Аттракторы динамических систем, связанных с параболическим уравнением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Исследованиектуры в целом бесконечномерных динамических и полудинамических систем является бурно развивающейся областью современной математики [20], [34]. Особенно важны и интересны для исследования так называемые эволюционные системы, порождённые уравнениями в частных производных. При этом особое внимание уделяетсяктуре глобальных аттракторов таких систем [1], [29], [17]. Кроме вопроса октуре аттракторов, интенсивному изучению был подвергнут вопрос о зависимости аттракторов от возмущения системы [18], [20].

Наряду с исследованием самих бесконечномерных эволюционных систем, изучаются два класса конечномерных динамических и полудинамических систем, порождаемых либо дискретизацией соответствующего уравнения в частных производных, либо ограничением эволюционного уравнения на конечномерное положительно инвариантное многообразие (так называемое инерциальное многообразие) [16], [33]. Наиболее развитой областью теории бесконечномерных эволюционных систем является теория систем, порождённых параболическим уравнением в частных производных [21].

В диссертации изучается глобальный аттрактор для двух классов конечномерных динамических систем, порождённых дискретизациями параболических уравнений и ограничением соответствующих эволюционных систем на инерциальные многообразия.

В первой главе изучаются полные дискретизации задачи Дирихле для параболического уравнения

Щ = ихх +f(u). (1)

Общая теория дискретизаций параболических уравнений начала развиваться после публикации работы О. А. Ладыженской [7], посвященной глобальной устойчивости разностных схем для таких уравнений. Для некоторых схем было доказано существование глобальных аттракторов и были оценены их размеры и хаусдорфова размерность. Исследование динамических систем, порождённых полными дискретизациями параболических уравнений, было продолжено в работах различных авторов, отметим, например, работу Т. Эйролы и С.Ю. Пилюгина [15]. Во всех упомянутых исследованиях дискретизация по временной переменной t использовала простейший метод - метод Эйлера. В первой главе диссертации изучается глобальный аттрактор для динамической и полудинамической систем, порождённых полной дискретизацией параболического уравнения (1), в которой дискретизация по времени использует многошаговые интерполяционные методы

Адамса. Предполагается, что нелинейность / удовлетворяет условию Липшица с константой 6 и условию xf(x) ^ ао + а\х2, где а0 > 0, 0 < а\ < тг2.

К уравнению (1) применяются численные схемы: по пространственной переменной х - стандартная аппроксимация второй производной ^ К.-1 - 2<. + <+l) с фиксированным шагом d = jp-j (N - натуральное число), а по временной переменной t - семейство неявных (интерполяционных) методов Адамса [10] порядка р > 2 с шагом h.

Исследуется бесконечная система разностных уравнений п+1 п р

-т-= £ cpk(Avn+2~k + /К+2"*)), п 2 р, 1 < ш ^ Аг, (2) п к=1 где - коэффициенты метода Адамса порядка р, отображение / - естественное распространение нелинейности / на пространство R/^, а квадратная матрица А возникает из аппроксимации второй производной. Первый член начальных данных г;0 для системы (2) определяется из начальных данных задачи для параболического уравнения, а остальные р — 2 члена получены, возможно, иным приближенным методом. Получены следующие результаты.

Теорема 2.1. Для любого натурального числа N и для всех h, удовлетворяющих неравенству 1 h < ср1 (И|-му (3) рекуррентное соотношение (2) разрешимо относительно vn+1 и задаёт липшицеву дискретную полудинамическую систему.

Обозначим через ip полудинамическую систему, возникающую при описанной дискретизации.

Условие возникновения из рекуррентного соотношения (2) динамической системы, т.е. условие обратимости соотношения (2), оказывается принципиально различным для случаев р = 2 и р ^ 3.

Лемма 3.1. Пусть р = 2. Если выполнено условие (3'), то рекуррентное соотношение (2) задаёт липшицеву дискретную динамическую систему.

Лемма 3.2. Пусть р ^ 3. Если выполнены условие (3) и условие

6< р . . Е \срк\ к=з где величина г/ = r](N) определяется формулой г/

А'1

-1 4 . 2 7Г d = — sm —. d2 2 ■ то рекуррентное соотношение (2) задаёт липшицеву дискретную динамическую систему.

Теорема 4.1. Если для натурального числа N выполнено условие a1<V(N), (4) то найдётся такое Hq = ho(N) > 0, что при всех 0 < h < ho полудинамическая система (р диссипативна по Левинсону.

Известно [30], что любая диссипативная полудинамическая система имеет глобальный аттрактор. В диссертации доказывается, что аттрактор А полудинамической системы (р лежит в замкнутом ограниченном множестве Wp~l, являющемся декартовой степенью замкнутого шара

W(h) = Le RiV : \х\2 < + k(h)h\, I у — a i J где k(h) - положительная функция, обладающая свойством limk{h) > 0.

Равномерная по всем достаточно малым шагам дискретизации оценка хаусдорфовой размерности аттрактора полудинамической системы ср доказана в следующей теореме.

Теорема 5.6. Справедливы следующие утверждения.

1) Если константа Липшица нелинейности / удовлетворяет неравенству

5< тг2, то для любого натурального числа N, 'удовлетворяющего условию (4), найдётся такое h\ = hi(N) > 0, что при всех 0 < h < h\ полудинамическая система ip> обладает глобальным аттрактором А, хаусдорфова размерность которого не превосходит, 1.

2) Если выполнено неравенство

8 > тг2, то для любого натурального числа N, удовлетворяющего условию (4), найдётся такое hi = h\(N) > 0, что при всех О < h < hi полудинамическая система кр обладает глобальным аттрактором Л, хаусдорфова размерность которого не превосходит наименьшего из натуральных чисел к, удовлетворяющих неравенст.ву

Одной из важнейших характеристик глобального аттрактора является скорость притяжения траекторий. В диссертации задача о скорости притяжения траекторий к глобальному аттрактору изучается для системы дифференциальных уравнений, возникшей при ограничении на инерциальное многообразие эволюционной системы, соответствующей так называемой задаче Чэфи-Инфанте [14].

В одномерной задаче Чэфи-Инфанте изучается нелинейная полугруппа, порождённая краевой задачей Дирихле для параболического уравнения где b > 0 - параметр, а нелинейность f принадлежит к классу функций, типичным представителем которых является f(u) = и3. Известно [21], что все неподвижные точки порождённой полугруппы S(t) гиперболические, а сама она структурно устойчива тогда и только тогда, когда Ъ ф т2, т = 1,2,. Поэтому для построения полной теории задачи Чэфи-Инфанте представляет особый интерес изучение критического случая Ь — га2. Исследование в этом направлении было начато в работах И. Н. Костина [27], [26], в которых исследуются возмущения глобального аттрактора в критическом случае. Таким образом, на примере задачи Чэфи-Инфанте были получены первые оценки скорости приближения к аттрактору бесконечномерной полугруппы, которая не является структурно устойчивой. Было показано, что при некоторых дополнительных предположениях скорость притяжения полиномиальна.

Исследование бесконечномерных систем, подобных тем, что были рассмотрены И.Н. Костиным, было продолжено в работах А. А. Корнева [3], [4]. Во всех упомянутых работах для случая одной негиперболической точки покоя была доказана полиномиальная оценка скорости притяжения к глобальному аттрактору порождённой полудинамической системы. Также были получены результаты о непрерывной зависимости аттрактора возмущённой системы от параметра. Но метод, использованный в этих рабо

Щ = ихх + bu- f(u)

5) тах, не позволял получить достаточной информации о скорости приближения к аттрактору отдельных точек фазового пространства, так как все полученные оценки оперируют окрестностями аттрактора системы.

Иной подход, использованный в работе И.Н. Костина и С.Ю. Пилюгина [28], позволил доказать экспоненциальную оценку скорости сходимости в терминах начального приближения и оценить расстояние между глобальными аттракторами возмущённой и невозмущённой систем для градиенто-подобных динамических систем, порождённых задачей Чэфи-Инфанте в некритическом случае.

Во второй главе диссертации выделен и исследован класс градиентопо-добных систем дифференциальных уравнений x = F(x), F Е С1^"), (6) удовлетворяющих семи условиям (A)-(G), сформулированным в §1 и §2 второй главы диссертации. В §6 доказано, что все эти условия выполнены для ограничения системы Чэфи-Инфанте в критическом случае на инерциальное многообразие.

Пусть (р - динамическая система, порождённая системой дифференциальных уравнений (6). Обозначим через А глобальный аттрактор системы (р, а через ВГ(Л) - открытую г-окрестность аттрактора А. Основным утверждением второй главы является следующая теорема о полиномиальной оценке скорости сходимости траекторий к аттрактору.

Теорема 4.5. Существуют числа г > 0; К > 1, С > О и I > 0, такие что для любого х Е Вг (Л) справедлива оценка dist (<р (t,x), А) < К (Ct + dist-/ (ж, А))'1Д при t ^ 0.

Показано, что условие трансверсальности устойчивого и неустойчивого многообразий точек покоя динамической системы ср является существенным для существования полиномиальной оценки. В §4 приведён пример двумерной системы, не удовлетворяющей условию трансверсальности, для которой не выполнена полиномиальная оценка скорости сходимости траекторий к аттрактору.

В § 5 второй главы диссертации рассмотрен аттрактор возмущённой системы и получена оценка отклонения аттактора возмущённой системы от аттрактора исходной системы в терминах величины возмущения системы.

1. Бабин А. В., Вишик М. И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука. 1989.

2. Бирман М. Ш., Соломяк М. 3. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л. 1980.

3. Корпев А. А. О неустойчивых многообразиях в окрестности существенно негиперболической точки // Докл. РАН. 2001. Т. 377, Af-б. С. 743745.

4. Корпев А. А. Об аппроксимации аттракторов полудинамических систем // Матем. сб. 2001. Т. 192, Л/М0. С. 19-32.

5. Коровкин П. П. Неравенства. М.: Наука. 1983. 72 с.

6. Костин И. И., Пилюгин С. Ю. Равномерная экспоненциальная устойчивость аттракторов возмущённых уравнений // Докл. РАН. 1999. Т. 369, Л^ 4. С. 449-450.

7. Ладыженская О. А. Глобально устойчивые разностные схемы и их аттракторы // Препринт ЛОМИ Р-5-91, Ленинград. 1991.

8. Леонов Г. А., Буркин И. М., Шепелявый А. И. Частотные методы в теории колебаний. Проблема Айзермана и частотные оценки хаусдорфовой размерности аттракторов, СПб.: Изд-во СПбГУ. 1992. 164 с.

9. Маркушевин А. И. Возвратные последовательности. М.: Наука. 1983. 48 с.

10. Мысовских И. П. Лекции по методам вычислений. СПб.: Изд-во СПб-ГУ. 1999.

11. Пилюгин С. Ю. Введение в грубые системы дифференциальных уравнений. Л.: Изд-во-ЛГУ. 1988. 160 с. '

12. Пилюгин С. Ю. Отслеживание в задаче Чэфи-Инфанте // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, Вып. 4. С. 231-272.

13. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир. 1985.

14. Chafee N., Infante Е. A bifurcation problem for a nonlinear partial differential equation of parabolic type // Appl. Anal. 1974/1975. Vol. 4. P. 17-37.

15. Eirola Т., Pilyugin S. Yu. Pseudotrajectories Generated by a Discretization of a Parabolic Equation //J. Dynamics and Differential Equations. 1996. Vol. 8. P. 281-297.

16. Foias C., Sell G. R., Temam R. Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations // J. Differential Equations. 1988. Л/^ 73. P. 309-353.

17. Hale J.K. Asymptotic behavior of dissipative systems. AMS. 1988. Math. Surv. and Monogr. Vol. 25.

18. Hale J. K. Lower semicontinuity of attractors of gradient systems and applications // Ann. Mat. Рига ed Applicata. 1989. Vol. IV. P. 281326.

19. Hale J. K., La Salle J. P., Slemrod M. Theory of a general class of dissipative process // J. Math. Anal. Appl. 1972. Vol. 39. P. 177-191.

20. Hale J. K., Magalhaes L. Т., Oliva W. M. An introduction to infinite dimensional dynamical systems geometric theory // New York: Springer-Verlag. 1984. Appl'. Math. Sci. Vol. 47.

21. Henry D. B. Some infinite-dimensional Morse-Smale systems defined by a parabolic partial differential equations // J. Differential Equations. 1985. Vol. 59. P. 165-205.

22. Humphries A. R. Numerical Analysis of Dynamical Systems. PhD thesis. University of Bath. 1993.

23. Humphries A. R., Stuart A. M. Runge-Kutta methods for dissipative and gradiend dynamical systems // SIAM. J. Num. Anal. 1981. Vol. 24. P. 583-594.

24. Kloeden P. E., Lorenz J. Stable attracting sets in dynamical systems and their one-step discretizations // SIAM J. Num. Anal. 1986. Vol. 23. P. 986-995.

25. Kloeden P. E., Lorenz J. A note on multistep methods and attracting sets of dynamical systems // Numer. Math. 1990. Vol. 56. P. 667-673.

26. Kostin I. N. Lower semicontinuity of a non-hyperbolic attractor J J J. London Math Soc. 1995. Vol. 52, №2. P. 568-582.

27. Kostin I. N. Rate of attraction to a non-hyperbolic attractor // Asymptotic Anal. 1998. M 16. P. 203-222. '

28. Kostin I. N., Pilyugin S. Yu. Uniform exponential stability of attractors for a family of systems. NoDEA. 2002.

29. Ladyzhenskaya O.A. Attractors for semi-groups and evolution equations. Cambridge: Cambridge University Press. 1991.

30. Levmson N. Transformation theory of non-linear equations of the second order // Ann. Math. 1944. Vol. 45.

31. Shen J. Convergence of approximate attractors for a fully discrete system for reaction-diffusion equations // Numer. Funct. Anal, and Opt. 1989. Vol. 10. P. 1213-1234.

32. Stuart A. M. Numerical analysis of dynamical systems // Acta Numerica. Cambridge: Cambridge University Press. 1994.

33. Temam R. Infinite dimensional system in mechanics and physics. New York: Springer-Verlag. 1998.

34. Wiggins S. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos // Texts Appl. Math. 1990. Vol. 2. Springer-Verlag. New York.Публикации автора по теме диссертации

35. Лебедев А. В. Динамическая система, порожденная многошаговой дискретизацией параболического уравнения // Нелинейные динамические системы. 2001. Вып. 3. С. 41-75.

36. Лебедев А. В. Полиномиальная оценка скорости сходимости решений к аттрактору в случае одной негиперболической точки покоя / Ред. ж. "Вестн. С.-Петерб. ун-та", сер. матем., мех., астр. Деп. в ВИНИТИ М-1381 -В2002, 23.07.2002. 53 с.

37. Lebedev А. V. Polynomial rate of attraction to the global attractor // International Seminar "Patterns and Waves: Theory and Applications". St.Petersburg. 2002. C. 29.