Интегральные многообразия уравнений динамики сложных механических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Щв 1 9 51 '

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МАКЕЕВ

Николай Николаевич

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ СЛОЖНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.02.01 — теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ — 1992

Работа выполнена в Саратовском политехническом институте.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор A.C. Галиуллин доктор физико-математических наук, профессор В.Г. Демин доктор физико-математических наук, профессор B.C. Новоселов

Ведущая организация - Институт теоретической астрономии РАН, г. Санкт-Петербург

Защита состоится ' %0) - К ОЛ<£рЛ, 1992 г. в 14 часов на заседании специализированного совета Д 063.57.34 по защите диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, г. Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная площадь, 2, математико-механический факультет, аудитория 3534.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " И" 6^1И\Я^рЯу1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

С.А. ЗЕГЖДА

г-есе

ОЕЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Основные предпосылки исследуемой проблемы. Диссертационная работа содержит исследование проблемы существования а построения интегрального многообразия уравнений двкзения с л о-зной механичеакой системы (CMC)[l], величина массы и конфигурация которой изменньтся во времени. Объекты такого рода называются структурно изменяемыми. Движение CMC, тело-носитель которой имеет неподвижную точку, рассматривается в однородном параллельном поле сель тяжести, и происходит под воздействием заданного нестационарного результирующего вектор-момента.

При исследовании состояния CMC последняя идентифицировала с некоторой эволюционной детерминированной непрерывной динамической системой (ДС), функционирующей на основе заданной временной программы. Данная ДС рассматривается как неавтономная нелинейная система с линейно входящими управляющими параметрами. Ограничения, налагаемые на эти параметры, являются управляющими связями, устанавливающими определенный режки состояния CMC,

Движение CMC при таких предпосылках рассматривается как программное регулируемое двизение, реализуемое на заданных управлявших сеязях. Основной задачей исследования является установление прямых обобщенных аналогий в критериях существования алгебраических первых интегралов рассматриваемой ДС и соответствующей классической системы Эйлера-Пуассона для неизменяемого твердого тела. Эта задача фактически сводится к проблеме Зилера-Пуанкаре [2]. На основе установленных аналогий, а так*е найденной совокупности частных решений, строится интегральное многообразие динамических уравнений С'.'С.

Предметом исследования являются алгебраические первые интегралы и точные частные .решения системы' динамических уравнений СЬ'.С. В работе установлены условия существования данных первых интегралов и некоторых частных решений, представленные в форме ограничений, налагаемых на структурные и динамические параметры CMC. Наряду с этим предметом исследования является и некоторые характерные свойства ДС, обладающих данными интегралами, в частности, гомеоморфизм движений, устойчивость по Ляпунову, редукция (приводимость) систем.

| Отлел 1

i " 1

А'.'туальность проблемы. В настоящее время в механике систем и ее прилоаениях все возрастагщуо роль играют задачи динамики и процессов управления механическими объектами с изменяемой конфигурацией и переменным составом. К ним, в частности, относятся:

- задачи динамики в управления движением систем связанных тел, относящихся к структурно изменяемым системам интенсивного типа, функционирующих на основе програшно-временног" обеспечения;

- задачи прикладной небесной механики структурно изменя еаых объектов;

- задачи динамики орбитальных космических аппаратов с раскрываемыми карнпршми элементами и проблемы динамики упра вляеиых объектов с изменяемой конфигурацией, в частности.роботизированных систем;

- вопросы разработки критериев устойчивости по Ляпунову двззенкй структурно изменяемых объектов методом интегральных связок Чегаева;

- проблема глобальной эволвдип Земли, исследуемая с учетом динамики ое литосферных плит, ядра и ыассообмвна с косми ческой оредой-

Возншшоеэнио такого рода задач динамики механических систоа обусловливает необходимость построения обобщенной модели, адекватной данному классу реальных объектов. Такой модели) является структурно изменяемая СЖ, динамические уравнения которой содерзат управляпцие параметра.

Все ати, а такае ряд других цробл&ы современной науки и техники вшнзаат необходимость проведения фундаментальных исследований в области динамики структурно изменяемых механических объектов на основе точных аналитических методов.

Исследование динамики CI-C точный аналитическими методами необходимо п в случаях, когда в фазовом пространстве ДС имеются сингулярные точки, сепаратрисы, разделяющие области структурной устойчивости систем, бифуркационные ынозества в другие топологические особенности.

НаДденнкз элементы интегрального многообразия динамических уравнений CMC позволяют определять характерные свойства этих систем, получать информацию о состоянии СМТ, а такяе ре-

шать другие задачи динамики. Эти вопроси составляют недостаточно исследованную область механики систем.

Механические система, обладающие интегралам движения, является вцрозденньми динамическими структурами определенной коразмерности. Вследствие этого данные система являются носителями определенных характерных свойств. Исследование этих свойств составляет актуальную задачу динамики. '

Особенностью задач динамики CMC является большое количество параметров, характеризующих состояние данн ых объектов [10, II]. Это обстоятельство снижает эффективность применения для решения такого рода задач приближенных и, в частности, численных методов. С другой сторони, совокупность пораих интегралов и точных решения ДС часто позволяет получить необходимые оценки динамических характеристик этих систем [II].

Указанные мотивы и обусловливают актуальность исследуемой проблемы.

Целью работи является исследование проблемы Эйлера-Пуанкаре [2J для C.V.C методом интегральных многообразий [3]. Решение этой проблемы сводится к установлении условий существования алгебраических первых интегралов и частных peseicril динамических уравнений структурно изменяемого объекта, тело-::о-ситель которого движется вокруг неподвпзноД точки.

Данные условия представлена в форме ограничения, налагаемых на структурные и динамические параметры объекта; некоторые из этих параметров являются управляющими. Поиск ограничений, налагаемых на управляющие параметры (управлявших связей) является конечно:» целью исследования рассматриваемой проблемы.

Методы исследования. Основным методом исследования поставленной проблемы является метод интегральных многообразий, основы которого были заложены А.Пуанкаре, A.M.Ляпуновым а развиты Н.Н.Боголюбовы?! и Ю.А.иитрополъскгм [3]. При построении интегральных многообразий применялся метод решения обратных задач динамика твердого тела, основанный С.А.Чаплыгзнш, Д. Ц. Горячевым и развитый А .С. Галнуллинм [4]. Этот метод является одной из форм реализации метода интегральных многообразий в динамике твердого тела.

Изу зние свойств режимов движения СМ2, связанных с их устойчивостью, привело такзе к использовании прямого метода А.М.Ляпунова [5] и метода интегральных сачзок Н.Г.Четаева[I2J.

Вклад авгора в разработку проблемы. Все научные результаты, приведенные в диссертации, получены без соавторов.

Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертации, обсугдались:

- на семинара по механике Института теоретической астрономии РАН (г.Санкт - Петербург);

- на сешнарах по аналитической и классической механике иеханико-ыатенатического ф=ц<уль:ега МГУ имени М.В.Ломоносова;

- на семинаре по теоретической механике ыатеыатико-ыеха-нического факультета Санкт-Петербургского университета;

- на заседании секции теоретической механики имени Н.Н.Поляхова Санкт-Петербургского университета и отделения РАН;

- в других организациях и вузах.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах [14 - 36].

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа содерхи 404 страницы (основной текст работы изложен на 334 стр.) и состоит из введения, восьми глав, заключения, библиографии и дополнений. Библиография содержит 204 источника, а дополнения - сводку основных результатов работн в виде таблиц типов интегральных многообразий, моделей динамических систем и частных решений.

СОДЕЫАШЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Введение содержит краткий исторический обзор исследования данной проблемы в ее классической постановка, актуаль -ность проблемы, цель в основные задачи исследования. Сформулированы основные полегания работы и перечислены области применения подученных результатов. Приведен краткий обзор содер-аания работы.

Первая глава имеет вспомогательный характер и содержит некоторые новые результаты, относящиеся к геометрии масс структурно изменяемого "бьекта, необходимые для последующего. Приводится описание модели структурно взме-чеыых объектов,их классификация; формулируется понятие С .УС.

Описание изменения структуры объекта ои.ювано на ыо-тп-лях, построенное В.С.Новоселовым [8] и М.Ш.Аминовыа [£] и

сводится к следующему. Дана механическая системасК , составленная из двух подсис."м: неизменяемого твердого телаЗСй (тела-носителя) и структурно изменяемой подсистемы в ("рабочего юла"), величина массы и конфигурация которой могут изменять-ел. В силу этого система 5С является структурно изменяемым объектом.

Подсистема Б составлена из циркуляционной и конвекционной йкомпонент рабочего тола. Перенос компоненты 51 относительно тела 5С0 совершается путем ее программного управляемого перераспределения (циркуляция) в;1утри заданной области, а перенос - в виде е^ конвекции с внешней поверхности объекта в соответствии со схемой кассоиаченения, предло-зенной И.В.Мещерским [6].

Таким образом, система ЗЪ в общем случае является объектом переменного состава с непрерывно расходуемом рабочим телом. Тело Зь0 мозет быть реализовано в виде некоторого корпуса, оболочки; компонента - з вдце системы роторов, гяро-силовых устройств, системы взаимосвязанных тел любой структуры постоянного массового состава. Компонента реализуется л виде горящего с нгенной (по отношению к объекту ) поверхности твердого тола с устой'ппзмм фронтом дефлагрятопт.

Механизм пегзнсса компонент 5, , 5, относительно тела «тг "

<Л„ и условия его реализации составляют основу модели структурно заменяемого двяштсокого объекта. Данный перенос определяется заданием полной внутренней программы [7]- упорядоченной система явно задашпк гладких времелнмх зависимостей. Эта система является иерархически четырехуровневым программки.! глассииом, полностью з однозначно опредолягдтя перзнос кемпо-нонт , Б, относительно сКп.

Объект , пдентс^тигспапн^ с данной моделью, является СМО.

Рассмотрели условия структурно-динамического подобия СМ' п стабилизация ее центра масс при изменении конфигурации и кассового состава системы. При исследовании конфигурационных свойств структурно изменяемой пплучеяо видоизменение формулы Рзнкяпа-Рубгпоса — 1,2,3)

связывающей угловую скорость (л)2((д)]) главного оргорепера инерции CMC, отнесенного к неподвижной точке тела ЗС0 , с главный моментами инерции Aj(t) системы и кошюнентами скорости V (I'jj точек подсистемы относительно тела

Обобщены условия К.Силли для стабилизации главного орто-ропера инерции CMC относительно ее тела-носителя. При исследовании зависимости кинетического момента 62 подсистемы 51 относительно тела 3i0 от СОг для одной из компонент 6-гпостроено определяющее интегродифферонциальное -уравнение, что в принципе решает поставленную локальную задачу.

Результаты данной главы устанавливают принципиальную во-зыошзость управления конфигурацией CMC посредством регулирования ыассопареноса компонент St , Sz рабочего тела. В частности, на множестве допустимых управлений достижима стабилизация относительно тела-нооителя центра касс CMC и ее главного ортореиера инерции при изменении конфигурации и состава системы.

Вторая глава содергшт постановку проблемы исследования я связанные с ней вопросы.

Динамические уразненпя CMS, тело-носитель Ж0 которой дзелэтся вокруг неподвижной точки 0 в однородном параллельное пол в сшш тягестз напряненясстп 0, , тюят вид:

Y + ¿xf= 0, (14)

¿до

J(t)= diaff (AjlXv^-rP, ■ s(t)=Mzc(xi),

Joj + fr] Я=со+сJT'ff+A (j i,2,3).

Здесь: u , L - кинетический ыомант C''n, и главный момент внешапх сил относительно ползоса 0 , действующих на снсте?,гг

(L

обусловлеа квазираактшзЕьгли силами, возникающими при переносе части Si относительно 3ia , реакциями связей и нестационарная возмущениями); 'j- - орт вертикали; Л - оператор

инерции С"С для точки 0 ; М_, 1С - величина мгосы и барицентрический вектор гак?-; со , S5 - абсолютные угловые скорости

тела Зъо и главного орторепера инерции CMC для точкг 0.

При задании полной внутренней программы [7] ДС (I) аналитически замкнута по G , j , а параметры L , S , X могут рассматриваться как управляющие, подчиненные некоторым ограничениям (управляющим связям).

Для ДС (I) могут существовать (основные) первые интегралы:

llfII =1 (2), (Н= const), (3)

i&<J0fli+%'■& +fts*-f) = h Ch=const). (4)

Утверждение. Для того, чтобы равенство (3) при любых допустимых Jf, X и равенство (•!)' в классе подобно изменяемых. CMC при Lt=0 являлись первыми интегралами ДС (I), необходимо' и достаточно, чтобы при [t0)+c>o) выполнялись:

для равенства (3) - условие

f-Г=0; (5)

для равенства (4) - условия

= 0, (в)

I (t)-J =j\ut)E, -fir = ~jt = -jr (*), (?)

где E - единичная матрица.

Условия (5), (6) определяют ортогональные по "у , Q ре-.чимц регулирования момента L , реализуемое системой автоматического управления объекта, а соотношения (7) - структурко--динамическое подобие CMC, т.е. реономно - гомотеткческий закон изменения параметров ДС с коэффициентом JH, . При выполнении первого условия (7) эллипсоиды инерции CMC, отнесенные к точке 0 , в каждый момент времени образуют гсмотетпческие фигура с центром гомотетии 0.

Интегралы (3),(4| совместны при одновременном выполнении условий (7) a Lx(Sixf) = 0.

Основная задача исследования в терминах механики систем сводится к следующему. Пусть для ДС (I) существуют некоторые основные интегралы (2)-(4), Определить стру-ктурно-„..намические ограничения, налагаемые на параметры CMC, при rcoTct.sc существуют независимые и совместные алгебраичес-

- Ш -

кие дополнительные перине интегралы и многообразия частных решений данной ДС.

Данная задача является видоизменением одной из обратных ■уйлач динамики твердого тела, сформулированных А.С.Галиулли-ныы [4]. В частности, ее можно рассматривать как задачу замыкания подсистемы (I ) по заданному интегральному многообразию (3),(4).

В третьей главе рассмс рены условия существования линейного по дополнительного первого интеграла

X-&=h С h= const) (8)

ДС CI), где 3e(t)e^c'[t^+co) - неизвестная за-

ранее вектор-4ункдия, причем ||3fc|| +0.

Утверждение. Для того, чтобы равенство (8) являлось первым интегралом ДС (I), необходимо к достаточно, чтобы выполнялись условия

(9), XjX-L) 0, (Ю)

J X, *

kj+(-1)hnijZj=0 (ID. т^-т^-т^х^ О, (ш nVeA=0 аз) с j = 2,з),

где ( j = 1,2,3)

fCtf-Z+Zxx, к(кp=2Z*f, т-гСгСь^

Интеграл (8) выракает инвариантность величины |ЗС|-Пр-fr. Количество независимых параметров интегрального многообразия в определенном смысле характеризует его_общность [ю]. На 16 комаоне»: параметров ( Л , X , S , Я, L , h ) , содерзащихся в равенствах (8)-(13), ограничивающими соотношениями налагается не более восьми ограничений.

Утверждение. Условия (9)-(П) являются достаточными для существования первого интеграла (8) ДС (I) в каздом из следующих случаев структурной симметрии:

- при центральной ..мметрии, когда

J(t)=4(t)E; (i4>

- при осевой симметрии вида

= kfrit), Xj(i)=*X j+,Ct) = fl (j =1,2,3), (15)

когда X коллинеарен осп структурной симметрии CMC. При условиях (15) интеграл (8) принимает вид

Найдены аналоги классических линейных интегралов и вссле-доганы свойства ДС, обладающих этпми интегралами. Условия

fc=rc = Q, *>еФ0, = 0 (16)

составляют критерий существования аналога гптограга Даграиг.а для ДС (I) f

Ш = + I Lcs)ds. (17)

J i J J

о

Приведет! условия существования аналогов интегралов Гес-са и Грполл

Хс^ + Х^&з^Ь (18). (19)

В сглатаэ от классического zrji".i для нзг.^оляе.^ого твердого со^а [2], в птеграг.о гп:а Гсог.а, rs-i C"Z Çîfï), гесбг.э го~орп, Il !т!1 . В с!:лу этого п'г.аяьасЗ кгпэтпчзс.тлЗ :.:е:зпт CÎ'C не ра-оаолепэя п плоскоогл г.ругсгого сечэггя сз ггр"дг.с;пгого злхпз-СОЗПС э ТСГКЭ 0.

3 рззглэ Грг1.--'.йла [1С] na^jciw условия с7ц;ст^сзангк: паооходплое для пнгзградз вида i: достаточное для

лзпзйного' пцтогрзла частного дпда sa сор:сс"1з::.

Харжерцод сссозаностьэ лаве&зого Преграда ДС (I) является iai;v, устанавливзацпЛ, что ого судЕствсгацпз ;:э связано СО СТруГ.1урП!Д! или ДГЧЕМЧЗСКГ« aasofccu СГ.К в оглпчпо от некоторых нелинейных интегралов.

Таким образом, на програьхдех ограшлепзях лено&пЯ пя-теграл (8) ДС (I) суксстзует:

- для цептралъной_структуряой спг.изтрпд (I4)_v- прз одной свободной компоненте А, и при двух пагопежгох L ;

- _прп осевой структурно-динамической симметрии типа (15), когда X коллинеарен осп симметрия, несуцеЗ центр масс СШ,

- со свободным параметром Luc одной свободной компонентой л, (интеграл - представитель (17) при условиях (16));

- *з случае Гесса - со _свободными компонентами параметров: одной для А, в двумя для L интеграл - представитель (18));

- в случае Гржиш - со свободными двумя компонентами каждого из параметров Я , L (интеграл - представитель (19)).

Четвертая глава содержит необходимые условия существования систем независимых линейных интегралов ДС (I). К таким системам относится аналог системы В.А.Стеклова с интегралами Gj Ф О s, &¿-0f существующий при условиях

24,=Д4) xcf = xc3 = o, (го)

В этом случае из ДС (I) выделяется определяющее для уравнение

гае ; штрих означает ДЕф*зрекшфованне по 'С ,пр;

чей fl^, , £р - заданные функции X , где

Jfiuds.

Если Я ~ L —0 и выполняется условие структурного по-до{Зея П.= И, , то ДС (I) при условиях (20) приводима по A.M.

Г 1

Ляпунову 15] у. состояние C1.S гсмэоморфно состоянию некоторого эквивалентного гиростата, двпгеаив которого тппологачзекя э ЕЕБ&лентно гашхецвэ '«аяткгка Ду^фяпга (ели его ЕгдоЕзиененпя;

Pacciiorpaa вопрос о существовании- системы линейных интегралов ДС (I) прл каятЕикооОразисм ДЕкгхнтш главного базиса инерции CÍ.ÍC. В эгоа двпгенЕВ углы Эйлера пли 6 ~ б"

и существует два линейных по 6j везшшсздык первых интеграла ДО (I). ЫаятпЕКСобразное детютпеэ как собирательное понятие включает обобцонпов ^лаягнвксзое и прецессионное маятниковое движения. Каздсо кэ hex являотся суперпозицией собственно пре цессионного движения главного базиса вокруг вертикали с либо маятникового по 0 движения вокруг горизонтальной оси, лпбо собственного вращения.

В частности, обобщенное ыаятниковоз движение, при которое &3~0 , необходимо существует на управляющих связях

* Здесь и всюду в дальнейшем нулевой индекс относится к значениям величин при t=0 или при ¿ = í3.

\cose- x3sin8 = o, L,sin9 + L/ose = о

и - лючает маятниковое по 0,7 движение, гдо

T=jf Л ~x\s)ds, (22)

а уакзе прсцессврованго вокруг ввргзкалз плоскости иаятишсо-» 'У_Г< колебаний со скоростью

ф = XjSitl'o =X}cos~'o.

¡¡оказано, что каятникэобразиов по 0 , Т д^ххенло глав-лого базиса CMC и дтпрение некоторого гипотетического ;.'алтаа-ли (аекзмецяеного тазрдого тола), происходящее в паралдально': ::-эигац2оцаршул поле с?лн тягости, rcaecioptau по в , Т .Еслч «ыаолшшгся условия неполного структурного подобия tl ~tn „::со iij— П , либо П. = П.! , то аггсеике главного базг.са СМО .-апологически оквкзалентко со в , Т ;ш'л'з,ч;:э маятника Ду.5-faura. Прк этса да* оОсСдсаного маятникового дпгсеякя OlpH,)~ ,'iS3J , a 'i спргд.-;л>:а?ся рааакатаом (22);-для щтив-.csouiioro маятникового длкчеш'л (lXv flt) ~ 4IJ С5„ S,) , а Г оарвдиодгси poseucTLOM (

г = |/]г \s)cjs. (22')

"

ласамотрааа ДС с трамл лппеппщп интегралами

= а) = &,;, ш = (23)

o-j •¿доллар« каазаатадасаагаса ссстсяш-.о CMC в гггл'.ме мелл [12], когда 1L'! -с= 0 . Необходимое условие суп.о-атвовання состояния (23) для ДС (I) вку-лается равенством

L(t) = jr'(Opx£c + X(t)xp,

сарэделяадим квазкгароскспическай силовой момент, ортогональ-::иЛ плоскости векторов й, 6- 1

На несущих поверхностях пространства состояний CMC ( , t ), определяющих многообразие состояний (23) ДС (I), из многоства возможных управлений з порвем приближении выделены области устойчивого по А.М.Ляпунову [5] квазистадионарного состоял- . Найдены достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости состояния = (ктО,

И? множества возможных состояний (23) ДС (I) выделены ее регулярные и иррегулярные состояния. Для первых в пространстве состояний существуют изолированные & -оси (осп, для которых & является направляющим вектором), а для вторых эти осп образуют континуум. Каддый из этих классов 6- -осей соответствует определенному режиму реализации состояния (23), существование которого обусловлено заданием определенных структурно -- динамических условий. При этом необходимо асимптотически ус-той'-швкмн являются только иррегулярные состояния, реализуемые па специальных управляющих связях.

В пятой главе рассмотрены состояния. CMC, при которых ее главный базис совершает как регулярные по углам Зйлера В ,(р, ф дпехсцея, хан п движения типа регулярных. Эти двияэния обусловливают существование первых интегралов ДС (I), линейных по 0 , f , (р ; Ó , f , ([■> . Задача построения этих интегралов сводится к определении ограничений, налагаемых на стру-ктуряо-динамичесние и управляющие параметры CÜC.

Нсслодз е-;,;ая ДС при 7^=0 определяется уравнзкптш 0 = £6-m3SúieSinltf + ?.1C05(f>-?i Sitbif +

+ 6r4Lst/C0SlfJ-L1SiH.(f>), (24)

1¡>=6(A~-A)cose ~Q-cty8 + X3+-• +CG-sía0)"lCL}Cos^ + L.sia</j)} ф-6-Л + Q-sin'e " ^{(L^os <f>+ L¿ sin. <p)-•ctye + L¿cty§]7 0<(В,§)<зс,

где

Л = ¿~Wf> + <CC0S Q = XjSifl <f> + XgCOSf, 8 , (p , (p - утлы, опредедяюцие ориентацию _ главного базиса CMC относительно неподвижного одораого базиса; $ = 6-),

На основе ДС (24) поручены необходимые условия существования указанных движений, классификация которых приведена в следующей таблице.

Регуляр,:лационная классификация угловых движений главного базиса СМС

Обобщенные Движения типа регулярных

Прецессия Нутации Маятниковые движения Регулярные движения

Основное 3=6° (базовое) условие

обобщенная прецессия • 0 ф=(р полурзгу-лятшая • 0 и> — <р 1 1 кваздрогу дярная ■ 0 ф-ф первого рода ф=ф"ф=1р, регулярная прецессия

0 = 8° обобщенная нутация • а квазирэ-гулярная 0 = 0° полурегулярная 9-ва второго рода 0=6° у = <?', регулярная нутация

сбобданн ^е «'аятникоЕое дэилонлэ Замечание. Для движений типа гегулмрнпх и основному условию следует присоединить очно из псмзезшшх в данном столбце. 'Р=9°,ФгФс, 0=3" рзгудярнсз маятнлковос ДЕ'.таениз

Указанные условия существования представлены в форме ог-раняченлЗ, налоленншс па сгруятурниэ V. упразхягддз параметра СЖ. Показано, что для гегудярнкд дввзэнзЯ главного базиса прз "И1Ф0:

- в общем случае суяэсгвугт "м?длешни" я "бнетрно" скоростные рэллшы; __

- одна из проекций апекса вэктора W—JX па главную ось инерции СМС движется как одномерный линейный осциллятор, находящийся под нестационарным силовым воздействием.

Эти полозения относятся н п полурегулярной по Гряоди прецессии, причем последнее - к величине М(С03 у- К^ЗгПгр прз

А,=АХ, =

В аестой главе исследуется вопрос о существовании нелинейных первых интегралов ДС (2). При 2С~0 рассмотрен кчаяра-

тичниЧ по первый дополнительный интеграл

+ = Ь (Ь-СОггэО, 125)

где = Ш, Щц.(V)] еЕЕ С1 [ , + с>о) -

- произвольные пока функции, причем ТъК^О,

и о

Пусть = Ж + V. 1 + 2К-Г , С = к 0с,0,

^ (а..х а¿=[П1]Т,

г - ггц ^ (с: с (I=х >2 (3).

Утверждение. Для того, чтобы равенство (25) при 2С — О являлось первым интегралом ДО (I), неойходаю и достаточно, чтобы выполнялись условия

эе-Г Нзс~'з(26), х'^х^о (27)

(28), К-Ля=о (2Э)> и~*£*1уШ,=о ."(зо).

Данный критерий пра К^К^К^ФО сохраняется, если к условиям (26)-(30) присоединить ограничения

где = + зе.

У __

Интеграл (25) выраяает условие 1 & |" Пр^ £2 Г=ССП5,где

й ~1КЬ"1~ЗС - угловая скорость некоторого гипотетического твердого тела, вращающегося вокруг полюса 0 . На 16 компонент параметров (.К, Л, Ж-,/1,1*,К) , содержащихся в равенствах (25)-(30), ограк-чиваюцрши условил-пи налагается не более десяти ограничений.

Утверждение. Достаточными для существования первого интеграла (25) ДС (I) при 1е~0 являются:

- условия (26)-(29) в каздсм аз следущих случа.а:

1) при центральной структурной симметрии (14);

2) в случае осевой структурной симметрии вида

3) при структурных условиях

K(t) =(xct;E; cJ~'(t)) (c=const ф о); ш

- условия (26)-(28) вместе с перзим условием (33). При Ъ^О критерий существования интеграла

&-К-& + зТ- (]■ + j (S-f) = h (31)

ДС (I) сводится к условиям (26)-(30) совместно с

s- X~':ins + s* f(2K Г%+ к- я]=0. (35)

Ограничение (35) при втором услоеип (33), где 2C-I, становится программна и ого могно рассматривать как балансировочное уравнение для S.

Рассмотрены условия существования неполных кведратичшп интегралов ДС (I), в частности, интеграла

+ = к (35)

арн 1C=L~0 . Необходимое условие существования интеграла (36) сводится к соотношении

t

w(t) = ш°+hH~1fsin'2d(s)d3 (о<в<зс), ' о

где ¡1,Н^0- постоянные интегралов (36),(37).

При ортогональном по Cv релиме управления вектором L , совместимом с компланарны?.! но У- , J управлением параметрам S , существует первый интеграл ДС (I) типа патеграла Эйлера

!l&f=H~ (H=con.st). о?)

Для ДС (I) с инвариантной нормой (37) п с интегралом (4) получен аналог интерпретации Пуансо сферического движения, распространенный на структурно подобные CMC. ___

В коллннеарном по S- резкие управления вектором L ,ко-

гда L=k,fr , где kCt)e=C0[te>*«0 . для ДС (I) при Тс=0 существует первый интеграл ^

ШЯ = M=6-'+flClds. (38)

о —

Показано, что для определенных управлений /Kt) ДС (I) с интегралом (33) приводима к ДС с инвариантной норыой (37).

Такка образе:.:, на птогра\мцых ограничениях квадратичный интеграл ДС (I) при существует в следующих формах.

1. В фор:е (25) - для ка-дого из случаев: при центрально!; (14), осевой (32) структурцой__с1а:.'.;етрип, а такие при структурных условиях вида (33). При этот интеграл существует в тех sa случаях па центрально-полярнс" аксодде (31).

2. В фориа (34),__когда, вообще говоря, ,- в случаях, отнесенных к режиму 7С~ 0 , при условии (35).

3. Б формо

Q-6--H (h=const), (39)

БаТвХЕВКЦОЙ из (2ь), при ЯС — Хг втором условии (33) для C = f. Этот интеграл определяет инвариант 1&1Пр_£2 = const. Неполный интеграл (39) в йорглз ^

A>i Ь №! ф 0) (зэ ••)

cygacsByoi для CMC, ыезздзй ось .руктурной зкиетрзЕ, еслз ?. , L кшаазюарны этой оси или гоздественно равны пули.

В 4'ораил \37),(£3)- при ортогональное и полтангарчои по соответствию, рагтах управления вектором L.

Рассаотрац возрос о существования дополнительного первого интеграла ДС (I) при структурных условиях

A=4a-2f'J3, XcVo, X* =ХС3 = 0 (k=i;2).(40)'

Критерий существования первого интеграла

Н - 4 - 2 n^f = h-l <41 >

ДС (I) внразает система условий (40) при к = 1, Х=0, — L^—0, М^^Л ^S, =n,J. Последнее условие в линейном приближенно устанавливает ззоэнергетячиость некоторого фазового

линейного осциллятора с собственной частотой ù) = y-n°t . порождаемого ДС (I).

Система условий (40) при К = 2, X = L = О, П^- (l"v Н=0, где II - постоянная интеграла (3), образует критерий суиест-зования первого интеграла

bn^fy-h №)

ДС (I). Равеаства (41),(42) являются аналогами классически* интегралов С.В.Ковал&вской н Д.Н.Горячева - С.А.Чаплыгина для ценэмэпяемого твердого тела [2]. Если в т'нтеграло (42) Н~0, то для ДС (I) существуют слэдугако тссвнзвкэ первш интопзэли (.1 = CGIISt)'- л ъ

hЧ^о.

Характерной особенностью существования интегралов (41), (42) а их уровковнх многообразий .является наличие уолсвкн 1Ц= ilji выражающего неполное структурное подобие CMC но параметрам Д , S, • В силу этого ДС (I), обладающая даншдзп литогралачм, пряводс-'а по А „'¿.Ляпунову [5].

Глава седьмая содорап? задачи о построении честных решений ДС (I), их взашсзгязп с первв-га интегралами данной ДС л вопрос о приводЕмоота зтой системы.

Построение частных решения ДС (I) осуществлялось сдагдуэ-цшлн способами.

I. На основе модели линейного осциллятора, порождаемого ДС (I) в -пространстве ее состояний. Тигшчнсе решение - представитель зтого класса существует прп центральной структурно:!

симметрии CMC (14), когд 1—0. На ушавляюцей связа

о ~ ~Ь

— cofsia (б+сС), CûSfd+cGj], iï^fljds, (43) где (CO,d)=CCtlSt, из ДО Ц) ввделяотся осциллятор

где Ыь=а1)г+(Ц)1Ф0, FM^L + l^-^Ly

Прп L1=-2fl&1 (k=C0llSt>Q) на спязп (43) ЛС (1±) порождает осциллятор ., К

(ф = (44)

Для установления некоторых общзх свойств ДС на фазовой Ш100 кости вводится обобщении:', осциллятор, соответствующий ДС (44) при Ф = 0 , у которого (шСЦкШЗ^СС'.С0)^/©0) и ограничены ( и) - вместе с СО ).

2. На основа существующих первых интегралов ДС (I). Одним из решениЛ^этого класса является решение ДС (Т ), полученное при гс=Г=0, А<А<Аи о=лрп\!п,1г = -1д,(сС-б) (сС-С0п5Ь) ■ ч-десь для ДС (11) существует первый интеграл +

а так^о интвграл (37). Тогда цхвс? ас сто решение

= С05(й~<1)] , 145)

г

&з=-/-/■ $.4 = НПП' шШ-ЛМ1*,

а

где СОИ2Ь . Решит 'А5) соответствует ориентация главно го базиса СМС, определяемая углами Эйлера

где (}С1 - ск^вол гудерц&ниана. Пр:: зтот базис соввр-

¡иаьт полуреаулграу» по Т прец&зсЕЛ в скислз Грзоли [12] "Г определяется равенство:,; (22 ).

3. В случае, когда ДС (I) не обладает до полни те ль и ¡¿г и алге0раичэскЕ:.1и П2рвь~.;к интегралами - на основе выделенного из данной ДС уравнения, построенного для одной из компонент

. Примерам является случай, при которой для Дх,

О из ДС (I) наделяется ингегродийвренцкальное уравнение относительно &3:

&-[х;1 г.-гст^ ~ =

= й-Х%[1+(1 + %1)(т1(>Г%3)]{Р, 146)

\де

d = L^ \LrXtLr(V hhKL,, , f = expJ(m1(}3-X3)Zds,

Уравнение, аналогичное уравнению (46), строится п при

Рассмотрена асимптотика малых движений зектор-мсмента б-в окрестности квазисгашюаарного состояния CMC (23) при определенных управляших саязях, надсзенни на компоненты параметров X , L . Исследование ei'irc двоений сводится к рассмотрения ДС в вариациях IiJj — II, ъ}-^—LI'.

U?, = ъ)%, ^, = -0Г(ЬЫи (47)

где LL - возмущение компоненты ; 03(in^(tJ, ?„(i),

UtjjeC'^+co) .причем со(ь)—-?'\1 n.(t)' (-9=con St>fl)

Осциллятор (47) на фазовой тЛ -плоскости при опрэделен-ншс структурно-дпнампческпд условиях обладает асимптотическими при i—" + с<> п при решениями. Зтн ротация соответствует itax осциллкрусдди, гак и нессциллируг-дг.м состояниям ДО (47).

Глава восьмая содер.тэт анализ проблемы полноты инспест-яв дополнительных алгебраических вервие интегралов ДС (I) врп постппляиной задали, Нсследопалнз я г его вопроса ос-aca"i;o 'ta методике, зрпм.зпешмй в работа [13]. Р.:аас?ся ела-зздаг.а. определить сгрук?7рио-Д1и:г.'пчсс:гпз и упрзвля-r-агл условия, при котор'Л для ДС (I) га мцелеетво [t ,+ со) могут супсстЕсвагь новт дополнительные алгебраические нервна ивтегралн, помимо указажшх знгпз. Получелн следувдиэ результат и.

I. Каидпй из дополнптельннх алгебраических первых п.что-гр-алов ДС (I), суаествугдюс па многообразии допустимых значений структурно-динамических параметров CMC, содержит только часть компонент lt(6j), ^(fj)-

?. Интеграл, содерп-лщий одну компоненту B-j , является аналогом интеграла Дагракааа (15'),(17). Интеграл, содорлацкЯ только одну компоненту if. , но существует.

3 Интегралами, содержащими две компоненты В- , являются неполные линейный (3) и квадратичный (25) интегралы типа (18), (19),(36). Интегралы, содержащие две разноразмерные компоненты , у. , или две величины ^ • н0 существуют.

4. Интегралами, содержащими три компоненты 6-j , являются полные линейный (8) к квадратичный (25) интегралы. Представителями этой группы явлчются интегралы (Э7)-(ЗЭ),(ЗЭ ). Интегралы других форм, содержащие три коьШоненты 6j , jj , не существуют .

5. Интегралом, содержащим четыре компоненты, образующие пары ( Sj , у- ) с одинаковыми индексами j ¡=1,2,3, является аналог интеграла Ковалевской (41). Друпя независимых интегралов данного типа нэ существует.

6. Интегралом, содержащим четыре величины: три компоненты и одну у. , является аналог интеграла Горячева-Чаплыгина (42). Других независимых интегралов данного типа ДС (I) не имеет.

7. Интегралы, содорлащве одну компоненту в три величины . а тшжо содарзащио более четырех компонент 6■■, у., нз существупт. " 11

Итак, iia лзбо:.; дспусгсгон киогообразпп структурно-днпа-ьзческих п управляющих параметров ДС (I) кэ существует ее ко-виэ дополнителькыз елгебрапчсскиз нервно интегралы, нэзавге?-мыа по отношению г. правздепнш вншз.

В Заключении сй-ор^глпрованы основные результаты, приведенные в диссертационной, работе.

В разделе Дополнение дана сводная таблица представителей интегрального шогообразия исследуемой ДС: основные п дополнительные алгебраические первые интегралы данной ДС; модели интегрируемых ДС и некоторые их частные решения, а также асимптотические интегральные многообразия динамических подси стем, порождаемых основной ДС. Указаны условия, при которых существуют представители данного многообразия.

ОСНОВНЩ РЕЗУЛЬТАТЫ, СОДЕРЖАЩИЕСЯ В ДИССЕРТАЦИИ

Общая характеристика осиовншс результатов проведенного исследования сводится к следующему.

1. Пусть исследуемая CMC, находящаяся в однородном параллельном поле силы тяжести, идентифицирована с некоторой аналитически зашшутой эволюционной детерминированной непрерывг ноЗ ДС, содержащей управляющие параметры. Тогда для данной ДС при определении условиях существуют независим' ч алгебраические первые интегралы (основные и дополнительные) и многообразие частных решений. Эти условия выражаются в форме ограничений, налагаемых на структурно-динамические и управляющие параметры CMC.

2. Дополнительные алгебраические цзрвыз интегралы данной ДС являются интегралами:

- линейными по , сушествуящгал в случаях центрально;! 3 осевой структурио-дина^ичоской сн.'.'Л'.вгрии CMC; при обсбщен-них структурно-динамических условиях Эйлера, Лагранха, Госса л 1рнолн, а гакхэ на лянсЗнсЛ относительно сервосвязп;

- квадратичными по Sj , существующими при центральной н осевой структурно-динамически:! симметрии CMC, а тпю.'.е в случаях центрально-полярной аксовдальнсста, структурной изотропности и 'Кваэионергетичности, определяемых условиями (31) ,(33), соответственно;

- интеграла*.:;! высших степеней, яеяяекичися обобщенными аналогами классических интегралов Ковалевской и Горячева -- Чаплыгина.

3. Для ДС с несколькими независимыми первыми линейными интеграла1';! при определенных структурно-динамических условиях существуют состояния:

- с двумя интегралами - обобщенный аналог движения Стек-лова з ыаятникообразныз движения;

- с тремя интегралами - стационарные по движения.

4. Исследуемая ДС, обладающая полнил (по всем компонентам группы определяющих параметров CMC согласно (7)) структурно-динамическим подобием, приводима по Ляпунову [5J и порождает го- аморфизм (топологическую эквивалентность) движений данной ДС и некоторого гипотетического неизменяемого твердого тела.

Неполное (по части компонент параметров CMC) структурни--динамическое подобие в совокупности с дополнительными ограничениями обусловливает существование первых интегралов данной ДС, нелинейных по компонентам &. или по углам Эйлера и их производным.

5. Главный орторепер инерции CMC, находящейся в режиме автономного регулирования по Грамм ело [12], при определенных структурных и управляющих связях совершает регулярные движения и движения типа регулярных. Эти движения соответствуют состояниям ДС, при которых система обладает первыми интегралами, линейными относительно углов Эйлера и их производных по времени. К движениям такого рода относятся некоторые прецессионные, нутационные и маятниковые движения.

6. Для исследуемой ДС в случае Эйлера существует многообразие ее частных решений, построенное на основе:

- модели линейного осциллятора, порождаемого данной ДС в пространстве состояний при налички структурной симметрии CMC;

- существующих первых интегралов данной ДС;

- определяющего ингегродифференциального уравнения для одной из компонент &■ , имеющего место при структурной симметрии CMC.

7. Полное множество независимых дополнительных алгебраических первых интегралов исследуемой ДС содержит обобщенные аналоги классических интегралов Эйлера-Жуковского, Дагранжа, Гесса, Гриоли, Стеклова, Ковалевской, Горячева-Чаплыгина, а также аналоги интегралов маятникообразных и перманентных движений.

Hct-..зна результатов исследования. В диссертационной работе построено интегральное многообразие динамических уравнений структурно изменяемой CMC, находящейся в однородном параллельном поле силы тяжести, тело-носитель которой движется вокруг неподвижной точки. Тем самым:

1) решена проблема Эйлера-Пуанкаре для динамических уравнений данной CMC в кла.-е алгебраических интегралов;

2) найдены представители многообразия частных решений неавтономной ДС Жуковского-Пуассона;

3) установлены некоторые характерные свойства движения

CMC, соответствующая Д.' которой обладает дополнительными первыми интегралами.

Новизна результатов исследования определяется новым ре-пением поставленной проблемы, составные части которого перечислены выше. Это решение расширяет известные представления о модели (в широком смысле) интегрируемой неавтономной ДС, адекватной исследуемой CMC.

Теоретическое и прикладное значение результатов работы. Решение поставленной проблем;; позволяет сформировать основу для построения обобщенной модели механических объектов определенного класса. Характерными классификационными признаками этих объектов является:

- изменяемость во времени структуры и состава массы, реализуемые на основе программно-временного обеспечения;

- сложность (нногокомдонентность состава) объекта;

- наличие управлявших параметров.

Примерами объектов - представителей данного класса, описываемых этой обобщенной моделью, является; система шарнирно взаимосвязанных твердых тел, тело с присоединенной системой осцилляторов, гиростат, твердое тело с горячей поверхностъз.

Построенное интегральное .чногообразиэ динамически уравнений С"С является основой для решения ряда теоретических д прикладных задач динамики систем. К такого рода задача'.;, в частности,,относятся:

- нахождение точных частных репеннй исследуемой ДС на основе суцестЕупцих ее первых интегралов;

- редукция неавтономных ДС, в тем числе построение опрз-деляэдих уравнений;

- исследование устойчивости (по Ляпунову, по ЕяркгоФр, орбитальной устойчивости) состояний ДС на многообразиях, порождаемых ее первыми интегралами;

- оптимизация движений С,'С с управляхгднми параметра»«;!;

- обратные задачи динаг/ики [4] структурно изменяемых обьекюв;

■- сценки характеристик состояния CMC, полученных прибли-SQHHiiJj! аналитическими и численным?. мэтод&чп [II].

Такта образом, Армирование базы данных для построения указанной обобщенной ¡/одели и суп?отчованяв определенного

комплекса задач динамики систем, решаемых на основе найденных интогра/ьных многообразий, и определяет теоретическое значение результатов исследуемой проблемы.

Прикладное значение результатов работы обусловливается областью их возможного применения. Кроме перечисленного, эти результаты могут быть использованы при разработках и конструировании агрегатов тел и систем с изменяемой конфигурацией, некоторых робстотехнических систем, а такие в теоретических и прикладных задачах небесной механики.

Выносятся на защиту следующие положения.

Для ДС, идентифицированной с исследуемой СМС, в однородное параллельном поле силы тяжести при определенных структурно-динамических условиях существуют:

1) помимо основных - дополнительные первые интегралы по компонентам кинетического момента СМС:

- линейный интеграл,

- квадратичный интеграл,

- интогралы высшех степеней типа интегралов Ковалевской и Горячева-Чаплыгина;

2) системы дополнительных первых интегралов:

- с двумя или треь1я ленэйнши интегралами,

- с лидзйньи и квадратичным интегралами;

3) для интегрируемой ДС - многообразия частных рвщзний, порождаемых:

- лвнойвш осиаяляюрсы, существующим в пространства во состояний;

- 5шюгродЕ*фер<з1Щ1»зиьи!С1 ураьнонхем, поотрсзпн1Г-! для нз;;ото}\)й характерной функции;

- независимыми п .соЕ^естнши дополните, ьнетг первшя геОгаяческимв интегралами.

Автор приносит благодарность за внг«акиё и ксисдь 2 богб кафедрам теоретической и ариклаоной механики Уоокивск: го и Санкт - Петербургского государственных университетов.

ЕЕЛЙОГРАЗИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Румянцев В.В. Некоторые задачи динамики сложных систем // Пробл.прикл.ыат. и мех. - М.:Наука, 1971. - 282 с.

2. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений ,п°)!-

гения тяаелого твердого тела около неподвижной точки. - М.: Госгехиздат, 1953. - С. 62.

3. Боголюбов Н.Н.,Митропольский Ю.А. Метод интегральных иногообразий в нелинейной механике / Симпоз. но нелин.колеб. / Киев: Ин-т ыат. АН УССР. 1961. - 126 с.

4. Галиуллин A.C. Обратные задачи динамики. - М.:Наука, 1981. - 143 с.

5. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. -Ы.:Гостехиздат, 1950. - 472 с.

6. Мещерский И.В. Работы по механике тел переменной пассы. - М.:Гостехиздат, 1952. - 280 с.

7. Вередагин И.О. .Методы исследования рехимов полета аппарата переменной пассы: В 2 т. - Пермь: Ун-т, ISS9. - T.I. -- 259 с.

8. Новоселов B.C. Аналитическая механика систем с переменными массами. - Л.: Изд-во Ун-та, 1969. - 240 с.

9. Аминов М.Ш. Некоторые вопросы движения и устойчивости твердого тела переменной массы // Тр.Казан.авиац.ин-та. --1959. - Вып.48. - 118 с.

10. Харлшюз П.В. Лекции по динамике твердого тела. - Новосибирск: Ун-т, 1965. - 221 с.

11. Харламова Е.И., Мозадевская Г.В. ИнтегродпрЬзренци-альное уравнение динамики твердого тела. - Киев: Наукова думка, 1986. - 295 с.

12. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. - М.:Мир, 1974. - С. 154.

13. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. - Ы.:Наука, 1977. - 328 с.

Публикации автора па тьма диссертации

14. Об одном обобщении уравнения Эддингтона-Пуанкаре // Астрон.хурн. - I960. - Т.37. & 6. - C.II25-II27.

15. О некоторых дз-,пениях гиростата переменной массы в случае типа Эйлера // Пробл.маг.управд.движения. - Пермь, 1974. - Вып.6. - С.71-78.

16. п-6 одном классе двзкений iпростата переменной масса // Динамика систем. - Горький, 1975. - Вып.7. - С.102-110.

17.Некоторые случаи интегрируемости уравнений движения

тяжелого гиростата переменной массы // Проол.ыех.управл.движения. Иерарх.мех.системы. - Пермь, 1976. - С.99-104.

18. О некоторых свойствах главных осей инерции тела переменной массы // Пробл.мех.управл.движения. Оптимиз.процессов управл. - Пермь, 1978. -C.I26-I3I.

19. Движение гиростата с переменной осесимметричной структурой // Динамика и управления. - Горький, 1984. - С.64-77.

20. 0 существовании пе^ых чнтегралов движения управляемого гиродина // Дифференц.уравнения и теория функций. Ли -нейк.двфференц.операторы, приближ. - Саратов, 1984,— С .58-64.

21. Сферическое движение обобщенного гиростата с симметричной структурой // Дробл.мех.удравл.движения. Нелинейн.ликам.системы. - Перль, 1985. - С.81-87.

22. Устойчивость квазистационарных движений гиростата переменной структуры // Вычислит .методы и програ^лир. Задачи и алгоритмы. - Саратов, 1985. - С.95-102.

23. Коротковолновая асимптотика в динамике симметричной сложной системы // Вычислит.методы и програ.^пр. Решение задач вычислит .мат. и мех. - Саратов, 1987. - C.20-S7.

24. Движение сложной системы с осевой симметрией // Вопросы динам.мех.систем. - Новосибирск, 1987. - С.68-72.

25. Управление регулярными движениями сложной системы // Пробл.мех.управл.движения. Нелинейн.динам,системы. - Перль, 1987. - С.75-81.

26. Движение симметричной слоаной системы на управляющих связях / Сарат.политехи.ин-т. - Саратов, 1987. - 13 с. - Доп. в ВИНИТИ 17.09.87, й 6729-В 87.

27. Первые интегралы и асимптотика малых движений сложной сис .ш / Сарат,политехи.ин-т. - Саратов, 1987. - 13 с,-Дед. в ВШИШ 17.09.87, Я 6730-В 87.

28. Геометрия квазвлерланентных движений сложной системы на управляющих связях // Дмйеренц.геометрия. Обобщ,пространства и их прилож. - Саратов, 1988, - С. 40-49.

29. Обобщенный аналог случая Ковалевской для сложной системы / Сарат.политехи.: -т. - Саратов, 1988. - 30 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.05.88, * S762-B 83.

30. Линейный интеграл сложной системы / Сарат.политехн. -н-т. - Саратов, 1988. - 32 с. - Деп. в ВИНИТИ 17.05.88,

Л 3769-В 83.