О существовании дополнительных аналитических интегралов в динамике твердого тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПРОБЛЕМА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ

ИНТЕГРАЛОВ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИЙ ВОЗМУЩЕННОГО:

ВОЛЧКА ЛАГРАНЖА.

§ 1.1. Канонические переменные действие-угол в задаче о волчке Лагранжа.

§ 1.2. Возмущенное движение волчка Лагранжа.

§ 1.3. Теорема Пуанкаре о существовании периодических решений для неавтономной возмущенной системы с одной степенью свободы.

§ 1.4. Существование периодических решений возмущенной задачи о волчке. Лагранжа.

§ 1.5. Теорема о неинтегрируемости: задачи о возмущенном движении волчка Лагранжа.

§ 1.6. Ветвление решений и несуществование однозначных интегралов возмущенной задачи о волчке Лагранжа.

ГЛАВА 2. ДИНАМИКА СЛАБО"1 НЕСИММЕТРИЧНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ.

§ 2.1. Уравнения Кирхгофа и проблема их интегрируемости

§ 2.2. Случай интегрируемости Кирхгофа.

§ 2.3. Теорема о неинтегрируемости возмущенного случая Кирхгофа.

§ 2.4. Вычисление характеристического интеграла

ГЛАВА 3. ЗАДАЧА ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИЙ СКОЛЬЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ПО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ

ПЛОСКОСТИ.

§3.1. Движение тяжелого твердого эллипсоида по гладкой плоскости.

§ 3.2. Асимптотические решения в симметричном случае.

§ 3.3. Теорема о неинтегрируемости возмущенной задачи в симметричном случае.

§ 3.4. Вычисление характеристического интеграла

Задача о движении абсолютно твердого тела как одна из наиболее распространенных в приложениях является одной из важнейших проблем механики.

С момента опубликования Л.Эйлером уравнений динамики твердого тела прошло более 200 лет, и в течений всего этого времени эта задача привлекает неослабное внимание исследователей. В классической постановке, когда рассматривается одно твердое тело сс неподвижной точкой в однородном силовом поле, известны три первых интеграла и множитель Якоби для системы уравнений движения. Для полного аналитического решения задачи достаточно указать лишь один /четвертый/ интеграл. Таким образом, задача представляется весьма близкой к окончательному решению.

В математической постановке задача о движении тяжелого твердого тела сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений высокого порядка. Сущность направления классических исследований Эйлера, Лагранжа, Пуассона, Якоби, Гамильтона, Кирхгофа, С.В.Ковалевской можно характеризовать следующим образом: "ставится задача разработки методов интегрирования дифференциальных уравнений механики и изучаются случаи, когда такая интеграция может быть доведена до конца, и решение задачи может быть получено в замкнутой форме, например, когда интегралы выражаются или через элементарные функции, или в квадратурах, или через те или иные классы хорошо изученных функций" [ю, с. 38*].

В классических случаях Эйлера и Лагранжа вращения тяжелого твердого тела около неподвижной точки решения уравнений Эйлера-Пуассона выражаются в эллиптических функциях и являются однозначными и мероморфными функциями времени, а уравнения движения имеют дополнительный интеграл в виде алгебраической функции переменных. Поэтому полученные частные результаты естественно подвели к следующим двум общим задачам:

I/ найти все случаи, когда система уравнений Эйлера-Пуассона движения твердого тела с неподвижной точкой имеет общие решения, представляющие собой однозначные и мероморфные функции времени;

2/ найти все случаи, когда эта система уравнений имеет четвертый алгебраический интеграл.

Первую задачу в общем виде поставила и решила С.В.Ковалевская, показав, что уравнения Эйлера-Пуассона в общем случае не. имеют однозначных решений, допускающих пять произвольных постоянных и не имеющих на всей комплексной плоскости переменного Ь других особых точек, кроме полюсов; исключение составляют случаи:

1 А= В=С, 3. А=В, ог0 = ^0 = 0, где Д , В 9 С - главные моменты инерции тела для неподвижной точки, X 0 , у 0 , 0 - координаты центра тяжести рассматриваемого тела в подвижной системе координат.

Эта теорема справедлива лишь в предположении, что начальные значения для функций р , С^ , Ч. /проекций вектора мгновенной угловой скорости на оси подвижной системы координат/ и X ,

Г', X /направляющих косинусов вертикальной оси/ являются совершенно произвольными. Если подчинить эти начальные данные каким-либо дополнительным условиям, то можно получить однозначные решения. Случай у0-0, Х0\М(В-С) + 20УС(А-в) = о, пропущенный С.В.Ковалевской, был указан Г.Г.Аппельротом. Но, как показали исследования А.М.Ляпунова и П.А.Некрасова, при некоторых начальных значениях решение в этом случае будет многозначным [29, зо]. А.М.Ляпунов окончательно решил вопрос об однозначности решений уравнений движения твердого тела около неподвижной точки при произвольных начальных условиях и для случаев, когда решения имеют другие особенности на комплексной плоскости, или совсем не имеют особенностей, показав правильность исследований С.Б.Ковалевской и расширив формулировку ее теоремы.

С.В.Ковалевской был открыт новый случай интегрируемости-, в дополнение к ранее известным, для которого она нашла четвертый алгебраический интеграл и дала решение в гиперэллиптических функциях. Дальнейшие исследования в данной области были направлены к выявлению случаев, когда система уравнений имеет ограничения на начальные данные. Это частные случаи движения Гесса, Горячева-Чаплыгина, Бобылева-Стеклова. а также Н.Ковалевского, Гриоли, Е.И.Харламовой [и].

По-видимому, появление в 1889 году знаменитой работы С.В.Ковалевской о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки послужило стимулом к дальнейшим исследованиям по теории движения тела в жидкости" [l0, с. 22]. Несмотря на разницу в физической сущности указанных задач и на различие в дифференциальных уравнениях, определяющих движение в том и другом случае, методы, применяемые для решения той и другой задачи и самый характер исследования имеют много общего. В 1869 году Кирхгофом были выведены основные уравнения движения твердого тела в жидкости, механический смысл которых был позднее детально выяснен В.Томсоном. Примыкая к работам Кирхгофа и Томсона, дальнейшие исследования в этой области были посвящены изысканию случаев интегрируемости этих уравнений.

Существенный шаг вперед был сделан Клебшем, который указал основные случаи интегрируемости. Исследования Клебша вызвали появление ряда работ Альфана, Г.Вебера, Коттера и др. В этих работах результаты Клебша были частично дополнены, а частично исправлены, так как Клебш по недосмотру в вычислениях пропустил в своих исследованиях ряд случаев интегрируемости. Все эти работы носят чисто аналитический характер.

Можно думать, что дополнения к работе С.В.Ковалевской, которые были сделаны А.М.Ляпуновым, послужили поводом к работам и по теории движения тела в жидкости самого Ляпунова и его ученика В.А.Стеклова. Ими были указаны два новых случая интегрируемости, являющихся весьма существенным дополнением к результатам Клебша и подробно изложенных в магистерской диссертации В.А.Стеклова "О движении твердого тела в жидкости" /1893 г./.

С.А.Чаплыгиным было получено частное решение задачи о движении по инерции тела в жидкости любопытное в том отношении, что оно тесно связано с решением задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае С.В.Ковалевской.

В случаях Эйлера, Лагранжа, Ковалевской и в случае полной динамической симметрии четвертые интегралы, как и три классических, являются алгебраическими. Спрашивается, в каких еще случаях возможно существование четвертого общего алгебраического интеграла.

В 1887 году Вруне доказал отсутствие в задаче трех тел дополнительных алгебраических первых интегралов, функционально независимых с классическими /количества движения, момента количества движения и энергии/. Впоследствии П.Пенлеве обобщил эти результаты на случай произвольного числа тел и на интегралы, зависящие только от скоростей и произвольным образом зависящие от координат. В работах Брунса и Пенлеве не накладывалось ограничений на массы тел.

В 1892 году А.Пуанкаре в "Новых методах небесной механики" [зб] указ ал ла отсутствие дополнительного алгебраического первого интеграла системы Эйлера-Пуассона, аналитически зависящего от произведения веса тела на расстояние от центра тяжести до точки подвеса /"параметра Пуанкаре"/ в случае динамически несимметричного твердого тела. В 1908 году Э.Гюссон [.54] усилил этот результат, сняв требование аналитической зависимости интеграла от параметра Пуанкаре. В 1976 году А.Й.Докшевич [15] указал на неточности; в доказательстве теоремы Э.Гюссона и предложил существенно более простой вариант ее доказательства. Работе Гюссона [54] предшествовала его же работа [53], в которой он доказал отсутствие дополнительного алгебраического первого интеграла системы Эйлера-Пуассона для динамически симметричного твердого тела во всех случаях, за исключением случаев Лагранжа и Ковалевской. Таким образом, из результатов Пуанкаре и Гюссона следует отсутствие дополнительного алгебраического первого интеграла системы Эйлера-Пуассона во всех случаях, 1фоме случаев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской.

В 1910 году П.Бургатти [4б] предпринял попытку упрощения доказательства теоремы Гюссона [53], однако, как показал А.Й.Докшевич [15], доказательство Бургатти является ошибочным.

Подробный обзор классических работ по проблеме дополнительного алгебраического первого интеграла в динамике твердого тела содержится в обзоре П.Я.Полубариновой-Кочиной [зз] и в монографиях В.В.Голубева [9], Ю.А.Архангельского [4], Г.В.Горра, Л.В.Куд-ряшевой, Л.А.Степановой [п].

Другой подход к проблеме дополнительных первых интегралов развивал А.Пуанкаре. В своем мемуаре "0 проблеме трех тел и об уравнениях динамики" [37 ] он доказал отсутствие дополнительного аналитического интеграла в ограниченной задаче трех тел, аналитически зависящего от массы планеты. Позднее, в "Новых методах небесной механики" [Зб], Пуанкаре распространил этот результат на общую задачу Я тел. В этих работах рассматривались только первые интегралы, аналитически зависящие от масс планет.

Рассматривая вопрос об интегрируемости гамильтоновых систем, А.Пуанкаре в работе [З?] 1890 года доказал несуществование аналитических интегралов, которые можно представить в виде сходящихся рядов по степеням малого параметра. Отсюда, в частности, вытекает расходимость рядов различных вариантов теории возмущений. Пуанкаре указал также явления качественного характера в поведении фазовых траекторий, препятствующих появлению новых интегралов. Среди них - рождение изолированных периодических решений и расщепление асимптотических поверхностей. Пуанкаре применил свои общие методы к различным вариантам задачи тел. Оказалось, что кроме известных классических законов сохранения, уравнения движения не имеют новых аналитических интегралов, аналитических по массам планет.

В последнее время проблема существования дополнительных аналитических первых интегралов гамильтоновых систем с П ^ 2> степенями свободы приобрела особую актуальность в связи с тем, что на практике отсутствие дополнительных первых интегралов обычно приводит к стохастизации - важному качественному явлению, наблюдаемому во многих задачах механики, физики, химии, биологии и особенно интенсивно изучаемому в последние годы [31]. Кроме того, зачастую динамическими эффектами, препятствующими интегрируемости, является рождение в возмущенной задаче большого числа изолированных периодических решений из семейств периодических решений невозмущенной системы, что дает новую качественную информацию о поведении! возмущенной системы.

Современный этап истории проблемы существования дополнительных первых интегралов связан с работами В.В.Козлова. В 1975 году

В.В.Козлов [22] доказал отсутствие дополнительного аналитического в специальных канонических переменных и аналитически зависящего от параметра Пуанкаре первого интеграла в задаче о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Из этого результата, в частности, следует отсутствие дополнительного аналитического первого интеграла системы Эйлера-Пуассона в случае несимметричного тяжелого твердого тела. Это значительно усиливает теоремы Пуанкаре [зб] и Гюссона [54] об отсутствии; у этой системы дополнительного алгебраического' интеграла. Теорема В.В.Козлова легко; переносится также на случай твердого тела в ньютоновском поле сил. Отметим, что отсутствие дополнительного алгебраического интеграла в последней задаче было ранее доказано Ю.А.Архангельским [б]. Кроме того, Ю.А.Архангельский исследовал случай динамически симметричного твердого тела и показал, что дополнительный алгебраический первый интеграл существует только в случае, являющемся аналогом случая Лагранжа [б].

Доказательство теоремы В.В.Козлова основано на детальном гео>-метрическом анализе множества резонансных торов задачи Эйлера-Пуассона, разрушающихся при малых ненулевых значениях параметра Пуанкаре. Это является развитием метода, использованного Пуанкаре при доказательстве его теоремы.

В.В.Козловым исследованы также другие динамические эффекты, препятствующие наличию у рассматриваемой задачи дополнительного первого интеграла указанного вида: расщепление сепаратрис стадионv нарных вращений тела вокруг средней оси инерции [«25 ], рождение изолированных периодических решений из семейств периодических решений задачи Эйлера-Пуансо [24].

Идея использования гамильтоновой формы уравнений движения для отыскания периодических решений задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой методом малого параметра была впервые peaлизована в работах В.Г.Демина и Ф.И.Киселева [12, 13 ][ для случая симметричного твердого тела в ньютоновском поле сил и в поле силы тяжести.

Обратимся теперь к упоминавшейся задаче нахождения всех случаев /впервые поставленной А.Пуанкаре/, когда система Эйлера-Пуассона имеет четвертый алгебраический интеграл. Работы Р.Лиувилля [49], Гюссона [бЗ, 54] и Бургатти [4б] показали, что четвертый алгебраический интеграл существует только в трех классических случаях /то есть когда общие решения являются мероморфными функциями/. В связи с этим возникла интересная задача о соотношении между существованием однозначных мероморфных интегралов и ветвлением решений в комплексной плоскости времени; ее постановка восходит к Пен-леве.

В 1978 году В.В.Козловым была доказана теорема [23], проливающая свет на связь ветвления решений гамильтоновых систем и отсутствия1; у них дополнительных первых интегралов. Ранее было выяснено, что однозначной связи между мероморфностью общего решения и существованием дополнительных первых интегралов нет. Пенлеве указал пример дифференциального уравнения, у которого решения меро-морфны, но не существует дополнительного алгебраического интеграла [в]. Соответствующие примеры можно привести и для гамильтоновых систем [20, с. 127-128]. Позднее рассматривалось расширение задачи Пенлеве: установление связи между существованием новых однозначных интегралов и однозначностью общего решения. В.В.Козлов доказал, что из неоднозначности общего решения в некотором более сильном смысле /неоднозначности главного коэффициента в рядах Пуанкаре по малому параметру для общего решения/ вытекает отсутствие дополнительных однозначных интегралов уравнений. Причем в случае системы уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки /рассматриваемым как возмущенное эйлерово движение/, это условие, фактически равносильно неоднозначности; общего решения [20]. Подчеркнем, что этот результат не вытекает из отсутствия у задачи дополнительного вещественно-аналитического интеграла и имеет самостоятельную ценность.

В работах С.Л.Зиглина [16, 17] получено обобщение некоторых результатов В.В.Козлова: доказано отсутствие в задаче о движении! несимметричного твердого тела около неподвижной точки при фиксированном значении постоянной площадей и ненулевом:значении параметра Пуанкаре мероморфного первого интеграла, функционально независимого с интегралом энергии, а также детально исследовано рас^ щепление сепаратрис стационарных вращений вокруг средней оси инерции. Кроме того, С.Л.Зиглиным доказаны следующие теоремы:

I/ в комплексифицированном фазовом пространстве задачи о движении ^ симметричного твердого тела около неподвижной точки.меромор-фный первый интеграл, функционально независимый с интегралом энергии: и площадей, существует только в трех известных случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской;

2/ в комплексифицированном фазовом пространстве при- постоянной площадей, равной нулю, мероморфный первый интеграл, функционально независимый с интегралом энергии, существует только в четырех классических случаях - трех, перечисленных выше, и в случае Горячева-Чаплыгина [17].

Отметим, что для постоянной площадей, равной нулю, этагтеорема усиливает теорему А.И.Докшевича [14], в которой аналогичный результат доказан для полиномиальных первых интегралов некоторого специального вида. С другой стороны, теорема А.И.Докшевича является более общей, поскольку в ней допускаются произвольные значения постоянной площадей. Заметим также1, что из этих теорем С.Л.Зиглина не вытекает неинтегрируемость рассматриваемой задачи в действительном фазовом пространстве.

Обратимся опять к задаче о движении: твердого тела в идеальной жидкости. До недавнего времени в этой задаче рассматривался только вопрос о существовании дополнительных квадратичных интегралов. С.П.Новиков в 1981 году в работе [32] расширил постановку вопроса об интегрируемости уравнений Кирхгофа, предложив рассматривать условия существования дополнительного первого интеграла, являющегося аналитической функцией фазовых переменных. Эта задача была решена для случая несимметричного твердого тела В.В.Козловым и Д.А.Онищенко в 1982 году в работе [2б]. Оказалось, что в случае попарно различных присоединенных моментов инерции уравнения Кирхгофа имеют дополнительный независимый от трех классических; интеграл лишь при выполнении некоторых условий на параметры задачи, характеризующих интегрируемые случаи Клебша и Стеклова. Таким образом, в общем случае уравнения Кирхгофа не интегрируемы.

Движение тяжелого твердого тела, касающегося неподвижной гладкой плоскости, было впервые изучено Пуассоном. Для этой голо-номной механической системы с пятью степенями свободы им были получены уравнения движения и указаны четыре первых интеграла. Для полной интеграции уравнений движения недостает пятого независимого интеграла, находящегося в инволюции с классическими. С помощью интеграла площадей и двух интегралов центра масс можно понизить число степеней свободы до двух, и задача сводится к интегрированию автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Эта. ситуация аналогична той, которая имеет место в классической задаче о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой.

По существу известны лишь два общих интегрируемых случая в задаче о скольжении выпуклого тяжелого твердого тела по гладкой плоскости. В первом из них тело по форме совпадает с шаром, центр масс которого совпадает с его геометрическим центром; на распределение масс- нет никаких других ограничений. Движение такого тела в осях Кенига в точности совпадает с движением тела по Эйлеру-Пу-ансо. Во втором случае тело является телом вращения.

Как и в динамике твердого тела с неподвижной точкой, здесь естественна постановка вопроса о существовании дополнительного аналитического интеграла при рассмотрении возмущенных случаев, близких к интегрируемым. В случае разных моментов, инерции твердого тела А.А.Буровым и А.В.Карапетяном в работе [7^ исследован вопрое о существовании дополнительного аналитического первого интеграла1; для тела, близкого к шару, и центр масс которого расположен вблизи; его геометрического центра.

Настоящая диссертация посвящена исследованию проблемы существования дополнительных аналитических первых интегралов в некоторых гамильтоновых системах, близких к интегрируемым. При этом во всех рассматриваемых системах возмущается движение симметричного твердого тела подобно тому как в работах [19, 20, 26, 7] рассматривалось движение несимметричного твердого тела. Диссертация состоит из трех глав, соответствующих трем рассматриваемым задачам.

Первая глава посвящена исследованию вопроса о существовании дополнительного аналитического интеграла в задаче о движении твердого тела с неподвижной точкой в окрестности случая Лагранжа. В §§1.1 - 1.2 введены переменные действие-угол и рассмотрено возмущенное движение волчка Лагранжа. При этом существенно используются результаты работы И.М.Аксененковой [2], в которой даны явные формулы для переменных действие-угол в задаче о волчке Лагранжа /в частности, разложения в ряды Фурье по переменным "угол" направляющих косинусов/. В §1.4 доказано существование периодических решений возмущенной задачи о волчке Лагранжа с помощью сформулированной и доказанной в §1.3 теоремы о существовании периодических решений для неавтономной возмущенной системы с одной степенью свободы, аналогичной теореме Пуанкаре для автономной системы с. двумя степенями свободы. Это усиливает результат работы [1], в которой с: помощью метода малого параметра Пуанкаре указано конечное число различных семейств периодических решений возмущенной задачи: о волчке Лагранжа. В § 1.5 доказана теорема о несуществовании дополнительного первого интеграла приведенных /с: зафиксированной постоянной площадей/ уравнений возмущенной задачи Лагранжа, независимого с интегралом энергии и представимого в виде степенного /по степеням малого параметра / ряда, с аналитическими в фазовом пространстве коэффициентами. В § 1.6 показано ветвление решений при:продолжении гамильтониана в комплексную область, являющееся динамическим эффектом, препятствующим существованию дополнительного аналитического первого интеграла в комплексной области. При этом в отличие от работы [17], рассматриваемая комплексная область расположена, вблизи от действительной области, и неинтегрируемость является следствием ветвления периодических решений, существование: которых было установлено в § 1.4.

Во второй главе рассматривается задача о движении: твердого тела в идеальной жидкости в симметричном случае. В § 2.1 выписываются уравнения Кирхгофа и приводится история вопроса об их интегрируемости. Следующий § 2.2 посвящен исследованию случая интегрируемости Кирхгофа и аналогии В.А.Стеклова; рассматриваются условия существования гиперболических периодических и асимптотических к ним решений, что позволяет в § 2.3 доказать теорему о неинтегрируемости возмущенного случая Кирхгофа с помощью метода расщепления сепаратриса

Расщепление сепаратрис: связано с интересным явлением возникновения стохастического поведения траекторий при добавлении возмущений и является динамическим эффектом, препятствующим интегрируемости уравнений динамики. Критерием расщепления сепаратрис является неравенство тобщественно нулю некоторого несобственного: интеграла, вычисленного вдоль асимптотических решений невозмущенной задачи. Вычисление этого интеграла приводится в § 2.4.

В третьей главе рассмотрена задача о движении!тяжелого твердого тела с выпуклой поверхностью по гладкой горизонтальной плоскости: для случая симметричного твердого тела. В § 3.1 дана краткая; история вопроса и выписаны первые интегралы уравнений движения. Как и в предыдущей главе показана неинтегрируемость возмущенного, интегрируемого случая, аналогичного случаю Лагранжа /теорема § 3.3/. Доказательство проводится с помощью метода расщепления сепаратрис, для чего в § 3.2 получены условия существования асимптотических решений, а в § 3.4 проведено вычисление характеристического интеграла.

Основные, результаты диссертации сформулированы в заключении и опубликованы в работах [39 - 43].

Автор сердечно благодарит научного руководителя профессора В.Г.Демина за постановку задач и помощь, при: выполнении^ работы, а также профессора В.В.Козлова за внимание и: советы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие: результаты:

I/ Доказано отсутствие дополнительного аналитического первого интеграла в задаче о возмущенном: движении волчка Лагран-жа, когда центр масс;- слегка смещается! с оси динамической симметрии,.

2/ Установлена существование: бесконечного числа различных семейств периодических решений возмущенной задачи; о волчка Лагран-жа»

3/ Доказано отсутствие: дополнительного; аналитического; первого: интегралам в задаче: о возмущенном движении симметричного:' твердого тела в идеальной жидкости.

4/ Установлена неинтегрируемость общей задачи о скольжении.-по гладкой горизонтальной плоскости тяжелого: эллипсоида вращениям, центр масс:; которого смещен с оси симметрии.

1. Аксененкова И.М. Исследование возмущенного движения волчка Лагранжа в канонических переменных угол действие. Дисс., -M., 1981, 108 с.

2. Аксененкова И.М. Канонические переменные: угол действиев задаче о волчке Лагранжа. Вестн. МГУ, сер. матем.-мех., 1981, с. 86 - 90,Р I.

3. Аллель П. Теоретическая механика, т. 2. М. : Гостехиздат, i960, 487 с.

4. Архангельский ГО.А. Аналитическая динамика твердого тела. -M.s Наука, 1977. 328 с.

5. Архангельский ГО.А. Об алгебраических интегралах в задаче о движении твердого тела в ньютоновском поле сил. ПММ, 1963, т. 27, вып. I, с. 171 - 175.

6. Архангельский ГО.А. Об одной теореме Пуанкаре, относящейсяк задаче о движении твердого тела в ньютоновском поле сил. -ПММ, 1962, т. 26, выл. 6, с. III6 III7.

7. Буров A.A., Карапетян A.B. О несуществовании дополнительного интеграла в задаче о движении тяжелого твердого эллипсоида по гладкой плоскости. ПММ, 1985, в печати.

8. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. - 436 с.

9. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движени тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М. : Гостехиздат, 1953. - 231 с.

10. Голубев В.В. Сергей Алексеевич: Чаплыгин. М., Изд. Бюро новой техники, 1947, 120 с.

11. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова A.A. Классические задачи динамики твердого тела. Киев: Наукова думка, 1978, 294 с.

12. Демин В.Г., Киселев Ф.Н. Новый класс?,периодических движений твердого тела с одной неподвижной точкой в ньютоновском силовом поле. ДАН СССР, 1974, т. 214, №5, с. 997 - 999.

13. Демин В.Г., Киселев $.Н. О периодических движениях твердого тела в центральном ньютоновском поле. ПММ, 1974, т. 38,1. Р 2, с. 224 227.

14. Дошпевич! А. И. О четвертом интеграле уравнений Эйлера Пуассона. - Механика твердого тела, 1974, вып. б, с. 38 - 48.

15. Докшевич А.И. Об условиях существования четвертого алгебраического интеграла уравнений Эйлера Пуассона. - Механика твердого тела, 1976, вып. 8, с. 57 - 64.

16. Зиглин С.Л. Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамильтоновой механике. I. Функц. анализ, 1982,т. 16, вып. 3, с. 30 41.

17. Зиглин С.Л. Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамильтоновой механике. 2. Функц. анализ, 1983, W. 17, вып. I, с. 8-23.

18. Козлов В.В. Две интегрируемые задачи классической динамики. Вестн. МГУ, сер. матем.-мех., 1981, W- 4, с. 80 - 83.

19. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике. УМН, 1983, т. 38, вып. I /229/, с. 3 - 67.

20. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. M.s йзд-во МГУ, 1980 , 231 с.21.- Козлов В.В. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа.

21. Short commynucations ICM (section 13), Warszawa, 1982, p. 41.

22. Козлов В.В, Несуществование дополнительного аналитического интеграла в задаче о движении несимметричного твердого тела вокруг неподвижной точки. Вестн. МГУ, сер. матем.-мех.,1975, PI, с. 105 HO.

23. Козлов B.B. Несуществование однозначных интегралов и ветвление решений в динамике твердого тела. ПММ, 1978, т. 42, вып. 3, с. 400 - 406.

24. Козлов В.В, Новые периодические решения в задаче о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. ПММ, 1975, т. 39, вып. 3, с. 407 - 414.

25. Козлов В.В. Расщепление сепаратрис возмущенной задачи Эйле ра-Пуансо. Вестн. МГУ, сер. матем.-мех., 1976, Ш 6, с.99-104.

26. Козлов В.В., Оншценко Д.А. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа. ДАН СССР, 1982, т. 266, № 6, с. 1298 - 1300.

27. Ламб Г. Гидродинамика. М.: ГОстехиздат, 1947 , 928 с.

28. Ляпунов А.М. Новый случай интегрируемости дифференциальных уравнений движения твердого тела в жидкости. Полн. собр. соч.,т. I, изд-во АН СССР, М., 1954, с. 320 - 324.

29. Ляпунов А.М. Об одном свойстве дифференциальных уравнений задачи о движении тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку. Сообщ. Харьковск. матем. об-ва, 2 сер., 1894, т. 4, с. 123 - Ш.

30. Незфасов П.А. К задаче о движении твердого тела около неподвижной точки. Матем. сб., 1892, т. 16, с. 508 - 517.

31. Нелинейные волны /под ред. Гапонова Грехова A.B./. - М.: Наука, 1979, - 360 с.

32. Новиков С.П., Шмельцер И. Периодические решения уравнений Кирхгофа для свободного движения твердого тела в жидкости и расширенная теория Лгостерника Шнирэльмана - Морса /ЛШМ/ I. - Функц. анализ, 1981, т. 15, вып. 3, с. 54 - 66.

33. Полубаринова Кочина П.Я. Об однозначных решениях и алгебраических интегралах задачи о вращении твердого тела около неподвижной точки. В кн.: Движение твердого тела вокруг непод- ioo: вижной точки. M.: Изд-во АН СССР, 1940, с. 157 - 186.

34. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М. : Наука, 1967, 444с.

35. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды, т. I. M.s Наука, 1971, - 771 с.

36. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды, т. 2. М.: Наука, 1972. - 999 с.

37. Пуанкаре А. О проблеме трех тел и об уравнениях динамики. Избранные труды, т. 2. М. : Наука, 1972, - 999 с.

38. Раус Э. Динамика системы твердых тел. т. 2. М. : Наука, 1983, 544 с.

39. Сальникова Т.В. Ветвление решений возмущенной задачи Лагран-жа и несуществование однозначных интегралов. Еестн. МГУ, сер. матем.-мех., 1985, W 2, с.85'- 8?.

40. Сальникова Т.В. К задаче: о возмущенном движении симметричного твердого тела. Рукопись депонирована в ВИНИТИ АН СССР, JP 7913 84, 6 с.

41. Сальникова Т.В. Неинтегрируемость возмущенной задачи Лагран-жа. Вестн. МГУ, сер. матем.-мех., 1984, № 4, с. 62 - 66.

42. Сальникова Т.В. О проблеме несуществования дополнительных аналитических интегралов в задаче о возмущенном движении волчка Лагранжа. Четвертое респ. совещ. по проблемам динамики твердого тела. Тезисы докладов. Донецк, 1-2 ноября 1984 года. с. 47.

43. Сальникова Т.В. Об интегрируемости уравнений Кирхгофа в симметричном случае. Вестн. МГУ, в печати.

44. Чаплыгин С.А. Новое частное решение задачи о движении твердого тела в жидкости. Полн. собр. соч., т. I, изд-во АН СССР, Л., 1933, с. 151 158.

45. Burgatti P. Dumostrazione délia non esistenza d'integrali alge brici (otre i noti) nel problema del moto d'un corpo pesante intorno a un punto fisso.-Rend. Cire. Mat. Palermo 1910, t. 29, p. 369 377.

46. Kirchhoff G. Über die Bewegung eines Rotationskörpers in einer Flüssigkeit. J. reine und angew. Math. Crell. 1870, Br. 71, s. 237 - 262.

47. Kirchhoff G. Vorlesungen über mathematishee Physik.Mechanik. Leipzig, Teubner, 1876. 466 s.

48. Liouville R. Sur le mouvement d'un solide pesant suspendu par 1* un de ses points. Acta Math., 1896, Bd. 20, s. 239 - 284.

49. Puiseux V. Du mouvement d'un solide de révolution posé surun plan horizontal. Liouville, Journ. Math. 13, 1848, p.249-256

50. Puiseux V. Solution de quelques questions relatives aumouvement d'un corps solide pesant posé sur un plan horizontal. Liouville, Journ. Math. 17, 1852, p. 1 30.

51. Steklov V.A. Sur le mouvement d'un solide dans un liquide indéfini. C. r. Acad. sei., 1896, v. 123, p. 1252 - 1253.

52. Husson E. Recherche des intégrales algebraiq ues dans le mouvement d'un solide pesant autor d'un point fixe. Ann. d.i. faculté des sciences de l'univ. de Toulouse, 2 série, 1906, t.8, p. 73 - 152.

53. Husson E. Sur unthéoréme de M.Poincaré, relativement an mouvemente d'un solide pesant. Acta Math., 1908, Bd.31, p. 71 - 83.