Зависимость от калибровки в БВ и Sp(2)-ковариантном методах квантования и локальное суперполевое лагранжево БРСТ квантование тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

I

Решетняк Александр Александрович

ЗАВИСИМОСТЬ ОТ КАЛИБРОВКИ В БВ И 8Р(2)-КОВАРИАНТНОМ МЕТОДАХ КВАНТОВАНИЯ И ЛОКАЛЬНОЕ СУПЕРПОЛЕВОЕ ЛАГРАНЖЕВО БРСТ КВАНТОВАНИЕ

01.04.02 Теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

С уиУ

Ь '4

Томск - 2005

Работа выполнена в Томском государственном педагогическом университете.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Лавров Петр Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор Галажинский Антон Владимирович

доктор физико-математических наук профессор Шаповалов Александр Васильевич

Ведущая организация:

Объединенный Институт Ядерных Исследований, Лаборатория теоретической физики им. НН. Боголюбова

Защита состоится £¿¿2005 г- в час. 00 мин. на заседании дис-

сертационного совета К 2122 66 Л1 гфи Томском государственном педагогическом университете по адресу: 634041, г. Томск, Комсомольский проспект, 75.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного педагогического университета по адресу 634041, г Томск, Комсомольский проспект, 75.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

Румбешта Е А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Задача построения теоретико-полевых моделей, позволяющих описывать известные в настоящий момент фундаментальные взаимодействия между элементарными частицами - электромагнитное, слабое, сильное, гравитационное, включая возможное единое их описание, по-прежнему является основной в теоретической физике высоких энергий. Она решается, как правило, на основе принципа локальной калибровочной инвариантности. Характерными чертами таких моделей являются как их приводимость и зависимость структурных функций калибровочной алгебры от полевых переменных, так и необходимость введения калибровки.

Непротиворечивые правила квантового описания физических величин в калибровочных теориях, сохраняющие локальность, Пуанкаре-ковариантность и обобщающие применимые для теорий с калибровочной группой правила Фаддеева-Попова, используют принципы БРСТ- и расширенной БРСТ-симметрий. Эти глобальные суперсимметрии реализованы соответственно в лагранжевом формализме - в методах Баталиха-Вилковыского (БВ-метод) и лагранжевом 8р(2)-ковариантном, и в гамиль-тоновом - в методах Баталии а-Фрадкина-Вилковыского (БФВ-метод) и обобщенном каноническом Б р (2 )-ковариантном.

В лагранжевых методах одними из актуальных являются задачи изучения вида зависимости физических величин, в частности, эффективного действия (ЭД) от калибровки в калибровочных теориях общего вида, в том числе включающих составные поля. Хорошо известно, что функции Грина, содержащие всю информацию о квантовых свойствах системы, зависят от калибровки Однако эта зависимость носит специальный характер. В частности, физические величины, в том числе Э-матрица, от калибровки не должны зависеть. Актуальность анализа калибровочной зависимости для калибровочных теорий с составными полями в рамках 8р(2)-ковариантного квантования обусловлена необходимостью исследования свойств самого метода квантования ЭД с составными полями рассматривают при обсуждении явления динамического нарушения киральной симметрии в различных теориях, а также в четырехфермионных моделях, где фермионы образуют составные связанные состояния способные выполнять роль хиггсовских полей при динамическом нарушении симметрии в Стандартной модели. Составные связанные состояния могут играть роль инфлатона в моделях расширяющейся Вселенной. Они используются в формулировке теории сверхпроводимости и существенны в применении вильсоновского ЭД в суперсимметричных теориях.

Совершенствование методов квантования калибровочных теорий, в том числе реализующих принцип (расширенной) БРСТ-симметрии, является важной задачей теоретической физики, приводящей к созданию новых схем квантового описания моделей и выявляющей особенности самих процедур квантования. Развитие лагранжевых методов БРСТ квантования осуществлялось как в напра] |

БИБЛИОТЕКА СП* О»

гиперкалибровок в рамках "многоуровневого" формализма Баталина-Тютина, так и 8р(2)-ковариантный преобразовывался к схемам Sp(2)-симметричного, триплектичес-кого и модифицированного триплектического квантований. Открытая Бонорой, Пасти и Тониным геометрическая реализация БРСТ- и расширенных БРСТ-преобразований в виде трансляций вдоль соответствующих дополнительных скалярных грассманов-ских координат в и (в, в), расширяющих пространство Минковского, позволила построить лагранясевые действия для янг-миллсовских теорий и привела к созданию различных суперполевых версий БРСТ-квантования в лагранжевом (в работах П.М. Лаврова, П.Ю. Мопгина. A.A. Решетняка) и гамильтоновом (в работах И.А. Баталива, К. Беринга, П. Дамгаарда) формализмах. Свойства суперполевого квантования тесно связаны с суперполевой формулировкой теорий Черна-Саймонса, (пуассоновских) сигма-моделей, теорий с полями высших спинов.

В суперполевом лагранжевом квантовании, в целом обеспечивающем сравнительно полный анализ свойств метода, не было проанализировано детальное соответствие между решениями производящих уравнений для квантового и калибровочно-фиксирующего действий и определением самой калибровочной модели. Как следствие определения производящего функционала функций Грина и вакуумного функционала имеют особенности, приводящие, в общем, к их отличию от соответствующих аналогов в БВ-методе и в формализме "первого" уровня БаталинагТютина. Кроме того, в указанных суперполевых квантованиях не рассматривалась задача введения суперполевого ЭД. Задача определения производящих функционалов функций Грина не рассматривалась и в методе Баталина-Тютина. Интерес также представляет формулировка правил квантования, в том числе в суперполевой форме, с приводимыми гиперкалибровками, возникающая при невозможности ковариантного наложения независимого набора гиперкалибровок на супермногообразии полей и антиполей. Актуальной является и задача обобщения суперполевого квантования на случай общих координат на произвольном антисимплектическом многообразии, что способствует выявлению геометрического содержания метода. Интересной представляется задача дуального описания произвольной приводимой суперполевой модели (ранее сформулированная М.А. Григорьевым и П. Дамгаардом на случая неприводимых калибровочных теорий с бозонными классическими полями и параметрами калибровочных преобразований) в терминах БРСТ-заряда для формальной динамической системы со связями первого рода более высокой стадии приводимости.

Указанные задачи можно разрешить в рамках локального варианта суперполевого квантования, реализуя правила представления исходных классических величин путем введения 0-локальной суперполевой модели (ЛСМ), представляющей расширение произвольной приводимой модели теории поля. Идея введения ЛСМ основана на аналогии с классической механикой (теорией поля), использующей нечетную временную переменную в. В рамках этой аналогии все объекты калибровочной теории поля, описывающие ЛСМ, представимы в виде функций - плотностей переменной в, тривиально зацепляющейся с пространственно-временными координатами. Этот подход

позволяет, в частности, подруюому взглянуть на происхождение классического мастер-уравнения в лагранжевом формализме.

Перечисленными фактами и обусловлена актуальность исследований по построению локальной формулировки суперполевого лагранжева квантования, которой совместно с изучением упомянутых задач калибровочной зависимости и посвящена данная диссертация.

Цель работы

Цель диссертационной работы заключалась в решении следующих задач:

- доказательство независимости от малой вариации калибровки эффективного действия с составными полями на массовой оболочке в рамках 8р(2)-ковариантного лагранжевого квантования; представление формы зависимости от калибровки эффективного действия с составными полями в методе БВ-квантования с помощью квантового генератора БРСТ-преобразований с составными полями;

- изучение зависимости от калибровочного параметра в специальной однопа-раметрической бэкграундовской калибровке однопетлевого эффективного действия в эйнштейновской гравитации;

- построение и изучение свойств нечетных лагранжевой и гамильтоновой формулировок произвольной приводимой Л СМ как естественного расширения обычной модели калибровочной теории классических полей в лагранжевом формализме;

- построение й-локальной формулировки суперполевого лагранжева квантования в неабелевых гиперкалибровках для приводимой калибровочной модели, специально выделенной из общей суперполевой модели; определение и изучение свойств ^-локальных производящих функционалов функций Грина;

- решение задачи дуального описания калибровочной теории конечной ¿-стадии приводимости в ковариантной формулировке в терминах БРСТ-заряда формальной динамической системы со связями 1 рода (£ + 1)-стадии приводимости;

- построение суперполевого лагранжева квантования в произвольных координатах на антисимплектическом многообразии;

- построение ^-локальной формулировки суперполевого лагранжева квантования для произвольной калибровочной модели в неабелевых зависимых гиперкалибровках конечной А'-стадии приводимости.

Научная новизна работы

Научная новизна диссертации определяется тем, что в ней исследованы калибровочные теории общего вида с составными полями в 8р(2)-ковариантном лагранжевом квантовании, выведены тождества Уорда для производящих функционалов функций Грина с составными полями, получены два представления для вариации ЭД с составными полями при малом изменении функционала, фиксирующего выбор калибровки. Представлена новая форма выражения калибровочной зависимости эффективного

действия с составными полями в методе БВ-квантования. Вычислено однопетлевое ЭД в эйнштейновской гравитации в специальной однопараметрической бэкграундов-ской калибровке с точностью до линейных членов в разложения по калибровочному параметру.

Научная новизна локальной формулировки суперполевого лагранжева БРСТ-квантования определяется, во-первых, заданием описания произвольной приводимой ЛСМ, как естественного расширения произвольной приводимой модели теории поля до нечетных лагранжевой и гамильтоновой формулировок ЛСМ. На основе предложенного формализма построена сама локальная формулировка суперполевого лагранжева квантования в неабелевых гиперкалибровках (существенно использующая формализм "первого уровня" работ Баталина, Тютина) для приводимой калибровочной теории, специально выделенной из общей ЛСМ. Во-вторых, формулировка квантования включает новый суперполевой алгоритм получения квантового действия, правила построения локальных производящих функционалов функций Грина, в том числе суперполевого ЭД, а также решение задачи дуального описания произвольной приводимой ЛСМ посредством БРСТ-заряда формальной динамической системы со связями первого рода более высокой стадии приводимости в рамках БФВ-метода. В-третьих, предложена формулировка функционального суперполевого метода в общих координатах на антисимплектическом многообразии. Правила локального суперполевого квантоваг-ния обобщены для случая зависимых неабелевых гиперкалибровок конечной К-стадии приводимости.

Научная и практическая значимость работы

Результатом исследования калибровочной зависимости в произвольных неаномальных калибровочных теориях с составными полями в рамках метода 8р(2)-ковари-антного лагранжева квантования стало доказательство утверждения о независимости перенормированного ЭД с составными полями на массовой оболочке, заданной экстремалями и занулением источников к БРСТ-антиБРСТ вариациям - антиполей ф"Аа. Получено новое представление зависимости от калибровки эффективного действия с составными полями в методе БВ-квантования.

Показано, что в соответствии с общими утверждениями, справедливыми для произвольных неаномальных калибровочных теорий, расходящаяся часть однопетле-вого ЭД в эйнштейновской гравитации не зависят на массовой оболочке от калибровочного параметра, определяющего специальную линейную бэкграундовскую калибровку.

Научная значимость нечетных лагранжевой и гамильтоновой формулировок ЛСМ выражается в воспроизведении двух эквивалентных форм локальных мастер-уравнений: лагранжевой и гамильтоновой, из условия существования сохраняющегося при (определяемой суперполевыми обобщениями обычных экстремалей) формальной эволюции вдоль переменной в нетеровского интеграла - 0-локального аналога энергии. Локальная формулировка позволила реализовать новый алгоритм построения кванто-

вого действия представляющий суперполевую версию разрешения комплекса Кошуля-Тейта и использующий интерпретацию соотношений приж>димости модели в виде специальных калибровочных преобразований гостов, преобразованных в интегрируемую нечетную гамильтонову систему. Практическая значимость подобной формулировки заключается в том, что задача "дуального" описания специальной ЛСМ ¿-стадии приводимости посредством построенного по предписаниям БФВ-метода нильпотентного БРСТ-заряда формальной динамической системы со связями первого рода (£ +1 )-ста-дии приводимости является частным случаем задачи вложения калибровочной алгебры приводимой специальной ЛСМ в калибровочную алгебру общей калибровочной модели той же стадии приводимости Этот факт позволил эквивалентно сформулировать вывод свойств производящих функционалов функций Грина: ВРСТ-инвариантность, независимость от калибровки Б-матрицы, на основе двух гамильтоново-подобных систем.

Научная значимость предложенного расширения функционального суперполевого метода на случай общих координатах на антисимплектическом многообразии показала, что требование антикоммутирования всех нечетных операторов накладывает существенные ограничения на геометрию многообразия Кроме того эта геометрия определяется и дополнительными гиперкалибровочяымн условиями, введенными для корректного определения и преобразования функциональной меры. Значимость расширения локального суперполевого квантования на случай зависимых неабелевых гиперкалибровок обусловлена, во-первых, возможностью определения квантового действия соответствующей ЛСМ в общих координатах на антисимплектическом многообразии, во-вторых потенциальной невозможностью локального и ковариантного задания гиперкалибровочных условий, обеспечивающих существование функционального интеграла Научная и практическая значимость предложенных локальных и функциональной формулировок суперполевых квантований основана на установленных детальных соответствиях между ними и всеми известными методами лагранжевых БРСТ-кван-тований В частности, из локальной формулировки следует определение производящих функционалов функций Грина, включая ЭД, в рамках формализма "первого уровня" Баталина-Тютина.

Результаты, выносимые на защиту

1. В рамках метода Зр(2)-ковариантного лагранжева квантования калибровочных теорий общего вида с составными нолями получены тождества Уорда для производящих функционалов функций Грина с составными полями. Показано, что вариация эффективного действия с составными полями представляется как в виде действия коммутатора квантовых генераторов расширенных БРСТ-преобразований с составными полями на функционал, соответствующий вариации калибровочного условия, так и в форме пропорциональной своим экстремалям и антиполям ф\(1. Доказана независ имость от калибровки перенормированного эффективного действия с составными

полями для неаномальных калибровочных теорий на массовой оболочке, определяемой экстремалями и гиперповерхностью ф'Аа — 0.

2 Представлена новая форма калибровочной зависимости эффективного действия с составными полями в методе ВВ квантования в терминах нильпотентлого квантового генератора БРСТ-преобразований с составными полями и в виде вариации ЭД. которая оказывается пропорциональной своим экстремалям.

3. Вычислено однопетлевое эффективное действие в эйнштейновской гравитации в специальной однопараметрической бэкграундовской калибровке с точностью до линейных членов в разложении по параметру калибровки. Показано, что на массовой оболочке эффективное действие не зависит от калибровочного параметра.

4. Предложено описание произвольной приводимой ^-локальной суперполевой модели как естественного расширения обычной модели калибровочной теории поля, определенной на конфигурационном пространстве классических полей, до локальной суперполевой модели в таг называемых нечетных лагранжевой и гамилътоновой формулировках, заданных соотвественно на расширенных нечетных касательном и кока-сательном расслоениях, база которых параметризована обобщенными классическими супсрлолями Показано, что сохранение при формальной эволюции вдоль переменной в, определяемой лагранжевой и гамильтоновой системами как суперполевыми обобщениями обычных экстремалей, скалярного в-локального аналога энергии, эквивалентного в гамильтоновой формулировке гамильтонову действию, соответствует в силу первой теоремы Нетер выполнению лагранжева и гамильтонова мастер-уравнений

5 Построена 0-локальная суперполевая формулировка лагранжева квантования в нсабелевых гиперкалибровках калибровочной модели ¿-стадии приводимости, выделенной из общей локальной суперполевой модели условиями явной ^-независимости лагранжева и гамильтонова действий и занулением гостовского числа для действий и обобщенных классических суперпалей.

6. Решена задача "дуального" описания произвольной калибровочной теории стадии приводимости, описываемой в лагранжевом формализме квантовым действием и классическим 0-локальным мастер-уравнением, в терминах построенного по предписаниям БФВ-метода нильпотентного относительно суперполевой функциональной скобки Пуассона ВРСТ-заряда формальной динамической системы со связями первого рода (Ь + 1)-стадии приводимости

7 Предложено обобщение на случай произвольного антисимплектического многообразия функционального супер полевого лагранжева БРСТ квантования в общих координатах Суперполевые БРСТ-преобразования описаны 0-сдвигами суперполей вдоль решений гамильтоново-подобной системы уравнений, построенной по разности квантового и калибровочно-фиксирующего действий и произвольному бозонному функционалу чей конкретный выбор позволяет установить калибровочную независимость Б-матрицы.

8. Построена локальная суперполевая формулировка лагранжева квантования в неабелевых гиперкалибровках конечной Я'-стадии приводимости для произвольной

калибровочной модели Показано, что она является обобщением формализма "первого" уровня Баталина-Тюткна.

Апробация работы

Материалы диссертации обсуждались на научных общегородских семинарах по теоретической физики Томского политехнического университета, научных семинарах кафедры квантовой теории поля Томского государственного университета, научных семинарах физических факультетов Барселонского я Сарагосского университетов (Испания), научных семинарах Института теоретической физики Лейпцигского университета (Германия), а также докладывались на Международных конференциях: "Quantum Fiele! Theory and Gravity" (Томск 1994), "Quantum Fielt) Tbeory and Gravity" (Томск 1997), "Theoretical and Expérimental Problems of Geneial Reldtivity and Gravitation" (Томск, 2002), Международных семинарах "Supersymmetrieb and Quantum Symmetries" (Дубна, 2003), "Quantum Field Theory, Supersymmetry, High Spin Fields, Gravity" (Томск, 2005).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 8 работ.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 257 источников. Общий объем составляет 125 страниц.

Содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, изложен литературный обзор и дано краткое описание структуры диссертации.

В первой главе представлены результаты изучения зависимости от малой вариации калибровки эффективного действия с составными полями для калибровочных теорий общего вида в рамках БВ и Бр(2)-ковариантного лагранжевого методов квантования.

В первом разделе кратко изложены основные сведения о 8р(2)-ковариантном квантовании произвольных (приводимых и неприводимых) калибровочных теорий.

Во втором разделе введены составные поля ат(ф) — ¡jî^™,_л„ФА1 ■■■ФА" и производящие функционалы (связных) функций Грина Z(J. ф, L) (IV(J, Фа,ф, £)) для составных полей я выведены тождества У орда для Z и W

{ (ja + - Ä = L) = 0, (1)

-RaW(J, ф'а, ф,Ь) = 0. Ra-- exp{-^W}f"a expf^W}, кН» = 0, k € {r, R} (2)

где операторы та. Йл удовлетворяют обычной расширенной БРСТ алгебре Для эффективного действия с составными полями Г = Г(ф, ф'а. ф, Я)

г = * - ^ - + г-) = - гф) (3)

тождества Уорда имеют представление

2 (Г, Г)" + + (а™л(Ф) - ЩФ)) Цг = О, ФЛ = фА + Щв'-У^ = = (£ - = (4)

В третьем разделе получены выражения для вариаций производящих функционалов Я, И', Г при произвольной вариации калибровочного функционала Р —> Р КР

¿ж = я^к^бх), (6)

Л^ЯДЕ)^-^«**». (7)

где величины (ИХ), ((8Х)) означают вакуумное среднее оператора ЯХ относительно У? и Г, а операторы .5" получены явно из Я" заменой переменных (при преобразовании Лежандра) и удовлетворяют той же алгебре — 0 Систематическое использова-

ние дифференциальных следствий тождеств Уорда для Г (4) позволяет представить |5Г в эквивалентной форме

Щф, Ф1 ф, Б) = ^цу 4- ф\аОА\ (8)

с вполне определенными функционалами IV", /)Лл зависящими от {(¿X)) и всех переменных ф, ф", ф, Е Следовательно, доказана теорема, утверждающая, что ЭД с составными полями ф'а, ф. Е) в методе 8р(2)-ковариантного квантования калибровочных теорий общего вида не зависит от калибровки на многообразии, образованном его экстремалями — 0 и гиперповерхностью ф"Аа = 0 Из соотношения (7), рассмотренного при тт(ф) = 0, получено новое уравнение, описывающее зависимость от калибровки ЭД в 5р(2)-ковариантном квантовании калибровочных теорий без составных полей (с операторами «¿"л'' — 0),

6Г(Ф, Ф1 ф) = ^¿[^«¿Х», я- = (Г, Г + V». (9)

В частном случае калибровочно-инвариантных составных полей" (пт(ф), _ 0,

найдены тождехтва Уорда и вид вариации для ЭД Отмечено, что предположение существования "глубокой" калибровочно-инвариантной регуляризации, сохраняющей тождества Уорда и их дифференциальные следствия. является ключевым в указанном доказательстве, приводя к повторению свойств неперенормированных производящих функционалов и величин теории для их перенормированных аналогов.

В четвертом разделе покачано, что результаты изучения зависимости от калибровки в калибровочных теориях общего вида с составными полями в рамках БВ-метода формулируются для ЭД в виде аналогичном выражениям (7), (8)

Во второй г лат«' представлены вычисления однопетлевого эффективного действия в теории гравитации Эйнштейна в классе калибровок, предложенных ШЛчинозе и показано согласование зависимости ЭД от калибровки с общими утверждениями работ Воронова, Лаврова, Тютина.

В первом разделе изложен известный материал об общем виде зависимости от калибровки эффективного действия в калибровочных теориях янг-миллсовского тина в линейных калибровках с выводом о независимости ЭД от калибровочных параметров на своей массовой оболочке

Во втором разделе рассмотрена эйнштейновская теория гравитации, описываемая действием полей

<5(3,*,) = -1/* /Лч/=Р (10)

(с сигнатурой д1Ш = diag(—. +,+,+), гравитационной постоянной к и R''mfl = -

) инвариантным относительно общекоординатных преобразований с замкнутой алгеброй генераторов TVa(g) (при (»'; а) — (/i, v, х; р. у)) с структурными постоянными не зависящими от д/1:, Непсренормированные производящие функционалы функций Грина Z(J) и вершинных функций Г(з) заданы по правилам Фаддеева-Попова

Z{J) = I Dge.xp^SASj + J.S')}, Т/= (Н)

г квантовым действием Sj,(g) и линейной по gl¡v калибровочной функцией Ха(5)

ЗД)=S{3) - \x,ia)a"exM - «»ТгЬ м(д),О2)

В рамках метода фонового поля, представив (j,L1J суммой фонового д,1и и квантового \/T-h,„, полей, однопетлевое ЭД теории в специальной линейной бэкграундовской калибровке с калибровочным параметром £

Х."(д, Л, О = {i [g^V + д" V - ijr V'] + C,-bIC-"-(g)Vj\ hr., (13)

задается выражением

,Г1(0 = -|Тг1п1^'"'(С) + Тг1пМ (14)

с матрицей Фаддеева-Попова М"(д, h, () и минимальным при ( — 0 операторам Г/'**'"" (О определяемым квадратичной частью действия Sj, по полям Однопетлевое тождество Уорда для функций Грина калибровочных и гостовских полей G"m((). (в конденсированных обозначениях)

= QÍ(QKy - 5„ (15)

позволяет представить однопетлевое ЭД < точностью до линейных членов по калибровочному параметру £

ОМС) = .14(0) + С ■ 0) (¿^¡Р) + 0(Сг). (16)

При вычисления контрчленов для расходящихся структур в (16) использована кали-бровочно-инвариантная регуляризация (размерная) для эйнштейновской гравитации и учтено отсутствие аномалий для общекоординатной инвариантности.

Расходимости вычислены с помощью диаграммной техники Барвинского-Вил-ковыского в схеме размерной регуляризации метода интегрирования по собственному времени Швингера с учетам конечности всех диаграмм, имеющих фоновую размерность 0(г!.),« > 4. Подсчет расходимостей в (16) дает соответственно одну квадратично и две логарифмически расходящиеся диаграммы вычисленные с помощью таблицы универсальных функциональных следов Барвинского-Вилковысского В результате расходящаяся часть однопетлевого ЭД

ГМ,„(С) - Г14>„(0) + + + I,|Л„ = ! ^^{^¡г {Kvc.li -4Я*„ + я2) + ^я1„ + ¿Я' + С • к[ - + ® Л"' (я/„ая„т

+ ЗЯЯл"{аЯ(ло-л)а - + г85Я3]} + 0{С) (17)

зависит согласно (1§) от £ только вне массовой оболочки в отличие от вычислений, выполненных ШИчннозе, в которых имеется слагаемое пропорциональное С,кК^\а X Я""{а, связанное с неправильным использованием соотношения (14) при получении вкладов в Г, Л„ от калибровочных и гостовских полей

В третьей главе изложена процедура построения нечетных лагранжевой и гамильтоновой формулировок ЛСМ, сформулированы правила локального супернолевого квантования в неабелевых (неприводимых и приводимых) гиперкалибровках и функционального суперполевого на случай общих координат на антисимилектичес-ком многообразии, для чего предложены суперполевой алгоритм построения квантового действия и дуальное описание произвольной приводимой калибровочной теории в терминах БРСТ-заряда БФВ-метода.

В первом и во втором разделах изложены соответственно нечетные лагран-жева и гамильтонова формулировки ЛСМ, представляющие расширения обычной модели классических полей А', г — 1,.. ,п — п+ + п_, в 9-локальные теории, заданные в нечетных касательном ПТМоъ = {А1 (#) и кокасательном ПТ*Л<сь — {г^ = (А',А\)} (0), I = 1,..., N = ЛГ+ + ЛГ_, («+,«-) < (ЛГ+,ЛГ_), расслоеиих, с

бозонными (фермионными) суперполями, среди которых могут быть суперполя, соотвествугощие гостам минимального сектора БВ-метода. Суперполя (А1, двА1)(0) и суперантиполя А){9), (А!,А})(в) = (А1 | А} - <9.7/), содержат обобщенные классические поля А1, поля вводящие калибровку Л', антиполя и источники к функциям Грина 7/ БВ-метода. Они определены в супернространстве М = М X Р =

с лоренцевпсими векторными и спинорными гм С г С I и грассмановсхой в £ Р координатами. Основными объектами соотвествующих формулировок Л СМ являются лагранжево и гамильтоново действия, 5н]" [ПТ'Л^сь X {#}, ПТ'Л^сь X {#}] -> Л](в; И), принимающие значения в вещественной грассманстской алгебре Л^Я; Эти действия определяют фермионнме функционалы ^[А] и £н[Гк], (/(!& = $ = Ой)

г[Л) = /<»&(«), ^н[г*] = ¡60 [1/2^(0)^(0)0^(0) - 5н(Г*(в),в)], ¿•(2) = ¿^я) = т = (1, о, 1), ¿15ь) = е1(5н) = О, Ь = СЬ (18)

с функциями Шрд(в) я нечетным нуассоновским бивектором ш{>в(0)шдд(0) —

определяющим 0-локальную антискобку (в) = (в), Г^ (9)) . Вектор градуировок е = е — ер | с вспомогательными компонентами £7. ер

соотносится с < оотвествующими координатами и определен соотношениями

¿[А1) = ((£р)/,(е^)/,£/) = ¿"(И.}) + (1,0,1), где учтено, что М может быть представлено фактор-пространством супергруппы симметрии J — 1 X Р, Г = ехр(ьцрв) для 7Ч с .7, выбранной группой пространственно-временной суперсимметрии, нильпо-тентными параметром и генератором ^-трансляций рв. Величины £р введены для правильного сочетания спина со статистикой при операторном квантовании

Из предположения существования критических конфигураций для #н[Гк] - ^[А]. вытекают гамильтонова система (ГС) и суперполевые уравнения Эйлера-Лагранжа. описывающие динамику Л СМ,

= (!«,№,&(«)),; (19)

&,Я[А]

SA'(6)

91 (-1 га.:

SUB) = Cl,{0)Sb{e) = 0, (20)

где последняя система эквивалентна в силу д%А7(в) = 0 лагранжевой системе (ЛС). характеризующейся формально 2И дифференциальными уравнениями второго Порядка по в :

Я^Мтясмтгшш = = о,

' д{двА1(в))д(деА] а /т _ й-ЭДв) , 1 ч«

о))

&<ый\ АС. га)

0. (21)

9 KWW-.**-1*

двд{двАЦв)) v '" 'д(двА'(в))

Эквивалентность обеих формулировок обеспечивается невырожденностью суперматрицы ||(£')/j(0)|| в (21) при преобразовании Лежандра Si,(Я) по д^А'(в),

5н(Гсь(0), в) = ЛЦв)^Л'(в) - Зь(в), А}(в) = 0/d(dreA'(D))Slj{e). (22)

Лагранжевы связи @/(0) совпадая в силу (22) с половиной уравнений из ГС, 0j(0) = — (д£А*(#) + 5н,/ (в))(—1)"', могут быть функционально зависимы как уравнения первого порядка по 0. что выражается в наличие, в общем, зависимых тождеств среди

4(0)Я(0) = о,

Генераторы 0О) калибровочных преобразований общего типа, SgAr(9) — 0«„

[К'^в-, в„)(^(йо)} , = ¿л,, Л = 1, Ма = М0+ f Mo--, оставляющие Z[.4] ин-

вариантным зависимы, если rank ||S*.>o ^¡Ьл,, ($) ^ () < ^ih определяя в итоге

JICM общего типа ¿^-стадии приводимости Представление JTCM в виде аналогичном натуральной системе в обычной классической механике. Sl(#) = Т(деА(9)) — S(.4(#),0)), означает, что функции &i(0) — S,[ (А(в),в)( — 1У' = 0 являются при в — О обычными экстремалями функционала полей A1, Su(A) = .?(.4(0), 0), и выделяет калибровочную теорию специального типа Lg-стадии приводимости из общей JICM с линейно зависимыми генераторами специальных калибровочных преобразований для функции S(A(ff),9), НА'(в) = Ио^{А(9),в)ф{9) Ее калибровочная алгебра 0-лок^ льно вкладывается в калибровочную алгебру об1цей JICM Показано что существует система проекторов на С х (ИТ Мы у {"})> позволяющая выделить из специальной JICM обычную приводимую модель полей А* Введение 0-локалыюй ЛСМ позволило применить первую теорему Нетср к инвариантности плотности 49Sl(9) при глобальных 0-сдвигах (А1, zM. ft) —> (A',zM, в I ji) и получить, сохраняющиеся при ^-эволюции, определяемой соответственно JIC и ГС, величины Se({A дцЛ)(в) 9) ~ Щац1,}д«л!(9) - Sh(9).SH(9) = SE(A(9) 9вА(Т(9)),9), если выполнены уравнения

(,d/d»)Sh(9) + 2(9tlU)(9)SL(9)\c,Sl=u - 0. (0/0i9)SH(9) - (SH(9),SH(9))e = 0. (24)

Если не зависят от в явно то из (24) вытекают не имеющие аналоюв в t-

локальной теории поля гамильтопово, (5н(3), — 0, и записанное в терминах

нильпотентного оператора 1-го Порядка (deU)(9) лагранжево, (deU)(9)Si(9)\ci^SL^0 = 0, классические мастер-уравнения. Выполнение первого из них в частности гарантирует й-сунернолевую интегрируемость ГС (19)

В первом параграфе третьего раздела предложена процедура выделения из JICM обычной модели теории поля с классическим действием S(A(0)), заданным в терминах, не содержащих гостов, классических суперполой А'(9) и построение 9-локального суперполевого квантового действия в исходных координатах. Первая часть решается с помощью использующей гостовское число системы уравнений

(gh,0/00)SH,L)(0) = (0,0), при ф(А)) = -1 - gh(^) = -1,ф(9,дв) = (-1,1) (25)

с учетом которой ГС (19). калибровочные преобразования и соотношения для общей ЛСМ ¿„-стадии приводимости преобразуются в ограниченную ГС на Мсi = {.4*, А"}(в) и ограниченные стандартным распределением гостовского числа и явной 9-независимостью калибровочные преобразования и соотношения для специальной ЛСМ ¿-стадии приводимости (L ф La) Вторая основана на ГС, заданной в многообразии супер(анти)полей минимального сектора БВ-метода ПТ'Л^пш,

полученной в результате итерационного алгоритма по гамильтоновскому объединению преобразованных в уравнения 1-го порядка по в специальных калибровочных

преобразований гостов С"0,..., С"1—', в свою очередь воспроизведенных из соотношений приводимости. Интегрируемость ГС (26) приводит к деформации по степеням гостов и суперантиполей уже удовлетворяющей требованию собственности функции до ^-локального решения Зн;*(Г*(0)) классического мастер-уравнения, (Sh,*(I\(0)), •5н,*(Гк(#)))л = 0, к = min, в минимальном секторе. Получены соответствующие интегрируемой и неинтегрируемой ГС две системы мастер-уравнений для /¿-деформированных и расширенных в неминимальный сектор супер(анти)полей (ФА,Ф^)(Й) БВ-метода ^-локальных функций: 5н,*(Г\(0),Й), к = ext и соответствующего абелевой гиперкалибровке квантового действия (Г(0), h),

1) (Е(в),Е(в))в = 0, Д*(О)В(0) = О; 2) Д*(0)ехр[(г/Я)Е(0)] = О, Е € {5*,SHlfc}. (27)

Во втором параграфе третьего раздела решена задача дуального описания специальной ограниченной ЛСМ L-стадии приводимости посредством дуальных функциональных аналогов для антискобки и действия и показано, что она является частным случаем задачи вложения калибровочной алгебры специальной приводимой ЛСМ в калибровочную алгебру общей ЛСМ той же стадии приводимости. Для этого рассмотрен нильпотентный фермионный функционал на IlTfJIT'Mk) = {(Г£*,<%Г£*)(0), к = min}, с симплектической я нечетной пуассоновской структурами, определяющими четную {■, •} с каноническими парами {(Ф^*,de$\t), , Ф^) }(|9) и ^-локаль-

ную нечетную скобки Пуассона (•, ■ )вГ|"Э"Г'', записанных с помощью суперполевых производных Эйлера-Лагранжа

= J de(SHj.(9), 5H,*(0))f1lAr,) = 23«, \{CAkSn,k) C-'AiSu,k\ (в) = 0. (28)

Отсутствие временной координаты означает формальное соответствие функционала Zk[Tic] БРСТ-заряду динамической системы со связями первого рода (L + ^-стадии приводимости БФВ-метода при идентификациях соотвествующих координат (Г^, двТк)(0) с каноническими относительно четной БФВ-скобки координатами фазового пространства минимального сектора. В результате Zk принимает вид в терминах формальных канонических относительно четной скобки в (28) классических (q',p,) и гостовских {Cä',Va.), & = 0,..., L + 1, переменных

ад = T^V)CA° + ^ Тл.^Г (ч)Сл- + 0(С% (29)

со связями Тя0 (q, р) и ноль-векторами ZA'~' (q), построенными по определяющим ЛСМ структурным функциям [50„ , #o'ao,

Из анализа спектра гостовского числа показано, что соответствующее дуальное описание в расширенных секторах переменных БВ и БФВ-методов обеспечивает лишь вложение ПТ(ПТ*Л4*) и Zk [Г».], к = ext, в полное фазовое пространство иБРСТ-заряд БФВ-метода. Характеристическим свойством задачи дуальности является эквивалентное определение гамильтоновых систем с гамильтонианами (5jJ, Зн.ейН"), в

виде

э;т»(в) = {т*Ю,зЦm,hj)f = -{п-(0),г*[г]}, z*[T] = -d,s*(ff), (зо)

так, что БРСТ-преобразования с абелевыми гиперкалибровками выражаются в терминах формального БРСТ-заряда Z*[Г].

В третьем параграфе третьего раздела рассмотрены правила локального квантования на общем антисимплектическом многообразии А/ — {Гр(0)}, dim AT = dim Mat, с использованием согласованных со свойствами квантового действия W(9) = W(9, h) координат Дарбу (if", f*^)(9), определяющей меру ¿/х(Г(в)) функции плотности р(Г(в)) и пуассоновского бивектора й^(Г(0)), задающего локальную антискобку ( • , ■ и нильпотентный оператор А^(9). Производящие функционалы функций Грина (включая суперполевое ЭД) [Z(3«v*, <р*,дв<р,Т), Г(<р,<р*, дв<р,Т)] (ff) = [Z, Г](0) заданы функциональными интегралами при фиксированном ff, с помощью определяющих калибровочно-фиксирующее действие Х(в) = X ((Г, Л, Л*)(#), h) координат {ipa,ip',Aa,A*}(ff) = на Л/iot = Ai © ИТ'К. и расширенного набора источников

)(0) = (-Ja,A",/Oa + haff) Для суперполей (tpa,ip*,Aa)(9) со свойствами (i,gh)%>: = (t,gh)Xa + ((1,0,1), 1) = (е, -gb)p°,

Z(ff)=JdM(r(ff))dA(ff)exp{(i/H) [W(r(ff),k) + Х((ф,ф'-ч>-,А,А-т,П)\А>=о - {{dwlW + vlW - 2.Л•)(«)]}, ф (Г(в)) = /<Г(*))<4Г(«), (31)

Г(в) = (Ä/i)lnZ(fl) + ((Ärt)^) («). VW = (32)

Находящиеся в инволюции независимые гиперкалибровки Ga(r(0)),a = 1,..., к = dim+ЛЛ (Ga(ff),Gb(ff))tf = Gc(ff)Cf^(Г(0)), задавая граничное условие для JV(0), разрешимы относительно и удовлетворяют различным соотношениям унимоду-лярности в зависимости от записанных в терминах (•,•)« = ( •, • + (•>•)? и = (Д* + Дк)(0) систем уравнений (27) для Е = X и независимо для Е = TV. Показано, что свойства (Z, Г)(0) кодируются 0-неинтегрируемой гамильтоново-подобной системой с произвольной (ер,е)-четной функцией Я(0) = Я ((Г,Л, Л*)(0),й), при Г(в) = ер [(i/ft)(W-*)(*)],

fis (г»,л>;,л;) (fl) = -ihT-\e) ( . ,T(ff)R(ff))e (Р,2Л",0,0) (0)|A.=o, (33)

задающей при R = 1 суперполевые БРСТ-преобразования для 2.(9), Л, А')(9) = 8g (Г, Л, Л*)(0)|^. fi, как й-сдвиг на постоянный р вдоль произвольного решения f tot(0) системы (33). Доказано, что специальный выбор функции R(9), соотвествующей анти-канонически-подобному преобразованию, в виде 2 R(ff)n = AY (в) с Д Y(ff), построенной по специальному приращению АХ(9) к действию Х(в), обеспечивает совпадение вакуумных функционалов Zx(ff) = Z(0, <р*,0,О)(0) и Zx+&x(9), гарантируя калибровочную независимость S-матрицы. Показано, что следуя результатам п.3-3.2 данные свойства эквивалентно формулируются в терминах гамильтоново-подобной системы с

четной скобкой Пуассона и линейной комбинацией фермионных функционалов, дуальных действиям я функции R(9). Выведены тождества Уорда для (Z, Г)(#), имеющие более сложный вид, чем для абелевых гиперкалибровок.

В случае абелевых гиперкалибровок, соотвествующих при ддФл =1^ — 0 БВ-методу установлено, что производные по в от производящих функционалов (Z, Г)(в). вычисленные на функционально усредненных решениях построенной по действию 5ц (в) ГС, пропорциональны тождествам Уорда, выявляя тем самым геометрический смысл БРСТ-преобразований.

В первом параграфе четвертого раздела яа основе компонентной формулировки переменных Г"(0) = + к = tot, при (М, А/*, Ла,1о)«=0 предложены 2 возможности выделения из общей JICM обычной модели теории поля. Первая задана требованием исключения суперполей (двА1, А}(9) и условиями (25). Вторая реализована для случая янг-миллсовскях теорий, где указанные соотношения заменены на условия горизонтальности для напряженности обобщенных янг-миллсовских суперполей и вспомогательные условия для суперполей материи.

Установлены совпадения вакуумного функционала Zx(<p"(0)) \v'=o и БРСТ-пре-образований Л^Гтоь задаваемых системой (33) при в = О, R = 1 с функциональным интегралом метода Баталина-Тютина и его преобразованиями инвариантности. Для абелевых гиперкалибровок найдены совпадения производящих функционалов функций Грина БВ-метода и [Z(3e$*, Ф*), Г(Г)](0), с действием 5*(Г0) удовлетворяющим второй системе в (27).

Представив произвольную функцию ?{9) = ^ ((Г, 9еГ)(0), i9) е СХ(Т1ТЯ х {Ö}) функционалом F[r] суперполевого функционального метода: F[r] = fd9[9T(9)] --^(Г(0),двГ, 0), установлены совпадения 0-локаяьных антискобки ( , оператора и заданных с помощью дополнительных неантисимплектических величин <^(0) операторов [de(V^),de(U)*r](9) с расширениями на случай произвольных (Т,шп,р){9) плоских операций схемы Лаврова-Мошинаг-Решетняка при следующем выборе компонент пуассоновского бивектора (Г(в),9') — (1 + 9'дв)шря(9), например,

(^С-9), = = (¿>«(Г(0>, (34)

Условие антикоммутирования операторов {Д^, deV^, d$U^}(9) и их функциональных аналогов сформулировано в виде систем уравнений: A^(9)St(9) =0, (Su(0),ST(0))^ = 0, на е-бозонные величины <S'(0) = (авГР)ш^(Г(0))Гч(0)|в=о = St[Г], =ш„, t = 1,2. .

Во втором параграфе четвертого раздела с помощью введенных в п.3.4 1 операций построено обобщение суперполевого функционального квантования на случай произвольных координат Гр(#) и плотности />[Г] на ЛЛ Вакуумный функционал имеет вид

Zff, = I ехр {(t/Ä) (W + Х' + k2S2) [Г]}, <ЦГ] = р[Г]<Л\,Л\, (35)

где Къ - произвольное R-число, весовой функционал ^[Г] = S (G^ (Г(0))) , (ц =

1,..., dim+ М, определяет независимые дополнительные гиперкалибровочные условия эквивалентные множеству функций УГР(#), квантовое и калибровочно-фиксирующее действия И", X' £ М удовлетворяют уравнениям

1/2(W', W'f + VW' = ihAMW\ l/2(X', X'f + UX' = ihA^X', (36)

в терминах двухпараметрического семейства, U (ki, кз), V («i, /с2), антикоммутирую-щих (вместе с Д^) обобщенных операторов,

U = l/2(-l)'«t(5"[r], ■ f, V = l/2Kt(S*[r], • f, nt e R. (37)

Допустимый выбор чисел Kt ограничен требованием существования Z%, в (35), фиксируя как его вид, так и форму уравнений (36), граничных условий для W', X' и вид функций G^ (Г(0)) необходимых для сохранения явной суперполевой формы Zj[,. Основные свойства Zj(i, аналогичные свойствам производящего функционала Z(0) (31), кодируются гамилътоново-подобной системой с произвольным функционалом Л [Г], (£,gh)ñ=(6,0),

d¡r"(e) = (fi/t)r-l[r] (Г"(й), т[г]кр, г[г]=exp [(./fi) (w -х' + ^s1)]. (зв)

и дополнительными уравнениями, ((?„,(Г(0)), W — X' + KtS^ = 0, фиксирующими вид геометрии на М и обеспечивающими БРСТ-инвариантность Г].

В конце параграфа установлены соотвествия между локальным квантованием п.З 3.3, суперполевым квантованием работ Лаврова, Мошина, Решетняка и предложенным обобщением суперполевого функционального квантования.

В пятом разделе сформулированы правила локального суперполевого квантования, обобщающие результаты п 3.3.3 на случай зависимых неабелевых гиперкалибровок G00(rra,t(9)),ao = 1,...,feo < fe, конечной ЙГ-стадии приводимости. Для этого определены производящие функционалы функций Грина, {2(дву>', <р",дв<р,1,1'), Г(ip,<p', de<fi, 1,Х")](в) = [Z, Г](0), удовлетворяющие более сложным тождествам Уорда, и 0-не-интегрируемая гамильтоново-подобная система вида (33), чья специфика определяется калибровочными алгебрами гиперкалибровок и самой Л СМ ¿-стадии приводимости. В этом случае достаточно заменить в определении (31) функциональную меру, калибро-вочно-фиксирующее действие и слагаемое с источниками 1аА" на (ríText<íAí/7r)(0) с мерами (d\, Лг)(0) = (п£о Пко W, nf=1 П|'=1 <*»?)(«), действие Х*-((ф, ф'-<р\ А, А', тт)(в). h) и (ТсА? + Tí,nD) Здесь следуя схеме пролиферации гостов в БВ-методе, меры dA,dn образованы из пирамид лагранжевых множителей к функциям Ga„(0), их ноль-векторам = 1 ,...,К и к калибровкам для снятия их вырожденности.

Функция Х*'(в), построена по собственному решению одной из расширенных в Aítot = МфПТ'К„< = {(r„t!(Ac,A¿),(7TD,7rb))(<?)} систем (27), Х(вЛ) = Хтш((Ге11,Л0,

Л5)(Й),Й) + ЕГ=1 É (Л?-0,<,') (9),

Л) = + Ef=l ZX^o) + 0{ А-)) (9) (39)

с помощью калибровочного фермиона второго уровня Фв(0), чей минимальный выбор определяется функцией

*Й(Л(0)) = EL Е (л?'а,Г1к1_,4':0 («), ¿ТФ») = (1,0,1), (40)

«'=1

с постоянными величинами а^',/,,^, (9) такими, что ограничение на суперповерхность Л0 = {<p',\c,*D}(9) действия ft) = ехр{(Ф„(А(0)), )«}X(0,ft) невырождено.

В качестве результатов раздела отмечено расширение формализма "первого уровня" Баталина-Тютина на случай зависимых гиперкалибровок.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации

Результаты диссертации опубликованы в работах:

[lj Lavrov РМ., Odintsov S.D., Reshetnyak А.А. Effective action of composite fields for general gauge theories in BLT-covariant formalism // Journal of Mathematical Physics. 1997. V38. P.3 466-3478.

[2] Лавров ПМ., Одинцов СД, Решетняк АА. Зависимость от калибровки в калибровочных теориях общего вида с составными полями в методе Sp(2)-ковариантного квантования // Ядерная Физика. 1997. VB0. № 6. С.1141-1148.

[3] Laviov РМ., Odintsov S.D., Reshetnyak А.А. Composite fields in Sp(2) covariant method of BRST quantization of gauge theories // Квантовая теория поля и граг витация: Труды второй международной конференции (Томск, Россия, 28 июля - 2 августа 1997 г.)/ Под редакцией ИЛ Бухбиндера, КБ. Осетрина, - Томск: Томский государственный педагогический университет, 1998. С2 05-209

[4] Lavrov Р.М , Reshetnyak А.А. One-loop effective action for Einstein gravity in special background gauge // Physics Letters B. 1995. V.351. P.105-110

[5] Лавров П M , Решетняк А А Зависимость от калибровки эффективного действия в эйнштейновской гравитации // Ядерная Физика 1995. Т58 № 10 С 1916-1920.

[6] Gitman D.M , Moshin P.Yu., Reshetnyak AA. Local Superfield Lagrangian BRST Quantization // Journal of Mathematical Physics. 2005. V46. P.072302 072324.

[7] Решетняк А А Эффективное действие в суперполевом лагранжевом квантовании с приводимыми гиперкалибровками // Известия вузов. Физика. 2004 Т47. JV» 10. С59-66.

[8J Reshetnyak А.А. Basic features of general superfield quantization method for gauge theories in Lagrangian formalism. //Proceedings of International Workshop (Dubna, Russia, July 24-29. 2003)- Supeisymmetry and Quantum symmetries SQS'03, Edited by E. Ivanov, A. Pashnev Dubna- JINR, 2004. P345-350, Препринт, Arxiv: hep-th/0312118.

»164 5 6

РНБ Русский фонд

2006-4 19730

Решегнях Александр Александрович

ЗАВИСИМОСТЬ ОТ КАЛИБРОВКИ В БВ И 8Р(2)-КОВАРИАНТНОМ МЕТОДАХ КВАНТОВАНИЯ И ЛОКАЛЬНОЕ СУПЕРПОЛЕВОЕ ЛАГРАНЖЕВО БРСТ КВАНТОВАНИЕ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать. 13 07.2005 г. Бумага офсетная

Тираж: 100 экз. Заказ: 098/Н

Печать трафаретная Формат: 60x84/16

Издательство

Томского государственного педагогического университета

г Томск, ул Герцена, 49 Тел.(3822)52-12-93 e-mail: publish@lspu.edu.ru

Введение

1. Составные поля в лагранжевых методах квантования калибровочных теорий общего вида

1.1. Бр(2)-ковариантное лагранжево квантование

1.2. Составные поля. Тождества Уорда

1.3. Зависимость от калибровки производящих функционалов функций Грина с составными полями в 8р(2)-ковариантном квантовании

1.4. Калибровочная зависимость эффективного действия с составными полями в методе БВ квантования

2. Зависимость от калибровки в эйнштейновской гравитации в классе специальных линейных бэкграундовских калибровок

2.1. Общий вид зависимости эффективного действия от калибровки в калибровочных теориях

2.2. Однопетлевое эффективное действие в эйнштейновской гравитации

3. Локальное лагранжево суперполевое БРСТ квантование в неабелевых гиперкалибровках

3.1. Нечетная лагранжева формулировка локальной супер полевой модели

3.2. Нечетная гамильтонова формулировка локальной суперполевой модели

3.3. Локальное суперполевое квантование с неприводимыми гиперкалибровками

3.3.1. Суперполевое квантовое действие в исходных координатах

3.3.2. Дуальность между суперполевыми величинами БВ и БФВ методов

3.3.3. Правила локального суперполевого квантования

3.4. Взаимосвязь лагранжевых методов БРСТ квантования

3.4.1. Компонентная формулировка и ее отношение к методам Баталина-Вилковыского, Баталина-Тютина и суперполевой схеме квантования

3.4.2. Суперполевое функциональное квантование в общих координатах

3.5. Локальное суперполевое квантование с приводимыми гиперкалибровками

Задача построения теоретико-полевых моделей реализующих описание известных в настоящий момент фундаментальных взаимодействий между элементарными частицами в рамках единого взаимодействия по-прежнему является основной в теоретической физике высоких энергий. Результаты, полученные в этом направлении в течение последних 30-35 лет хорошо известны [1-7]. Они существенно используют математический аппарат теории калибровочных полей.

Принцип локальной калибровочной инвариантности, впервые введенный Г.Вейлем [8] в связи с попытками построить единую геометрическую электрогравитационную теорию и в современном понимании сформулированный Янгом и Миллсом [9] для описания сильных взаимодействий, подразумевает существование калибровочных полей. В настоящий момент в семейство калибровочных полей вместе с электромагнитным и гравитационным включены неабелевые калибровочные поля Янга-Миллса.

Противоречия (например, неунитарность S-матрицы), указанные Фейнманом [10] в связи с попытками применения при квантовании неа-белевых калибровочных теорий методов, используемых ранее для теории электромагнитного поля, положили начало систематическому исследованию общих правил квантования таких теорий. Непротиворечивые правила квантования теорий с калибровочной группой в ковариантном (ла-гранжевом) формализме известные сейчас как правила Фаддеева-Попова были сформулированы в работах Фаддеева и Попова [11], Девитта [12], Манделстама [13], Фрадкина и Тютина [14].

Обобщенные тождества У орда, полученные Славновым [15] и Тейлором [16], стали важным моментом в развитии квантовой теории калибровочных полей, первоначально представляя основу для доказательства калибровочно-инвариантной перенормируемости теории безмассовых калибровочных полей.

Спонтанное нарушение калибровочной симметрии у частиц, описываемых калибровочными полями, с возможностью генерации массы без нарушения свойства перенормируемости такой модели, обоснованное т'Хуфтом [17], привело к реальному применению теории калибровочных полей в физике элементарных частиц, в том числе к различным вариантам построения единых теорий сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий (см., например, [18-21]). К тому же преимущество неа-белевых калибровочных теорий отразилось в построении моделей [22, 23] в которых отсутствует проблема "нуля-заряда" [24, 25], присущая всем ранее известным теориям.

Современное становление теории калибровочных полей было инициировано работами Бекки, Руэ, Стора [26, 27] и Тютина [28]. В них калибровочная инвариантность первоначальной классической теории достраивается до специальной глобальной суперсимметрии (БРСТ-симметрии) квантового действия, построенного по правилам Фаддеева— Попова. БРСТ-инвариантность привела к возможности переформулировки Зинн-Жустином [29] правил Фаддеева-Попова для теорий Янга-Миллса в виде инвариантном для всех калибровочных теорий, способствующим более простому проведению общих расссуждений. А именно, введя дополнительные источники к БРСТ-преобразованиям, он представил содержание калибровочной теории в виде квадратичного уравнения для расширенного действия без явного упоминания об исходной калибровочной группе.

Наличие БРСТ-инвариантности позволило проводить анализ унитарности теории непосредственно в ковариантном методе квантования, опираясь на формализм, открытый Куго и Оджимой [30]. Нетеровский нильпотентный БРСТ-заряд, соответствующий БРСТ-инвариантности, являясь основной величиной данного формализма, позволяет корректно выделить подпространство физических состояний и проанализировать проблему унитарности физической S-матрицы.

Значительный шаг в расширении представления о калибровочной теории был осуществлен в связи с открытием суперсимметрии [31-36] и ее локальным вариантом, реализованным в теориях супергравитации [37-39]1. Главные отличия суперсимметричных теорий от янг-миллсовских отражаются как в зависимости структурных функций алгебры генераторов локальной суперсимметрии от полей, так и разомкнутости ее самой слагаемыми, пропорциональными уравнениям движения (открытые алгебры).

Работа Фрадкина и Васильева [43], посвященная квантованию супергравитации, указала на необходимость изменения правил Фаддеева-Попова. Для простой N = 1 супергравитации модифицированные правила ковариантного квантования были даны в работах Нильсена [44] и Каллош [45, 46]. Лагранжево квантование произвольных калибровочных теорий с открытой алгеброй было предложено де Вит и ван Хольтеном [47]. Работы Баталина и Вилковыского [48, 49] придали современный и окончательный вид методу квантования произвольных калибровочных теорий в лагранжевом формализме (БВ-метод).

Одновременно с ковариантным развивался и гамильтонов (канонический) метод квантования динамических систем (калибровочных теорий), характеризующихся обязательным наличием связей первого рода (разделение связей на первый и второй род предложено Дираком [50]). В работе Фаддеева [51] была построена каноническая S-матрица для динамических систем с бозонными связями первого рода в канонических калибровках. Фрадкин [52] получил выражение для производящего функ

1 Последовательное изложение теорий суперсимметрии и супергравитации смотри также в [40-42]. ционала функций Грина и канонической S-матрицы для динамических систем со связями первого и второго рода произвольной грассмановской четности в канонических калибровках.

Квантование динамических систем с бозонными связями первого рода в релятивистских калибровках было выполнено Фрадкиным и Вил-ковыским [53] и расширено на случай произвольной грассмановской четности Баталиным и Вилковыским [54]. Наконец, Фрадкин и Фрадкина [55] проанализировали случай динамических систем с бозонными и фермион-ными связями первого и второго рода, а Баталин и Фрадкин обобщили его для систем с приводимыми (в случае невозможности ковариантного выделения независимых связей среди избыточных) связями первого [56] и второго [57] родов. Квантование по правилам [53-57] сейчас носит название обобщенного канонического формализма или БФВ- (Баталин-Фрадкин-Вилковыский) метода (см. также обзор Энно [58]). Важным применением этого метода стало, например, последовательное каноническое квантование эйнштейновской гравитации [59] и супергравитации [43].

БФВ-метод основывается на принципе специальной суперсимметрии аналогичной БРСТ-симметрии в ковариантном формализме. Понятие "БРСТ-симметрия" сейчас традиционно относится к обеим инвари-антностям.

Отметим, что успехи достигнутые в рамках глобально-суперсимметричных теорий, связанные с сокращением расходимостей (см., например, модели работ [60-62] с N = 4 расширенной суперсимметричной теорией Янга-Миллса и [63] с двумерными суперсимметричными сигма-моделями), все же не обеспечили конечность во всех порядках теории возмущения теорий супергравитаций несмотря на возможность 1 < N < 8 [64-66]. Следовательно, использование только принципов суперсимметрии оказалось не достаточным для построения квантовой теории гравитации. Современные представления об унификации взаимодействий подразумевают возможность вывода последовательной квантовой теории гравитации в качестве некоторого (низкоэнергетического) предела более фундаментальной эффективной теории.

Работы Ионеи, Невё, Шерка и Дж.Шварца [67-73], а далее Грина, Дж.Шварца, Виттена, Гросса, Харви, Мартеника и Рома [74-79] предложили в качестве таковой теорию суперструн (протяженных геометрических объектов малых размеров). К настоящему моменту известно пять различных формулировок суперструны [80] (для обзора теории (су-пер)струн см. [80, 81]), являющимися составными частями единой 11-мерной М-теории (см., например/[82-85]).

Одно из направлений для последовательного описания процессов рассеяния частиц на очень малых, так называемых планковских расстояниях, например, в окрестности космологической сингулярности и при гравитационном коллапсе, реализуется в рамках теории р-адических струн, введенных Волович в [86] (для обзора см. [87, 88]). Рассмотрение р-адических струн обусловлено флуктуациями на планковских масштабах метрики и топологии пространственно-временного многообразия, а также нарушением архимедовости числового поля.

Расширение многообразия элементарных частиц, помимо теорий (супер)струн предположительно позволяющее в новом виде разрешить проблему объединения всех фундаментальных взаимодействий, также связывается с задачей построения последовательной формулировки классического и квантового описания так называемых (супер)полей высших (при s > 2) (супер)спинов, включая нахождение ковариантной формы классических действий и их калибровочных симметрий. Характерной чертой подобных теорий как в случае бозонных, так и фермионных полей высших спинов является впервые реализованная, например, в безмассовом случае Фронсдалом и Фэнгом в [89, 90] особенность включения уже на свободном уровне полей разных спинов. Успехи и трудности на пути создания непротиворечивой теории взаимодействующих полей высших спинов, существенно различающихся в случае пространств Минковского и (анти-)де-Ситтера разной размерности, известны (см. работу Васильева и Фрадкина [91], а для обзора [92-94]). Среди методов, содержащих рецепты построения классических действий и уравнений движения для полей высших спинов, выделяются так называемый "развернутый" ("unfolded") формализм [95, 96] и метод, основанный на нахождении БРСТ-заряда для связей, определенных структурой неприводимого представления соответствующего спина группы Пуанкаре [97, 98]2. Их применением стало соответственно построение, например, Васильевым и Лопатиным теорий как свободных, так и взаимодействующих с (анти-)де-Ситтеровским фоном полей высших спинов [100, 101] и, например, Бухбиндером, Крыхтином, Пашневым моделей фермионных безмассовых полей высших спинов [102], лагранжевые действия которых обладают приводимыми калибровочными симметриями.

Другим перспективным направлением, служащим для эквивалентного описания эффективного перенормированного действия, содержащего высшие, в сравнении с затравочным классическим действием калибровочной теории, калибровочно-инвариантные члены взаимодействия, стала некоммутативная теория калибровочных полей. Предложенная в рамках теории струн Сайбергом и Виттеном связь между некоммутативным и коммутативным описанием калибровочной теории [103] основана на введении параметра некоммутативности и осуществляется посредством так называемого отображения Сайберга-Виттена. Анализ этого отображения, согласованно деформирующего исходные действие и калибровочные преобразования классической модели в некоммутативную теорию с деформированным действием инвариантным относительно деформированных калибровочных преобразований, изучался для янг-миллсовских и черн-саймоновских теорий с использованием техники БРСТ-симметрии в рамках метода Фаддеева-Попова в работах [104-106], а в рамках БВ-метода в [107].

2 Эти подходы рассмотрены с единой точки зрения Барнихом, Григорьевым, Семихатовым и Типу-ниным в [99].

Дополнительно к БРСТ-симметрии квантовый лагранжиан теории, полученный по правилам Фаддеева-Попова, инвариантен относительно открытой в работах [108-110] "анти-БРСТ-симметрии". Ныне общепринятым термином является "расширенная БРСТ-симметрия", объединя ющая БРСТ- и анти-БРСТ-симметрии. Разнообразному использованию расширенной БРСТ-симметрии в калибровочных теориях посвящено достаточное число работ. Например, перенормируемость и калибровочная инвариантность в теориях с замкнутой алгеброй в лагранжевом формализме исследовались в [111, 112].

Одна из геометрических реализаций (БРСТ) расширенной БРСТ-симметрии была предложена Бонорой, Пасти, Тониным [113, 114] за счет расширения пространства Минковского (одной) двумя антикоммутиру-ющими координатами так, что сами (БРСТ) расширенные БРСТ-пре-образования представлялись сдвигами вдоль этих координат. Подобная формулировка обеих БРСТ-симметрий использовалась для построения лагранжевых действий для теорий Янга-Миллса [115-117], гравитации [118], простой N = 1 супергравитации [119].

В рамках БФВ-метода [53-57] расширенная БРСТ-симметрия была впервые проанализирована в работе Хванга [120] для динамических систем со связями первого рода в специальных калибровках. Для произвольных калибровок в работе [121], при постоянных структурных функциях в соотношениях инволюции был предложен унитаризующий гамильтониан [53] инвариантный относительно расширенных БРСТ-преобразований.

Принцип расширенной БРСТ-симметрии в наиболее последовательном виде был реализован Баталиным, Лавровым и Тютиным в рамках правил гамильтонова [122-124] и лагранжева [125-127] Sp(2)-ковариантных квантований калибровочных теорий. Эти методы обеспечивают эквивалентность (продемонстрированную в работах [122, 125]) результатов канонического и лагранжева квантований калибровочной модели на основе стандартной и расширенной версий БРСТ-симметрии.

Исследования по применению расширенной БРСТ-симметрии развивались также группой Энно (см., например, [128-131]), в работах Нер-сесяна, Дамгаарда, Де Джонга, Беринга и Татару [132-135]. В частности, решения производящих уравнений 8р(2)-ковариантных методов квантования для неприводимых калибровочных теорий с точностью до третьего порядка по полям и координатам вспомогательного сектора в лагранже-вой и гамильтоновой версиях соответственно были найдены в работах [136-138].

В целом правила квантования на основе стандартного [48,49, 53-58] и расширенного [122-127] вариантов реализации БРСТ-симметрии являются сейчас наиболее общим методом исследования квантовых свойств калибровочных теорий таких как анализ условий унитарности [30, 139, 140], изучение перенормировки, зависимости от калибровки [127, 141145], совместно с выводом тождеств Уорда [122, 125].

Ингридиенты БВ-метода, рассмотренные с точки зрения теории супермногообразий [146], нашли четкую классификационную градацию в работах А.Шварца [147, 148] (см. также [149]), представляя собой более сложный аналог симплектической геометрии. Само лагранже-во квантование [48, 49] усовершенствовалось в направлении введения так называемых неабелевых, при вычислении относительно антискобки, калибровочных условий (гиперкалибровок) Баталиным и Тютиным в работах [150-152]. Эти условия применимы в случае произвольного антисимплектического многообразия и позволяют определить более широкий класс функционалов, содержащих результирующее квантовое действие, соответствующее исходной калибровочной теории и получающееся в результате интегрирования в функциональном интеграле по той половине специальных неантиканонически сопряженных координат указанного многообразия (из координат Дарбу), относительно которых гиперкалибровки разрешимы. 8р(2)-ковариантное лагранже-во квантование также совершенствовалось в виде обобщения до Sp(2)симметричного метода [153], сформулированного Баталиным и Марне-лиусом (см. также [133, 134]), затем Баталиным, Марнелиусом, Семи-хатовым до триплектического [154, 159] и Гейером, Гитманом, Лавровым до модифицированного триплектического [155, 156] методов (в связи с концепцией супермногообразий Федосова [157, 158]). Соответствующая этим методам геометрия была развита в работах [159-163].

В свою очередь, наличие ^-градуированных дифференциальных структур и величин на супермногообразиях привело к обобщению концепции (обыкновенных) дифференциальных уравнений посредством введения Шандером в [164] так называемого супервремени % = (£, в), включающему дополнительно к четной переменной t £ R нильпотентный параметр в.

Упомянутая ранее реализация БРСТ (расширенной БРСТ) симметрии в виде трансляций вдоль переменных в (в, в), расширяющих пространство Минковского R1'-0-1 [113-117], стимулировала появление первых работ по суперполевому обобщению лагранжева БРСТ-квантования [165, 166] и 8р(2)-ковариантного [167]. Развитие суперполевого метода [165, 166] для случая введения более широкого класса абелевых гиперкалибровок в сравнении с рассматриваемыми в БВ-методе с помощью бозонного функционала фиксирующего калибровку (впервые предложенного в [168]) было рассмотрено Гейером, Лавровым и Мошиным [169,170]. Указанный функционал удовлетворяет тому же уравнению, что и квантовое действие, если в уравнении для квантового действия заменить нильпотентный оператор первого порядка V на нильпотентный оператор U [169, 170]. Сами операторы V, U являются существенными ингридиентал ми в [165, 166] и [169, 170] с точки зрения суперполевой интерпретации БРСТ-преобразований.

В гамильтоновом формализме Баталиным, Берингом и Дамгаар-дом [171, 172] также была предложена версия суперполевого квантования как в рамках метода функционального интеграла, так и в операторной формулировке с ее обобщением на случай произвольного фазового пространства. В данной версии особенностью получения лагранжева суперполевого вакуумного функционала [171] является его воспроизведение из гамильтонова интегрированием по так называемым пфаффиановским гостам и импульсам в функциональном интеграле. При этом в отличие от ковариантного формализма реализация принципа БРСТ-симметрии основана на нетривиальном зацеплении переменных t ив, представленном фермионным оператором Т> = д$ + Odt ({D,T>]+ = 2dt), что позволяет унифицированно описывать динамику и калибровочные симметрии.

Исследования по суперполевому квантованию тесно коррелируют-ся с методами построения обобщенных пуассоновских сигма-моделей [173, 174], с геометрической суперполевой точки зрения разработанных впервые Александровым, Заборонским, Концевичем и А.Шварцем в [175] и алгоритмически развитых Баталиным и Марнелиусом [176, 177] (см. также [178]). Геометрия D — 2 суперсимметричных сигма-моделей [179] с произвольным, N > 1, числом грассмановских координат была применена для классического и квантового описания D = 1 сигма-моделей Халлом [180] и независимо для построения вакуумного функционала (статистической суммы) при N = 2 Гоззи, Деотто, Рейтером, Такке-ром [181-183]. Квантование с одним фермионным суперзарядом Q(t,в), содержащим операторы БРСТ-заряда и унитаризующего гамильтониана [171], было недавно обобщено Баталиным и Дамгаардом для N = 2 (не пространственно-временных) суперсимметрий [184], а затем Баталиным и Берингом и на случай произвольного числа суперзарядов Qk{t,в1, .,6N), к = l,.,iV, зависящих от грассмановских переменных вк [185]. Предложенная Григорьевым и Дамгаардом [186] модификация квантования [171, 172] выявила тесную взаимосвязь между квантовым действием БВ- и БРСТ-зарядом БФВ-методов. Наконец, следует отметить об использовании суперполевого подхода Баталиным и Марнелиусом в [187] при описании динамических систем со связями второго рода в качестве калибровочных моделей, а также Барнихом и Григорьевым в [188] при вторичном квантовании калибровочных теорий.

В формализме работ [165, 166, 169, 170] осуществлен сравнительно полный анализ свойств суперполевого квантования (БРСТ-инвариантность, калибровочная независимость S-матрицы). Указанный анализ основан на структуре решений производящих уравнений (мастер-уравнений для квантового действия и действия фиксации калибровки). Однако детального соответствия между этими решениями и определением самой калибровочной модели указано не было. Представляется естественным снабдить метод [165, 166, 169, 170] явным суперполевым описанием структурных функций калибровочной алгебры, определяющих данную модель теории поля [196, 197].

Определение производящего функционала функций Грина Z[Ф*] в [165, 166], а также вакуумного функционала Z работ [169, 170] включает, в общем, зависимость калибровочного фермиона Ф[Ф] и квантового действия 5[Ф, Ф*] (для Z более чем линейную зависимость действия фиксирующего калибровку, Х[Ф, Ф*]), от полей ХА - компонент суперполя ФА(0) в мультиплете (ФА, Ф^)(0) = (фА + Хлв, ф*А - 6JA)Z. Это приводит к отличию функционалов Z[Ф*] и Z от производящего функционала функций Грина БВ-метода и вакуумного функционала "первого уровня" [150] соответственно. 4

Суперполевое квантование, использованное в [165, 166, 169,170], основано на построении производящего функционала функций Грина, а задача построения в суперполевой форме производящего функционала вершинных функций Грина (эффективного действия) в этих работах не рассматривалась. В связи с этим следует отметить, что определение производящих функционалов функций Грина, включая эффективное действие, не рассматривалось и в методе квантования с неабелевыми гиперкалибровками [150-152].

3Набор переменных фА, ф*л, Хл, Jд соответствует полям, вспомогательным полям, вводящим калибровку, антиполям и источникам к полям фл, составляя полный набор переменных БВ-метода [48, 49].

Кроме того интересной представляется формулировка правил ла-гранжева квантования, в том числе суперполевого, при условии, что калибровочная модель изначально задается квантовым действием - функционалом на антисимплектическом многообразии полей и антиполей так, что для задания производящих функционалов функций Грина невозможно без нарушения ковариантности и локальности наложить независимые гиперкалибровки. Следовательно, возникает задача описания правил квантования с приводимыми гиперкалибровками, чей набор полон, т.е. содержит необходимое подмножество независимых гиперкалибровочных функций.

В свою очередь, правила квантования [165, 166, 169, 170], предложенные для специального случая^ координат Дарбу, включающие классические поля исходного конфигурационного пространства, естественно сформулировать в рамках общих координат на произвольном антисимплектическом многообразии для выявления геометрического содержания объектов суперполевого квантования.

Разрешению вопросов, связанных с вышеуказанной проблематикой, а также приложениям, основанным на изучении формы калибровочной зависимости различных физических величин в рамках БВ и Sp(2)-KO-вариантного лагранжевых методов квантования калибровочных теорий и посвящается настоящая диссертация, чем и обусловлена ее актуальность.

Основными задачами диссертации являлись следующие:

- доказательство независимости от малой вариации калибровки эффективного действия с составными полями на массовой оболочке в рамках 8р(2)-ковариантного лагранжевого квантования; представление формы зависимости от калибровки эффективного действия с составными полями в методе БВ-квантования с помощью квантового генератора БРСТ-преобразований с составными полями;

- изучение зависимости от калибровочного параметра в специальной однопараметрической бэкграундовской калибровке однопетлевого эффективного действия в эйнштейновской гравитации;

- построение и изучение свойств нечетных лагранжевой и гамиль0 тоновой формулировок произвольной приводимой в-локальной суперполевой модели (JICM) как естественного расширения обычной модели калибровочной теории классических полей в лагранжевом формализме;

- построение в-локальной формулировки суперполевого лагранжева квантования в неабелевых гиперкалибровках для приводимой калибровочной модели, специально выделенной из общей суперполевой модели; определение и изучение свойств 0-локальных производящих функционалов функций Грина, включая суперполевое эффективное действие;

- решение задачи дуального описания4 калибровочной теории конечной L-стадии приводимости в ковариантной формулировке в терминах БРСТ-заряда формальной динамической системы со связями 1 рода (L + 1)-стадии приводимости;

- построение суперполевого лагранжева квантования в произволь ных координатах на антисимплектическом многообразии;

- построение 0-локальной формулировки суперполевого лагранжева квантования для произвольной калибровочной модели в неабелевых зависимых гиперкалибровках конечной if-стадии приводимости.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Заключение

Перечислим основные результаты выносимые на защиту.

1. В рамках метода 8р(2)-ковариантного лагранжева квантования калибровочных теорий общего вида с составными полями получены тождества Уорда для производящих функционалов функций Грина с составными полями. Показано, что вариация эффективного действия с составными полями представляется как в виде действия коммутатора квантовых генераторов расширенных БРСТ-преобразований с составными полями на функционал, соответствующий вариации калибровочного условия, так и в форме пропорциональной своим экстремалям и антиполям ф*Аа. Доказана независимость от калибровки перенормированного эффективного действия с составными полями для неаномальных калибровочных теорий на массовой оболочке, определяемой экстремалями и гиперповерхностью ф*Ла = 0.

2. Представлена новая форма калибровочной зависимости эффективного действия с составными полями в методе БВ квантования в терминах нильпотентного квантового генератора БРСТ-преобразований с составными полями и в виде варйации эффективного действия, которая оказывается пропорциональной своим экстремалям.

3. Вычислено однопетлевое эффективное действие в эйнштейновской гравитации в специальной однопараметрической бэкграундовской калибровке с точностью до линейных членов в разложении по параметру калибровки. Показано, что на массовой оболочке эффективное действие не зависит от калибровочного параметра.

4. Предложено описание произвольной приводимой 0-локальной суперполевой модели как естественного расширения обычной модели калибровочной теории поля, определенной на конфигурационном пространстве классических полей, до локальной суперполевой модели в так называемых нечетных лагранжевой и гамильтоновой формулировках, заданных соотвественно на расширенных нечетных касательном и кокасательном расслоениях, база которых параметризована обобщенными классическими суперполями. Показано, что сохранение при формальной эволюции вдоль переменной в, определяемой лагранжевой и гамильтоновой системами как суперполевыми обобщениями обычных экстремалей, скалярного 0-локального аналога энергии, эквивалентного в гамильтоновой формулировке гамильтонову действию, соответствует в силу первой теоремы Нетер выполнению лагранжева и гамильтонова мастер-уравнений.

5. Построена в-локальная суперполевая формулировка лагранжева квантования в неабелевых гиперкалибровках калибровочной модели L-стадии приводимости, выделенной из общей локальной суперполевой модели условиями явной ^-независимости лагранжева и гамильтонова действий и занулением гостовскосо числа для действий и обобщенных классических суперполей. Предложен суперполевой алгоритм построения квантового действия на основе интерпретации соотношений приводимости модели в виде специальных калибровочных преобразований гостов, преобразованных в единую интегрируемую нечетную гамильтонову систему. Построены производящие функционалы функций Грина, включая эффективное действие. Для них выведены тождества Уорда и доказана калибровочная независимость S-матрицы. Суперполевые БРСТ-преобразования представлены 0-сдвигами суперполей вдоль векторного поля, эквивалентно определяемого двумя гамильтоново-подобными системами уравнений. Эти системы заданы соответственно в терминах 0-локальной антискобки, произвольной бозонной функции, квантового и ка-либровочно-фиксирующего действий и посредством четной скобки Пуассона с линейной комбинацией фермионных функционалов, "дуальных" указанным действиям и бозонной функции. Установлено совпадение вакуумного функционала "первого" уровня формализма Баталина-Тютина с вакуумной функцией локального квантования при в = 0 и выключенных антиполях. Для абелевой гиперкалибровки установлено совпадение производящих функционалов функций Грина БВ-метода и локального квантования при в = 0, и что производные по в от них, вычисленные на функционально усредненных решениях построенной по квантовому действию гамильтоновой системы, пропорциональны тождествам Уорда, выявляя тем самым их геометрический смысл.

6. Решена задача "дуального" описания произвольной калибровочной теории L-стадии приводимости, описываемой в лагранжевом формализме квантовым действием и классическим 0-локальным мастер-уравнением, в терминах построенного по предписаниям БФВ-метода нильпо-тентного относительно суперполевой функциональной скобки Пуассона БРСТ-заряда формальной динамической системы со связями первого рода (1/+1)-стадии приводимости. Показано, что эта задача является частным случаем задачи описания вложения калибровочной алгебры приводимой калибровочной модели специального типа в калибровочную алгебру общей калибровочной модели той л^е стадии приводимости. ■

7. Предложено обобщение на случай произвольного антисимплекти-ческого многообразия функционального суперполевого лагранжева БРСТ квантования в общих координатах. Требование антикоммутирования определенных через функциональную антискобку нильпотентных операторов второго и первого порядков U", Vм представлено в виде систем уравнений на формальные гамильтонианы, определяющие операторы

Vм. Суперполевые БРСТ-преобразования описаны 0-сдвигами суперполей вдоль решений гамильтоново-подобной системы уравнений, построенной по разности квантового и калибровочно-фиксирующего действий и произвольному бозонному функционалу, чей конкретный выбор позволяет установить калибровочную независимость S-матрицы. Показано, что совпадение вакуумного функционала и вакуумной функции локального квантования при в = 0 и выключенных антиполях обеспечивается только в случае абелевых гиперкалибровок и тривиального выбора дополнительных гиперкалибровочных условий, определяющих в функциональном суперполевом методе меру интегрирования.

8. Построена локальная суперполевая формулировка лагранжева квантования в неабелевых гиперкалибровках конечной К-стадии приводимости для произвольной калибровочной модели. Показано, что она является обобщением формализма "первого" уровня Баталина-Тютина и метода локального квантования С неприводимыми гиперкалибровками 0 на случай фиксации калибровки для квантового действия посредством калибровочно-фиксирующего действия, кодирующего калибровочную алгебру приводимых гиперкалибровок.

В заключении я хочу выразить искреннюю благодарность научному руководителю профессору Лаврову Петру Михайловичу за всестороннюю помощь в работе, важные многочисленные обсуждения и советы.

Я глубоко признателен профессору Тютину Игорю Викторовичу за советы и полезные обсуждения результатов первой и второй глав.

Я благодарю своего соавтора, профессора Гитмана Дмитрия Максимовича, за сотрудничество при получении результатов третьей главы.

Я также признателен своему, соавтору, профессору Одинцову Сергею Дмитриевичу за интерес к работе.

Я благодарю своего коллегу и соавтора, доцента Мошина Павла Юрьевича, за сотрудничество при получении результатов третьей главы, за многочисленные дискуссии и интерес к работе.

Я признателен профессору Багрову Владиславу Гавриловичу за создание благоприятных для выполнения работы условий.

Я признателен профессору Бухбиндеру Иосифу Львовичу за проявленный интерес и обсуждение результатов третьей главы, а также за содействие в предоставлении возможности выступлений на семинарах.

1. Вайнберг С. Идейные основы единой теории слабых и электромагнитных взаимодействий // УФН, 132, Вып. 2, 201-218, 1980.

2. Глэшоу Ш. На пути к объединенной теории — нити в гобелене // УФН, 132, Вып. 2, 219-228, 1980.

3. Салам А. Калибровочное объединение фундаментальных взаимодействий // УФН, 132, Вып. 2, 229-254, 1980.

4. Коноплева Н.П., Попов В.Н. Калибровочные поля. М.: Атомиздат, 238с., 1980.

5. Окунь Л.Б. Физика элементарных частиц. М.: Наука, 272с., 1988.

6. Волошин М.Б., Тер-Мартиросян К.А. Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц. М.: Энергоатомиздат, 296с., 1984.

7. Weinberg S. The Quantum Theory of Fields. Cambridge, 1996.

8. Weyl H. Gravitation and Electricity // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math. Phys.) 1918, 465, 1918. (английский перевод в O'Raifeartaigh L. The Dawning of Gauge Theory, Princeton University Press, 1997).

9. Yang C.N., Mills R.L. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance // Phys. Rev. 96, № 1, 191-195, 1954.

10. Feynman R.P. Quantum theory of gravitation // Acta Phys. Polon. 24, № 6, 697-722, 1963.

11. Faddeev L.D., Popov V.N. Feynman diagrams for the Yang-Mills field // Phys. Lett. B25, 29-30, 1967.

12. De Witt B.S. Quantum theory of gravity. II. The manifestly covariant theory // Phys. Rev. 162, 1195-1239, 1967.

13. Mandelstam S. Feynmam rules for electromagnetic and Yang-Mills fields from the gauge-independent field-theoretic formalism // Phys. Rev. 175, 1580-1603, 1968.

14. Fradkin E.S., Tyutin I.V. S-matrix for Yang-Mills and gravitational fields // Phys. Rev. D2, 2841-2857, 1970.

15. Славнов A.A. Тождества Уорда в калибровочных теориях // ТМФ. 10, № 2, 153-161, 1972.

16. Taylor J.C. Ward identities and charge renormalization of the Yang-Mills field // Nucl. Phys. B33, № 2, 436-444, 1971.17. t'Hooft G. Renormalizable lagrangians for massive Yang-Mills fields // Nucl. Phys. B35, 167-188, 1971.

17. Fradkin E.S., Tyutin I.V. Renormalizable theory of massive vector particles // Riv. Nuovo Cim. 4, № 1, 1-78, 1974.

18. Матинян С.Г. На пути объединения слабых, электромагнитных и сильных взаимодействий: su(5) // УФН. 130, Вып. 1, 3-38, 1980.

19. Вайнштейн А.И., Захаров В.И., Шифман М.А. Хиггсовские частицы // УФН. 131, Вып. 4, 537-576, 1980.

20. Ross G.G. Unified field theories // Rep. Progr. Phys. 44, № 3, 655-718, 1981.

21. Gross D.J., Wilczek F. Ultraviolet behavior of non-Abelian gauge theories // Phys. Rev. Lett. 30, 1343-1346, 1973.

22. Politzer H.D. Reliable perturbative results for strong interactions // Phys. Rev. Lett. B30, № 26, 1346-1349, 1973.

23. Фрадкин E.C. Об асимптотическом поведении функций Грина в квантовой электродинамике // ЖЭТФ. 28, 750-752, 1955.

24. Ландау Л.Д., Померанчук И.Я. О точечном взаимодействии в квантовой электродинамике // ДАН СССР. 102, 489-492, 1955.

25. Becchi С., Rouet A., Stora R. The Abelian Higgs-Kibble model, unitarity of the S-operator // Phys. Lett. B52, 344-346, 1974.

26. Becchi C., Rouet A., Stora R. Renormalization of the Abelian Higgs-Kibble model // Commun. Math. Phys. 42, № 2, 127-162, 1975.

27. Тютин И.В. Калибровочная инвариантность в теории поля и статистической физике в операторной формулировке. Препринт ФИАН СССР № 39. М.: ФИАН СССР, 1975.

28. Zinn-Justin J. Renormalization of gauge theories // Lect. Notes. Phys. 37, 2-39, 1975.

29. Kugo Т., Ojima I. Local covariant operator formalism of non-Abeliangauge theories and quark confinement problem // Prog. Theor. Phys.1. Suppl. 66, 1-130, 1979.

30. Гольфанд А.Ю., Лихтман Е-.П. Расширение алгебры генераторов группы Пуанкаре и нарушение Р-инвариантности // Письма в ЖЭТФ. 13, 452-455, 1971.

31. Волков Д.В., Акулов В.П. О возможном универсальном взаимодействии нейтрино // Письма в ЖЭТФ. 16, 621-624, 1972.

32. Wess J., Zumino B. A lagrangian model invariant under supergauge transformations I j Phys. Lett. B49, № 1, 52-54, 1974.

33. Wess J., Zumino B. Supergauge transformations in four dimensions // Nucl. Phys. B70, № 1, 39-50, 1974.

34. Wess J., Zumino B. Supergauge invariant extension of quantum electrodynamics // Nucl. Phys. B78, № 1, 1-13. 1974.

35. Wess J., Zumino B. Supergauge invariant Yang-Mills theories // Nucl. Phys. B79, № 3, 413-421, 1974.

36. Freedman D.Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S. Progress towards a theory of supergravity // Phys. Rev. D13, № 12, 3214-3218, 1976.

37. Freedman D.Z., van Nieuwenhuizen P. Properties of supergravity theory // Phys. Rev. D14, № 4, 912-516, 1976.

38. Deser S., Zumino B. Consistent supergravity // Phys. Lett. B62, № 3, 335-337, 1976.

39. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity. Bristol & Philadelphia: Institute of Physics Publishing, 640p., 1995.

40. Wess J., Bagger J. Supersymmetry and supergravity. Princeton: Princeton Univ. Press, 178p., 1983. (Русский перевод: Весс Ю., Бег-гер Д. Суперсимметрия и супергравитация. М.: Мир, 184с., 1986)

41. West Р.С. Introduction to supersymmetry and supergravity. Singaporee.a.: World Scientific, 289p., 1986.t

42. Fradkin E.S., Vasiliev M.A. Hamiltonian formalism, quantization and S-matrix for supergravity // Phys. Lett. B72, № 1, 70-74, 1977.

43. Nielsen N.K. Ghost counting in supergravity // Nucl. Phys. B140, № 2, 499-509, 1978.

44. Каллош Р.Э. О калибровочной инвариантности в супергравитации // Письма в ЖЭТФ. 26, № 7, 575-578, 1977.

45. Kallosh R.E. Modified Feynman rules in supergravity // Nucl. Phys. B141, № 1, 141-152, 1978.47. de Wit В., van Holten J.W. Covariant quantization of gauge theories with open gauge algebra // Phys. Lett. B79, № 4,5, 389-393, 1978.

46. Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Gauge algebra and quantization // Phys. Lett. B102, № 1, 27-31, 1981.'

47. Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Quantization of gauge theories with linearly dependent generators // Phys. Rev. D28, № 10, 2567-2582, 1983.

48. Дирак П. Лекции по квантовой механике. М.: Мир, 1968 (Dirac Р.А.М. Lectures on Quantum Mechanics, Belfer Graduate School of Science, Yeshiva University, New York, 1964).

49. Фаддеев Л.Д. Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжианов // ТМФ 1, N° 1, 3-17, 1969. "

50. Fradkin E.S. Hamiltonian formalism in covariant gauge and the measure in quantum gravity // Acta Univ. Wratis. 207, 93-115, 1973.

51. Fradkin E.S., Vilkovisky G.A. Quantization of relativistic systems with constraints // Phys. Lett. B55, № 1, 224-226, 1975.

52. Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Relativistic S-matrix of dynamical systems with boson and fermion constraints // Phys. Lett. B69, № 3, 309-312, 1977.

53. Fradkin E.S., Fradkina Т.Е. Quantization of relativistic systems with boson and fermion first- and second-class constraints // Phys. Lett. B72, № 3, 343-348, 1978.0

54. Batalin I.A., Fradkin E.S. A generalized canonical formalism and quantization of reducible gauge theories // Phys. Lett. B122, № 1, 157-164, 1983.

55. Batalin I.A., Fradkin E.S. Quantization of dynamical systems subject to reducible second-class constraints // Lett. Nuovo Cim. 38, № 11, 393-401, 1983.

56. Henneaux M. Hamiltonian form of the path integral for theories with a gauge freedom // Phys. Reports. 126, № 1, 1-66, 1985.

57. Fradkin E.S., Vilkovisky G.A. Unitarity in quantum gravidynamics and general covariance in quantum domain // Lett. Nuovo Cim. 13, 187192, 1975.

58. Brink L., Schwarz J.H., Scherk J. Supersymmetric Yang-Mills theories // Nucl. Phys. B121, № 1, 77-92, 1977.

59. Brink L., Lindgren O., Nilsson B.E.W. The ultraviolet finiteness of the N=4 Yang-Mills theory // Phys. Lett. B123, № 4, 323-327, 1983.

60. Stelle K.S. Extended supercurrents and the ultraviolet finiteness of N = 4 supersymmetric Yang-Mills theory. Paris, 46, 1981, (Preprint / LPTENS-24).

61. Alvarez-Gaume L., Freedmaa D.Z. Geometrical structure and the ultraviolet finiteness in the supersymmetric cr-models // Commun. Math. Phys. 80, № 2, 443-451, 1981.

62. Deser S., Kay J. Three-loop counterterms for extended supergravity // Phys. Lett. B76, № 4, 400-403, 1978.

63. Kallosh R.E. Counterterms in extended supergravities // Phys. Lett. B99, № 2, 122-127, 1981.

64. Howe P.S., Lindstrom U. Higher order invariants in extended supergravity // Nucl. Phys. B181, № 3, 487-502, 1981.

65. Neveu A., Scherk J. Connection between Yang-Mills fields and dual models // Nucl. Phys. B36, № 1, 155-169, 1972.

66. Scherk J., Schwarz J.H. Dual models and geometry of space-time // Phys. Lett. B52, № 3, 347-350, 1974.

67. Scherk J., Schwarz J.H. Dual models for non-hadrons // Nucl. Phys. B81, № 1, 118-144, 1974.

68. Yoneya T. Connection of dual models to electrodynamics and gravidynamics // Progr. Theor. Phys. 51, № 11, 1907-1920, 1974.

69. Scherk J., Schwarz J.H. Dual model approach to a renormalizable theory of gravitation. Pasadena, California, 5,1975. (Preprint / CALT-58-488).

70. Scherk J., Schwarz J.H. Dual field theory of quarks and gluons // Phys. Lett. B57, № 4-6, 463-466, 19^5.

71. Schwarz J.H. Spinning string theory from a modern perspective // New Frontiers in High Energy Physics: Proc. Orbis Sci., 1978, N.Y., Plenum Press, 431-446, 1978.

72. Green M.B., Schwarz J.H. Anomaly cancellations in supersymmetric d = 10 gauge theory and superstring theory // Phys. Lett. B149, № 2, 117-127, 1984.

73. Green M.B., Schwarz J.H. Infinity cancellations in SO(32) superstring theory // Phys. Lett. B151, № 1, 21-25, 1985.

74. Green M.B., Schwarz J.H. The hexagon gauge anomaly in type Isuperstring theory // Nucl. Phys. B255, № 1, 93-114, 1985.

75. Witten E. Some properties of 0(32) superstrings // Phys. Lett. B149, № 4-5, 351-356, 1984. ;

76. Gross D.J., Harvey J.A., Martinec E., Rohm R. Heterotic string theory (I). The free heterotic string // Nucl. Phys. B256, № 2, 253-284, 1985.

77. Gross D.J., Harvey J.A., Martinec E., Rohm R. Heterotic string theory (II). The interacting heterotic string // Nucl. Phys. B267, № 1, 75-124, 1986.

78. Грин M., Шварц Дж., Виттец Э. Теория суперструн: В 2-х т., М.: Мир, Т. 1: 518 е.; Т. 2: 656 с>, 1990.81 8283