Интегрируемость и неинтегрируемость уравнений движения тяжелого тела эллипсоидальной формы на гладкой горизонтальной плоскости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. Ломоносова

На правах рукописи

ои.з**"'-'--

Ивочкин Михаил Юрьевич

Интегрируемость и неинтегрируемость уравнений движения тяжелого тела эллипсоидальной формы на гладкой горизонтальной плоскости

01.02.01-теоретическая механика 2 6 НОЯ 2009

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

003484820

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова.

Научные руководители: д. ф.-м. н., проф. Карапетян А. В. к. ф.-м. н., доц. Ошемков А. А. Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., проф. Болсинов A.B. к.ф.-м.н., Довбыш С.А.

Ведущая организация:

Вычислительный центр им. А.А.Дородницына РАН

Защита состоится «11» декабря 2009 г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.22 при МГУ расположенном по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, Ц этаж).

Автореферат разослан 11 ноября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.501.001.22, доцент

Прошкин В.А.

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Движение тела по гладкой горизонтальной плоскости — важная задача аналитической механики. Эта задача является более общей и менее изученной, чем задача о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Естественный вопрос для аналитической механики — при каких значениях параметров задачи дифференциальные уравнения, описывающие движение, допускают дополнительные интегралы. В настоящее время появилась надежда на решение этой задачи, в связи с развитием методов дифференциальной теории Галуа, давших новый импульс к изучению вопроса о неинтегрируемости гамильтоновых систем. По-прежнему остается важной задачей качественное исследование уже известных интегрируемых систем. Таким образом, задачи поиска новых и качественного исследования уже известных интегрируемых случаев действительно актуальны для современной механики.

Цель диссертационной работы

Диссертация посвящена качественному изучению известных интегрируемых случаев, а также получению условий существования дополнительных интегралов для уравнений, описывающих движение тяжелого твердого тела эллипсоидальной формы на гладкой горизонтальной плоскости. Исследования базируются на методах теории бифуркаций, разработанных С. Смейлом и А.Т. Фоменко, а также на подходах и методах исследования интегрируемости, разработанных А. Пуанкаре, В.В. Козловым, С.Л. Зиглиным, Ж.Ж. Моралисом-Руизом, Ж.П. Рамисом.

Научная новизна работы. Все основные результаты диссертации

являются новыми, ранее неизвестными. В работе впервые были построены бифуркационные диаграммы, изучены перестройки торов для дифференциальных уравнений, описывающих движение динамически и геометрически симметричного эллипсоида на гладкой плоскости. При различных предположениях о выборе параметров эллипсоида на гладкой плоскости найдены необходимые, а в некоторых случаях — и достаточные условия интегрируемости уравнений движения.

Достоверность результатов. Все результаты диссертации научно обоснованы и базируются на методах топологического анализа, теории бифуркаций, методах теории динамических систем, дифференциальной теории Галуа, теории функции комплексного переменного.

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер, полученные результаты могут быть использованы в исследованиях, проводимых в МГУ имени М.В. Ломоносова, Вычислительном центре имени A.A. Дородницына РАН, Математическом институте имени В.А. Стеклова и других научно-исследовательских центрах.

Апробация работы.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

• Семинар "Современные геометрические методы "кафедры дифференциальной геометрии и приложений мех-мата МГУ под руководством проф., акад. РАН А.Т. Фоменко, проф. A.B. Болсинова, проф. A.C. Мищенко, доц. A.A. Ошемкова, доц. Е.А. Кудрявцевой,

14.02.2007

• 6-ой Международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, 1-6.08.2007

• X Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, 1-5 06.2008

• Семинар "Избранные задачи динамики "кафедры теоретической механики и мехатроники мех-мата МГУ под руководством проф., чл.-корр. РАН Д.В. Трещева, 16.10.2008

• V Международная конференция "Поляховские чтения", Санкт-Петербург, 3-6.02.2009

• Семинар имени В.В. Румянцева кафедры теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ под руководством проф. A.B. Карапетяна, чл.-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. Я.В. Татаринова, 08.04.2009

Публикации.

Основные результаты диссертации изложены в пяти печатных работах, две из которых опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура работы.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 92 наименований. Общий объем диссертации — 90 страниц.

Содержание работы

Во введении описана предметная область и цель настоящей диссертации, дан обзор работ, посвященных исследованию интегрируемых и неинтегрируемых случаев в динамике тяжелого твердого тела на гладкой горизонтальной плоскости, приведено краткое содержание диссертации.

Первая глава носит обзорный характер. В ней, в основном, рассматриваются различные методы доказательства неинтегрируемости дифференциальных уравнений.

Приведено описание различных методов доказательства неинтегрируемости, сформулированы соответствующие теоремы, условия их применения и преимущества одних методов перед другими. Показана связь одних методов доказательства неинтегрируемости с другими. Далее подробно излагается следующий подход к исследованию неинтегрируемости, основанный на линеаризации дифференциальных уравнений в окрестности частного нестационарного решения. Пусть исходная система интегрируема. Тогда и линеаризованная система тоже интегрируема. Пусть первые ненулевые члены в разложении первых интегралов на решении имеют первый порядок (т.е. интегралы функционально независимы на частном решении). Выбор частного решения зависит от вида дифференциальных уравнений. В качестве такого решения можно взять, например, периодическое или квазиоднородное решение. Такие решения позволяют использовать локальные методы, верные лишь в предположении функциональной независимости интегралов на частном решении. Более общий случай возникает, когда предполагается, что необязательно первый член в разложении интегралов на решении ненулевой (т.е. интегралы могут

быть зависимы на решении, но независимы в его окрестности). Тогда применяются методы, разработанные С.Л. Зиглиным и Ж.Ж. Морали-сом-Руизом, Ж.П. Рамисом в предположении комплексности системы дифференциальных уравнений. Метод Зиглина основан на вычислении группы монодромии для нормального уравнения в вариациях. Однако, этот метод в общем случае неконструктивен, в отличие от метода дифференциальных групп Галуа (Моралиса-Руиза-Рамиса): поскольку в общем случае не существует процедуры вычисления группы монодромии. Более общий метод Моралиса-Руиза-Рамиса представляет собой линейный аналог теоремы Арнольда-Лиувилля о фазовых торах.

Существенным шагом в применении данных методов является выбор частного решения, что дает необходимые условия интегрируемости; затем берется другое частное решение и находятся другие условия интегрируемости. В итоге эти условия пересекаются лишь в исключительных случаях. Такой подход оказался продуктивным. Например, для уравнений вида Эйлера-Пуассона берутся три вида частных решений, применявшихся еще Ковалевской и Ляпуновым.

Первое решение используется для случая различных моментов инерции и является «не физическим»: вектор восходящей вертикали равен нулю, а импульс является решением уравнений Эйлера. Риманова поверхность такого частного решения есть тор, параметризованный комплексным временем. Если вычислять группу монодромии для уравнения в вариациях, то она состоит из двух образующих и условие их коммутируемости равносильно однозначности решения в окрестности особой точки (это есть не что иное, как тест Ковалевской-Пенлеве на однозначность решений).

Вторые два решения применяются для динамически симметричного тела и при определенном расположении центра масс: это решения ви-

да — из = 72 — 0 для произвольного расположения центра масс, а также решения вида и)\ = шг = 7з = 0 для случая, когда центр масс расположен в экваториальной плоскости тела. (Здесь (ш1,Ш2,и>з) — вектор угловой скорости и (71,72,73) ~ единичный вектор восходящей вертикали). Остальные переменные выражаются через эллиптические функции в зависимости от времени. В линеаризованных около этих решений уравнениях осуществляется замена времени, такая, что коэффициенты этого линейного уравнения, которые выражались через эллиптические функции, будут выражаться через рациональные функции. Для таких уравнений существует алгоритм Ковачича, позволяющий проверить их разрешимость в квадратурах, причем, если рассматривается условие выполнения теста Ковалевской-Пенлеве, то проверяется условие однозначности решения линейных уравнений. Таким образом находятся условия существования интеграла в мероморфных функциях (или, в частном случае, алгебраическая полная интегрируемость).

Другой подход к доказательству неинтегрируемости основан на введении определенным образом малого параметра, возмущающего интегрируемую систему. В работах Ж.Ж. Моралиса-Руиза, Ж.П. Рамиса показано, что такой подход аналогичен подходу дифференциальной теории Галуа. Это позволяет выявить ряд эффектов, которые возникают при переходе к неинтегрируемости, например, в случае возмущения сепаратрис.

Результаты, изложенные в этой главе, используются при доказательстве неинтегрируемости в следующих главах.

Во второй главе рассматривается следующая постановка задачи: имеется эллипсоид, который движется по гладкой горизонтальной плоскости, причем

• две полуоси эллипсоида-поверхности равны

• два главных центральных момента инерции равны, главные центральные оси инерции сонаправлены с главными осями эллипсоида-поверхности

• центр масс лежит на оси динамической и геометрической симметрии

Этот случай аналогичен случаю Лагранжа в задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. В отличие от случая Лагранжа теперь в гамильтониане изучаемой задачи коэффициенты при импульсах зависят от координат, потенциальная энергия — алгебраическая функция координат. Основная цель работы — произвести топологический анализ системы, т.е. описать изменение числа инвариантных торов в зависимости от значений постоянных первых интегралов. При переходе постоянных интегралов через критические значения этот тор вырождается или в окружность, или в точку, или в прямое произведение восьмерки и окружности. Для произвольного случая распределения параметров построены и классифицированы бифуркационные диаграммы, т.е. определены те значения постоянных первых интегралов, при переходе через которые изменяется число инвариантных торов; аналитически доказано, что число таких бифуркационных диаграмм равно семи. Затем изучено, как именно изменяется число торов при переходе значений параметров через ветви бифуркационной диаграммы. Введены определенным образом координаты, упрощающие все вычисления. В них проведено исследование знака приведенного потенциала, что и дает условия на изменение собственных значений стационарных движений. Далее изучены особенности бифуркационной диаграммы, построены и классифицированы изоэнергетические многообразия. По результатам этих исследований по-

строены топологические инварианты, описывающие тип данной гамиль-тоновой системы.

В третьей главе рассматривается движения эллипсоида, мало отличающегося от шара: вводится возмущение полуосей = R -f- еВ,. Тогда, как показано в работе A.A. Бурова, A.B. Карапетяна (1985), необходимыми условиями существования дополнительного интеграла будут:

• центр масс эллипсоида совпадает с его геометрическим центром

• главные центральные оси инерции сонаправлены с главными осями эллипсоида-поверхности

• выполнено условие Клебша

(J32 - B3)Ji + (В3 - Bx)J2 + (Вг - B2)J3 = 0.

В этой работе в качестве частного решения была выбрана сепаратриса, затем вычислялся интеграл Пуанкаре-Мельникова. Более сильные условия можно получить исследуя второе приближение, что и было сделано в диссертации уже с использованием другого частного решения, выраженного через эллиптические функции. Для изучения уравнений, линеаризованных в его окрестности, был применен метод Зиглина. Ри-манова поверхность решения — это тор, параметризованный временем, имеющий ровно одну особую точку. Условие метода Зиглина — коммутируемость образующих тора — переходит в условие отсутствия ветвления около этой особой точки, что дает во втором приближении условие В\ = В2 = В3 в качестве необходимого условия интегрируемости, вместо условия Клебша.

В четвертой главе рассматривается качение эллипсоида, для которого

• две полуоси эллипсоида-поверхности равны

• два главных центральных момента инерции равны, главные центральные оси инерции сонаправлены с главными осями эллипсоида-поверхности

• центр масс лежит в экваториальной плоскости

Берется частное решение, соответствующее вращению тела вокруг вертикали. С помощью замены переменных уравнения движения нормализуются в окрестности этого частного решения. Доказательство неинтегрируемости проводится методом, разработанным в работах В.В. Козлова, А.Д. Брюно: за счет выбора постоянной интеграла площадей достигается условие резонанса 1:3. В итоге условие резонанса и условие равенства нулю резонансного члена дают два соотношения на пять параметров задачи. К сожалению, в отличие от задачи движения тяжелого тела с неподвижной точкой, данный метод не позволяет сделать в общем случае окончательный вывод о существовании интегралов уравнений движения. Однако, с его помощью показано, что дополнительного интеграла нет для аналога случая Ковалевской.

В пятой главе рассматривается задача о качении шара. Для этой задачи число параметров равно числу параметров в задаче о движении тяжелого тела с неподвижной точкой. Указываются частные решения уравнений движения, для каждого частного решения находятся необходимые условия существования дополнительных интегралов. Основной результат сформулирован в двух теоремах.

Теорема 1 Если главные центральные моменты инерции различны, то система уравнений движения не является алгебраически полной интегрируемой системой, за исключением случая Эйлера, когда центр масс совпадает с геометрическим.

Теорема 2 Если хотя бы два главных центральных момента инерции совпадают, то система уравнений движения не является алгебраически полной интегрируемой системой, за исключением аналога случая Лагранжа, когда центр масс расположен на оси динамической симметрии.

Заключение:

• Дан топологический анализ динамики тяжелого динамически симметричного эллипсоида вращения на гладкой горизонтальной плоскости (аналог случая Лагранжа): построены бифуркационные диаграммы Смейла, описаны перестройки торов Лиувилля, построены топологические инварианты теории Фоменко.

• Получено необходимое условие существования дополнительного ме-роморфного интеграла уравнений движения тяжелого трехосного эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости для случая эллипсоида с мало различающимися полуосями, центр масс которого совпадает с геометрическим центром.

• Получены необходимые условия существования аналитического интеграла уравнений движения тяжелого динамически и геометрически симметричного эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости для случая, когда центр масс эллипсоида лежит в экваториальной плоскости.

• Получены необходимые и достаточные условия того, что система уравнений движения тяжелого неоднородного шара на гладкой горизонтальной плоскости является алгебраически полной интегрируемой системой.

Список публикаций

• 1. Ивочкин М.Ю. Топологический анализ движения эллипсоида по гладкой плоскости, Матем. сб., 2008, 199:6, 85-104

• 2. Ивочкин М.Ю. Необходимые условия существования дополнительного интеграла в задаче о движении тяжелого эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости, ПММ том 75, вып. 5, 858-863, 2009

• Ивочкин М.Ю. "Топологический анализ движения эллипсоида по гладкой горизонтальной плоскости", VI Международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, 1-6.08.2007, (тезисы докладов)

• Ивочкин М.Ю. "Необходимые условия существования дополнительного интеграла в задаче о движении тяжелого трехосного эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости", X Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, 1-5.06.2008, (тезисы докладов)

• Ивочкин М.Ю. "Применение методов дифференциальной теории Галуа в задаче о движении тяжелого шара на гладкой горизонтальной плоскости", тезисы V Международная конференция "Поляхов-ские чтения", Санкт-Петербург, 3-6.02.2009, (тезисы докладов)

Подписано в печать 03. Н. 09 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. /О Тщ>ъж-/00 экз. Заказ

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

Введение

Глава 1. Обзор методов, используемых для исследования интегрируемости и неинтегрируемости дифференциальных уравнений

1.1. Интегрируемость дифференциальных уравнений.

1.2. Неинтегрируемость дифференциальных уравнений.

Глава 2. Топологический анализ движения эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости

2.1. Введение

2.2. Постановка задачи. Схема исследования

2.3. Построение бифуркационных диаграмм, изучение перестроек торов

2.4. Исследование изоэнергетических многообразий

Глава 3. Необходимые условия существования дополнительного интеграла в задаче о движении тяжелого трехосного эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости.

3.1. Введение

3.2. Постановка задачи. Уравнения движения и их первые интегралы.

3.3. Доказательство неинтегрируемости

Глава 4. Необходимые условия существования дополнительного интеграла в задаче о движении тяжелого динамически и геометрически симметричного эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости.

4.1. Введение

4.2. Постановка задачи. Уравнения движения и их первые интегралы.

4.3. Доказательство неинтегрируемости

Глава 5. Необходимые и достаточные условия полной алгебраической интегрируемости уравнений движения тяжелого неоднородного шара на гладкой горизонтальной плоскости

5.1. Введение.

5.2. Постановка задачи. Уравнения движения и их первые интегралы

5.3. Доказательство теоремы

5.4. Доказательство теоремы

Постановка задачи

Задача о движении тяжелого твердого тела на гладкой горизонтальной плоскости — одна из классических задач механики. Эта задача в определенном смысле представляет собой обобщение задачи о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Естественным образом встает вопрос об исследовании возможных интегрируемых случаев. Известно, что в этой задаче существуют аналоги случаев Эйлера и Лагранжа. Однако случаев нетривиальной интегрируемости (скажем, аналога случая Ковалевской) пока обнаружено не было.

В настоящей работе рассматриваются задачи анализа интегрируемых случаев уравнений движения тела эллипсоидальной формы (в частности шара) на гладкой горизонтальной плоскости.

Известны разные методы для изучения интегрируемых случаев. Одними из наиболее продвинутых и наглядных являются методы топологического анализа: с помощью этих методов исследуются перестройки инвариантных многообразий (метод С. Смейла), строятся топологические инварианты (метод А.Т. Фоменко).

Для доказательства неинтегрируемости задачи (в случаях, отличных от аналогов случаев Эйлера и Лагранжа) используются методы В.В. Козлова, С.Л. Зиглина, Моралиса-Руиза-Рамиса.

Этот вопрос был исследован в работе [14], [83], в которой в первом приближении по малому параметру найдены необходимые условия интегрируемости. Вопрос, являются ли найденные условия и достаточными для интегрируемости, рассматривался в работах [29], [8]. В диссертации во втором приближении найдены более сильные и простые необходимые условия интегрируемости, что приводит к вырождению в данной задаче для первого приближения случая

Клебша в тривиальный случай Эйлера. Для случая, когда поверхность тела - шар, методами дифференциальной теории Галуа доказывается отсутствие нетривиальных случаев интегрируемости.

Обзор результатов

1) Дан обзор различных методов доказательства неинтегрируемости систем дифференциальных уравнений, применяемых в задачах механики.

2) Для уравнений, описывающих движение тяжелого динамически симметричного эллипсоида вращения (аналог случая Лагранжа), было выполнено:

- построены бифуркационные диаграммы Смейла, описаны перестройки торов Лиувилля;

- исследованы изоэнергетические многообразия.

3) Для уравнений движения тяжелого трехосного эллипсоида с малыми возмущениями полуосей, для которого центр масс совпадает с геометрическим центром, было получено необходимое условие существования дополнительного мероморфного интеграла.

4) Для уравнений движения тяжелого динамически и геометрически симметричного эллипсоида, для которого главные центральные оси инерции со-направлены с главными осями эллипсоида-поверхности и центр масс которого лежит в экваториальной плоскости эллипсоида-поверхности, были получены необходимые условия существования аналитического интеграла.

5) Для уравнений движения тяжелого неоднородного шара были получены необходимые и достаточные условия того, что система уравнений движения является алгебраически вполне интегрируемой.

Содержание работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

Заключение

Дан топологический анализ динамики тяжелого динамически симметричного эллипсоида вращения на гладкой горизонтальной плоскости (аналог случая Лагранжа): построены бифуркационные диаграммы Смейла, описаны перестройки торов Лиувилля, построены топологические инварианты теории Фоменко.

Получено необходимое условие существования дополнительного меро-морфного интеграла уравнений движения тяжелого трехосного эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости для случая эллипсоида с мало различающимися полуосями, центр масс которого совпадает с геометрическим центром.

Получены необходимые условия существования дополнительного аналитического интеграла уравнений движения тяжелого динамически и геометрически симметричного эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости для случая, когда главные центральные оси инерции эллипсоида сонаправлены с главными осями эллипсоида-поверхности, а центр масс эллипсоида лежит в экваториальной плоскости.

Получены необходимые и достаточные условия того, что система уравнений движения тяжелого неоднородного шара на гладкой горизонтальной плоскости является алгебраически полной интегрируемой системой.

1. Аппель П. Теоретическая механика, т. 1,2, государственное издательство Физико-математической литературы, Москва, 1960

2. Арнольд В.PI. Математические методы классической механики, Москва, Издательство "Наука", 1989

3. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Москва, МЦНМО, 2004

4. Арнольд В.И., Козлов ВВ., Нейштадт А.И. Математические методы классической и небесной механики, Москва, Эдиториал УРСС, 2002

5. Волсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы: геометрия, топология, классификация, Издательский дом "Удмурский Университет", 1999

6. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика",2001, 384 стр.

7. Борисов А.В., Мамаев И.С. (ред.) Неголономные динамические системы, Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002

8. Борисов А.В., Мамаев И.С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в га-мильтоновой механике, Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 384 стр.

9. Борисов А.В., Мамаев И.С. Современные методы теории интегрируемых систем, Москва-Ижевск: Институт компьютерынх исследований, 2003

10. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности. Москва, Мир, 1988

11. И. Е^рюно А.Д. Теория нормальных форм уравнений Эйлера-Пуассона// препринт N 100, Москва, Инстутут прикладной математики имени М.В. Келдыша, 2005, 27 с.

12. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки, Москва-Ленинград, Гостехиз-дат, 1953t

13. Гориэли А. Интегрируемость и сингулярность. Москва; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, Институт компьютерных исследований, 2006. 316 с.

14. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркацмм векторных полей, Москва; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, Институт компьютерных исследований, 2002, 559 с.

15. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем, Москва, Издательство Наука, 1979

16. Докшевич А.И. Решение в конечном виде уравнений Эйлера-Пуассона, Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, Институт компьютерных исследований, 2004. 166 с.

17. Емельянов К.В., Цыгвинцев АВ. Показатели Ковалевской систем с экспоненциальным взаимодействием, Матем. сб., 2000, том 191, номер 10, страницы 39-50

18. Зиглин С. Л. Ветвление решений и несуществование первых интеграловв гамильтоновых системах, Функциональный анализ и его приложения, том 16(1982), N 3, с. 30-30

19. Зиглин С.Л. Зиглин C.JI. Об отсутствии вещественно-аналитического первого интеграла в некоторых задачах динамики. Функциональный анализ и его приложения., т. 31, № 1, с. 3-11 (1997).

20. Зиглин С.Л. Расщепление сепаратрис, ветвление решений инесущество-вание интеграла в динамике твердого тела, Труды ММО N 41(1980), с. 287-303

21. Ивочкин М.Ю. Необходимые условия существования дополнительногоинтегралав задаче о движении тяжелого эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости, ПММ том 75, вып. 5, 2009, 858-863

22. Ивочкин М.Ю. Топологический анализ движения эллипсоида по гладкой плоскости, Матем. сб., 2008, 199:6, 85-104

23. Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений, Издательство Эдиториал УРСС, 1998

24. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела, Издательство МГУ, 1980

25. Козлов В. В. Несуществование однозначных интегралов и ветвление решений в динамике твердого тела // Прикл. мат. и мех. 1978, т. 42, вып. 3, с. 400-406

26. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике, Ижевск, Издательство УдГУ, 1995

27. Козлов В.В., Трещев Д.В. Неинтегрируемость общей задачи вращения динамически симмеотрчного тяжелого твердого тела с неподвижной точкой 1,2, Вестн. Моек Универс. сер.1 Матем. Мех. 1985, № 6, с. 78-81; № 1, с. 39-44

28. Ляпунов А.И. Общая задача об устойчивости движения. Харьков: Изд-во Харьковского Мат. Об-ва, 1892, 250 с.

29. Маркеев А.Т. Теоретическая механика, издательство РХД, 2001

30. Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях // Тр. Моск. мат. о-ва, 1963, т. 12, с. 3-52

31. Морозов А.Д. Резонансы, циклы и хаос в квазиконсервативных системах, Москва-Ижевск: Институт компьютерынх исследований, 2005

32. Новиков С.П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса УМН, 1982, т. 37, вып. 5, с.3-49

33. Оден М. Вращающиеся волчки. Курс интегрируемых систем, Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 1999

34. Ошемков А.А. Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела. Труды семинара по векторному и тензорному анализу. 1993, вып. 25, часть 2, М. МГУ с.23-109.

35. Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли, Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002, 237 стр.

36. Пуанкаре А. Избранные труды, том 1, Издательство Наука, 1971

37. Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский М.А. Интегрируемые системы, теоретико-групповой подход, Москва-Ижевск: Институт компыотерынх исследований, 2003

38. Садэтов С.Т. О резонансах на показатели Ковалевской, Матем. заметки, 54:4 (1993), 152-153

39. Садэтов С. Т Условия интегрируемости уравнений Кирхгофа //Вестник Московског университета, Сер. матем., механ. — 1990, № 3, 56-62

40. Сальникова Т.В. Неинтегрируемость возмущенной задачи Лагранжа, //Вестник Московског университета, Сер. матем., механ. — 1985, № 4, 62-66

41. Смейл С. Топология и механика, //УМН, т. 15, №2, 1972, с. 77-125

42. Соколов В.В. Новый интегрируемый случай для уравнений Кирхгофа, ТМФ, 2001, том 129, номер 1, страницы 31-37

43. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике, Издательство УРСС, Москва, 2001

44. Татаринов Я.В. Портреты классических интегралов задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки, Вестник МГУ. Сер. матем., механ, 1974, N6.

45. Трещев Д.В. Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем, Издательство Фазис, Москва, 1998

46. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых га-мильтоновых дифференциальных уравнений, Издательство Факториал, Издательство УдГУ, 1995

47. Уиттекер Э.Т. Аналитическая динамика, издательство УРСС, 2004

48. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Я Курс современного анализа, издательство УРСС, 2007

49. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия, методы и приложения, Издательство Московского Университета, 1988.

50. Фоменко А.Т., Цишанг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Известия АНСССР, т.54, N 3, с.546-575.

51. Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задач в динамике твердого тела, Ленинград, издательство Ленинградского Университета, 1988

52. Хованский А.Г. Топологическая теория Галуа, Издательство МЦНМО, Москва, 2008

53. Abraham R.; Marsden J.E. Foundations of mechnics, Second Edition, Addison-Wesley, 1978

54. Abraham R., Marsden J.E., Ratiu T. Manifolds, tensor analysis and application, Second Edition, Applied mathematical science, vol.75, Springler-Verlag, New York, 1988

55. Adler M.P., van Moerbeke P Completely integrable systems, Euclidean Lie algebras and curves and linearization of Hamiltonian systems, Jacobi varietes and represention theory, Adv.Math., 1989, v.30, pp.267-379

56. Baider A., Churchill R.C., Rod D.L., Singer M.F. On the infinitesimal geometry of integrable systems,Fields Institute Communications Volume 7, 1990

57. Boucher D., Weil J.-A. Application of J.-J. Morales and J.P.Ramis theorem to test the non-complete integrability of the planar three body problem, IRMA Lect. Math. Theor. Phys., vol.3, de Gruyter, Berlin, 2003

58. Churchill R.C., Rod D.L., Singer M.F. Group-theoretic obstructions to the integrability of hamiltonian systems, Ergodic Theory Dynam. Systems, (15), 1995, № 1, 15-48

59. Dullin H.R., Tsygvintsev A.V. On the analytic non-integrability of the Rattle-back problem, Annales de la faculte des sciences de Toulouse, Vol. XVII, n. 3, pp. 495-517, 2008

60. Goriely A. A brief history of Kovalevskaya exponents and modern developments, 2000 Regular and Chaotic Dynamics.

61. Goriely A. Integrability, partial integrability and nonintegrability for systems of ordinary differential equations, J. Math. Phys. 1996. 37 (1996) 1871-1893.

62. Goriely A., Tabor M. How to compute the Melnikov vector?, 1994 in Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ISSAC'94, ACM Press, pp. 205-210.

63. Goriely A., Tabor M. The Singularity analysis for nearly integrable systems: Homoclinic intersections and local multivaluedness, Physica D. 85 (1995) 93-125.

64. Hille E. Ordinary Differential Equations in the Complex Domain, A Wiley-Interscience Publication, 1976

65. Kimura Т. On Riemann's Equations which are Solvable by Quadratures, j.Funkcialaj Ekvacioj, 12(1969), 269-281

66. Kovacic J.J. An algorithm for solving second order linear homoheneous differential equations, j.Symbolic.Comput.,2(l):3-43,1986

67. Landsman N. P., Pftaum M., Schlichenmaier M. Quantization of singular symplectic quotients, Birkhauser, 2001, p.318

68. Lerman L. M., Shilnikov L. P. Homoclinical structures in nonautonomous systems: nonautonomous chaos. Chaos 2 (1992), no. 3, 447-454

69. Morales-Ruiz J.J. Differential Galois Theory and Non-Integrability of Hamiltonian Systems,Birkhauser, 1999, p. 184

70. Morales-Ruiz J.J. A note on a connection between the Poincare-Arnold-Melnikov integral and the Picard-Vessiod Theory, 2002

71. Morales-Ruiz J.J., Peris J.M. On a galoisian approach to the splitting of separatrices, Annales de la faculte des science de Toulouse 6 serie, tome 8, n 1, 1999, p.125-141

72. Morales-Ruiz J.J., Ramis J.-P. Galosian obstructions to integrability of Hamiltonian systems, Methods Apl. Anal. (8) 2001,№ 1, p.113-120

73. Morales-Ruiz J.J., Simon S. On the meromorphic non-integrability of some N-body problems, 1999, p.184

74. Morales-Ruiz J.J.,Ramis J.-P., Simon S. Integrability of Hamiltonian systems and Differential Galois Groups of Higher Variational Equations, Annales Ec. Norm. Sup. 40 (2007), № 6, 845-884

75. Maciejewski A., Przybylska M. Differential Galois Approach to the Non-integrability of heavy top problem, Annales de la Faculte de Science, 2004

76. Maciejewski A., Przybylska M. Non-integrability of the problem of a rigid satellite in gravitational and magnetic fields , Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, vol. 87, n.4, 2004, p.317-351

77. Maciejewski A., Przybylska M., Stachowiak Т., Szydlowski M. Global integrability of cosmological scalar fields , J. Phys. A: Math. Theor. 41 465101 (26pp), 2008

78. Maciejewski A., Przybylska M., Weil J.-A. Non-integrability of the generalized spring-pendulum problem , 2004 J. Phys. A: Math. Gen. 37 2579-2597

79. Ritt J.F. Differential Algebra, New York: Dover Publication, 1950

80. Salnikova Т. V. On integrability of the motion of an axisymetric rigid body, 2001 J. Phys. A: Math.Gen. 34, 2179-2184

81. Singer M.F., M. van der Put Galois Theory of Linear Differential Equations, Springer, Berlin, 2003, 438

82. Singer M.F., Ulmer F. Necessary conditions for Liouvillian solutions of third order linear differential equations, vol. 6, № 1, 1995

83. Singer M.F., Ulmer F. Galois groups of Second and Third Order Linear Differential Equations, J. Symbolic Computation, vol. 11, № 1-000, 1997

84. Smith C.J. A discussion and implementation of Kovacic's algoriphm for ordinary differential equetions, University of Waterloo Computer Science Dept. Research Report CS-84-35, 1984

85. Tsygvintsev A. V.Non-existence of new meromorphic first integrals in the planar three-body problem, Celestial Mech. Dynam. Astronom. 86 (2003), no. 3, 237-247

86. Tsygvintsev A.V. On some exceptional cases in the integrability of the three-body problem, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, Vol. 99, No.1, 237-247, 2007

87. Tsygvintsev A.V. The meromorphic non-integrability of the three-bodyproblem, Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik de Gruyter (Crelle's journal), N 537, 2001, 127-149

88. Yoshida H. Necessary conditions for the existence of algebraic first integrals. Pt l.Kovalevski exponents // Celest. Mech. 1983. Vol.31. N.4. P.363-379

89. Zoladek H. The monodromy group, Birkhauser Verlag, 2000