О механических системах с полным набором линейных инвариантных соотношений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ
|
Мельдианова, Вера Александровна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
12
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет
На правах рукописи
Мельдианова Вера Александровна
О механических системах с полным набором линейных инвариантных соотношений.
Специальность 01 02 01 — теоретическая механика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва 2007
003060112
Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова
Научный руководитель: Доктор физико-математических наук
Е И Кугушев
Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,
профессор Ю А Садов Кандидат физико-математических наук, доцент Г В Касаткин
Ведущая организация:
Вычислительный центр им А А Дородницына Российской академии наук
Защита состоится ЭО 2007 года в 16 часов на заседании специализированного совета Д 501 001 22 по механике при Московском государственном университете им М В Ломоносова по адресу 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)
Автореферат разослан Л, ¥ апреля 2007 года
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 501 001 22 доцент
В А Прошкин
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Существует взаимосвязь между свойствами механической системы и структурой интегралов, которыми она обладает Видимо, важную роль здесь играет структура конфигурационного многообразия Известно, что существуют, топологические препятствия к полной интегрируемости механических систем Замкнутая аналитическая двухмерная поверхность рода больше единицы не может быть конфигурационным пространством аналитической интегрируемой системы (В В Козлов) А наличие интегралов определенного вида накладывает, по-видимому, ограничения на топологию конфигурационного пространства Так, например, доказано (Д Л Абраров), что механическая система с двумерным ориентируемым конфигурационным многообразием может обладать линейным интегралом лишь в тех случаях, когда оно диффеоморфно сфере или тору
Важной является проблема изучения этой взаимосвязи, тк подобный анализ может помочь выявить еще новые свойства механических систем, которыми они должны обладать, чтобы их можно было проинтегрировать тем или иным способом, или же наоборот обнаружить закономерности, которые препятствуют этому В данной диссертации этот вопрос рассматривается в случае, когда механическая система обладает линейными интегралами Удается установить определенную взаимосвязь со структурой конфигурационного многообразия в том случае, когда линейные интегралы независимы между собой по скоростям, а также связь этой независимости с условием инволюции этих интегралов
Цель работы. Основной целью данной работы является изучение топологической структуры многообразия совместного уровня полного набора независимых линейных инвариантных соотношений и интеграла энергии натуральной механической систеы, а также некоторых свойств динамики движения на этих уровнях Изучение проводится как в общем виде, так и на примерах конкретных механических систем
Научная новизна. Все основные результаты полученные в работе являются новыми, ранее неизвестными Среди конкретных примеров механических систем с полным набором линейных
инвариантных соотношений, рассмотренных здесь, многие изучались ранее, но в данной работе применяется новый подход к исследованию структуры их многообразий уровней, а также некоторых свойств динамики
Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы строго обоснованы, они базируются на утверждениях дифференциальной геометрии и теоретической механики
Используемые методы. В работе используются методы аналитической механики и дифференциальной геометрии, которые прилагаются к рассматриваемым механическим системам Основной результат о топологической структуре многообразий уровня опирается на утверждения дифференциальной геометрии о накрытиях
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, полученные результаты дают возможность определять топологическую структуру многообразий уровня линейных интегралов для механических систем, у которых она ранее была неизвестна Причем это можно сделать, как для голономных так и для неголономных механических систем с полным набором линейных инвариантных соотношений
Апробация работы и публикации. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях
- Семинар по гамильтоновым системам и статистической механике кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством акад РАН В В Козлова, чл -корр РАН Д В Трещева, проф С В Болотина, 2003 г,
- Семинар по аналитической механике и устойчивости движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством акад РАН В В Румянцева, чл -корр РАН В В Белецкого, проф А В Карапетяна, 2004 г,
- Семинар по динамике относительного движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством чл -корр РАН В В Белецкого, проф Ю Ф Голубева, доц К Е Якимовой, доц Е В Мелкумовой, 2004 г, 2007г,
- Семинар отдела механики ВЦ РАН под рук проф С Я Степанова, проф А В Карапетяна, 2004 г, 2007 г,
- Научная конференция Ломоносовские чтения МГУ им М В Ломоносова, апрель 2003 г,
- Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, 23-28 августа 2004 г,
- Конференция-конкурс молодых ученых института Механики МГУ им М В Ломоносова, 2004 г, 2005 г,
- ХЫ1 Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, Российский Университет Дружбы Народов, апрель 2006 г
Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в печатных работах, список которых приведен в конце автореферата
Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 52 наименований Общий объем диссертации - 105 страниц
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении описана предметная область и цель настоящей диссертации, дан краткий обзор работ, связанных с исследованием механических систем, обладающих линейными интегралами, и работ, касающихся взаимосвязи структуры интегралов и вида конфигурационного многообразия таких систем, также приведено краткое содержание диссертации
В первой главе устанавливается топологическая структура многообразия уровня полного набора линейных инвариантных соотношений механической системы, в случае, когда конфигурационное многообразие ориентируемо Доказывается общее утверждение, а также приводятся примеры и следствия к нему
В первом разделе этой главы даются основные понятия, необходимые для формулировки утверждения о топологической структуре
Рассматривается натуральная консервативная механическая система с гладким компактным п-мерным конфигурационным многообразием К
В локальных координатах интеграл энергии такой системы имеет вид
Л(я, я) - ¿ятЖя)я + У(ц) = сь (1)
где -<4(я) - невырожденная симметричная положительно определенная матрица п х п, а - потенциальная энергия
Все функции являются гладкими
Предполагается, что у системы также есть п — 1 инвариантных соотношений, линейных по скоростям Локально, в любой координатной окрестности, их можно записать
/,(я,ч) = Ь1т(я)я + ^(я) = с, 1 = 2,3, ,п, (2)
где (1г - гладкие функции и Ь,т 6 Е" - гладкие вектор-функции, которые можно рассматривать, как поля ковекторов на К
Для вектора с = {с\, .,с„) € К1 введем Мс - многообразие уровня системы функций /, Мс = {(я, я) € ТК /.(я, я) = с»,г = 1,2,. , п} Выясним, как устроено такое многообразие уровня
Известно, что если все эти п функций являются первыми интегралами системы, находятся в инволюции и функционально независимы, то тип многообразий уровня, в случае компактного конфигурационного многообразия, устанавливает теорема Лиувилля-Арнольда В соответствии с этой теоремой, они являются торами
Второй раздел посвящен доказательству утверждения об устройстве такого многообразия уровня, в котором условие инволюции не является обязательным требованием
Утверждение: Пусть конфигурационное многообразие К — ориентируемое компактное гладкое, а интегралы (2) являются независимыми в случае п > 2 и невырожденными в случае п = 2
Тогда при заданных значениях констант линейных интегралов с,,г — 2,3, . ,п найдется достаточно большое число Ъ такое, что для любых значений константы интеграла энергии, превышающих его С\ > Н, многообразие уровня Мс интегралов (!),(%) имеет
две компоненты связности, каждая из которых диффеоморфна конфигурационному многообразию К
В третьем разделе приводятся замечания и следствия из утверждения, а также рассматриваются простейшие примеры, иллюстрирующие его
Вторая глава посвящена рассмотрению голономной механической системы — волчок Эйлера с эксцентриком
В первом разделе дается постановка задачи и выписываются первые интегралы
Рассматривается волчок Эйлера, вокруг одной из главных осей инерции которого вращается невесомый стержень с материальной точкой (эксцентрик) на конце, в плоскости, ортогональной к этой оси Материальная точка имеет массу т и вращается на расстоянии а от оси инерции, а плоскость, в которой она вращается, находится на расстоянии Ь от начала координат
Введем неподвижную систему координат Охуг и систему координат О^Т]^, жестко связанную с телом, оси которой направлены по главным осям инерции твердого тела так, что эксцентрик вращается вокруг оси С
Движение твердого тела задается углами Эйлера а
движение эксцентрика — углом 7 поворота вокруг оси ОС, Таким образом, получим механическую систему с четырьмя степенями свободы, конфигурационное многообразие которой - 50(3) х 51.
Уравнения движения такой системы допускают интеграл энергии Т = 7о и три интеграла проекции кинетического момента на неподвижные оси К = Ко
Известно, что в общем случае такая задача неинтегрируема по Лиувиллю
Во втором разделе устанавливается топологическая структура
многообразия уровня интеграла энергии и линейных интегралов этой задачи Судить о ней можно на основании утверждения первой главы Здесь проверяется выполнение условий этого утверждения, а именно независимость линейных интегралов по скоростям
Получается, что для любых значений констант интегралов моментов и для положительной константы интеграла энергии многообразие уровня имеет две компоненты связности, каждая из которых диффеоморфна конфигурационному многообразию системы, те SO{3) х Si
В третьем разделе выписываются уравнения движения волчка Эйлера с эксцентриком в системе координат, связанной с эксцентриком
Ввиду того, что кинетическая энергия громоздко выглядит в системе координат, жестко связанной с твердым телом, то и уравнения движения будут иметь довольно сложный вид Поэтому удобнее выводить уравнения в системе координат, жестко связанной с эксцентриком
Свяжем с эксцентриком систему координат 0£VC так. что ось Og параллельна той оси, которая проходит через эксцентрик в плоскости его движения, Ог/ лежит в плоскости, ортогональной к ОС,, и перпендикулярна а ось ОС,' совпадает с ОС, Переход от системы координат 0£т]С к системе О^'т/С осуществляется при помощи матрицы поворота С
Вводятся обозначения Сзт = С^ш = (р, q, г)т - угловая скорость твердого тела в новой системе координат и ш := = (р, q, r)T -
угловая скорость системы, связанной с эксцентриком, где
p — ^smd sin(</> + 7) + в cos(<р + 7) q — ф sm 0 cos {у? + 7) — в sin((/? + 7) г — ф cos в + {tp + 7)
И выписываются уравнения движения системы В четвертом разделе указываются стационарные движения, которые имеет волчок Эйлера с эксцентриком в общем случае
Один класс стационарных решений, когда твердое тело равномерно вращается вокруг третьей главной оси инерции, а эксцентрик покоится в абсолютной системе координат, при этом угол поворота 7 равномерно изменяется
Другие классы решений получаются, когда эксцентрик не движется относительно твердого тела, те система движется как целое
Пятый раздел посвящен динамически симметричному волчку Эйлера с эксцентриком Как известно, это единственный интегрируемый случай задачи Помимо интеграла энергии
К(А + тпЬг)р2 + (А + та2 + mb2)g2 - 2mabpr + ma2f2 + Cr02) = T0
и трех интегралов проекций кинетического момента на подвижные оси
(Л + mb2)p2 — mabf = КоЪ > (А + та2 + mb2)q = K0y¿, —mabp + та2 г + Сго = Ло7з, где 7 - это вектор ez в подвижных осях, те 71 = sin в sin 7,72 = sin в cos 7,73 = cos в, здесь существует еще один интеграл г = го
Далее показывается, что задача о движении динамически симметричного волчка Эйлера с эксцентриком эквивалентна задаче о движении твердого тела с закрепленной точкой без эксцентрика, матрица инерции которого I =
(А + mb2 0 -аЬт \
О А + та2 + mb2 0 1 , под действием силы —abm 0 та2 )
F = 1_17 — —-—се Центр масс этого тела лежит на третьей аАа
оси инерции (в тех осях, в которых матрица инерции этого твердого тела имеет вид I) на расстоянии I — ad При фиксированных начальных условиях, которые должны удовлетворять следующим соотношениям, зависящим от параметров and
Аро — сгую, Лд0 = aj2o, Cr0 = «7зо - d,
где (Po,qo,fo) вектор угловой скорости этого твердого тела в начальный момент времени
В шестом разделе главы изучается топологическая структура многообразий уровней для интегрируемого случая
Показывается, что задача о динамически симметричном волчке Эйлера с эксцентриком может служить примером к теореме Н Н Нехорошева, при помощи которой здесь устанавливается
топологическая структура первых интегралов Н,КХ,КУ, К2 и г Здесь Н - интеграл энергии, а Кх, Ку, К-4 - три интеграла проекции кинетического момента всей системы на неподвижные оси, К2
— квадрат модуля кинетического момента всей системы и г — постоянная третья компонента угловой скорости твердого тела На основании этой теоремы многообразие совместного уровня таких интегралов есть трехмерной тор
В третьей главе рассматриваются два примера неголономных механических систем, обладающих полным набором инвариантных соотношений
Первая из них — симметричные сани Чаплыгина, движущиеся по гладкой поверхности Эта механическая система изучается в первом разделе данной главы
Рассмотривается движение однородного круглого плоского диска, который в своем центре все время касается гладкой компактной замкнутой связной поверхности '¿Г Обозначим г (и, у) — радиус-вектор точки поверхности в абсолютном пространстве, (и, у)
— ортогональная сеть координат, которая в аналитическом случае всегда существует
Свяжем с диском сопутствующую систему координат с началом в центре диска и направляющими векторами, первый из которых направлен по линии скольжения конька, второй лежит в плоскости диска и ортогонален первому, а третий совпадает с нормалью к поверхности ]Г) Локально положение системы описывается тройкой где у? — угол поворота диска
Конфигурационное пространство представляет собой сферическое расслоение поверхности ]Г], которое обозначим
На движение диска наложена неголономная связь — скорость центра диска направлена по линии скольжения конька В локальных координатах эта связь запишется следующим образом
/з = - II т'и II ¿бШ^-Ь || II V СОЭ = О
Система допускает интеграл энергии /1 = Т + II = сь где Т — кинетическая, а С/ — потенциальная энергия системы
Считаем, что поле сил является однородным и потенциальная энергия зависит только от положения центра тяжести диска, те и — 17(и,у) Выразив кинетическую энергию, оказывается,
что координата <р туда не входит Проверяется, что координата ip является циклической для неголономной системы, и ей соответствует интеграл
, ± i 'í í \ ,
Вместе с неголономной связью этот интеграл образует систему независимых линейных по скоростям функций, поэтому здесь применимо утверждение первого раздела Если уровень энергии ci взять достаточно большим, то при любых значениях константы с2 линейного интеграла /2 многообразие уровня Мс интегралов /15 /2, /з имеет две компоненты связности, каждая из которых диффеоморфна конфигурационному многообразию Ts
Далее идут подразделы, в которых рассмотрены два случая поверхностей частного вида
В первом подразделе рассмотрен симметричный конек на поверхности вращения
Будем считать, что поверхность по которой перемещается симметричный конек, является поверхностью вращения х — p(v) cos и, у = p(v) sin и, z — V В этом случае топологически она представляет собой двухмерную сферу S2 или тор Т2 Конфигурационное пространство, соответственно, SO(3) или Т3 Допустим, что силовое поле симметрично U = U(v) У системы есть группа симметрий - вращение вдоль параметра и Систему можно редуцировать к фазовому потоку на двухмерной сфере S2 или двухмерном торе Т2 Далее производятся выкладки для такой редукции
Неголономная связь имеет вид
/з = — ри sin ip + v cos ipy f/v2 + 1 = 0.
J
Линейный интеграл получится /2 —
yV« +1
А интеграл энергии запишется áu2 + 5v2 + U(v) — ci, где
6i = Áo? 4- p\ 6 = AS + p'v2 + 1, ¿(v) = a2p"J + a,2a~2 +
2 a'vap'vp"vv, a{v) = ^jyj^
Далее из этих соотношений находится система уравнений, которая имеет вид ú = gi(v,tp),(p = g2(v,ip),v — gz{v,(p)
Оказывается, что два ее последних уравнения отделяются Они определяют фазовый поток редуцированной системы
Отмечается, что, если сг = 0, то система интегрируется в квадратурах Также система интегрируется и в случае вертикальной круговой цилиндрической поверхности р = const Здесь (р — а, 6 = 0.
Во втором подразделе рассмотрен симметричный конек на
цилиндрической поверхности, т.е она задач;тся х = х(и),у =
y(u),z = v.
Вводится обозначение р(и) = , \
V*7« +yV
Находим неголономную связь /3 = -~р~1й sin ip + v cos (/7 = 0 А линейный интеграл будет иметь вид /2 = ф = сг Это означает, что при движении по цилиндрической поверхности симметричный конек вращается с постоянной скоростью Затем выписывается интеграл энергии
v2 + (Afi{u) + x'J2 + у'и2)и2 + U(u, v) = си
где ц(и) - p'Jp'2 + р2{у"ии2 + х"ии2) + 2рр'и(у'иу"ии + х'их"ии)
Далее показывается, что если силовое поле горизонтально, те U = U(и), то система интегрируется в квадратурах
Во втором разделе этой главы изучается еще одна неголономная механическая система (частный случай неголономного гиростата)
Рассматривается динамически симметричный волчок Эйлера с эксцентриком, на который наложена неголономная связь Суслова Сохраняя все обозначения второй главы, будем считать, что неголономная связь такова, что проекция угловой скорости системы координат, жестко связанной с эксцентриком, на вторую ось этой системы, равна нулю, т е в указанных обозначениях связь Суслова запишется q — 0 В соответствии с этим и при учете динамической симметрии А = В получим, что интеграл энергии примет вид
/1 = Т = + mb2)p2 - 2mabpr + ma2r2 + Cr2 + Dq2) = T0 ¿i
Показывается, что такая механическая система будет иметь еще два линейных по скоростям интеграла
/2 — —abmp + ma2r = const, /3 = Cr = const
Далее к этим интегралам добавляется еще одно линейное инвариантное соотношение — неголономная связь /4 = q — О и устанавливается топологическая структура многообразия совместного уровня этих четырех инвариантных соотношений На основании утверждения первой главы делается вывод, что многообразие уровня функций /1, /2, /з, /4 имеет две компоненты связности, каждая из которых диффеоморфна 50(3) х S\
Четвертая глава посвящена случаю неориентируемого конфигурационного многообразия А именно, здесь рассматривается вопрос о структуре многообразия совместного уровня интеграла энергии и полного набора независимых линейных инвариантных соотношений, когда конфигурационное пространство механической системы является неориентируемым многообразием
В первом разделе даются необходимые понятия, связанные с неориентируемым случаем
Во втором разделе этой главы доказывается общее утверждение аналогичное утверждению, доказанному для случая ориентируемого конфигурационного многообразия
Утверждение: Пусть конфигурационное многообразие К — неориентируемое компактное гладкое и замкнутое, а линейные инвариантные соотношения (2) являются независимыми в случае п> 2 и невырожденными в случае п~ 2
Тогда при заданных значениях констант линейных интегралов с,, г = 2,3, ,п найдется достаточно большое число h такое, что для любых значений константы интеграла энергии, превышающих его с\ > h, многообразие уровня Мс интегралов (1),(2) имеет одну компоненту связности и диффеоморфно ориентирующему многообразию W(K)
В третьем разделе это утверждение иллюстрируется примером Рассматривается механическая система, обладающая неориентируемым конфигурационным многообразием
Она состоит из двух материальных точек массой mi и тпг, на координаты которых (a:,, ytízt), г = 1,2 наложены следующие связи, заданные в параметрической форме
х\ — Ri cos 2/3, yi = Ri sin 2/5, z\ = 0 X2 = i?2 Sin7 COS /3, У2 = /¿2 sin7 sin /3, z2 = — Ri cos 7, где /3,7 g R — могут принимать любые значения
Конфигурационное многообразие данной системы — это бутылка Клейна К2
Система имеет невырожденный линейный интеграл кинетического момента Условия утверждения этой главы выполняются и инвариантное многообразие совместного уровня интеграла энергии и линейного интеграла — это двухмерный тор Т2, а естественная проекция фазового пространства на конфигурационное дает ориентирующее накрытие конфигурационного многообразия — бутылки Клейна К2 этим тором
В заключении приведены основные результаты и выводы
Доказаны общие утверждения о топологии совместных уровней интеграла энергии механической системы и полного набора независимых инвариантных соотношений линейных по скоростям В случае ориентируемого конфигурационного многообразия уровень имеет две компоненты связности, каждая из которых диффеоморфна конфигурационному многообразию системы В неориентируемом случае уровень имеет одну компоненту связности, диффеоморфную ориентирующему многообразию конфигурационного многообразия
Получен ряд следствий из этих утверждений
• Если натуральная консервативная механическая система с компактным конфигурационным многообразием, отличным от тора, имеет полный набор линейных по импульсам интегралов в инволюции, то эти интегралы будут зависимы по импульсам в некоторых точках конфигурационного пространства,
• Если натуральная механическая система с компактным гладким конфигурационным многообразием, отличным от тора, имеет полный набор линейных и независимых первых интегралов, то не существует канонического преобразования координат, в которых каждый из этих интегралов был бы циклическим
Приведены примеры систем (в том числе неголономных, а также с неориентируемым конфигурационным многообразием), в которых применимы доказанные утверждения Для некоторых систем проведен анализ динамики движения на инвариантных уровнях
По теме диссертации опубликованы следующие работы.
1 Кугушев Е И , Мельдианова В А Многообразия уровней линейных интегралов механических систем // Вестн Моек унта, сер 1 мат ,мех , 2007, N3, 44-50с
2 Мельдианова В А , Кугушев Е И Об инвариантных многообразиях механических систем // Препринт ИПМ им М В Келдыша РАН, 19, 2002-32с
3 Мельдианова В А, Кулешов А С, Кугушев Е И О многообразиях уровня линейных интегралов механических систем // Препринт ИПМ им М В Келдыша РАН, 15, 2003-20с
4 Мельдианова В А Взаимосвязь конфигурационного многообразия с многообразием уровня линейных интегралов механических систем / / Сборник трудов конференции-конкурса молодых ученых, Москва, 12 10-14 10 2004г, под ред Г Г Черного и В А Самсонова, М , МГУ, 2004 г с 165-168
5 Мельдианова В А О волчке Эйлера с эксцентриком // Препринт МГУ им М В Ломоносова, 2006-32с
Подписано в печать 12 04 2007 г Формат 60x90 1/16 Уел печ л 10 Заказ У 9 Тираж 50 экз
Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ г Москва, Воробьевы горы
Отпечатано на типографском оборудовании механико-математического факультета
Введение.
1 Топологическая структура уровней линейных инвариантных соотношений в ориентируемом случае
1.1 Основные понятия.
1.2 Утверждение о топологической структуре многообразия уровня полного набора линейных инвариантных соотношений.
1.3 Примеры, замечания и следствия.
2 Голономная система — волчок Эйлера с эксцентриком.
2.1 Постановка задачи и первые интегралы.
2.2 Топологическая структура многообразия уровня.
2.3 Уравнения движения в системе координат, связанной с эксцентриком.
2.4 Стационарные движения.
2.5 Динамически симметричный волчок Эйлера с эксцентриком.
2.6 Топологическая структура многообразия уровня для интегрируемого случая.
3 Неголономные системы с полным набором инвариантных соотношений.
3.1 Сани Чаплыгина на поверхности.
3.1.1 Симметричный конек на поверхности вращения.
3.1.2 Симметричный конек на цилиндрической поверхности.
3.2 Задача Суслова с эксцентриком в случае динамически симметричного твёрдого тела.
4 Топологическая структура уровней линейных инвариантных соотношений в неориентируемом случае.
4.1 Основные понятия, связанные с неориентируемым случаем.
4.2 Утверждение о топологической структуре многообразия уровня полного набора инвариантных соотношений.
4.3 Одна механическая система с неориентируемым конфигурационным многообразием.
1. Предметная область. Диссертация посвящена исследованию свойств механических систем, обладающих достаточно большим набором инвариантных соотношений, связывающих фазовые координаты. Такими соотношениями могут быть первые интегралы системы или (в неголономном случае) непроинтегрированные дифференциальные связи. Предполагается, что число таких соотношений совпадает с размерностью конфигурационного пространства. Если для гамильтоновой механической системы с п степенями свободы известны п независимых первых интегралов и они находятся в инволюции, то ее свойства описывает известная теорема Лиувилля об интегрируемых системах (в интерпретации сделанной В.И. Арнольдом [7] или [28], [29]). В данной работе изучаются некоторые случаи, когда условия этой теоремы не выполняются, точнее, когда инвариантные соотношения не находятся в инволюции. Это условие заменяется другим, что позволяет в некоторых случаях, сформулировать общие и частные утверждения о топологической структуре многообразия уровня инвариантных соотношений таких систем.
Более конкретно, предметом изучения диссертации являются натуральные консервативные механические системы на п-мерных конфигурационных многообразиях, допускающие п — 1-но линейное по скоростям инвариантное соотношение (эти соотношения могут быть линейными интегралами или непроинтегрированными дифференциальными связями). Совокупность этих линейных по скоростям соотношений, в дальнейшем, будем называть полным набором линейных инвариантгшх соотношений. Соответственно механические системы, обладающие таким набором соотношений, будем называть механическими системами с полным набором линейных инвариантных соотношений. В частности, для голономного случая - механические системы с полным набором линейных первых интегралов. Основное условие, которое здесь налагается, состоит в том, что линейные соотношения функционально независимы по обобщенным скоростям (или импульсам) на соответствующих инвариантных многообразиях уровня. Иначе говоря, в диссертации рассматриваются механические системы с полным набором линейных и независимых инвариантных соотношений. В частном случае двухмерного конфигурационного многообразия требуется наличие всего одного линейного инвариантного соотношения и независимость означает невырожденность этого соотношения по скоростям во всех точках конфигурационного многообразия.
Целью диссертации является изучение топологической структуры совместных уровней полного набора линейных инвариантных соотношений и интеграла энергии для таких систем и некоторых свойств движения на этих уровнях. Изучение проводится как в общем виде, так и на примерах конкретных механических систем.
Существует довольно много примеров таких систем, как голономных, так и неголономных. В диссертации устанавливается структура многообразия уровня в общем случае для задач такого типа и рассматриваются более сложные примеры.
2. Обзор работ по теме. Известно, что интегралы уравнений движения механических систем, как правило являются линейными или квадратичными относительно скоростей. Механические системы, обладающие первыми интегралами, линейными по скоростям, являются одной из наиболее изученных областей теоретической механики. Здесь будет дан лишь небольшой обзор работ по данной тематике, которые имеют отношение к задачам, рассматриваемым в диссертации. Более подробные обзоры представлены, например, в работах [22], [36].
Связь между существованием в системе линейного интеграла и наличием в ней циклической координаты устанавливает теорема М.Леви [35]. Она говорит о том, что если натуральная консервативная механическая система имеет линейный по скоростям интеграл, то существует система координат, в которой функция Лагранжа имеет циклическую координату (эта теорема была обобщена Э.Т.Уиттекером [43] на случай гамильтоновой формы уравнений). М.Леви исследовал также случай, когда механическая система допускает несколько линейных интегралов и показал, что для того, чтобы существовала система координат, в которой каждый из этих интегралов был бы циклическим, необходимо и достаточно, чтобы всевозможные скобки Пуассона левых частей этих интегралов, записанных в канонических переменных, тождественно равнялись нулю.
Хорошо известно, что наличие линейных по импульсам или скоростям) первых интегралов тесно связано с группами симметрий, действующих на пространстве положений. Эта связь устанавливается теоремой Э.Нётер [17]: если функционал действия
J L{q,q)dt инвариантен относительно группы преобразований q —> gx(q), то уравнения Лагранжа d idL\ dL0 dt \dq J dq допускают интеграл pv = const, где Р — Щ- канонический импульс, и v(q) = jx\x=o(gX{o)) - векторные поля, порождающие группу симметрий.
Примером голономной механической системы, обладающей полным набором линейных интегралов, причём они все находятся между собой в инволюции, может служить ограниченное поверхностью вращения динамически симметричное тяжелое твердое тело на гладкой горизонтальной плоскости П.Аппель [6].
В работе Дж.Л.Синга [33] были установлены необходимые и достаточные условия существования п — 1 линейных интегралов, находящихся между собой в инволюции для голономной системы с функцией Лагранжа L = {\)aij(quq2,qn)Mj ~ У{Яи Я2, Qn)
Описанием топологических свойств геодезических потоков, имеющих полный по Лиувиллю набор аналитических первых интегралов, занимался И.А. Тайманов [40].
Для механических систем, рассматриваемых в данной работе условие инволюции не является обязательным. Укажем теперь некоторые работы, посвященные изучению механических систем с полным набором линейных соотношений, но не удовлетворяющих условиям теоремы Лиувилля-Арнольда.
В работе И.В.Александрова [3] рассмотрена задача о движении двух притягивающихся точек на сфере. Такая механическая система консервативна и обладает линейными интегралами, число которых равно числу степеней свободы, но они не находятся в инволюции (т.е. система с полным набором первых интегралов, но теорема Лиувилля-Арнольда о фазовых торах для неё не выполнена). Эта система была предложена Е.И.Кугушевым в 1972 г. [41]. И.В.Александров в своей работе дал классификацию совместных уровней первых интегралов такой системы. Отметим, что в такой задаче линейные интегралы не являются независимыми на всём конфигурационном пространстве.
Например, задача двух тел на поверхностях постоянной кривизны может допускать линейный интеграл, аналогичный интегралу кинетического момента в задаче двух тел на сфере. Число степеней свободы в этой задаче равно 4 и, поэтому интеграл энергии и три линейных интеграла кинетического момента образуют полную систему. Как и в предыдущем примере, такая система интегралов не является независимой. Обзор работ, посвященный этой задаче (и сами работы) можно найти в сборнике [9] или [10].
Ещё одним примером голономной механической системы, обладающей полным набором линейных интегралов, но не находящихся между собой в инволюции, является задача о движении твёрдого тела с ротором, которую изучал Е.А.Ивин
19], [20]. В этой задаче механическая система состоит из двух связанных общей осыо абсолютно твердых тел. Первое из них имеет неподвижную в пространстве точку, второе — свободно вращается около общей с первым телом оси. Распределение масс этих тел произвольно, а общая ось в них фиксирована. Такая механическая система имеет три линейных интеграла — проекции вектора кинетического момента совокупной системы на неподвижные оси. В отличие от двух предыдущих примеров в этой задаче линейные интегралы будут независимы по скоростя в каждой точке конфигурационного пространства. Е.А.Ивин исследовал интегрируемость по Лиувиллю этой задачи. Во второй главе данной диссертации подробно рассматривается частный случай этой задачи, когда вместо ротора к твердому телу добавлена материальная точка, и исследуется топологическая структура многообразия уровня линейных интегралов.
В работе рассматриваются не только голопомные системы, поэтому приведём теперь краткий обзор результатов, касающихся неголономных механических систем, обладающих нужным количеством линейных интегралов.
Сразу отметим, что пример линейных интегралов уравнений движения неголономной механической системы представляют уравнения неголономных связей, если они линейны по скоростям, в которых постоянные интегрирования положены равными нулю.
В голономных системах наличие линейного интеграла влечет существование циклической координаты, и наоборот. Некоторая аналогия имеется и в системах с неинтегрируемыми уравнениями связей (см. [36]) - обобщение теоремы Леви на случай неголономных систем. Неголономные механические системы с линейными интегралами изучаются в работах А.С.Сумбатова [35], [37], [38], а также и в работе В.В.Козлова [23].
Простым примером неголономной механической системы с полным набором линейных инвариантных соотношений может служить задача о качении однородного тяжелого шара по внутренней поверхности абсолютно шероховатой неподвижной сферы, имеющей больший радиус, см. например у А.П.Маркеева [26]. Линейное выражение - скалярное произведение вектора угловой скорости на единичный вектор внешней нормали к неподвижной поверхности - является интегралом системы.
Также примерами изученных неголономных систем с линейными инвариантными соотношениями являются задачи Суслова (Г.К.Суслов [39], Е.И.Харламова [47]) и Веселовой (Л.Е.Веселова [13], [14] А.П.Веселов, Л.Е.Веселова [11], [12]). Это задачи о движении твёрдого тела с закрепленной точкой, на которое наложена неголономная связь. В случае задачи Суслова движение происходит в отсутствие поля силы тяжести и неголономная связь заключается в том, что одна компонента угловой скорости в подвижных осях равна нулю. В задаче Веселовой твердое тело движется в поле Вруна и одна компонента угловой скорости в абсолютных осях равна нулю. В обеих механических системах имеется интеграл энергии и линейная связь, а также ещё один линейный интеграл - проекция вектора кинетического момента на вертикальное направление.
Ещё одна задача, обладающая необходимым набором линейных соотношений - это задача о движении гиростата с неголономной связью Суслова, она рассмотрена в работе П.В.Харламова [45].
Теперь укажем основные условия, налагаемые в данной работе на механические системы с полным набором линейных инвариантных соотношений. Изучаются механические системы только с компактными конфигурационными многообразиями. И среди голономных и неголономных систем с полным набором линейных инвариантных соотношений в данной работе рассматриваются только те системы, у которых линейные соотношения независимы между собой в каждой точке конфигурационного пространства. Эти условия ограничивают класс рассматриваемых систем, однако такие механические системы существуют.
В качестве простейшего примера голономной системы, обладающей этими свойствами, можно привести задачу о движении тяжелой материальной точки по тору. Примером голономной, но нелиувиллевой системы является волчок Эйлера. Как известно, система допускает три первых интеграла, линейных по скоростям — проекции вектора момента количества движения на абсолютные оси. Возьмём любые два из них. Эти интегралы не будут находиться в инволюции. Нетрудно проверить, что они независимы между собой по скоростям. Среди более сложных, изученных ранее, механических систем, упомянутых выше, свойством независимости обладают: линейные интегралы в голономной задаче о движении твёрдого тела с ротором и инвариантные соотношения в неголономных задачах Суслова и Веселовой, а также в задаче о движении гиростата с неголономной связью Суслова. А, к примеру, в задаче о качении однородного шара по абсолютно шероховатой сфере это свойство выполнено не будет.
Основной задачей данной работы является изучение топологической структуры совместных уровней полного набора линейных инвариантных соотношений и интеграла энергии для таких систем.
Совместные уровни некоммутативных интегралов гамильтоновых систем изучал И.В.Александров. Его работа [4] посвящена описанию совместных уровней функций, определённых на некотором симплектическом многообразии и образующих относительно скобки Пуассона фиксированную алгебру Ли. Здесь установлены достаточные условия, которые нужны, чтобы некоторое компактное многообразие являлось бы многообразием уровня набора гладких функций, образующих эту фиксированную алгебру Ли.
А изучением структуры многообразий уровня, отличных от торов, для неинтегрируемой неголономной задачи занимался Татаринов Я.В. [42].
В работах В.В.Козлова [21],[24] исследовались топологические препятствия к полной интегрируемости механических систем. Доказано, что замкнутая аналитическая поверхность рода больше единицы не может быть конфигурационным пространством аналитической интегрируемой системы. Следовательно, этот факт можно интерпретировать следующим образом. Наличие интегралов определённого вида накладывает ограничения на топологию конфигурационного пространства. В работах Д.Л.Абрарова [1], [2] этот подход развивался применительно к случаю, когда первые интегралы линейны по скоростям. Оказалось, что наличие линейных интегралов налагает ограничение не только на топологию пространства положений, но и на риманову метрику (кинетическую энергию) и потенциал силового поля. Механическая система с двумерным конфигурационным многообразием может обладать линейным интегралом лишь в тех случаях, когда оно диффеоморфно сфере или тору. Это частный случай утверждения, доказанного в упомянутой работе Д.Л.Абрарова о том, что если конфигурационное многообразие четномерное и гамильтониан натуральной системы имеет независимые линейные по импульсам интегралы в инволюции, количество которых больше либо равно половине размерности конфигурационного многообразия, то эйлерова характеристика % > 0. Также в этой работе введено понятие условно-линейных инвариантных интегралов и для них доказано аналогичное утверждение.
Таким образом, видно, что наличие линейных интегралов есть внутреннее свойство системы, которое зависит от структуры конфигурационного многообразия, а не только от способа её описания. То есть, устройство многообразия уровня таких интегралов тесно связано со структурой конфигурационного многообразия системы.
Исследование структуры многообразия уровня в данной работе производится, опираясь на утверждение о накрытиях, известное из дифференциальной геометрии [44]:
Если п-мерные многообразия N и М - гладкие, замкнутые компактные, а гладкое отображение g : N —> М всюду регулярно, то оно является накрытием с конечным числом листов.
Если N - связно и накрытие однолистно, то g : N —> М - является диффеоморфизмом.
Это утверждение удается применить, если в качестве отображения взять естественную проекцию многообразия уровня на конфигурационное пространство. Важную роль здесь играет независимость линейных интегралов по скоростям: оказывается такое отображение можно устроить, опираясь на это предположение.
3. Содержание. Диссертация состоит из четырех глав.
В первой главе доказывается общее утверждение о топологии многообразия совместного уровня интеграла энергии и полного набора линейных по скоростям инвариантных соотношений в том случае, когда система является натуральной, а конфигурационное пространство системы является компактным ориентируемым и гладким многообразием.
В первом разделе даются основные поняти, необходимые для формулировки утверждения.
Структуру многообразия уровня удается установить для механических систем, у которых выполняется условие независимости по скоростям линейных инвариантных соотношений.
Соответствующее утверждение приводится во втором разделе этой главы и заключается в следующем. Если конфигурационное многообразие компактно связно и ориентируемо, то при заданных значениях констант линейных интегралов найдется достаточно большое значение константы интеграла энергии, что многообразие уровня будет иметь две компоненты связности, каждая из которых диффеоморфна конфигурационному многообразию.
Система может быть не только голономной, но и неголономной, и в этом случае неинтегрируемые дифференциальные связи рассматриваются как инвариантные соотношения, линейные но скоростям.
В качестве примеров к данному утверждению в третьем разделе подробно рассматриваются простейшие задачи: тяжелая материальная точка на торе и волчок Эйлера. Проверяется условие независимости линейных интегралов в этих задачах.
Приводится ряд замечаний и следствий. Наиболее интересное из следствий получается из теоремы Лиувилля-Арнольда и заключается в том, что если голономная механическая система с компактным, гладким замкнутым конфигурационным многообразием, отличным от тора, имеет полный набор линейных по импульсам интегралов в инволюции, то эти интегралы будут зависимы в некоторых точках конфигурационного многообразия. Так, например, в механических системах, удовлетворяющих условиям теоремы Лиувилля-Арнольда, сферический маятник и волчок Лагранжа линейные интегралы будут зависимыми. Это следствие можно интерпретировать и так, что если механическая система имеет конфигурационное многообразие, отличное от тора, и обладает полым набором независимых интегралов в инволюции, то среди этих интегралов будет хотя бы один нелинейный по скоростям интеграл. В качестве примера здесь можно привести волчок Эйлера.
Другое следствие утверждает, что если механическая система имеет набор линейных независимых интегралов в количестве, равном размерности системы, то многообразие уровня этих интегралов диффеоморфно конфигурационному многообразию. Так для волчка Эйлера, многообразие уровня трёх интегралов — проекций вектора кинетического момента на неподвижные оси, диффеоморфно конфигурационному б'О(З). Вообще, для волчка Эйлера этот факт был известен ранее и получен другим путём.
Все эти следствия также свидетельствуют о взаимосвязи структуры интегралов со структурой конфигурационного многообразия.
В последующих двух главах диссертации подробно рассматриваются примеры как голономных, так и неголономных систем, удовлетворяющих условиям доказанного в данной главе утверждения.
Во второй главе рассматриваются свойства голономной механической системы, обладающей полным набором независимых линейных интегралов.
В первом разделе даётся постановка задачи и выписываются первые интегралы.
Система, состоит из твёрдого тела с неподвижной точкой и невесомого стержня, на конце которого находится материальная точка. Стержень свободно вращается вокруг одной из главных осей инерции твёрдого тела. Движение происходит в отсутствие силы тяжести. Будем называть такую механическую систему волчком Эйлера с эксцентриком.
Эта задача является частным случаем уже упомянутой выше более общей задачи о движении механической системы, состоящей из двух связных общей осью абсолютно твердых тел (связка двух тел), рассмотренной в работах Е.А.Ивина [18], [19]. Первое из этих тел имеет неподвижную в пространстве точку, второе свободно вращается около общей с первым телом оси. Основные результаты работы Е.А.Ивина можно кратко сформулировать следующим образом. Установлена неинтегрируемость уравнений движения связки в общем случае и указаны интегрируемые случаи (они будут лишь в том случае, когда система является гиростатом и сопряженнным гиростатом) и установлена топология совместных уровней интегралов движения в частных интегрируемых случаях. В данной диссертации проводится более детальное изучение частного случая этой задачи - волчка Эйлера с эксцентриком.
Во втором разделе на основании общего утверждения из первой главы установливается структура совместных уровней интеграла энергии и линейных интегралов движения не только для интегрируемых случаев, но в общем случае;
В третьем разделе выписываются уравнения движения и первые интегралы в системе координат, связанной с эксцентриком. В этой системе координат они выглядят наиболее просто. В работе Е.А.Ивина такое представление (в системе координат, связанной с ротором) названо сопряженным представлением.
В четвертом разделе отыскиваются стационарные движения системы в общем случае.
Пятый и шестой разделы посвящены интегрируемому случаю. В соответствии с результатами работы Е.А.Ивина задача о волчке Эйлера с эксцентриком будет интегрируема в случае, когда волчок Эйлера динамически симметричен. Нетрудно понять, что это частный случай задачи о движении гиростата, когда динамически симметричное твердое тело играет роль ротора, а роль твёрдого тела выполняет совокупность двух точек -неподвижной точки и эксцентрика. Задача о движении гиростата хорошо изучена. Н.Е.Жуковский [16] первым обратил внимание, что такими же уравнениями описывается движение тела с полостями, заполненными идеальной жидкостью. Ряд фундаментальных работ по динамике гиростатов принадлежит П.В.Харламову, их анализ приведен в книге [46]. Важные результаты по устойчивости стационарных вращений гиростата принадлежат В.В.Румянцеву, см. обзор [5]. Существует множество работ других авторов, связанных с задачей о гиростате: Сретенский Л.Н. [34] и др.
В пятом разделе для динамически симметричного волчка Эйлера с эксцентриком (частного случая гиростата) показывается, что эта задача при определённых начальных условиях эквивалентна задаче о движении твёрдого тела без эксцентрика, под действием определённой силы.
В последнем разделе указывается топологическая структура совместных уровней интегралов для интегрируемого случая.
В третьей главе рассматриваются две неголономные механические системы с полным набором независимых линейных инвариантных соотношений.
Первая из них, симметричные сани Чаплыгина, рассмотрена в первом разделе. Эта механическая система представляет собой симметричный конек, скользящий по гладкой поверхности. Задача о санях Чаплыгина рассматривалась ранее в [31], где были выведены уравнения движения для общего случая и рассмотрены частные случаи некоторых поверхностей вращения, по которым движется конек.
В данной работе показывается, что для симметричного конька всегда существует первый интеграл движения линейный но скоростям. Вместе с неголономной связью он образует систему независимых линейных инвариантных соотношений. Поэтому здесь применима теория, развитая в первой главе диссертации. Опираясь на выводы той главы, устанавливается структура многообразия совместного уровня инвариантных соотношений и интеграла энергии. Компактная компонента этого многообразия оказывается сферическим расслоением компактной поверхности, по которой движется конек.
В подразделах изучена динамика двух интегрируемых случаев этой задачи — симметричного конька на поверхности вращения и на цилиндрической поверхности.
Вторая задача, рассмотренная во втором разделе главы, -это задача Суслова с эксцентриком, в случае, когда твёрдое тело динамически симметрично. Это частный случай более общей задачи о движении гиростата с наложенной на него неголономной связью Суслова, рассмотренной в [45]. Такая механическая система представляет собой динамически симметричный волчок Эйлера с эксцентриком (в той постановке, которая дана в третьей главе), на который наложена неголономная связь Суслова. Эта связь здесь понимается следующим образом: проекция вектора угловой скорости системы координат, связанной с эксцентриком на подвижную ось, жестко связанную с эксцентриком (причём на ту, вокруг которой эксцентрик не вращается), равна нулю.
Устанавливается, что для этой задачи, помимо очевидного линейного по скоростям первого интеграла - третья компонента угловой скорости твёрдого тела в подвижных осях постоянна, существует ещё один линейный по скоростям первый интеграл уравнений движения системы. Вместе с линейной неголономной связью эти два интеграла образуют полный набор независимых инвариантных соотношений. Поэтому здесь применимо утверждение первой главы, опираясь на которое устанавливается структура многообразия совместного уровня инвариантных соотношений и интеграла энергии. И соответственно, компактная компонента этого многообразия оказывается диффеоморфна 50(3) х Я1.
В четвертой главе рассматривается вопрос о структуре многообразия уровня интеграла энергии и инвариантных соотношений, когда конфигурационное пространство механической системы с полным набором независимых линейных инвариантных соотношений является неориентируемым многообразием.
В первом разделе даются основные понятия, связанные с неориентируемым случаем.
Во втором разделе доказывается общее утверждение, аналогичное случаю ориентируемого конфигурационного многообразия. Как и в ориентируемом случае, оказывается, что естественная проекция многообразия уровня является двухлистным накрытием, однако число компонент связности многообразия уровня оказывается иным. Утверждение заключается в следующем. Если конфигурационное многообразие компактно и связно, то при заданных значениях констант линейных интегралов найдется достаточно большое значение константы интеграла энергии, что многообразие уровня будет иметь одну компоненту связности, диффеоморфную так называемому ориентирующему многообразию конфигурационного многообразия. Все замечания и следствия первой главы здесь остаются справедливыми.
В третьем разделе это утверждение иллюстрируется примером механической системы, конфигурационное многообразие которой - неориентируемо. Она состоит из двух материальных точек, на координаты которых наложены голономные связи так, что в качестве конфигурационного многообразия получается бутылка Клейна. А многообразие совместного уровня интеграла энергии и имеющегося в этой системе линейного интеграла будет двумерным тором.
4. Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих научных семинарах и конференциях:
- Семинар по гамильтоновым системам и статистической механике кафедры теоретической механики и мехатроники
МГУ под руководством акад. РАН В.В. Козлова, чл.-корр. РАН Д.В. Трещева, проф. C.B. Болотина, 2003 г.;
- Семинар по аналитической механике и устойчивости движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством акад. РАН В.В. Румянцева, чл.-корр. РАН
B.В. Белецкого, проф. A.B. Карапетяна, 2004 г.;
- Семинар по динамике относительного движения кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого, проф. Ю.Ф. Голубева, доц. К.Е. Якимовой, доц. Е.В. Мелкумовой, 2004 г., 2007г.;
- Семинар отдела механики ВЦ РАН под рук. проф.
C.Я. Степанова, проф. A.B. Карапетяна, 2004 г., 2007 г.;
- Научная конференция Ломоносовские чтения МГУ им.М.В. Ломоносова, апрель 2003 г.;
- Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике, Великие Луки, 23-28 августа 2004 г.;
- Конференция-конкурс молодых ученых института Механики МГУ им. М.В. Ломоносова, 2004 г., 2005 г.;
- XLII Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, Российский Университет Дружбы Народов, апрель 2006 г.
Результаты работы опубликованы в [48], [49], [50], [51], [52].
Заключение.
В заключении перечислим основные результаты, полученные в работе.
Доказано общее утверждение о топологии совместных уровней интеграла энергии механической системы и полного набора независимых инвариантных соотношений линейных по скоростям. В случае ориентируемого конфигурационного многообразия уровень имеет две компоненты связности, каждая из которых диффеоморфна конфигурационному многообразию системы. В неориентируемом случае уровень имеет одну компоненту связности, диффеоморфную ориентирующему многообразию конфигурационного многообразия.
Теорема применима в том числе и для неголономных систем с дифференциальными связями линейными по скоростям. В этом случае к линейным инвариантным соотношениям относятся и непроинтегрированные связи.
Получен ряд следствий из основного утверждения, наиболее интересными из них являются такие:
• Если натуральная консервативная механическая система с компактным гладким конфигурационным многообразием, отличным от тора, имеет полный набор линейных по импульсам интегралов в инволюции, то эти интегралы будут зависимы по импульсам в некоторых точках конфигурационного пространства;
• Если натуральная механическая система с компактным гладким конфигурационным многообразием, отличным от тора, имеет полный набор линейных и независимых первых интегралов, то не существует канонического преобразования координат, в которых каждый из этих интегралов был бы циклическим.
Приведены примеры систем (в том числе неголономных и с неориентируемым конфигурационным многообразием), в которых применима доказанное утверждение. Для некоторых систем проведен анализ динамики движения на инвариантных уровнях. А именно:
В качестве примера голономной механической системы с ориентируемым конфигурационным многообразием рассмотрена задача о движении волчка Эйлера с эксцентриком. Показано, что для неё выполняются условия утверждения, поэтому топологическая структура многообразия уровня первых интегралов этой системы следующая, она имеет две компоненты связности, каждая из которых диффеоморфна 50 (3) х 51.
Исследованы некоторые вопросы динамики волчка Эйлера с эксцентриком. Найдены следующие семейства стационарных решений для этой задачи. Один класс стационарных движений, когда эксцентрик покоится в абсолютной системе координат, а твердое тело равномерно вращается вокруг той главной оси, к которой прикреплен невесомый стержень с эксцентриком. Стационарные движения другого семейства возникают, когда вся система движется как твердое целое. Исследован интегрируемый случай этой задачи (т.е. случай, когда волчок Эйлера динамически симметричный и система является гиростатом). Для него показывается, что такая задача будет эквивалентна задаче о движении некоторого твёрдого тела с закрепленной точкой без эксцентрика под действием определённого поля сил и при фиксированных начальных условиях. Исследованы две неголономные системы с ориентируемыми конфигурационными многообразиями, для которых тоже можно воспользоваться доказанным утверждением.
Первая из них — это задача о движении симметричных саней Чаплыгина, по гладкой поверхности. Показано, что помимо интеграла энергии и неголономной связи система допускает ещё один первый интеграл линейный по скоростям. Условия доказанного утверждения выполняются и топологическая структура соответствующего многообразия уровня имеет две компоненты связности, каждая из которых диффеоморфна сферическому расслоению поверхности, по которой происходит движение. Изучена динамика двух интегрируемых случаев этой задачи — симметричного конька на поверхности вращения и на цилиндрической поверхности.
В качестве ещё одного примера неголономной механической системы рассмотрена задача Суслова с эксцентриком в случае динамически симметричного твёрдого тела (частный случай неголономного гиростата). Топологическая структура соответствующего многообразия уровня имеет две компоненты связности, каждая из которых диффеоморфна 50(3) х 51.
Рассмотрена механическая система с неориентируемым конфигурационным многообразием — К2 (бутылкой Клейна ). На основании доказанного утверждения установлена топологическая структура многообразия уровня этой системы, которая оказалась двухмерным тором.
1. Абраров Д.Л. Топологические припятствия к существованию условно-линейных интегралов. Вестн. Мое. Ун-та. Мат., мех., 1984, №6, с. 72 - 75.
2. Абраров Д.Л. Топологические припятствия к существованию условно-линейных интегралов. Дис.: канд. ф.-м. наук.
3. Александров И.В. О реализации многообразий в виде интегральных поверхностей в гамильтоновых системах с некоммутативным набором интегралов. Вестн.Моск.ун-та, сер.1 мат., мех., 1991, N2, 69-72с.
4. Александров И.В. Топологический анализ гамильтоновой системы с некоммутативным полным набором интегралов. Вестн.Моск.ун-та, сер.1 мат., мех., 1990, N3, 13-18с.
5. Анчев. А., Румянцев В.В. О динамике и устойчивости гиростатов. Успехи механики, т.2, вып. 3, 1979, с. 3-45.
6. Аппель П. Теоретическая механика. Т.2 М., Физматгиз, 1960.
7. Арнольд В.И. Математические методы классической и небесной механики М., Эдиториал УРСС, 2000 408с.
8. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Эдиториал УРСС, 2002. - 416с.
9. Борисов A.B., Мамаев И.С. (научная редакция) Классическая динамика в неевклидовых пространствах ISBN 5-93972-368-3, ИКИ, 2004 г. 348 с.
10. Борисов A.B., Мамаев И.С. Динамика твёрдого тела. М., Ижевск, 2001.
11. Веселов А. П., Веселова JI. Е. Интегрируемые неголономные системы на группах Ли. Мат. зам., 1988, т. 44, №5, с. 604-619.
12. Веселов А. П., Веселова JI. Е. Потоки на группах Ли с неголономной связью и интегрируемые неголономные системы. Функц. анализ и его приложения, 1986, т. 20, вып. 4, с. 65-66.
13. Веселова Л.Е. О двух задачах динамики твёрдого тела. Вестник МГУ, сер. мат-мех., 1986, №5, с. 90-91.
14. Веселова Л. Е. Новые случаи интегрируемости уравнений движения твер- твердого тела при наличии неголономной связи. Сб. Геометрия, диф. уравнения и механика, МГУ, 1986, с. 64-68.
15. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия М., Эдиториал УРСС, 2001, т. 2 293с.
16. Жуковский Н.Е. О движении твёрдого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. Собр. соч. Т.1 М., 1949, с. 31-152.
17. Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. Изд. 2-е, перераб. — М.: Физматлит, 2001. 320с.
18. Ивин Е.А. Разделение переменных в задаче о движении гиростата. Вестник Моск. университета, 1985, №3, с. 64-69.
19. Ивин Е.А. Неинтегрируемость уравнений движения связки твёрдых тел. Сб.: Механика деформируемых сред. Изд. Мое. университета, 1985.
20. Ивин Е.А. Некоторые вопросы качественного анализа в динамике связки двух твёрдых тел. Дис.: канд. физ-м. наук, 1985.
21. Козлов В.В. Топологические препятствия к интегрируемости натуральных механических систем. ДАН СССР. 1979, т. 249, №6, 1299-1302.
22. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск, Изд-во ИдГУ, 1995 -432с.
23. Козлов В.В. К теории интегрирования уравнений неголономной механики. Успехи механики, 1985.
24. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твёрдого тела, Московский университет, 1980.
25. Козлов В.В., Трещёв Д.В. Об интегрируемости гамильтоновых систем с торическим пространством положений, Матем. сб. -1988, т. 135, №1, 119-138.
26. Маркеев А.П. Динамика тела, соприкасающегося с твёрдой поверхностью. М.: Наука, 1992, 335с.
27. Милнор Дж. Теория Морса М., Мир, 1971.
28. Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем. Функциональный анализ, 1978, т. 12, вып. 2, с.46-56.
29. Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Интегрирование гамильтоновых систем с некоммутативными симметриями. В кн: Труды семинара по векторному и тензорному анализу, вып. 20, М., МГУ, 1980, с.5-54.
30. Нехорошев H.H. Переменные действие-угол и их обобщения -Тр. Моск. мат. о-ва, 1972, Т.26, с.181-198.
31. Орешкина Л.Н. Некоторые обобщения задачи о санях Чаплыгина. Механика твёрдого тела. Донецк, вып. 19, 1986, с. 43 39.
32. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М., Наука, 1977 488с.
33. Синг Дж.Л. Классическая динамика. М., Физматгиз, 1963 -РЖМех, 1963, 12А83К.
34. Сретенский Л.Н. О некоторых случаях движения твёрдого тела с гиростатом. Вестник МГУ, сер. матем.-мех.,1963, №3 с. 60-71.
35. Сумбатов A.C. О линейных интегралах уравнений движения со множителями связей. Вестн. Моск. Ун-та. Сер. Мат., мех. 1970. № 4. С. 99-101.
36. Сумбатов A.C. О линейных интегралах неголономных систем. Вестн.Моск.ун-та, сер. мат., мех., 1972, N6, 77-83.
37. Сумбатов A.C. Об интегрировании уравнений динамики с множителями связей, Прикл. матем. и мех., 1972, 36, вып.1,163-171.
38. Сумбатов A.C. Интегралы, линейные относительно скоростей. Обобщения теоремы Якоби. В сб.: Общая механика. Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. М., 1979, 4.
39. Суслов Г.К. Теоретическая механика, M-J1: ОГИЗ, 1946.
40. Тайманов И.А. О топологических свойствах интегрируемых геодезических потоков Матем. заметки, 1988, Т. 44, №2, с. 283284.
41. Татаринов Я.В. Лекции по классической динамике. М., МГУ, 1984.
42. Татаринов Я.В. Построение компактных инвариантных многообразий, отличных от торов, в одной неинтегрируемой неголономной задаче. Успехи матем. наук, 1985, т.40, вып. 5.
43. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.-Л., Гостехиздат, 1937.
44. Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. М., МГУ, 1983, 217с.
45. Харламов П.В. Гиростат с неголономной связью. Механика твёрдого тела, 1971, вып.З, с. 120-130.
46. Харламов П.В. Лекции по динамике твёрдого тела. Новосибирск: изд-во Новосибир. ун-та, 1965.
47. Харламова Е.И. Движение твёрдого тела вокруг неподвижной точки при наложении неголономной связи. Труды Донецк. Индустр. ин-та, т.20, вып.1, Донецк 1957.
48. Кугушев Е.И., Мельдианова В.А. Многообразия уровней линейных интегралов механических систем. Вестн. Моск. ун-та, сер.1 мат.,мех., 2007, N3, 44-50с.
49. Мельдианова В.А., Кугушев Е.И. Об инвариантных многообразиях механических систем. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №19, 2002-32с.
50. Мельдианова В.А., Кулешов A.C., Кугушев Е.И. О многообразиях уровня линейных интегралов механических систем. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №15, 2003-20с.
51. Мельдианова В.А. О волчке Эйлера с эксцентриком. Препринт МГУ им. М.В.Ломоносова, 2006-32с.
