Вопросы БРСТ-квантования калибровочно-инвариантных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

гб и з;й ..

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.М.В.ЛОМОНОСОВА

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ

« На правах рукописи

РЫБКИН Григорий Николаевич

ВОПРОСЫ БРСТ-КВАНТОВАНИЯ КАЛИБРОВОЧНО-ИНВАРИАНТНЫХ СИСТЕМ

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1992

Работа выполнена в Институте ядерных исследований РАН

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, с. н. с. А. В. Разумов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Ю. С.Вернов. доктор физико-математических наук В.П.Павлов

*

Ведущая организация:

Объединённый институт ядерных исследований; г. Дубна

Защита состоится СДуУТ-^ЦйиА^ 1992 Г. В 16 ч.

на заседании Специализированного совета К 053. 05.24 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова

Адрес: 119899, Москва, НИИЯФ МГУ, 19 корпус, ауд. 2-15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИИЯФ МГУ

Автореферат разослан < 1932 г.

Учёный секретарь Совета

дгсишай''

ТШТЕ.ЧД

•тдел ■ергаций

- ОБЩА Я ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность гены .

Калибровочно-инвариантные системы играют важную роль в построении теории.элементарных частиц. Для любой калибровочно- инвариантной системы лагранжиан, как известно, с необходимостью является вырожденным. В га-нильтоновом формализме зто ведёт к возникновению связей на переменные исходного фазового пространства.

В последнее вреня основным-методом построения кова-риантной квантовой теории калибровочно-инвариантных систем является метод БРСТ-квантования. Этот метод наиболее детально и последовательно разработан в своей гамильтоновой форме в работах Баталина, Вилковыского и Фрадкина. В основе БВФ-подхода лежит идея глобальной суперсимметрии особого вида, которая в гамильтоновом формализме является обобщением ВРСТ-симметрии! первоначально введённой в лагранжевом формализме в абелевой калибровочной теории и в теории полей Янга-Миллса в работах Бекки, Рюэ, Стора и Тзотина, и которую сейчас общепринято также называть БРСТ-симметрией. Ключевым моментом в рамках БВФ-подхода является построение гамильтонова БРСТ-заряда и ВРСТ-инвариантного гамильтониана. Выписана система•уравнений с граничными условиями, позволяющая в принципе найти эти величины в виде рядов по степеням духовых переменных. Однако в общем случае эти уравнения не решены, и явный вид гамильтонова БРСТ-заряда"и БРСТ-инвариантного гамильтониана не найден. В качестве шага на пути решения этой задачи имеет смысл исследовать её для какого-либо более узкого класса калибровочно-инвариантных систем. Представляет также несомненный интерес и применение БВФ-подхода к каждой конкретной калибровочно-инвариантной системе.

С точки зрения физики, наличие калибровочной инвариантности отражает тот факт, что для описания системы используется избыточное число переменных. При построении БРСТ-формализма дополнительно ♦ вводятся духовые переменные. Таким образом, после квантования системы, описываемой эффективным действием, получается слишкон широкое пространство состояний. Кроме того, полное пространство состояний в БРСТ-квантовании является пространством с индефинитной метрикой. Для того, чтобы последовательно изучать свойства операторов в таком пространстве, корректно определить пространство физических состояний и доказать положительную определённость метрики в нём, необходимо вводить дополнительную структуру, позволяющую сформулировать понятие сходимости. Реализовать эту программу важно уже в случае систем, для которых БРСГ-заряд квадратичен по полям, поскольку при условии существования для системы асимптотических состояний и асимптотических полей оператор сохраняющегося БРСТ-заряда, как показали Куго и Оджима, выражается в терминах асимптотических полей квадратичным образом.

Цели работы

- Для калибровочно-инвариантных систем, для которых алгебра калибровочных преобразований в лагранжевом формализме является замкнутой, найти явный вид гамильто-нова БРСТ-заряда и БРСТ-инвариантного гамильтониана.

- Вывести ковариантные представления для Б-матрицы самодействующего антисимметричного тензорного поля в рамках БВФ-подхода.

- Исследовать структуру пространства состояний в БРСТ-квантовании систем, для которых БРСТ-заряд квадратичен по полям, и провести строгое доказательство положитель-

ной определённости метрики в пространстве физических состояний. Установить связь с подходок Куго и Оджимы к доказательству положительности метрики в пространстве физических состояний.

Научная новизна и практическая ценность В диссертации впервые для широкого класса калибро-вочно-инвариантных систем для гамильтонова БРСТ-заряда и БРСТ-инвариантного гамильтониана получены явные выражения, которые позволяют вычислять все высшие структурные функции как коэффициенты разложений по степеням духовых переменных.

Впервые при исследовании пространства состояний в БРСТ-квантовании введена конкретная топология, что, в частности, позволило учесть тот факт, что оператор ЕРСТ-заряда является неограниченным оператором.

Перечисленное является полезным для конкретного применения метода ЕРСТ-квантования в теории калибровочно-инвариантных систем и важным для дальнейшего развития метода БРСТ-квантования.

Основные результаты диссертации:

1) Построен БВФ-формализм для калибровочно-инвариантных систем, для которых алгебра калибровочных преобразований в лагранжевом формализме является замкнутой. Для этого в расширенном фазовом пространстве были введены функции р , и в терминах этих функций найдены

Г

явные выражения для гамильтонова БРСТ-заряда и БРСТ-инвариантного гамильтониана. Функции р^ могут быть получены в виде, в общем случае бесконечных, рядов по степеням духовых переменных. Явные выражения для всех структурных функций рассмотренных систем вычисляются как коэффициенты соответствующих разложений для гамиль-

тонова БРСТ-заряда и БРСТ-инвариантного гамильтониана.

2) Выведены ковариантные представления для матрицы самодействующего антисимметричного тензорного поля в рамках БВФ-подхода. Полученные результаты свидетельствуют об унитарности подхода БВФ.

3) Пространство состояний в БРСТ-квантовании систем, для которых БРСТ-заряд квадратичен по полям, реализовано как пространство Крейна и для него получен аналог разложения Ходжа. На основе этого разложения показано, что пространство физических состояний в БРСТ-квантовании рассматриваемых систем является, гильбертовым пространством, что, в частности, доказывает положительную определённость метрики в пространстве физических состояний. Установлена связь между подходом к доказательству положительности метрики в пространстве физических состояний, предложенным в диссертации, и подходок Куго и Оджимы.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались на семинарах Отдела теоретической физики ИФВЭ, на XI и XII Международных семинарах по пробленам физики высоких энергий и теории поля (Протвино, июль 1988 и 1989 г.г.), на семинарах кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц НИИФ ЛГУ, Лаборатории теоретической физики ОИШ.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 5 статей.

Объём и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав основного текста, заключения и двух приложений, содержит список литературы из 104 наименований. Общий объем - 94 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении дан краткий обзор исследуемых вопросов, сформулированы задачи работы и обоснована их актуальность.

Глава 1 посвящена реализации БВФ-подхода для ка-либровочно-инвариантных систем, для которых алгебра калибровочных преобразований в лагранжевом формализме является занкнутой.

В разделе 1 рассматриваются механические системы, задаваемые лагранжианом Ь(д, д), где через д и д обозначены набор обобщённых координат дг и набор обобщённых скоростей qг, г=1, —, N. для которого преобразования траектории

где а=1.....М, а еа(Ъ) - произвольные бесконечно малые

функции времени, являются преобразованиями симметрии. При этом предполагается, что данные калибровочные преобразования образуют замкнутую алгебру. Для таких калибровочных преобразований получены коммутационные соотношения и исследованы следствия тождества Якоби.

В разделах 2 и 3 дано гамильтоново описание рассматриваемых систем, и изучены структурные функции первого порядка.

Вследствие калибровочной инвариантности, образом пространства состояний в данной случае является (2И-М)-мерная поверхность в фазовом пространстве, которую можно задать с помощью м функционально независимых первичных связей Р)■ Перейдя к гамильтонову фор-

мализму необходимо вычислять скобки Пуассона различных

функций (в частности, гамильтониана и связей), первоначально определённых на поверхности первичных связей.. Таким образом, следует задать продолжение этих функций с поверхности первичных связей. В работе предложен

■ следующий вариант продолжения функций. Каждой точке фазового пространства ставится в соответствие точка на поверхности первичных связей, т. е. всё фазовое пространство проектируется на поверхность первичных связей. Для произвольной функции, заданной по меньшей мере на поверхности первичных связей, определяется во веек фазовом пространстве продолжение так, что для произвольной точки фазового пространства значение продолжения равно значению исходной функции в проекции этой точки на поверхность первичных связей. Показано, что этот способ продолжения функций совпадает с так называемым стандартным продолжением.

Далее было выяснено, что в гамильтоновом формализме для рассматриваемых систем возникают ещё вторичные связи .р), которые вместе с первичными связями

образуют набор связей первого рода, и что гамильтониан р) является величиной первого рода. В частности,

■ имеют место соотношения

Р). ^ (ч. р) > = -2 и^я.р)*^, р) ,

где { , > означает скобку Пуассона двух функций, а ве-

11 Ч

личины и ° являются структурными функциями первого сср

порядка 'алгебры связей.

В разделе 4 построен формализм Баталина-Вилковыс-кого-Фрадкина для рассматриваемых систем, т. е. найдены явные выражения для гамильтонова ЕРСТ-заряда и БРСТ-инвариантного гамильтониана. Для этого фазовое прос-

транство было расширено добавлением к исходным (чётным) переменным qr, рр нечётных переменных Ра, ¡?а и переменных § , ¡Р , канонически сопряжённых им. В расширенном фазовом пространстве был введён набор функций Рг(q, р, 6, Р) как решение системы уравнений

Рг - Рг- СС^СЧ-Р)^ •

где функции С (Ч> Р) являются стандартными продолжения-

^зг й • г а

ми функций д(£3т)р)/дс! , а векторы т} (д) дуальны к

г а®' г б г 8

векторам ф (а), т. е. имеет место ф тг = 5 . Далее было

<Х ОС г ос

показано,, что функция' П, заданная в расширенном фазовом пространстве соотношением

а = Ла«г.£) + + >аФа(д, Р) ,

удовлетворяет равенству {П, П} = о и, таким образом, является гамильтоновым БРСГ-зарядом. Аналогичное компактное выражение в терминах функций рг было найдено и для БРСТ-инвариантного гамильтониана Я.

В разделе 5 отмечено, что функции р могут быть

г

представлены как набор, в общем бесконечных, рядов по степеням духовых переменных, и что все структурные функции теории вычисляются как коэффициенты соответствующих разложений для Я и К. В частности; для трёх первых членов ряда получено

Р = Р - с + —- с + ... ,

г г г я», *

где Сг = и- соответственно, для структурных

функций первого и второго порядка алгебры связей имеют место выражения

и А

-(

ЗФ

С 2 )

и

5с

«07

И

а2«-

+ ш

ар ар

«Э '

где А означает полностью антисимметричную по отношению к нижним индексам часть.

Глава 2 посвящена БРСТ-квантованию самодействующего антисимметричного тензорного поля на основе подхода Баталина-Вилковыского-Фрадкина.

В разделе 1, исходя из лагранжиана, дано гамильто-ново описание систены. Показано, что в ганильтоновом формализме возникают связи первого рода' на канонические переменные, и что гамильтониан систены является величиной первого рода. При этом связи являются приводимыми со стадией приводимости Ь=1.

В разделе 2 найдены явные выражения для гамильтонова БРСТ-заряда и БРСТ-инвариантного гамильтониана. При этом БРСТ-инвариантный гамильтониан представляет собой многочлен четвёртой степени относительно духовых полей и является, таким образом, нетривиальным обобщением исходного гамильтониана. Эффективный гамильтониан получается добавлением к найденному БРСТ-инвариантному гамильтониану члена, равного скобке Пуассона БРСТ-заряда и нечетной функции, определяемой выбором калибровочных условий. При двух различных выборах калибровочных условий были выписаны выражения для Б-мат-рицы системы в виде континуального интеграла по расширенному фазовому пространству. Далее, после определённых преобразований и интегрирований, были исключены духовые поля и получены ковариантные представления для

Э-матрицы'самодействующего антисимметричного тензорного поля, которые совпали с представлениями, первоначально найденными на основе канонической формулировки теории. Это демонстрирует унитарность гамильтонова подхода Баталина-Вилковыского-Фрадкина.

Обсуждение, полученных результатов и их сопоставление с результатами других авторов проведено в разделе 3.

Глава 3 посвящена исследованию структуры пространства состояний в БРСГ-квантовании калибровочно-инвариантных систем, для которых оператор БРСТ-заряда квадратичен по полям.

В разделах 1 и 2 излагаются необходимые сведения о пространствах ¡Срейна и описывается конкретная реализация пространства Крейна, возникающая в БРСТ-кванто-вании. Считается, что пространство асимптотических состояний V есть фоковское пространство, на котором действуют операторы А и а , а^ с , с] как обычные операторы уничтожения. Индексы а и 1 здесь могут принимать как дискретные, гак и непрерывные значения. Этим операторам приписывается определённая чётность так, что чётности операторов а] и а( совпадают (аналогично совпадают чётности операторов с[ и с^, а чётности операторов а1 и с1 различны. Сопряжение относительно положительно определённого скалярного произведения ( , ) обозначается звездой. Таким образом, А*

• —• » _» а

и а^ а[, с , есть операторы рождения, чётность которых по определению совпадает с чётностью соответствующих операторов уничтожения. Чётные (нечётные) операторы удовлетворяют обычным коммутационным (антикоммутационным) соотношениям. Векторы, порождаемые . действием операторов рождения на вакуумный вектор и, который считается чётный, образуют базис в V. Так

вводится в V структура г^градуированного гильбертова пространства. Далее соотношениями

¿к'а'1 а • = V

Да*|Т~1 п 1 * = а 1

Зс*Х~1 1 = с*. 1 1 1 • = с 1

СГш = и.

задаётся оператор 3, . который удовлетворяет равенствам

• 2

J = Л", Д I и является чётным. Таким образом,

оператор Л определяет на V структуру 22~градуированного пространства Крейна. При этом индефинитное скалярное произведение < , > связано со скалярным произведением ( , ) соотношением

и> = (v, Ли).

Для линейного оператора А с плотной областью определе-

+ •

ния справедливо равенство А = .ТА Л, где крестом обозначается сопряжение относительно скалярного произведения < , >. С помощью этого равенства и определения оператора J показывается, что имеют место коммутационные соотношения

[А , А*] = 5 1 а /З-1 а/3

[а , а*] = 5 ' , [а , а+] = 5 ,

'-Г.)-1 и 1 1' .) -1 13*

[с ,с*] = 5,,, Г с , с+ ] =5 ,

1 } 1 J 1 1 )■> 1 J

которые и возникают в БРСТ-кванговании. Здесь [ , ] означает обобщённый коммутатор, который для краткости называется просто коммутатором. Операторы А+ и Ад называются операторами рождения и уничтожения физических частиц,' а операторы а*, а*, с*, с* и а , а , с(,

5 - операторами рождения и уничтожения нефизических частиц. Фактически индефинитность метрики на пространстве асимптотических состояний в БРСТ-квантовании проистекает из неканонического вида коммутационных соотношений для операторов рождения и уничтожения нефизических частиц. '

Раздел 3 посвящен рассмотрению оператора БРСТ-заряда и доказательству положительности метрики в пространстве физических состояний. В качестве оператора БРСТ-заряда используется оператор <2, формально заданный соотношением

О.= а+с + с * а . ^ 11 11

Для того чтобы определить оператор С2 строго, необходимо

задать его область определения О). С этой целью

рассмотрен оператор числа нефизических частиц N. и

гильбертово пространство V разложено в прямую сумму

замкнутых попарно ортогональных подпространств V

Л

таких, что Му = пу для любого v еУ . Формальное

п п п п

выражение для оператора 0 позволяет задать его действие на векторы из V для любого фиксированного п, при этом

п

• Теперь можно определить оператор <2, полагая

га оо со

= {v = 2 v б V) 2 ¡¡0л/ II2 < со }, = X Оу ,

п " п" п

п « 0 п = О п = О

где || || означает норму, порождённую скалярным произведением ( , ). Оператор 0 имеет плотную область определения, удовлетворяет й+= 0, и, кроме того, на 0(0) справедливо равенство 02= о. Аналогично определяется оператор 0*, формально заданный соотношением

О = а с + с а .

11 II

На области определения оператора N выполняется

[<2. <3*] з <20* + 0*0 = N.

Далее показано, что любой вектор учУ ножно представить в виде

V = vo + (V) + о'х'(У), где векторы , (V) определены равенствами

ХМ" * ХМ в *

1 п= 1

* •

и Х(^), х (V) е 0(0)п). Физическое подпространство в НРСТ-квантовании выделяется условием 0V = О. Для любого вектора V из Кег(О) получено

V = + <2Х(У).

В качестве пространства физических состояний использовано фактор-пространство Н з Кег(й)/Е(0), которое может быть отождествлено с гильбертовым пространством Кег(И). Отсюда следует, в частности, что скалярное произведение на Н положительно определено.

В разделе 4 этой главы найдена линейная замена, с помощью которой операторы рождения и уничтожения нефизических частиц в пространстве асимптотических состояний, а также БРСТ-заряд, введённые Кугой и Оджимой, сводятся к использовавшимся в разделах 2 и 3 операторам. На основе этих соотношений в разделе 5 установлено, как связаны между собой два различных доказательства - Куго и Оджины и предложенное в диссертации -положительной определённости скалярного произведения в пространстве физических состояний. Обсуждение полученных результатов проведено в разделе 6.

Основные результаты диссертации сфорнулированы в Заключении.

В Приложении А вычислены все структурные функции второго порядка алгебры связей и гамильтониана для систем, рассмотренных в Главе 1, и доказаны использованные в отой главе тождества. •

Различные ковариантные представления для S-матрицы самодействующего антисимметричного тензорного поля приведены в Приложении Б.

Результаты диссертации опубликованы в следующих, работах:

1. Рыбкин Г.Н. БРСТ-квантование самодействующего антисимметричного тензорного поля // ТМФ. 1989. Т.78. No.1. С.154-160.

2. Рыбкин Г.Н. Гакильтоново БРСТ-квантование самодействующего антисимметричного тензорного поля: В сб. «Проблемы физики высоких энергий и теории поля».

М. : Наука, 1989. С. 410-418.

3. Razumov A.V. and Rybkin G.N. State space in BRST-quantization of gauge-invariant systems // Nucl. Phys. 1990. V.B332. No.1. P.209-223.

4. Rybkin G.N. State space in BRST-quantization and Kugo-Ojima quartets // Int. J. Mod.Phys. 1991. V.A6. No.10. P.1675-1691.

5. Rybkin G.N. Hamiltonian BRST formalism for gauge-invariant systems with closed algebra // Nucl. Phys. 1991. V.B365. No.2. P.335-353.

Отпечатано с оригинала, представленного автором, методом прямого репродуцирования

Ф-т 60x84/16 Уч-изд.л. 0,8 Заказ И0 18065 Тираж 100 экз. Бесплатно

Издательский отдел Института ядерных исследований Российской академии наук