Геометрические свойства конечномерных интегрируемых систем и их дискретизаций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

0.1 Введение

1 Динамические системы с инвариантной мерой

1.1 Примеры динамических систем с инвариантной мерой

1.2 Системы с инвариантной мерой на группах Ли.

2 Геометрические свойства некоторых многомерных интегрируемых систем

2.1 Многомерные интегрируемые аналоги систем классической динамики.

2.2 Иерархия систем Фрама-Манакова и Клебша-Переломова.

2.3 Иерархия систем Стеклова-Ляпунова

Рубановского.

2.4 Иерархия ФМКП и касательные пространства к конфокальным квадрикам.

2.5 Решения ранга к и динамические системы на расширенных многообразиях Штифеля и Грассмана.

2.6 Движение на орбитах ранга 2.

2.7 Системы Стеклова—Ляпунова и пучки линейных пространств.

3 Тета-функциональные решения

3.1 Обобщенная проблема обращения Якоби и обобщенные тета-функдии.

3.2 Решения в обобщенных тэта-функциях.

4 Дискретные интегрируемые системы и преобразования Бэк-лунда

4.1 Эллипсоидальный биллиард с квадратичным потенциалом и без него.

4.2 Дискретные интегрируемые аналоги классических волчков Эйлера и Лагранжа.

Во множестве классических интегрируемых систем механики особое место занимают знаменитая задача Якоби о геодезических на n-мерном эллипсоиде и динамическая система Неймана, описывающая движение точки на сфере в поле сил с квадратичным потенциалом. Данные системы линеаризуются на многообразиях Якоби (Якобианах) гиперэллиптических кривых (точнее, на их конечнолистных накрытиях). При этом поведение геодезических на эллипсоиде обладает замечательным свойством, описываемым теоремой Шаля: касательная прямая к геодезической Q(cs) одновременно касается п — 1 фиксированных квадрик, конфокальных с эллипсоидом.

Между динамической системой на T*Sn~l и задачей Якоби о геодезических имеется замечательная связь. В разное время она была обнаружена и исследована Г.Минковским [115], В.Козловым [19] и Ю.Мозером [35]. Другая связь между решениями была найдена в [98].

Современный подход к исследованию этих и связанных с ними задач был инициирован Ю. Мозером в работах [35, 116], где были рассмотрены гамильтоновы системы на пространстве (х,у), где х,у £Шп суть соответственно координаты и сопряжённые моменты. Указанные системы допускающие матричное п х п представление Лакса L = [L, В], где матрица L имела следующую общую структуру

L = A + ax<8>x + bx<g>y + cy®x + dy(g)y, А = diag(ai,., ап) = const, где a, Ь, с, d — некоторые постоянные. (В частности, для системы Неймана на единичной сфере (х,х) = 1 с квадратичным потенциалом |(ж, Ах) следует положить d = 0, с = — Ь.) В силу представления Лакса, спектр матрицы L остаётся неизменным, что даёт п первых интегралов соответствующей динамической системы.

Отметим, что в общем случае ранг матрицы L — А равен двум. В связи с этим, следуя Мозеру, L получила название "возмущение ранга 2" (rank 2 perturbation) постоянной матрицы А.

Впоследствие в работах [54, 55] было предложено естественное обобщение данной конструкции, где рассматривались гамильтоновы системы на пространстве пар матриц (F, G) размерности п х к, снабжённом симплек-тической структурой со2 = ti(dFT A dG). Указанные системы описывались представлением Лакса в виде матриц п х п

L = [L, В], L = А + FaGT (1) с некоторой невыроженной постоянной матрицей а размерности к х к. С учётом этого, матрица L была названа "возмущением ранга к". Матрицы Лакса с аналогичной структурой рассматривались также в [36, 124]. Кроме того, была указана тесная связь данных систем с динамическими системами на конечномерных орбитах коприсоединённого представления алгебры петель в1(к), описываемыми парой Лакса с рациональным спектральным параметром где Y = сг-1 — Ifc, a Ifc — единичная матрица размерности к х к. Согласно [54, 55], гамильтоновы редукции последних систем по автомофиз-мам, сохранящим матрицу N (иногда называемые редукциями Марсдена-Вайнштайна), являются вполне интегрируемыми гамильтоновыми системами и линеаризуются на якобиане спектральной кривой С = {|Л/"(А) — /Л| = 0}. Кроме того, было показано, что в представление (1) можно ввести спектральный параметр /х таким образом, что соответствующая спектральная кривая {|L(/i) — AI| = 0} бирационально изоморфна кривой С. В этом смысле представления Лакса (1) и (2) называются дуальными.

В случае системы Неймана дуальная пара Лакса имеет размерность 2 х 2 и записывается в виде

Пары Лакса с матрицами вида (3) определяют так называемые системы Якоби (или мастер-системы) линеаризуемые на обычных или обобщенных якобианах гиперэллиптических спектральных кривых (см. [11, 31, 93, 131] и Главу IV данной диссертации). Как было отмечено авторами данных работ, полиномы ¿12(А), 1*п(А), ¿21 (А) дают чисто алгебраическое описание афинных частей таких якобианов. С этой целью они были впервые введены Якоби. Кроме того, нули полинома Ь^ (А) определяют разделяющиеся переменные для мастер-систем. Для классической системы Неймана на единичной сфере (х,х) = 1 эти нули совпадают с известными сфероконическими координатами на ней.

Таким образом, системы, определенные указанными парами Лакса (2) с матрицами к х к представляют собой важное обобщение мастер-систем. При к > 2, соответствующие спектральные кривые уже не являются гиперэллиптическими .

Значительная часть известных конечномерных интегрируемых систем, такие как волчки Эйлера-Манакова, Лагранжа и Ковалевской, случай Клебша движения твёрдого тела в идеальной жидкости, обладают представлениями Лакса как в форме (1), так и в форме (2). Существуют однако

ЛГ(Х) = [М{Х),М{\)], jV,Me sl(k), А еС, (2)

N = Y + GT{Xlk — A)~lF,

А) = [Л^(А),М(А)]

3) системы, такие как, например, интегрируемые случаи Стеклова и Ляпунова, которые, по-видимому, не допускают таких представлений.

Различные аспекты систем, порождаемых парами Лакса (2) изучались многими авторами (см. [56] а также ссылки в этих работах). В современном подходе к гамильтоновым алгебраически интегрируемым системам основной интерес представляет то, что различные авторы называют либо разделяющиеся переменные, либо аналитические скобки Пуассона, либо координаты Дарбу (см. [11, 56, 95, 128]). А именно, комплексное фазовое пространство 2п-мерной системы со скобкой Пуассона {, } рассматривается как расслоение £ —» Ы, где база Ы есть подпространство спектральных алгебраических кривых Гд = {/(Л, /л) = 0}, параметризуемое константами первых интегралов hi,. ,hn — коэффициентов этих кривых, причём в общем случае род Гд равен п, а слои суть п-мерные многообразия Якоби Лас(Г^) (якобианы) этих кривых. Открытые подмножества данных якобианов изоморфны симметрическим произведениям Г71, точки которых суть неупорядоченные наборы (дивизоры) п точек Pi = 0*1, A»i). • ■ ■: рп = на кривой ГЛ.

Очевидно, что на каждой фиксированной кривой координаты Л, рь являются избыточными: одна из них является алгебраической функцией другой. Однако идея состоит в том, чтобы рассматривать пары (А1; /Hi), ., (Ап, цп) как независимые координаты на всём фазовом пространстве £. Пусть, кроме того, данные координаты являются координатами Дарбу, то есть удовлетворяют классическим соотношениям {Aj,Aj} = {//¿, fj,j} = О, {Aiiiij} = 5ij. Тогда, если известны выражения этих координат через первоначальные динамические переменные, то данная система может быть приведена к квадратурам в виде абелевых интегралов по методу Гамильтона-Якоби. В этом смысле данный подход представляет собой замечательный синтез симплектической и алгебраической геометрии. Кроме того, знание координат Дарбу позволяет осуществить процедуру квантования интегрируемой системы.

В настоящее время такие координаты вычислены для большинства известных конечномерных систем. В частности, следуя мощному методу функций Бейкера-Ахиезера ([29]), в статье [56] указывается конструктивный способ нахождения разделяющихся переменных для систем с парами Лакса вида (2), а также их приведения к квадратурам Абеля-Якоби.

Содержание диссертации. Широко распространено мнение, что интегрируемые системы являются гамильтоновыми. Существует, однако, более широкий класс систем, которые, по крайней мере a priori не являются гамильтоновыми, но обладают определёнными тензорными инвариантами, обобщающими понятие первого интеграла, в частности, инвариантной мерой. На важность изучения подобных систем впервые обратил внимание А. Пуанкаре. Их изучение было продолжено в работах В.В.Козлова (см. [21]), который отметил существование большого числа интегрируемых систем с инвариантной мерой, поведение которых не отличается от поведения интегрируемых гамильтоновых систем: фазовое пространство расслаивается на торы, а движение происходит по их прямолинейным обмоткам, хотя, в общем случае, неравномерно.

В Главе I даётся краткий обзор систем с инвариантной мерой, возникающих в задачах неголономной механики, среди которых особое место занимает знаменитая интегрируемая задача Чаплыгина о качении динамически несимметричного шара по горизонтальной плоскости и её различные обобщения. Здесь мы показываем, что, при некоторых ограничениях на начальные условия, в результате замены времени и части переменных данная задача сводится либо к уравнениям движения волчка Эйлера (или гиростата Жуковского-Вольтерра), либо к интегрируемому случаю Клеб-ша уравнений Кирхгофа.

Центральное место в главе занимает исследование уравнений Эйлера-Пуанкаре на унимодулярных группах Ли с кинетической энергией, являющейся суммой левоинвариантной и правоинвариантной метрик, а также некоторой их негамильтоновой модификации, так называемой Ь + Я-системы. Мы доказываем, что последняя обладает инвариантной мерой, а Теорема 1.2.3 даёт выражение для её плотности. Оказывается, что для случая группы 50(3) подобные системы порождают ряд известных инте-гируемых задач неголономной механики, в частности, задачу о качении шара Чаплыгина или движении тела в шаровом подвесе.

В пределе, когда правоинвариантной метрика становится вырожденной и сингулярной, Ь + Д-системы переходят в уравнения Эйлера—Пуанкаре с левоинвариантной кинетической энергией и правоинвариантными (в общем случае неголономными) связями на группе Ли, — так называемые Ы1 системы, изучавшиеся в работе [10]. Одна из наиболее интересных Ы1 систем — задача о движении п-мерного волчка Эйлера под действием связей, требующих, чтобы некоторые из компонент матрицы угловой скорости в пространстве были постоянными или равны нулю. Ь -г Д-системы представляют собой наиболее общий на данный момент метод построения систем с инвариантной мерой на группах Ли.

В Главе II рассматриваются геометрические и алгебро-геометрические свойства многомерных интегрируемых обобщений систем Эйлера, Клебша и Стеклова -Ляпунова, включая их гироскопические обобщения. Вначале даётся исторический комментарий о возникновении и исследовании этих систем и приводятся их известные представления Лакса с рациональным спектральным параметром, найденные С. В. Манаковым и А. М. Переломовым в [32, 37]. Данные пары Лакса позволяют построить нетривиальные интегрируемые обобщения системы Клебша, такие как задача Тиссерана о движении тела в поле двух осесимметричных квадратичных потенциалов (см. также [68]) и аналог систем Неймана на многообразиях Грассмана <7(2, п) ([36]).

Затем для названных систем мы указываем другие представления Лак-са с параметром, определённым на (накрытиях) (гипер)эллиптических кривых, которые были найдены автором в [45, 84, 86]. Отметим, что для гироскопических систем Жуковского-Вольтерра и Стеклова-Ляпунова -Рубановского известны лишь только такие пары Лакса. Для многомерных систем Стеклова-Ляпунова мы также указываем соответствующую бига-мильтонову структуру, обеспечивающую их интегрируемость. При этом мы приходим к неожиданному, на первый взгляд, выводу о том, что такие системы оказываются обобщениями систем Эйлера-Манакова на 8о(т). Кроме того, мы строим представление Лакса для новой "гибридной" интегрируемой системы на пространстве зо(т) ® зо(т) ф К7", сочетающей в себе свойства систем Стеклова-Ляпунова и Клебша-Переломова.

В продолжении данной главы рассматриваются частные решения систем Эйлера-Манакова и Клебша-Переломова соответствующие движению на сингулярных орбитах коприсоединенного представления алгебр Ли йо(ш) и е(п) соответственно. При зтом мы показываем, что каждому такому решению соответствует некоторое подвижное линейное пространство (А;-плоскость), касающееся набора фиксированных конфокальных квадрик. Многообразие таких касательных пространств оказывается тесно связанным с инвариантными многообразиями названных систем. Данные факт является обобщением замечательной геометрической конструкции, лежащей в основе интегрируемости классической Якоби о геодезических на п-мерном эллипсоиде — Теоремы Шаля. Более того, оказывается, что если данные квадрики связать с многомерным телом, то некоторый ортогональный базис в /¿-плоскости совместно с нормальными векторами к квадрикам в точках касания образуют неподвижный в пространстве ортогональный репер. Данное свойство позволяет по решениям названных систем восстановить положение тела в пространстве, а также дать геометрическую интерпретацию движения свободного многомерного волчка ([47]), обобщающую результаты работы [26].

В последующих параграфах Главы II мы вводим и изучаем гамильто-новы динамические системы на расширенных (афинных) многообразиях Штифеля У(к,т), которые порождаются парами Лакса вида (2), а редукции которых совпадают с ограничениями систем Эйлера-Манакова и Клебша-Переломова на орбиты коприсоединенного представления алгебр зо(т) и е(п) ранга к, а также с аналогами системы Неймана на грассмани-анах С?(/с,п). В этом смысле представления Лакса для систем на У(к,т) являются дуальными к известным Ь-А парам Манакова и Переломова.

Данное свойство позволяет применить изложенный в [56] метод нахождения разделяющихся переменных (координат Дарбу) на данных орбитах и приведения таких систем к квадратурам Абеля-Якоби. Мы указываем явно квадратуры и координаты Дарбу на самом многообразии V(2, т), которые параметризуют движение волчка Эйлера непосредственно на группе SO(m) в простейшем случае ранга 2. При этом квадратуры представляют собой обобщенное отображение Абеля-Якоби, содержащее мероморфный дифференциал на спектральной гиперэллиптической кривой. Этот результат дополняет работу [57], где были вычислены координаты Дарбу на сингулярных орбитах ранга 2 в алгебре so(m).

В заключительном параграфе §2.7 мы рассматриваем интегрируемые динамические системы на прямом произведении V(k,m) х Ш.кт, редукции которых совпадают с редукциями системам Стеклова-Ляпунова на орбиты ранга к в so(m) х so(m). Первые системы допускают матричное представление Лакса размерности к х к, которое уже не может быть представлено в форме (2). Для случая ранга 2 наша L-A пара имеет размерность 2 х 2 и фактически даёт представление Лакса с рациональным спектральным параметром для классических систем Стеклова-Ляпунова. С его помощью мы находим разделяющиеся переменные и приводим данные системы к квадратурам, которые оказываются стандартным отображением Абеля-Якоби, связанным к гиперэллиптической кривой, а также находим выражения для компонент матрицы вращения тела. В классическом случае т = 3 наши формулы совпадают с виртуозными вычислениями Ф.Кёттера в [103].

В Главе III в самодостаточной форме изучается проблема обращения обобщённого отображения Абеля-Якоби, содержащего, помимо голоморфных, мероморфные дифференциалы третьего рода на алгебраической кривой. Эта задача впервые рассматривалась в явной форме в монографии [75], а в [40, 125] были описаны её алгебро-геометрические свойства. Мы указываем явные выражения для так называемых гиперэллиптических корневых функций (Wurzelnfunktionen) в терминах обобщённых тэта-функций и тау-функций — вырождений стандартных тэта-функций, в случае, когда один или несколько периодов гиперэллиптического Якобиана устремляются к бесконечности.

Полученные нами выражения позволяют немедленно выписать тэта-функциональные решения рассмотренных выше систем для случая ранга 2, что составляет содержание §3.2.

1. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. "Современные проблемы математи- ки. Фундаментальные направления. Т.З. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР)". М., 1985.

2. Биркгоф, Дж. Д. Динамические системы. М.Л.: Гостехиздат, 1941, 320 с.

3. Бобенко А.И. Уравнения Эйлера на зо(4) и е(3). Изоморфизм интегрируемых случаев. Функ. ан. и его прил., 20, 1986, № 1, с. 64-66.

4. Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения. М.: Наука, 1991

5. Бсшсинов А. В., Фёдоров, Ю.Н. Многомерные интегрируемые обобщения систем Стеклова-Ляпунова. Вестник МГУ, Сер. 1, Мат., Мех., 1992, № 6, с. 53-56.

6. Борисов А. В., Фёдоров, Ю.Н. О двух видоизмененных интегрируемых задачах классической динамики. Вестник МГУ, Сер. 1, Мат., Мех., 1992, №6, с. 49-54.

7. Веселов А. П. Конечнозонные потенциалы и интегрируемые системы на сфере с квадратичным потенциалом. Функц. Анализ и его прил., 14, № 1 (1980), с. 48-50

8. Веселов А.П. Интегрируемые системы с дискретным временем и разностные операторы. Функц. Анал. Прилож., 22, № 2, 1988, с. 113.

9. Веселов А.П. Интегрируемые лагранжевы соответствия и факторизация матричных полиномов. Функ. Ан. Прилож., 25, № 2, 1991, с. 38-49.

10. Веселов А.П., Веселова Л.Е. Интегрируемые неголономные системы на группах Ли. Мат. Заметки, 44, № 5, 1988, с. 604-619.1.i Веселов А.П., Новиков С.П. Скобки Пуассона и компактные торы. Труды МИАН, 164, 1984, с. 49-61

11. Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: Гостехиздат, 1953.

12. Дубровин, Б. А. Вполне интегрируемые системы, связанные с матричными операторами и абелевы многообразия. Функ. Ан. При-лож., 11, № 4, 1977, с. 28-41.

13. Дубровин, Б. А. Тэта-функции и нелинейные уравнения. Успехи Математических Наук. 36, № 2, 1981, с. 11-92.

14. Дубровин, Б.А., Новиков С.П., Кричивер, И.М. Интегрируемые Системы. I. Итоги Науки и Техники. Современные Проблемы Математики. Фундаментальные Направления. 4, ВИНИТИ, Москва, 1985.

15. Дубровин, Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1986.

16. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью I, II, III. Журнал физ. хим. общества, т. 17, 1885, № отд.1,6,7,8, сс. 81-113, 145-199, 231-280.

17. Капустин С.В. Матричные операторы Шрёдингера и обобщенные системы Неймана на многообразиях Штифеля. Рукопись. 1993

18. Козлов В.В. О двух интегрируемых проблемах динамики. Вестник МГУ, Сер. 1, Мат., Мех., № 4, 1981, с. 80-84.

19. Козлов В.В. О реализации неинтегрируемых связей в классической механике. ДАН СССР 272, 1983, № 3, с. 550-554.

20. Козлов В.В. К теории интегрирования уравнений неголономной механики. Успехи механики, т. 8, 1985, №3, с. 85-101.

21. Козлов В.В. Об инвариантных мерах уравнений Эйлера-Пуанкаре на алгебрах Ли. Функ.ан.и его прил., т. 22, 1988, № 1,с. 69-70.

22. Козлов В.В. Вихревая теория волчка. Вестник МГУ, Сер. 1, Мат., Мех., 1990, № 4, с.56-62

23. Козлов В.В. Тензорные инварианты квазиоднородных систем дифференциальных уравнений и асимптотический метод Ковалевской-Ляпунова. Мат. заметки, т. 51, 1992, № 2, с. 46-52.

24. Козлов В.В. Об интегральных инвариантах уравнений Гамильтона. Мат. заметки, т. 58, 1995, № 3, с. 379-393.

25. Козлов В.В., Зенков Д.В. Геметрическое представление Пуансо в динамике многомерного твёрдого тела. Труды Семинара по векторному и тензорному анализу. 1988, вып. 23, с. 202-204.

26. Козлов В.В., Ярощук В.Я. Об инвариантных мерах уравнений Эйлера-Пуанкаре на унимодулярных группах Ли. Вестник МГУ, Сер. 1, Мат., Мех., 1993, № 2, с. 91-95

27. Козлов В. В., Фёдоров, Ю.Н. Интегрируемые системы на сфере с потенциалами упругого отражения. Мат. заметки т. 56, 1994, № 3, с. 74-79.

28. Кричивер И.М. Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии. Функ. Ан. Прилож., 11, 1, 1977, с. 1531.

29. Кричевер И. М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений. УМН, 32:6 (1977), с. 180-208.

30. Мамфорд Д. Лекции о тета-функциях. Москва "Мир", 1988. Пер. с англ.

31. Манаков C.B. Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики п-мерного твердого тела. Функ. Ан. Прил., т. 10, 1976, № 4, с. 93-94.

32. Маркеев А.П. Об интегрируемость задачи о качении шара с многосвязной полостью, заполненной идеальной жидкостью. Мех. Тверд. Тела, вып. 3 с. 3-19.

33. Мещеряков М.В. Интегрирвание уравнений геодезических левоинва-риантных метрик на простых группах Ли с помощью специальных функций. Мат. Сборник т. 117, 1982, № 4, 481-493

34. Мозер Ю. Некоторые аспекты интегрируемых гамилътоновых систем. Успехи Математических Наук т. 36, 1981, № 5 с. 109-144.

35. Олыпанецкий М.А., Переломов А.,М., Рейман А.Г., Семёнов-Тян-Шанский М.,А.Интегрируемые системы II. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 16, М.: ВИНИТИ, 1987, с. 86-226.

36. Переломов A.M. Несколько замечаний об интегрировании уравнений движения твердого тела в идеальной жидкости. Функ. Анал. Прилож. 15, 1981, № 2, с. 83-85.

37. Рубановский В.Н. Новые случаи интегрируемости уравнений движения тяжелого твердого тела в жидкости. Вестник МГУ, № 2, 1968, с. 99-106.

38. Рубановский В.Н. Интегрируемые случаи уравнений движения тяжелого твердого тела в жидкости. ДАН СССР 180, 1968, с. 556559.

39. Серр Ж.-П. Алгебраические Группы и Поля Классов. М.: Мир. 1973. Пер. с фр. Groupes Algébriques et Corps de Classes. Hermann, Paris 1959.

40. Уиттекер E.T. Аналитическая динамика. M.-JL: Гостехиздат, 1937. Пер. с англ. Whittaker E.T. A Treatise on Analytical Dynamics. 3-d ed. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1927.

41. Фёдоров, Ю.Н. О качении диска по абсолютно шероховатой плоскости. Мех. Тверд. Тела, вып. 4, 1987 с. 67-74

42. Фёдоров, Ю.Н. Явное интегрирование и изоморфизмы некоторых задач классической механики. Дисс. на соик. уч. ст. к.ф.-м.н. Москва, МГУ, 1989.

43. Фёдоров, Ю.Н. О движении твердого тела в шаровом подвесе. Вестник МГУ, Сер. 1, Мат., Мех., 1988, № 5, с. 91-93.

44. Фёдоров, Ю.Н. Представления Лакса со спектральным параметром на накрытия гиперэллиптических кривых. Мат. заметки, т. 54, 1993, № 1, с. 45-62

45. Фёдоров, Ю.Н. О двух интегрируемых неголономных системах в классической динамике. Вестник МГУ, Сер. 1, Мат., Мех., 1989, № 4, с. 38-41.

46. Фёдоров, Ю.Н. Обобщённая теорема Пуансо. Труды МИАН, 184, 1994, с. 49-61

47. Фёдоров, Ю.Н. Эллипсоидальный биллиард с квадратичным потенциалом. Принято к публикации в Функ. Ан. Прилож. 2001

48. Чаплыгин С.А. Исследования по динамике неголономных систем. M.-JL: Гостехиздат, 1949.

49. Чаплыгин С.А. О катании шара по горизонтальной плоскости. Мат. сборник, т. 24, 1903, № 1, с. 139-168.

50. Якоби К.Г. Лекции по динамике. JI.-M. ОНТИ, 1936.

51. Ярощук В.Я. Новые случаи существования интегральных инвариантов в задаче о качении тела по поверхности без проскальзывания. Вестник МГУ, Сер. 1, Мат., Мех., 1992, № 6, с. 26-30

52. Abenda S., Fedorov Yu. On the weak Kowalevski-Painlevé property for hyperelliptically separable systems. Acta Appl. Math. 60 (2000), no. 2, 137-178

53. Adams M.R., Harnad J., and Previato E. Isospectral Hamiltonian flows in finite and infinite dimensions. I. Generalized Moser and moment maps in loop algebras. Comm. Math. Phys. 117 (1988), 451-500

54. Adams M.R., Harnad J., and Hurtubise J. Dual moment maps into loop algebras. Let. Math. Phys. 20 (1990), 299-308

55. Adams M.R., Harnad J., and Hurtubise J. Darboux Coordinates and Liouville-Arnold Integration in Loop Algebras. Comm. Math. Phys. 155 (1993), 385-413

56. Adams M.R., Harnad J., and Hurtubise J. Darboux Coordinates on Coadjoint Orbits of Lie Algebras. Let. Math. Phys. 40 (1997), 41-57

57. Adler M., van Moerbeke P. Linearization of Hamiltonian systems, Jacobi varieties and representation theory. Advances in Math. 38 (1980), no.3, 318-379

58. Adler M., van Moerbeke P. The complex geometry of the Kowalevski-Painlevé analysis. Invent. Math. 97 (1989), 3-51

59. Alber M.S., Fedorov Yu. Wave Solutions of Evolution Equations and Hamiltonian Flows on Nonlinear Subvarieties of Generalized Jacobians. J. Phys. A: Math. Gen. 33 (2000), 1-17

60. Alber M.S., Camassa R., Fedorov Yu., Holm D.D., and Marsden J.E. On billiard solutions of nonlinear PDE's. Phys. Lett. A 264 (1999), 171-178

61. Audin M. Courbes algébriques et systèmes intégrables: géodésiques des quadriques. Expo. Math. 12, no.3 (1994), 193-226

62. Baker H.F. Multiply Periodic Functions. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1907

63. Belokolos E.D., Bobenko A.I., Enol'sii V.Z., Its A.R., and Matveev V.B. Algebro-Geometric Approach to Nonlinear Integrable Equations. Springer series in Nonlinear Dynamics. Springer-Verlag 1994.

64. Bobenko A. I., Lorbeer В., and Suris Yu. Integrable discretizations of the Euler top J. Math. Phys. 39, no. 12 (1998) 6668-6683

65. Bobenko A. I., Suris Yu. Discrete time Lagrangian mechanics on Lie groups with an application to the Lagrange top. Comm. Math. Phys. 204 (1999), 147-188

66. Bolsinov A. V. Commutative families of functions related to consistent Poisson brackets. Acta Appl. Math. 24 (1991), 253-274

67. Bogoyavlensky O.I. New integrable problem of classical mechanics. Comm. Math. Phys. 94 (1984), 255-269

68. Bueken P., Vanhaecke P. The moduli problem for integrable systems: the example of a geodesic flow on SO(4). J. London Math. Soc. (2) 62 (2000), no. 2, 357-369

69. Brun F. Rotation kring fix punkt. Ofers. Kongl. Svenska Vetensk. Acad. Forhandl. Stockholm. 7 (1893), 455-468

70. Buchstaber V.M., Enol'skii V.Z., and Leikin D.V. Kleinian Functions, Hyperelliptic Jacobians and Applications Amer. Math. Soc. Transí. Ser.2, 179 Providence, USA 1997

71. Cayley A. Sur quelques properties des determinant gauches. J. Reine Angew. Math. 32 (1846), 119-123

72. Clebsch A., Gordan P. Theorie der abelschen Funktionen. Teubner, Leipzig. 1866

73. Clebsch A. Über die Bewegung eines Körpers in einer Flüssigkeit. Math. Ann. 3 (1871), 238-262

74. Delshams A., Fedorov Yu., Ramirez R. Nonintegrability of the perturbed ellipsoidal billiard. Принято к печети в Nonlinearity.

75. Dirac P.A. On generalized Hamiltonian dynamics. Can. J. Math. 2, no.2 (1950), 129-148

76. Ercolani N. Generalized theta functions and homoclinic varieties. Proc. Symp. Pure Appl. Math., 49 (1989), 87-100

77. Farkas N., Kra E. Riemann Surfaces. Springer-Verlag, 1980

78. Fay, J. Theta-functions on Riemann Surfaces. Springer Lecture Notes 352, Springer-Verlag, 1973

79. Fedorov Yu. Classical integrable systems and billiards related to generalized Jacobians. Acta Appl. Math. 55 3 (1999) 251-301

80. Fedorov Yu. Systems with an invariant measure on Lie groups. In: Hamiltonian Systems with Three or More Degrees of Freedom. Ed. C.Simo. Nato ASI Series C. 533. Kluwer Academic Publishers, 1999, 350-357

81. Fedorov Yu. Integrable systems, Lax representations, and confocal quadrics. In: Dynamical systems in classical mechanics, 173-199, Amer. Math. Soc. Transi. Ser. 2, 168, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995

82. Fedorov Yu. Integrable systems and confocal quadrics. In: Hamiltonian Mechanics (Torun, 1993), 361-369, Plenum, New York, 1994

83. Fedorov Yu. Integrable systems, Poisson pencils, and hyperelliptic Lax pairs. Regul. Chaotic Dyn. 5 (2000), no. 2, 171-180

84. Fedorov Yu., Kozlov V. V. Various aspects of n-dimensional rigid body dynamics. In: Dynamical Systems in Classical Mechanics, 141-171, Amer. Math. Soc. Transi. Ser. 2, 168, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995

85. Fedorov Yu., Kozlov V. V. A Memoir on Integrable Systems. Series "Gründlagen der Matematische Wissenshaften". Springer-Verlag, Berlin. 2000

86. Frahm F. Uber gewisse Differentialgleichungen. Math. Ann. 8 (1874), 35-44

87. Gagnon L., Harnad J., Hurtubise J., and Winternitz P. Abelian integrals and the reduction method for an integrable Hamiltonian system. J.Math.Phys. 26 (1885), 1605-1612

88. Gavrilov L., Zivkov A. The complex geometry of the Lagrange top. L'enseignment Math. 44 (1999), 133-170

89. Gavrilov L. Generalized Jacobians of spectral curves and completely integrable systems. Math. Z. 230 (1999), no. 3, 487-508

90. Heine L. Geodesic flow on so(4) and Abelian surfaces. Math. Ann. 263 (1983), 435-472

91. Hurtubise J. Some algebraic geometry of integrable systems. CRM Proc. Lecture Notes 11 (1997), 183-194

92. Jacobi K.G. Sur la rotation d'un corps. In: Gesamelte Werke 2 (1884), 139-172

93. Joachimsthal F. J.Reine Angew. Math. 26 (1843), 155-164

94. Knörrer H. Geodesies on the ellipsoid. Invent. Math. 59 (1980), 119-143

95. Knörrer H. Geodesies on quadrics and a mechanical problem of C.Neumann. J. Reine Angew. Math. 334 (1982), 69-78

96. Kolosoff G.Y. Sur le mouvement d'un corp solide dans un liquide indéfini. C.R. Acad. Sei. Paris 169 (1919), 685-686

97. Königsberger L. Zur Transformation der Abelschen Functionen erster Ordnung. J. Reine Agew. Math. 64 (1894), 3-42

98. Kötter F. Uber die Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit. I, II. J. Reine Angew. Math. 109 (1892), 51-81, 89-111

99. Kötter F. Die von Steklow und Liapunow entdeckten integralen Fälle, der Bewegung eines starren Körpers in einer Flüssigkeit. Sitzungsber., König. Preuss. Akad. Wiss., Berlin 6 (1900), 79-87

100. Kozlov V., Treschev D. Billiards. A Generic Introduction to Systems with Impacts. Amer. Math. Soc. Transi Ser.2, 160, Providence, USA, 1992

101. Kozlov V. V. Hydrodynamics of noncommutative integration of Hamiltonian systems. In: Dynamical Systems in Classical Mechanics, 227-238, Amer. Math. Soc. Transi. Ser. 2, 168, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995

102. Krazer A., Wirtinger W. Abelsche Functionen und allgemeine Thetafunktionen. Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften. Bd. II, 7 1923, 604-873, Teubner, Leipzig

103. Krichever I., Phong D. H. On the integrable geometry oî N = 2 supersymmetric gauge theories and soliton equations. J. Diff. Geom. 45 (1997), 445-485

104. Kuznetsov, V., Vanhaecke, P. Bäcklund transformations for finite-dimensional integrable systems: a geometric approach. Preprint.

105. Levalvois Ph. Non-integrabilite des billiars définis par certaines perturbations algebriques d'une ellipse et du flot geodesique de certaines perturbations algebriques d'une ellipsoide. Thse. l'Université Paris VII, 1993.

106. Martnez S., Cortes J., and de Leon M. The geometric theory of constraints applied to the dynamics of vakonomic mechanical systemts: the vakonomic bracket. J. Math. Phys. 41 (2000), no.4, 2090-2119

107. Marsden J., Ratiu T. Introduction to Mechanics and Symmetry. A Basic Exposition of Classical Mechanical Systems. 1994. Texts in Applied Mathematics, Vol.17.

108. Marshall I., Rauch-Wojciechowsky S. When an integrable systems separable? J. Math. Phys. 29 (1988), no. 6, 1338-1346

109. McKean H.P. Integrable systems and algebraic curve. In: Clobal Analysis, Springer Lecture Notes in Math. 775, (1979), 83-200

110. McMillan E. A problem in the stability of periodic systems. In: Topics in Modern Physics. A Tribute to E. U. Condon. (Colorado Associated Univ. Press, Boulder, 1971), 219-244

111. Minkowski H. Uber die Bewegung eines festen Körpers in einer Flssigkeit. Sitzungsber., König. Preuss. Akad. Wiss., Berlin. 30 (1888), 1095-1110

112. Moser J. Geometry of quadrics and spectral theory. Chern Symposium. Berkley 1979 (1980), 147-188

113. Moser J., Veselov A. Discrete versions of some classical integrable systems and factorization of matrix polynomials. Comm. Math. Phys. 139 (1991), 217-243

114. Nijhoff F., Enol'skii V. Integrable mappings of KdV type and hyperelliptic addition formulae. In: Symmetries and Integrability of Difference Equations, London Math. Soc. Lecture Notes 255. Cambridge Univ. Press, 1999, 64-78

115. Papageorgiou V., Nijhoff F., and Capel H. Integrable mappings and nonlinear integrable lattice equations. Phys. Lett. 147A (1990), 106114

116. Previato E. Hyperelliptic quasi-periodic and soliton solutions of the nonlinear Schrödinger equation. Duke Math. J. 52, I, (1985), 329-377

117. Ratiu T. The C.Neumann problem as a completely integrable system on an adjoint orbit. Trans. Amer. Math. Soc. 264, 2 (1981), 321-329

118. Ratiu T., van Moerbeke P. The Lagrange rigid body motion. Ann. Inst. Fourier 32, (1982), 211-234

119. Rauch-Wojciechowski S. Integrable one-particle potentials related to the Neumann system and the Jacobi problem of geodesic motion on an ellipsoid. Phys.Lett.A, no. 3, 107 (1985), 106-111

120. Reiman A.G., Semenov-Tian-Schanskky M. Reduction of Hamiltonian systems, affine Lie algebras and Lax equations I. Invent. Math. 54 (1979), 81-100

121. Rosenlicht M. Generalized Jacobian varieties. Ann. of Math. 59 (1954), 505-530

122. Rosochatius E. Uber die Bewegung eines Punktes. Inaugural Dissertation, Univ. Göttingen. Gebr. Unger, Berlin 1877

123. Schottky F. Über das analytische Problem der Rotation eines starren Körpers in Räume von vier Dimensionen. Sitzungsber., König. Preuss. Akad. Wiss., Berlin 12 (1891), 227-232

124. Sklyanin E., Prog. Theor. Phys. Suppl. 118, no.35

125. Steklov V. Uber die Bewegung eines festen Körpers in einer Flüssigkeit. Math. Ann. 42 (1893), 273-274

126. Suris, Yu. The motion of a rigid body in a quadratic potential: an integrable discretization. Internat. Math. Res. Notices (2000), no. 12, 643-663

127. Vanhaecke P. Linearizing two-dimensional integrable systems and the construction of action-angle variables. Math. Z. 211 (1992), 265-313