Численные методы анализа интегрируемости динамических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

005006696

На правах рукописи

Сальников Владимир Николаевич

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 8 ДЕК 2011

Москва-2011

005006696

Работа выполнена в отделе механики Учреждения Российской Академии Наук Вычислительного центра им. A.A. Дородницына РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Степанов Сергей Яковлевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Косенко Иван Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент Кулешов Александр Сергееевич

Ведущая организация: Научно исследовательский институт механики МГУ им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 23 декабря 2011 г. в ч. _мин. на заседании

диссертационного совета Д 212.125.14 при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Московском авиационном институте (национальном исследовательском университете)" по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО "Московском авиационном институте (национальном исследовательском университете)".

IX -М

Автореферат разослан "___I_2011 г.

Ученый секретарь диссертационного // совета Д 212.125.14 /

кандидат физико-математических у/у. наук, доцент /У

Гидаспов В.Ю.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вопрос об интегрируемости динамических систем изучался приблизительно с середины XIX века. В то время под интегрируемостью понимали интегрируемость в квадратурах, то есть для системы дифференциальных уравнений

dx . . — = t>

возможность найти решение x(i) с помощью операций обращения функций и взятия первообразных.

В настоящее время понятие несколько расширилось: рассматривается более сильная характеристика системы, а именно, существование достаточного количества сохраняющихся величин (первых интегралов), обладающих определенными свойствами.

Теорема Лиувилля-Арнольда1: Пусть гладкие функции на '2п-мерном многообразии М Flt F^,..., Fn : М -> R находятся в инволюции ({Fi,Fj} = 0). Рассмотрим множество уровня функций Fi

Mf = {(q,р) : Fi(q, p) = /¡, t = 1,...,n}.

Пусть на M/ функции Fi независимы (т.е. в каждой точке М/ линейно независимы 1-формы dFi). Тогда: l)Mj - гладкое многообразие, инвариантное относительно Iфазового потока с гамильтонианом Н = F\. 2) Если многообразие Mj компактно, то каждая его компонента связности диффеоморфна п-мерному тору

T" = {(iph...,tpn) mod 2тг}.

3) Фазовый поток с гамильтонианом Н определяет на Mf условно периодическое движение:

Ф =

'Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадг А.И., Математические аспекты классической и небесной механики, Москва, ВИНИТИ, 1985.

4) Канонические, уравнения Гамильтона интегрируются в квадратурах.

В таком случае система называется вполне интегрируемой или интегрируемой по Лиувиллю-Арнольду. Именно в этом смысле интегрируемость изучается в данной диссертации. Ясно, что начинать изучение интегрируемости системы разумно с анализа условий существования независимых первых интегралов.

Для произвольной динамической системы не существует конструктивного алгоритма для проверки существования достаточного количества независимых первых интегралов, однако во второй половине XX века получен ряд результатов, выявляющих препятствия к интегрируемости. На практике отсутствие дополнительных первых интегралов обычно приводит к стохастизации - важному качественному явлению, наблюдаемому во многих задачах механики, физики, химии, биологии и особенно интенсивно изучаемому в последние годы.

Для вещественных систем пас будут интересовать в первую очередь препятствия, основанные на свойствах топологии конфигурационного и фазового пространства систем малой размерности. В.В. Козловым2 было доказано, что системы с двумерным конфигурационным пространством рода больше чем 1 не имеют дополнительного аналитического первого интеграла. В диссертации рассмотрено поведение систем с произвольным конфигурационным пространством размерности 2, изучены препятствия к существованию дополнительного первого интеграла, независимого с интегралом энергии.

Для комплексифицироваиных систем в конце XX века был разработан ряд алгебраических методов анализа продолжаемости первых интегралов в комплексную область: X. Йошида3 обнаружил связь между существованием рациональных первых интегралов и показателями Ковалевской; С.Л. Зиглин4 стал по

2Козлов В.В., Симметрии, топология и резонапсы в гамильтоповой механике, Ижевск: юд-во Удмуртского гос. университета, 1995.

3Н. Yoshida, Necessary condition for the existence of algebraic first intégrais. I, II, Celestial Mechanics, Vol. 31, p.363 00/1983.

4S.L. Ziglin, Branching of Solutions and Non-Existence of First Intégrais in Hamiltonian Mechanics, 1,11,1982, Fmi. Anal. Appl, 16.

сути основателем "группового" подхода к анализу интегрируемости в (»временном понимании, рассмотрев ограничения на группу монодромии системы уравнений в вариациях в зависимости от существования независимых мероморфных первых интегралов; X. Моралес-Руис и Ж.-П. Рамис5 сформулировали аналогичный результат для дифференциальной группы Галуа.

Общим недостатком этих методов является необходимость знать явное комплексифицируемое частное решение системы, а также уметь вычислять достаточно нетривиальные алгебраические группы, что существенно ограничивает область применения методов. В диссертации мы пользуемся наглядностью построения группы монодромии, которая позволяет предложить эффективный алгоритм применения метода Зиглина.

Цель работы. Предложить эффективные методы анализа интегрируемости динамических систем и реализовать соответствующие алгоритмы. Применить полученные алгоритмы к системам, имеющим механическое происхождение.

Методы исследования. В диссертации используются методы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений и численные методы.

Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми и состоят в следующем:

1. Описали топологические препятствия к существованию независимых пер-

5J.J. Morales-Ruiz, Differential Gabis theory and non-intcgrability of hamiltonian systems, Birkhausen, Basel, 1999;

J.J. Morales-Ruiz, J.P. Ramis, Galoisian obstructions to integrability of hamiltonian systems, I, II, Melh. Appl. Anal. 8(1), 33-95,97-111, 2001;

M. Audin, "Les systèmes hamiltoniens et leur integrabilité", Cours Specilisés. SMF et EDP Sciences, 2001

вых интегралов для систем малой размерности. На основании этих результатов предложен конструктивный численный метод доказательства несуществования дополнительных первых интегралов. С помощью результатов теории Колмогорова-Арнольда-Мозера и аппарата метода Монте-Карло подход обобщен па случай систем с параметрами для поиска возможных областей интегрируемости.

2. На основе метода Зиглина предложен эффективный алгоритм проверки существования достаточного для полной интегрируемости количества независимых мероморфных первых интегралов комплсксифицированных систем. Вывод делается с использованием частного решения и группы моно-дромии, полученных численно.

3. Оба метода применены для доказательства неинтегрируемости маятнико-подобных систем, а также некоторых систем, имеющих физическое происхождение. Доказано, что среди маятнико-подобных систем нет интегрируемых случаев, отличных от тривиальных, когда система распадается на независимые подсистемы.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер; результаты диссертации могут быть использованы специалистами по динамическим системам, теоретической механике, а также по численному моделированию в научных исследованиях и при чтении специальных курсов. В силу универсальности предложенных методов, они могут быть применены для качественного анализа систем дифференциальных уравнений, естественно возникающих в прикладных задачах механики, физики, химии, биологии.

На защиту выносятся:

1. Конструктивный метод визуализации топологических свойств динамических систем (метод сечений), предназначенный для изучения иптегрируе-

мости систем малой размерности;

2. Обобщение метода сечений с помощью теории Колмогорова-Арнольда-Мозера с целыо его применения к системам с параметрами;

3. Эффективный алгоритм применения метода Зиглина анализа мероморф-ной интегрируемости комплексифицироваггаой системы, основанный иа определении группы моподромии вдоль частного решения, полученного численно;

4. Анализ интегрируемости конкретных механических систем с помощью упомянутых выше методов: задача о свободном движении маятнико-подобных систем, задача о движении осесиммегричного спутника по круговой орбите, задача Хскона-Хейлоса о движении звезды вблизи галактического центра.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах:

• семинары в ВЦ РАН под руководством Абрамова А.А., Патьцева Б.В., Власова В.И. и под руководством Степанова С.Я.;

• семинар в Ecole Normale Supérieure de Lyon, Лион, Франция;

• семинар в МАИ под руководством Красильннкова П.С., Бардина B.C.;

• семинар в НИИ механики МГУ;

и на конференциях:

• CEEPUS Computer Algebra Summer University, Miskolc, Hungary;

• XXXIII International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics", С.-Петербург;

• The Fifth Euromech Nonlinear Dynamics Conference, Eindhoven, The Netherlands;

• Conference "Dynamical Iiitegrability", CIRM, Luminy, France;

• Conference "Symmetry and Perturbation Theory", Otranto, Italy;

• Конференция-Конкурс молодых ученых НИИ Механики МГУ им. М.В.Ломопосова, Москва;

• 5-th European Congress of Mathematics, Amsterdam, The Netherlands;

• III International Summer School on Geometry, Mechanics, and Control, L'Ametlla de Mar, Spain;

• Research Workshop "Modern Approaches to Dynamical Integrability", Portsmouth, England;

• "Dynamical systems and classical mechanics: a conference in celebration of Vladimir Arnold", Edinburgh, Scotland.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, список которых приведен в конце автореферата [1]-[6]. Среди них одна опубликована в журнале из перечня ведущих периодических изданий ВАК, четыре опубликованы в рецензируемых трудах конференций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения, разбитых на разделы, а также списка литературы, насчитывающего 35 наименования, и приложения, содержащего тексты программ. Общий объем текста - 98 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий исторический обзор по теме диссертации и сформулированы основные задачи и результаты диссертации.

В первой главе обсуждается топология фазового пространства гамиль-тоиовых систем мачой размерности. После небольшого обзора, описывающего некоторые геометрические препятствия к интегрируемости, известные ранее, предложен метод анализа существования дополнительного первого интеграла автономной системы с двумя степенями свободы, который по сути является способом визуализации динамики системы. С помощью результатов теории КолмогоровагАрнольда-Мозера данный метод обобщен с целью применения его для систем с параметрами. Хорошо развитый аппарат стохастического анализа (метод Монте-Карло) позволяет изучить системы с непрерывно меняющимися параметрами и локализовать области возможной интегрируемости.

Рассмотрим автономную систему с двумерным конфигурационным многообразием (}. Ее фазовое пространство Т'Сд четырехмерно. В силу автономности, любая траектория этой системы лежит на гиперповерхности уровня полной энергии, которая имеет размерность 3. Для полной интегрируемости системы с двумя степенями свободы необходимо существование еще одного первого интеграла, независимого с интегралом энергии; в случае его существования любая траектория лежала бы на двумерном многообразии, определенном пересечением поверхностей уровня этого интеграла и интеграла энергии.

Это топологическое соображение само по себе не дает метода анализа интегрируемости системы с двумя степенями свободы, однако вместе с хорошим алгоритмом визуализации позволяет дать ответ для некоторого достаточно общего класса систем. Эффективная визуализация динамики системы с двумя степенями свободы - непростая задача, поэтому мы предлагаем рассмотреть пересечение произвольной траектории системы с двумерными плоскостями в четырехмерном фазовом пространстве (в диссертации этот прием назван "метод сечений").

Из соображений размерности, при таком способе отображения динамики системы, в зависимости от существования дополнительного первого интеграла, возможны два случая: либо пересечение 0-мерно (конечное множество точек), либо пересечение одномерно (конечный набор кривых). Если в пересечении видны кривые (второй случай), то система пе допускает дополнительного первого интеграла, независимого с энергией. Такие пересечения получаются численно по одной траектории, поэтому из-за их дискретиой природы, строго говоря, мы получаем отсутствие первого интеграла в классе липшицевых функций, что является вполне естественным ограничением для систем, возникающих в приложениях.

Отсутствие же кривых в пересечении напрямую об интегрируемости не говорит, поскольку может быть связано с тем, что траектория оказалась более регулярной, чем остальные. Согласно теории Колмогорова-Ариольда-Мозера для систем, близких к интегрируемым, множество положительной меры инвариант^ ных торов сохраняет свою топологию. В наших терминах это значит, что при попадании начальных данных на такой тор в сечениях кривых нет. При приближении к интегрируемым системам в пространстве параметров вероятность попасть на такой тор возрастает. Этот факт позволяет изучить поведение семейства систем с непрерывной областью параметров - задача, которая обычно возникает на практике. Для этого нужно построить (например, с помощью метода Монте-Карло) распределение инвариантных торов, сохраняющих свою топологию ("пустых" сечений в наших терминах). В окрестности интегрируемых случаев должны наблюдаться локальные максимумы функции распределения.

Подобный анализ применим для любой системы, фазовое пространство которой редуцируется до четырехмерного. В качестве основного примера мы рассматриваем плоское свободное движение маятнико-подобной системы (рис. 1). Состояние этой системы описывается двумерными радиус-векторами Г| и скоро-

стями VI (» = 1,2,3). На систему наложены связи

<Р1 = (г1-го)2-/? = 0, <рг = (га - еххх)2 - ¡1 = О, = (Гз - (£1Г! + е2(т3 - С1Г!)))2 -11=0,

где Г| - радиус-вектор ¿-й материальной точки, точка г0 фиксирована. Параметр ei линейно характеризует смещение точки крепления (¿+1)-го звена к г-му: е< = 1 соответствует креплению к концу звена (как в многозвенном маятнике), = 0 -к началу (как в паре невзаимодействующих маятников с общей точкой подвеса). Система обладает цилиндрической симметрией, поэтому, понизив ее порядок по Раусу, можно применить метод сечений.

На рисунке 2 изображен типичный результат численного моделировании, та которого можно сделать вывод о неинтегрируемости конкретной системы. На рисунках 3 и 4 построены гистограммы распределения инвариантных торов, сохраняющих топологию, в зависимости от е1, £21 - из них понятно, что интегрируемые случаи соответствуют только значению £1 = 0, то есть закреплению второго звена к началу первого, соответствующему разделению системы на две невзаимодействущне подсистемы меньшей размерности.

Рис.1. Маятнико-подобиая система.

Рис.2. Типичное "непустое" пересечение траектории с двумерными плоскостями, параллельными координатным.

Рис. 3. Распределение торов, сохраняющих топологию, в квадрате (еьСз).

Рис.4. Аналогичное распределение в зависимости только ОТ £] .

В диссертации метод сечений также применен для изучения системы, описывающей движение динамически симметричного спутника по круговой орбите. В орбитальной системе координат, осп которой направлены вдоль радиус-вектора центра масс спутника, по нормали и бинормали к орбите, положение спутника описывается тремя углами Эйлера ф, в, (р. Обозначив соответствующие импульсы р-ф,рв,ре, получим выражение для гамильтониана системы:

rp jj2 COS О

Н = ^тъ + о - Р* cts(0)cos W - ~ Ря +

¿ Sin и ¿ sm и

.costó at2 В2 3.

+ ТГ^Та + о Q - 1 в, sin 0 2 sin в 2

где а = С[А\ А,В,С- главные моменты инерции (А = В). Координата <р оказывается циклической, поэтому зафиксируем значение соответствующего импульса р9 = а/3 — const, где ¡5 есть отношение орбитальной угловой скорости и проекции угловой скорости спутника на его ось симметрии. Были рассмотрены значения а = 4/3, /3 = 0, для которых актуальна задача об устойчивости равновесных решений. Для фиксированного значения р^ редуцированная система имеет две степени свободы, поэтому для нее удастся применить метод ссчсннй, описанный выше. Построенные сечения (рис. 5) показывают ее вещественную неинтегрируемость.

г г А

С"

г

1 / \у

Рис.5. Пересечение траектории с двумерными плоскостями, параллельными координатным, проходящими через точку ф = 0.28,0 = 0.82, = 0.15, р, = 0.37.

Отметим, однако, что для получения этих сечений нужно было довольно долго подбирать начальные далные. Это говорит о том, что система может быть локально интегрируемой, то есть дополнительный первый интеграл может существовать для некоторого подмножества начальных данных.

Во второй главе кратко изложен математический аппарат, необходимый для понимания методов анализа интегрируемости комплексифицированных систем. Рассмотрено применение трех алгебраических методов: X. Иошиды, С.Л. Зиглина и X. Моралеса-Ж.-П. Рампса - к задаче о динамике трехзвенного маятника, прокомментированы особенности и трудности их использования. После этого предложен эффективный алгоритм доказательства неинтегрирусмостн динамической системы, основанный па подходе С.Л. Зиглина, и рассмотрены некоторые примеры его применения.

Подход С.Л. Зиглина к анализу существования мероморфных интегралов основан на изучении группы монодромии, подход X. Моралеса-Руиса и Ж.-П. Ра-миса, развивающий исследовашм Зиглипа, основан на построении дифференциальной группы Галуа.

Пусть /(г) - первый интеграл системы дифференциальных уравнений с комплексным временем, тогда первая ненулевая однородная форма в тейлоровском разложении функции /(го + ч) является первым интегралом системы уравнений в вариациях и инвариантна относительно действия группы монодромии. Отсюда вытекает основной результат С.Л. Зиглииа, который состоит в том, что для существования нужного для интегрируемости по Лиувиллю-Арнольду числа независимых мероморфных первых интегралов динамической системы необходимо (с точностью до некоторых специальных частных случаев), чтобы преобразования из группы монодромии системы уравнений в вариациях коммутировали.

Теорема Моралеса-Рамиса, полученная но схеме Зиглииа, утверждает', что мероморфная интегрируемость динамической системы по Лиувиллю-Арнольду влечет абелевость связной компоненты единицы дифференциальной группы Галуа системы уравнений в нормальных вариациях. (Точные формулировки теорем Зиглина и Моралеса-Рамиса приведены в диссертации).

Из этой теоремы вытекает утверждение теоремы Зиглииа в частном случае, когда первые интегралы коммутируют. Теорема Моралеса-Рамиса позволила установить неинтегрируемость некоторых систем, где подход Зиглииа результатов не дает: это объясняется тем, что группа Галуа имеет больше источников

некоммутативности, чем группа моиодромии. Однако построение группы моно-дромии более наглядно. Мы пользуемся этим фактом, чтобы сформулировать эффективный алгоритм применения метода Зиглипа для анализа интегрируемости:

1. Выписать в общем виде (не фиксируя частное решение) систему уравнений

х = г(х),

Е = Л(х)Е, (1)

где первая строчка обозначает исходную комплексифицироваиную систему, а вторая - матричное уравнение, в котором А - матрица системы уравнений в вариациях, зависящая явно от х, Е - искомая п х п матрица (га -размерность фазового пространства исходной системы).

2. Выбрать в С ограниченную область и решетку точек в ней с одной выделенной точкой

3. Для каждой точки из решетки выбрать контур, обходящий только ее и начинающийся в точке ¿о- Проинтегрировать систему (1) вдоль этого контура с начальными данными Е(<0) = й. После обхода точки возможны три случая:

¡. I и Н вернулись к начальным значениям - такая точка дает тривиальное преобразование из группы монодромии. и. Значения х не вернулись к начальным данным (в пределах заданной точности) - повторять обход вокруг данной точки. Если х не возвращается к начальным значениям после большого числа обходов, перейти к анализу плотности траектории в фазовом пространстве. Ш. Значения х вернулись к начальным данным, а Е нет - запомнить полученную матрицу Е, она будет генератором группы монодромии.

4. Вычислить все попарные коммутаторы матриц, полученных в шаге Зли. Если среди них есть ненулевые, сделать вывод о мероморфной неинте-

грируемости системы. Если пег, выбрать другую точку ¿о в шаге 2. или начальное значение я(<о) в шаге 3.

В диссертации этот алгоритм применен для изучения системы Хеиона-Хейлеса, системы, описывающей движение динамически симметричного спутника но круговой орбите, а также маитнико-подобпых систем.

Система Хсиопа-Хсйлссп Обобщенный гамильтониан Хенопа-Хейлеса имеет вид

Он соответствует плоскому движению звезды вблизи галактического центра. В обзорной монографии М. Одэн (со ссылкой также на работы Моралсса и Рамиса) приведен пример применения методов Зиглина и Моралеса-Рамиса к интегрируемости этой системы. Для построения соответствующих групп используется пара частных решений с у2 = Рг = 0, на которых группа монодромии тривиальна, то есть интегрируемости не препятствует - такое поведение наблюдается в численном эксперименте. При этом для А = 0 теория Моралеса-Рамиса доказывает неинтегрируемость системы. Однако для А ф 0 и А ^ 0 можно лишь сказать, что система иеинтегрируема, если | ^ к € Z. (Для А = О

с помощью теории Моралеса-Рамиса вообще ничего сказать нельзя.) Уточняя свои результаты, Моралсс и Рамис показывают, что вопрос остается открытым только для А = 1,2,6,16, которые можно проверить, применив описанный выше эффективный алгоритм.

Например, для А = 1, А = 0.25 для начальных данных (<?1, (^РьРг) = (1, -0.4, -1.25, -0.3), <о = 1, коммутатор матриц, получающихся при обходе точек (0.2 + 2.5г) и (0.2 - 2.5г), равен

/ 0.3903 - 0.9127г -0.9365 + 2.30Н 0.3146 - 0.7603г \ 0.4638 - 1.0788»

0.6579 - 3.4626г -0.6367 + 2.5989» 0.2738 - 1.21221 0.7972 - 4.19891

-1.0992+ 2.5655? 1.3111 — 1.8661а -0.5195 + 0.8782» -1.3351 + 3.1326»

0.6553 - 2.223Ог \ -1.7207 + 7.9961« 0.5757 - 2.5140г 0.7660 - 2.5644»

Он отличен от нуля, что говорит о мероморфной неинтегрируемости системы.

Динамика спутника Рассмотрим теперь динамику комплексифицироваппой системы с гамильтонианом

Он получается из исходного гамильтониана, приведенного в разделе о вещественной интегрируемости редукцией по Раусу по циклической переменной <р. Возьмем траекторию с началом -ф = О, 6 — 1, Рф = 0.1, ро = 0, < = 0 и продолжим ее, обходя вокруг точек I — 4.8 + 0.8г и Ь = 4.8 - 0.8« (вокруг каждой по два раза, чтобы вернуться к исходным значениям). Коммутатор соответствующих матриц монодромии равен:

/ 8849.8 + 13.2915» 37.9467-126.071» 2044.45 + 35.403Н -1843.31 - 125.866г\

-9456.28 - 239.498» 311.834-62.69251 -2350.67 - 37.0663» 1972.34 + 197.277»

-34540.9 - 527.522» 596.362 - 53.1627г" -8340.91 - 82.1358г" 7205.45 + 624.613»

V 4032.64 - 556.427» 1615.13 - 971.49» 177.875 + 135.104» -820.725 + 131.537»/

Это говори о мероморфной неинтегрируемости системы. Отметим, что динамика комплексифицироваппой системы более сложная, чем вещественной, а именно, в типичном случае решение сильно ветвится. То есть, если в вещественном случае можно предположить локальную интегрируемость, то соответствующий первый интеграл не продолжается в комплексную область до комплексно аналитической функции.

Трехзвеппый маятник Аналогичное исследование проводилось и для трехзвепного маятника. В этом случае мы пользовались параметризацией углами, то есть разрешали связи. Для большей наглядности анализировалась группы монодромии для редуцированной по Раусу системы, то есть системы с двумя степенями свободы, матрицы монодромии которой имеют размер 4x4.

Например, для начальных данных (/?!, Д,/?2, Дг) = (0.3, -1, —0.15,0.5), <о = 1, при значении циклического интеграла = 1, коммутатор матриц, получаю-

щихся при обходе точек (0.2 + 0.5») и (0.2 - 0.5г) (каждой по 6 раз), равен

/ 0.6170 - 0.6100i -0.0658 -0.1425i 0.0206 - 1.0089г у, -0.0047 + 0.0235г

0.8124 + 0.8314t 1.0420 + 0.0975» 0.2544 + 1.5232t -0.0163 - 0.0706г

-0.2373 - О.ЗЗббг -0.0447 + 0.1958г 0.1464+ 0.5603i -0.0227 - 0.0896г

-0.0180 + 0.3343г \ -0.0189 - 0.3878г 0.8635 - 1.4386« 1.0258 + 0.1094i

что говорит о мероморфной неннтегрируемости системы. Отметим, что чтобы применить описанный выше алгоритм, необходимо выписать в явном виде систему в вариациях. Для возникающих в приложениях систем это может быть непростой технической задачей. Однако для се решения можно воспользоваться различными программными комплексами компьютерной алгебры или символьных вычислений, что и было сделано для последнего примера - задачи о трехзвепном маятнике (использовался пакет Sage).

В приложении приведены тексты программ с комментариями, достаточными для применения к другим задачам. Описанные ваше алгоритмы были реализованы автором на языке С++.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору С.Я. Степанову за помощь в подготовке диссертации.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Вл.Н. Сальников, Нелинейная динамика и резонансные эффекты систем в термостате Нозе-Гувера, Труды конференции-конкурса молодых ученых, НИИ механики МГУ, 2004.

|2| V.L. Golo, Vl.N. Salnikov, K.V. Shaitan,Harmonic Oscillators in the Nosc-Hoover Environment, Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70. 046130.

[3] V.N. Salnikov, Nonlinear Dynamics in the Nose-Hoover Environment, Proceedings of the Fifth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference, 12 pages, 2005.

[4] V.N. Salnikov, On the Dynamics of the Triple Pendulum: Non-integrability, Topological Properties of the Phase Space, Lecture notes of The Conference "Dynamical Integrability" (CIRM), 2006.

[5] B.H. Сальников, О динамике трехзвенного маятника: различные подходы к пеиптегрируемости, Труды конференции-конкурса молодых ученых, НИИ механики МГУ, 2007.

[6| V.N. Salnikov, Various Approaches to Integrability, Book of abstracts, 5-th European Congress of Mathematics, Amsterdam, The Netherlands, 2008.

Подписано в печать: 11.11.11

Объем: 1,0 усл.п.л. Тираж: 75 экз. Заказ № 782 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, пр-т Вернадского,39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru

Введение

1 Топологические аспекты интегрируемости

1.1 Геометрические препятствия к интегрируемости

1.2 Метод сечений.

1.3 Трёхзвенный маятник (основной пример)

1.3.1 Топологические свойства фазового пространства системы, позволяющие применить метод сечений.

1.3.2 Динамика системы, визуализация.

1.4 Динамика спутника (пример)

1.5 Особенности применения метода сечений.

1.6 Обобщение метода сечений с помощью теории КАМ.

1.6.1 Маятнико-подобные системы (пример).

1.6.2 Анализ топологии фазового пространства.

1.6.3 Обобщение результата.

2 Алгебраические методы анализа интегрируемости

2.1 Полиномиальные интегралы.

2.2 Продолжение интегралов в комплексную область.

2.2.1 О методе Пуанкаре.

2.2.2 Группа монодромии и ее инварианты

2.2.3 Результаты С.Л. Зиглина

2.2.4 Дифференциальная теория Галуа.

2.2.5 Результаты Моралеса-Рамиса.

2.3 Применение к задаче о динамике маятников.

2.3.1 Двузвенный маятник.

2.3.2 Трехзвенный маятник.

2.4 Эффективный алгоритм применения метода Зиглина

2.4.1 Описание алгоритма.

2.4.2 Система Хенона-Хейлеса (пример)

2.4.3 Динамика спутника (пример)

2.4.4 Трехзвенный маятник (пример).

Вопрос об интегрируемости динамических систем изучался приблизительно с середины XIX века. В то время под интегрируемостью понимали интегрируемость в квадратурах, то есть для системы дифференциальных уравнений с?х . . возможность найти решение х(£) с помощью операций обращения функций и взятия первообразных.

В настоящее время понятие несколько расширилось: рассматривается более сильная характеристика системы, а именно, существование достаточного количества сохраняющихся величин (первых интегралов), обладающих определенными свойствами. Приведем ниже три важных случая, когда из наличия интегралов (или инвариантов) следует интегрируемость в квадратурах.

1. Если система х =у(х), х,у£Г (1) имеет (п — 1) независимый первый интеграл ., 1п-\, то она интегрируема в квадратурах (векторное поле у(х) предполагается достаточно гладким).

2. Снова рассмотрим систему (1). Пусть она имеет (п — 2) независимых первых интеграла и инвариантную меру /х(х) (такая мера, что объем произвольной области не меняется при переносе области вдоль траекторий системы; эту меру называют множителем Якоби). Тогда система (1) интегрируема в квадратурах.

3. Рассмотрим теперь гамильтонову систему с гамильтонианом Н, имеющую п степеней свободы, тогда система, аналогичная (1), имеет вид:

Рг = —д— оді дн

2) гтгде qi - обобщенные координаты системы (я 6 М71, или в более общем случае я € <3 - некоторому многообразию); рг - импульсы системы (р € Е", или, соответственно, р 6 Т*(5 - кокасательному расслоению к многообразию (5) •

Гамильтонова система безотносительно к интегрируемости имеет некоторые интересные свойства. Например, если гамильтониан Я не зависит явно от времени, то его величина сохраняется - это соответствует сохранению полной энергии системы. Поток гамильтоновой системы (то есть поток векторного поля Хн = сохраняет объем в фазовом пространстве М = (я, р) системы (теорема Лиувилля, [1]).

На фазовом пространстве гамильтоновой системы определяют пуассонову структуру: алгебру гладких функций с умножением где и - симплектическая форма на М. Функция / является первым интегралом гамильтоновой системы тогда и только тогда, когда {/, Я} = 0.

Для гамильтоновой системы справедлива теорема Л иу ви л ля-Арнольда ([1]):

Пусть гладкие функции на 2п-мерном многообразии М і'ьі'г,. ,.РП : М —»• К находятся в инволюции і^ } = 0). Рассмотрим множество уровня функций ^

Пусть на М/ функции Fi независимы (т.е. в каждой точке М/ линейно независимы 1-формы (1^). Тогда: 1)М/ - гладкое многообразие, инвариантное относительно фазового 9} = Х}9 = ¿д(Х;) = Хд)

М/ = {(я,р) ; -Р<(ч,р) = /г,І = 1 ,.,п}. потока с гамильтонианом Н = Рх. 2) Если многообразие Mf компактно, то каждая его компонента связности диффеоморфна п-мерному тору

Т п = {(<ри.,1рп) то(1 2тт}.

3) Фазовый поток с гамильтонианом Н определяет на Му условно-периодическое движение: р = ы(/).

4) Канонические уравнения Гамильтона интегрируются в квадратурах.

В таком случае система называется вполне интегрируемой, или интегрируемой по Лиувиллю-Арнольду

Мы не будем, естественно, приводить полное доказательство данной теоремы, остановимся лишь на идеях и расшифруем все требования, наложенные на систему.

Из линейной независимости «¿^ следует, что М; - подмногообразие размерности п в М. В основе доказательства теоремы лежит анализ действия на Mf групп переносов, порожденных сдвигами вдоль векторных полей Хрг. Условие равенства нулю скобки Пуассона двух функций ^ и эквивалентно тому, что соответствующие векторные поля Хрг и Хр} коммутируют. Иными словами, на М/ существуют п касательных векторных полей, попарно коммутирующих и линейно независимых в каждой точке. Mf инвариантно относительно переноса вдоль каждого из векторных полей Хрг. Поэтому можно определить действие коммутативной группы Мп = {1} на многообразии М/ дгх -сдвиг из точки х вдоль каждого из векторных полей Хр, на время 11. Можно показать, что стабилизатор точки хо (множество точек таких что д1хо = £о) есть дискретная подгруппа в Е" размерности п, значит, он изоморфен Zn. Значит, многобразие М/ диффеоморфно Жп¡Ъп — Тп; этот диффеоморфизм и обеспечит квазипериодическое движение.

Интегрируемость в квадратурах получается явно (введением переменных действиеугол). Таким образом, фазовое пространство оказывается расслоенным на инвариантные торы; движение по каждому из них квазипериодическое, а сами торы параметризуются значением интегралов действия.

Из приведенных выше примеров ясно, что начинать изучение интегрируемости системы разумно с анализа условий существования независимых первых интегралов. Этому вопросу и будет посвящена диссертация. Для произвольной динамической системы не существует конструктивного алгоритма для проверки существования достаточного количества независимых первых интегралов, однако получен ряд результатов, выявляющих препятствия к интегрируемости. Спектр результатов в этой области очень широк. Достаточно подробный обзор можно найти в книге [3], некоторые современные методы также хорошо изложены в [4]. Непосредственно в главах 1 и 2 мы приведем лишь те определения и теоремы, которые необходимы для понимания результатов диссертации.

В данной работе мы предложим два принципиально различных конструктивных метода доказательства неинтегрируемости, подходящих для анализа достаточно широкого класса динамических систем. Первый (глава 1) связан с анализом топологии фазового пространства, он использует результаты теории Колмогорова-Арнольда-Мозера вместе с аппаратом стохастического анализа на основе метода Монте-Карло. Он применим для анализа вещественных систем малой размерности. Второй метод (глава 2) касается существования мероморфных интегралов комплексифицированных систем и основан па развитии алгебраических подходов C.J1. Зиглина к анализу интегрируемости. Оба метода существенно используют численные методы для анализа динамических систем -именно компьютерные вычисления позволяет расширить класс исследуемых систем и применить наши методы к задачам, не изученным ранее.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора ([28] - [35]).

Они докладывались на следующих семинарах и конференциях:

• Семинары в ВЦ РАН под руководством Абрамова A.A., Пальцева Б.В., Власова

B.И. и под руководством Степанова С.Я.;

• Семинар в Ecole Normale Supérieure de Lyon, Lyon, France;

• Семинар в МАИ под руководством Красильникова П.С., Бардина B.C.;

• Семинар в НИИ механики МГУ, Москва, Россия;

• CEEPUS Computer Algebra Summer University, Miskolc, Hungary;

• XXXIII International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics",

C.-Петербург;

• The Fifth Euromech Nonlinear Dynamics Conference, Eindhoven, The Netherlands;

• 7-th Junior Mathematical Congress , Tg-Mures, Romania;

• Conference "Dynamical Integrability", CIRM, Luminy, France;

• Conference "Symmetry and Perturbation Theory", Otranto, Italy;

• Конференция-Конкурс молодых ученых НИИ Механики МГУ им. М.В.Ломоносова, Москва, Россия;

• 5-th European Congress of Mathematics, Amsterdam, The Netherlands;

• III International Summer School on Geometry, Mechanics, and Control, L'Ametlla de Mar, Spain;

• Research Workshop "Modern Approaches to Dynamical Integrability", Portsmouth, England;

• "Dynamical systems and classical mechanics: a conference in celebration of Vladimir Arnold", Edinburgh, Scotland.

Я приношу глубокую благодарность своему научному руководителю профессору С.Я. Степанову за помощь в подготовке работы.

3 Заключение

В диссертационной работе рассмотрены различные методы анализа интегрируемости динамических систем. Среди них присутствуют как чисто алгебраические, так и геометрические подходы. Многие идеи берут начало еще в XIX веке, но получили особое развитие в конце XX с появлением соответствующего математического аппарата.

Развиты классические методы, с использованием преимуществ современных численных методов. В частности, предложен метод анализа топологии фазового пространства систем малой размерности, который является достаточно общим, в том смысле, что ограничения на область его применения достаточно естественны. Рассмотрена типичная картина применения алгебраических методов Зиглина и Моралеса-Рамиса, когда группа монодромии содержится в дифференциальной группе Галуа. Однако, предложенный конструктивный способ построения группы монодромии позволяет рассматривать более сложные частные решения в рамках подхода Зиглина, что существенно расширяет его область применения, и в частности позволяет показать неинтегрируемость некоторых систем, где метод Моралеса-Рамиса результатов не дал.

Основной мотивацией для изучения этих методов является дальнейшая попытка применить их к более сложным системам. Например, к системам с задержкой, которые естественно возникают при моделировании биологических процессов, а также в задачах релятивистской небесной механики.

1. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И., Математические аспекты классической и небесной механики, Москва, ВИНИТИ, 1985.

2. Арнольд В.И., Математические методы классической механики, ISBN:0-387-968903.

3. Козлов В.В., Симметрии, топология и резонаисы в гамильтоновой механике, Ижевск: изд-во Удмуртского гос. университета, 1995.

4. M. Audin, "Les systèmes hamiltoniens et leur integrabilite", Cours Specilises. SMF et EDP Sciences, 2001.

5. H. Poincaré. Les méthodes nouvelles de la mécanique céléste, Vol. 1-2. - Paris, Gauthier-Villars, 1893., JFM 25.1847.03.

6. H. Poincaré. Sur l'application de la méthode de M.Lindstedt au problème des trois corps, Comptes rendus des séances de l'Academie des Sciences, séance du mardi 7 juin 1892.

7. S.L. Ziglin, Branching of Solutions and Non-Existcnce of First Integrals in Hamiltonian Mechanics, I, 1982, Fun. Anal. Appl, 181-189, 16.

8. S.L. Ziglin, Branching of Solutions and Non-Existence of First Integrals in Hamiltonian Mechanics, II, 1982, Fun. Anal. Appl, 6-17, 17.

9. Арнольд В.И., Что такое математика, МЦНМО, 2002.

10. Н. Yoshida, Necessary condition for the existence of algebraic first integrals. I, II, Celestial Mechanics, Vol. 31, p.363 00/1983.

11. Аппель П., Теоретическая механика, Москва, "Физматлит", 1960.

12. F.L.Chernousko, Feedback control of a nonlinear dynamic system. J. Applied Mathematics and Mechanics (PMM), 1992.

13. Фоменко А.Т., Дифференциальная геометрия и топология, Ижевск, 1999.

14. Hamiltonian Systems with Three or More Degrees of Freedom, Edited by C.Simo, NATO ASI Series, Series C: Mathematical and Physical Science Vol.533, 1999.

15. Козлов В.В., Общая теория вихрей, Издательство "Удмуртский университет", 1998.

16. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия, Москва, "Наука", 1984.

17. Виттакер Э., Аналитическая Динамика, "РХД", Ижевск 1999.

18. Голдштейн Г., Классическая Механика, Москва, "Наука", 1975.

19. Лагранж Ж., Аналитичская механика , ТТТИ", 1950.

20. B.S. Bardin, A.J. Maciejewski,Transcendental cases in the stability problem of conical precession of a satellite in a circular orbit, in preparation.

21. J.J. Morales-Ruiz, Differential Galois theory and non-integrability of hamiltonian systems, Birkhausen, Basel, 1999.

22. J.J. Morales-Ruiz, J.P. Ramis, Galoisian obstructions to integrability of hamiltonian systems, I, II, Meth. Appl. Anal. 8(1), 33-95,97-111, 2001.

23. Шафаревич И.Р., "Основные понятия алгебры", ИНТ, "Современные проблемы математики".

24. I. Kaplansky, An introduction to differential Algebra, 2nd edn, Hermann, Paris, Actualites Scientifiques et Industrielles, No 1251, Publications de l'institut de Mathematique de l'Universite de Nancago, No. V., 1976.

25. J.J. Kovacic, An algorithm for solving second order linear homogeneous differential equations, J. Symbolic Comput., 2(1), 3-43, 1986.

26. N. Metropolis, S. Ulam, The Monte Carlo Method, J. Amer. statistical assoc. 1949 44 No 247 335-341.

27. Болотин C.B., Карапетян A.B., Кугушев Е.И., Трещев Д.В., Теоретическая механика, "Академия", Москва 2010.

28. Вл.Н. Сальников, Нелинейная Динамика и Резонансные Эффекты Систем в Термостате Нозе-Гувера, Труды конференции-конкурса молодых ученых, НИИ механики МГУ, 2004.

29. V.L. Golo, Vl.N. Salnikov, K.V. Shaitan,Harmonic Oscillators in the Nose-Hoover Environment, Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70. 046130.

30. V.N. Salnikov, Nonlinear Dynamics in the Nose-Hoover Environment, Proceedings of the Fifth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference, 12 pages, 2005.

31. Salnikov V.N., On the dynamics of the triple pendulum: non-integrability, topological properties of the phase space, Lecture notes of The Conference "Dynamical Integrability" (CIRM), 2006.

32. B.H. Сальников, О динамике трехзвенного маятника: различные подходы к неинтегрируемости, Труды конференции-конкурса молодых ученых, НИИ механики МГУ, 2007.

33. V.N. Salnikov, Various approaches to integrability, Book of abstracts, 5-th European Congress of Mathematics, Amsterdam, The Netherlands, 2008.

34. B.H. Сальников, О нелинейной динамике двухзвенного и трехзвенного маятников: различные аспекты интегрируемости. Подано в ПММ, 2011.

35. В.Н. Сальников, Эффективный алгоритм применения метода Зиглина для анализа интегрируемости. В подготовке.