Характеристические классы калибровочных теорий тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Национальный исследовательский Томский государственный университет"

На правах рукописи

005006407

Мосман Елена Аркадьевна

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ КАЛИБРОВОЧНЫХ

ТЕОРИЙ

(01.04.02 - теоретическая физика)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

" 8 ЛЕИ 2011

Томск - 2011

005006407

Работа выполнена в ФГБОУ В ПО "Национальный исследовательский Томский государственный университет" на кафедре квантовой теории поля.

Научные руководители: Доктор физ.-мат. наук, профессор

Ляхович Семен Леонидович;

Доктор физ.-мат. наук Шарапов Алексей Анатольевич

Официальные оппоненты: Доктор физ.-мат. наук

Семихатов Алексей Михайлович;

Доктор физ.-мат. наук, профессор Галажинский Антон Владимирович

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО

"Казанский (Приволжский) федеральный университет"

Защита состоится 22 декабря 2011 года в 13.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.267.07 в Томском государственном университете по адресу 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 21 ноября 2011 года

Ученый секретарь / л

диссертационного совета Д 212.267.07 ^ФО

, И.В. Ивонин

доктор физико-математических наук,

профессор

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена исследованию глобальных инвариантов калибровочных теорий.

Актуальность темы. Одной из основных проблем квантовой теории поля как теоретической основы физики фундаментальных взаимодействий является проблема квантования калибровочных теорий. Калибровочные теории возникают в современной физике повсеместно. Все известные на сегодняшний день модели фундаментальных взаимодействий, в том числе такие, как теория струн и бран, полей высших спинов, являются калибровочными.

Одной из первых работ по квантованию калибровочных теорий была работа Фадцсева и Попова (L. D. Faddeev, V. N. Popov, Phys. Lett. В, 1967), где они предложили метод функционального интегрирования, который наряду с исходными полями использует дополнительные антикоммутирую-щие переменные (духи). Вскоре после этого Бекки, Руэ, Стора и Тютин обнаружили глобальную симметрию, смешивающую калибровочные поля с духами Фаддеева-Попова, получившую название в честь ее авторов БРСТ-симметрии. Обобщение и использование идей БРСТ-симметрии привело к созданию эффективных методов квантования, известных под общим условным названием БРСТ-теории.

На сегодняшний день БРСТ-теория является одной из центральных концепций современной теоретической и математической физики. Весь прогресс в квантовании калибровочных теорий, включая стандартную модель фундаментальных взаимодействий и теорию суперструн, связан с развитием БРСТ-метода: он обеспечивает наиболее систематичный метод квантования калибровочных систем, подчас не имеющий альтернатив. Круг приложений метода, однако, не ограничивается исключительно квантованием. БРСТ-метод оказывается полезным в теории перенормировок, при анализе аномалий, как инструмент построения совместных взаимодействий в калибровочных моделях, а также в когомологической интерпретации соответствия симмстрий и законов сохранения.

Важным достоинством БРСТ-метода является то, что он, в том числе, позволяет разработать процедуру квантования калибровочных теорий, классические уравнения движения которых не допускают вариационной формулировки, то есть не следуют из принципа наименьшего действия (S. L. Lyakhovich, A. A. Sharapov, JHEP, 2005,2006,2007). Надо сказать, что круг таких моделей в теории поля довольно широк. Среди наиболее фундаментальных моделей такого рода стоит отметить самодуальные поля

Янга-Миллса, различные многомерные конформные теории поля с расширенной суперсимметрией, теории безмассовых полей высших спинов, а также уравнения, описывающие самосогласованную динамику частиц струн и бран во внешних динамических полях.

Ключевое свойство БРСТ-теории состоит в существовании нильпотент-ного дифференциала, несущего всю информацию об уравнениях движения теории, ее симметриях и алгебре калибровочных преобразований. Свойство нильпотентности дифференциала позволяет вести рассмотрение на уровне групп когомологий Hk{Q). Например, известно, что физические величины описываются H°(Q). Помимо физических величин, интерес представляют и другие группы когомологий: в различных градуировках они содержат информацию о БВФ-БРСТ заряде, мастер-действии, симметриях и квантовых аномалиях. Таким образом, когомологии БРСТ-дифференциала несут важную информацию как о классической, так и квантовой структуре теории. К сожалению, нахождение этих групп когомологий в каждом конкретном случае может оказаться весьма не тривиальной задачей. Тем не менее, можно искать когомологические классы, которые определены для любой калибровочной теории, то есть являются в некотором смысле универсальными. В качестве таких классов можно предложить классы когомологий БРСТ-дифференциала, которые строятся в терминах его самого и некоторой симметричной связности, необходимой для того, чтобы построенные классы были глобально определены. По определению, они должны существовать для любой калибровочной динамики и быть ее глобальными инвариантами. Такие классы получили название характеристических классов калибровочных систем (S.L. Lyakhovich, A.A. Sharapov, Nucí. Phys. В, 2004). Там же была построена первая бесконечная серия характеристических классов и показано, что низшие из них связаны с однопетлевыми квантовыми аномалиями в БВ и БРСТ-БВФ формализме.

Изучение глобальной геометрической структуры калибровочных теорий, вкупе с новейшими идеями супергеометрии и гомологической алгебры, является актуальным в свете современных тенденций к разработке непер-турбативных методов анализа классической и квантовой динамики полей в существенно нелинейных калибровочных моделях. Однако нельзя сказать, что эти вопросы математической физики являются хорошо изученными. Несмотря на то, что подобные конструкции характеристических классов, точнее их очень частные случаи, ранее уже рассматривались как в физике, так и в математике, введенное понятие дало универсальную точку зрения на все эти конструкции и дало возможность для дальнейшего их обобщения.

Методы и подходы. Основным подходом, используемым в диссерта-

ции, является БРСТ-формализм, являющийся на сегодняшний день наиболее универсальным инструментом построения и исследования калибровочных теорий. Для вычисления групп когомологий БРСТ-дифференциала применялся метод построения спектральных последовательностей, который является эффективным методом нахождения групп когомологий фильтрованных комплексов, в том числе БРСТ-комплексов, рассматриваемых в работе.

Целью работы является разработка теории топологических инвариантов (характеристических классов)калибровочных систем, которая включает в себя создание новых методов построения характеристических классов калибровочных систем, их классификацию, изучение их свойств и физических приложений.

Научная новизна и практическая ценность. Все основные результаты диссертации являются оригинальными и получены впервые. Разработана теория характеристических классов калибровочных систем. В частности, был предложен метод построения характеристических классов, проведена их полная классификация. Продемонстрирован ряд приложений теории в задачах математики и физики, включая анализ связи характеристических классов с низкопетлевыми квантовыми аномалиями в БРСТ-формализме.

Результаты диссертации представляют интерес для специалистов в области квантовой теории поля и математической физики. Теория характеристических классов является потенциально важной при исследовании непертурбативных эффектов в существенно нелинейных теориях, а также в задачах о построении совместных взаимодействий и исследовании квантовых аномалий.

Апробация и публикации. Основные результаты диссертации, были представлены на ряде международных научных конференций и семинаров: Международная летная школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики "Петровские чтения", г. Казань, 20072009 гг.; VI Международная конференция "Перспективы развития фундаментальных наук", г.Томск, 2009 г.; Международная конференция "Quantum Field Theory and Gravity", г. Томск, 2007 г.; Международный семинар "Higher Structures in Mathematics and Physics", Австрия, Вена, 2010 г. ; XXX Workshop on Geometric Methods in Physics, Польша, Беловежа, 2011 г.; a также на научных семинарах кафедр теоретической физики и квантовой теории поля Томского государственного университета.

По материалам диссертационной работы опубликовано 6 работ, в том числе 4 статьи - в журналах из списка рекомендованных ВАК [1-4].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав основной части, заключения, двух приложений и списка литературы, содержащего 92 библиографические ссылки. Общий объем диссертации - 107 страниц. Работа содержит 23 рисунка.

Краткое содержание диссертации

Во введении приводится краткий обзор ранее полученных результатов по теме работы. Дается краткое содержание диссертации, формулируются основные цели и задачи.

Глава 1. Характеристические классы калибровочных систем

Первая глава содержит обзорные сведения, касающиеся геометрического описания калибровочных систем в рамках БРСТ-теории. Дается общее определение ^-многообразий и приводятся их примеры в физике и математике. Определяются характеристические классы (2-многообразий как кого-мологии некоторого графического комплекса, ассоциированного с <3-мно-гообразием и некоторой симметричной связностью на нем. Доказывается теорема о независимости характеристических классов от выбора связности.

Любая (не-)вариационная калибровочная система допускает БРСТ-опи-сание в терминах градуированных супермногообразий. При этом, вся информация об уравнениях движения и алгебре калибровочных преобразований оказывается закодированной в условии нильпотентности классического БРСТ-дифференциала, который можно интерпретировать, как векторное поле на конфигурационном или фазовом пространстве теории. Таким образом, любая калибровочная система представляется некоторым супермногообразием с нечетным векторным полем <3, удовлетворяющим условию <Э2 = 0. В математике такие объекты получили название (^-многообразий.

Оператор производной Ли 5 = на (^-многообразии превращает тензорную алгебру Т(М) в дифференциальную градуированную алгебру с когомологиями Я(М, <Э) = Кег<5/1т<5. Алгебра Я(М, (5) является естественным инвариантом (5-многообразия М, но, к сожалению, ее вычисление является довольно сложной задачей даже в топологически тривиальных случаях, ввиду возможных особых точек поля <2.

Пусть дана симметричная связность V, можно определить тензорную алгебру конкомитантов Л Е Т(М), порожденную гомологическим векторным полем С}, тензором кривизны связности Л и их ковариантным производным конечного порядка Х7пС2, УтД. Действие дифференциала

<5 наделяет А структурой градуированной дифференциальной алгебры. Стабильные характеристические классы определяются как классы кого-мологий 5-коциклов С € А, условие замкнутости 6С = О которых следует лишь из условия интегрируемости гомологического векторного поля и тождеств Бьянки для симметричной связности вне зависимости от конкретной структуры <3, V и М.

Доказано, что так определенные характеристические классы оказываются не зависящими от выбора симметричной связности, и, следовательно, могут рассматриваться как инварианты самого (З-многообразия.

Стабильные характеристические классы образуют подгруппу Нвь(А) в группе <5-когомологий алгебры А. Вычисление этой группы осложняется тем обстоятельством, что в алгебре А базисные конкомитанты {У(3, V тЩ удовлетворяют бесконечному набору тензорных соотношений, возникающих из условия интегрируемости <2 и тождеств Бьянки-Риччи для связности V. Для упрощения задачи вводится удобный базис (1, п)-тензоров {С}п, Д71}, носящий название базиса Лосика-Йанышка-Маркла, в котором часть соотношений можно исключить, а часть - заменить свойствами симметрии генераторов.

Вводим графическое представление для алгебры конкомитантов А. Для этого каждому элементу алгебры ставится в соответствие ориентированный граф по правилам

Каждая вершина обладает симметрией по перестановке входящих ребер, считывающей симметрию исходных генераторов, а соединение ребром двух вершин отвечает свертке соответствующих конкомитантов. Дополнительно, на каждом графе задан порядок вершин, в соответствии с порядком конкомитантов, а также порядок внешних исходящих и входящих ребер. Таким образом, алгебре А соответствует линейное пространство графов 0, фак-торизованное по соотношениям симметрии вершин и смены их нумерации. На нем можно задать действие кограничного оператора д так, чтобы отображение ф —> А определяло коцепное отображение.

В этих терминах стабильные характеристические классы <5-многообразий могут быть определены, как классы ¿-когомологий, принадлежащие образу гомоморфизма Н(ф) : Н(§) —> Я (Л). Тем самым задача нахождения Н^(А) сводится к изучению когомологий графического комплекса (С/,д).

п

Рис. 1: Действие кограничного оператора на вершины.

___________Глава 2. Классификация характеристических классов

Вторая глава посвящена изучению когомологий комплекса (0,д). В главе найдены когомологии (Л) в общем случае и показано, что все стабильные характеристические классы сводятся к трем сериям классов, вовлекающим ковариантные производные гомологического векторного поля не выше второго порядка.

Основное свойство графического комплекса (7 состоит в том, что дифференциал д не перемешивает компонент связности графов. Потому, согласно теореме Кюннета, изучение когомологий Н(0) можно свести к изучению когомологий комплекса Я, состоящего из связных графов, то есть не соответствующих тензорным произведениям конкомитантов.

Комплекс связных графов § в свою очередь распадается в прямую сумму комплексов

Здесь - это одномерный подкомплекс, порожденный одним единственным графом •->. Комплекс строится по элементам третьего соотношения на Рис. 1, причем для удобства второе в правой части слагаемое обозначается белой бивалентной вершиной. Графы, порождающие , по определению, содержат только черные вершины валентности > 3. Наконец,

линейная оболочка всех остальных Л-графов образует подкомплекс Q(4\ Когомологии каждого подкомплекса оказывается возможным непосредственно посчитать.

О очевидностью, н(д^) = к. на дм можно ввести фильтрацию по количеству вершин. Ассоциированная спектральная последовательность вырождается уже на первом шаге и Я(ё(2)) = 0.

Вычисление H{Q^>) по существу эквивалентно вычислению стабильных когомологий алгебры Ли формальных векторных полей с тензорными коэффициентами.

Кограничный оператор не перемешивает графы с различным числом входящих и исходящих ног, потому имеет место разложение:

© (0 С"Ч .

\п=1 / \ш=1 /

Здесь пространство Тп натянуто на древесные графы сп + 1 входящих и одним исходящим внешними ребрами, в то время как графы из Ст содержат в точности один цикл, т входящих внешних ребер и ни одного исходящего.

Согласно теореме Д.Б. Фукса (Д. Б. Фукс, Функц. анализ и прил., 1983) все нетривиальные группы когомологий в комплексе Q^ имеют следующие размерности:

dim Hn~l(Tn) = n!, dim Я"(С") = (п - 1)!.

Базисные коциклы, описывающие когомологии, можно выбрать в виде двух серий В и С

о . 1 . ? з п

~ТТТ'"1

Наконец, комплекс д( 4) ацикличен. Доказательство проводится заданием спектральной последовательности, ассоциированной с некоторой фильтрацией комплекса.

Таким образом, все базовые характеристические классы Q-многообра-зий в общем случае образуют две бесконечные серии В и С вместе с i-когомологическим классом самого поля [Q].

Отождествляя базисные генераторы С}2, соответствующие трехвалентным черным вершинам, с С°° (М)-модульным гомоморфизмом У(М) —> ЩМ), который отображает векторное поле в нечетный правый эндоморфизм (¿2(Х):

(¡2{Х)(Г) = ¿МВД = {ХФСЯ,} МГ € У(М),

можно записать тензорные выражения для графов серий В и С. Коциклы серии В дают набор <3-инвариантных тензоров Вп £ Тп+1,1(М)

Вп(х1,х2,...,ХП) = (-1)2,<Х'^2(ХП)Я2(ХП.1)• • • д2(хо, (1)

которые отождествляются с С°°(М)-модульными гомоморфизмами У(М)®П ЩМ). Универсальные коциклы, соответствующие графам серии С, получаются взятием следа:

Сп{ХиХ2, ■ ■ ■ ,Хп) = 5^Вп(Х 1,Х2, ■ ■. ,Хп). (2)

Переставляя в выражениях (1) и (2) аргументы Х2,...,Хп получаем базис нетривиальных ^-коциклов.

-------Дополнительно можно рассмотреть скалярные характеристические классы для специального выбора связности. Скалярные конкомитанты образуют подкомплекс в комплексе ацикличный в общем случае. Тем не менее, можно определить серию скалярных конкомитантов, удовлетворяющих условию

А„(А, 0) = Б^А2"-1), 5А„(Л,11) = (2п~ ^гф").

Здесь Л, И € ЩМ) - правые эндоморфизмы векторных пространств, определенные по правилу: Л(Х) = Ух(2,ЩХ) = \RqqX ,УХ е У(М). Таким образом, 8й(Кп) является значением 2п-формы Рп = Б^Д71) на гомологическом векторном поле.

В свою очередь, на каждом супермногообразии М можно определить симметричную аффинную связность V, для которой Р2т+х = 0 Ут > 0.

Следовательно, на каждом (^-многообразии можно определить серию 3-когомологических классов [А2п+1], ассоциированных с некоторой симметричной аффинной связностью. Такие классы оказываются не зависящими от выбора такой специальной связности. Явные выражения для скалярных

конкомитантов Ащ-х с небольшими номерами п записываются в виде: = БЬтЩ, А3 = Str(Л5 + 5ИЛ3 + ЮИМ),

А5 = Str(Л9 + 911Л7 + 18И2Л5 + ЭИЛКЛ4 + 9ИЛ2КЛ3+ ^

+ 45Я3Л3 + 21112Л11Л2 + 15112Л211Л + 31Ш1Л11Л + 126114Л).

Основной результат главы можно сформулировать в виде теоремы

Теорема 1. Все базисные характеристические классы <2-многообразий образуют две бесконечные серии В и С вместе с 6-когомологическим классом самого поля [<Э]. Для специального выбора симметричной связности можно такэюе определить серию скалярных характеристических классов А. Построенные классы не зависят от выбора симметричной связности, удовлетворяющей дополнительным условиям в случае серии А.

Классы серий А, В и С называются внутренними классами, чтобы подчеркнуть тот факт, что они в общем случае нетривиальны даже для (5-многообразия с плоской связностью.

Глава 3. Универсальное классифицирующее пространство

В третьей главе проводится доказательство того факта, что все внутренние характеристические классы О-многообразия могут быть получены как образ отображения характеристических классов из некоторого формального универсального классифицирующего (2-пространства.

Пусть дано конечномерное суперпространство V с координатами уг, обозначим через Ь0(У) алгебру Ли формальных векторных полей на V с координатами у? ^ 6 ¡К:

00 д п=1 У

С Ьо(У) можно ассоциировать формальное (З-многообразие Е = П£о(У) х V с координатами (с- ,ук} и диагональным действием СЬ(\Г). Гомоло-

«1

гическое векторное поле имеет вид

ОО П , ч

п=1 1=1

д г<_д_

ти+1...гп У * ¡)у] '

гг--лп

Пространство (Е, ИЗ) называется классифицирующим ^-пространством.

Обозначим через Т(Е)'ПУ с Т(Е) тензорную алгебру С£(1Л)-инвариант-ных Е-тензоров. Очевидно, (Т(Е)ШУ, 5) является дифференциальной алгеброй и соответствующие алгебре ¿-когомологии обозначаются Н(Е)'ШУ.

Пусть дано (¡^-многообразие М с плоской симметричной связностью д. Без потери общности можно считать, что М односвязно. Некоторая тривиализация <р : ТМ —> М х V называется совместной с плоской связностью д, если обратное отображение любого постоянного сечения V € Г(М х V) оказывается ковариантно постоянным сечением в ТМ.

По заданному гомологическому векторному полю С? и плоской симметричной связности д, можно построить набор тензоров 9П<2 Е Тп,1(М). Взятые вместе тензорные поля {дпС}}™=1 определяют отображение Гаусса

<& : М —> ПЬ0(У)

плоского (^-многообразия М на базу Т1Ьо{У) классифицирующего <2-прос-транства Е. При этом, гауссово отображение С зависит от тривиализации ¡р. В координатах отображение имеет вид

________________41...гп=ди---Ап03-(2--------П =1, 2, ... .---------------------------------------

Далее, отображение С можно продолжить до отображения расслоений 6 : ТМ —► Е, индуцирующего гомоморфизм тензорной алгебры С, :Т(Е) Т(М).

Можно доказать тот факт, что отображение С является морфизмом <2-векторных расслоений. Доказательство проводится путем формулировки цепного свойства 6 о С» = С» о 6 характеристического отображения С в виде условия интегрируемости некоторого формального гомологического векторного поля на ТМ.

Теперь, ограничение отображения на подпространство Т(Е)'т' с Т(Е)

X : Т(Е)'ПУ Т(М) индуцирует хорошо определенный гомоморфизм в когомологиях

X* : Я(Е)'ПУ —> Нс}(М). (4)

Гомоморфизм (4) оказывается уже не зависящим от выбора плоской связности и совместной тривиализации.

Основной результат главы можно сформулировать таким образом. Характеристические классы плоского (3-многообразия, а вместе с ними и

внутренние классы, представляются классами <3-когомологий, принадлежащих образу гомоморфизма (4).

Глава 4. Приложения и примеры

Первый раздел четвертой главы посвящен изучению характеристических классов со значениями в дифференциальных формах.

Пусть А = А П Г2(М) - бидифференциальная, биградуированная, ассоциативная алгебра, элементами которой являются конкомитанты гомологического векторного поля С} и симметричной связности V со значениями в дифференциальных формах Г!(М).

Когомологии дифференциала 5 алгебры А были вычислены в предыдущей главе. Мультипликативный базис ¿-коциклов записывается в виде

С„ = Б^В?) € Ап-п , пеМ,

где

Вх = УА + гдД € П\М) ® Т1'1{М). Основным результатом раздела является

Теорема 2. Пусть М - <2-многообразие с [Рп] = 0. Тогда класс 6-когомо-логий [С„] € Нд(М) содержит ¿-точный представитель.

Доказательство основано на сопоставлении двух спектральных последовательностей, ассоциированных с бикомплексом V С А, расширенным дифференциальным идеалом, порожденным потенциалом для Рп.

Из доказательства в том числе следует процедура нахождения явных выражений для ¿-точных представителей. В частности, для первых трех классов [Сх], [Сг], и [Сз] можно записать:

С! - = «г [8ь(л) + Р1] ,

С2 + <5 [БЦДА) + = й [ЗЦАУА) + ,

Сз + |<5[8ВДЛ,УЛ])-^Г2]= (5)

= й [Str(ЛVЛ2 + Лг'дД2 + ^А[УЛ, +

Здесь элементы Е™ определяются соотношениями

Г^ = г^Еп> <ЯГ„ = Р„ = 81г(Я").

Поскольку на любом супермногообразии можно выбрать симметричную связность, для которой все характеры Понтрягина [Р2Ш+1] равны нулю, суточные представители существуют для всех классов [Сгт+1]. Определенные выше потенциалы в частном случае воспроизводят лагранжианы Черна-Саймонса.

Второй раздел посвящен вычислению характеристических классов для слоений, алгебр и алгеброидов Ли. Показано, что характеристические классы воспроизводят известные инварианты этих систем, а также не тривиально их обобщают.

• Пусть дано регулярное слоение Т обычного (четного) многообразия

обозначим через ТТ С ТН подрасслоение касательных пространств

к слоям Т. Так как ТТ интегрируемо, вложение ТТ ТЫ определяет инъективный алгеброид Ли над N. В свою очередь, любому алгеброиду Ли Е —> ТЫ можно поставить в соответствие (^-многообразие НЕ вместе с соответствующими характеристическими классами. Если алгеброид Ли происходит из регулярного слоения, эти характеристические классы могут рассматриваться как инварианты самого слоения.

Примером слоения с нетривиальным модулярным классом может служить группа вещественных 2x2 матриц БЬ(2,Е). Известно, что эта группа имеет дискретные подгруппы Г такие, что правое фактор-пространство N = 5Х(2, К)/Г, сНтЛГ = 3 является компактным многообразием. Для этого многообразия можно определить модулярный класс

А!=сНУр<Э, (6)

который оказывается не тривиальным. Можно показать, что модулярный класс (6) фактически совпадает с классом Риба слоения Т.

• Рассмотрим теперь гомологическое векторное поле, ассоциированное с алгеброй Ли. Если {£0} - базис в алгебре Ли £ с коммутационными соотношениями

[£<и ¿б] = /аЬ^с ,

то структура комплекса Шевалье-Эйленберга алгебры Ли С кодируется гомологическим векторным полем на ПС

е-

Можно видеть, что соответствующее характеристические классы С-серии не тривиальны и описывают когомологии алгебры Ли

Сп = 1;г(ас1а1 ■ • ■ айап)йса1 ® ■ ■ • ® йса" Уп 6 N. (7)

Если алгебра Ли С полупроста, то 1-форма С\ равна нулю, в то время как 2-форма Сг невырождена (метрика Киллинга).

• Пусть дан алгеброид Ли Е —> В. Обозначим через хг - некоторые локальные координаты тривиализующего атласа на базе В, а уа - координаты, дуальные к некоторому базису {еа} в слоях. Якорь и и скобка Ли на сечениях определяются в этих координатах функциями р'а(х) и /¿¡(ж), удовлетворяющими условиям

[еа, ер) = /20е7, Ра0р\ = р?ад,р), - ¡?0дзР%а ,

/а/зА5. + + сУс1е(а> Р> Т) = О-

С алгеброидом можно ассоциировать (^-многообразие НЕ с локальными координатами (х',са) и гомологическим векторным полем

П - га п{ — 4- -гагР Г —

а;

для которого условие интегрируемости [<2, <3] = О компактно кодирует соотношения для якоря и структурных функций алгеброида.

Выбирая на базе В симметричную связность Ух с символами Крис-

тоффеля {Г^} и связность У 2 в расслоении -Е, с коэффициентами {rfQ}, можно определить базисные векторные поля

v -JL h. = d.-c*rß —

~~ дса' ®Q до3'

порождающие, соответственно, вертикальное и горизонтальное распределение на ТП.Е, а также симметричную связность У на тотальном пространстве алгеброида Ли, носящую название связности Яно-Леджера.

По этим данным можно построить характеристические классы Q-mho-гообразия НЕ. Тогда серия А описывает характеристические классы ал-геброидов Ли (R. L. Fernandes, Adv. Math., 2002). Для первых коциклов серии С имеем следующие выражения:

(Ci)7 = Уipi, + т«7, (Ci)fc = c°(VkViPi - yfcr«J.

(Сг)7172 = Vi/^Vj^ - Г^Т^,... ,

Таким образом, можно видеть, что вертикальная составляющая С2 обобщает метрику Киллинга:

Третий раздел главы включает анализ связи характеристических классов с квантовыми аномалиями в методе БРСТ-квантования. Описание связи модулярного класса с однопетлевых аномалий носит обзорный характер. Анализ связи характеристических классов с двух-петлевыми аномалиями в методе БРСТ-БВФ квантования составляет оригинальный результат.

Известно, что аномалии, возникающие в квантовой теории поля имеют топологическую природу (J. Zinn-Justin. Topology and Geometry in Physics, 2005). В самом широком смысле, термин аномалия означает нарушение классической калибровочной симметрии при квантовании. На практике, аномалии возникают как нетривиальные коциклы БРСТ-дифференциала в духовых числах 1 или 2, в зависимости от того, какой метод (лагранжев БВ или гамильтонов БВФ) используется для квантования. Эти коциклы представляют собой когомологические препятствия к разрешимости квантовых мастер-уравнений.

• В рамках метода лагранжева БВ-квантования калибровочная система реализуется как пространство ПГТМ вместе с канонической антискобкой (•, •). Квантовое мастер-уравнение имеет вид

(S,S) = 2ihAS Ae%s = 0. (9)

Здесь Д - нильпотентный дифференциальный оператор второго порядка, называющийся нечетным лапласианом.

Разложение (9) по степеням h дает цепочку уравнений

(So, So) = 0, (S0,Si) = iAS0,

Tl-l

(S0,Sn) =zA5„_1 + ^(S'fc,S'n_fe), n> 2. k=1

Первое уравнение есть просто классическое мастер-уравнение. С учетом определения гомологического векторного поля Q = (So, ■ ) эта цепочка может быть переписана в виде

5Sn = Bn(S0,...,Sn-i), n = 0,1,....

В частности, второе уравнение означает тривиальность модулярного класса [Ai], где

Ai = AS0 = ^di vpQ,

где р - некоторая плотность.

Таким образом, отождествить модулярный класс классического БРСТ-дифференциала с первым когомологическим препятствием к разрешению квантового мастер-уравнения.

• В рамках процедуры БВФ-БРСТ квантования, заряд П удовлетворяет квантовому мастер-уравнению

П*П = 0. (10)

Здесь *-произведение на С°°(М) ® С[[Й]] определено как локальная, С[[/г]]-линейная деформация по И обычного произведения функций, удовлетворяющая принципу соответствия

/*д- (-1)* / = ¿Л(/,д) + 0(П2) £ С°°(М).

Подставляя разложение П = ^п>о п0 порядкам постоянной Планка в (10), мы получаем бесконечный набор уравнений

{П0,П„} = - XI

тп • (п)

(:+1+т=п+1 1,т<п

Первое из них, {По, По} — 0, называется классическим мастер-уравнением, а его решение П0 - классическим ВРСТ-зарядом. С учетом этого определения следующее уравнение в (11) принимает вид

«11=0. (12)

Оно отождествляет первую квантовую поправку к классическому БРСТ-заряду с БРСТ-коциклом. Пусть {/,д} = (П,г1/ А йд), где треугольные скобки означают естественное спаривание между бивекторами и 2-форма-ми. Тогда поправка второго порядка П2 определяется из уравнения

¿П2 = <П,£С2-£Л11Л<*П1>, (13)

где Сг - второй универсальный коцикл серии С, ассоциированной с классическим БРСТ-дифференциалом

Таким образом, класс [Сг] может служить препятствием к разрешимости квантового мастер-уравнения во втором порядке по Н. Точнее, если (М, и>) - симплектическое супермногообразие с гамильтоновым действием классического БРСТ дифференциала 6, и [С2] = 0, то существует ^произведение на М, такое, что квантовое мастер-уравнение (10) разрешимо вплоть до третьего порядка по 1г.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации.

Приложения содержат дополнительный теоретический материал, посвященный базовым соглашениям и определениям, необходимым для понимания основной части диссертации.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Дано определение и проведена полная классификация характеристических классов калибровочных систем. В том числе, показано, что в общем случае все характеристические классы могут быть представлены универсальными тензорными коциклами, вовлекающими не выше второй ковариантной производной гомологического векторного поля. Доказано, что характеристические классы не зависят от выбора симметричной связности.

2. Построено универсальное (2-пространство и классифицирующее отображение, позволяющее интерпретировать характеристические классы плоских (^-многообразий, как образы классов универсального <3-пространства. __________________________________________

3. Для характеристических классов со значениями в дифференциальных формах, доказано существование в каждом классе серии С д,-точного представителя при условии обращения в нуль соответствующего характера Понтрягина. Определенные для этих представителей потенциалы в частном случае воспроизводят лагранжианы Черна-Саймонса.

4. Получено явное выражение для характеристических классов построенных серий для ряда примеров <2-многообразий. Показано, что классы воспроизводят уже известные классы слоений, алгебр и алгеброидов Ли, а также обобщают их нетривиальным образом.

5. Показано, что характеристические классы серии С являются потенциальными источниками двухпетлевых квантовых аномалий, возникающих в процедуре БФВ-БРСТ-квантования калибровочных теорий.

Публикации по теме диссертации

[1] С. Л. Ляхович, Е. А. Мосыан, А. А. Шарапов. О характеристических классах Q-многообразий // Функц. анализ и его прил.. - 2008. - 42:88-91.

[2] S.L. Lyakhovich, Е.А. Mosman, and A.A. Sharapov. Characteristic classes of Q-manifolds: classification and applications // J. Geom. Phys.. - 2010. -60(5):729-759.

[3] Elena Mosman and Alexey Sharapov. All stable characteristic classes of homological vector fields // Letters in Mathematical Physics. - 2010. - 94:243261.

[4] Е.А. Мосман and A.A. Шарапов. Квазиримановы структуры на супермногообразиях и характеристические классы // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2011. - 54:47-50.

[5] С.Л. Ляхович, Е.А. Мосман, A.A. Шарапов. Характеристические классы (5-многообразий // Сборник трудов XI Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученью:. - 2007. - Т. 1. - С. 318-322. Изд-во ТГПУ.

[6] С.Л. Ляхович, Е.А. Мосман, A.A. Шарапов. Стабильные характеристические классы <5-многообразий // Трг/ды VI Международной конференции студентов и молодых ученых. - 2009. - Т. 2, С. 610-613. Изд-во ТПУ.

Тираж 100 экз. Заказ 1138. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40. Тел. (3822) 533018.

Введение

0.1 Цель и содержание поставленных задач

0.2 Структура диссертации.

0.3 Апробация работы и публикации

1 Характеристические классы калибровочных систем

1.1 Классический БРСТ-дифференциал в (не-)вариационной теории поля

1.1.1 Формализм Баталина-Вилковыского.

1.1.2 Гамильтонов формализм Баталина-Вилковыского-Фрадкина

1.1.3 БРСТ-формализм для невариационных теорий.

1.2 <5-многообразия.

1.3 Характеристические классы (^-многообразий

1.4 Базис конкомитантов Лосика-Янышка-Маркла.

1.5 Графический комплекс.

2 Классификация характеристических классов

2.1 Когомологии графического комплекса.

2.1.1 Когомологии комплекса

2.1.2 Когомологии комплекса

2.1.3 Когомологии комплекса

2.1.4 Когомологии комплекса

2.2 Скалярные характеристические классы.

2.3 Графическая интерпретация скалярных классов

2.4 Выводы.

3 Универсальное классифицирующее пространство

3.1 Классифицирующее ¿¡^-пространство

3.2 Характеристическое отображение.

3.3 Экспоненциальное отображение.

3.4 Выводы

Одной из основных проблем квантовой теории поля как теоретической основы физики фундаментальных взаимодействий является проблема квантования калибровочных теорий. Калибровочные теории возникают в современной физике повсеместно. Все известные на сегодняшний день модели фундаментальных взаимодействий, в том числе такие, как стандартная модель, эйнштейновская гравитация, теория струн и бран, являются калибровочными.

Впервые термин "калибровочные поля" был введен в работе Янга и Миллса [1] для полей, переносящих изотопический спин. В дальнейшем калибровочные теории были обобщены на случай произвольных неабелевых калибровочных групп [2] и изучение их квантования было продолжено в работах Фейнмана [3] и де Витта [4,5]. В то же время Фаддеевым и Поповым [6] был предложен подход к квантованию калибровочных теорий, основанный на методе функционального интегрирования по пространству, расширенному дополнительными антикоммутирующими переменными, получившими название духов. Несколько лет спустя этот метод был обобщен благодаря открытию Бекки, Руэ, Стора [7, 8] и независимо от них Тютиным [9] глобальной симметрии, смешивающей калибровочные поля с духами Фаддеева-Попова, получившей название в честь ее авторов БРСТ-симметрии.

Обобщение и использование методов БРСТ-симметрии привело к созданию эффективных методов квантования, известных под общим условным названием БРСТ-теории [10,11], включающей в себя методы обобщенного канонического квантования Баталина-Вилковыского-Фрадкнна [12-14] и лагранжево квантование Баталина-Вилковыского [15-18].

На сегодняшний день БРСТ-теория является одной из центральных концепций современной теоретической и математической физики. Весь прогресс в квантовании калибровочных теорий, включая стандартную модель фундаментальных взаимодействий и теорию суперструн, связан с развитием БРСТ-метода. БРСТ-теория обеспечивает наиболее систематический метод квантования калибровочных систем, подчас не имеющий альтернатив. Круг приложений метода, однако, не ограничивается исключительно квантованием. БРСТ-теория оказывается полезной в теории перенормировок, при анализе аномалий, как инструмент построения совместных взаимодействий в калибровочных моделях, а также для изучения симметрий и законов сохранения.

Важным достоинством БРСТ-метода является и то, что он позволяет разработать процедуру квантования калибровочных теорий, классические уравнения движения которых не допускают вариационной формулировки, то есть не следуют из принципа наименьшего действия [19-22]. Надо сказать, что круг таких моделей в теории поля довольно широк. Среди наиболее фундаментальных моделей такого рода стоит отмстить самодуальные поля Янга-Миллса, киральные бозоны, уравнения Дональдсона-Уленбека-Яу [23,24], различные многомерные конформные теории поля с расширенной суперсимметрией, уравнения Зайберга-Виттена, теории безмассовых полей высших спинов [25-28], а также уравнения, описывающие самосогласованную динамику частиц струн и бран во внешних динамических полях.

В терминах геометрии градуированных супермногообразий БРСТ-теория получила прекрасную геометрическую интерпретацию в работах [29-31].

В основе формализма Баталина-Вилковыского, или просто БВ-формализма, лежит 2-градуированное пространство, полученное из исходного конфигурационного пространства полей добавлением духов по количеству параметров калибровочных преобразований, а затем расширенное антиполями, несущими отрицательную 2-градуировку. Пространство оснащается нечетной скобкой Пуассона, или антискобкой (•,•), а исходное действие системы продолжается до некоторого четного мастер-действия 51, являющегося решением классического мастер уравнения на расширенном пространстве:

5,5)= 0 (0.1)

Классический БРСТ-дифференциал строится как нечетное гамильтоново векторное поле градуировки один по отношению к антискобке, то есть О — (51, •). Будучи нильпо-тентным дифференцированием антипуассоновой алгебры функций, он несет в себе всю информацию о динамических уравнениях движения и калибровочных симметриях и их алгебре.

Аналогичная картина имеет место и в БВФ-формализме, строящемся для гамиль-тоновьтх систем со связями первого рода. Фазовое пространство такой системы расширяется духами и импульсами к ним. Ключевым элементом БВФ-формализма является нечетный БРСТ-заряд духового числа один П, несущий в себе информацию о связях и их пуассоновой алгебре, который удовлетворяет мастер-уравнению:

0,0} = 0. (0.2)

Здесь {•,•} — четная симплектическая структура на расширенном фазовом пространстве. Генератор БРСТ-симметрии вновь представляет собой нечетное гамильтоново векторное поле (3 = {Г2, •}, квадрат которого равен пулю.

Надо отметить, что для нелагранжевой теории БРСТ-дифференциал С) уже не является ни гамильтоновым, ни анти-гамильтоновым, но тем не менее несет в себе всю информацию об исходной классической калибровочной системе.

Как видно, БРСТ описание калибровочных теорий предполагает наличие дополнительной 1л-градуировки, называющейся духовой. Это означает, что всем локальным координатам хг приписывается определенный вес, называющийся духовым числом и обозначаемый дк{хг). При этом все геометрические объекты на градуированном пространстве, такие как тензорные поля, функции, связности также будут иметь некоторый вес, который вычисляется действием производной Ли вдоль векторного поля

С = £ дН(х<) € Ъ. (0.3) г

Духовое число определяется как собственное значение такого действия. Алгебра векторных полей <5, С, с коммутаторами с,д] = д, = о, (о.4) называется ВРСТ-алгеброй.

Нильпотентность БРСТ-дифференциала позволяет строить и изучать его группы когомологий Нк(С?). Эти группы несут важную информацию о системе. Например, физические величины в калибровочных теориях описываются БРСТ-когомологиями в нулевом духовом числе цО/0\ Г калибровочно инвариантные функции 1 ^ функции, исчезающие на массовой оболочке /

Помимо физических величин, интерес представляют и другие группы когомологий.

В различных духовых числах они несут информацию о БВФ-БРСТ-заряде или мастердействии, а также о симметриях теории, ее законах сохранения и квантовых аномалиях.

Таким образом, когомологии БРСТ-дифференциала несут важную информацию как о классической, так и квантовой структуре теории.

К сожалению, явное вычисление групп БРСТ-когомологий является, как правило, очень трудной задачей. В этой ситуации представляется естественным несколько изменить постановку задачи и вместо вычисления полных групп БРСТ-когомологий попытаться вычислить лишь некоторые подгруппы, удовлетворяющие тем или иным дополнительным условиям. Эти дополнительные условия могут быть самыми разными в зависимости от специфики решаемой задачи, однако, должны удовлетворять следующим общим критериям: выделяемые этими условиями группы когомологий должны быть нетривиальными (т.е. нести полезную физическую информацию) и в то же время быть эффективно вычислимыми. В данной диссертационной работе в качестве таких специальных подгрупп рассматриваются классы эквивалентности БРСТ-инвариантов, чьи представители могут быть универсальным образом выражены в терминах классического БРСТ-дифференциала и его ковариантных производных по отношению к некоторой симметричной связности. В работе [32] такие БРСТ-инварианты были названы характеристическими классами калибровочных систем. По определению, характеристические классы принимают значение в тензорных полях на расширенном фазовом/конфигурационном пространстве калибровочной теории и, как показывается, не зависят от выбора симметричной связности, т.е. являются глобальными инвариантами самой калибровочной динамики. В той же работе была построена первая бесконечная серия характеристических классов и показано, что низшие из них связаны с однопетлевыми квантовыми аномалиями в БВ- и БРСТ-БВФ-формализме.

Все возрастающая роль геометрического подхода является отражением общей тенденции современной квантовой теории поля в сторону» развития непертурбативных ме-юдов исследования классической и квантовой динамики полей в существенно нелинейных калибровочных моделях. Дальнейшее продвижение в этом направлении требует более глубокого изучения глобальной геометрической структуры (^-многообразий и связанных с ними конструкций дифференциальной геометрии. Однако нельзя сказать, что эти вопросы математической физики являются хорошо изученными. Несмотря на то, что некоторые частные конструкции характеристических классов уже рассматривались как в физике, так и в математике, введение общего понятия дало универсальную точку зрения на все эти конструкции,а также открыло путь для их дальнейшего обобщения.

Надо отметить, что круг приложений теории характеристических классов не исчерпывается вопросами физики. В математике векторное поле, реализующее БРСТ-дифференциал получило название гомологического векторного поля. А гладкое супермногообразие, наделенное гомологическим векторным полем называется (^-многообразием.

Гомологические векторные поля были впервые представлены Шандером [33] при изучении дифференциальных уравнений на супермногообразиях. Локальные нормальные формы гомологических векторных полей были рассмотрены в работах Шварца [29,30] и Вайнтроба [34].

Известно, что различные математические концепции могут быть переформулированы в терминах (^-многообразий. Полный перечень примеров включает в себя комплексы де Рама и Кошуля, /^-алгебры [35, 36], рациональные гомотопические типы [37], алгеброиды Ли и Куранта [38,39], 77-алгеброиды [40,41]. Такая многочисленная область приложений гомологических векторных полей демонстрирует основное преимущество этого подхода - его геометрическую ясность и универсальность.

0.1 Цель и содержание поставленных задач

Целью данной диссертационной работы является разработка теории характеристических классов калибровочных систем, которая включает в себя создание новых методов построения топологических инвариантов (характеристических классов) калибровочных систем, их классификацию, изучение их свойств и физических приложений, в числе которых установление связи с низкопетлевыми квантовыми аномалиями.

До недавнего времени [32] не было известно универсальных методов построения характеристических классов калибровочных теорий. В данной работе, предложен такой метод, применимый к общим (конечномерным) калибровочным системам, и разобраны примеры такого применения. Далее, продемонстрировано, что так определенные характеристические классы не зависят от выбора симметричной связности и, следовательно, являются инвариантами самого (^-многообразия.

Следующим шагом была проведена исчерпывающая классификация характеристических классов (^-многообразий общего вида, что стало возможным благодаря тесной интеграции методов БРСТ-теории с развитыми методами супергеомегрии, гомологической алгеброй [42] и теорией графических комплексов [43,44].

Был рассмотрен ряд приложений теории в различных моделях физики и математики. Прежде всего было показано, что построенные классы воспроизводят и обобщают известные ранее характеристические классы в тех или иных моделях. Помимо этого, была поставлена задача вычисления и интерпретации других ранее неизвестных когомологических инвариантов калибровочной системы, в различных математических моделях.

Наконец, была продемонстрирована связь низших характеристических классов с низ копетлевыми квантовыми аномалиями в БРСТ-формализме. Таким образом, показано, что теория характеристических классов позволяет выработать инвариантную и универсальную точку зрения на природу низкопетлевых квантовых аномалий, а также обеспечить новые средства для их изучения.

Полученные результаты согласуются с общими тенденциями развития современной квантовой теории поля в сторону большей геометризации и получения точных (непер-турбативных) результатов на основе новейших математических методов.

0.2 Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав основной части, заключения, двух приложений и списка литературы.

4.4 Выводы

Основными результатами главы являются следующие.

Для произвольного (^-многообразия рассмотрена подалгебра конкомитантов со значениями в формах А = А Р| <Г2(М), содержащая в том числе универсальные коциклы серий А и С. Алгебра А оказывается наделенной структурой бикомплекса относительно дифференциала 6 и дифференциала де Рама в,. Изучение тотальных когомологий бикомплекса показывает, что в случае тривиальности п-го класса Понтрягина, тотальные когомологии пространства А, расширенного идеалом форм, порожденных потенциалом для соответствующего характера Понтрягина, оказываются тривиальными П^5(у) = 0. Доказательство основано на сопоставлении двух спектральных последовательностей, ассоциированных с расширенным бикомплексом V. Условие тривиальности группы //¿"¿(V) влечет, в свою очередь, существование для элементов из С (¿-точных представителей, явные выражения для которых также выписаны. Надо отметить, что соответствующие потенциалы, хоть и не определяют характеристических классов, также могут представлять интерес для физики, в частности, для построения калибровочных моделей. К примеру, в случае (^-слоения, соответствующего алгеброиду Атьи [46], такие формы воспроизводят формы Черна-Саймонса.

В качестве примеров вычисления характеристических классов, рассмотрены классы регулярных слоений, где показано, что первый класс основной серии воспроизводит известный класс Риба. В случае (^-многообразий, соответствующих алгебрам Ли, характеристические классы воспроизводят примитивные элементы когомологий алгебр Ли, в том числе и метрику Киллинга. Построены характеристические классы в случае алгеброидов Ли. В том числе среди универсальных коциклов для алгеброидов Ли построено обобщение метрики Киллинга для алгеброидов Ли, которое может оказаться полезным в алгеброидной теории Янга-Миллса [47].

Последним результатом главы является демонстрация того, что в БФВ-формализме, геометрически реализуемом Р<3-многообразием, второй универсальный коцикл серии С, ассоциированной с классическим БРСТ-дифференциалом может быть препятствием к разрешимости квантового мастер-уравнения, точнее, его тривиальность гарантирует разрешимость квантового мастер-уравнения вплоть до третьего порядка по Ь.

Заключение

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации:

1. Дано определение и проведена полная классификация характеристических классов калибровочных систем. В том числе, показано, что в общем случае все характеристические классы могут быть представлены универсальными тензорными коциклами, вовлекающими не выше второй ковариантной производной гомологического векторного поля. Доказана независимость характеристических классов от выбора симметричной связности.

2. В случае плоских Q-многообразий, построено универсальное Q-пространство и классифицирующее отображение, позволяющее интерпретировать соответствующие классы как обратные образы классов универсального (^-пространства.

3. Для характеристических классов со значениями в дифференциальных формах, доказано существование d-точно го представителя при условии обращения в нуль соответствующего характера Понтрягина.

4. Для ряда конкретных калибровочных систем получены явные выражения для характеристических классов. Показано, что эти классы воспроизводят уже известные классы слоений, алгебр и алгеброидов Ли, а также дают их нетривиальные обобщения.

5. Установлена взаимосвязь между двухпетлевыми квантовыми аномалиями в методе БВФ-БРСТ-квантования и простейшими характеристическими классами серии С.

В заключение, я выражаю искреннюю благодарность моим научным руководителям доктору физ.-мат. наук, профессору С.Л. Ляховичу доктору физ.-мат. наук A.A. Шарапову за постановку интересных задач и неоценимую помощь в создании этой работы. Также хочу поблагодарить доктора физ.-мат. наук, профессора В.Г. Багрова за всестороннюю поддержку и внимание к работе. Выражаю признательность кандидату физ.-мат. наук П.О. Казинскому за ценные замечания и полезные советы по подготовке диссертации. Наконец хочу поблагодарить всех сотрудников кафедр квантовой теории поля и теоретической физики за ценные обсуждения, и создание благоприятных условий для выполнения этой работы.

1. Yang С. N. and Mills R. L. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance. Phys. Rev., 96(1):191—195, Oct 1954.

2. Utiyama R. Invariant theoretical interpretation of interaction. Phys. Rev., 101(5):1597-1607, Mar 1956.

3. Feynman R. The quantum theory of gravitation. Acta Physica Polonica, 24:697-722, 1963.

4. DeWitt B. S. Quantum theory of gravity, ii. the manifestly covariant theory. Phys. Rev., 162(5):1195-1239, Oct 1967.

5. DeWitt B. S. Quantum theory of gravity, iii. applications of the covariant theory. Phys. Rev., 162(5): 1239-1256, Oct 1967.

6. Faddeev L. D. and Popov V. N. Feynman diagrams for the Yang-Mills field. Physics Letters В, 25(1):29 30, 1967.

7. Becchi C., Rouet A., and Stora R. Renormalization of the abelian Higgs-Kibble model. Communications in Mathematical Physics, 42:127-162, 1975.

8. Becchi C., Rouet A., and Stora R. Renormalization of gauge theories. Annals of Physics, 98(2):287 321, 1976.

9. Тютин И.В. Калибровочная инвариантность в теории поля и статистической механике. Препринт ФИ АН, (39), 1975.

10. Henneaux M. and Teitelboim С. Quantization of Gauge Systems. Princeton University Press, 1992.

11. Gitman D.M. and Tyutin I.V. Quantization of Fields with Constraints. Springer-Verlag, 1990.

12. Fradkin E. S. and Vilkovisky G. A. Quantization of relativistic systems with constraints. Physics Letters B, 55(2):224 226, 1975.

13. Batalin I. A. and Vilkovisky G. A. Relativistic s-matrix of dynamical systems with boson and fermion constraints. Physics Letters B, 69(3):309 312, 1977.

14. Batalin I. A. and Fradkin E. S. Operator quantization of relativistic dynamical systems subject to first class constraints. Physics Letters B, 128(5):303 308, 1983.

15. Batalin I. A. and Vilkovisky G. A. Gauge algebra and quantization. Physics Letters B, 102(1):27 31, 1981.

16. Batalin I. A. and Vilkovisky G. A. Quantization of gauge theories with linearly dependent generators. Phys. Rev. D, 28(10) :2567-2582, Nov 1983.

17. Batalin I. A. and Fradkin E. S. A generalized canonical formalism and quantization of reducible gauge theories. Physics Letters B, 122(2): 157 164, 1983.

18. Kazinski R 0., Lyakhovich S. L., and Sharapov A. A. Lagrange structure and quantization. Journal of High Energy Physics, 2005(07):076, 2005.

19. Lyakhovich S. L. and Sharapov A. A. Schwinger-dyson equation for non-lagrangian field theory. Journal of High Energy Physics, 2006(02):007, 2006.

20. Lyakhovich S. L. and Sharapov A. A. ■ Quantizing non-lagrangian gauge theories: an augmentation method. Journal of High Energy Physics, 2007(01):047, 2007.

21. Donaldson S. K. Anti self-dual yang-mills connections over complex algebraic surfaces and stable vector bundles. Proceedings of the London Mathematical Society, s3-50(l):l-26, 1985.

22. Uhlenbeck К. and Yau S. T. On the existence of hermitian-yang-mills connections in stable vector bundles. Communications on Pure and Applied Mathematics, 39(S1):S257-S293, 1986.

23. Vasiliev M. A. Consistent equations for interacting gauge fields of all spins in 3-1-1 dimensions. Physics Letters B, 243(4):378 382, 1990.

24. Vasiliev M.A. More on equations of motion for interacting massless fields of all spins in 3+1 dimensions. Physics Letters B, 285(3):225 234, 1992.

25. Vasiliev M.A. Nonlinear equations for symmetric massless higher spin fields in (a)dsd. Physics Letters B, 567(1-2):139 151, 2003.

26. Vasiliev M.A. Higher spin gauge theories in various dimensions. Fortschritte der Physik, 52:702 717, 2004.

27. Schwarz A. Semiclassical approximation in batalin-vilkovisky formalism. Communications in Mathematical Physics, 158:373-396, 1993.

28. Schwarz A. Geometry of batalin-vilkovisky quantization. Communications in Mathematical Physics, 155:249-260, 1993.

29. Alexandrov M., Kontsevich M., Schwartz A., and Zaboronsky O. The Geometry of the master equation and topological quantum field theory. Int. J. Mod. Phys., A12:1405-1430, 1997.

30. Lyakhovich S. L. and Sharapov A. A. Characteristic classes of gauge systems. •Nuclear Physics B, 703(3):419 453, 2004.

31. Шандер В. H. Векторные поля и дифференциальные уравнения на супермпогообразиях. Функц. анализ и его прил., 14:91-92, 1980.

32. Vaintrob A. Normal forms of homological vector fields. Journal of Mathematical Sciences, 82:3865-3868, 1996.

33. Kontsevich M. Deformation quantization of poisson manifolds. Letters in Mathematical Physics, 66:157-216, 2003.

34. Lada T. and Stasheff J. Introduction to sh lie algebras for physicists. International Journal of Theoretical Physics, 32:1087-1103, 1993.

35. Sullivan D. Infinitesimal computations in topology. Publications Mathématiques de L'IH'ES, 47:269-331, 1977.

36. Вайнтроб А. Ю. Алгеброиды Ли и гомологические векторные поля. УМН, 52(2(314)):161-162, 1997.

37. Voronov Th. Graded manifolds and drinfeld doubles for lie bialgebroids. 315:131Ц168, 2002.

38. Roytenberg D. On the structure of graded symplectic supermanifolds and courant algebroids. ArXiv Mathematics e-prints, March 2002.

39. Severa P. Some title containing the words "homotopy"and "symplectic e.g. this one. Travaux Mathématiques, 16:121 137, 2005.

40. Маклейн С. Гомология. Мир, 1966.

41. Kontsevich M. Formal (non)-commutative symplectic geometry. In The Gelfand Mathematical Seminars. Birkhaser Boston, Boston.

42. Kontsevich M. Feynman diagrams and low-dimensional topology. In Progress m Mathematics, volume 120, pages 97-121. Birkhauser, 1994.

43. Bojowald M. , Kotov A., and Strobl T. Lie algebroid morphisms, poisson sigma models, and off-shell closed gauge symmetries. Journal of Geometry and Physics, 54(4):400 -426, 2005.

44. Kotov A., and Strobl T. Characteristic classes associated to Q-bundles. ArXiv e-prints, 2007.

45. Mayer C. and Strobl T. Lie algebroid yang-mills with matter fields. Journal of Geometry and Physics, 59(12):1613 1623, 2009.

46. Ляхович С. Л., Мосман Е. А., Шарапов А. А. О характеристических классах Q-миогообразий. Функц. анализ и его прил., 42:88-91, 2008.

47. Lyakhovich S.L., Mosman E.A., and Sharapov A.A. Characteristic classes of Q-manifolds: classification and applications. J. Geom. Phys., 60(5):729-759, 2010.

48. Mosman E. and Sharapov A. All stable characteristic classes of homological vector fields. Letters in Mathematical Physics, 94:243-261, 2010.

49. Ляхович С. Л., Мосман Е. А., Шарапов А. А. Характеристические классы Q-многообразий. In Сборник трудов XI Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, volume 1, pages 318-322. Изд-во ТГПУ, 2007.

50. Ляхович С. Л., Мосман Е. А., Шарапов А. А. Стабильные характеристические классы Q-многообразий. In Труды VI Международной конференции студентов и молодых ученых, volume 2, pages 610-613. Изд-во ТПУ, 2009.

51. Мосман Е. А., Шарапов А. А. Квазиримановы структуры на супермногообразиях и характеристические классы. Известия высших учебных заведений. Физика, 54:47— 50, 2011.

52. Лейтес Д. А. Теория супермногообразий. 1983.

53. Лейтес Д. А. Введение в теорию супермногообразий. УМН, 35:3-57, 1980.

54. DeWitt В. Supermanifolds. Cambrige University Press, 1992.

55. Grigoriev M. A. and Damgaard P. H. Superfield brst charge and the master action. Physics Letters B, 474(3-4):323 330, 2000.

56. Barnich G., Grigoriev M., Semikhatov A., and Tipunin I. Parent field theory and unfolding in brst first-quantized terms. Communications in Mathematical Physics, 260:147181, 2005.

57. Barnich G., Grigoriev M. Brst extension of the non-linear unfolded formalism. Bulgarian Journal of Physics, 33(sl):547 556, 2006.

58. Mackenzie К. С. H. In General theory of Lie groupoids and Lie algebroids, volume 213 of London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, 2005.

59. Cattaneo A. S. and Felder G. Relative formality theorem and quantisation of coisotropic submanifolds. Advances in Mathematics, 208(2):521 548, 2007.

60. Schouten J.A. Ricci-Calculus. Springer, 1954.

61. Лосик M. В. О когомологиях алгебры Ли векторных нолей с нетривиальными коэффициентами. Функц. анализ и его прил., 6:44-46, 1972.

62. Janyska J. and Markl M. Combinatorial differential geometry and ideal Bianchi-Ricci identities. ArXiv e-prints, 2008.

63. Dolotin V. and Morozov A. Introduction to Non-linear Algebra. World Scientific Publishing Company, 2007.

64. Markl M. Natural differential operators and graph complexes. Differential Geometry and its Applications, 27(2):257 278, 2009.

65. Kolár I., Michor P.W., and Slovák J. Natural operators in differential geometry. Springer-Verlag, 1993.

66. Вейль Г. Классические группы их инварианты и представления. Государственное издательство иностранной литературы, 1947.

67. Фейгин Б. Л. и Фукс Д. Б. Стабильные когомологии алгебры wn и соотношения в алгебре 1\. Функц. анализ и его прил., 18:94-95, 1984.

68. Markl М. Gln-invariant tensors and graphs. Archivum Mathematicum, 44:449 463, 2008.

69. Фукс Д. Б. Стабильные когомологии алгебры Ли формальных векторных полей с тензорными коэффициентами. Функц. анализ и его прил., 17:62-69, 1983.

70. Merkulov S. A. PROP profile of deformation quantization and graph complexes with loops and wheels. ArXiv Mathematics e-prints, December 2004.

71. Quillen D. Superconnections and the chern character. Topology, 24(1):89 95, 1985.

72. Batchelor M. The structure of supermanifolds. Transactions of the American Mathematical Society, 253:pp. 329-338, 1979.

73. Fernandes R. L. Lie algebroids, holonomy and characteristic classes. Advances in Mathematics, 170(1):119 179, 2002.

74. Fernandes R. L. Invariants of lie algebroids. Differential Geometry and its Applications, 19(2):223 243, 2003.

75. Weinstein A. The modular automorphism group of a poisson manifold. Journal of Geometry and Physics, 23(3-4):379 394, 1997.

76. Brylinski J. L. and Zuckerman G. The outer derivation of a complex poisson manifold. Journal fuer die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 1999:181-189, 1999.

77. Evens S., Lu J-H., and Weinstein A. Transverse measures, the modular class and a coho-mology pairing for lie algebroids. The Quarterly Journal of Mathematics, 50(200) :417-436, 1999.

78. Huebschmann J. Duality for lie-rinehart algebras and the modular class. Journal fuer die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 1999:103-159, 1999.

79. Фукс Д. Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. Наука, 1984.

80. Konechny А. and Schwarz A. Theory of (k © /^-dimensional supermanifolds. Selecta Mathematica, New Series, 6:471-486, 2000.

81. Godbillon C. and Vey J. Un invariant des feuilletages de codimension un. C. R. Acad. Sei. Paris, 273:92-95, 1971.

82. Abouqateb A. and Boucetta M. The modular class of a regular poisson manifold and the reeb class of its symplectic foliation. Comptes Rendus Mathematique, 337(1):61 -66, 2003.

83. Koväcs Z. and Tamässy L. Yano-Ledger connection and induced connection on vector bundles. Acta Mathematica Hungarica, 58:405-421, 1991.

84. Zinn-Justin J. Chiral anomalies and topology. In Eike Bick and Frank Steffen, editors, Topology and Geometry in Physics, volume 659 of Lecture Notes in Physics, pages 167236. Springer Berlin/Heidelberg, 2005.

85. Barnich G., Brandt F., and Henneaux M. Local brst cohomology in gauge theories. Physics Reports, 338(5):439 569, 2000.

86. Fedosov B.V. Deformation quantization and index theory. Akademie Verlag, 1996.

87. Bertelson M., Cahen M., and Gutt S. Equivalence of star products. Classical and Quantum Gravity, 14(1A):A93, 1997.

88. Bering K. Three natural generalizations of Fedosov quantization. SIGMA, 5:036, 2009.

89. Segal G. Equivariant k-theory. Publications Math'ematiques de L'lH'ES, 34:129-151, 1968.