Устойчивость и бифуркация положений равновесия твердых тел с полостями, содержащими жидкость тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Устойчивость и ветвление положений равновесия маятника с эллипсоидальной полостью, частично заполненной жидкостью.

1. Постановка задачи.

2. Вычисление потенциальной энергии.

3. Положения равновесия.

4. Устойчивость тривиальных положений равновесия.

5. Косые положения равновесия.

6. Устойчивость косых положений равновесия.

7. Бифуркационные диаграммы.

8. Устойчивость тривиального положения равновесия в зависимости от степени заполнения полости.

Глава II. Устойчивость и ветвление положений равновесия маятника с цилиндрической полостью, содержащей жидкость.

1. Постановка задачи.

2. Устойчивость и ветвление положений равновесия в случае заполнения полости менее, чем наполовину.

3. Устойчивость и ветвление положений равновесия в случае заполнения полости более, чем наполовину.

4. Бифуркационные диаграммы.

Глава III. Устойчивость и ветвление положений равновесия эллиптического цилиндра, частично заполненного жидкостью, упруго связанного с горизонтальной опорой.

1. Постановка задачи.

2. Вычисление потенциальной энергии.

3. Положения равновесия.

4. Устойчивость тривиального положения равновесия.

5. Косые положения равновесия.

6. Устойчивость косых положений равновесия.

7. Бифуркационные диаграммы.

Глава IV. Устойчивость и ветвление положений равновесия эллипсоида с полостью, частично заполненной жидкостью.

1. Постановка задачи.

2. Вычисление потенциальной энергии.

3. Положения равновесия.

4. Устойчивость тривиального положения равновесия.

5. Косые положения равновесия.

6. Устойчивость косых положений равновесия.

7. Бифуркационные диаграммы.

Динамика тел с полостями, частично заполненными жидкостью, представляет собой один из наиболее интересных и трудных разделов теоретической механики. Интерес к задачам динамики тел с жидким наполнением (см. [1-4, 12-28, 30, 31]) обусловлен их многочисленными приложениями в различных областях науки и техники. Основная трудность при анализе таких задач состоит в том, что свободная поверхность жидкости заранее неизвестна и ее нужно определять в процессе решения задачи. Фундаментальные результаты в динамике тел с жидким наполнением принадлежат В.В.Румянцеву. В частности, В.В. Румянцев [16] (см. также [17, 27]) разработал общую теорию анализа абсолютных и относительных положений равновесия, а также стационарных движений твердых тел с полостями, частично заполненными жидкостью. В случае задачи отыскания положений равновесия твердых тел с жидким наполнением и исследования их устойчивости в однородном поле тяжести при отсутствии поверхностного натяжения жидкости можно, согласно общей теории [16, 17, 27], заранее считать, что свободная поверхность жидкости горизонтальна (предполагается, что вертикальное направление связано с направлением силы тяжести). Этот замечательный результат помогает легко изучить те или иные отдельные положения равновесия тела с жидким наполнением. При изучении задачи об отыскании всех положений равновесия и исследовании их устойчивости и ветвления необходимо вычислять потенциальную энергию системы «тело + жидкость» при произвольной ориентации тела. Этот аспект задачи тоже нетривиален даже в предположении, что при любой ориентации тела свободная поверхность жидкости горизонтальна. Дело в том, что область, занятая жидкостью, существенно зависит от ориентации тела, т.е. меняет свою форму при переходе через некоторые критические положения тела. Другими словами, в различных областях конфигурационного пространства, определяющего ориентацию тела, области, занятые жидкостью, топологически различны, и, следовательно, различны выражения для потенциальной энергии жидкости.

Таким образом, для определения всех положений равновесия тела, частично заполненного жидкостью, и исследования их устойчивости и ветвления необходимо использовать различные выражения для потенциальной энергии жидкости в различных областях конфигурационного пространства, определяющего ориентацию тела. Вследствие этого, в различных областях конфигурационного пространства положения равновесия определяются различными формулами, и при построении атласа бифуркационных диаграмм необходимо состыковывать соответствующие равновесные ориентации. В диссертации эта проблема решается для четырех различных задач динамики твердого тела с полостью, частично заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, не имеющей поверхностного натяжения. Методы исследования этих задач основаны на общей теории устойчивости и бифуркации [5-9, 18, 29, 32, 33] и теории динамики тел с жидким наполнением [16, 17, 27].

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

1. Жак C.B. О возможности квазитвердого вращения жидкости // ПММ. 1957. Т.21. Вып.4.

2. Жак С. В. Об устойчивости некоторых частных случаев движения симметричного гироскопа, содержащего жидкие массы. // ПММ. 1958. т. 22. Вып. 2. С. 245-249.

3. Жуковский H. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. // Собр. соч. Т. 2. М., Гостехиздат, 1949.

4. Карапетян А. В. Об устойчивости регулярных прецессий симметричного твердого тела с эллипсоидальной полостью. // Вестник МГУ. Сер. Мат., мех. 1972. N6. С. 122-125.

5. Карапетян А. В., Рубановский В. Н. О бифуркации и устойчивости перманентных вращений тяжелого трехосного эллипсоида на гладкой плоскости. // ПММ. 1987. Т. 51. Вып. 2. С. 260-267.

6. Карапетян А. В. Устойчивость стационарных движений. // М.: Эдиториал УССР. 1998. 168с.

7. Ляпунов А. М. О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости. // Харьков: Изд-во Харьковского Мат. Об-ва, 1888. 54 с.

8. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. // Харьков: Изд-во Харьковского Мат. Об-ва, 1892. 250 с.

9. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. // М.: Наука, 1966. 530с.

10. Маркеев А. П. О качении эллипсоида по горизонтальной плоскости. // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. 2. С. 53-62.

11. Маркеев А. П., Мощу к Н. К. Качественный анализ движения тяжелого твердого тела на горизонтальной плоскости. // ПММ. 1983. Т. 47. Вып. 1. С. 37-42.

12. Маркеев А. П. О колебаниях твердого тела с полостью, содержащей жидкость, на абсолютно шероховатой плоскости. // Некоторые задачи и методы исследования динамики механических систем. Изд-во МАИ. 1985. С. 19-25.

13. Маркеев А. П. Об устойчивости вращения волчка с полостью, наполненной жидкостью. // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. 3. С. 19-26.

14. Маркеев А. П. Об интегрируемости задачи о качении шара с многосвязной полостью, заполненной идеальной жидкостью. // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. 1. С. 64-65.

15. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. // М.: Наука, 1992. 336с.

16. Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. // М.: Наука, 1965. 440с.

17. Пожарицкий Г. К., Румянцев В. В. Задача о вопросе об устойчивости движения твердого тела с полостью, заполненной жидкостью. // ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 1. С. 16-26.

18. Рубановский В. Н., Самсонов В. А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. // М.: Наука, 1988. 304с.

19. Румянцев В. В. Об уравнениях движения твердого тела с полостью, наполненной жидкостью. // ПММ. 1955. Т. 19. Вып. 1. С. 3-12.

20. Румянцев В. В. Устойчивость вращения твердого тела с эллипсоидальной полостью, наполненной жидкостью. // ПММ. 1957. Т. 21.Вып. 6. С. 74-76.

21. Румянцев В. В. Об устойчивости вращательных движений твердого тела с жидким наполнением. // ПММ. 1959. Т. 23. Вып. 6. С. 1057-1065.

22. Румянцев В. В. Об устойчивости движений твердого тела с полостями, наполненными жидкостью. // ПММ. 1962. Т. 26. Вып. 6. С. 977-991.

23. Румянцев В. В. О движении и устойчивости упругого тела с полостью, содержащей жидкость. // ПММ. 1969. Т. 33 . Вып. 6. С. 946-957.

24. Румянцев В. В. Об устойчивости перманентных вращений несимметричного гироскопа с жидким заполнением. // Изв. АН СССР. ММТ. 1990. 6. С. 4-9.

25. Савченко А. Я., Харламова Е. И. О движении тела с полостью, заполненной жидкостью. // ДАН УССР. Серия А. 1968.11. С. 10161019.

26. Савченко А. Я., Харламов П. В. Об интегрируемости уравнений движения тела, имеющего полость, заполненную жидкостью. // ДАН УССР. Серия А. 1968. 2. С. 142-144.

27. Самсонов В. А. О задаче минимума функционала при исследовании устойчивости движения тела с жидким наполнением. // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 3. С. 523-526.

28. Самсонов В. А. Очерки о механике: Некоторые задачи, явления и парадоксы. // Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая механика" 2001. 80 с.

29. Самсонов В. А., Казмерчук И. М. О квазистационарных движениях волчка с жидким наполнением. // Изв. АН СССР. МТТ. 1996.N2. С. 32-36.

30. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. // Изд-во АН СССР. 1962.

31. Hough S. S. The oscillations of a rotating ellipsoidal shell containing fluid. // Phil Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. 1895. V. 186. Pt. 1. P. 469-506.

32. Kelvin, Lord, Mathematical and Physical Papers. V. 4. Cambridge. 1882.

33. Routh E. J. A treatise on the stability of a given state of motion. London: McMillan And Co., 1877. 108 p.

34. Routh E. J. The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies. London: McMillan And Co., 1884. 343 p.

35. Селиванова И. Ю. Устойчивость и бифуркация положений равновесия маятника с полостью, содержащей жидкость. // Вестник МГУ. Сер. Мат., мех. 1998. N1. стр. 71-73.

36. Селиванова И. Ю. Устойчивость и бифуркация положений равновесия твердого тела с полостью, содержащей жидкость. // Задачи и исследования устойчивости и стабилизации движения, ВЦ РАН, Москва,1998. стр. 159-163.

37. Селиванова И. Ю. Устойчивость и бифуркация положений равновесия твердых тел с полостями, содержащими жидкость. // Задачи и исследования устойчивости и стабилизации движения, ВЦ РАН, Москва, 2000. часть 2. стр. 131-141