Качественные свойства некоторых дискретизаций параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. Предельное отслеживание и дискретизации параболических уравнений 16

§ 1. Постанрвка задачи 16

§2. Основное предположение 20

§3. Гиперболический случай 29

§4. Негиперболический случай

Глава II. Локальная идентифицируемость параболического уравнения по уточняющимся дискретным наблюдениям

§1. Постановка задачи локальной параметрической идентифицируемости 59

§2. Вспомогательные результаты 61

§3. Основная теорема

Глава III. Аттракторы дискретизаций неградиентных параболических уравнений 70

§ 1. Дискретизация параболического уравнения 70

§2. Свойства отображения ф

§3. Оценка хаусдорфовой размерности глобального аттрактора 80

Идея дискретизации дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) для аппроксимации его решений введена в математику уже давно, начиная с классических работ Л. Эйлера и других основоположников анализа.

В настоящее время переход к дискретизованному уравнению является одним из основных методов построения приближенных решений (см., например, [25]). Метод дискретизации (метод конечных разностей) используется не только в теории численных методов, но и в общей теории дифференциальных уравнений для качественного исследования решений [30].

В связи с интенсивным изучением бесконечномерных динамических систем, порождаемых, в частности, уравнениями в частных производных (отметим книги [11, 12, 15, 24]), возник интерес к исследованию соответствующих конечномерных систем, порождаемых дискретизациями этих уравнений.

В первую очередь изучению подверглись свойство диссипативности таких систем (разностных схем) и структура их глобальных аттракторов [9, 13, 31]. Кроме того, изучалось свойство отслеживания приближенных траекторий точными. Это свойство было установлено в окрестности гиперболической неподвижной точки [1, 2, 18], а также в окрестности глобального аттрактора параболического уравнения в том случае, когда эволюционная система является системой Морса-Смейла [17, 22].

В диссертации изучаются некоторые качественные свойства дискретизаций нелинейных параболических уравнений в частных производных.

Представляют интерес различные задачи, связанные с динамическими системами, порождаемыми дискретизациями - теория инвариантных множеств для таких систем, оценки расстояний между их траекториями точных уравнений на бесконечных временных промежутках, задачи о восстановлении параметров дифференциальных уравнений по наблюдениям дискретизаций их решений (задачи локальной параметрической идентифицируемости).

Изучение сформулированных задач представляет интерес как для общей качественной теории бесконечномерных динамических систем, порождаемых дифференциальными уравнениями в частных производных, так и для теории численных методов, т.к. методы дискретизации являются наиболее часто используемыми.

Содержание работы

В диссертации используются следующие пространства:

С\0,л) - пространство к раз непрерывно дифференцируемых функций, действующих из открытого множества (0,;г)еК в И.

ЛСО,я) -линейное пространство всех функций из С1 (0,я) с компактным носителем в (0,/г).

Ь2(0,тг) - пространство всех интегрируемых с квадратом функций с нормой

Ык ч = |Ы2сЬг II III2 (0,я) И I I

ЛХ чО У

О,я) - пространство Соболева, состоящее из всех функций г/е£2(0,/г), обладающих интегрируемыми с квадратом обобщенными производными первого порядка, с нормой

II НяЧо.гг) К Г г 1 12 ди Л и\ + сЬг

V0 1 1 дх

- подпространство Я1 (0, я), состоящее из функций, обращающихся в 0 при х=0 и х=7Г, эквивалентная норма

Щ 1 II Ня^о,*) п г ди 2 Л к

J V0 дх

Н (а,Ь) - пространство Соболева с нормой

1я2(а,г>) ди 2 Л с1х дх У пр (для г,р> 1) - банахово пространство последовательностей {ик\ к>0} с нормой

Ук=о у

Диссертация состоит из трех глав.

В главе I рассматривается параболическое уравнение д и д1 и „, ч + *е[0, ж], *:><), (1.1) с условиями Дирихле и(0,0 = и(тг,0 = 0, t>0, (1.2) и начальным условием и(х,0) = и0(х), х е[0, л-]. (1.3)

Предполагается, что /еС2. А

Станем обозначать через <.>¿2 скалярное произведение в Ь (0,71), через К - пространство Н1о(0,к) и через |.|к - норму в К.

Запишем задачу (1.1)-(1.3) в виде эволюционного уравнения й=Аи+Р{и\ и(0)=и0. (1.4)

Хорошо известны условия [33], при которых уравнение (1.4) порождает полугруппу операторов 8(1) в К такую, что и(х^)=8(1)щ{х).

Достаточно предположить, например, что существует константа С такая, что

В параграфе 1 рассматривается дискретизация задачи (1.1)-(1.3) стандартным методом конечных элементов по пространственной переменной х и неявным методом Эйлера по времени.

Фиксируем временной шаг /г>0 и конечное разбиение 3 отрезка [0,л] с максимальной длиной отрезка разбиения £»0.

Обозначим через К(3) подпространство пространства К, состоящее из непрерывных функций, линейных на каждом отрезке разбиения 3.

Сопоставим оператору А = (^1(1х2 билинейную форму соотношениями

2 = а(и,у) для всех и,уе К(3). Значения 8(пН)щ(х) при п>0 аппроксимируются функциями К„еК(3), определяемыми из соотношений и/{и) < С.

1.5)

Определим линейный оператор где

Р(3):/,2(0,л-)-»К(3)

- ортогональный проектор.

Цель данной главы - получить условия предельного отслеживания для последовательности дискретизаций, строящихся по следующему правилу. Фиксируем натуральное число Т. Рассмотрим промежутки времени

1т = (тТ,(т+\)Т\,т=0, 1, . . Каждому значению т сопоставим натуральное число Кт и разбиение Зт отрезка [0,я] с максимальной длиной отрезка разбиения Вт. Будем предполагать, что Кт+\>Кт и что Зт+\ получается подразбиением разбиения Зт. Будем писать К(т) вместо К(3Ш).

Введем числа ко=0 и кт=Т(Ко+.+ Кт.\) при т> 1. Определим операторы по аналогии с ДЗ).

Фиксируем К0еК(0) и зададим Уп, п>0, соотношениями

А(т)Уп+Р(т)Р(Уп), К у где кт<п< кт+ь Нт=\/Кт, и Р(т) - ортогональный проектор 1/(0,яг) на К(т). Так как К(т)с=К(/и+1), функция р£и+1 корректно определяет функцию

Укт+1 + 18

Определим операторы соотношениями

2т(Уп) = К+1 при кт<п< кт+1.

Рассмотрим функции ит=¥кт, т>0. В данной главе изучаются две основные задачи.

Задача 1. Предположим, что кт, Д„—»0 при т->сс. При каких условиях на (1.1) существует такое v, что |5(и7>-ип|к->0 при >ос?

Задача 2. Оценить величины в терминах кт и От.

В параграфе 2 делается основное предположение о глобальной структуре траекторий полугруппы £(/), порожденной задачей (1.1)-(1.3).

Условие А. Полугруппа £(/) имеет глобальный аттрактор в К.

Достаточные условия, при которых полугруппа 5(7) имеет глобальный аттрактор, хорошо известны [24, 33]; например, достаточно потребовать, чтобы удовлетворялось неравенство (1.5) (мы будем предполагать, что это условие выполнено).

В параграфе 2 вводятся основные объекты, определяющие динамику системы 5(0 ~ глобальный аттрактор А и инерциальное многообразие М.

В параграфе 3 получены условия предельного отслеживания для последовательности дискретизаций в случае, когда выполняется

Условие Н. Все неподвижные точки полугруппы гиперболические.

Рассмотрим последовательность {щ\ к>0}а\¥, где Ж - окрестность глобального аттрактора А. Обозначим

4 = |о(ик) - ик+ 1|к, Тт = ит + Ит

И определим последовательности

5>= Н}, т={тт).

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.1 Существует окрестность Ж глобального аттрактора А такая, что если ик&Ж и ¿4->0 при то >0 при к—>сс для некоторой неподвижной точки я: полугруппы £(/) в А.

Теорема 1.2 Существует такая окрестность Ж0 глобального аттрактора А, что если построенная в начале Введения последовательность дискретизаций {ит} лежит в Ж0 и гт—>0 при т->ос, то \ит-к|к—»0 при т—>сс для некоторой неподвижной точки к.

Перейдем к задаче об оценке величин |</(у) - в терминах Ит и От.

Рассмотрим банахово пространство последовательностей £гр.

Теорема 1.3 Для любых г,р> 1 найдется число Т, зависящее от г,р и такое, что отображение о(и) = $(1)и обладает следующим свойством.

Существуют окрестность Ж() глобального аттрактора А и числа сР,Ь>0 такие, что если последовательность {щ}а удовлетворяет условиям д\\г,р<с1<сР и м) < 2с1, то для некоторой точки уеМ выполнено неравенство

В параграфе 4 рассматриваются системы, для которых предположение о гиперболичности неподвижных точек не выполнено. Доказана следующая

Теорема 1.5 Предположим, что существует такое с>О, что и)п!(А) = 0, где Е(А) - спектр Сакера-Селла глобального аттрактора А. Тогда для любого р> 1 найдется с0>0, обладающее следующим свойством. Для любого ге(1,Со) существуют окрестность 1¥о глобального аттрактора А и числа (¿\Ь>0 такие, что если последовательность {ик}а Ж() удовлетворяет условиям

Щг,р<(1<сР и б1Б1(и0,М)<2сР, то для некоторой точки уеМ выполнено неравенство

В главе II исследованы условия локальной параметрической идентифицируемости параболического уравнения по уточняющимся дискретным наблюдениям.

В параграфе 1 главы II ставится задача локальной параметрической идентифицируемости.

Рассматривается нелинейное параболическое уравнение вида ди дги ,тт где хе[0,/г], t>О, /л - неотрицательный параметр. Для уравнения (II. 1) ставятся краевые и начальные условия и(0,0 = u{7r,t) = О, (II. 2) и(х,0) = мо(х), м0еС2[0,л]. (II.3)

Предполагается, что функция /еС2 и удовлетворяет следующим условиям Чэфи-Инфанте: а)№ - 0, /'(0)=1;

Ь)Ш^-< 0;

1»|->® и с) г(и)<0 при и>0, f"(u)>0 при и<0. Фиксируем число 2>0. Будем считать, что наблюдается классическое решение u^x,t) уравнения (II. 1) в моменты времени Tk=kT, кеN.

При наблюдении дискретизируем отрезок [0 ,тг] с шагом /Л—>0 при к->сс. Обозначим через V^k) набор

V^k) = {u^m, i=0,.,m(k)}, где

Хк = iDk, i=0, ., m(k) и числа m(k) и Du связаны соотношением п = m(k)Dk. Сформулируем основное определение.

Будем говорить, что задача (II.1)-(II.3) локально идентифицируема по уточняющейся последовательности дискретных наблюдений решения при значении параметра juq, если существует ¿>0, обладающее следующим свойством: для любого ju, 0<\/li-/lio\<£ найдется такое к(), что

V^^VJk) прик>к().

В параграфе 2 доказаны три вспомогательные леммы. В параграфе 3 доказывается основная теорема этой главы. Теорема II. 1 Пусть jUq>\ и ¡м&п для пеZ. Тогда для начальной функции щ(х), принадлежащей открытому и плотному (в метрике Я'о(0,я)) множеству, задача (П.1)-(П.З) локально идентифицируема при значении параметра jUq.

1. Alouges F., Debussche A. On the qualitative behavior of a parabolic PDE and its discretization in the neighborhood of a hyperbolic fixed point // Numer. Funct. Anal. And Optim. 1991. Vol. 12. P. 253-269.

2. Beyn W.-J. On the numerical approximation of phase portraits near stationary points // SIAMJ. Numer. Anal. 1987. Vol. 24. P. 1095-1113.

3. Brunovsky P., Chow S.-N. Generic properties of stationary state solutions of reaction-diffusion equations // J. Diff. Equat. 1984. Vol. 53. P. 1-23.

4. Chaffe N., Infante E. A Bifurcation problem for a nonlinear parabolic equation // J. Appl. Anal. 1974. Vol. 4. P. 17-37.

5. Chow S.-N., Lu K., Sell G.R. Smoothness of inertial manifolds // J. Math. Anal. Appl. 1992. Vol. 169. P. 283-312.

6. Douady A., Oesterle J. Dimension de Hausdorff des attracteurs // C. R. Acad. Sci. 1980. Vol. 290. P. 1135-1138.

7. Eirola T., Nevanlinna O., Pilyugin S.Yu. Limit shadowing property // Numer. Funct. Anal. Optim. 1997. Vol. 18. P. 75-92.

8. Eirola T., Pilyugin S.Yu. Pseudotrajectories generated by a discretization of a parabolic equation. Research Reports A 341 / Helsinki Univ. Techn. Inst. Math. Helsinki, 1994.

9. Foias C., Jolly M.S., Kevrekidis I.G., Titi E.S. Dissipativity of numericalschemes //Nonlinearity. 1991. Vol. 4. P. 591-613.

10. Foias C., Sell G.R., Temam R. Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations // J. Diff. Equat. 1988. Vol. 73. P. 309-353.

11. Hale J.K. Asymptotic behavior of dissipative systems. AMS. Providence, RI. 1988.

12. Henry D. Geometric theory of semilinear parabolic equations // Lect. Notes in math. Vol. 840. Springer. Verlag. 1981.

13. Humphries A.R., Jones D.A., Stuart A.M. Approximation of dissipative partial differential equations over long time intervals. Manuscript SCCM-93-09. Stanford Univ. 1993.

14. Kolbina S.A. Local identifiability of a parabolic equation from discrete observations / Тезисы докладов Второй Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их применение". СПбГТУ, 1998. С.42.

15. Ladyzhenskaya O.A. Attractors for semi-groups and evolution equations. Cambridge Univ. Press. 1991.

16. Larsson S. Nonsmooth data error estimates with applications to the study of the long-time behavior of semilinear parabolic equations // Preprint 1992-36. Chalmers Univ. Techn. Göteborg. 1992.

17. Larsson S., Pilyugin S.Yu. Numerical shadowing near the global attractor for a semilinear parabolic equation. Preprint 1998-21. Göteborg. 1998.

18. Larsson S., Sanz-Serna J.-M. A shadowing result with applications to finiteelement approximation of reaction-diffusion equations. Preprint 1996-05. Góteborg. 1994.

19. Levinson N. Transformation theory of non-linear equations of the second order // Ann. Math. 1944. Vol. 45.

20. Oliva W.M., Kuhl N.M., Magalhaes L.T. Diffeomorphisms of Rn with oscillatory Jacobians // Publ. Math. Barcelona, 1994.

21. Pilyugin S.Yu. Complete families of pseudotrajectories and shape of the attractors // Rand. Comput. Dynamics. 1994. Vol. 2. P. 205-226.

22. Pilyugin S.Yu. Shadowing in dynamical systems // Lect. Notes in math. Vol. 1706. Springer. Verlag. 1999.

23. Sacker R.J., Sell G.R. A spectral theory for linear differential systems // J Diff. Equat. 1978. Vol. 27. P. 320-358.

24. Бабин A.B., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука, 1989.

25. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

26. Бодунов Н.А., Постников Е.В. Условия локальной идентифицируемости нелинейных систем при дискретных наблюдениях // Изв. вузов. Сер. Математика. 1993. № 5. С.8-11.

27. Колбина С.А., Пилюгин С.Ю. Предельное отслеживание и дискретизации параболических уравнений // В сб.: "Нелинейные динамические системы". Изд. С.-Петербург, ун-та, 1997. Вып.1. С. 131158.

28. Колбина С.А. Аттракторы дискретизаций неградиентных параболических уравнений. / Ред. ж. "Вестник Санкт-Петербургского университета", серия 1: математика, механика, астрономия. Деп. в ВИНИТИ 07.12.1998 г. № 3564-В98. 20 с.

29. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

30. Ладыженская O.A. Глобально устойчивые разностные схемы и их аттракторы. Препринт ЛОМИ P-S-91. 1991.

31. Островский A.M. Решение уравнений и систем уравнений. М., 1963.

32. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

33. ХиршМ. Дифференциальная топология. М.: Мир, 1979.