Динамические свойства тепловой конвекции в двухфазной среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Р Г Б ОД

На правах рукописи

Брацун Дмитрий Анатольевич

ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ В ДВУХФАЗНОЙ СРЕДЕ

Специальность: 01.02.05 - Физика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Перла - 1997

Работа выполнена па кафедре теоретической физики Пермского государственного университета.

сор Д.В.Любимов.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор П.Г.Фрик (Институт механики сплошных сред УрО РАН)

кандидат физико-математических наук, доцент А.А.Черепанов (Пермский государственный университет)

Ведущая организация - Институт проблем механики РАН, г.Москва

Защита состоится »¿О» СсоОКЛ_ 1997 года в о^°часов на

заседании диссертационного совета Д 063.59.03 в Пермском государственном университете (г.Пермь, ГСП, 614600, ул. Букирева, 15).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета.

Автореферат разослан___1997 г.

Ученый секретарь совета,

кандидат физико-математических наук,

Научный руководитель: — доктор физико-математических наук, профес-

доцент

Г.И.Субботин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В связи с обширностью и важностью приложений проблем тепловой конвекции в пористых средах в различных областях естественных наук и многих отраслях техники в последние годы наблюдается постоянное возрастание интереса и активности исследователей по отношению к этим проблемам. Будучи сравнительно хорошо теоретически и экспериментально изученной для случая теплоизолированных боковых границ, конвекция в пористой среде, ограниченной высокотеплопроводным массивом, практически была неисследована. Однако, как оказалось, эта конвективная система обладает качественным своеобразием, связанным с тем, что ее состояния равновесия образуют однопараметрические семейства даже в отсутствие непрерывной группы симметрии. Это делает актулъным задачу подробного исследования свойств такой системы.

В отличие от изучения тепло-массопереноса в пористых средах, задача о конвективной устойчивости течения, несущего твердую примесь, не привлекла достаточного внимания исследователей, хотя с точки зрения практики эта проблема имеет не меньшую важность. С другой стороны, имеющиеся работы, посвященные теоретическому рассмотрению влияния твердой примеси на свойства конвективной системы, па наш взгляд недостаточно последовательны и приводят к противоречивым результатам. Все это также делает актуальным подробное исследование задачи о тепловой конвекции в запыленной среде.

Целью данной работы является теоретическое изучение свойств тепловой конвекции в пористой среде; исследование влияния косимметрии определяющих уравнений на стационарные и сложные динамические режимы поведения такой системы; построение теории бифуркаций общего положения в системах с нетривиальной косимметрией и со слабо возмущеппой косимметрисй; вывод определяющих уравнений и изучение свойств тепловой конвекции в неоднородной среде, состоящей из жидкости (газа) и твердой примеси.

Научная новизна результатов состоит в построении теории бифуркаций общего положения в системах с нетривиальной косимметрией и со слабо возмущенной косимметрией, получении нормальных форм бифуркаций, исследовании их свойств.

Впервые последовательно изучены свойства и характеристики состояний равновесия тепловой конвекции в пористой среде, вырожденных благодаря не симметрии, как это обычно бывает в других задачах, а косимметрии. Возникающие при этом семейства стационарных решений неоднородны, что

ведет к существованию разнообразных стационарных, а с ростом управляющего параметра и динамических режимов поведения системы. Впервые подробно изучены свойства таких систем, влияние существования непрерывных семейств состояний равновесия на усложнение поведения и переход к хаосу.

Впервые исследовано нелинейное поведение системы при тепловой конвекции в пористой среде, ограниченной высокотеплопроводным массивом, при наличии таких факторов, как внутреннего тепловыделения, вынужденного прокачивания жидкости через среду, взаимодействия вырожденных двумерных конвективных движений и трехмерного движения.

Впервые в рамках обобщенного приближения Буссинеска выведена не-противоричивая система уравнений, описывающая динамику неоднородной среды, состоящей из жидкости (газа) и твердой примеси. На примере конкретной задачи изучены свойства полученной системы.

Автор защищает:

- результаты теоретического исследования бифуркаций общего положения в динамических системах с нетривиальной косимметрией;

- результаты теоретического исследования бифуркаций общего положения в динамических системах с несовершенной косимметрией;

- результаты численного исследования свойств тепловой конвекции в пористой среде, подогреваемой снизу и ограниченной абсолютно теплопроводными боковыми границами, эволюции семейств состояний равновесия с ростом числа Релея-Дарси, сценариев перехода к хаотическому поведению;

- результаты аналитического и численного исследования свойств тепловой конвекции в пористой среде с внутренними источниками тепла, динамических конвективных режимов, сценариев хаотизации системы;

- результаты аналитического и численного исследования свойств тепловой конвекции в пористой среде при наличии вынужденного прокачивания жидкости через полость в зависимости от числа Пекле, влияния симметрии полости на поведение системы;

- результаты аналитического исследования линейной и слабо-нелинейной устойчивости трехмерных конвективных движений, возникающих при увеличении длины пористого цилиндра, подогреваемого снизу;

- вывод уравнений тепловой конвекции в неоднородной среде, состоящей из жидкости (или газа) и твердой примеси;

- результаты численпого исследования линейной устойчивости плоскопа-раллельпого течения газа, несущего твердую примесь, в вертикальном слое, подогреваемом сбоку.

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссерта-

ционной работы опубликованы в работах [1-6] и докладывались на Пермском городском гидродинамическом семинаре (1992-1996); I Международной студенческой конференции "Физика и Прогресс" (Санкт-Петербург, 1992); IX Всесоюзной школе-семинаре "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Москва, 1993); Seminaire Mathématique de Toulouse (Toulouse, 1994); III Всероссийской научной конференции студентов-физиков (Екатеринбург, 1995); X и XI Зимних школах по механике сплошной среды (Пермь, 1995-1997); 21st General Assembly of the European Geophysical Society (Hague, 1996); 31st Scientific Assambly of COSPAE (Bir-mengem, 1996) и других.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из вводной главы, четырех глав, содержащих результаты исследований автора, заключения с перечнем основных выводов и списка литературы. Работа содержит 53 рисунка и 108 ссылок на литературные источники. Общий объем диссертации 214 страпиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе, которая является вводной, показана актуальность темы диссертации и дана общая характеристика работы. Дается обзор теоретических и экспериментальных работ, посвященных тепловой конвекции в пористой среде. Отмечаются особенности поведения конвективной системы в случае идеально теплопроводных боковых грапиц, которые связаны со свойством косимметрии определяющих уравнений. Дается краткий обзор работ, посвященных математической теории косимметрии и ее приложений в конвективных задачах. Обсуждаются также работы, в которых исследовались особенности тепло-массопереноса в неоднородной среде, состоящей из жидкости или газа и небольших твердых частиц. Отмечается неудовлетворительность теоретического описания таких систем, проведенное в этих работах.

Глава 2. Бифуркации общего положения в системах с косимметрией

Глава посвящена исследованию бифуркаций в динамических системах, обладающих свойством нетривиальной косимметрии. В этой же главе изучается вопрос о поведении систем со слабо несовершенной косимметрией. Результаты этой главы широко используются в последующих главах, посвященных тепловой конвекции в насыщенной жидкостью пористой среде, окруженной твердым массивом с идеально теплопроводными границами. Уравнения, описывающие поведение такой системы, обладают свойством косимме-

хрии, поэтому ветвление стационарных решений с изменением параметра во многом происходит в соответствии с результатами, полученными в Главе •2.

В параграфе 2.1 отмечается, что вырождение решений уравнений обычно принято связывать с симметрией: если какая-нибудь физическая задача описывается системой уравнений, которые инвариантны относительно некоторой группы преобразований симметрии, то это, вообще говоря, ведет к вырождению решений (стационарных, периодических и т.д.) таких уравнений. Причем, если группа симметрии является непрерывной, то и решения существуют в виде непрерывных семейств решений. Оказывается, однако, что и другие причины для вырождения уравнений также могут существовать. Одной из таких причин является косимметрия. Этот термин, а также сама теория косимметрии, введены В.ИЛОдовичем (Юдович В.И. Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение фильтрационной конвекции. - Математические заметки, 1991, т.49, вып.-5, с.142-148).

Следуя за В.ИЛОдовичем, дается определение косимметрии: пусть Q, L: Н —> Н операторы, действующие в гильбертовом пространстве Н. Скажем, что оператор L есть косимметрия оператора Q, если для любого элемента ф € Н выполняется:

<Q<p,L<p>„= О,

где < ..,.. > обозначает скалярное произведение, заданное в Н. Обсуждаются общие свойства свойства систем с косимметрией. Отмечается главный вывод теории косимметрии - в таких системах некосимметричные решения (решения, на которых зануляется только один оператор из косимпары Q, L) образуют, вообще говоря, непрерывные семейства.

В параграфе 2.2 на примере конечномерной динамической системы, обладающей косимметрией, рассматривается бифуркация неко симметричного изолированного равновесия. Показано, что исследование такой бифуркации сводится к изучению динамической системы на двумерном многообразии (хих2):

Х\ = —fj- + х\-\- 2NX\X2 + х\, ¿2 = т(—А* + х\ + 2NXIX2 + х\),

где ¡i - параметр падкритичности, 7, N - коэффициенты нормальной формы бифуркации. Показано, что при | N |> 1 нормальная форма описывает перезамыкание двух гипербол - непрерывных семейств стационарных решений системы. Если же | N [< 1, в подкритической области вообще нет стационарных решений. При ц> 0 в фазовом пространстве появляется замкнутая кривая стационарных точек, возникающая благодаря непрерывной

серии тангенциальных бифуркаций. Показано, что в этом случае семейство содержит как устойчивые, так и неустойчивые равновесия.

В параграфе 2.3 рассматривается ветвление стационарных решений около ко симметричного равновесия. Соответствующая нормальная форма также двумерна и имеет вид:

¿i = xi(fj, + N\x\ + N2X2 - х\ + 2NX\X2 - x'l), i2 = JX2(fl -(- NlXl + N2X2 - x\ + 2NX\X2 - x\). Здесь NuN2 - параметры бифуркации. Показано, что при | N |> 1 уравнения описывают перезамыкание двух семейств равновесий в виде гипербол через изолированное ко симметричное решение. Отличие от ситуации предыдущего параграфа состоит в том, что в момент бифуркации каждое ре-шелие из семейства меняет свою устойчивость. Когда | N |< 1, при /л = 0 от изолированного равновесия ответвляется эллипс стационарных точек, причем все они устойчивы.

В параграфах 2.4 и 2.5 подробно рассматриваются, соответственно, бифуркации монотонной и колебательной потери устойчивости части состояний равновесия из континуума стационарных решений. Отмечается, что, когда вырождение системы вызывается косимметрией, жесткое ограничение на свойства решений в виде группы преобразований симметрии отсутствует, и все характеристики стационарных решений гладким образом меняются при движении вдоль семейства. Очевидно, что в таких условиях одновременная потеря устойчивости семейством как целым, вообще говоря, невозможна. Наиболее типичным представляется процесс, при котором на семействе сначала появляется маленький участок неустойчивости (возможно несколько), который расширяется с изменением параметра, пока, наконец, не охватывает все семейство.

Показано, что в случае возникновения участка монотонной неустойчивости, ситуация адекватпо описывается следующей двумерной нормальной формой:

х = х(/г — z2 + Nx), i = х,

где ¡i - параметр, управляющий интервалом неустойчивости на семействе. При колебательном типе неустойчивости нормальпая форма трехмерна и имеет следующий вид:

с = (/г - z2)c - ас\с\\ ¿ = C|c|2,

где с - комплексная функция, a Re(a) > 0, ( ± 1 - параметры бифуркации. Рассмотрены свойства обеих нормальных форм. Обнаружено, что бифуркация возникновения интервала неустойчивости па семействе равновесий

не ведет, вообще говоря, к ответвлению вторичных решений. Результат необычен в том смысле, что находится в кажущемся противоречии с классическими результатами для бифуркаций изолированных равновесий или семейств равновесий, существующих благодаря непрерывной группе симметрии. В последних случаях, как правило, происходит ответвление новых решений.

В параграфе 2.6 рассматривается поведение решений систем, близких к системам с косимметрией. В таких системах, вообще говоря, однопараме-трических семейств равновесий, существовавших благодаря косимметрии, уже не существует. Однако, при достаточно малых значениях параметра, возмущающего ко симметрию, в системе сохраняется "память" о динамике системы в совершенном случае. Отмечается, что следует принципиально различать случай разрушения сильно- и слабопеоднородного семейства. Семейство является сильнонеоднородным, когда оно содержит как устойчивые, так и неустойчивые равновесия. Показапо, что при разрушении такого семейства организующими центрами, от которых ответвляются вторичные решения, являются выделенные на семействе точки, которые расположены в местах смены устойчивости решении при движении вдоль кривой состояний равновесия. В частности, показано, что при возмущении косимметрии задачи и колебательном типе неустойчивости ситуация описывается нормальной формой:

с = (fj. - z2)c - qc\c\2 + (3-ус, z = СИ2 + 7,

где 7 - параметр несовершенства. Обнаружено, что от разрушенного семейства, вообще говоря, ответвляется конечное (всегда четное) число устойчивых и неустойчивых предельных циклов.

Однако, вопрос о влиянии на эти решения членов более высокой степени малости, отброшенных в приведенной выше нормальной форме, а также о существовании других решений, остается открытым. В параграфе 2.7 вопрос о возможном существовании этих решений изучается с помощью одномерного отображения:

р = y/-2iln(p) -i + b-j, ф = y/—2jln(p) + ф +в,

где р,ф определяют комплексную функцию с — рехр(гф), а Ь, 0 - параметры. Исследование свойств этого отображения показало, что при достаточно малых значениях 7 вблизи каждой особой точки семейства существуют устойчивый однопериодический и неустойчивый двупериодический двумерные торы.

Глава 3. Тепловая конвекция в пористой среде

В Главе 3 псследуются свойства тепловой конвекции в пористой среде, подогреваемой снизу и ограниченной абсолютно теплопроводными боковыми грапицами. В параграфе 3.1 обсуждаются общие особенности определяющих уравнений и граничных условий, обычно используемых при рассмо-рении тепловой конвекции в пористой среде. В параграфе 3.2 отмечается и обсуждается вопрос о качественным своеобразии конвекции в пористой среде, ограниченной высокотеплопроводпым массивом. Нетривиальные состояния равновесия такой системы, соответствующие двумерным конвективным движениям, вырождены и образуют непрерывные семейства (Любимов Д.В. О конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой снизу. - ПМТФ, 1975, N2, с.131-137). В параграфах 3.3 и 3.4 методами линейного и слабо-нелинейного анализа исследованы свойства ответвляющихся состояний равновесия, образующих семейство. Динамика системы на пространстве медленных движений описывается системой:

а — а(В, — с? — /З2), £/? = /?(Д-а2-/32),

где а,/3- амплитуды двух независимых движений, взаимодействующих вблизи порога возникновения конвекции, Л - параметр надкритичности, Ь -параметр, определяемый геометрией полости. Для случая прямоугольной формы полости показано, что число Нуссельта является функцией местоположения решения на семействе.

В параграфе 3.5 с помощью метода Галеркина строится бесконечномерная модель конвеции для случая квадратной формы полости. Затем, в параграфах З.б и 3.7, изучаются свойства 22-модовой динамической системы, исследуется эволюция однопарамегрических семейств стационарных решений с ростом числа Гелея-Дарси Д, возникновение нестационарной конвекции, изучаются сценарии перехода к хаосу. В результате численного исследования системы обнаружено, что при переходе через каждое критическое значение Я от тривиального равновесия ответвляется новое семейство стационарных решений.

Отмечается, что все нетривиальные стационарные решения системы являются некосимметричными, и, вообще говоря, существуют только в форме однопараметрических семейств. Таким образом, механизм появления новых решений за счет пересечения ветвей решений, принадлежащих различным модам, присущий задаче с теплоизолированными боковыми границами, не работает в данной системе. Тем не менее, взаимодействие между модами может осуществляться в виде перезамыкания между ветвями различных семейств решений. Обнаружено, что с ростом Я семейства взаимодействуют,

перезамыкаясь между собой, формируя, в конце концов, в фазовом пространстве сложную структуру состояний равновесия различного типа. При достаточно гладком изменении параметра интервалы неустойчивости на семействах растут также гладко. Обнаружено, что эволюция малого возмущения решения из интервала неустойчивости на семействе заканчивается на тех решениях из того же семейства, которые не потеряли еще свою устойчивость. Когда, с ростом параметра, неустойчивость, распространяясь вдоль семейства, достигает этого равновесия, траектория "прыгает" из интервала неустойчивости, "отыскивая" новое устойчивое состояние равновесия, расположенное поблизости. Никаких новых образований при этом в фазовом пространстве системы не возникает, как и предсказывалось при рассмотрении нормальной формы этой бифуркации в Главе 2. Все это, с одной стороны, ведет к затягиванию наступления нестационарной конвекции, а с другой - к тому, что стационарная конвекция сразу сменяется хаотическим поведением. Это отличает исследуемую систему от случая конвекции однородной жидкости или даже конвекции жидкости в пористой среде, ограниченной теплоизолированными боковыми стенками, где последовательность событий на пути к хаосу характеризуется в основном монотонным ростом беспорядка в системе. Сценарий перехода к хаосу в исследуемой задаче схематически можно представить как

МЕ -» 5 С RPD —» Р —> DPD -> С -> Р -> С,

где МЕ обозначает состояние механического равновесия системы, 5 - стационарную конвекцию, Р и С - соответственно периодическая и хаотическая конвекция, DPD и RPD - прямой и обратный каскад удвоения периода.

Глава 4. Тепловая конвекция в пористой среде при наличии осложняющих факторов

В Главе 4 рассматривается влияние таких осложняющих факторов на поведение исходной системы, как внутреннее тепловыделение, вынужденное прокачивание жидкости через полость в горизонтальном и вертикальном направлениях, возникновение трехмерных конвективных движений в пористом цилиндре конечной длины.

В параграфе 4.1.1 обсуждаются определяющие уравнения и граничные условия в случае конвекции с внутренним теплоразогревом. Показано, что с точки зрения свойств уравнений, генерация тепла не разрушает косим-метрию, хотя изменяет свойства симметрии уравнений. Линейный анализ устойчивости механического равновесия показал, что каждый уровень неустойчивости вырожден по крайней мере двукратно. В параграфе 4.1.2

показано, что динамика слабо-нелинейных режимов конвекции, возникающих в среде с внутренним тепловыделением, определяется амплитудными уравнениями:

а = а(Я - а? - в2 + 2ВН„а + 21{д/3), Ь/З = (3(Я - а2 - /З2 + 2ВЩа + 2Д,/3),

где Л9 - параметр тепловыделения. Обнаружено, что семейство состояний равновесия жестко ответвляется от тривиального решения, а в подкритиче-ской области существует непрерывное множество устойчивых стационарных решений.

Исследование динамических свойств конвекции с внутренним тепловыделением, проведенное на базе 22-модовой галеркинской системы в параграфе 4.1.3, выявило существование достаточно разнообразных решений и возможность реализации в зависимости от начальных условий нескольких сценариев перехода к хаосу. Как и в случае среды без внутреннего тепловыделения, нарастание беспорядка в системе происходит не монотонно, а с резкими перестройками, что объясняется существованием в системе непрерывных семейств стационарных решений. Последовательность бифуркаций в системе с чистым внутренним выделением тепла, может быть схематически представлена как

МЕ -» 5 -> С Р ВРБ — С Р -* С -* ЯРБ Р

ВРБ —> С —► 5 —> С,

где С^Ръ - квазипериодическое движение с тремя рационально независимыми частотами.

С другой стороны, такое внешнее воздействие, как вынужденное прокачивание жидкости через пористую среду, разрушает косимметрию уравнений и снимает вырождение стационарных решений. В параграфе 4.2.1 обсуждаются уравнения, а в параграфе 4.2.2 - исследуются слабо-нелинейные режимы конвекции в случае вертикального прокачивания. Обнаружено, что результат внесения "несовершенства" в систему зависит от симметричности полости относительно инверсии горизонтальной координаты. Показано, что в случае симметрии цикл состояний равновесия распадается на четыре стационарных решения. Соответствующие амплитудные уравнения имеют вид:

а = а{Я - а2 - 02) + (М - В)Реа/3, Ьр = /?(Д + Ре2И - а2 - /З2) + Ре{Ва2 + М,в2),

где Pe - параметр прокачивания, a M,B,D - параметры, зависящие от геометрии полости. При произвольной несимметричной форме полости семейство решений переходит в предельный цикл:

а = a(R -а2- 01) + Pe/3, Lf.3 = 0(R -а2 - /З2) - Pea.

Переход от одного вида конвекции к другому при слабом нарушении симметрии полости подробно изучен в рамках слабонелинейной теории в параграфе 4.2.3. Исследованы возникающие при этом стационарные и периодические режимы конвекции.

Возникновение разнообразных динамических режимов конвекции при горизонтальном прокачивании жидкости исследовано на базе 6-модовой га-леркипской системы в параграфе 4.2.4. Численное исследование показало, что при снятии вырождения и разрушении сильнонеодиородного семейства в фазовом пространстве системы образуется четное число предельных циклов со спирально скрученным вокруг них ведущим многообразием. Такие объекты являются зародышами так называемого "спирального" аттрактора и связанного с ним специфического сценария перехода к хаосу. Путем вычисления фрактальной размерности аттрактора в зависимости от числа Пекле прослеживается последовательность бифуркаций на пути к хаотическому поведению.

В этой же главе рассматривается вопрос о возникновении трехмерной конвекции в пористом цилиндре при вытягивании его вдоль оси. При этом пространственные конвективные движения не являются вырожденными, так как исходные уравнения, учитывающие третье измерение, не обладают ко-симметрией. В параграфе 4.3.2 в рамках линейного анализа обнаружено, что трехмерные возмущения становятся более опасными при длине цилиндра, превышающей критическое значение L0 — 0.46 (при квадратном поперечном сечении цилиндра с единичной длиной стороны). В следующих параграфах (4.3.3 и 4.3.4) исследуется вопрос о слабонелинейном взаимодействии семейства двумерных стационарных конвективных движений и невырожденной стационарной трехмерной моды. Показано, что такое взаимодействие определяется следующей системой на пространстве медленных движений:

á = a(R-a2-/32-A-y2), L¡3 = (3{R — а2 — (З2 — Ву2), 7 = 7(jU — Da2 - N02 - G72),

где а, ¡3 - амплитуды двух независимых двумерных мод, 7 - амплитуда трехмерной моды, /л = 1/Хд - параметр длины цилиндра, Д Л, С7, Лг - параметры, зависящие от геометрии поперечного сечения цилиндра. Анализ амплитудных уравнений показывает, что взаимодействие мод ведет к появлению еще восьми стационарных решений, соответствующих трехмерным конвективным движениям. Исследуются устойчивость и характеристики этих движений.

Глава 5. Тепловая конвекция в запыленной среде

Глава 5 посвящена исследованию тепловой конвекции в запыленной среде, т.е. среде, состоящей из жидкости (газа) и маленьких частиц твердой примеси. В параграфе 5.1 на основе обобщенного приближения Буссинеска выводятся определяющие уравнепия, которые имеют вид:

(/» + £>*>) + V • V«) = V • (цё) + цвтТ2+ 50^ ,

(/, + ОБ<р) + V-• ^'Т^ = ~V • {рЯТ) +

+ у ■ 4<р = 5/1—-, щ = ь-3цг, Т$ — Т, ц = \ - <р. о1 ог

Здесь /л,(р - доли жидкости и твердой фазы в единице объема двухфазной среды; v, - скорость жидкости и частиц; Г, Т, - температуры; ось .г направлена вверх. Система содержит четыре известных безразмерных параметра: - число Грасгофа, Рг - число Прандтля, .О - отношение плотностей фаз, В - отношение теплоемкостей фаз и один новый параметр:

9

5

где Са - число Галилея, к - характерный размер полости, г - радиус частиц. Отмечается, что полученная система уравнений является непротиворечивой в том смысле, что ни один из безразмерных параметров, фигурирующих в конечных уравнениях, а также ни одна из их комбинаций не совпадают с асимптотически большими пли малыми параметрами.

Затем, в параграфах 5.2-5.5,' методом Галеркина решается конкретная задача о конвективной устойчивости плоскопараллельпого течения в подогреваемом сбоку плоском вертикальном слое жидкости, несущей твердую примесь. Показано, что количество управляющих параметров для этой задачи может быть сведено к трем: числу Грасгофа вг, числу Прандтля Рг и параметру двухфазной среды 5. Показано, что,.когда Рг < 12.4 и 5 достаточно мал, режим стационарных ячеек, существующий при 5 = 0 (случай

однородной среды), сменяется режимом дрейфующих под действием оседающих частиц ячеек. При дальнейшем увеличении параметра 5 происходит резонансное возбуждение режима тепловых волн, бегущих вверх. Показано, что переход происходит, когда скорость оседания частиц становится близкой к средней на полутолщине слоя скорости основного течения. При Рг > 12.4 оседающие частицы снимают вырождение между двумя, равноправными при 5 — 0, типами волн - волны, бегущей вверх, и волны, бегущей вниз. Обнаружено, что при малых значениях 5 в диапазоне 12.4 < Рт < 37 наиболее опасной является волна, распространяющаяся вверх, а в диапазоне Рг > 37 - волна, идущая вниз.

В параграфе 5.6 делается сравнение результатов с данными работы Дементьева (Дементьев О.Н. Конвективная устойчивость среды, содержащей тяжелую твердую примесь. - ПМТФ, 1976, Вып.З, с.105-115). Выявлено и обсуждается существенное отличие результатов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Исследованы бифуркации общего положения в динамических системах с нетривиальной косимметрией. Выведены нормальные формы бифуркаций изолированного косимметричного и некосимметричного равновесий. В обоих случаях изучен характер ветвления семейств стационарных решений вблизи точки бифуркации. Исследована бифуркация появления интервала неустойчивости на устойчивом семействе равновесий. Возникновение участка колебательной или монотонной неустойчивости не приводит, вообще говоря, к ответвлению вторичных решений.

2. Исследован вопрос о поведении решений в системах со слабо нарушенной косимметрией. Выведена нормальная форма бифуркации в случае разрушения сильно-неоднородного семейства состояний равновесия, включающего интервал колебательной неустойчивости. Показано, что в этом случае от разрушенного семейства, вообще говоря, ответвляется конечное число устойчивых и неустойчивых предельных циклов, а также устойчивых однопериодических и неустойчивых двупериодических квазипериодических решений.

3. Исследованы свойства тепловой конвекции в пористой среде, подогреваемой снизу и ограниченной абсолютно теплопроводными боковыми границами. Изучены характеристики слабо-нелинейных стационарных решений, образующих семейство. Показано, что число Нуссельта является функцией местоположения решения на семействе. Для случая квадратной полости построены конечномерные модели конвекции и исследовано поведение решений при конечных надкритичностях. Обнаружено, что с ростом числа

Релея-Дарси семейства взаимодействуют, перезамыкаясь между собой, формируя в фазовом пространстве сложную структуру состояний равновесия различного типа. Показано, что стационарная конвекция сразу сменяется хаотическим поведением.

4. Исследуются свойства тепловой конвекции в пористой среде с внутренними источниками тепла. Показано, что стационарные решения такой системы также вырождены благодаря косимметрии. Однако, семейство состояний равновесия ответвляется от тривиального равновесия жестко и в подкритической области существует непрерывное множество устойчивых стационарных решений. Исследованы динамические свойства конвекции. Обнаружено разнообразие нестационарных режимов и возможность реализации в зависимости от начальных условий нескольких сценариев перехода к хаосу.

5. Изучены свойства тепловой конвекции в пористой среде при наличии вынужденного прокачивания жидкости через полость. Обнаружено, что в случае вертикального прокачивания косимметрия исходных уравнений разрушается, вырождение стационарных решений снимается. Показано, что результат внесения "несовершенства" в систему зависит от симметрии формы полости. Когда полость симметрична относительно горизонтального отражения, цикл состояний равновесия сменяется конечным числом стационарных решений. При несимметричной форме полости семейство решений переходит в предельный цикл. Изучено возникновение разнообразных динамических режимов конвекции при горизонтальном прокачивании жидкости. Обнаружено возникновение "спиральных" аттракторов.

6. Исследован вопрос об устойчивости трехмерных конвективных движений, возникающих при вытягивании в третьем измерении пористого цилиндра, подогреваемого снизу. Изучено слабо-нелинейное взаимодействие семейства двумерных стационарных конвективных движений и невырожденной стационарной трехмерной моды. Показано, что в результате взаимодействия появляются еще 8 стационарных решений, соответствующих трехмерной конвекции.

7. На основе обобщенного приближения Буссинеска выведены уравнения тепловой конвекции в неоднородной среде, состоящей из жидкости (или газа) и твердой примеси. Решена задача о линейной устойчивости плоскопараллельного течения в вертикальном слое, подогреваемом сбоку.

ПУБЛИКАЦИИ

1. Брацун Д.А. Конечномерная модель конвекции в пористой среде, ! Международная студенческая конференция "Физика и Прогресс", Тезись докладов, Санкт-Петербург, 1993, с.63.

2. Брацун Д.А., Любимов Д.В. Динамические свойства тепловой кон векции в пористой среде. В сб. Вестник Пермского университета. Физика 1994, п.2, с.53-72.

3. Bratsun D.A., Lyubimov D.V., Roux В. Co-symmetry breakdown ii problems of thermal convection in porous medium. Physica D, 1995, v.82 pp.398-417.

4. Брацун Д.А., Любимов Д.В. Тепловая конвекция жидкости с внутрен ними источниками тепла в пористой среде. X Зимняя школа по механик» сплошной среды, Тезисы докладов, Пермь, 1995, с.47

5. Брацун Д.А. Слабонелинейные режимы конвекции в пористой среде III Всероссийская научная конференция студентов физиков, Тезисы докла дов, Екатеринбург, 1995, с.141.

6. Lyubimov D.V., Bratsun D.A., Lyubimova Т.P., Roux В. Influence о gravitational precipitation of solid particles on thermal buoyancy convection Abstracts for 31st Scientific Assambly of COSPAR, 14-21 july, 1996, p.393.

Подписано в печать 25.04.97. Печать офсетная. Формат 60 x84 7i6 • Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 125.

614600, г.Пермь, ул.Букирева, 15. Типография Пермского госуниверситета.

С

)