Исследование аттракторов дискретизаций параболических уравнений на неограниченных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КОЛЕЖУК Василий Сергеевич

ИССЛЕДОВАНИЕ АТТРАКТОРОВ ДИСКРЕТИЗАЦИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НА НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Специальность 01.01.02. "Дифференциальные уравнения"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2006

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Пилюгин Сергей Юрьевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Осмоловский Виктор Георгиевич; кандидат физико-математических наук, доцент Колбина Светлана Анатольевна.

Ведущая организация— Санкт-Петербургский университет телекоммуникаций имени проф. М.А. Бонч-Вруевича.

Защита состоится 2006 года в час. О_0_ Мин.

на заседании диссертационного совета Д 212.232.49 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: j Ч£Ц>0Ч Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., д. 28, математико-ме^санический факультет.

Ауд. 4526.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

Автореферат разослан

2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.232.49

J4

Ч Ji А. Архипова

Защита состоится по адресу: Санкт-Петербург,

Васильевский остров, 14 линия, д. 29. Ауд. 13

¿РОСА ЪБХЗ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

/

Актуальность темы

Многие процессы естествознания описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Численное решение таких уравнений с применением разностных методов и компьютерного моделирования во многих случаях позволяет достаточно полно охарактеризовать глобальную структуру решений.

Для того, чтобы сделать подход, основанный на компьютерном моделировании, теоретически обоснованным, мы должны уметь отвечать на следующий вопрос: насколько точно полученные численно решения, аттракторы и прочие объекты, связанные с уравнением, аппроксимируют соответствующие объекты исходного уравнения?

При рассмотрении порожденных разностными методами динамических систем возникает проблема учета возможных погрешностей, связанных, например, с ошибками округления. Поэтому весьма важно знать, насколько такие системы устойчивы относительно различных возмущений. Таким образом, возникает еще один вопрос: каковы свойства устойчивости (по отношению к возмущениям) динамических систем, порожденных разностными методами дискретизации уравнений в частных производных?

В диссертации сформулироваьные вопросы изучаются для дискретизаций параболических уравнений в частных производных на ограниченных и неограниченных областях.

Перечисленные вопросы для параболических уравнений на ограниченных областях хорошо изучены. Однако изучение параболических уравнений на неограниченных областях началось лишь в 1990 году, и в настоящее время численные методы, связанные с этими уравнениями, практически не исследованы.

Исследовать полулинейное параболическое уравнение на прямой; доказать сходимость аттракторов дискретизаций параболического уравнения на прямой к точному аттрактору этого уравнения; исследовать свойства гиперболичности неподвижных точек и трансверсальности пересечения их устойчивых и неустойчивых многообразий в динамических системах, полученных путем дискретизации параболических уравнений на ограниченной области.

Методы исследования В диссертации используются общие методы математической физики, функционального анализа и качественной теории динамических систем.

Научная новизна Все результаты диссертации являются новыми. Выделим основные из них. 1. Получены теоремы существования и единственности для введенного в работе класса решений параболического уравнения на прямой.

Цель работы

2. Доказано существование аттракторов у динамической системы, порожденной параболическим уравнением на прямой. Доказано, что аттракторы дискретизаций этого уравнения сходятся к точному аттрактору этого уравнения при стремлении шагов дискретизации к нулю.

3. Доказано, что свойства гиперболичности неподвижных точек и трансверсальности пересечения их устойчивых и неустойчивых многообразий являются типичными для динамических систем, полученных путем дискретизации с помощью различных схем параболических уравнений на ограниченной области.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер и является одной из первых работ, изучающих свойства дискретизаций параболических уравнений на неограниченных областях.

Полученный результат о сходимости аттракторов дискретизаций параболического уравнения на прямой к точному аттрактору этого уравнения важен для обоснования достоверности результатов, получаемых с помощью численных экспериментов.

В силу связи свойств гиперболичности неподвижных точек и трансверсальности пересечения их устойчивых и неустойчивых многообразий со свойством структурной устойчивости динамических систем, проведенное исследование этих свойств также оказывается важным для численного исследования параболических уравнений.

Апробация

Основные результаты были доложены на международных конференциях: Tools for Mathematical Modelling, SPb, 2003; Международная конференция "Четвертые окунев-ские чтения", СПб, 2004; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2004, а также на заседаниях Городского семинара по дифференциальным уравнениям под руководством чл.-корр. РАН В. А. Плисса (Санкт-Петербург, 2005).

Основные результаты опубликованы в статьях [ 1-4] и тезисах докладов 15-7) (список приведен в конце автореферата).

Структура и объем работы

Диссертация содержит 131 страниц машинописного текста и состоит из введения, двух глав, разделенных на 13 параграфов, приложения, разделенного на 4 параграфа и списка литературы из 33 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий исторический обзор и сформулированы основные результаты диссертации.

В главе I исследуется следующее полулинейное параболическое уравнение на неограниченной области:

и, = и„ + /(и), и = u(t,x), X € R, t > 0, (1)

где / — глобально липшицева функция класса С1, удовлетворяющая условию диссипа-тивности

/(«)•«> Ao|«|2-Ai

с некоторыми константами Ао > 0 и Aj € R. Ставится задача Коши

ii(t=o(i) = Uo(z). (2)

Изучаются решения этого уравнения, лежащие в функциональных пространствах, связанных со следующими весовыми соболевскими пространствами

Зафиксируем число 7 < 0. Введем весовую функцию <р(х) := (1 + |х|2)7. Обозначим через #oi7(R) гильбертово пространство таких функций и ■ R —► R, определенных при почти всех х € R, что

\\ч>тЧыв.) = / <р{х)\и(х)\2 dx < +00,

R

со скалярным произведением

(u;t>)0,7:= J <p(x)u(x)v{x) dx. л

Обозначим также для любого числа I 6 N через #ii7(R) гильбертово пространство таких функций u € что для всех о < I существуют соболевские производные

V и они лежат в пространстве Ho,~(R). В пространствах Я1л(R) скалярные произведения определяются по формуле

Мл " £ {Vu-Wv)^.

0<и<1

Верны следующие результаты, описывающие свойства решений уравнения (1). Теорема 1.2.1. Существует решение задачи Коши (2) для уравнения (1), лежащее в пространстве

МО; Т]; Hi>7(R)) П Loo([0; п H1i7(R)).

Теорема 1.2.2. Уравнение (1) порождает полупоток {5(}(>0 в пространстве Hi,7(R).

В параграфе 1.3 также получены оценки старших производных решений уравнения (1) при t > 0.

Введем оператор сдвига Ту : "Wi,7(R) -v ?ii,7(R):

(i»(x) := u(x + у)

и определим пространство

:= {u е Hi,7(R) : ||u||,,. < +00 и \\T„u - u|h,n -Ю}

с нормой ||u||,,u .= sup||Tvu||i,7.

ver

Пусть К и И1- два произвольных банаховых пространства, а отображение х) является полупотоком на каждом из них. Подмножество I СИ называется глобальным (W, 72.)-аттрактором динамической системы Ф (в смысле Бабина-Вишика), если

(i) I — компактное подмножество пространства И;

(ii) множество / инвариантно по отношению к действию системы Ф, то есть, Ф(£, I) — I для t > 0;

(iii) множество I притягивает ограниченные подмножества пространства И' в тополо^ гии пространства И.

Теорема 1.4.2.

Полупоток {St}t>o имеет CHi,„(H); 'H1i7(R))-аттрактор.

Пространственно-временной дискретизацией уравнения (1) по неявной схеме с шагом h > 0 по времени и d > 0 по пространственной переменной называется дискретная динамическая система, порождаемая уравнением

(u»+i _ unyh = d+du*+i + 7(u«+i), (з)

(где и" = {txj}*gz и un+l = («J+1}tez — последовательности вещественных чисел, а отображение / действует по формуле (7(и)), = /(«,)).

Рассмотрим, аналогично с непрерывным случаем, пространство /Лд-у — пространство последовательностей и = (ut : k € Z}, для которых квадрат нормы

Ml7 = d£Pi((d+u)2t + u2t)

конечен, где рк = р(Ы) = (1 -I- («0г)\ 3+u := {/r'(u*+i - "*)bez- Пусть Ям,„ — подмножество пространства состоящее из последовательностей, для которых

норма

ll«l!l,u=SUp||T1,u|b,7

vez

конечна. Веуп W.-J. и Пилюгин С.Ю. показали, что при достаточно малых шагах уравнение (3) порождает динамические системы в пространствах и Hi^,« и существует глобальный (Яы<1, Я,д7)-аттрактор A(h,d).

Решения уравнения (3) естественным образом вкладываются в пространство ?Íii7(R) при помощи оператора вложения T¿ : H\¿n -+ W!i7(R) так, что последовательности {"*}*€z 6 соответствует функция (7"íu)(i) = ик+1в + ufc(l — в), х = kd + 9, к е Z, в 6 [0,1). В параграфе 1.5 оценивается погрешность при аппроксимации решений уравнения (1) решениями уравнения (3), вложенными в пространство (R) как указано выше.

Пусть А и В — два подмножества пространства Wij7(R). Отклонением множества А от множества В называется величина

dev(A В) := sup inf ||о - 6||,l7.

Теорема 1.6.1.

Аттракторы A(h, d) сходятся к аттрактору А в следующем смысле •

dev(TjA(h, d),A)-> О при h,d~* 0. (4)

Во главе II исследуются динамические системы, порожденные дискретизациями уравнения

и, = Ли + /(х,и), и = u(t,x), t>0 (5)

с граничным условием Дирихле u|en = 0, где ft С R" — ограниченная область, А — оператор, действующий из соболевского пространства в пространство Lj(ii),

симметричный и положительно определенный относительно скалярного произведения (g, Л) := f ghdx, а / — функция класса С (г > 1), глобально липшицевая по переменной п

и. Класс таких функций будем обозначать Сг.

Исследуемые дискретизации строятся следующим образом. Пусть {ift, . •, т^,} — ли-

О

нейно независимое семейство функций из пространства Я1 (ft). Приближенное решение уравнения (5) ищется в виде u(£,x) = £ fi(i)»fc(x), где функции v, выбираются такими, чтобы выполнялись равенства

{щ - Ай - ¡{х,й)-,ъ) = 0, t = 1,... ,п. (6)

Пусть М — п х п матрица с элементами М,, ■— {rh~,Vi)\ А — п х п матрица с элементами А,} ~ (Лт^; rjj), a v(t) — вектор: v(t) — (ui(i),.. .,«„(<)). Тогда первые два слагаемых левой части (6) можно переписать в виде

(ut-Au;Tk) = (Mv'-AV)i. (7)

Выберем семейство {x„}£L, (т> Зп - 3) точек области ft так, чтобы

а) все пхп подматрицы nxm матрицы if с элементами := rj,(xj) были невырождены;

б) ни один из коэффициентов {Д,}^ квадратурной формулы

g) = / h(x)g(x) dx и £ РЛЫяЫ (8)

п "='

не был равен нулю.

Тогда из (8) следует приближенное равенство

</(*, й), r?j> ~ £ &/(*„, £ Vj{t)4,(xj) ■ = KBf{KTv), (9)

где п х л матрица В — диагональная, с элементами В„ = Д (матрицы такого вида мы будем обозначать diag(/31,.. , /Зт)), а отображение / : Г1т Нт задается формулой /(«») := (/(ц, шО,..., /(!„, тога)), и> е И"1

Обозначая := КВ/(Кту), с учетом (7) и (9), выводим из (6), что приближенное значение отображения и удовлетворяет уравнению

Мт/Ц) - Av{t) - *>(г)) = С\ (10)

Дискретизация уравнения (10) производится следующим образом. Выберем шаг /> > 0. Для нахождения векторов и* € И™, к 6 Ъ, которые аппроксимируют значения п(кН), можно использовать различные схемы. Перечислим схемы, исследованные в работе, вместе с уравнениями, которые из них вытекают:

1) полунеявная схема

- и*) = Аук+1+Р(ьк);

2) неявная схема Эйлера

~М(ьк+1 - ьк) = Аьк+1 +

3) неявная схема со средними точками

-Лф»+1 - V*) = А—-+ ---).

Эти уравнения при достаточно малых шагах Н порождают следующие диффеоморфизмы пространства Я":

1»»+, = (/ - лм-1Л)-'(/ + =■■ Ыч);

Vk+l = (/- ш~1(А + Г))"1«* =: <р,с(укУ,

ук+1 = (2(1 - + F))-1 - /Н =: ^Ы-

Пусть М и N — два гладких многообразия в пространстве И" Говорят, что они пересекаются трансверсально, если в любой точке х из пересечения М ПЛ/" касательные пространства ТХМ и ТХМ этих многообразий в точке х удовлетворяют равенству

ТХМ+ТХЛГ = К".

Сформулируем основной результат об этих диффеоморфизмах, полученный в работе. Теорема П.7.1.

Для типичной нелинейности / все неподвижные точки динамических систем, порожденных диффеоморфизмами или <р1т, гиперболичны, а их устойчивые

и неустойчивые многообразия пересекаются трансверсально.

В ходе доказательства этой теоремы получены общие результаты о типичности свойств гиперболичности неподвижных точек динамических систем и трансверсальности пересечения их инвариантных многообразий, которые могут быть использованы при изучении динамических систем, полученных дискретизацией с использованием других схем.

В диссертации есть также приложение, где собраны различные утверждения о свойствах пространств с весом, используемых в первой главе.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Колежук B.C. Типичные свойства дискретизаций параболических уравнений // Нелинейные динамические системы, 5, СПб., 2003. С. 43-58.

2. Kolezh.uk VS. Dynamical systems generated by parabolic equations on the line / Preprint 04-44, DFG Research Group 'Spectral analysis, asymptotic distributions and stochastic dynamics', 2004. P. 1-30.

3. Kolezhuk VS. Properties of some operators in weighted function spaces / Preprint 0445, DFG Research Group 'Spectral analysis, asymptotic distributions and stochastic dynamics', 2004. P. 1-22.

4. Beyn W.-J., Kolezhuk' VS., Pilyugin S.Yu. Convergence of discretized attractors for parabolic equation on the line // Записки научных семинаров ПОМИ, т. 318, 2004. С.14-41.

5. Колежук B.C. Аттракторы параболических уравнений на оси и их дискретизаций // Международная конференция "Четвертые окуневские чтения". Тезисы докладов. СПб., 2004. С.12-13.

6. Колежук B.C. Аттракторы точных и дискретизованных динамических систем на неограниченных областях //Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль, 2004. С.107-109.

7. Kolezhuk V.S. Hyperbolicity and transversality for generic discretizations of parabolic equations //Tools for Mathematical Modelling. Abstracts. SPb, 2003. P93.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 30.01.06 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ № 282/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

1 I

•V

2.0О& ft

i - 35 2 »

Введение.

Глава I. Аттракторы полулинейного параболического уравнения на прямой.

§ 1. Терминология.

§ 2. Теорема существования.

§ 3. Оценки старших производных.

§ 4. Существование аттракторов.

§5. Оценки погрешности приближенных решений.

§ 6. Оценка отклонения приближенных аттракторов.

Глава II. Типичные свойства дискретизаций параболических уравнений.

§ 1. Построение динамических систем, порожденных дискретизациями.

§ 2. Регулярные значения и теорема трансверсальности

§ 3. Гиперболичность неподвижных точек динамических систем.

§ 4. Спектр дифференциалов Dv<p в неподвижных точках.

§ 5. Характеризация свойства трансверсальности пересечения инвариантных многообразий.

§6. Общий результат о трансверсальности.

§ 7. Применение общих теорем о трансверсальности.

Глава III. Приложение.

§ 1. Весовые пространства.

§2. Дискретные весовые пространства.

§3. Свойства проекторов.

§4. Динамические системы, порожденные дискретизациями параболического уравнения.

В настоящее время изучение аттракторов динамических систем является хорошо развитой областью качественной теории динамических систем. Аттракторы изучаются во многих фундаментальных трудах, например, [1], [3], [25]. Такое изучение важно, так как именно аттракторы отвечают за поведение системы при больших временах.

В связи с развитием вычислительной техники все большее значение приобретает изучение динамических систем с помощью компьютера. С помощью компьютера оказывается возможным не только получить приближенные решения различных уравнений, но и построить приближенные аттракторы динамических систем, порождаемых ими. Соответствующие аттракторы являются аттракторами дискретных динамических систем, возникающих в результате дискретизации изучаемых уравнений. Отсюда естественно возникает интерес к изучению свойств динамических систем, порождаемых дискретизациями. В настоящее время изучение динамических систем, порожденных дискретизациями, превратилось в интенсивно развивающуюся область теории динамических систем (см., напр., [10], [15], [16]).

Основными двумя вопросами, связанными с динамическими системами, возникающими в результате дискретизации, являются следующие:

1. Насколько точно их решения, аттракторы и прочие объекты, связанные с динамикой, аппроксимируют соответствующие объекты исходного уравнения?

2. Каковы свойства этих дискретизованных динамических систем? В этой связи особо важными представляются различные вопросы устойчивости этих систем, так как при их решении с помощью компьютера возникают различные погрешности, связанные с ошибками округления.

В настоящей работе исследуются эти вопросы для полулинейного параболического уравнения вида ut = Аи + f(x, и), и = u(t,х), х е О,, t > 0 (1) с граничным условием Дирихле и\ап = 0, где А — оператор, действующий из соболевского пространства H2(Q) в пространство L^Q), симметричный и положительно определенный относительно скалярного произведения (д, h) := f ghdx, а / — функция класса Cv(r > 1), глобально п липшицевая по переменной и.

В главе I исследуется уравнение (1) с оператором А = ^ на прямой (то есть, в случае Q = R), dtu(t, х) = uxx(t,х) - f{u{t, x)),t> 0, а; е R; (2) u\t=o = Щ- (3)

Вопросы сходимости "приближенных" решений и глобальных аттракторов полулинейных параболических уравнений на ограниченных областях к "точным"хорошо изучены для различных схем дискретизации по переменным х и t (например, в работах [17],[25],[26]). Однако изучение динамических систем на неограниченных областях началось сравнительно недавно. Препятствием для изучения таких уравнений является то, что оператор ихх на прямой обычно не является положительно определенным и не имеет компактной резольвенты. Толчок к изучению аттракторов для уравнения (2) дала работа Бабина и Вишика [9], где было предложено понятие аттрактора, соответствующего паре пространств. Подмножество I С % называется глобальным (71', 7£)-аттрактором динамической системы Ф, если i) I — компактное подмножество пространства

И) множество I инвариантно но отношению к действию системы Ф, то есть, Ф(£, /) = I для t > 0; iii) множество I притягивает ограниченные подмножества пространства TZ' в топологии пространства 1Z.

В работе [9] было показано, что уравнение (2) имеет аттрактор, соответствующий паре, состоящей из весового соболевского пространства и его же, но со слабой топологией. В дальнейшем появились и другие работы, посвященные существованию аттракторов, соответствующих различным парам пространств (см. напр. [21], [10]). В работе [21] изучалось уравнение Гинзбурга-Ландау и было показано, что у него есть глобальный аттрактор, соответствующий паре пространств с сильной топологией в обоих, а именно, паре постранств (Hi,„, %i,7(R)), где T/i)7(R) есть банахово пространство таких функций и : R —» R, что квадрат нормы

IMIi,7= / p(x)(u'(x)2 + u{x)2)dx Jr с весовой фунцией р = (l+rr2)7, 7 < —1/2) конечен, а пространство Hi,u это такое подмножество пространства "Hij7(R), что для всех функций и £ "Hi,и норма

IMk« = sup||T>||i,7 ye R конечна и выполнено соотношение \\и(• + у) — u(')||i,u 0. у-* о

Одним из основных результатов главы I является следующая теорема о существовании глобальных аттракторов для уравнения (2), соответствующих той же паре пространств, что и в работе [21]. Теорема 1.

Пусть нелинейность f в уравнении (2) удовлетворяет условию дис-сипативности f(u)-u>\0\u\2(4)

Тогда уравнение (2) nopooicdaem непрерывный полупоток в пространствах "Hi)7(R) и 'Н\>и и У этого полупотока есть глобальный ("Hi,u, (R)) - аттрактор.

Другой основной результат главы I связан с дискретной динамической системой, порождаемой уравнением un+i /h = о+дип+1 + 7(un+1), (5) где ип — {u%}k£z и un+1 = {u%+1}kez — последовательности вещественных чисел, оператор д+д- — это дискретный аналог оператора Лапласа, а отображение / действует на последовательности по формуле (f(u))i — /(щ)) возникающим в результате дискретизации уравнения (2) по неявной схеме с шагом h по времени и d — по пространственной переменной. Известно ([Ю]), что уравнение (5) порождает поток в пространствах #1д7 и Яхди, где, аналогично непрерывному случаю, пространство //i,d,7 есть пространство таких последовательностей и = {ик : к £ Z}, что квадрат нормы

Ml = d^Pk((d+u)l + ul) kez конечен, где Рк = p(kd) = (1 + (Ы)2)7, д+и := {h~1(uk+i~uk)}keZ, а подмножество пространства состоящее из последовательностей, для которых норма

Ml,и = sup||T„u||i>7 yez конечна. Кроме того, в работе [10] показано, что у динамической системы, порожденной уравнением (5), есть глобальный (#1ди, Я^^-аттрак-тор.

Введенное нами пространство i?i,d,7 естественным образом вкладывается в пространство %ii7(R) так, что последовательность {uk}kez £ соответствует функции и(х) = Uk+iO + «^(1 — в), х = kd + 9, к е Z, в € [0,1). Соответствующий оператор вложения обозначим через Td■ Сформулируем теперь другой основной результат главы I. Теорема 2.

1. Пусть St, t > 0 — полупоток, порожденный уравнением (2), а Sh,d ~~ гомеоморфизм, порожденный уравнением (5). Тогда для любых функции v Е /Hi;7(R) и числа Т > 0 верна оценка sup \\TdSld(TalVdv)-'PdSnhv\\hy->0 при h,d-+ 0,

0<nh<T где Vd — ортогональный по отношению к скалярному произведению u,w) = f p(x)u(x)w(x)dx проектор па образ оператора Td в простран-R стве 7^ij7(R).

2. Пусть А — глобальный (/^i)tl,?^i)7(R))-аттрактор уравнения (2), a A{h,d) — глобальные Hi^y) -аттракторы уравнения (5). Тогда аттракторы A(h, d) сходятся к аттрактору А в следующем смысле: dev(TdA{h, d),A) := sup inf ||a — 6||i)7 -> 0 при h, d -» 0. (6) aeTdA(h,d)

Заметим, что для параболических уравнений на ограниченных (по х) областях были получены явные оценки погрешности на конечном интервале по времени, например, в работе [20]. Однако эти оценки неравномерны по времени и ухудшаются при малых временах. В нашем случае тоже могут быть получены такие оценки, если немного изменить использованный метод.

Следует также заметить, что утверждение теоремы 2 легко распространяется на случай произвольной размерности с помощью метода, использованного в работе [10].

1. Brunovsky P., Polacik P. The Morse-Smale Structure of a Generic Reaction-Diffusion Equation in Higher Space Dimension. //J. Differential Equations, 135, 1997. P.129-181.

2. Chen M., Chen X.-Y., Hale J.K. Structural stability for time-periodic one-dimensional parabolic equations. //J. Differential Equations, 96, 1992. P.355-418.

3. Eirola Т., Pilyugin S. Yu. Pseudotrajectories Generated by a Discretization of a Parabolic Equation. //J. Dynam. Differ. Equat., 8, N2, 1996. P.281-297.

4. Fusco G., Oliva W.M. Jacobi matrices and transversality. //Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 109A, 1988. P.231-243.

5. Hale J.K., Lin X.-B., Raugel G. Upper semicontinuity of attractors and partial differential equations. //Math. Сотр., 50,1988. P.80-123.

6. Henry D. Some infinite-dimensional Morse-Smale systems defined by parabolic partial differential equations. //J. Differential Equations 59, 1985. P. 165-205.

7. Henry D. Perturbation of the Boundary for Boundary Value Problems of Partial Differential Operators. //New York: Cambridge Univ. Press, 2005. 324p.

8. Larsson S. Nonsmooth data error estimates with applications to the study of the long-time behavior of finite element solutions of semilinear parabolic problems. //Preprint 1992-36, Dept. of Math., Chalmers Univ. of Technology, 1992.

9. Mielke A., Schneider G. Attractors for modulation equations on unbounded domains existence and comparison. //Nonlinearity, 8,1995. P.743-768.

10. Oliva W.M., de Oliveira J.C.F., Sola-Morales J. An infinite-dimensional Morse-Smale map. //NODEA, 1, 1994. P.365-387.

11. Palmer K. Shadowing in dynamical systems. Theory and applications. //Kluwer Academic Publishers, 2000. 299p.

12. Polacik P. Transversal and nontransversal intersections of stable and unstable manifolds in reaction diffusion equations on symmetric domains.// Differential Integral Equations, 7, 1994. P.1527-1545.

13. Sell G.R., You Y. Dynamics of Evolutionary Equations. //Applied Mathematical Sciences, 143. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2002. 672p.

14. Stuart A. Perturbation theory for infinite dimensional dynamical systems. //Theory and numerics of ordinary and partial differential equations, Leicester, 1994. P.181-290.Публикации автора по теме диссертации

15. Колежук В. С. Типичные свойства дискретизаций параболических уравнений. //Нелинейные динамические системы, 5, СПб., 2003.

16. Kolezhuk V.S. Dynamical systems generated by parabolic equations on the line. //Preprint 04-44, DFG Research Group 'Spectral analysis, asymptotic distributions and stochastic dynamics', 2004.

17. Kolezhuk V.S. Properties of some operators in weighted function spaces. //Preprint 04-45, DFG Research Group 'Spectral analysis, asymptotic distributions and stochastic dynamics', 2004.

18. Beyn W.-J., Kolezhuk V.S., Pilyugin S. Yu. Convergence of discretized attractors for parabolic equation on the line. //Записки научных семинаров ПОМИ, т. 318, 2004. С.14-41.

19. Колежук B.C. Аттракторы параболических уравнений на оси и их дискретизаций. //Международная конференция "Четвертые окуневские чтения". Тезисы докладов. СПб., 2004. С.12-13.

20. Колежук B.C. Аттракторы точных и дискретизованных динамических систем на неограниченных областях. //Международная конференция по дифференциальным уравнениям и диамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль, 2004. С.107-109.

21. Kolezhuk V.S. Hyperbolicity and transversality for generic discretizations of parabolic equations. //Tools for Mathetical Modelling. Abstracts. SPb, 2003. P.93.