспе классической и небесное механики. В сб. СШ. 5унд. напр. Х.З /Итоги науки и техн. ЗЖИШ АН СССР/, li.: ВИНИТИ... 1985 , 5-304.

и работы В.С .Николаевского ¿1 Л.Н.Щура (1933) , С.А.довбыаа и Борисова (1991) ) из кеинГегрируеь;ости ее двуххоклонентнои [системы.

Ашобация РаЗоты. ра^льтаты диссертации докладывались заседаниях сеьлнара ■ Диньл-ические систем классическое саники" под руководством В.В.Козлова и С«5.Болотина; .лкара кафедры вычислительной »¿атеуатики и матеьатическо^ зихи ?ГУ л->д руководство:,. Ъ.И.гОцовича; Всесоюзного совещания дирференциацной геометрии ('* -х 1990г., п. Абрау-^рсо). ¡ювные результаты опубликованы' в работах, перечисленных в нце автореферата.

Структура иисседтадии. Диссертация изложена ка 135 отра-цахи и состоит из введения и 3х глав, ¿азбатых на 11+6+12 раграфов, которые,в свою очередь, иногда лодразделяются на ■нкты и подпункты в соответствии с логикой изложения. 5ибл.49. 1Иведено 8 иллюстрации, все- в третьей главе.

С0ДЕР2АЕИЗ РАБОТЫ.

Во введении излагаются постановки задач, расс^триваешх диссертации, основные полученные результат» (определения и элные формулировки приведены б §§1.0, 2.0, 3.0), дается краткий Ззор относящихся к ник работ.

Б дерзок глава исследуется условия существования дополннтель-эго рационального интеграла уравнении Кирхгофа, описыьаддих вияенйе твердого тела при потенциальное обтекании идеальной есхж.'лемой жидкостью, в предположении, что жидкость на беснонеч-ости покоится:

' M = h*caMf6p> + р*<8М *ср), (1)

р- р* (aMtfep).

Здесь М - суммарный момент системы ^тело+жвдкость", р - суммарный импульс; 2Н* <üM,Ní>+2<áM,р>+<ср,р>- кинетическая

/а &Y1

энергия системы; £/ -(постоянная) матрица присоединенных масс. Здесь £o-ClM+£p - угловая скорость тела,1Г«$М^с - скорость начала координат, вмороженных в тело; таким образом, движение тела отделяется от движения жидкости.

Уравнения (1) имеэт 15=&t-9+6-dú«E(3; свободных параметр« А именно, заменяя систему координат, вмороженную в тело, если среди собственных значений матрицы CL нет противоположных по -знаку, (но Н»0), мэжно всегда считать» что

a^dicx^ift^a^aa) , g = , с* с* . Кроме того, уравнения не зависят от параметров "Ui , tac .

Кроме интеграла энергии Н , уравнения имеют два квадрат*' ных интеграла, обнаруженные Кирхгофом: <М,р> , . р4 Уравнения (1) сохраняют стандартную меру в Я*и поэтому, для их полной интегрируемости в квадратурах, согласно теореме Якобя о приводящем множителе, необходим еще один независимы! интеграл.

Б данное работе исследуатся условия существования дополнительного интеграла Ш в. предположении, что тело имеет три взаимно перпендикулярные оси симметрии 2го порядка:

a-dia^Q^a.Oa) , в , С -cfiagíc.«^,) (2)

и динамически симметрично:

а,»йг (3)

Замечание. В 1982г. Б.В Козловым было установлено расщепл» нивсепаратрис (1) при (2),(3) ,6*0 ,<VQ3в 1985г. Т«В.Сальниковой этот результат был обобщен на случай недиагонал

эй. ыатркцы С . В 1986г. В.В.Козловым и Д.В.Трещевым при (21), (3) , |* О тем хе методом была установлена неинтегрируекость <1)

рк достаточно больших значениях. а с помопцл» теории возмущений

О* '

при почти всех >2 .

Отсутствие новых интегрируемых случаев доказывается методом

.Еоссона ^, в общих чертах, он состоит в следупдем. 3 систему

агулярным образом вводится параметр £ так, чтобы ее общее решение

эгло быть найдено явно в виде рядов по нему:

х1 и,+ £ (4)

дошущительнын _

огда, если гсх) - интеграл исходной системы, то ; - до полительный интеграл (4). Приравнивая в нем коэффициенты при степе-ях £ константам, получаем алгебраические- соотношения на члены азложения (4): *» • >*»>* от^,

г

1., **

. м . > _ , м л» ^ .

репятствияки к существованию такого интегралабудут, например, лгебраячвская независимость х3(4) над* К I либо, если

ни зависимы, - линейная независимость *»(.*), , 1 над олем алгебраических функций. V*), а т. д.

Доказательство разбивается на 14 случаев, в зависимости от начений параметров , , СС,-са) ,

Д-^-а, (с,*с,-5<?3) , (8,- О-о, СМ.Р? ,

: проводится в два этапа: на параметр £ вводится заменой

& на 1ой - заменой^,а^, р3) -»• (е^,,С7,,дрэ') в переменных, :спользованных Е.Воссоном для симметричного*гяхелого твердого ела: «о * С р, <у> М - ^ (со, р) - р3),

■де р » 1Р»,РъР»').

'прошение 2го шага метода Гюссона изложено в §1.3.2;

техклческлэ средства анализа алгебраических зависимости - в §1.10 1.11.

Введем параметр £ , заменяя р на£р . Тогда в предположениях

Оь.

(2> , <3> существует дололнлт&шшй 8 ^ степени £' -интеграл ^

+эе2м? < м,Р> -мгмар,];

ае,-(а-|)М3*гогМз , ае2»<«-оМв-ч«'м£; I-««

Зго начальная компонента Р0 ¿унклпонально независима с Нв ,<М,р>(

о

р пряа,*а3.

В предположениях (2), а,**02ва3 и

е = а'и^б -з§8> • 16)

существует дополнительный квадратичный £г-интеграл ;

2Нг-ё"'Мг + 2€ < 6 м, р > ♦ е**«3§->|6)р.р». 3 (7)

2Р'<вМ,М> +2£Ш<6нМ,р>*£а**<&р,р>, :

где Г,- (Му^+фЪ-гъ-РуШ

; случай А .11 .Ляпунова' выделяется условие:.. . 2а:..ькание (5) имеет вид:

-о. (8)

Во второй главе рассматривается произвольная ква^однородная

система оЗаГ-ск^векных д^1;еренд.:а.гьк^х уразненг*. * * тА*) , т.е.

;1К вариант нал о :нос,п?елъно за.\:ены: ,.,. ,

для некоторых рамокальныл , ... , . Ге^-.^г.^ес.кп это

означает, что хъаз¿однородное растяжение разовые кривые переводи

в фазовые кривые, но время сжимает в * раз.

Квазиоднородная система .общего положения имеет частные

. решения Иошиды [г]: где Хо - вообще говоря, комплекс

ные корни 1Г:(х) +9.-х,-0. Следуя Иопшде, перейдем к переменным г,:

- ^кваз«однородным отклонениям от частного решения"- по формуле: у. + При этом автономность системы сохранит ей, частное решение 'Х^Г^ перейдет в положение равновесия г1=гО , уравнения в вариациях вдоль 1 в линеаризацию около г *о , Показателями Ковалевской называются ее Ляпуновские показатели.

Теорема 1 (Н. если имеется эе независимых в точке х0

интегралов квазиоднородной степени М , го М - показатель Ковалевской кратности эе .

Теорема 2 ( В.В.Козлов, [з}). Если имеется 36 независимых в точке Х0 полей симметрии квазиоднороднои степени М (т.е. веса

равны И для каждого поля симметрии иос>), то. также. М

- показатель Ковалевской кратности дв .

Если отказаться от предположения независимости в точке хв , то имеет место

Теорема 1* Число функционально независимых интегралов не

превосходит числа независимых резонаксоз на показатели ховалев-

кой: »м, р, + + О # где

Замечание. В 1989г. Х.Иошида привел пример интегрируемой по

Лиувилло система с двумя степенями свободы, имеющей иррациональный

(йли из [13)

показатель Ковалевской. Отсюда4; в частности, следует, что дополнительных резонаясов поля симметрии , вообще Говоря, не дают.

Замечание. Аналоги теоремы 1» имеют место для неподвижных точек квазиоднородных отображений.

Замечание. -I - всегда показатель Ковалевской. Он соответствует тривиальному полю симметрии .{з].

Доказательство теоремы 1» основано на применении к частным решениям х.Иопшды метода С.Л.Знглина младших однородных форм. Алгебраическая лемма £4]. Пусть ^ ?.,. э <р - рациональные

[10] Козлов Б.В. О грушах симметрии динамических систем// ШЫ. 1988. 52. Вып.4 С.531-541.

10 ,

функциям пере;..енных. Предположим, что они функционально незаи симы и младшие однородные формы (в точке ^ ) первых 1-1 из них функционально независимы.

• /V

Тогда найдется , являющаяся полиномом от них, такая, 1 гладпше однородные формы ^ (в точке V функциональн<

независим.

Заметь:, что младшие однородные формы интегралов постоянн:

вдоль векторного поля ,) на касательном расслоении (§2.3

Далее пользуемся те;.,, что уравнения в вариациях бирационально

на частное решении заменой приводятся к виду:

{•$ = diogí-i,j^r,. (

Бели нет нетривиальных жордановых клеток, пользуясь тем, что

константы интегрирования различают отношения мономов числи

теля и знаменателя младаей однородной формы, получаем нужное

число резонансов: Р; ,-j, , fi(it-i»>+.~^pn<i»ri¿

Qi . . v-ХвЛ )• L =i

где P^ , Q\ рациональны. ь §2.5 доказана

Лемма .Показатели Ковалевокой уравнении Эйлера на алгебрах Ли спарены вдоль орбиты проходящей через точку хс :

здесь <2*1 - степень правой части и гамильтониана, d -размерность этой орбиты.

Она является аналогом ле:.;ш [з] для стандартной симплект ческой структуры, в свою очередь являющейся аналогом леммы А.Пуанкаре 0 дяпуновских характеристических показателях.

В §3.1-3.2 описывается соответствие в гамильтоновом случг инвариантных 1-;орь: и полей симметрии. Б частности, поля симмет отождествляются со слабо Ш-инвариантными 1-форма%л, а инва] антным замкнутым на слоении 1-формам -можно сопоставить локалы

мильтоновые поля симметрии (;ос компоненты - первообразные [оль слоения 1-форм).

Теорема (наследуемость интегрируемости по Лиувиллю). Пусть - вложение неприводимых симплектических многообразии. )едположим, что Н включается в пи -мерную комлутатиьную относительно скобки Пуассона) подалгебру огп», керомор^ных функций 1Ш и гамильтониан Н оставляет подмногообразие & ¿нвариант-

Ж' уО ш

Тогда п :=Н1 включается в подалгебру керомор*нпх ¿укх-ай на , размерности не менее п,- такую, что •

План доказательства наследуемости в категориях ГРАпаЕ, . Пусть С~г ; - относительные координаты Дарбу & в :

усть «(. - прообраз ** при &-11роцессе раздутия с центром в # . качестве координат на Ш, около выберем (г;*,!;), где

Подправляем .тункпиональный базис подалгебры схпч та:;, чтоЗк .ладшле однородные формы по X ст.е. на .С) его элементов били ¡ункционально независимы. Из ле:.лщ 1 следует, что это мохно сделать ;е выходя из кольца рядов Тейлора по х с меромор^ными на юэффздиентами.

3. Бела одна из них имеет ненулевую степень, то остальные не

мО

1ависят от V и коммутируют с п (г), з противном случае (общего юло:?.енкя) все младшие однородные .формы имеют-нулевую степень. гсловие

{Н^х'Н^г.тг)* ... ^и^ + х^Сг.ик..}^, К?.....п

з пределе при *-»0 дает

[Н°Сг), ^ (г/и)} ♦ Сг.чг) = О. Ш»

4. Комплекси^ицпруем по компоненте Р* и рассмотрим

на нем уровень Я, общего положения ¿ункции Возьмем младшие однородные форш функций , на этом уровне (т.е. пои) ;

здесь^«Л(г>и( тг^иг) - локальное уравнение . ■ Щшдшую однородную ¿орму по и (в координатах (г,и.) > обозначим крышкой А.

5. Предположим, что {Нв, РЛОА}?0. Положим С(г,и):» рСг,к*)мл). В координатах и,и) равенство (10) примет вид:

¡Нв(г) ,+ [ - (н°(*),Л<г\)] • =0, (11

где С^ССрГ для некоторого ; скобка задана пре-чснек формулой, но геометрически^- новая. Младшая однородная форма пои равенства (11) запишется в виде:

{нъ, сг} - =0- (12)

где С - вес слагаемых (11), а следовательно, 1 - вес множителя в квадратных скобках; Нг,1(2)_ обозначает член при и1 в разложен!

Нг(г,лсг)»и) в ряд Лорана по и . Разделив равенства (12$ на и вычитая из них (12,,), получаем:

{нв(г)>С?А}-0 ,

6. Полученная подалгебра лежит в конечном расширении исходнс поля меромор^ных фунций на # , ибо^|^ : - конечное разветвленное накрытие.

Б [2] было предложено обобщение интегрируемости по Лиувиллю на негамильтонов квазиоднородный; случай, позволяющее проинтегрирс вать уравнения в квадратурах:

Определение. Система х£ называется интегриру-

емой по Иошиде, если она имеет К однозначных интегралов и п-К-1 инвариантных 1-фэрм, замкнутых на совместных уровнях интегралов.

Аналоаичное свойство наследуемости на особые подмногообразие

я интегрируемости по Иошвде доказано в §§3.3-3.7 для произволь-к размерности и коразмерности - в категориях САЦ ,IRAtj .

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю эофессору Валерию Васи-гьевичу Козлову за постановки задач, зльшое внимание к работе и многочисленные замечания, в частности, 1.предложенный более изящный подход к установлений препятствий к тожению подковы Смейла; В.И.Щовичу, C.B.Болотину и Д.З.Трещеву за обсуждения.

Список опубликованных работ по теме диссертации: , Садэтов С.Т. Условия интегрируемости уравнений. Кирхгоф//

Вестн. Моск. ун-та. Мат ем. Механ. 1990". Jfâ. G.56-62. . Садэтов С.Т. Необходимые условия существования дополнительного мероморфного интеграла уравнении Кирхгофа на четырехмерных инвариантных поверхностях.//В сб. Математические методы в механике. М.:Изд-во Моск. ун-та. 1990. С.75-81.