Интегрируемые динамические системы и метод Ковалевской-Ляпунова тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Московский ордена Ленина .ордена Октябрьской революции и

ордонп Трудового Красного Знамени Государственный Университет им.М.В.Ломоносова

мэхэнико-матемэтический факультет

Р Г Б ОД

Ия нравах рукописи Уда 531.01

ЛУНЕВ Валерий Васильевич

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И МЕТОД КОВАЛЕВСКОЙ-ЛЯПУНОВА.

Специальность: 01.02.01-теоретическая механика

Автореферат диссертация на соискание ученой степени доктора физико -математических наук

Москва 1995

Работа выполнена в Институте машиноведении РАН им. А.А.Благонравова.на кафодрв теории механизмов МАИ.

Официальные оппоненты

- доктор физико-математических наук ,нроф Л.Д.Бршо,

- доктор физико-математических наук ,проф В.Н.Рубановский,

- доктор физико математических наук, проф В.Г.Демин Ведущая организация-Институт проблем механики РАН

■А

Защита состоится вЖ час йо мин на заседав

Ял,-

щи сг

1995 года

специализированного совета

Д 053.05.01 при Московском государственном университете им.М.В. Ломоносова по адросу : 119899,Москва,Ленинские горы,МГУ,механико-математический факультет,ауд.

С диссертацией мокно ознакомиться в читальном зале библиотеки механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан

.А

995 Г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 053.05.01 при МГУ /доктор физико-математических наук

Д.В.Трещев

ВВЕДЕНИЕ.

бщая характеристика Диссертационная работа посвящена вопросам уществовшшп мероморфшх решений уравнений движения тяжелого вердого тола с закрепленной точкой .критериям существования олиномиальних частных интегралов динамических систем .критериям уществования общих интегралов,зависящих от времени,у диссипатив-нх систем,нахождению частных полиномиальных интегралов ошсре тных динамических систем,аналогии и вопросам нтегрируемости уравнений движения твердого тела с закрепленной очкой под действием моментов сил Лоренца.

ктуальность темы.Задача о ' движении тяжелого твердого тела с еподвижнсй точкой является одной из самых известных задач ласси- ческой механики.Этой задаче посвящены труды крупнейших атематиков и механиков двух последних столетий-Эйлера, Лагранжа, уассона, Ковалевской,,Пуенкаре,Ляпунова.В этой задаче усилиями :овалевской, Ляпунова, Гюссона, Лиувилля, Бургатти было рказано.что случаи интегрируемости Эйлера, Лаграгека, Ковалевской динствотшо, когда решения уравнений движения выражаются днозначными функциями времени .

осле работ Ковалевской [1-31.Ляпунова С4] был пред- принят ряд ^следований с целью найти частные решения этой задачи. В озультате этих исследований был получен целый ряд частных ешений уравнений движения тяжелого твердого тела с закрепленной очкой В.Гессом , Г.1\ Аппельротом , С.А.Чаплыгиным , -.А.Стендовым , Д.Бобылевым .Д.Н.Горячевым ,Н.Ковалевским Д.Гриоли ,Е.И,Харламовой ' , О.Штауде, А.И.Докшевичпм Б.И.Коноое вичем, Е.В.Поздняковичем

.Koralevakii S.Sur le profilera de la rotation d'un corpo solide .uxour d'un point flxe//Acta Math v 12,H2.1889,p1?7 P.Kcwalevskl . Sur une propriété du syaterne d'équations différentleilea qui .eiinlt d'un corps solide autours d'un point 'lxe//Acta.Math.v14.111.1890.p 81

Ковалевская C.B. в своем известном мемуаре ставит двь основные проблему. 1 .Найти все случаи движения твердой тела.когда решения уравнений движения тяжелого твердого тел; являются мероморфными функциями времени. 2.Найти четверти! интеграл,позволяющий ,примоняя теорию последнего множителя Якоб! полностью проинтегрировать, уравнения движения. Голубев В.Е. с своей книге [61пишвт,что исследователи посл( Ковалевской сосредоточили сьое внимание на второй задаче,оставш Сюз внимания первую и .быть может важнейшую. "С этой точки зрени: характерно то,что о пути,который привел Ковалевскую С.Б. i открытию ею нового случая ничего не говорится даже в подробны: курсах теоретической механики;"случай Ковалевской" фигурирует ] них только потому,что для него существует четвертый первт интеграл системы уравнений движения. 1аким образом,глубокие идеи Ковалевской C.B. не получили дальнейшего развития в работах последующих ученых,и задача.поставленная Ковалевской,приобрела суженый и ограниченный характер."

Голубев В.В. подчеркивает,что методы применяемые исследователями для нахождения четвертого интеграла совериенно искусственны и случайны.

Задача о существовании дополнительного интеграла в самой обще: постановке для гамильтоновых систем была впервые поставлен Пуанкаре АЛ7].Пуанкаре А. показал [7],что в задаче о двикени твердого тела с неподвижной точкой не существует алгебраических : даже трансцендентных однозначных первых штеградов,отличных о классических.Козлов В.В. значительно усилил этот результа доказав,что этот дополнительный интеграл не может,в общем случае быть даже аналитическим 18].

3.Kov?alevslil S.Mémo ire sur un cas particulier du problème de 1 rotation d'un corps pesant autour d'un point îixe.o l'integratoln s'effectue a' l'aide de founctlons ultraelliptique du temps//Mem.Sav.Etr.1890.v31.2.p1-62

Различные задачи динамики тяжелого твердого тола о неподвижной гочкой обсуждаются в книге Ю.А.Архангельского 191.Устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела изучена с работах 3.В.Румянцева .

большое количество задач динлчики твердого тела с неподвижно!! гочкой с подробным их анализом дано в книге Г.В.Горр.Л.В.Кудряшова Л.А.Степанова И 01.Новые результаты получены В.Н.Рубановским п задаче о двизконни твердого тела п шдкости.

Яовне периодически решения в задаче о движении тяжелого твердого гела были получены В.В.Козловым ш В.Г.Деминым . Одна из первых работ в этой области принадлежит Меи1ег.

Ляпунов A.M.Об одном свойстве дифференциальных уравнений задачи э цвпхютт тяжелого твердого тела,имеющего нвггодптшую точку. Зо брани е соч.т 1.М.:Изд-во АНСССР.1954,с402-417 6.Голубев В.В.Лекции по интегрированию уравнений движения тяиелого твкрдого гела около неподвижной точки.М:Гостехиздат.1953. 288с 7.Пуанкаре ft.Новые метода небесной механики .Избр.труда.Т 1.М.: Наука .1971.771 с В.Козлов В.В.Методы качественного анализа в динамике твердого тела.М:Изд-во МГУ.1982 г.232с 9.Архангельски« D.А.Аналитическая динамике твердого тела.1977г. М.:Наука.326с Ю.Горр Г.В..Кудряшова Л.В..Степанова Л.А.Классическио задачи щшамики твердого тола. 1978,Наукова думка 294с

Научная новизна работы состоит ь следующем: 1.Найдены все решения задачи сГ показателях первих членов рядо! Лорана,удовлетворяющие уравнениям движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой.Найдены ограничения на параматрь задачи (моменты инерция тела и координаты центра масс)пр& выполнении которых в коэффициентах рядов Лорана появляются произвольные постоянные .Найдены новые классы мероморфнш решения этой задачи и тем самым решена первая проблема А.А.Маркова относительно мемуара С.В.Ковалевской. 2.Найдв{ новый критерий для обнаружения степени возможного частного интеграла в квазиоднородных гамильтсновых системах.

3.Найден новый критерий для обнаружения степени возмскногс общего интеграла,зависящего от времени.для некоторого клэссе неквазиодно- родных диссипативных систем.

4.Найден ряд новых частных интегралов для известнш гамильтоновых квазиоднородных систем:Хешюна-Хейлоса,Фоккер£ -Планка,системы с потенциалом четвертой степени.

5.Доказана теорема об аналогии между задачей о движения твердого тела в идеальной жидкости и задачей о движенш твердого тела под действием моментов сил Лоренца.Получень соотношения связываю- щие параметры двух задач. Практическая ценность работы.Работа носит теоретически характер. Полученные частные интегралы могут быть использовань при анализе конкретных гамильтоновых систем.

Цель работы. Дополнить исследования начатые С.В.КовалевскоЯ При помощи метода многогранников Ньютона,в задаче о движенш тяжелого твердого тела с закрепленной точкой ,и тем самым дат! полное решение пэрвой проблемы А.А.Маркова.Распространит! результаты Ковалевской C.B.,ЛяпуноваА.M.,Yoshlda H. на случа! существования частных интегралов квазиоднородных л неквазиоднородных систем.Установить связь между задачам с движении твердого тела в жидкости и задачей о движенщ твердого тела под действием моментов сил Лоренца. Метод исследования. При исследовании задачи о движенш твердого тела с закрепленной точкой используется метод наибольших и наименьших показателей ,а также метод многогранников Ньютона. Используется метод Ковалевско!

Ляпунова »методы аналитической теории дифференциальных равнений.

пробвцня роботы.Результаты работа доложены и обсуждены на ¡аучных семинарах механико- математического факультета МГУ, [нститута прикладной математичи им.М.В.Келдыша РАН. ¡труктура работы.Работа состоит из введения и пяти глав icHOBHoro текста.Главы разбита на пункты.Общий обьем работы 155 страницы.В библиографии 101 наименований.

Содержание работы. Первая глава диссертационной иботы посвящена нахои:,ценит "всех мероморфннх рряюшй уравнений (вижения тяиелого твердого тела с одной закрепленной точкой. ! § 1 главы 1 дана постановка задачи о моромо{фшх решениях сравнений движения тяжелого твердого тела -с одной закрепленной точкой .Постановка этой задачи,по существу.содержится в первом замечании А.Л.Маркова относительно мемуара C.B.Ковалевской :1]. С.В.Ковалевская поставила перед собой задачу найти все эешения уравнений движения тяжелого твердого тела с одьой закреплеттой точкой .которые являются мероморфными функциями времени. С.В.Ковалевскую интересовали такие решения которые бы зодер- жали полный набор постоянных интегрирования,!} данном злучао, пять постоянных.Она берет ряды

П. п Пр оо П По о» Il

D=r г ргт . q=T s gnT , г=г z гпт . ÏÏL оо П ПЦоо П ПЦ«=*» П

"1=т Ъ*пт • ^ I бпт • '3=т I V- <0-1 >

где rij.mj (i=1,2.3) целые отрицательные числа. Ряды (0.1) должны удовлетворять системе уравнений описывающих движоше твердого тела с одной закрепленной точкой

Apt- ( С-В)qr=Mg(У0^з-z0í-2 ).г 1 =iv2-qr3. ( А. В. С ) ; ( 1.2,3 ) ; ( xQ ,yQ. г.0 )

(0.2)

где А.В.С-главные моменты инерции твердого тела. х0,у0,20-коордошати центра тяжести тела в системе координат связанной с телом. Уравнения (0.2) имеют три первых интеграла : энергии.момента,

геометрический

(0.2.1)

В первом параграфе своего мемуара [1] С.В.Ковалэвска! утверждает,что из сравнения показателей степеней первых члена рядов (0.1) имеем п{=-1рассматривая вопроса о 'га единственная эта система значений показателей или нет.Перьы? обратил внимание на недоисследованность задачи С.В.Ковалевско! академик А.А.Марков .

Первое возражение А.А.Маркова :Из сравнения показателе! степеней первых членов рядов Лорана (0.1) нельзя заключить, что

значения п£=-1,т{=-2 единственно возможные.Если рассмотрев системы показателей пэрвых членов рядов Лорана,то будем иметь 1^-1 .г^+Пз.тд.п^ (1,2,3)

111^1 ,п3+т2,п2+п1з (1,2,3) . (0.3)

С.В.Ковалевская уравнивает между собой в каждой из указанны? шести систем не два,а все четыре или три числа и .таким образом,отбрасывает без достаточных оснований бесчисленное множество случаев,как.например п{=-2,т{=-4 .

Второе возражение А.А.Маркова.Ковалевская не рассматривает случаи кратных корней своего основного определите ля, между тег. как не исключена возможность существования однозначного общегс интеграла и при наличии кратных корней [4]. Сравнивая в (0.3) показатели степеней попарно получим следующие уравнения

п^-1 =п2+п3,п1-1 =т3,п,-1=т2, г^+п^тд.г^+пд^.тд^ (1,2,3) п^-1 =113+112, п^-1 =112+^ ,п3+т2=п2-нпд (1,2,3) (0.4)

Чтобы получить какое либо решение для чисел п^,ш£ необходимс взять из каждой строки,а всего их шесть,по одному уравнению и объединить их в систему.Решения каждой такой системы дает необходимый набор чисел пга{.Поскольку различных троек уравнений,полученных из первых трех строк (0.4) равно 216,а из вторых трех строк равно 27,то число всевозможных шестерок уравнений,которые исчерпывают возможные наборы чисел п,,т.

!сть 216 27=5832. Очевидно,это то самсо множество

фугих случаов"которое имел ввиду А.А.Марксзп.Анализируя 'равнения (0.4)штрудно заметить,что в чотгертой, пятой и [естой строке последние уравнения зависимые,поэтому еозмопю того решений у которых одна из величин п{.п^гаоиредолона. Зое, полученные таким образом системы,были решены с исполь-юванием пакета программ "БЕВиСЕ".Было получено большое коли-¡ество решений у которых одна или несколько, величин п{,т( фоизвольш.Большоо количество решений являются решениями Совалевской и Аппельрота :)п{=-1,т1=-г,2)гч=-п,ш1=-2п.

"з получегаюго числа решений нужно еще выбрать такие, которые 'довлотворяют принципу наибольших и нажкньют показагелей, 'ешения полученных систем проверяюсь на соответствия этому гринщшу. Решения выбирались таким образом, чтобы в каждой ;троке в (0.3) были два равных числа и кроме того эти два завных числа долашы быть наименьшими.В этом случае получаются 5яды Лорана расположенные по возрастающим степеням времени т .Анализ всевозможных систем решений позволил еыд&- лить ;лодуюши0 независимые системы решений,удовлетворящие припишу гаименыяих показателей и исчерпывающ™ первое возрокешю '.аркова:

■ )п1 =-3-1113,п2=-3-ш3>п3=-1 ,т1=т2=-2, ш3>-2,А=В,

:)г.1=ш3+1 ,п2=т3+1 ,п3=-1 ,ш1=ш2=-2,т3>-2,20=0>

5)П1=п2=П,П3=-1 ,Ш1=ГП2=-2,П<-1 ,А=В,т3>-2,

► )п1=П2=п3=-1 ,П12=ш3=-2,Ш1>-2,

?)п1=П2=т2/2,Пд=-1 .га^п^.Шз^/г-! ,т2<-2,20=0,

5) п 1 =п2=т2/2, п3=-1, т1 =т2.,1П2<-2,т3>-2,

г)п, =п2=Пз=-1, га1 =-2, га2=т3=!П, ш < -2, х0=0,

3)п1 =Пр--=п3=-1 ,га2=!и3=п!,ш'>-2,ш1 >-2,т) ж,

?)п1=т1+1 ,Пз=-1 =т2,А=В,Ш| <-2,т3>-2,

10)11^=^+1 ,п2=ш(+1 »п3=-1 ,Ш|=Ш2,П13=-2,П!| <-2,А=В,

И )п1 = (2т1+1 )/3,п2=п3=(т,-1 )/3,1п2=ш3,п13=(21П1-2)/3,т1 <-2.

12)п1=-1, П2=1Т11 + 1 ,т2=ш3=-2,ш1+п3>-3,ш1 сп^Ч .Хд^О.ш^-г,

13)п^=п2=-1.т^=га2=т3=-2,п3>-1,

14)п1=Г12=П3=-1 ,т.,=т.,=1Л3=+1 ,

15)п^=п2=ш2-ия3--1 ,п3=-1 ,ш^=тп2,а=в,п13>-2,т3>го2.п12<-2,

16)п,=п9=т1/2,-И|/2,я11=т^,п13>(3/2)т1^1 ,тд <11^/2-1, •

17)г.1=п2-п,Пз--1 .т, =гг12=2Г1,п<-1 ,т3>-2,20=0,

18)п,=п3=-1 ,п2=п,т1=1В2^т3=т,п>-! ,т<-2,

19)п1=п3=п,п2=ш,т1 =1113=211,ГЙ2=ш+п,у0=0,П2<-1 »п3<-1 ,^<113,

20)п1=п2=п3=п,га1=т2=ш3=2п,

21 =п2=^т1 +-1 ,Пз=~1 ,ш1=2т+2,т2=2т+2,тз=т,20=0,ш<-2, 22;п,=п2=ш3+1 .П^-! .т^т^т.га^г.щ^т.вкгтз+г,

23)П)=т+1 ,П2=По1=ш/2,т^ = (3/2 )т+1 .т^т^т.ик-г,

24)п^=П2=ш/4-1/2,П2=ш/2,т^=ш2=Зт/4-1/2,Шд^ю,т<-2,

25 )п1 =-1 ,п2=п3=т-п-1 ,т, =п, т^т^т, т<-2,п>т,В=С,п>-2, 26) п^ =П2=п3=11, т, =Ш2=Ш2=Ш, п< -1, т<2п.

Ряд полученных решений о показателях степеней найден "амер! капскими авторами в [Ц],а именно решения 2),4),8),13),14; Все остальные решения новые.Здесь не указывается решеш Ковалевской.

2.Следующий этап исследования состоит в том, что б?' д. каждого варианта показателей Ковалевской из системы нелинейш алгебраичоских уравнений найти коэффициенты первых члеш рядов Лорана.Затем из систем линейных уравнен] последовательно найти все остальные коэффициенты этих ряда: Кроме того, необходимо найти ограничения на параметры задач) при выполнении которых в коэффициентах рядов Лорана появл, ются произвольные постоянные.

Поскольку многие решения для показател

Ковалевской,полученные в разд.1 содержат неопредзленн величинииограничимся одним примером построения рядов Лоран задавая неопределенную величину. Возможно построение рядов при других значениях неопределенных величин.

На примере решения 1 для показателей Ковалеве; поясним,как получаются системы алгебраических уравнений л нахождения первых и последующих коэффициентов рядов Лоран Имеем

1))'=Пр=-3-П13,п3=-1 ,т1=тпС)^-2,т3>-2, А=В.

Запишем систему показателей первых членов рядов Лорана для ;:ей системы (0.1).В данном случае она такая:

-г, (0), -2,-2

-3 9 -3«-3 * -3, -3,-3,

{ш3~1 ),.-5-т3,-5-т3- . (0.5)

Очевидно,что в каждой строке есть два равных показателя и ри т3>-2 указанная система удовлетворяет принципу наименьших зказателей.Для составления системы нелинейных алгебраических равнений,которая нужна для нахождения коэффи- пионтоп первых ленов рядов Лорана,из системы (0.2) выбираются только те лагаемые.показатели которых в (0.5) наименьшие.В (0.5) это 2в показатели ,но заключенные в фигурные скобки.Окончательно истема нелинейных алгебраических уравнений,для нахождения ээффициентов первых членов рядов Лорана имеет евд Ап1р0+(С-А)я0г0=0, т,Г0=Г030~Ч0Ь0

Ап2ч0+ (А-С )р0г0=0, т250=р0110-г0ГГ)

СПзГд^Хо^-удГо), 0=я0П0-р0в0 . (0.6)

Оно имеет два решения

1) р0=0, я0=0, г0=+21,Г0=±2С/[Мз(У0±1у0)],1=УЧ Яд=^2С1/[1^(х0+1у0)].Ьд-произвольное число

2) р0=±1я0,г0=^1,Г0=р,б0=Р11,110=Р21/'1о

где ^=А(3+ш3)/(С-А) ,Р1=-СА(3+т3)/С%(С-А) (1х0~У0) 1, м2=-СА[2(С-А)-А(3+т3)](3+ш3)/[Мв(1х0-у0)(С-А);£] . (0.7)

Укороченная система лшейшх алгебраических уравнений для ахолздения дальнейших коэффициентов рядов Лорана имеет вид

1.Y.P.Chang,J.M.Greene,M.Tabor,J.Weiss The analytic tructure of dynamical systems and self-similar natural oundaries.Phys, 8D,p183-207

(ПШ, )Apnf (С-А) (q0rnt-r0qn )=Рга (n+n2)Aqnt (A-C)(ГоРг/Р0гп)=а1Л (nm3)CrirMg(yQfn-x0gn)=Rrn

(rurn1 »VW^oV^Vto (n+m2 ÍSrrPoV^ Wn+íOr^Gm ^oVPoSn-íoVgoPn^- n>m • (0-8)

где Pm.Q,n.....Нда-полинош от коэффициентов рядов Лорана,

найденных на предыдущих шагах.

Система уравнений (0.8) отличается от системы рассмотрэнж Ковалевской.В эту систему входят лишь коэффициенты тех члене рядов Лорана,сумма показателей которых для данного ша: наименьшая.Далее показывается,что на решонии 1 и определитель системы (0.8) равен нулю тождественно на любе шаге .Для того чтобы построить ряды Лорана в эте случае,необходимо потребовать выполнения условия совместносч системы уравнений (0.8).

Установлено,что для решения 1 в (0.7) это условие совместное не выполняется для любого шага.Для решения 2 из условие coi местности системы (0.8) сводится к уравнению для нахождеш одного коэффициента Здесь получаем ряд Лорана, содержат! две постоянные.Для появления других постоянных в коэффициент рядов, необходимо чтобы обращались в нуль какие-либо мина] пятого порядка.Эти миноры получаются вычеркиванием какого-лис столбца и строю! из определителя системы (0.8).Всего мош обра- зовать тридцать шесть различных миноров . Рассмотр! мшоры - .„пятого порядка не равные нулю тождественнс Вычеркивание' первого столбца и первой строки дает опр£ делитель,равный

Б^п-ЛКу^+ГоХо^А-С). (О.

Он обращается в нуль в случаях:1)А=0 (кинетичеекг симметрия), 2)Хд=у0=0 (случай Лагранка),3) п=4 В случае на четвертом шаге.появляется постоянная интегри- рования 1соэффициентах рядов.Условие совместности системы пяти линейт уравнений приводит,в общем случае,к фиксированию постоянной с ,но появляется новая постоянная.

Вычеркивание первого столбца и четвертой строки даст онре делитель

Б2--:{ (А-С)?р0я0+ (АС) (ШП2)АЧо)(р0у0-я0х0). (0.10)

Уравнение 1)^=0 имеет один корень

п=6+2т3 . (0.11)

Определитель,получающийся вычеркиванием порвого столбца и последней строки,равен

В3={п-(6+2ш3)){у0(1г0+2-п)-х0[(п-2)1-г0]). (0.12) Если в (2.8) х0=0,то уравнение Б^О имеет два корня

п=6+2т3,п=2+А(3+т3)/(А-С). Второй корень должен бить целим,что накладывает ограничения на. параметры задачи.Неравенства треугольника будут удовлетво- рены ,если выполнены неравенства 0<С/А<2.Если С/А=1/3 то п=5

,т3=-1;п=8,ш3=1;п=11,ш3=3; и т.д.Если С/А-2/3 то п=8,т3=-1; п=14,ш3=1;п=20,ш3=3 и т.д.

Вычеркивание второго столбца и четвертой строки дает опреде- литель

Б4=[п-(б+гшз)][р0у0+ч0хд].

Уравнение Б4=0 имеет корень (0.11)

Вычеркивание четвертого столбца и первой строки дает определитель

1)5=С (п-4) (п+п3) {(п+п2 )Аз0+10г0 (А-С)} .

Уравнение Ю5=0 имеет корни п=1 ,п=0,п=( Ц . .

I

Вычеркивание последнего столбца и строки дает определитель с одним действительным корнем (0.11). Окончательно на базе решения 2 можно построить ряда Лорана,содержащие две постоянныо интегрирования. Связь между постоянными интегралов энергии и момента может быть найдена подстановкой,например,рядов Лорана (0.1) в интегралы (0.2.1).В результате подстановки имеем уравнения

А(р22^122»2р4ри»2р1р3>2с]^4)^С(г,2+2г0Г2) =

А(р2Г2+р0Г4+р4Г0+р1Гз+р3Г1) ■» А (Ч2в2 + Чд6о+ Ч18з+ Ч3К1Н С(?1111рг0п2+Г2110)=1'

1/+82£;Иг1г+2Ь0112+2в054+281бз+211 Г3+2Г0Г4=1. Поскольку все коэффициенты рядов выражаются через произвольные постоянные,то указанные три соотношения также содержат эти постоянные.Исключая их,например при помощи результанта, получим уравнения связывающие постоянные интегрирования 1г и 1. В решении 2 п1 =П2=т3+1 ,Пз=-1 ,т1 =^=-2 ,г;0=0,т3>-2.

Здесь возможно построение рядог. Лорана при следующих условиях: 1)ш3=0, А=В,С=А/2,х0=0,г0=0,постоянная

интегрирования появля ется при п=1;

2)ш3=1 ,С=121-У133]А/8,В=[У133-9М/4,х0=г0=0, постоянная 1штег рирования появляется при п=1.неравенства треугольника дня моментов инерции выполнены;

3) ш3=0. А=2(В-С),В=240/(5-1 У288),х0=20=0, постоянная интегри рования появляется при п=3,неравенства треугольника выполнены .

Меняя величину т3 мошо получить другие условия существо вания рядов Лорана.Во всех случаях,перечисленных выше,имеем ряда,содержаще две произвольные постоянные.

В решении 3 п1=П2=Пд1п3=-11Ш1=Ш2=-2,П13>-2,А=В . Если п0=-2,-3,-4,то С=2А,5А/2,ЗА и т.д. Здесь возможно построение рядов Лорана,содержащих два произвольные постоянные при различных п0 и Шд,например при п0=-2,ш3=0.

В решении 4 п.| =П2=п3--1, Ш2=Ш3=-2 , т.| >-2

Постоянные интегрирования появляются в рядах Лорана на втором шаге,если выполнеш условия

ВС=4(А-В)(А-С) либо С=2(А-В),ш1=1. и на четвертом шаге,если, выолнены условия

9В0=4 (Л-В) (А-0) либо ЗС=2(Л-В), п,-3-Коэффициентн рядов Лорана содержат три произвольные постоянные, если г,0=0 ,и две, если ^=0. В решении Ь

При выполнонип условий

С=(В<:>+2Л2-ЗАВ)/(Л-В),2(В-0)Ахо2-(2В2-Л2-ЗВС+АВ+А0)уо2=О, ряда Лорана содержат две произвольные постоянные.

В решении 6 п,=П2=Ш2/2,Пд=-1,20=0,Ш2<-2,т3>-2.

Ряда Лорана содоржат три произвольные постоянные при вынолно гага условий

го3=-1 ,[^=-4

А=В=ЗС/5 (п=4);А=В=4С/7 (п=6);А=В=5С/9 (п=8);А=В=бО/11 (п=10) и т.д.Возможно построение рядов и при других сочетаниях п^ и ш.^.

В решении 7 п,=Пр=П2=-1,т,=-2,ш2=Ш2=ш,пк-2,Хц=0. При условии,что

п=Сг02/[(В-С)уд] +В/(В-С)-т , - целое положительное число,возможно построеше рядов Лорана с тзумя произвольными постоянными. Показана возможность юстроения рядов при ш=-З.При п=2 появляется постоянная интег зирования.

В решении 8 л,=п2=Пз=-1,Ш2=т3=т,т1>га>-2 . При условиях

т=-1,т,=0 х0(В+0)У(В+С)(В-0)+220ВС=0,У0=-2д,А=В+С, возможно построение рядов Лорана с двумя постоянными интегриро вания .

В решении 9 п,=п2=т,-и .п3=-1 ,т,=га2,ш,<-2,гя3>-2,А=В. Если п=А(ш,+1)/(А-С-т,)

-целое положительное число ,то тлеем ряда Лорана с тремя постоян ными интегрирования,если выполнены условия

т^-З.га^--! ,п=6,5А-Ж5 , причем неравенства треугольника выполнены.

В решения 10 1^=112=1^ + 1 ,ш1=Ш2,А=В,го3=-2,П3=-1 ,ш1 <-2. При условии,что т^ =-3,шд=-2 и г^А^-Н )/(А-С-п^ ) - целое положительное число,например при и=б,5А=30 имеем ряда Лорана с двумя постоянными интегрирования . В ропении .11

)/3,п2=п3=(т1-1 )/3,1а,=т3=2(т1-1 )/3,ш1<-2. При га^-5 имеем ряда Лорана,содержащие три произвольных постоя ных .

В решении 12

^=-1 ,п2=п11 +1 ,ш2=п!з=-2 ,ш1 >-2,пз>-1 ,т, <пз~1 .х0=0 . При п3И,Ш|=-1,П2=0,Л=ЗВ,С=2(А-В),у0=0

имеем ряды Лорана,содержащие две. произвольные постоянные. Возможны ряды Лорана при других значениях ш1 и п3. В решении 13

г^=П2=-1 ,№2=^13^ =-2, Пз>-1 .

При Пд=1,гд=0,А=2С имеем ряды Лорана с тремя постоянными интегрирования.

В решении 14 п1=П2=п3=-1 ,ш1=т2=п1з=+1.

Определитель Ковалевской для т{=-1(¿=1,2,3) равен Б=п3(п-3)(п-1)(п-2). . Для случая т{=+1(1=1,2,3) П=п3(п-3)(ш-1)(п+2) . В первом случае при выполнении условия £20 (А+В-С) (В-С) (А-В )Г (А, В, С) В(2Б-Л-С)(А+О-В)(А+В-С)Г(Л,В,0 )+ +ВС (А-О-В )2 (0-А )0 (А, В, С) )х0-£2В2С (А-Б) (А+В-С)!','(А, В, С)+ |В(2В-А-С)(Л+В-С)2АВ1/2\7(Л,В,С) + +ВС(А+О-В)(А+В-С)(С-А)(В-С)Л1/2 }у0 +{2В2С(А-В)(Л+С-В)С(А,В,С)-

-2СА(А+В-С)(Л-В)(В-0)С(А,В,С) )Й0=0, Р(Л,В,С)={ЛВС(Л-В)(С-А)}1/2.С(Л,В,С)={В(В-С)(0-Л)>1/2,

VÍ(A,B,C)={C(A-B)(B-0))1/2,

имеем ряды Лорана с четырьмя постоянными интегрирования. Во втором случае при выполнении условий

1)Í-(В-С)2(С-А)(ABC(А-В)]1/2+АВ(С-В)(2А-В-0)IА(А-В]1/2)xq + {А(С+В) (С-А) +■ (2С-ЗА) (В-С)} (А-В) [О (В-С) ]1 /2zQ=0,yQ=0;

2) либо В=ЗАС/(А+2С),„ ( также выполнено первое условие 1)) имеем ряды Лорана с тремя постоянными интегрирования.

В решешш 15 n,=n2=m1—m3—1,п3=-1,т1=т2,А=В,т3>-2,Ш2<-2. При ш1=ш2=-3,т3=-1 ряды Лорана содержат две произвольные постоянные .

В решении 16

n ^ =n2=m.| /2, n^n^-m-j /2, ио,, 3m1 /2+1 <ш3<ш1 /2-1 ,z0=0. Если ш1=-б,ш3=-5 ,то имеют меото ряда Лорана с двумя посто янными интегрирования.

Решение 17 эквивалентно решению б.Решение 18 приводит к извест ним случаям.Решешш 19 эквивалентно решению 1G.Решение 20 рассмотрено Апгольротом .Решение 21 эквивалентно решению 5. Решение 22 эквивалентно решению 9. Реиение 23 эквивалентно решению 11.

В решении 24

П| =n2=m/4-1, n3=m/2 ,m1 ~m2=3m/4-1 /2, га^т, т<-2, Хд=у0=0. При т=-б,п^=п2=-2,п3=-3,ш1=т2=-5 имеем ряды Лорана с тремя постоянными интегрирования. Решение 25 эквивалентно решению 15.Решение 26 сводится либо к случаю рассмотренному Апгольротом.либо к случаю Эйлера. Окончательно можно заключить ,что из двадцати шести найдешшх решений задачи о показателях первых членов рядов Лорана,удовлетворяющих уравнениям движения тяжелого твердого тела с закрепленной точкой .новыми являются только семьнадцать. Эквивалентность решений вытекает из одинаковых нелинейных систем алгебраических уравнений дл£ определеш!я коэффициентов первых членов рядов Лорана, а также из одинаковых линейных систем алгебраических уравнений для определения всех после дующих коэффициентов рядов.

Вторая глава посвящена критериям существования частных

полиномиальных первых интегралов динамических систем. В разделе 2.1 дан краткий обзор основных исследований относящихся к критериям существования общих полиномиальных интегралов динамических систем.

В разделе 2.2 изложены основные определения и теоремы известные в теории квазиоднородных систем.[12] В разделе 2.3 приведены некоторые известные теоремы относящиеся к частным полиномиальным интегралам динамических систем. Леви-Чивита ,в частности,доказал следующие теоремы: Теорема 1 Для того чтобы функция Ф(х{)=0 была бы частным интегралом системы уравнений

х(=Р{(х1,х2,...хп), (1=1,2----п) (1)

необходимо и достаточно,чтобы она удовлетворяла линейному дифференциальному уравнению в частных производных

йф/<и=хф, (2)

где х- некоторая функция от хг которая остается правильной в рассматриваемой области.

Теорема 2 Для того чтобы функции Ф^(х1)=0 (/=1,2____ш) были бы

частными интегралами системы дифференциальных уравнений (1) необходимо и достаточно чтобы они удовлетворяли системе-» линейных дифференциальных уравнений в частных производных

йфувл^л®^ (1=1,2...т, ./=1,2...п) пкп де х^-некоторые правильные функции. Кроме того система уравнений может приводиться к виду йф^а^хф,

где х-правильная функция,® какой либо первый общий интеграл системы (1).Тогда на уровне общего интеграла Ф=0 имеет место частный интеграл Ф^сопзг.

Основными результатами главы 3 являются следующие теоремы, позволяющие ' получить критерии существования частных алгебраических интегралов квазиоднородных систем. Теорема 1.1 Если система автономных уравнений (1) с квазиоднород- ными правыми частями имеет частные решения хгс{0/т3( , (3)

12.H.iushlda Necessery condition lor the existence ol algebraic first lntegralsZ/Celestlal Mech.v31.4.1983.Pt 1

1Я

р363-379 РГ.2 рЗЙ1 -399

где постоянные с(о удовлетворяют системе алгебраических уравнений

'^с(о=Р((с10,с20»---сп0) • (1=1,2.. .п)

и кроме того система имеет частный интеграл Ф(х1.•хп)=0 и &гай Ф|х _0 ,т-з{ /0,который удовлетворяет уравнению в

частных производных

йф/си=хф, (4)

где \-не равная нулю правильная функция,то уравнения в вариациях для системы (1)

п (с) я,-аг1

т ^ К , (и= 1 ,2..п)

1

на уровне интеграла Ф(х1 ,х2-^>=0 имеет интеграл

п дФ

г=1 011

(Г{ -сопэ1;.

ХГС{от Зг

Теорема 1.2 Пусть квазиоднородная система (,1) имеет общий интеграл Ф(х{ )=1г.Пусть также система (1) имеет независимый с общим интегралом (на любом уровне) частный интеграл Ф( (х{)=1с. Взвешешше степени интегралов есть М и Н^ соответственно, а^ай Ф и йгас1 Ф1 конечны и не обращаются в нуль на фиксированном решении (3).Тогда на уровне интеграла 1г=0,значение р=М есть корень уравнения Ковалевской

ЗР,(с)

<9 — К(р)=Ле1 {(*1ГКи) где К1</=н» +й(</в^

а взвешешше степени ¡штегралов Ф и Ф^ и множителя к связаны уравнением

где М0- взвешенная степень функции

Теорема 1.3 Если из системы квазиоднородных уравнений (1)

следует уравнение, (4) и х^О.то степень частного интеграла Ф=0 ,р=Н является корнем уравнения Ковалевской

9Р

0 = Ыр)=йеЦрб1ГКи) где К^Чб^^ .

в также справедливо равенство М0=1,

где М0-взвешенная степень полинома х. Имеет место Следствие 1.Равё&тво М0=1 означает,что если ни одно-из чисел а( не равно единице,то из системы (1) не может следовать уравнение (4). Теорема 1.4 Если выражения общего интеграла Ф=1г и частного Ф^к в теореме 1.2 являются алгебраическими функциями,то М0=1, М=М. и на каждом решении (3) имеет место равенство

в¥.

<3х +ВГ

■М)

в?г Эх,

ар, в?Р ар1 '

арп _1<ЭФ

ах1 ах1

1 дф

ах2 Шп

ерп-1 ЭФ

дхп

(3) не ;

=о

х0=-Р,где

удовлетворяют р-взвешенная

Теорема 5 .Если решения интегралу Ф(х()=0,то полиномиального частного интеграла. Теорема 6.Если система уравнений (1) приводится к виду

частному степень

йФ1 /<И;=х.|1 ф^ 2Ф2+Х13Ф3' ЁК^/'сИ;**^ Ф1 +х22ф2+я23ф3' йф3/("=х31ф1+х32ф2+*33ф3-

(5)

где х^о.а выражения Ф.|=0,Ф2=0,Фд=0 являются частными интегралами системы (1) .которая имеет частные решения

уравнений

с

постоянными со{ удовлетворяющими системе

-со{3ГР{(соГ

соп)

(£=1,2____п)

а ®гай Ф{ не равны нулю на указанных частных решениях,тогда

степени интегралов м1,м2.М3 и степени множителей (М^) связаны уравнениями

К|2=1+М|-Мр, М13=1+М^-М3, М2)=1+М2-М1,

а степени интегралов М^^.М^ удовлетворяют .уравнению Ковалевской

112"* 1 • • • • ..... 1 1 0 * • ■ ^ ^ -х13...0

0...-х13

-х21..0 | } 1)р 0..-х211 ^ -х31... 01—^-^о • • • • 0 ....... V

1.........

(6)

хЬ ^«.I.....п) .Б, «ИМ, в^ВуИ •%=И%5

Здесь возмозшы два случая:

1)х((^0, 2)х{Г0

Если х{{^0,то М, ^М^Мз^ .

Если частные решения 3) на имеют хотя бы одного показателя э( равного единице,то система (1) не приводится к виду (5),при

Далее в разделе 2.3 вое доказанные твореш проиллюстрированы на конкретных, примерах.

На примере задачи о движении тяжелого твердого тела с закреплен ноЛ точкой,в двух частных случаях интегрируемости этих уравнений, случае Горячева и Ковалевской .показано что взвешенные степени частных интегралов являются корнями соотвоствующего уравнения Ковалевской. На примере системы Фоккера-Планка [131

q2=p2iaqf+bq|, p2=~(p,q1+2bp2q2)

»оказано что для частных решениях этой системы уравнений р, =р, 0/т 2, р2=р2(/т 2, q, =q, 0/т, q2=q20/T

из уравнения Ковалевской можно получить условия существования

частных интегралов взвешенной степени два при

а) Ъ=-1/3, б) b=1 /2.

Сам же интеграл при Ь=-1/3 имеет вид

р,+(У5/2)р2+(5У5/12)qf+(5/3)q,q2=0, а=5/12.

Если потребовать чтобы степень частного интеграла была бы равна три ,то из уравнения Ковалевской имеем Ь=1/4.

а сам интеграл есть

Pl Qi +Р2Ч2±31 (p-, q2-p2qi )=0.

а=-3/4.

.Для системы Хеннона-Хейлеса [113 с уравнениями

q2=p2, Pg^-qf-^ql•

и частными решениями

qt =с1т,q2=c2T-2,pt=с3т~3,р2=с4т ~3, показано,что взвешенные степени двух частных интегралов

qr0, р^О, являются корнями уравнения Ковалевской (6). Глава 3 посвящена критерию существования общих первых интегралов неквазиоднородкых диссипэтивных систем Л14] В разделе 3.1 приведены некоторые известные сведения из теории квазиоднородных систем.Приведен пример диссипативной системы обладающей общим интегралом зависящим от времени вида

P(xt)exot=const , " (í=1,2...n)

где Р(х,)-неоднородный полином переменных х{,а ^-постоянная. l3.D.Roekaerts,F.Schwarz Palnleve analysis .Yoshida's theorema and direct methods ln the search for Integrable Hamlltonians. Jcurn.Jfhys.A.:Math.Gen 20,1987,pl27-133

Система

р о р о

х} =а-сх1 -х, х2+<3х2, х2=Ь-х2+х1 х^-йх^, описывающая изменение концентрации химических веществ во времешт при с=-1 имеет первый интеграл

(х, ч х2-а-Ь )е 1'=сопз1. Пусть неквазиодпородная диссипативная система

<4.;=1,2...п) (7)

имеет частные решения х^х^г),

тогда уравнения в вариациях для систем (7) имеют вид п бо1(х)

* г= 2 а^ 1

г I (8>

<*>

Пусть система уравнений (7) имеет первый интеграл

Р(х()ехо1=сопз1, (9)

т*огда для системы (7) справедливы следующие теоремы: ^.Теорема 1. Если выражение (9) есть первый интеграл системы то система уравнений в вариациях (8) имеет первый интеграл

АР

если га-ас! Р/01

Ца)

х^)

е^о^сопзг,

Если частные решения имеют вид

х1=А(иВ{ох^ (1=1 .2—п) (10)

где ,х-постоянше,то имеют место теоремы:

Теорема 2.Если (10) есть частные решения системы (7),которая имеет первый интеграл (9),а также А^О.В^О ((=1,2.. .п),то имеет мб'с то равенстзо

где п- степень пол1шома Р(х4).

14.1\Зс1тагагз,№.Н^еЬЬ Зуше^ез ада Пгзг шге^аха гог <11зз1ра1;1у зузгешз.Лот.Р)1уа.А:Ма«1.Сеп. 17.1984.р819-823

'Георема 3.Пусть система (7),правые части которой плодородные полиномы.имеет интеграл (9) и частные решения (10),тогда если элементы вектора {^гай Р(х{) конечны и не обращаются в нуль для фиксированного решения (10),то степень полинома Р(х{) является корнем уравнения Ковалевской

(5О1/0Х1+Ао) <Эо2/ах1... .аг^/ах,

00,/дх2 (да2/вх2+х0)..,дпг/дх2

есуэХд...........(дап/дхп+\0)

=0

Если P(xt)-однородный полином,то его степень,которая являотся корнем уравнения Ковалевской,совпадает со степенью каждого одночлена .входящего в его состав.В том случае когда Р(х{) неоднородный полином,то корнем уравнения Ковалевской может бить степень какой либо его однородной части .которая не является постоянной и не обращается в нуль на решениях (10). В разделе 3.2 рассмотрены конкретные примеры диссипатквннх систем. Система Лоттки-Вольтерра с уравнениями

х, =х,(1+ax2+bx3),х2=х2(1-ах,+сх3),х3=х3(1-Ьх<-сх2) где а.Ь.с- действительные параметры. Система Лоренца[141 с уравнениями

х | х^) | j-2~ j—* *3=х 1

где <у,г,Ь -параметры. Система описывающая двухдисковое динамо

(11)

(12)

(13)

Все три системы (11),(12),(13) имеют частные решения вида (10) и обладают первыми интегралами вида (9). Система Лоттки- Вольтерра имеет два первых общих штеграда (х1+х2+х3)е_'1'=сопз1, х^х^хд е_1;=сопаг, где д=-с/(а+с-Ь) ,/з=Ь/(а+с-Ь) ,у=-а/ (а+о-Ъ). Система Лоренца имеет квадратичные интегралы 1) (х^-2^х3)е2о,,;=сопзг,

при Ь-'>лг --2а, о- и г произвольны.

2) (хо+зфа21:"00пз1>

при Ь= 1, г=0, х 0=Ь=2, х =2, о- - произвольно.

О О О О).

3) (-гх^+х2)-х3)е =сопз1;,

при а(3=2о'=2=2ь , ь=о=1 д=2, г-произвольно. Интегралы четвертой степени

1 )(х|-4х^х3-4гх^+8x^-16(1-г)х3]е41;-сопз1;, при Ь=о=1Л0=4,г-произвольно.

2)[9х4-12х^х3И 2гх^-4х|-8х1х21е(4/3}*=сопзI, при о=1/3,л0=4/3,Ь=0,г-произвольно.

3) [х^-4^х3+4о(4^-2)х1х2-4(2о-1 )2х^-4о-2х2]е4о,1;=сопа1;, при Ъ=6о--2,Г=2о-1 , X 0=4сг, а-прОИЗВОЛЬНО .

Для двухдискового динамо указываются два первых интеграла

1)х2-х|+2ах3=2аг+сопа1,при м=0,«-произвольно.

2)(х2-х|)е2^ ^сопз1,при ,^-произвольно.

В перечисленных примерах показано,что степень, первого интеграла является корнем соответствующего уравнешм Ковалевской .

Глава 4 посвящена рассмотрении конкретных гамильтоновых систем и нахождению их частных интегралов различных степеней. В разделе 4.1 рассмотрена гамильтонова система Хеннона-Хейлеса с уравнениями

Ч2=р2, р(14)

и гамильтонианом

Н(р^)=0,5(р^+р2)(15)

Показано,что система (14) при любом с имеет линейные частные

интегралы в двух случаях 1) 4^=0,р,=0,

2) q, +У£Г-^2=0, р^Уг^р^-О. Взвешенные степени этих интегралов равны 2 и 3 .поскольку система (14) имеет частные решения

ц, =с, т ~2, я2=с2т ~2, р 1 =с3т ~3, р2=с4т ~3,

Далее для системы (14) показано,что она имеет частные интегралы взвешенная степень которых есть пять и шесть Р1Ч!+^Р2Ч2+Х141Рг+Х2р1Чг"0'

р2+хр|+ (х1+х2)р1р2-х^3-(2+^)q2q2-(е^+гх^^-х^^О. (16) Если х=о,то х1,х2 и с связаны уравнениями л2=(1-с/3 )Х1 -1/3.

(15-с)х2-х1-6=0,(£2-15^+18)х2-(12-Зе)х1(2=0.

Исключая х, из двух последних уравнений имеем уравнение

относительно

Зс4-89£3+7§8*2~1 614с+588--0, все четыре корня которого действительны

с1=0,459522593; с2=2,389574102; *3=12,268860394; е4=14,548709575. В этом случае возможно восемь пар интегралов,взвешенная степень которых есть пять и весть Если х^О.то я.х^хр.х связаны уравнениями х=(9сх1+10е2-16с+1)/4«,х2=(Л\1+1)/2«,

1 аА^- (27*2-2 с )х1 +4Ск2-ЗСк3-3£=0,9747С)£6-42273(к5+598947с4--249997£3-22646е2-1132^+88=0.

Последнее уравнение для с имеет два действительных корня в интервале -1000<е<+5000

е1=1, £2=0,0379424709.

Очевидно .этой возможности соотвествует четыре пары интегралов (16).Все частные интегралы кроме q1-0,p1=0 новые. В разделе 4.2 приведено исследование обобщенной системы Хеннона- Хейлеса методом Ковалевской -Ляпунова.

Рассматривается система ЧгРр

Й2=р2, р2=-Вч2^+Ся|. (17)

Разыскивая решения системы (17) в виде рядов Ньютона

41 0т"+<?1 Г*"! V • •''' • РГРют +Р1Г +"'Р2=Р20' 'гФ2Г (18)

и используя метод многогранников Ньютона имеем для показателей а и Р шесть возможностей

1 )Р=-2,а=-2, 2)/э=-2,а-ноопределено.З)^=-2,а=-1,4)гз=0,<*=-1 г 5 )г*-0, а=0,6 )/э=0, а-неопреде лено.

Решения 1),2) подробно изучены в статьях У.Р.Шш£,М.ТаЬог, Л.\Уе1зз. Решение 3)есть частный случай решения 2).Решение 4) есть частный случай решения 5).Решения 1) и 2) дают ряды по возраста- ющим степеням т .Решения 5) и 6) дают ряды по убывающим степеням т, Для решения 5) ряды (18) содержат произвольную постоянную q12 при выполнении условия

А+21)УВ7С~ =0.

Для решения 6) ряды (18) содержат произвольную постоянную с},, при а=-1 если выполнены условия АС+2БВ=0,\ЗС-10Б-4В=0. В разделе 4.3 рассмотрена гамильтонова система с гамильтонианом

Н (р,я ьо, 5 (р|+р| )+р, Ч2+р2 (aq2+bq2) и уравнениями

Фоккера-Планка

Pl="(p142+2aP24i>• р^-Ф^+гьр^).

-1

Система (19) имеет частные решения

=Р10Т 2'Р2=Р20Т 2-41от 1'Ч2=Я2от Для системы (19) показано,что кроме общих .большинство из которых указано в статье ПоекаегЧз •Р.[131,она имеет частные интегралы второй .третьей степени в случаях: 1) р1+хр2+х1q^+\3q,q2+x2q|=0 если х^о.то имеем две возможности 1) а=5/12,Ь=-1/3,\=+У5/2,х3=5/3;

(19)

интегралов D..Schwarz .четвертой

(20)

2) а=1/2,ъ=-1,х=0,к1=+1/2,а3=+1• Если х^о.то имеем одну возможность при а=8~1 и^а,?.ое51/5ТЗ) (5+У57),

х-(2Ь-2а+1 ) (4аЬ|-4а-2Ь-1 Г0,6 а сам интеграл (20) имеет вид

р, +хр2+а(2ЬН )(2Ь-2аН Г1^-»2Ь^2Ч2ЬН Интеграл третьей степени

имеет место при

а=-3/4,Ь=1/4,\=+31. Интеграл четвертой степени

р^+бр1 q1q2-9p2q^/8-2Tq^/1б=0, существует при а=15/16,Ь=4. Все найденше частные штегралы новые.

В разделе 4.4 рассмотрена гамильтонова система с потенциалом четвертой степени

^2=Р2' Р2=~ ) (21)

Система (21) имеет частные решения

, ЧгЧют~1 .РгР107 _2.Р2=Р20Т^-

Показано,что система (21) при

а=2,Ъ=8/3 имеет частный интеграл вида

p^-4lp1qlq2/УЗ+2ip2q^/УЗ+2q^+4q^q2/3=0. Глава 5 посвящена интегрируемым случаям задачи о движении заряженного тела с закрепленной точкой в однородном магнитном поле и аналогии этой задачи с задачей о движении твердого тела в идеальной жидкости.

В разделе 5.1 рассматривается аналогия задачи о движении твердого тела в идеальной жидкости и задачи о движении заряженного твердого тела с закрепленной точкой в однородном магнитном поле. Пусть уравнения задачи, о движении твердого тела в жидкости таковы

х,=x2öT/öy3-x3ör/öy2,

x2=x3OT/äy1-X, ат/<Эу3.

x3=x,öt/öyg-xgöt/ay,

y,=x2öT/öx3-x3öi/ax2+y2öT/öy3-y3öT/öy2,

у2=х3ат/«9х1 -x^T/axg+y^T/öy, -y^T/öyg, (22)

y3=x1öT/ax2-x2öT/ax1 iyjöT/ay,-у2<эт/ау,.

где x {-импульсы,у{-моменты,Т-шше тиче екая анергия

тело-жидкость

2 2 2 2Т=а,|х,+a22x2+ag3x3+2(а23х2х3+а3,х3х,+а, 2х,х2)t

f2(b, 1xly1+b22x2y2+b33x3y3)+2[b23(x2y3+x3y2)4b31 (x-^+x^h 2 (х1 у2+х2у1 ) ]+с1 у?'|"с2у2+с3у3-

у

•Здесь atj,b(j,ct (t,J=1,2,3)-постоянные параметры. Уравнения движения твердого тела с закрепленной точкой под действием моментов сил Лоренца (аналог случая Эйлера x0=y0=s0=Q) таковы

Ар+ (С-В )qr=eH (Agqi-g-A^iVg-b, i>3+b2qr, -b-^iy, +b, qr2),

Bq+ (A-C )рг=£Н (А^Г)-, -Agfry^bgPi-, tb^g-b, pr2+b2iy3),

Cr+ (B-A )pq=cH(A2py2-A*q}'1 -bgqyg+b, prg-bgq^+bgpr,),

где А.В.О-главше моменты инерции твердого тела, Aj.b^-постоянные характеризующие распределение заряда в теле, p,q,r- проекции угловой скорости твердого тела на оси связанные с телом,)-, ,}<-2,>"3-направлякщке косинусы вертикали и вектора напряженности магнитного поля,Н-напряженность магнитного поля. Относительно уравнений (22) и (23) доказана Теорема:Для того чтобы системы уравнений (22) и (23) были бы тождественны необходимо и достаточно чтобы параметры,входящие в эти системы были связаны уравнениями

с(/Сд=С/А,Cg/C2=C/B,

b1 1 =~(х2+х3 )/2А-Ь22=~ +х3)/2В,Ь33=-+\2 b23=^Hk0b1 / (BfC) ,Ь^Ш0Ь2/(С+А) (А+В),

°3Ь12b31/C1+c3b22b23/c2+b23b33=c3a23' c3b12b23/c2+c3b11b31/c1+b31b33=c3a31' c3b11 b12/c1 +c3b12b22/c2+b23b31=c3a12•

c3(b31~b?2)+(c3/c2-1>Ь23+Ъ33-С3Ь22/С2=С3(a33"a22' • c3(b?2-b23)+(,"c3/c1^b31+c3bf1~b33=c3^a11~a33 ^' (Z4)

b23-b31 + ^c3/c1 ""c3/c2)b?2+c3b22/c2~c3b?1/c1=c3^a22~a11

где л 1 =RQ£HA*,Х2=кйеНА2.хз=к0г:НА2 1с0~размерный коэффициент равный единице.

В разделе 5.2 показано,что случаи интегрируемости уравнений (23) 1) А=В, А*=А2,2)АА*=ВА2=СА3,3)А*а^ =-А3а3^»

a1=B+C-A,a2=A+C7B,a3=A+B-C,b1=b2=b3=0 (для всех трех случаев), при пересчете по формулам (24) переходят в известные случаи интегрируемости уравнений Кирхгофа: случай Кирхгофа,Стеклова, Клебша.Если правые части уравнений (23) дополнить моментами силы тяжести.причем направление вертикали совпадает с направлением вектора напряженности магнитного поля,то кроме известных трех интегралов энергии,момента,геометрического

Ap2+Bq2+Cr2=2k (х0г-1 +У0>2+7'о!'3

2 (Apr 1 +Bqr2+Civ3) -¿fl (A^^+A^l+A^l)

pop ^

,k=Mg,M-Macca тела .g-ускорение свободного падения,возможны случаи

1) С-В,zo=yQ=0,А3=А2,b1=b2=b3=0,

интегралом

' 'с 01131 ■

интегралом ,

(¿.■НАд/гА) (p2+q2)-(Kx0/A)p- (Uy0/A)q=const

)b,=b2-b2=O,yo=O,x2A(B-U)-hZ2G(B-A)-O,AA*=BA2=0A3, дополнительными интегралами

Ах^+Сг^+еМ^х^+г^зЬО,

A2p2+B2q2+C2i,2-2£HCA3 (р>-1 + qr2+i>3 )-2кВ (XQj-, +ZQ>-3 )=Cona t. ушшанмм автора по тиле диссертации

.Мероморфные решения уравнений движения тяжелого твердого ! закрепленной точкой // ГШМ ,1994,том 58,вып 1,0 30-39

Necessary conditions the existence of particular algebraic 'Jrat Integrals// Celestial Mechanic and Dynamical Astronomy 995,v61,p 51-69.

I.Интегрируемые случаи в задаче о движении твердого тела с скрепленной точкой в поле сил Лоренца//ДАН СССР,1984, •275,вып 4,с. 824-826

i.Гидродинамическая аналогия задачи о движении твердого тела о ¡еподвижной точкой в поле сил Лоренца//ДАН СССР,1984,т276, вып ¡.с 351-355

¡.Частные решения задачи о двшюнии твердого тела с ¡акрепленной точкой под действием моментов сил Лоренца//ДАН !ССР,1986,т286 вып 4,с 83G-839

к Интегрируемые динамические системы и метод Ковалевской [япунова.РАН ,1994,ИМАШ,95с