Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа и родственных задач динамики твердого тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Г. Г г. , *

Московский Государственный университет им. М.В. Ломоносов - и г,':?.- ...-»^ Механико-математический факультет

На правах рукописи

/

Борисов Алексей Владимирович

' 1

НЕИНТЕГРИРУЕМОСТЬ УРАВНЕНИЙ КИРХГОФА И РОДСТВЕННЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат на соискание ученой степени кандидат физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена на кафедре теоретической механики мехаяико-^ математического факультета Московского Государственного'уни-•версктета им. М.В. Ломоносова .

Научный руководитель - д.ф.-м.н'.', профессор В.В.Козлов ч • Официальные оппоненты - д.ф.-м.н., профессор А.П.Маркеев

, . к.ф.-м.н., доцент А.В.Родников

ведущая организация - Вычислительный центр РАН

•I

Защита диссертации состоится "¡Л^" /^СЬРу ¿ч!995г. (В 16 час. на заседании специализированного совета по механике '3, 0£3.05.01 при'МЦУ по адресу 119899, Москва, Ленинские горы,

' ч

механико-математический факультет, аудитория 16-10. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ Главное здание, 14 этак

Автореферат разослан "2-2." <дг-£?

»

Ученый секретарь .специализированного совета Д '053.05.01 при МГУ-доктор (¿из-мат. наук

Д.В.Трещев

ОЫЦАН ХА?АСТЫтеКХА РАБОТУ

Актуальность темы. Вопросы -интегрируемости уравнений I

движения динамических систем, заникавт одно из центральных мест ^

в классической и современной, аналитической механике. Поиском " ;

интегрируемых случаев в динамике занимались знаменитые ученые !

Л.Эйлер, Ж.Л.Лагранж, С.З.Ковалевская, А.М.Ляпунов, О.А.1дп- ¡;

лыгин и др. Возмоглость получить зСгдее регение дпкамичесг'. и •

'задачи в квадратурах, т. е. используя операции обращения I ун- | • кдий и вычисления интегралов от известных функций, оказалась

- 'тесно связанной с существованием у данной задачи достаточного . ® числа'первых интегралов (законов сохранения^.

Для гамильтоновых систем с ¿ъ степенями свободы Ллбиллем была доказана теорема,, которая связывает возможность ий- п тегрирования уравнений движения в квадратурах с существе кадием г -4 независимых инволютивных первых интегралов. В случае не- ' ч гамильтоновых систем общего вида для нахождения интегрируемых I задач используется подход, восходящий к Эйлеру и Якоби. В этом случае для нахождения общего решения системы Л. уравнений в

4 * ' ' О'

, квадратурах требуется существование (л,-2)"независимых первых ■ *

интегралов и'наличие инвариантной меры. Тагам способом чаде г?

всего интегрируются неголономные системы. . | |

Большинство систем динамики не язляатся интегрируемыми. |

Как правило, если система зависит от некоторых параметров, то '

она интегрируема лишь при некоторых изолированных значениях [,

этих параметров. Один из подходов к доказательству неинтагри- I

руемости динамических систем б ял предложен А.Пуанкаре. Он; от- . [

•',1 I'

носится к доказательству неинтегрируемости систем дилере, у.-

\

I .1

| .альных уравнений, близких (в смысле значений некоторого малого параметра^ к интегрируемым гамильтоновым. А.Пуанкаре по'); казал, что интегрируемости системы препятствует сложное по-^ ведение некоторых особых траекторий - периодических и асимпто-'I тических движений. Один из динамических эффектов, обнаружен-■ них Пуанкаре, связан с рождением из резонансных торов невозмущенной задачи "большого" числа невырозденных периодических ; решений, что связано со сложной структурой так называемого "ьековсго ..шсжества" возмущающей функции.

Другим динамическим эффектом, изучение которого получило

ч

в последнее время большое развитие, является расщепление сепаратрис. Расцепление сепаратрис возмущенной системы приводит к сложному и запутанному поведению траекторий системы ^квази-: случайные движени^, а также к отсутствию полного набора аналитических интегралов. Вблизи расщепленных сепаратрис образу-4 ется стохастический слой, формирование и динамику которого I можно проследить при помощи компьютерного моделирования, используя метод численного построения отображения Пуанкаре, ин-!; Аудированного фазовым потоком рассматриваемой системы. В не'' которых случаях эффект расщепления сепаратрис невозможно уста-1 новить, используя только аналитические методы. В этом случае • используются численные методы анализа, состоящие в непосред-; ственном построении самих сепаратрис и установлении факта их [ расщепления (трансверсального пересечения^.

Отметим также связь между интегрируемостью точным существованием "однозначных или мероморфных интегралов и ветвлением решений на комплексной плоскости времени. Впервые на эту связь указал П.Пенлеве, который также показал, что в общем

случае такая связь отсутствует.. Однако, успех исследование С.В.Ковачевской в динамике твердого тела, заставил более глубоко заняться изучением этого вопроса. Впервые строгав коре-тическив результаты, подтверздагацие наличие такой связи, были ■.Получены В.В.Козловым однозначные интегралы и С.Л.Зиг.икым

I

мероморфные интегралы . В работах этих авторов содержится I также приложение общих теорем к классической задаче о дьу-*сг

I . , • ;

нии твердого тела вокруг неподвижной точки. В некоторых слуЬ . . чаях необходимые условия интегрируемости, полученные одош К-'..';. . из указанных методов, являются достаточными. Б этом случае -р" ."• ществует дополнительный интеграл, а движение является рвгулУо— •' ным и выражается при помощи квадратур. При невыполнении этих ■ условий движение будет иметь нерегулярный и непредсказуемый

Г

характер. Зто явление получило в последнее время название де- , т терминированного хаоса. 1

Применение указанных выше методов доказательства неинтег--^ рируемости и наличия стохастического поведения в различных 'задачах классической механики, а также нахождения необходимых и достаточных условий интегрируемости является, таким образцом, одной из актуальных задач современной теоретической механики.

Целью работы является применение указанных методов доказательства неинтегрируемости и стохастичности в динамических системах, а такие нахождения необходимых и достаточных условий интегрируемости к различным задачам динамики твердого >-ла: уравнениям Кирхгофа, обобщенной задаче о движении негол-.-номного шара Чаплыгина и пр. ' ' ' ''•"'•' '

Научная новизна работ». Основные результаты диссертации таковы: для уравнений Кирхгофа, описывающих движение гзердо2-

тела в идеальной жидкости по инерции в случае общего положена найдены необходимые, а в некоторых случаях и достаточные уело вия существования вещественно-аналитического и однозначного первого интеграла. Эти результаты распространены на движение заряженного твердого тела в однородном магнитном поле. Постро' ено разложение возмущающе И функции задачи Кирхгофа в ряды 1 ; Фурье по угловым гармоникам переменных "действие - угол" ин-! тегрируемого случая Эйлера - Пуансо. Проанализированы условия интегрируемости в неголономных системах, обладающих инвариантной мерой. Найдены необходимые условия интегрируемости движе-' ния неголономного шара Чаплыгина в обобщенно-потенциальных по-| лях. Создан программный комплекс для численного построения отображения Пуанкаре, возмущенных сепаратрис и продолжения по параметру периодических решений в задачах динамики твердого ' тела. Получены компьютерные доказательства неинтегрируемости ряда основных задач динамики твердого тела. Численно проанализированы возможности обобщения классических результатов в ди-; намике твердого тела на неголономные системы.

Научная'и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть исполь-, зованы при изучении различных гамильтоновых и неголономных систем, возникающих в классической и небесной механике. Соз-

1 данный программный комплекс позволяет произвести компьютерное

I

М моделирование и вычисление основных характеристик стохастич-1; ности в различных динамических системах. Разложения возмущающей функции в ряды Фурье по переменным "действие - угол" могут быть применены для изучения различных прикладных задач.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на всесоюзном совещании "Методы компьютерного моделирования в классической и небесной механике - 89" в ИТА АН СССР в 1989г., на всесоюзной конференции "Нелинейные колебания механических систем" в г. Горьком в 1990г., на конференции молодых ученых в МГУ им. М.В.Ломоносова в 1990г., а также на заседании семинара "Динамические системы классической механики" под руководством В.В.Козлова и C.B.Болотина.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, перечисленных в конце автореферата.

Структура Диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов, заключения и библиографии. Работа содержит рисунков и иллюстраций результатов компьютерного моделирования. Объем диссертации - машино-

писных страниц.

Содержание диссертации. Во введении дается обзор рассматриваемых далее проблем и краткие исторические замечания.

В первой главе диссертации дается ответ на вопрос о существовании дополнительного (к трем классическимJ первого интеграла урёвнений Кирхгофа, описывающих движение односвязного твердого тела по инерции в безграничном объеме идеальной несжимаемой жидкости.

В § 1.1 уравнения Кирхгофа записаны в переменных Кяебша. Эти уравнения рассмотрены с точки зрения гамильтонова формализма, что позволяет воспользоваться при изучении задачи Кирхгофа хорошо известным набором канонических переменных Андуайе-Депри И, h ) • в § рассмотрена математическая

аналогия между ¿сравнениями Кирхгофа и уравнениями, описываю-

щими движение заряженного твердог: ;ла вокруг неподвижной точки в постоянном магнитном поле (::од действием сил Лоренца^. В § 1.3 обсуждазтся интегрируемые случаи задачи Кирхгофа, найденные'классикам (Г.Кирхгоф, А. Кпебш, В.А.Стеклов). § 1.3 посвящен разложению возмущающей функции задачи Кирхгофа в ряд Фурье по угловым'гармоникам "действие .- угол".у^' интегрируемого случая Эйлера - Пуансо. Эти разложения необходимы для доказательства теорем о неинтегрируемости, которым посвящены §.1.5, 1.6. \

Отметим, что уравнения Кирхгофа представляют собой гамиль-тоновы уравнения на ксалгебре Ли (-€(3) с образующими^, 1=1,2^ с г&.кльтоняаном

где матрица А кожет быть без ограничения общности принята диагональной, а .матрицы Б и С - симметрическими. В уравнениях движЬкия при помощи замены р^-^р вводится малый параметр, и уравнения приобретают вид "основной задачи динамики" до Пуанкаре.

■При помощи метода Пуанкаре .. анализа векового множества возмущающей функции и разложений § 1.4 в § 1.5 доказана:

Теорема 1. В фазовом пространстве переменных Андуайе -Депрн нет дополнительного аналитического интеграла приведен-

л . .

..ной системы канонических уравнений с гамильтонианом при условии Я $ ^ , независимого от интеграла энергии,

• -периодического по угловым переменным -С и аналитического по :/алому' параметру в окрестности }<- О , исключая случай выполнения следующих соотношений между коэффициентами:

.. - 9 - ' 4 '

а . при 116; • ¡1 £ О

«г а, аг

б . при ц'б- I! £ ф ■1

^ + ^А , -е^_ о • а* аз .

\

Ранее аналогичная теорема была доказана В.3.Козловым и Д.А.Онжденко при помочи метода расщепления сепаратрис.

Отметим, что, если условия б. являются достаточны.^ условиями для интегрируемости и определяют случай Клебща. то при выйелнении только лишь услоЕИй а дополнительного интеграла уравнений Кирхгофа не .найдено. При дополнительных ограничениях на коэффициенты матриц /3 и С этот интеграл был найден В.А.Стендовым, который является квадратичным по М , р . Поиску этих не только необходимых, но достаточных условий ин-

V \

тегрируемости посвящен § 1.6 диссертации. В этом параграф доказана теорема о несуществовании дополнительного одноз);ачного интеграла уравнений Кирхгофа. Ее доказательство оснстшо на анализе поведения общего решения на комплексной плоскости времени. Получаххдлеся п^и этом неосходимые условия интегрируемости усиливают условия а теоремы 1 и являются дос .".точными:

-■ Теорема 2. При выполнении неравенства 0! ± з й3 /■ С), необходимыми условиями существования дополнительног^ашознач-ного интеграла уравнений Кирхгофа является:

' . - 10 ц

а . при \/оч ¡1-0 / С: 0 < =* J + ^ / ,

^ а, ' ^

■ интегрируемый случай Клебша; б . при Ц-^у \\фО , С- г 0 , ^¿Ф]

¡и,УМ

интегрируемый случай Стеклова.

¿1

Теорема 2 существенно усиливает теорему Стеклова о квадратичных интегралах задачи Кирхгофа, а также утверждает отсут-< ствие алгебраических интегралов этой задачи при невыполнении условий а , б .

Во второй главе диссертации рассматривается вопрос об интегрируемости уравнений движения систем, близких к интегрируе-1 мым гашльтоновым.

В § 2.1 изложены общие результаты о расщеплении сепаратрис и несуществовании первых интегралов в таких системах. В § 2.2 эти результаты применены к доказательству неинтегрируемости задачи о качении неголономного шара Чаплыгина в обобщенно-потенциальном силовом поле. Одной из физических реализаций такой постановки задачи является движение заряженного шара в однородном магнитном поле. Уравнения движения обоб-•щенной задачи Чаплыгина записаны в § 2.2 в "квазигамильтоно-вой" форме с гамильтонианом, определяемым формулой (1) коэффициенты матриц 5. С . при этом определяют распределение масс и зарядов в шаре . Аналогично вводится малый параметр у цу . Оказывается, что для интегрируемости уравнений

движения шара необходимо выполнение условий а , б из теоремы 1. В случае б, обобщающий случай Клебша задачи Кирхгофа^ дополнительный интеграл был найден В.В.Козловым. Встает вопрос о перенесении других случаев интегрируемости задачи Кирхгофа и уравнений Эйлера - Пуассона на уравнения движения обобщенного шара Чаплыгина. Эти вопросы рассматриваются в главе 3 при помощи численных методов.

Третья глава содержит описание и анализ численных экспериментов, позволяющих дать наглядные иллюстрации аналитических результатов, полученных в предыдущих главах, и проследить за стохастическим поведением системы при выполнении и невыполнении необходимых условий интегрируемости.

В § 3.1 изложены численные методы построения отображения Пуанкаре, возмущенных сепаратрис и методы продолжения по параметру периодических решений. В § 3.2 эти методы численного анализа применены к задачам, рассмотренным в первых двух главах, а также к уравнениям Эйлера - Пуассона. При помощи численного моделирования приведено компьютерное доказательство трансверсального пересечения сепаратрис возмущенной задачи, которое приводит к ее неинтегрируемости и влечет стохастическое поведение.

В заключении приведены формулировки основных теорем и результатов, полученных в диссертации.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях:

1, Баркин 10.В., Борисов A.B. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа и родственных задач динамики твердого тела. Депони-

розано а Е'Л/ТЛ, M., 26.07.69, Л 5037-В89, с. 104. 2. Баркак Ю.З., Борисов A.B. Неинтегрируемость и хаос в неко тор^х задачах классической и небесной механики. Тезисы докла дов б сб. "У.этоды ксглтьптерного конструирования моделей клас снческой и небесной механики - 89", Л., ИТА АН СССР, 1989, I с. 11-12.

; 3. Баркин Ю.3., Борисов А.В...Расщепление асимптотических поверхностей к хаос в некоторых задачах динамики. Тезисы П все \ союзной кон1. "Нелинейные колебания механических систем'4, 19'

< Горький, с. 26-27. ]♦ 4

4. Борисов А.Б., Кирьянов А.И. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа. В сб. Математические методы в механике, М., МГУ, 1990, с.-8-14.

1/ 5.Борисов A.B. Динамические эр^екты, препятствующие интегрируемости уравнений неголономнс!! механики. Тезисы докл. перво . российской универси.гетско-акад. научн.-нрактич. конференции, ' УдГУ, iteeBCK, 1993, с. 150-151.

5:

у

■ . 11

1 '1!